università degli studi di napoli federico ii facoltà di scienze

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
TESI DI LAUREA MAGISTRALE IN FISICA
Modello Standard delle Interazioni Fondamentali dalla
Teoria delle Stringhe
Relatori
Candidato
Prof. R. Pettorino
Igor Buchberger
Dott. F. Pezzella
matr. N94/17
Correlatore
Prof. F. Lizzi
ANNO ACCADEMICO 2009/2010
2
Indice
1 Introduzione
5
2 Teoria delle stringhe e D-brane
13
2.1
Teoria di stringa bosonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Teorie di superstringa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3
D-brane: definizione e principali caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.1
T-dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.3.2
D-brane cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Aspetti di brana a basse energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4.1
Campi di gauge sulle brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4.2
Azioni di brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.4.3
Brane intersecanti e brane magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.5
Interazioni tra D-brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.6
Altri possibili portatori di carica: i piani di Orientifold . . . . . . . . . . . .
66
2.4
3 Brane Intersecanti e Modello Standard
79
3.1
Brane intersecanti e possibili strutture delle dimensioni extra . . . . . . . . .
80
3.2
Modelli con D6 brane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.2.1
Aspetti generali dello Spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.2.2
Cancellazione delle anomalie dalla teoria effettiva . . . . . . . . . . .
101
3.2.3
Massività dei bosoni vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
Modello Standard da configurazioni di D6 brane . . . . . . . . . . . . . . . .
111
3.3.1
123
3.3
Settore di Higgs ed accopiamenti di Yukawa . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4 Conclusioni
INDICE
127
Capitolo 1
Introduzione
La scala dei fenomeni naturali che la Fisica si propone di comprendere e rappresentare individua due regimi: uno legato ai fenomeni macroscopici e l’altro a quelli microscopici. In
particolare, per comprendere, rappresentare e quindi prevedere il comportamento di un dato
sistema si è sempre tentato di comprendere le proprietà e le dinamiche dei suoi costituenti fondamentali o almeno di quegli oggetti che con buona approssimazione possano essere
ritenuti tali. Questo tipo di analisi ha naturalmente portato ad indagare settori della materia di dimensioni sempre più piccole. Come ben noto, attualmente quark e leptoni sono
ritenuti essere particelle elementari, ovvero i costituenti fondamentali della materia, e le loro
dinamiche sono descritte con successo almeno fino alle energie che è stato possibile raggiungere sperimentalmente. Tuttavia la comprensione dei fenomeni microscopici è tutt’altro che
completa.
Le dinamiche delle particelle subatomiche sono descritte nel linguaggio fornito dalla Teoria
Quantistica dei Campi, affascinante sintesi dei postulati di Relatività Ristretta e del principio di indeterminazione di Heisenberg dai quali non è naturalmente possibile prescindere
nello studio del subatomico. Con tale teoria, almeno in linea di principio, è possibile interpretare e descrivere, a qualsiasi scala di energia, tre delle quattro interazioni fondamentali:
l’elettromagnetica e le due interazioni nucleari, quella debole e quella forte. La consistenza
5
6
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
della descrizione di queste interazioni nello schema fornito dalla Teoria Quantistica dei Campi risiede soprattutto nella importante proprietà di rinormalizzabilità, ossia nella possibilità
di eliminare le divergenze ultraviolette presenti nello sviluppo perturbativo di ampiezze di
diffusione. L’interazione gravitazionale è invece, al momento, descritta consistentemente solo
in termini di una teoria classica di campo, la Relatività Generale. Svariati sono i tentativi di
quantizzare tale teoria nell’ ordinario spazio-tempo, ma in nessun caso si è riusciti ad ottenere
una teoria rinormalizzabile e quindi valida a qualsiasi scala di energia. Una delle ipotesi più
accreditate per giustificare ciò consiste nel ritenere la Relatività Generale una teoria effettiva,
cioè una teoria valida solo a basse energie ed ottenibile come limite di una teoria più generale
valida invece a più alta energia. Ad ogni modo, da un punto di vista tecnico, fino alle energie
ad oggi sperimentalmente accessibili, le dinamiche delle particelle elementari possono essere
descritte consistentemente ignorando la gravità. Infatti le interazioni gravitazionali risultano paragonabili alle altre interazioni solo in un sistema per il quale l’energia è dell’ordine
della massa di Planck, cioè all’incirca 1016 TeV. Nella fisica degli acceleratori delle particelle
elementari le energie massime fino ad oggi raggiunte sono invece dell’ ordine dei 10 TeV.
Le interazioni forti, deboli ed elettromagnetiche sono dunque descritte da teorie quantistiche di campo rinormalizzabili. In particolare il Modello Standard (MS) sembra essere in
grado di descrivere tutti i possibili processi dovuti a queste interazioni tra tutte le particelle
elementari ad oggi note, a qualsiasi scala di energia. Quasi tutti i risultati sperimentali ottenuti sembrano in perfetto accordo con le predizioni di tale modello, tuttavia vi sono alcune
problematiche ancora irrisolte.
Il Modello Standard è una teoria di gauge con gruppo SU (3) ⊗ SU (2)L ⊗ UY (1). Ad ogni
generatore della simmetria sono associate particelle bosoniche di massa nulla vettoriali , ossia
di spin unitario, che mediano le interazioni tra le particelle di materia. Queste formalmente
individuano rappresentazioni irriducibili del gruppo di simmetria. In particolare la simmetria
SU (3) è propria delle interazioni forti. La “carica” responsabile di tali interazioni è il “colore”,
proprietà che caratterizza sia i quark sia i gluoni, essendo questi ultimi i relativi mediatori.
Al gruppo SU (2)L ⊗ U (1)Y sono associate le interazioni elettro-deboli. La presenza del
pedice L che contrassegna il gruppo SU (2) è motivata da quanto segue. Per descrivere la
non invarianza per trasformazioni di parità delle interazioni deboli il MS è richiesto essere
chirale, ossia solo le componenti spinoriali lef t dei fermioni si accoppiano con i campi bosonici
7
mediatori dell’interazione debole. Il pedice Y che invece caratterizza il gruppo abeliano U (1)
denota l’ipercarica. La massività dei tre bosoni vettori associati alle interazioni deboli, ossia ai
tre generatori di SU (2), è implicata dalla rottura spontanea della simmetria SU (2)⊗U (1)Y →
U (1)em che lascia come particella di massa nulla il fotone, il mediatore delle interazioni
elettromagnetiche. Tale rottura prevede l’introduzione di un campo scalare che determina
inoltre i termini di massa di tutti i fermioni. Se il Modello Standard è effettivamente corretto
ci si aspetta quindi di osservare il quanto del campo scalare, il bosone di Higgs. Tuttavia
sebbene ci si attenda che la massa del bosone di Higgs sia dell’ordine dei 200 GeV, e sebbene
siano in corso esperimenti ad energie anche superiori, quindi con fasci di particelle in grado di
“risolvere” distanze paragonabili alla lunghezza d’onda di particelle con masse a riposo anche
superiori a 200 GeV, non si è ancora avuta alcuna conferma sperimentale della sua esistenza.
Altra problematica da risolvere nell’ambito del Modello Standard riguarda la massività dei
neutrini che in passato si ritenevano fossero a massa nulla; oggi si hanno invece evidenze
sperimentali del fatto che i neutrini hanno massa, seppur piccola.
Oltre a queste due problematiche, che si spera al più presto di poter risolvere, all’interno
del Modello Standard sono presenti anche degli aspetti che fanno pensare che questo, così
come la Relatività Generale, sia una teoria effettiva valida solo a “basse energie” e deducibile da una teoria più generale. Nel MS è necessario determinare ben 25 parametri, relativi
a grandezze fisiche, che vengono fissati mediante i rispetti valori sperimentali e non invece
determinati dalla teoria stessa. Sarebbe pertanto auspicabile che esistesse una teoria più
fondamentale con un numero inferiore di parametri. Inoltre i valori delle tre costanti di accoppiamento dipendono dall’energia a cui si osserva un dato processo di interazione e questi
risultano molto simili, ad altissime energie. Ciò genera l’idea che il gruppo di simmetria
del MS sia in realtà un sottogruppo di un unico gruppo più ampio con un’unica costante
di accoppiamento spontaneamente rotto al gruppo SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1). Questa idea è
nota come grande unif icazione. Uno dei più noti modelli sviluppati in questa direzione è
quello di Georgi e Glashow ed il gruppo di unificazione è SU (5). Si è inoltre anche tentato
di estendere il Modello Standard ipotizzando che ad alte energie esista un’altra simmetria, la
supersimmetria. Questa ipotesi ha un’implicazione sorprendente: le tre costanti di accoppiamento sono esattamente identiche intorno ai 1016 GeV, realizzando una “vera” unificazione.
La supersimmetria implica, per costruzione, uno spettro con ugual numero di particelle bo-
8
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
soniche e fermioniche. Più precisamente, per ogni determinato fermione presente nella teoria
deve esistere un corrispondente “partner” bosonico con le stesse proprietà. Pertanto per
giustificare nell’ambito di una teoria supersimmetrica l’osservazione a basse energie solo di
quark, leptoni e bosoni di interazione, e non delle rispettive particelle supersimmetriche, è
necessario anche in questo caso ipotizzare e prevedere un possibile meccanismo che rompa la
supersimmetria.
Tutti questi modelli proposti tuttavia non considerano la gravità e pertanto non risolvono
il problema della non rinormalizzabilità di questa, nè tantomeno fanno luce su di un altro
interrogativo che sorge spontaneo: perchè l’interazione gravitazionale è così differente dalle
altre? A cosa è dovuto il fatto che questa è comparabile alle altre solo ad energie dell’
ordine dei 1019 GeV? Inoltre il fatto che le costanti di accoppiamento del Modello Standard
convergano ad un unico valore e che sia possibile costruire delle teorie in cui le tre forze siano
manifestazioni diverse di un’unica interazione, ha fatto nascere l’idea di realizzare un progetto
ancora più ambizioso, ovvero di creare una teoria che unifichi tutte e quattro le interazioni e
che abbia come limite di bassa energia il Modello Standard e la Relatività Generale. Come si
vedrà in questo lavoro di tesi esistono ottimi motivi per pensare che le Teorie di Superstringa
realizzino questo obiettivo.
Le teorie di stringa sono teorie in cui la struttura delle particelle elementari non è più
considerata puntiforme, come nelle Teorie Quantistiche di Campo, bensì si immagina che le
particelle possano assumere una struttura unidimensionale. Più precisamente, sono teorie
che forniscono una descrizione quantistica e relativistica di oggetti unidimensionali.
La teoria di stringa è nata alla fine degli anni Sessanta, nascosta nei cosiddetti modelli
duali, nel tentativo di descrivere le ampiezze di diffusione adronica. Lo sviluppo di tale teoria
è però poi stato abbandonato per alcuni anni in seguito al successo della Cromodinamica
Quantistica come Teoria Quantistica dei Campi descrivente le interazioni forti. All’inizio degli
anni Ottanta si è però compreso che la teoria di stringa potesse essere una teoria in grado di
descrivere il mondo fisico ad un livello più fondamentale e che potesse realizzare l’unificazione
di tutte le interazioni. Sono state elaborate varie teorie, note come Teorie di Superstringa, che
contengono sia una descrizione quantistica consistente della gravità sia simmetrie di gauge
sufficientemente ampie per contenere i gruppi del Modello Standard. Nel linguaggio della
Teoria della Stringa, le particelle elementari vengono riguardate come eccitazioni della stringa
9
stessa. In particolare, i bosoni vettori di gauge possono essere riguardati come eccitazioni di
massa nulla della stringa aperta, mentre nelle eccitazioni non massive della stringa chiusa si
annovera una particella tensoriale di spin 2 assimilabile al gravitone. Si perviene pertanto
all’idea che le stringhe aperte competono alla descrizione delle teorie di gauge, mentre le
stringhe chiuse a quella delle interazioni gravitazionali.
Particolarità di tali teorie è che sono supersimmetriche. Inoltre, esse risultano consistenti
solo in uno spazio-tempo di Minkowski con dieci dimensioni. Ci si imbatte, infatti, in una
teoria in cui la dimensionalità dello spazio-tempo in cui essa vive non è un input ma è una
variabile che va fissata sulla base di richiesta di cancellazioni di possibili anomalie quantistiche. Ciò potrebbe inizialmente sconvolgere: che senso hanno delle teorie che vivono in
dieci dimensioni se di queste l’esperienza ne mostra soltanto quattro? Una possibile risposta
a questa domanda consiste nel considerare le dimensioni extra come dimensioni compatte e
così piccole da non poter essere osservate alle energie ad oggi raggiunte. L’idea di dimensioni
aggiuntive a quelle dell’ordinario spazio-tempo quadri-dimensionale è in realtà precedente
alle Teorie di Stringa: Kaluza e Klein, infatti, già negli anni Venti provarono ad immaginare
cinque dimensioni nel tentativo di unificare Relatività Generale ed Elettromagnetismo. Alla
fine degli anni Ottanta erano noti cinque modelli, tutti ugualmente consistenti, di superstringhe, inequivalenti dal punto di vista perturbativo e questo poneva il grande problema di
quale, tra essi, fosse il più attendibile. Vedremo in seguito come sia stato possibile superare
tale problema.
Altra caratteristica delle Teorie di Superstringa è che queste sono caratterizzate da un
unico parametro esterno, la tensione delle stringhe T , o equivalentemente dalla lunghezza
1
caratteristica di stringa ls2 = πT
. E’ proprio questa grandezza dimensionale a fornire un
naturale cut-off sugli impulsi delle particelle coinvolte in un processo di diffusione, dando
così luogo ad una teoria finita nel regime ultravioletto. Si vuole qui sottolineare che la Teoria
della Stringa non è, di fatto, contrapposta a quella Quantistica dei Campi ma di questa è la
naturale estensione. Infatti, la Teoria di Stringa riproduce l’ordinaria Teoria Quantistica dei
Campi nel limite in cui α′ → 0, ossia nel limite in cui la stringa può essere riguardata come
puntiforme. Questo è analogo a quanto accade nel limite in cui la costante di Planck ~ → 0
che stabilisce il passaggio dalla Meccanica Quantistica alla Meccanica Classica.
In passato si riteneva che la tensione di stringa dovesse essere dell’ordine della scala di
10
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Planck in quanto, se vi è unificazione delle quattro forze, questa si dovrebbe verosimilmente
realizzare a tali energie, ed è laddove vi è unificazione che la struttura di stringa si dovrebbe
manifestare. Negli anni Novanta è tuttavia avvenuta una nuova rivoluzione nella comprensione delle teorie di stringa. Si è scoperto che nelle Teorie di Superstringa sono naturalmente
presenti degli oggetti multidimensionali, estesi in p dimensioni spaziali, le cosiddette p-brane.
Tra queste hanno rilevanza quelle appartenenti ad una determinata categoria, ossia le Dpbrane. Queste sono definite come gli iperpiani su cui sono fissate le estremità delle stringhe
aperte. Avendo specificato che tra le eccitazioni non massive di stringhe aperte ci sono i
bosoni vettori delle teorie di gauge, ne consegue che su una Dp-brana vive una teoria di
gauge U (1). In particolare, su un insieme di N brane sovrapposte e coincidenti (stack) vive
una teoria di gauge non abeliana U (N ). Attraverso la presenza delle Dp-brane è possibile
mostrare che vi sono delle relazioni di dualità tra le cinque Teorie di Superstringa note, cioè
queste vengono riguardate come descrizioni differenti nel regime perturbativo ma, di fatto,
equivalenti della stessa teoria. Inoltre le Dp-brane consentono di mostrare che effettivamente le Teorie di Superstringa nel limite di bassa energia possono descrivere la Fisica ad oggi
conosciuta. Più precisamente è possibile costruire dei modelli basati su configurazioni di
Dp-brane su cui vive il Modello Standard con la gravità che vive, invece, in tutto lo spaziotempo decadimensionale in cui esse sono immerse (bulk). Questa nuova descrizione consente
inoltre di giustificare la grande differenza che vi è tra le interazioni di gauge e l’interazione
gravitazionale.
Tuttavia il fatto che sia necessario compattificare delle dimensioni per ottenere dei modelli realistici nell’ambito delle Teorie di Superstringa introduce un’arbitrarietà rilevante che
andiamo brevemente ad illustrare. Intanto la teoria predice una tipologia di varietà compatte su cui effettuare la compattificazione delle dimensioni extra: queste corrispondono alle
cosiddette varietà di Calabi-Yau selezionate dalla richiesta di preservare, almeno in maniera
minimale, la supersimmetria in tale procedura di compattificazione. L’arbitrarietà risiede nel
fatto che, nel compattificare sei delle dieci dimensioni spazio-temporali, vengono introdotti
naturalmente nella teoria nuovi campi scalari, detti moduli. Ne forniscono un esempio le
componenti del tensore metrico lungo le direzioni compatte. La determinazione del valore di
aspettazione sul vuoto di tali campi è del tutto arbitraria. Dunque uno dei problemi che si
presenta per una completa definizione della teoria è quello di scegliere un unico vuoto tra gli
11
infiniti vuoti possibili della teoria, ciascuno caratterizzato da differenti valori dei moduli. Un
tentativo di eliminare questo problema consiste nel realizzare le cosiddette compattificazioni
con flussi e considerare, ad esempio, brane che vivono lungo direzioni compattificate su cui
sia stato acceso un flusso magnetico. Alternativamente può essere presa in considerazione
una tipologia di brane a queste ultime del tutto equivalenti, ossia quelle delle brane ad angolo
o intersecanti.
Questa è la motivazione che soggiace al presente lavoro di tesi che si inserisce, pertanto,
in questa problematica e si prefigge lo scopo di mostrare come il Modello Standard, con tutte
le sue peculiarità, possa essere ottenuto nell’ambito di modelli realistici di stringa e brana.
Nella prima parte, capitolo 2, si sono riportati gli elementi di base di alcune teorie di
Superstringa, si sono studiate le proprietà delle Dp-brane e di altri oggetti multidimensionali,
quali i piani di orientifold. Per le descrizioni dei modelli realistici riportate in questo lavoro
la comprensione della natura dei piani di orientifold è fondamentale. Inoltre la presenza di
tali piani consente di mostrare che modelli differenti, cioè realizzati con configurazioni di
Dp-brane differenti, sono di fatto equivalenti.
Nella seconda parte, capitolo 3, si sono innanzitutto brevemente illustrati gli ingredienti che consentono di realizzare modelli realistici con configurazioni di Dp-brane. Si sono
poi riportati gli strumenti essenziali per descrivere agevolmente una configurazione di brane
con la realizzazione della più semplice compattificazione su Calabi-Yau possibile, ossia della
compattificazione toroidale, in particolare di quella su un toro T 6 fattorizzato. Si è infatti
considerato che ogni coppia di dimensioni compatte descriva un toro T 2 . Successivamente ci
si è concentrati sulla costruzione di modelli costituiti da configurazioni di D6 brane intersecanti. L’intersezione di tali brane è necessaria affinchè nello spettro si abbia materia chirale
quadridimensionale e, inoltre, il numero di intersezioni viene a coincidere con il numero di
generazioni del Modello Standard. Si è analizzato lo spettro di bassa energia per una generica
configurazione e, in maniera costruttiva, si è mostrato come dedurre quali sono le configurazioni che realizzano uno spettro di bassa energia che riproduca una teoria di gauge chirale
priva di anomalie con gruppo SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) e con almeno un campo scalare capace
di rompere la simmetria elettrodebole. In pratica si sono trovate delle configurazioni che
riproducono esattamente le peculiarità del Modello Standard. Tale riproduzione deve essere
ovviamente riguardata soltanto come una fase preliminare necessaria prima di poter esplorare
12
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
le predizioni ispirate da tali configurazioni circa la fisica al di là del Modello Standard su cui
stringhe e brane hanno forse molto da suggerire.
Capitolo 2
Teoria delle stringhe e D-brane
Scopo di questo capitolo è quello di fornire una descrizione delle caratteristiche fondamentali della Teoria delle Stringhe. Il punto di partenza è la Teoria di Stringa Bosonica che,
sebbene incompleta in quanto descrive soltanto particelle bosoniche, ossia i mediatori delle
interazioni fondamentali, gravitone incluso, rappresenta di fatto un buon punto di partenza
dal momento che contiene molte delle peculiarità generali della stringa. In particolare la
quantizzazione della teoria bosonica fa emergere l’aspetto interessante della determinazione
della dimensionalità dello spazio-tempo come condizione di consistenza della teoria. In altre
parole, la dimensionalità dello spazio-tempo viene determinata imponendo che le simmetrie
classiche della teoria sussistano anche a livello quantistico. Nel caso della stringa bosonica
essa risulta essere d = 26. Per la superstringa, generalizzazione della stringa bosonica com
l’aggiunta di gradi di libertà fermionici, la dimensionalità dello spazio-tempo risulta essere
ridotta a d = 10. Nella superstringa, inoltre, la quantizzazione implica uno spettro supersimmetrico di particelle, identificate con le vibrazioni quantistiche della stringa stessa. Pertanto
la supersimmetria, che nell’ambito del Modello Standard è implementata per migliorare la
convergenza ad un unico valore delle tre costanti d’accoppiamento che caratterizzano le interazioni forti, deboli ed elettromagnetiche, nella teoria di stringa diventa un requisito necessario
alla descrizione sia di bosoni che di fermioni. Verranno poi successivamente illustrate le varie
teorie di superstringa consistenti che possono essere formulate e queste, di fatto, sono tutte legate da trasformazioni di dualità, ossia esse rappresentano, in un regime perturbativo,
aspetti differenti di una stessa teoria. È questo il contenuto della cosiddetta Seconda Rivo13
14
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
luzione della Superstringa a cui si è pervenuti grazie alla scoperta dell’esistenza, all’interno
della teoria delle stringhe, di oggetti estesi p-dimensionali, le cosiddette Dp-brane. Di questi oggetti verranno dunque, nel corso del capitolo, esposte le proprietà fondamentali tra le
quali, soprattutto, quella di avere una teoria di gauge definita sul proprio world-volume. In
particolare sul world-volume relativo ad un sistema di N Dp-brane sovrapposte viene definita
una teoria di gauge non abeliana U (N ). L’attenzione sarà poi rivolta alle brane intersecanti
essendo queste candidate a poter descrivere la materia chirale del Modello Standard. Altro
aspetto che verrà discusso sono le modifiche di teorie di stringa e brana in presenza di orbifold,
ossia in presenza di singolarità dello spazio-tempo rappresentate, formalmente, come punti
fissi rispetto ad opportune trasformazioni. Il Modello Standard sarà appunto deducibile da
stringhe e brane immerse in un tale spazio.
2.1
Teoria di stringa bosonica
Sebbene la teoria di stringa bosonica non sia di per sé una teoria realistica, essa rappresenta
il naturale punto di partenza per lo studio della teoria delle superstringhe dal momento che
ne contiene tutti gli aspetti peculiari in maniera più semplificata.
Tale teoria si propone di fornire una descrizione quantistica e relativistica della dinamica
di un oggetto esteso in una dimensione spaziale, ossia di una stringa, le cui eccitazioni vengono
riguardate come particelle bosoniche.
Punto di partenza è la scrittura di un’azione relativistica per una stringa libera. Così
come nel caso della particella relativistica l’azione risulta proporzionale alla lunghezza della
linea di universo che la particella descrive nel suo moto nello spazio-tempo in cui è immersa,
analogamente nel caso di una stringa l’azione risulta proporzionale all’area della superficie
di universo che essa descrive nel suo moto nello spazio-tempo d-dimensionale, il cosiddetto
target space. Considerando quest’ultimo come spazio piatto, tale azione risulta:
ˆ
S = −T
√
dσdτ
ˆ
−det (ηµν ∂α X µ ∂β X ν )
= −T
√
dσdτ (ẊX ′ )2 − Ẋ 2 X ′ 2
(2.1.1)
2.1. TEORIA DI STRINGA BOSONICA
15
dove σ e τ parametrizzano la superficie di universo della stringa, essendo il primo un parametro di tipo “spaziale”, il secondo di tipo “temporale”. Di solito si usano scegliere gli intervalli di
definizione di questi parametri come segue: 0 ≤ σ ≤ π e −∞ ≤ τ ≤ ∞. In particolare, τ può
essere scelto come il tempo proprio. Nell’Eq. (2.1.1), per comodità di notazione, si sono posti
′
Ẋ = ∂τ X, X = ∂σ X e ηµν X µ X ν = X 2 . T denota la tensione della stringa, cioè la massa per
unità di lunghezza. Questa può essere espressa in termini dell’unica costante dimensionale
√
della teoria, ossia la lunghezza caratteristica della stringa ls = 2α′ dalla relazione
T =
1
1
=
2
πls
2πα′
(2.1.2)
dove α′ , avente le dimensioni del quadrato di una lunghezza, denota la cosiddetta slope di
Regge. L’azione (2.1.1) è nota come azione di Nambu-Goto e sebbene sia di facile interpretazione fisica non risulta particolarmente maneggevole per la presenza della radice quadrata,
soprattutto quando si voglia usarla nello schema di quantizzazione à la Feynman basato sul
path integral. Risulta pertanto più conveniente adottare la seguente azione:
T
S=−
2
ˆ
√
dσdτ −hhαβ ηµν ∂α X µ ∂β X ν
(2.1.3)
dove hαβ è un campo ausiliare ed è da intendersi come metrica, arbitraria, definita sulla superficie di universo; con h si indica il suo determinante che ha un segno, qui negativo, dipendente
dalla particolare segnatura di metrica che si adotta (in questo caso (−+)). Minimizzando
tale azione rispetto ad hαβ si ha:
(
)
δS
T√
1
µ
γδ
µ
= 0 =⇒ −
−h ∂α X ∂β Xµ − hαβ h ∂γ X ∂δ Xµ = 0.
δhαβ
2
2
(2.1.4)
Per quanto segue è utile definire il tensore energia-impulso del world-sheet:
2
δS
1
= ∂α X µ ∂β Xµ − hαβ hγδ ∂γ X µ ∂δ Xµ
Tαβ = − √
2
T −h δhαβ
(2.1.5)
16
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
che deve essere ovviamente nullo per la (2.1.4). Si osservi ora che Tαβ = 0 implica:
√
1√
−det (∂α X µ ∂β Xµ ) =
−hhαβ hγδ ∂γ X µ ∂δ Xµ
2
(2.1.6)
provando così l’equivalenza della (2.1.3) con l’azione di Nambu-Goto. Entrambe le azioni
sono evidentemente invarianti per riparametrizzazioni locali, ossia sono invarianti per una
ridefinizione di σ e τ :
(σ, τ ) → (σ ′ (σ, τ ), τ ′ (σ, τ )).
(2.1.7)
Inoltre l’azione (2.1.3) esibisce un’altra invarianza rispetto alle cosiddette trasformazioni
locali di Weyl corrispondenti a trasformazioni locali di scala della metrica di world-sheet
hαβ :
hαβ −→ h′αβ = eϕ(σ,τ ) hαβ .
(2.1.8)
Si hanno pertanto sufficienti gradi di libertà per fissare arbitrariamente le tre componenti
indipendenti di tale metrica. La scelta hαβ = ηαβ è comunemente detta gauge conforme. Con
tale scelta l’azione (2.1.3) si riduce a:
T
S=−
2
ˆ
( ′
)
d2 σ X 2 − Ẋ 2
(2.1.9)
ed è immediato determinare le equazioni del moto per le coordinate di stringa:
(
)
∂σ2 − ∂τ2 X µ = 0
(2.1.10)
∂σ Xµ δX µ |σ=π − ∂σ Xµ δX µ |σ=0 = 0 .
(2.1.11)
con le condizioni al contorno:
Tali condizioni sono soddisfatte se i campi realizzano una delle seguenti relazioni:
i) X µ (σ, τ ) = X µ (σ + π, τ ) che rappresentano una condizione di periodicità in σ per
ogni µ, il che corrisponde a considerare stringhe con le due estremità coincidenti, ossia
stringhe chiuse.
ii) ∂σ X µ |σ=0 = ∂σ X µ |σ=π = 0 corrispondenti a condizioni di Neumann, descrivono strin-
2.1. TEORIA DI STRINGA BOSONICA
17
ghe aperte e, se soddisfatte per ogni µ, conservano la simmetria di Poincaré d-dimensionale
della teoria.
iii) X µ |σ=0 = x̃µ0 ; X µ |σ=π = x̃µπ corrispondenti a condizioni di Dirichlet. In questo caso
si considerano ancora stringhe aperte ma con le due estremità vincolate rispettivamente nei
punti dello spazio-tempo individuati da x̃µ0 e x̃µπ . L’interpretazione moderna è che x̃µ0 e x̃µπ
rappresentino le posizioni di oggetti estesi p-dimensionali, dette Dp-brane su cui le estremità
di stringa aperta terminano. Di questi oggetti si discuterà più diffusamente nel seguito di
questo lavoro di tesi.
Inoltre, fissata la metrica, bisogna imporre Tαβ = 0 come condizione di vincolo che
esplicitamente nella gauge conforme diventa:
′
T01 = T10 = Ẋ · X ′ = 0 ; T00 = T11 = (Ẋ 2 + X 2 ) = 0 .
(2.1.12)
Nello sviluppo della teoria risulta particolarmente conveniente esprimere i campi di immersione X µ nello spazio-tempo in funzione delle coordinate di cono-luce di world-sheet,
i.e.:
σ+ = τ + σ ; σ− = τ − σ .
(2.1.13)
In tali coordinate le equazioni del moto (2.1.10) si scrivono come segue:
∂+ ∂− X µ = 0
(2.1.14)
con ∂± = ∂σ± = 12 (∂τ ± ∂σ ). Pertanto la soluzione può essere posta nella forma:
X µ (σ + , σ − ) = XLµ (τ + σ) + XRµ (τ − σ) .
(2.1.15)
In particolare per i campi di stringa chiusa, cioè per i campi che soddisfano le condizioni i),
XRµ e XLµ risultano essere:
1
i √ ′ ∑ 1 µ −2in(τ −σ)
XRµ = q µ + α′ pµ (τ − σ) +
2α
αn e
2
2
n
n̸=0
(2.1.16)
18
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
i √ ′ ∑ 1 µ −2in(τ +σ)
1
XLµ = q µ + α′ pµ (τ + σ) +
2α
α̃n e
2
2
n
n̸=0
dove q µ e pµ identificano rispettivamente la posizione e il momento del centro di massa della
stringa, quest’ultimo coincidente con il momento totale della stringa. Si noti che i coefficienti
di espansione per la parte right αnµ e per la parte left α̃nµ sono differenti. Inoltre affinchè i
µ
µ
campi siano√a valori reali deve risultare α−n
= (αnµ )∗ e α̃−n
= (α̃nµ )∗ . Si è soliti, inoltre, porre
α0µ = α̃0µ =
α′ µ
p .
2
Per la stringa aperta con condizioni di Neumann lungo una data direzione xµ si hanno
invece le seguenti espansioni:
1
i√ ′∑ 1 µ
XRµ = q µ + α′ pµ (τ − σ) +
2α
αn cos(nσ)
2
2
n
n̸=0
(2.1.17)
i√ ′∑ 1 µ
1
2α
α cos(nσ) .
XLµ = q µ + α′ pµ (τ + σ) +
2
2
n n
n̸=0
In questo caso le condizioni al contorno fanno sì che i coefficienti di espansione siano
√
uguali per i campi left e right. Inoltre, per convenzione, si definisce α0µ = 2α′ pµ .
L’ Hamiltoniana relativa all’azione (2.1.9) è facilmente determinata secondo la consueta
definizione:
)
ˆ π(
δS
− L dσ
(2.1.18)
H=
Ẋµ
δ Ẋµ
0
ottenendo
1
H=
4πα′
ˆ
π
(
Ẋ 2 + X
′2
)
dσ
(2.1.19)
0
ed inserendovi le espressioni dei campi di stringa chiusa (2.1.16) si ha:
H=
+∞
∑
(α−n · αn + α̃−n · α̃n ) .
(2.1.20)
n=−∞
Analogamente, utilizzando le espressioni dei campi (2.1.17), l’Hamiltoniana canonica di
stringa aperta risulta essere:
+∞
1 ∑
H=
α−n · αn .
(2.1.21)
2 n=−∞
2.1. TEORIA DI STRINGA BOSONICA
19
D’altra parte, l’Hamiltoniana risulta identicamente nulla, come si può dimostrare partendo
dall’azione di Nambu-Goto (2.1.1) usando la definizione (2.1.18). Ciò caratterizza, di fatto,
teorie che abbiano un’invarianza per riparametrizzazioni temporali locali. Come si vedrà tra
breve, l’Hamiltoniana coincide con un coefficiente di sviluppo delle componenti del tensore
energia-impulso di world-sheet, pertanto il suo annullamento sarà anche contenuto nel vincolo
Tαβ = 0 come l’Eq. (2.1.12) mostra quando confrontata con l’Eq. (2.1.19). I vincoli imposti
dall’annullamento delle componenti del tensore energia-impulso governano la dinamica della
stringa stessa, insieme con le equazioni del moto delle
√coordinate di stringa. Ricordando ora
′
µ
µ
che, ad esempio per la stringa chiusa, α0 = α̃0 = α2 pµ , e considerando la condizione di
mass-shell relativistica, M 2 = −p2 , si osserva che H = 0 si traduce sostanzialmente nella
formula di massa per la stringa:
′
2
αM =2
+∞
∑
(α−n · αn + α̃−n · α̃n ) .
(2.1.22)
n=1
Analogamente per la stringa aperta si ottiene:
α′ M 2 =
+∞
∑
α−n · αn .
(2.1.23)
n=1
Fino ad ora si sono mostrati gli ingredienti fondamentali per la descrizione classica della
dinamica relativistica di una stringa libera. Tuttavia è da evidenziare che, dopo la particolare
scelta di gauge conforme effettuata, in cui la metrica del world-sheet è stata posta uguale
alla metrica piatta Lorentziana, l’azione esibisce ancora un’invarianza residua: essa infatti
risulta ancora invariante per alcune trasformazioni di riparametrizzazione di coordinate della
superficie di universo, le trasformazioni conformi. Queste sono caratterizzate da parametri
infinitesimi che soddisfano le condizioni:
∂α ξβ + ∂β ξα − ∂γ ξ γ ηαβ = 0 .
(2.1.24)
Risulta inoltre che in due dimensioni il gruppo di tali trasformazioni è di dimensione infinita.
In particolare, in teoria di stringa i generatori delle trasformazioni conformi coincidono con
20
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
i modi normali del tensore energia-impulso di world-sheet Tαβ . Infatti, in coordinate di
cono-luce (2.1.13), l’eq. (2.1.24) è risolta da parametri infinitesimi esprimibili nella forma:
ξ − = ξ − (σ − )
ξ + = ξ + (σ + ) ;
(2.1.25)
ed i generatori delle corrispondenti trasformazioni sono:
V + = ξ + (σ + )∂+
V − = ξ − (σ − )∂− .
;
(2.1.26)
Una base completa per tali trasformazioni è costituita da quelle trasformazioni caratterizzate
dai parametri :
{
e−2inσ
ξn+ (σ + ) =
2
+
}n=+∞
{
e−2inσ
ξn− (σ − ) =
2
;
n=−∞
−
}n=+∞
(2.1.27)
n=−∞
ed è immediato provare che i corrispondenti generatori verificano le relazioni di commutazione:
[
]
±
±
±
e−2imσ
e−2inσ
e−2i(m+n)σ
∂± ,
∂± = i(m − n)
.
2
2
2
(2.1.28)
L’algebra definita tramite la (2.1.28) è detta algebra di Virasoro.
In gauge conforme, e sempre in coordinate di cono-luce, le uniche componenti non nulle
di Tαβ risultano essere1 :
T−− = ∂− X µ ∂− Xµ
;
T++ = ∂+ X µ ∂+ Xµ .
(2.1.29)
Inserendo le espansioni in modi normali dei campi di immersione, ad esempio inserendo le
espressioni (2.1.16) di stringa chiusa, si ha:
T−− = 4α
′
+∞
∑
n=−∞
1
Ln e
−2in(τ −σ)
;
T++ = 4α
′
+∞
∑
L̃n e−2in(τ +σ)
(2.1.30)
n=−∞
Per calcolare le componenti di Tαβ con tali scelte
si tenga
presente la (2.1.5) e che in coordinate di
(
)
0
1
cono-luce la metrica di Minkowski si scrive η = − 12
.
1 0
2.1. TEORIA DI STRINGA BOSONICA
con
+∞
1 ∑
Ln =
αn−m · αm
2 m=−∞
21
;
+∞
1 ∑
L̃n =
α̃n−m · α̃m .
2 m=−∞
(2.1.31)
Inoltre con un pò di algebra è possibile dimostrare che le parentesi di Poisson dei campi di
immersione e i relativi modi di espansione verificano:





µ
ν

ν


[αnµ , αm
]P.B. = inη µν δn,−m


′
[Ẋ (σ, τ ), Ẋ (σ , τ )]P.B. = 0
[X µ (σ, τ ), X ν (σ ′ , τ )]P.B. = 0



′ µν
′
 [Ẋ µ (σ, τ ), X ν (σ ′ , τ )]
P.B. = 2πα η δ(σ − σ )
=⇒




[α̃nµ , α˜m ν ]P.B. = inη µν δn,−m
ν
[αnµ , α̃m
]P.B. = 0
(2.1.32)
Con tali risultati è possibile ottenere le parentesi di Poisson dei coefficienti (2.1.31):
[Lm , Ln ]P.B. = i(m − n)Lm+n
;
[L̃m , L̃n ]P.B. = i(m − n)L̃m+n .
(2.1.33)
n=+∞
n=+∞
Pertanto gli insiemi (Ln )n=−∞
e (L̃n )n=−∞
definiscono due copie dell’algebra di Virasoro e
sono identificati come i generatori delle trasformazioni conformi.
Quando si quantizzi la teoria, la simmetria conforme è conservata solo in alcuni casi
particolari. Ad esempio vi è ancora invarianza solo se la dimensione dello spazio-tempo,
nell’ambito della stringa bosonica, è d = 26. E’ a questo punto legittimo domandarsi se
la mancanza di tale simmetria nella teoria quantistica comporti qualche inconsistenza. La
risposta è affermativa. In particolare risulta che nelle condizioni in cui vi sia anomalia
conforme la teoria prevede l’esistenza di stati fisici a norma negativa.
Le tecniche di quantizzazione fino ad oggi sviluppate sono varie e ognuna esibisce una
sua peculiare proprietà; la più moderna consiste nella quantizzazione covariante tramite il
path-integral. Tuttavia, per brevità, si mostrano ora gli aspetti generali della quantizzazione
in gauge di cono-luce.
Innanzitutto si riguardino i modi di oscillazione αnµ e α̃nµ delle espansioni dei campi come
operatori di creazione e distruzione sugli stati di stringa, cioè si sostituiscano le rispettive
parentesi di Poisson con commutatori:
ν
ν
] .
]P.B. −→ i[αnµ , αm
[αnµ , αm
(2.1.34)
22
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Le regole di commutazione sono subito dedotte dalle relazioni in (2.1.32). Naturalmente la
µ
µ
αµ
n
condizione α−n
= (αnµ )∗ ora si scrive α−n
= (αnµ )† e, con n > 0, √
è l’operatore di distruzione
n
e
αµ
√−n
n
di creazione. Si noti inoltre che:
[αn0 , αn0† ] = −n =⇒
1
⟨0|αn0 αn0† |0⟩ = −1
n
(2.1.35)
segnalando la possibilità della presenza di stati a norma negativa.
Nello schema di quantizzazione di gauge di cono-luce tali stati vengono espressamente
eliminati dalla teoria dal momento che sono quantizzati soltanto i gradi di libertà fisici,
ossia quelli trasversi, a discapito dell’invarianza di Lorentz che viene rotta. Successivamente
si ricercano pertanto le condizioni affinchè l’invarianza di Lorentz sia ripristinata e queste
impongono di nuovo la dimensionalità d = 26.
Si considerino le coordinate di cono-luce dello spazio tempo a d dimensioni:
)
1 (
x± = √ x0 ± xd−1 .
2
(2.1.36)
Si noti inoltre che in termini delle variabili σ + e σ − , l’invarianza residua per trasformazioni
conformi si traduce nell’invarianza per riparametrizzazioni arbitrarie del tipo:
σ + → ξ + (σ + ) ; σ − → ξ − (σ − ) .
(2.1.37)
Per stringhe chiuse σ + e σ − sono riparametrizzate indipendentemente, mentre per stringhe
aperte sono legate dalle condizioni al contorno. Inoltre queste riparametrizzazioni trasformano τ = 12 (σ + + σ − ) e σ = 12 (σ + − σ − ) in:
τ̃ =
]
1[ + +
ξ (σ ) + ξ − (σ − )
2
;
σ̃ =
]
1[ + +
ξ (σ ) − ξ − (σ − )
2
(2.1.38)
e pertanto τ̃ è soluzione dell’equazione d’onda come lo sono i campi di immersione. È dunque
lecito porre:
X + (σ̃, τ̃ ) = q + + 2α′ p+ τ̃
(2.1.39)
cioè, per ogni n, αn+ = α̃n+ = 0. Al contempo i vincoli T++ = 0 e T−− = 0 in coordinate di
2.1. TEORIA DI STRINGA BOSONICA
23
cono luce si scrivono:
′
Ẋ − + X − =
)
′ 2
1 ( i
i
Ẋ
+
X
2p+
′
Ẋ − − X − =
)
′ 2
1 ( i
i
Ẋ
−
X
2p+
(2.1.40)
con i = 1, ..., d − 2. Utilizzando queste relazioni è possibile esprimere αn− e α̃n− rispettivamente
in funzione degli operatori αni e α̃ni . Si hanno pertanto solo d−2 coppie di insiemi di operatori
linearmente indipendenti, esplicitamente solo quelli relativi ad oscillazioni trasverse.
L’ Hamiltoniana è dunque correttamente espressa in funzione solo degli operatori indipendenti. Ad esempio, per stringa aperta si può scrivere:
H=
+∞
+∞
∑
1
1 ∑
i
i
αni + α02 − a .
α−n
: α−n
αni : −a =
2 n=−∞
2
n=1
(2.1.41)
Qui, come è consuetudine in teorie quantistiche, si è introdotto l’ordinamento normale secondo il quale gli operatori di distruzione vengono posti alla destra degli operatori di creazione,
il che implica la presenza della costante di ordinamento −a, al momento indeterminata.
L’ identità classica H = 0 diventa ora una condizione operatoriale da imporre sugli stati
fisici della teoria, e ciò permette di ricavare la condizione di mass-shell:
α′ M 2 =
+∞
∑
i
α−n
αni − a .
(2.1.42)
n=1
Si osservi che il primo livello eccitato è d − 2 volte degenere, più precisamente è determina{ i
}d−2
to dall’insieme di stati α−1
|0, p⟩ i=1 che costituiscono una rappresentazione vettoriale di
SO(d − 2). Pertanto, affinché la teoria sia Lorentz invariante, è necessario che tali stati siano
a massa nulla. Ciò immediatamente impone a = 1. Questa condizione può essere imposta
solo se d = 26. Infatti, per definizione, deve valere:
+∞
+∞
1 ∑
1 ∑ i i
i
i
: α α : −a =
α α
2 n=−∞ −n n
2 n=−∞ −n n
ovvero:
+∞
∑
n=1
i
α−n
αni
−a=
+∞
∑
n=1
1∑ i i
+
[α , α ]
2 n=1 n −n
(2.1.43)
+∞
i
α−n
αni
(2.1.44)
24
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
i
e ricordando che [αni , α−n
] = n, in definitiva si ha:
d−2∑
n .
2 n=1
+∞
a=−
(2.1.45)
∑
Con a = 1 tale relazione è soddisfatta solo se la serie +∞
n è riguardata come continuazione
∑+∞ n=1
∑
1
−s
analitica della funzione zeta di Riemann ζ(s) = n=1 n con s = −1, cioè se +∞
n=1 n = − 12 ,
e se d = 26. La teoria di stringa bosonica è pertanto definita in 26 dimensioni spaziotemporali.
Nella teoria quantistica si definiscono i generatori dell’algebra di Virasoro con il prodotto
ordinato normale degli operatori di creazione e distruzione:
Ln =
+∞
1 ∑
: αn−m · αm :
2 m=−∞
;
L̃n =
+∞
1 ∑
: α̃n−m · α̃m :
2 m=−∞
(2.1.46)
Si noti che solo per L0 e L̃0 l’ordinamento normale risulta essere rilevante.
Come detto, nella teoria quantistica vi può essere anomalia conforme e l’algebra di Virasoro può acquisire un’anomalia, altrimenti detta estensione centrale. Infatti utilizzando le
regole di commutazione per gli operatori di creazione e distruzione è possibile mostrare che:
[Lm , Ln ] = (m − n) Lm+n +
d
m(m2 − 1)δm,−n .
12
(2.1.47)
Ovviamente identica relazione sussiste nel caso di stringa chiusa per gli operatori relativi alle
oscillazioni lef t.
Anche con d = 26 la carica centrale non è nulla e sembrerebbe pertanto inevitabile nella
teoria quantistica un’anomalia conforme. Tuttavia quantizzando tramite il path-integral,
analogamente a quanto avviene in teorie quantistiche di campo, emergono naturalmente
nella teoria i gradi di libertà di ghost, i cui contributi al tensore energia-impulso determinano
un’algebra di Virasoro senza estensione centrale esattamente per d = 26 ed a = 1.
L’analogo quantistico del vincolo classico di tensore energia-impulso nullo può essere implementato imponendo che, per ogni n > 0, Ln ed L̃n annichilino ogni stato fisico della
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
25
teoria:
Ln |ψfis ⟩ = L̃n |ψfis ⟩ = 0 n > 0
(2.1.48)
e che lo stesso valga per L0 − 1 ed L̃0 − 1:
(
)
(L0 − 1) |ψfis ⟩ = L̃0 − 1 |ψfis ⟩ = 0 .
(2.1.49)
Nel caso di stringa aperta, naturalmente, per ogni n Ln ed L̃n coincidono.
Per concludere, riguardando la formula di massa (2.1.42) con a = 1, si osservi che lo stato
fondamentale di stringa aperta è un tachione, cioè uno stato a massa negativa, e dunque
non fisico. Lo stesso avviene per le stringhe chiuse. Tuttavia, come si vedrà nel prossimo paragrafo, le teorie di superstringa non presentano questo aspetto problematico essendo
caratterizzate dall’eliminazione infatti del tachione e da uno stato fondamentale a massa
nulla.
2.2
Teorie di superstringa
Le teorie di superstringa si propongono di fornire una descrizione quantistica in cui siano
rappresentati sia bosoni che fermioni spazio-temporali. Esse sono supersimmetriche per costruzione. Sono note cinque teorie di superstringa consistenti, denominate Type I, Type
IIA, Type IIB, Eterotica SO(32) ed Eterotica E8 ⊗ E8 . Pur presentando differenze al livello
perturbativo, tali teorie sono in realtà tutte legate tra loro da relazioni di dualità e dunque
risultano essere equivalenti.
Si vogliono ora mostrare gli ingredienti fondamentali per la costruzione delle Type I, Type
IIA e IIB. La struttura di base è comune alle tre teorie ed è stata sviluppata in due formalismi
differenti, noti come formalismo di Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) e formalismo di GreenSchwarz (GS). Tali approcci sono profondamente differenti in quanto, mentre nel primo si
ottiene la supersimmetria nello spazio-tempo partendo da una supersimmetria di world-sheet,
nel secondo si implementa direttamente la supersimmetria spazio-temporale. Qui di seguito
si mostrerà la costruzione nel formalismo di RNS in quanto sarà il più utilizzato nel prosieguo
del lavoro.
26
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Si cominci con l’arricchire la stringa bosonica considerando che essa possa avere dei gradi
di libertà interni. Più precisamente, si considerino tali gradi di libertà rappresentati da D
campi che forniscano una rappresentazione vettoriale dell’algebra di Lorentz nello spaziotempo ed al contempo siano spinori reali di world-sheet. L’azione di stringa bosonica in
gauge conforme è pertanto facilmente estesa aggiungendo l’azione di Dirac per tali fermioni
bidimensionali:
1
S=−
4πα′
ˆ
(
)
d2 σ ∂α Xµ ∂ α X µ − iψ̄ µ ρα ∂α ψµ .
(2.2.1)
{
}
Ovviamente le matrici ρα definiscono l’algebra di Dirac in due dimensioni ρα , ρβ = 2η αβ
ed i campi ψ µ sono variabili
i.e. {ψ µ , ψ ν } = 0, costituiti da due componenti
( Grassmanniane,
)
µ
ψ−
di chiralità definita, ψ µ =
. Si è soliti scegliere la seguente base di matrici ρ:
µ
ψ+
(
ρ0 =
0 −i
i 0
)
(
ρ0 =
0 i
i 0
)
.
(2.2.2)
Per chiarezza è bene scrivere esplicitamente la parte fermionica della (2.2.1) in coordinate di
cono luce di world-sheet:
ˆ
1
µ
µ
∂− ψµ+ ) .
(2.2.3)
∂+ ψµ− + ψ+
d2 σ (ψ−
Sf =
2π
In tale forma le equazioni del moto per i fermioni sono immediatamente ottenute: ∂+ ψµ− = 0,
∂− ψµ+ = 0, avendo il significato di condizioni di Weyl per le componenti di chiralità definita.
Le condizioni al contorno risultano invece essere:
µ
µ
µ
µ
δψµ− )σ=0 = 0 .
δψµ+ − ψ−
(ψ+
δψµ+ − ψ−
δψµ− )σ=π − (ψ+
(2.2.4)
Al contempo, le equazioni del moto e le condizioni al contorno per i campi di immersione X µ
sono ovviamente le stesse mostrate nel paragrafo precedente.
Nel caso di stringa aperta i due termini in (2.2.4) devono annullarsi separatamente, e
µ
µ
µ
µ
ciò avviene se ψ+
|σ=π = ±ψ−
|σ=π e contemporaneamente ψ+
|σ=0 = ±ψ−
|σ=0 . Posto allora
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
27
µ
u
ψ+
|σ=0 = ψ−
|σ=0 si hanno due possibilità inequivalenti di soddisfare la (2.2.4):
µ
µ
i) ψ+
|σ=π = ψ−
|σ=π note come condizioni di Ramond (R);
µ
µ
ii) ψ+
|σ=π = −ψ−
|σ=π note come condizione di Neveu-Schwarz (NS).
Le opportune espansioni in modi normali nei rispettivi casi risultano essere:
µ
i) ψ+
=
∑
ψnµ e−in(τ +σ)
;
µ
ψ−
=
µ
ii) ψ+
=
r∈Z+ 12
ψnµ e−in(τ −σ)
(2.2.5)
n∈Z
n∈Z
∑
∑
µ
ψrµ e−in(τ +σ) ; ψ−
=
∑
ψrµ e−in(τ −σ) .
r∈Z+ 12
È importante notare che con le condizioni di NS non si hanno modi zero, ossia modi normali
con pedice nullo.
µ
µ
(σ + π). Le
(σ) = ±ψ±
Per la stringa chiusa le condizioni (2.2.4) sono soddisfatte se ψ±
due scelte corrispondono a condizioni periodiche o antiperiodiche. Nel caso di condizioni
periodiche le espansioni in serie dei campi sono identiche al caso i), i campi vengono pertanto
identificati come campi di Ramond; al contrario nel caso di condizioni antiperiodiche si hanno
campi di Neveu-Schwarz. Tuttavia per la stringa chiusa i modi per i campi left e right sono
in generale differenti. In definitiva i gradi di libertà fermionici della stringa chiusa possono
presentarsi in quattro combinazioni differenti, i.e.:
R-R
R-NS
NS-R
NS-NS
∑
∑
µ
µ
= n ψ̃nµ e−2in(τ +σ) ψ−
= n ψnµ e−2in(τ −σ)
ψ+
∑
∑
µ
µ
= n ψ̃nµ e−2in(τ +σ) ψ−
= r ψrµ e−2in(τ −σ)
ψ+
∑
∑
µ
µ
= r ψ̃rµ e−2in(τ +σ) ψ−
= n ψnµ e−2in(τ −σ)
ψ+
∑
∑
µ
µ
= r ψ̃nµ e−2in(τ +σ) ψ−
= r ψrµ e−2in(τ −σ)
ψ+
L’azione (2.2.1) è invariante per trasformazioni globali di supersimmetria definite da:
δX µ = ε̄ψ µ ; δψ µ = ρα ∂α X µ ε
(2.2.6)
dove ε è uno spinore reale costante. Infatti non è difficile provare che la densità lagrangiana varia di una derivata totale rispetto a tali trasformazioni. La corrente di Nöther corrispondente
28
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
a tale invarianza è la supercorrente:
1
Jα = ρβ ρα ψ µ ∂β Xµ .
2
(2.2.7)
Il tensore energia-impulso della superficie di universo, nelle coordinate di cono-luce, ha
due componenti non nulle:
i
T++ = ∂+ X · ∂+ X + ψ+ · ∂+ ψ+
2
;
i
T−− = ∂− X · ∂− X + ψ− · ∂− ψ−
2
(2.2.8)
mentre la supercorrente definita nell’ eq. (2.2.7) si riduce a:
J− = ψ− · ∂− X ; J+ = ψ+ · ∂+ X .
(2.2.9)
Le componenti di Fourier di T−− e T++ sono rispettivamente:
1∑
α−m · αn+m +
2 m∈Z
1∑
=
α̃−m · α̃n+m +
2 m∈Z
Ln =
L̃n
)
1 ∑ (n
+ t ψ−t · ψt+n
2 t
2
)
1 ∑ (n
+ t ψ̃−t · ψ̃t+n
2 t
2
(2.2.10)
per la stringa chiusa e
)
1∑
1 ∑ (n
Ln =
α−m · αn+m +
+ t ψ−t · ψt+n
2 m∈Z
2 t
2
(2.2.11)
per la stringa aperta. L’indice t si riferisce sia al settore di NS dove t ∈ Z + 12 sia al settore
di R dove invece t ∈ Z. Le componenti di Fourier della supercorrente, di solito denotate con
Gt e con G̃t , sono date dalle seguenti espressioni in termini degli oscillatori:
Gt =
∞
∑
n=−∞
α−n · ψt+n ; G̃t =
∞
∑
α̃−n · ψ̃t+n
(2.2.12)
n=−∞
nel caso di stringa chiusa, mentre nel caso di stringa aperta c’è soltanto un insieme di
oscillatori.
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
29
La superstringa può essere quantizzata imponendo le relazioni canoniche di commutazione
per le coordinate bosoniche già introdotte e le regole di anticommutazione a tempi uguali per
i gradi di libertà fermionici:
{ψAµ (σ, τ ), ψBν (σ ′ , τ )} = 2πα′ δ(σ − σ ′ )η µν δAB .
(2.2.13)
In termini degli oscillatori, insieme con i commutatori dei modi bosonici, nel caso di stringa
aperta si ha:
{ψtµ , ψsν } = η µν δs+t,0 .
(2.2.14)
Nel settore di R per t = s = 0 quest’ultima equazione diventa {ψ0µ , ψ0ν } = η µν . Pertanto, con
√
ψ0µ = Γµ / 2 è riprodotta l’algebra di Clifford {Γµ , Γν } = 2η µν . Conseguentemente gli stati
su cui questi operatori agiscono forniscono una rappresentazione dell’algebra di Clifford in d
dimensioni, così essi sono spinori dello spazio-tempo d-dimensionale. In particolare, lo stato
fondamentale |A⟩ del settore di R, che è annichilato da tutti gli operatori di distruzione, cioè
αn |A⟩ = ψn |A⟩ = 0 per n > 0, fornisce una rappresentazione dell’algebra di Clifford.
Nel caso di stringa chiusa, oltre alle relazioni di anticommutazione (2.2.14), vanno considerate le ulteriori relazioni:
{
}
{
}
µ
µ
ν
ν
ψt , ψ̃s = 0 ;
ψ̃t , ψ̃s = η µν δs+t,0 .
(2.2.15)
Anche nel caso supersimmetrico i generatori quantistici di Virasoro sono definiti con un prodotto ordinato normale degli oscillatori e di nuovo l’ordinamento normale riguarda soltanto
gli operatori L0 e L̃0 che diventano:
L0
∞
∑
α′ 2 ∑
α−n · αn +
tψt · ψt
=
p +
4
n=1
t>0
L̃0
∞
∑
α′ 2 ∑
α̃−n · α̃n +
=
p +
tψ̃t · ψ̃t
4
n=1
t>0
(2.2.16)
nel caso di stringa chiusa. Nel caso di stringa aperta l’ordinamento normale coinvolge invece
30
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
soltanto l’operatore L0 :
′ 2
L0 = α p +
∞
∑
n=1
α−n · αn +
∑
tψt · ψt .
(2.2.17)
t>0
Le relazioni di commutazione e di anticommutazione per gli operatori Ln e Gt danno luogo
all’algebra di super-Virasoro con estensione centrale:
d
[Lm , Ln ] = (m − n)Lm+n + m(m2 − 1)δm+n,0
8
(
)
1
[Lm , Gt ] =
m − t Gt+m
2
(
)
d 2 1
t −
δt+s,0
{Gt , Gs } = 2Lt+s +
2
4
(2.2.18)
nel settore di NS dove t, s ∈ Z + 1/2 e
d
[Lm , Ln ] = (m − n)Lm+n + m3 δm+n,0
8
(
)
1
[Lm , Gt ] =
m − t Gt+m
2
d
{Gt , Gs } = 2Lt+s + s2 δt+s,0
2
(2.2.19)
nel settore di R dove t, s ∈ Z. Inoltre d è la dimensione dello spazio-tempo. Nel caso di
stringa chiusa si ha anche l’algebra di super-Virasoro per gli operatori left L̃m e G̃t . Si noti
anche che i termini di anomalia nei due settori sono diversi. Ma l’algebra nel settore di R
puó essere posta nella stessa forma di quella che assume nel settore di NS mediante una
ridefinizione di L0 → L0 + d/16.
Anche nel caso della superstringa lo spettro contiene stati non fisici con norma negativa.
Le condizioni che selezionano gli stati fisici sono:
Lm |ψfis ⟩ = L̃m |ψfis ⟩ = 0 m > 0
(L0 − a)|ψfis ⟩ = (L̃0 − a)|ψfis ⟩ = 0
Gt |ψfis ⟩ = G̃t |ψfis ⟩ = 0 , t > 0
(2.2.20)
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
31
dove
1
2
a=0
a=
nel settore di NS
nel settore di R.
(2.2.21)
Inoltre anche per la superstringa c’è un vincolo sul numero delle dimensioni spazio-temporali
che assicura l’assenza di stati fisici a norma negativa e impone d ≤ 10. Usando una quantizzazione del tipo cono-luce come quella già illustrata nel caso della stringa bosonica si
può dimostrare che la condizione di consistenza della teoria fissa la dimensionalità dello
spazio-tempo a d = 10.
Le condizioni imposte dagli operatori L0 e L̃0 forniscono lo spettro di massa:
4
M = ′
α
2
(∞
∑
α−n · αn +
n=1
∞
∑
α̃−n · α̃n +
n=1
∑
tψ−t · ψt +
∑
t
)
tψ̃−t · ψ̃t − 2a
(2.2.22)
t
insieme con la condizione di level matching L0 − L̃0 = 0 nel caso di stringa chiusa, mentre
nel caso di stringa aperta si ha:
1
M2 = ′
α
(
∞
∑
α−n · αn +
∑
n=1
)
tψ−t · ψt − a
.
(2.2.23)
t
Da queste formule discende immediatamente che nel caso di stringa chiusa lo stato di massa
più bassa del settore NS-NS è un tachione con massa M 2 = −2/α′ . Analogamente nel
settore di stringa aperta si ha un tachione con M 2 = −1/(2α′ ). Al fine di eliminare questi
stati dallo spettro fisico è possibile realizzarne una troncazione consistente che nel contempo
renda anche la teoria supersimmetrica nello spazio-tempo. Ciò può essere ottenuto nel caso
di stringa aperta, dopo aver introdotto gli operatori di numero fermionico:
NN S =
∞
∑
t=1/2
ψ−t · ψt − 1 ;
NR =
∞
∑
ψ−t · ψt
(2.2.24)
t=1
rispettivamente per il settore di NS e per quello di R, richiedendo che lo spettro consista di stati che sopravvivano alla cosiddetta proiezione di GSO, in ciascuno dei due settori
32
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
implementata dai proiettori:
PN S =
1 + (−1)NN S
2
;
PR =
1 ± Γ11 (−1)NR
.
2
(2.2.25)
Sotto questa proiezione il tachione del settore di NS viene eliminato e lo stato più basso
diventa a massa nulla, ossia il fotone con (d − 2) = 8 gradi di libertà. Nel settore di R,
la condizione GSO sullo stato fondamentale uA (k)|A⟩|k⟩ impone che uA sia uno spinore di
Weyl con chiralità + o − a seconda del segno ± che si sceglie nella definizione di PR . Esso
puó essere scelto come spinore di Majorana-Weyl. Infatti in d = 10 le matrici Γµ possono
essere costruite in maniera che siano tutte reali o tutte immaginarie con, in entrambi i casi,
Γ11 reale. Conseguentemente la proiezione di uno spinore di Majorana su spinori con una
chiralità specifica è ancora uno spinore di Majorana. Ma uno spinore di Majorana-Weyl in
d = 10 ha 8 gradi di libertà se esso soddisfa l’equazione del moto di Dirac. Pertanto si ottiene
un ugual numero di gradi di libertà bosonici e fermionici al livello di stati di massa nulla come
è richiesto dalla supersimmetria. Si può dimostare che questa uguaglianza di gradi di libertà
bosonici e fermionici risulta verificata a ciascun livello.
Nel caso di stringa chiusa vengono definite le quantità analoghe ÑN S , ÑR , P̃N S e P̃R in
termini degli oscillatori left. Nel definire P̃R questo puó essere scelto in maniera che abbia o
non lo stesso segno ± che appare nella definizione di PR . Pertanto se PR e P̃R sono definiti
con lo stesso segno i due spinori di Majorana-Weyl uA e ũA dei settori right e left hanno
la stessa chiralità. Hanno chiralità opposta scegliendo segni opposti. Queste due situazioni
corrispondono a due differenti modelli di superstringa. Il primo caso corrisponde alla teoria
(chirale) Type IIB mentre il secondo caso corrisponde alla teoria Type IIA (non chirale).
Lo spettro di stringa chiusa di queste due teorie è due volte supersimmetrico; cioè per
entrambe le teorie è possibile definire due spinori di Majorana-Weyl che generano supersimmetria ed anticommutano. Infatti gli stati di massa nulla consistono di 128 gradi di libertà
fermionici e 128 bosonici come deve essere in una teoria supersimmetrica con N = 2 e con
d = 10. Scegliendo il segno positivo per entrambi i proiettori P̃R e PR in teoria Type IIB si
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
33
ha il seguente spettro:

 ψ̃ i 1 |0⟩N S ⊗ ψ i 1 |0⟩N S
−2
−2
Bosoni

|+⟩R ⊗ |+⟩R
Fermioni

 ψ̃ i 1 |0⟩N S ⊗ |+⟩R
−
2
 |+⟩ ⊗ ψ i 1 |0⟩
R
NS
−
ϕ, gµν , Bµν
(2.2.26)
A0 , A2 , A4
2 dilatini, 2 gravitini
(2.2.27)
2
dove |+⟩ rappresenta uno spinore di 8 componenti, nel settore di R, con chiralità positiva e,
dove per comodità di notazione, si è omessa la dipendenza dal momento. I bosoni ottenuti dal
prodotto dei due stati di NS descrivono 64 gradi di libertà e possono essere riorganizzati in
rappresentazioni irriducibili di SO(8), ovvero in una particella scalare, ossia il dilatone ϕ, in
un tensore simmetrico a traccia nulla, ossia il gravitone gµν , ed un tensore antisimmetrico, Bµν
detto campo di Kalb-Ramond. I restanti gradi di libertà bosonici sono invece opportunamente
descritti da uno scalare (0-forma), che sarà denotato con A0 , da una 2-forma A2 , e da una
4-forma A4 . Gli stati fermionici ottenuti dal prodotto dello stato vettoriale left di NS con lo
stato fondamentale right di R, cioè gli stati del settore NS-R, descrivono ancora 64 gradi di
libertà e rappresentano una particella con spin 32 , il gravitino, ed una con spin 21 , il dilatino.
Anche gli stati fermionici del settore di R-NS rappresentano un gravitino ed un dilatino.
Scegliendo il segno negativo per il proiettore left P̃R lo spettro di massa nulla di stringa
chiusa della teoria Type IIA risulta essere:

 ψ̃ i 1 |0⟩N S ⊗ ψ i 1 |0⟩N S
ϕ, gµν , Bµν
−2
−2
Bosoni

A 1 , A3
|−⟩R ⊗ |+⟩R

 ψ̃ i 1 |0⟩N S ⊗ |+⟩R
−2
2 dilatini, 2 gravitini.
Fermioni
 |−⟩ ⊗ ψ i 1 |0⟩
R
N
S
−
(2.2.28)
(2.2.29)
2
Gli stati bosonici del settore di NS-NS sono identici alla teoria Type IIB mentre nel settore di
R-R gli stati sono ottenuti dal prodotto di due spinori di Majorana-Weyl di chiralità differente
ed i corrispondenti 64 gradi di libertà sono opportunamente descritti da una 1-forma vettore
34
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
A1 e da una 3-forma A3 . Gli stati fermionici rappresentano ancora due gravitini e due dilatini
con i due gravitini aventi chiralità differente.
Le teorie Type IIA e Type IIB sono teorie di stringhe orientate, nel senso che le superfici
di universo sono orientate. Tuttavia è possibile ottenere una teoria di stringhe non orientate,
la Type I, considerando alcune combinazioni lineari di stati della Type IIB. Infatti gli stati
di stringa chiusa della teoria Type I sono determinati da tutte le combinazioni di stati della
Type IIB che non cambiano segno per trasformazione di parità della superficie di universo,
cioè che risultano invarianti rispetto alla trasformazione:
Ω:σ →π−σ .
(2.2.30)
In pratica gli stati di stringa chiusa della Type I sono gli stati della Type IIB che sopravvivono
all’azione del proiettore:
1
P = (1 + Ω) .
(2.2.31)
2
L’azione di Ω trasforma gli operatori left in operatori right e viceversa, pertanto gli stati della
Type I coincidono con gli stati della Type IIB che sono simmetrici per lo scambio dei settori
left e right. Ad esempio al settore di massa nulla di NS-NS della Type I appartengono solo il
dilatone e il gravitone in quanto il tensore antisimmetrico Bµν viene annullato dal proiettore
(2.2.31). A tale proiezione sopravvivono inoltre solo le combinazioni lineari simmetriche
dei due gravitini e dei due dilatini. Il settore di massa nulla di R-R conserva invece solo i
gradi di libertà della 2-forma A2 . In Type I lo spettro di stati a massa nulla della stringa
chiusa consiste dunque di 64 gradi di libertà bosonici e 64 fermionici, risultando dunque la
metà dei gradi di libertà della Type IIB ad ogni livello: la teoria conserva pertanto solo una
supersimmetria.
Sinora non si è fatto riferimento ai settori di stringa aperta perchè la presenza di tali
stringhe nelle teorie Type II e Type I è intimamente legata alla presenza di oggetti multidimensionali, le Dp-brane, alle quali saranno dedicate le prossime sezioni. Tuttavia la Type I
è una teoria che può essere formulata come teoria di stringhe aperte e chiuse indipendentemente dalle brane. In particolare la Type I, oltre che dal settore di stringa chiusa appena
mostrato, è costituita da un settore di stringhe aperte non orientate a cui è associata la
stessa supersimmetria del settore di stringa chiusa. Tale teoria risulta però consistente solo
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
35
mediante l’introduzione di gradi di libertà aggiuntivi nel settore di stringa aperta e noti come
fattori di Chan-Paton. Questi vengono introdotti in teorie di stringhe aperte e possono essere
riguardati come cariche di segno opposto associate alle loro estremità. Per quanto seguirà è
utile fare alcune considerazioni di carattere generale sulle implicazioni che l’introduzione di
tali gradi di libertà comporta.
Per una stringa orientata è possibile fare distinzione tra le due estremità. Pertanto, associando ad esse N gradi di libertà, per ogni specifica oscillazione si hanno N 2 stati differenti.
Un determinato stato può essere espresso nella forma |ϕ, k, ij⟩, dove ϕ individua le oscillazioni, i la carica dell’estremità a σ = 0 e j dell’altra a σ = π. Visto che per una data oscillazione
si hanno N 2 stati indipendenti, è possibile esprimere un generico stato nella forma:
|ϕ, k, a⟩ =
n
∑
λaij |ϕ, k, ij⟩
(2.2.32)
i,j=1
dove le matrici {λa }N
a=1 sono matrici Hermitiane indipendenti. E’ dunque evidente che, per
ogni definita oscillazione, gli stati di stringa aperta orientata con N fattori di Chan-Paton
associati forniscono la rappresentazione aggiunta di U (N ).
2
Per le stringhe aperte, analogamente a quanto mostrato per le stringhe chiuse, è possibile
costruire una teoria non orientata conservando solo gli stati della teoria orientata che risultino
invarianti rispetto alla trasformazione di parità Ω della superficie di universo. Allo scopo si
noti che, dalle espansioni in modi normali dei campi con condizioni di Neumann, si evincono
le seguenti regole di trasformazione per Ω degli operatori di creazione e distruzione:
Ωαnµ Ω−1 = (−1)n αnµ
Ωψtµ Ω−1 = eiπt ψtµ .
(2.2.33)
Nel settore di NS, per t > 0, si ha: Ωψtµ Ω−1 = −iψtµ , tuttavia l’analisi delle interazioni mostra
che tale scelta è equivalente a Ωψtµ Ω−1 = −ψtµ [9]. In definitiva si può porre che, in assenza
di fattori di Chan-Paton, le uniche possibilità di trasformazione per gli stati di superstringa
aperta siano: Ω|ϕ, k⟩ = ±|ϕ, k⟩. In presenza di fattori di Chan-Paton l’azione di Ω comporta
anche una trasformazione per le cariche, i.e. Ω|ϕ, k, ij⟩ = ±|ϕ, k, ji⟩. Tuttavia, scelta una
base per le matrici λa in modo che N (N2+1) siano simmetriche ed N (N2−1) antisimmetriche, per
36
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
ogni a, si ha:
Ωλaij |ϕ, k, ij⟩ = ±λaij |ϕ, k, ij⟩ .
(2.2.34)
Risulta così facile individuare, anche in presenza di fattori di Chan-Paton, quali siano gli
stati invarianti per trasformazione di parità della superficie di universo. Ad esempio risultano
a
invarianti solo N (N2−1) stati bosonici
di massa
(
) nulla, cioè quelli corrispondenti alle matrici λ
µ
µ
antisimmetriche, in quanto Ω ψ−
= −ψ−
1 |0, k⟩
1 |0, k⟩. Tali stati forniscono pertanto la
2
2
rappresentazione aggiunta di SO(N ). Si noti che il gruppo associato ai vari livelli eccitati
dipende dalle proprietà di trasformazione rispetto ad Ω degli operatori che li definiscono.
In presenza di un numero pari di fattori di Chan-Paton, sia esso ad esempio 2N , sfruttando
l’invarianza per trasformazioni unitarie dello spettro della teoria orientata, è inoltre possibile
costruire un’altra teoria non orientata inequivalente. Per quanto seguirà è sufficiente dire che
gli stati bosonici di massa nulla di tale teoria definiscono la rappresentazione aggiunta del
gruppo simplettico Sp(N ).
La teoria Type I risulta consistente se allo spettro di stringa aperta sono associati 32
fattori di Chan-Paton, e se la teoria è definita in modo tale che gli stati bosonici di massa
nulla forniscano la rappresentazione aggiunta di SO(32).
Si osservi ora che nelle tre teorie sopra definite, Type I, Type IIA e Type IIB, tutti gli
stati di massa nulla non presentano oscillazioni relative ai campi di immersione X µ , e quindi,
per tali stati, l’espressione dei campi di immersione si riduce a X µ = q µ + 2α′ pµ τ . Pertanto
la struttura degli stati di massa nulla è puntiforme e dunque, nel limite di bassa energia, è
possibile ricondurre le teorie di stringa a teorie di campo ordinarie. A tal proposito si noti
dalle formule di massa che M 2 ∝ α1′ , e dunque che il limite di bassa energia è determinato da
valori tendenti a zero della slope di Regge o equivalentemente della lunghezza caratteristica
di stringa.
Essendo gli stati bosonici di massa nulla, nello spettro della stringa aperta della Type I,
interpretati come bosoni vettori di teorie di campo di gauge, è evidente che questi definiscono
ora il gruppo di gauge SO(32). Inoltre per tutte e tre le teorie è possibile scrivere azioni di
supergravità che descrivano la dinamica di bassa energia dei campi associati agli stati di
massa nulla del settore di stringa chiusa.
Naturalmente la parte d’azione per i campi relativi al settore di NS-NS delle due teorie
2.2. TEORIE DI SUPERSTRINGA
37
Type II coincide, e risulta essere:
SN S−N S
1
= 2
2k
ˆ
(
√
d x −ge
10
−2ϕ̃
1
R + 4∂µ ϕ̃∂ ϕ̃ − Hµνρ H µνρ
2
)
µ
(2.2.35)
dove R è la curvatura scalare dello spazio-tempo ottenuta dal campo di gravitone, H = dB,
e ϕ̃ è il campo di dilatone riscalato in modo tale da avere valore di aspettazione nullo sul
vuoto. Inoltre k è la costante di accopiamento gravitazionale e risulta legata al valore di
7
aspettazione sul vuoto del dilatone, k = 8π 2 α′2 e<ϕ> . E’ bene dire che in teorie di stringa il
valore di aspettazione sul vuoto del dilatone gioca un ruolo fondamentale in quanto determina
il valore della costante di accoppiamento di stringa, i.e. e<ϕ> = gs .
Talvolta è utile riscrivere la (2.2.35) in quello che si definisce Einstein f rame, cioè riscalando la metrica in modo da far coincidere la parte d’azione per il gravitone con l’azione di
1
Einstein-Hilbert; posto g̃µν = e− 2 ϕ̃ gµν si ha:
SN S−N S
1
= 2
2k
ˆ
(
)
√
1
1 −ϕ̃
µνρ
µ
d x −g̃ R̃ − ∂µ ϕ̃∂ ϕ̃ − e Hµνρ H
.
2
12
10
(2.2.36)
Per le due teorie Type IIA e Type IIB i campi relativi al settore di massa nulla di R-R
sono invece differenti. In particolare, in Type IIA si hanno un campo vettoriale A1 ed una 3forma A3 mentre in Type IIB un campo scalare, una 2-forma ed una 4-forma. Ad esempio in
Type IIA, mediante un’opportuna definizione dei campi, è possibile scrivere la parte d’azione
di supergravità che ne contiene i termini cinetici nella forma:
SRR
1
=− 2
4k
ˆ
)
√ (
d10 x −g F22 + F42
(2.2.37)
dove k è ancora la costante di accoppiamento gravitazionale ed inoltre F2 = dA1 , F4 = dA3 ;
con il pedice si è qui indicata la dimensione delle rispettive forme.
Nella teoria Type IIB si ha invece:
SRR
1
=− 2
4k
ˆ
√
d x −g
10
(
F12
+
F32
1
+ F52
2
)
(2.2.38)
38
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Si conclude ora questa breve sintesi sulle teorie di stringa facendo un’ultima considerazione
che sarà utile nel seguito.
E’ possibile considerare i campi relativi agli stati di massa nulla come campi di background
e descrivere la dinamica di stringhe immerse in tali campi. In particolare è facile scrivere
la parte bosonica dell’azione di superstringa in presenza del campo di gravitone, dilatone e
Kalb-Ramond:
1
S=−
4πα′
ˆ
2
dσ
(√
|h|h gµν (X) + ε Bµν
αβ
αβ
)
1
∂α X ∂β X +
4π
µ
ν
ˆ
d2 σ
√
|h|ϕ(X)Rh
(2.2.39)
dove con Rh si è individuata la curvatura scalare della superficie di universo.
2.3
D-brane: definizione e principali caratteristiche
Studi della teoria di superstringa nel regime non perturbativo evidenziano l’esistenza di oggetti estesi in p dimensioni spaziali che definiscono le cosiddette p-brane. Queste si aggiungono,
pertanto, alle stringhe fondamentali che possono essere riguardate come 1-brane. Le p-brane
sono oggetti fisici, dinamici, ed esibiscono una tensione inversamente proporzionale alla costante di accoppiamento della stringa gs , diventando pertanto infinitamente massive nel limite
in cui gs → 0. È questo il motivo per cui non appaiono nella ordinaria teoria perturbativa. In
un regime non perturbativo, le p-brane devono essere, invece, considerate alla stessa stregua
delle stringhe fondamentali. In particolare, una Dp-brana è definita come un oggetto esteso
di p dimensioni spaziali sul quale vivono le estremità delle stringhe aperte che soddisfano
condizioni al contorno di Dirichlet nelle direzioni trasverse alla p-brana stessa. Le Dp-brane
sono presenti nelle teorie di superstringa Type I e Type II. Il fatto che stringhe fondamentali
possano avere estremità sulle D-brane implica che sul volume di universo di tali oggetti sia
definita una teoria del tipo Yang-Mills, dal momento che le stringhe aperte includono nel loro
spettro particelle vettoriali a massa nulla, identificabili appunto con bosoni vettori di gauge,
ossia con i campi di Yang-Mills.
2.3. D-BRANE: DEFINIZIONE E PRINCIPALI CARATTERISTICHE
39
Pur essendo le Dp-brane oggetti non perturbativi, la loro esistenza può essere tuttavia
compresa nell’ambito della teoria perturbativa di stringa mediante la cosiddetta T-dualità
che andiamo ora ad illustrare nel caso più semplice della teoria di stringa bosonica.
2.3.1
T-dualità
Bisogna premettere che al fine di stabilire un contatto con l’evidenza fenomenologica, le
dimensioni extra previste dalla teoria di stringa debbono essere compattificate su opportune
varietà differenziabili compatte.
Si consideri pertanto il caso più semplice di compattificazione su un cerchio con una delle
25 dimensioni spaziali coincidente con un cerchio di raggio R. Nel seguito la dimensione
compattificata sarà denotata semplicemente con X, senza alcun indice spaziale. Lo sviluppo
per questa coordinata si modifica rispetto al caso non compattificato per la presenza di un
termine lineare in σ che consente di realizzare le nuove condizioni al contorno da soddisfare
lungo la dimensione compattificata, ossia:
X(σ + π, τ ) = X(σ, τ ) + 2πRW
(2.3.1)
dove W , detto numero di avvolgimento o winding number, rappresenta il numero di volte in
cui la stringa si avvolge intorno al cerchio. Lo sviluppo di X diventa pertanto ora il seguente:
X(σ, τ ) = q +2α′ p τ +2RW σ +
i√ ′∑ 1
i√ ′∑ 1
2α
αn e−2in(τ −σ) +
2α
αn e−2in(τ −σ) . (2.3.2)
2
n
2
n
n̸=0
n̸=0
Il momento coniugato alla coordinata compattificata deve essere quantizzato:
p=
n
R
n∈Z
(2.3.3)
conseguentemente al fatto che il generatore delle traslazioni lungo la direzione compatta
eipx debba ridursi all’identità per x = 2πR. L’intero n è detto numero di eccitazione di
Kaluza-Klein.
Il campo di stringa X nell’eq. (2.3.2) può essere decomposto in oscillatori left e right
40
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
come segue:
X(σ, τ ) = XL (τ + σ) + XR (τ − σ)
(2.3.4)
con
( n
)
1
XR (τ − σ) = (q − q̂) + α′ − W R (τ − σ) +
2
R
( n
)
1
XL (τ + σ) = (q + q̂) + α′ + W R (τ + σ) +
2
R
i√ ′∑ 1
2α
αn e−2in(τ −σ)
2
n
n̸=0
∑
√
i
1
2α′
α̃n e−2in(τ +σ)
2
n
n̸=0
(2.3.5)
dove q̂ è una costante che si cancella nella somma, mentre è possibile definire i modi zero:
√
α0 =
α′
2
(
n WR
+ ′
R
α
√
)
; α̃0 =
α′
2
(
n
WR
− ′
R
α
)
(2.3.6)
in maniera che le coordinate XL ed XR si riscrivano come:
√
1
i√ ′∑ 1
XR (τ − σ) = (q − q̂) + 2α′ α0 (τ − σ) +
2α
αn e−2in(τ −σ)
2
2
n
n̸=0
∑
√
√
1
1
i
XL (τ + σ) = (q + q̂) + 2α′ α̃0 (τ + σ) +
2α′
α̃n e−2in(τ +σ) .
2
2
n
n̸=0
(2.3.7)
Gli oscillatori così definiti vengono inseriti nelle espressioni degli operatori L0 ed L̃0 in
termini dei quali si esprimono i vincoli sugli stati fisici dello spettro di stati della stringa
chiusa, ossia L0 − 1 = L̃0 − 1 = 0:
(
)2 ∑
∞
∞
α′ 2 α′ n W R
α′ 2 1 2 ∑
α−n · αn = p̄ +
α−n · αn
L0 = p̄ + α0 +
+ ′
+
4
2
4
4
R
α
n=1
n=1
)2 ∑
(
∞
∞
′
′
′
∑
α
α
1
α n WR
α̃−n · α̃n = p̄2 +
+
α̃−n · α̃n .
L̃0 = p̄2 + α̃02 +
+ ′
4
2
4
4
R
α
n=1
n=1
(2.3.8)
In questa formula p̄µ denota le componenti del momento lungo le direzioni non compattificate
2.3. D-BRANE: DEFINIZIONE E PRINCIPALI CARATTERISTICHE
41
che intervengono nella definizione della massa degli stati di stringa, ossia M 2 = −p̄2 :
[∞
]
( n ) 2 ( W R )2
∑
2
2
M = ′
+
.
(α−n · αn + α̃−n · α̃n ) − 2 +
α n=1
R
α′
(2.3.9)
Questa espressione mostra che lo spettro della stringa chiusa con una direzione compattificata
si è arricchita della presenza di due tipologie di particelle: quelle associate alle eccitazioni di
Kaluza-Klein che contribuiscono all’energia della stringa con la quantità n/R ed altre nuove
eccitazioni connesse ai modi di avvolgimento, o di winding, generati appunto dall’avvolgimento della stringa lungo la direzione compatta. Un tale avvolgimento contribuisce infatti
all’energia del sistema con la quantità:
T 2πRW =
WR
α′
(2.3.10)
essendo T la tensione della stringa.
Tutte le formule precedenti possono naturalmente essere generalizzate al caso di più direzioni compattificate su cerchi e in tal caso bisognerà prendere in considerazione i modi di
Kaluza-Klein e modi di winding lungo tutte tali direzioni.
Dall’analisi dello spettro nella Eq. (2.3.9) si evince che questo è invariante rispetto allo
scambio dei modi di Kaluza-Klein con i modi di winding purché si inverta il raggio di compattificazione, ovvero la teoria di stringa chiusa compattificata su un cerchio risulta invariante
rispetto alle operazioni:
α′
W ↔n
;
R ↔ R̂ ≡
.
(2.3.11)
R
Queste operazioni definiscono la trasformazione di T-dualità ed R̂ è il raggio di compattificazione della teoria T-duale. Pertanto la T-dualità è una simmetria della teoria bosonica
chiusa compattificata. Come conseguenza di questa invarianza, una teoria compattificata
può essere considerata limitatamente al caso R ≥ α′ , essendo il caso R ≤ α′ ottenibile da una
√
trasformazione di T-dualità. E’ questo il motivo per cui la grandezza α′ è spesso definita
lunghezza minimale della stringa.
42
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
La T-dualità induce sui modi zero le seguenti trasformazioni:
α0 → α0
;
α̃0 → −α̃0
(2.3.12)
che modificano però gli operatori di Virasoro Ln e L̃n e pertanto non lasciano il sottospazio
fisico invariante. Affinché questo lo sia, compatibilmente con l’invarianza dello spettro appena dimostrata, è necessario estendere le precedenti trasformazioni di T-dualità anche agli
oscillatori non-zero:
αn → αn ; α̃n → −α̃n
n∈Z .
(2.3.13)
Le trasformazioni nelle Eqq. (2.3.12) e (2.3.13) definiscono l’azione della T-dualità sulla
coordinata compattificata della stringa X. Infatti, decomponendo X come segue:
1
X = (XL + XR )
2
(2.3.14)
con
∑ αn
√
√
XL = q + 2 2α′ (τ + σ)α0 + i 2α′
e−2in(τ +σ)
n
n̸=0
∑ α̃n
√
√
XR = q + 2 2α′ (τ − σ)α̃0 + i 2α′
e−2in(τ −σ)
n
n̸=0
(2.3.15)
(2.3.16)
è evidente che la coordinata T-duale X̂ di X risulta:
1
X̂ = (XL − XR ) .
2
(2.3.17)
Se ne deduce che la trasformazione di T-dualità agisce sul settore right come un operatore
di parità che cambia segno alla coordinata right lasciando invece invariata la coordinata left.
Si esamini ora la stringa bosonica aperta. In tale teoria la coordinata di tale stringa non
soddisfa alcuna richiesta di periodicità nella variabile σ. Ciò implica che nella versione compattificata ci sono soltanto modi di Kaluza-Klein e non, invece, di winding. Questo potrebbe
suggerire che la T-dualità, così come definita nel caso di stringa chiusa, possa non essere
una simmetria per la teoria di stringa aperta. Ma questo comporterebbe una contraddizione
2.3. D-BRANE: DEFINIZIONE E PRINCIPALI CARATTERISTICHE
43
dal momento che le teorie contenenti stringhe aperte contengono anche stringhe chiuse. Si
consideri infatti una teoria con stringhe aperte e chiuse con d − (p + 1) direzioni, ciascuna
compattificata su un cerchio e se ne consideri il limite in cui il raggio di ciascun cerchio
tende a zero. In questo limite la stringa aperta di fatto perde d − (p + 1) direzioni poiché da
un lato tutti i modi di Kaluza-Klein diventano infinitamente massivi disaccoppiandosi dallo
spettro e dall’altro non ci possono essere oscillazioni di stringa aperta lungo direzioni circolari
con raggio nullo. Pertanto in questo limite la stringa aperta appare come se vivesse in un
sottospazio (p + 1)-dimensionale dell’intero spazio target.
Si esamini cosa accade nella teoria di stringa chiusa nello stesso limite. In questo caso,
quando il raggio di compattificazione tende a zero, i modi di Kaluza-Klein ancora si disaccoppiano, ma quelli di winding tendono a costituire un insieme continuo di stati. Ciò pertanto
indica chiaramente che per le stringhe chiuse le direzioni compatte non scompaiono dalla teoria come accade invece per le stringhe aperte! Più precisamente, nel settore di stringa chiusa
si può realizzare una trasformazione di T-dualità che è sempre consentita essendo questa una
simmetria della teoria di stringa chiusa e in questo modo, nella versione T-duale, vengono
ripristinate tutte le d dimensioni spazio-temporali, dal momento che in questo limite i raggi
T-duali diventano infiniti, decompattificando le dimensioni. Questo ragionamento porta dunque ad una teoria in cui le stringhe aperte vivrebbero in un sottospazio (p + 1)-dimensionale
dell’intero spazio-tempo, mentre le stringhe chiuse vivrebbero nell’intero spazio target. Questa discrepanza può essere di fatto risolta se si richiede che, nella versione T-duale le stringhe
aperte possano di fatto oscillare nelle d dimensioni mentre le loro estremità risultino fissate
ad un iperpiano (p + 1)-dimensionale che è appunto la Dp-brana. Le stringhe aperte con le
loro estremità fissate su tali iperpiani soddisfano le condizioni al contorno di Dirichlet lungo
le d − (p + 1) direzioni trasverse alla Dp-brana. Queste sono condizioni al contorno permesse,
come si è visto precedentemente, benché non preservino l’invarianza di Poincaré.
Pertanto, al fine di evitare una indesiderata discrepanza tra il settore di stringa chiusa e di
stringa aperta in una teoria che le contenga entrambe, è necessario richiedere che l’azione di
una T-dualità su una teoria di stringa aperta consista nel trasformare condizioni al contorno
di Neumann in condizioni di Dirichlet. Ciò può essere naturalmente ottenuto se la definizione
di coordinata T-duale data nell’eq. (2.3.20) per la stringa chiusa viene estesa anche al caso
di stringa aperta. Infatti, se si definisce anche per la stringa aperta la relativa coordinata
44
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
T-duale come:
1
X̂ = (XL − XR )
2
dove in questo caso XL ed XR contengono lo stesso insieme di oscillatori:
∑ αn
√
2α′ (τ + σ)α0 + i 2α′
e−in(τ +σ)
n
n̸=0
∑ αn
√
√
XR = q − q̂ + 2α′ (τ − σ)α0 + i 2α′
e−in(τ −σ) ,
n
n̸=0
XL = q + q̂ +
(2.3.18)
√
(2.3.19)
si può allora vedere che una coordinata di stringa
1
X = (XL + XR )
2
soddisfacente le condizioni al contorno di Neumann viene trasformata nella coordinata Tduale (2.3.18) che soddisfa condizioni al contorno di Dirichlet in σ = 0 e σ = π. Infatti la
coordinata duale X̂ diventa in questo caso:
X̂ = q̂ +
√
2α′ α0 σ +
√
2α′
∑1
αn e−inτ sen(nσ).
n
n̸=0
(2.3.20)
Alla stessa maniera, partendo da una stringa con condizioni al contorno, agli estremi, di
Dirichlet, si perviene ad una coordinata T-duale soddisfacente le condizioni di Neumann.
Riassumendo, dunque, si può affermare che il fatto che stringhe aperte soddisfino condizioni al contorno di Dirichlet implica l’esistenza, nella teoria, di oggetti, le Dp-brane, che
sono caratterizzate dall’avere le estremità di stringhe aperte su di esse. Dall’espressione del
campo T-duale nell’eq. (2.3.20) consegue che:
√
2πα′ n
= 2πnR̂ → X̂(π) ∼ X̂(0) .
X̂(π) − X̂(0) = π 2α′ α0 = 2πα′ p =
R
(2.3.21)
Ciò dimostra che nella teoria T-duale le due estremità della stringa aperta terminano sulla
stessa D-brana.
Se invece alla stringa sono associati dei fattori di Chan-Paton vi è la possibilità che le
estremità siano vincolate su brane differenti. Per mostrare ciò si consideri una stringa orien-
2.3. D-BRANE: DEFINIZIONE E PRINCIPALI CARATTERISTICHE
45
tata con N gradi di libertà associati alle estremità. Si ricordi inoltre che su una dimensione
compattificata in un cerchio non è in generale possibile annullare con una trasformazione di
gauge un potenziale anche se il rispettivo tensore degli sforzi è nullo. In ogni caso è possibile
porre la matrice dei potenziali rispetto ai quali sono cariche le estremità della stringa in forma
diagonale, e se i tensori degli sforzi sono nulli la matrice può essere posta nella forma:
A=−
1
diag(θ1 , ...., θN )
2πR
(2.3.22)
Si ossservi che con un potenziale di questo tipo il momento di una stringa con fattori (i, j)
assume i valori
θi − θj
n
,
(2.3.23)
p= −
R
2πR
ed è pertanto immediato vedere che le due estremità della stringa sono vincolate in posizioni
differenti del cerchio duale, infatti:
X̂(π) − X̂(0) = R̂ (θj − θi ) + 2πnR̂ .
(2.3.24)
Pertanto la stringa aperta ha le due estremità terminanti su due Dp-brane differenti le cui
coordinate sono rispettivamente R̂θi e R̂θj . Inoltre segue dall’eq. (2.3.22) che:
θi R̂ = 2πα′ (A)ii ; θj R̂ = 2πα′ (A)jj
(2.3.25)
che dimostra che accendere un campo di gauge U (N ) in una teoria di stringa aperta lungo
una direzione compattificata corrisponde, dal punto di vista della teoria T-duale, introdurre
N Dp-brane localizzate rispettivamente in
X1 = 2πα′ (A)11 , · · · , XN = 2πα′ (A)N N .
(2.3.26)
Da quest’ultima equazione si osserva che le componenti trasverse del campo di gauge U (N ),
definito su una stringa aperta attraverso i suoi fattori di Chan-Paton, possono essere interpretati come le coordinate di N Dp-brane distinte. In definitiva l’introduzione dei fattori di
Chan-Paton fornisce la possibilità di descrivere stringhe terminanti su brane differenti.
Da quanto fin qui esposto segue che ciascuna Dp-brana possa essere trasformata in una
46
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Dp′ -brana attraverso un’opportuna successione di compattificazioni e trasformazioni di Tdualità. Infatti si supponga di partire da una configurazione iniziale costituita da una Dpbrana immersa in uno spazio-tempo d-dimensionale e si compattifichi su un cerchio di raggio R
una delle direzioni spaziali che vive sul suo volume d’universo. L’azione di una trasformazione
di T-dualità su questa coordinata ha l’effetto che una stringa aperta attaccata alla brana
cambi le sue condizioni al contorno da Neumann in Dirichlet lungo quella direzione. Pertanto
la Dp-brana perde una coordinata longitudinale che diventa trasversa ad una D(p − 1)-brana
in cui la Dp-brana originaria, di fatto, si trasforma e che è immersa in uno spazio-tempo che
ha la direzione X̂, duale a X, compattificata su un cerchio di raggio R̂ = α′ /R. Per ottenere
una D(p − 1)-brana che vive nello spazio-tempo d-dimensionale non compattificato abbiamo
bisogno di effettuare il limite di decompattificazione nella teoria T-duale in cui
R̂ → ∞
or equivalently R → 0 .
(2.3.27)
Per concludere, si osservi che le stringhe aperte soddisfacenti condizioni al contorno di
Neumann in tutte le direzioni possono essere pensate come essere vincolate ad una Dpbrana che riempie l’intero spazio, ossia una D25-brana nel caso di stringa aperta o una D9brana nel caso di superstringa. Conseguentemente, partendo da una tale brana, detta brana
space-filling, si può ottenere un’arbitraria Dp-brana mediante l’applicazione di un insieme
opportuno di trasformazioni di T-dualità. Più precisamente, da una Dp-brana può essere
ottenuta da una space-filling D(d − 1)-brana prima compattificando d − (p + 1) direzioni, poi
effettuando trasformazioni di T-dualità lungo tali direzioni e infine realizzando un limite di
decompattificazione.
In teoria di superstringa l’effetto di una trasformazione di T-dualità sulle coordinate
bosoniche è esattamente lo stesso di quello discusso per la stringa bosonica, nel senso che una
trasformazione di T-dualità agisce come una trasformazione di parità sul settore right. Per
le coordinate fermioniche la proprietà di trasformazione agisce dunque come segue:
ψ̃ → ψ̃
ψ → −ψ .
(2.3.28)
Ciò implica un’inversione della chiralità dello stato fondamentale del settore di Ramond right.
2.3. D-BRANE: DEFINIZIONE E PRINCIPALI CARATTERISTICHE
47
Poiché la chiralità relativa degli stati fondamentali right e left è ciò che distingue le teorie
Type IIA e Type IIB, ne consegue che se la teoria Type IIA è compattificata su un cerchio di
raggio R, una trasformazione di T-dualità la trasforma nella teoria Type IIB su un cerchio
di raggio R̂.
2.3.2
D-brane cariche
In precedenza si è mostrato che il settore di R-R dello spettro delle teorie Type II e Type I
consiste di diversi stati riconducibili ad r-forme differenziabili. In particolare nella Type IIA
sono presenti stati descritti da una 1-forma A1 ed una 3-forma A3 mentre nella Type IIB
da una 0-forma A0 , una 2-forma A2 ed una 4-forma A4 . Le azioni di supergravità scritte in
precedenza descrivono la dinamica libera di tali campi e, per ogni r-forma, le equazioni del
moto sono banalmente date:
dF = 0
con F = dA. Tuttavia sinora non si è fatto riferimento alla possibile presenza nelle teorie
di oggetti carichi che interagiscano con tali campi. I portatori di carica per le r-forme sono
le p-brane. Allo scopo si noti che è possibile generalizzare l’azione di interazione di tipo
elettromagnetico, cioè l’interazione tra una particella puntiforme ed un campo vettoriale,
all’interazione mediata da una (p + 1)-forma:
µp
S=
(p + 1)!
ˆ
ˆ
µ1
Aµ1 ....µp+1 ∂σ0 X ....∂σp X
µp+1 p+1
d
σ = µp
A
(2.3.29)
dove i campi X µ definiscono l’immersione di un oggetto di p dimensioni spaziali e µp rappresenta la sua carica. Nell’ultimo termine, come è usanza nel linguaggio delle forme, con A si è
individuato direttamente il pullback della forma sul volume di universo. In definitiva si può
dire che una (p + 1)−forma si accoppia naturalmente ad una p-brana.
Inoltre sulle D-brane terminano le stringhe aperte ed esse rompono la supersimmetria dello
spazio-tempo in cui sono immerse, il cosiddetto bulk, conservando solo metà dei generatori.
In particolare, in presenza di una Dp-brana che si estende lungo le direzioni x0 , x1 , ..., xp , le
48
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
sedici cariche di supersimmetria conservate risultano essere le componenti dello spinore:
(
)
Q = Q̃L + Γ11 Γp+1 · · · Γ11 Γ9 QR
(2.3.30)
con Q̃L spinore di Majorana generatore della supersimmetria associata ai campi left e QR
generatore della supersimmetria associata ai campi right.
Inoltre le Dp-brane che in seguito considereremo sono quelle che saturano il limite di BPS.
Con questa locuzione si intende che massa e carica della brana si eguagliano e la condizione
di uguaglianza della massa e della carica della brana, quando realizzata, conferisce stabilità
alla brana stessa.
In seguito, tramite lo studio delle interazioni tra D-brane, si mostrerà che la massa di
una Dp-brana che si accoppia con una (p + 1)-forma coincide effettivamente con la carica.
Una Dp-brana carica rispetto ad una (p + 1)-forma è dunque uno stato che satura il limite
di BPS ed è pertanto stabile.
Si è più volte detto che nella teoria Type IIA sono presenti stati di massa nulla rappresentati da una 1-forma ed una 3-forma, mentre nella Type IIB da una 0-forma, una 2-forma
ed una 4-forma. È però naturalmente possibile considerare anche le rispettive forme duali
magnetiche determinate dal tensore degli sforzi duale ∗F . Quando si osservi che in 10 dimensioni, per una r-forma, ∗F risulta essere una (9 − r)-forma, consegue che la forma duale
di una r-forma è una (8 − r)-forma. Segue che nella Type IIA sono presenti le forme A1 , A3 ,
e le rispettive duali A7 ed A5 . Nella Type IIB sono invece presenti le forme A0 , A2 , A4 e le
duali A8 , A6 , ed A4 .
In Type IIA risultano pertanto stabili le brane D0, D2, D4 e D6, mentre in Type IIB le
D(−1), D1, D3, D5 e D7. La D(−1) è in realtà un istantone, cioè un oggetto localizzato in
tempo e spazio.
Come si è dimostrato nella sezione precedente, una trasformazione di T-dualità lungo una
direzione compatta sulla quale è avvolta una Dp-brana trasforma tale brana in una D(p − 1)brana. Pertanto operazioni di T-dualità trasformano brane stabili della teoria IIA in brane
stabili della teoria IIB e viceversa.
In Type I sono presenti una 2-forma A2 e la duale A6 , essendo pertanto le brane BPS
le D1 e le D5. Tuttavia la Type I è una teoria la cui formulazione prevede la presenza di
2.4. ASPETTI DI BRANA A BASSE ENERGIE
49
stringhe aperte libere nell’intero spazio-tempo. Tali stringhe possono essere pensate come
vincolate ad una o più D9-brane sovrapposte che occupino l’intero target space. Inoltre, in
seguito, si vedrà che in Type I è opportuno definire anche una 10-forma A10 e questa può
interagire naturalmente con le D9. Tuttavia, in 10 dimensioni A10 può essere al più costante
e le equazioni del moto implicano che i portatori di carica debbano avere carica totale nulla.
Sembrerebbe pertanto impossibile che le D9 siano cariche e stabili, e altrettanto impossibile
risulterebbe pensare che le stringhe aperte della Type I siano ad esse legate. Si dimostrerà
però che è possibile definire altri oggetti carichi la cui presenza permette di considerare in
Type I le D9 come stati BPS.
2.4
2.4.1
Aspetti di brana a basse energie
Campi di gauge sulle brane
Si è già brevemente detto che, nel limite di bassa energia, sul volume di universo delle brane
è possibile definire delle teorie di Yang-Mills. In particolare, gli stati bosonici di massa
nulla di stringa aperta con estremità vincolate sulle brane determinano i gruppi di gauge. Si
vogliono ora mostrare quali gruppi emergono in differenti situazioni. A tal scopo si cominci
considerando una stringa con entrambe le estremità legate alla stessa Dp brana. I campi di
immersione relativi alle coordinate perpendicolari alla brana soddisfano condizioni al contorno
di Dirichlet mentre i campi relativi alle direzioni lungo le quali si estende la brana soddisfano
condizioni di Neumann. Si ricordi ora che la condizione di fisicità degli stati dipende dal
moding degli operatori di creazione e distruzione e quindi, in ultima analisi, dalle condizioni
al contorno dei campi. Non è quindi a priori detto che per stati di stringa aperta con estremità
sulle brane la condizione di mass shell sia quella che si ha nel caso in cui la stringa è libera
nell’intero spazio-tempo. Tuttavia, se per una data direzione, ad entrambe le estremità sono
associate condizioni di Dirichlet, i modi normali con pedice diverso da zero sono identici a
quelli che si hanno con condizioni di Neumann. Ne segue che la formula di massa per stati
di stringa con estremità vincolate su di una generica Dp brana coincide con la formula per
50
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
stati di stringa aperta che soddisfano condizioni di Neumann lungo tutte le direzioni, i.e.:
α′ M 2 =
(
9
∑
∑
i=2
con a =
1
2
i
α−n
αni +
n=1
∑
)
i
tψ−t
ψti
−a
(2.4.1)
t>0
nel settore di NS e a = 0 nel settore di R.
Identificando le coordinate lungo la brana con xa e le coordinate perpendicolari con xm è
utile suddividere gli stati bosonici di massa nulla nelle due classi:
a
ψ−
1 |k⟩
2
a ∈ {2, ..., p}
m
ψ−
m ∈ {p + 1, ..., 9}
1 |k⟩
(2.4.2)
2
con k = (k 0 , ....., k p ). Lo stato fondamentale nel settore di NS è uno scalare, pertanto gli
stati (2.4.2) sono le componenti di un vettore trasverso nel sottospazio (p + 1)-dimensionale
individuato dalla brana e dunque determinano il campo di gauge U (1) che vive su di essa; ciò
è del tutto naturale in quanto sul volume di universo della brana c’è simmetria di Lorentz,
SO(p, 1). Gli stati (2.4.2) sono invece scalari per SO(p, 1), e rappresentano eccitazioni di
energia nulla della brana, ovvero traslazioni lungo le direzioni perpendicolari.
Si considerino ora due Dp-brane parallele, poste ad una certa distanza Y . Come si vedrà
tale sistema è stabile. Siano le due brane indicate con a e b. In aggiunta agli stati di stringa
con le due estremità sulla stessa brana si hanno stati con un’estremità su a e l’altra su b.
Anche in questo caso la costante di ordinamento che appare nella formula di massa rimane
invariata, ma essendo ora la stringa stretched, e non potendo essere la sua lunghezza inferiore
ad Y , compare nella formula di massa un termine che tiene conto di ciò:
α′ M 2 =
(
9
∑
∑
i=2
n=1
i
α−n
αni +
∑
t>0
)
i
tψ−t
ψti
−a+
Y2
.
4π 2 α′
(2.4.3)
Si individuino ora i vari settori del sistema rispettivamente con [a, a], [b, b], [a, b] e [b, a]
dove, ad esempio [a, a] è il settore relativo a stringhe con entrambe le estremità sulla brana
a mentre [a, b] è il settore relativo a stringhe che si estendono da a verso b. Nei rispettivi
2.4. ASPETTI DI BRANA A BASSE ENERGIE
51
settori gli stati bosonici più leggeri sono subito visti:
i
i
ψ−
ψ−
1 |k, [a, a]⟩
1 |k, [b, b]⟩
(2.4.4)
i
i
ψ−
ψ−
1 |k, [a, b]⟩
1 |k, [b, a]⟩ .
(2.4.5)
2
2
2
2
Naturalmente la massa degli stati (2.4.5) varia al variare della distanza tra le brane. In
particolare nel limite in cui le due brane sono sovrapposte anche gli stati (2.4.5) risultano
a massa nulla. Nelle teorie Type II le stringhe sono orientate ed è quindi possibile fare
distinzione tra i settori [a, b] e [b, a]. Inoltre le stringhe negli stati (2.4.4) e (2.4.5) possono
interagire tra loro alle estremità. In definitiva, a bassa energia, sul volume di universo di
due brane sovrapposte vivono quattro campi vettoriali di massa nulla in interazione che
determinano il gruppo di gauge U (2).
Si ricordi ora che è possibile definire teorie di stringhe aperte non orientate restringendo
lo spazio degli stati di una teoria orientata in modo tale che, per una data oscillazione, gli
stati siano o tutti simmetrici o tutti antisimmetrici per azione della trasformazione di parità
della superficie di universo, Ω, definita nell’ Eq. (2.2.30). Pertanto sul volume di universo di
due brane sovrapposte si possono definire due teorie non orientate inequivalenti. In una, gli
stati bosonici di stringa aperta sono antisimmetrici per azione di Ω e, in termini degli stati
(2.4.4) e (2.4.5), risultano essere:
i
i
ψ−
1 |k, [a, a]⟩ ψ 1 |k, [b, b]⟩
−
2
2
)
1( i
i
ψ− 1 |k, [a, b]⟩ + ψ−
1 |k, [b, a]⟩
2
2
2
mentre nell’altra, per ogni direzione, si ha un solo stato simmetrico:
)
1( i
i
ψ− 1 |k, [a, b]⟩ − ψ− 1 |k, [b, a]⟩ .
2
2
2
Nel primo caso, sul volume di universo della brana, si hanno pertanto tre campi vettoriali
di massa nulla che definiscono il gruppo di gauge U Sp (2). Nel secondo si ha invece un solo
campo.
Non è difficile generalizzare questo discorso ad N brane sovrapposte, ottenendo N 2 settori
per ogni definita oscillazione di stringhe orientate, N (N2−1) settori di massa nulla per stringhe
52
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
non orientate simmetriche per Ω ed N (N2+1) per le antisimmetriche. Su N brane sovrapposte
possono essere pertanto definiti i gruppi di gauge U (N ), SO(N ) ed U Sp (N ).
I campi di gauge ottenuti sono gli stessi che sono descritti da stati di stringa a cui sono
assegnati N fattori di Chan-Paton alle estremità. Ciò è ovvio, in quanto, come visto in
precedenza, brane differenti con la possibilità di stati che si estendono dall’una all’altra
originano proprio dalla descrizione T-duale di un sistema in cui sono presenti stati con fattori
di Chan-Paton associati.
La dinamica dei campi di gauge sulle D brane risulta correttamente descritta dall’azione
di Born-Infeld. Questa azione garantisce che, in descrizione T-duale, si preservi l’invarianza
di Lorentz. Si consideri infatti una D1 brana nel vuoto con un campo elettrico costante
associato. Si consideri inoltre la brana avvolta intorno ad una dimensione, sia essa x1 ,
compattificata in una circonferenza. La parte bosonica dell’azione per stringa aperta con le
due estremità su tale brana in gauge conforme è:
1
S=−
4πα′
ˆ
ˆ
d σ∂α X ∂ Xµ −
2
Σ
µ α
dτ A1
∂Σ
∂X 1
∂τ
(2.4.6)
dove A è il potenziale elettrico e con Σ si è individuata la superficie di universo della stringa.
Minimizzando rispetto ad X 1 si ottengono le usuali equazioni del moto ma con la condizione
al contorno:
∂σ X 1 + 2πα′ F01 ∂τ X 0 = 0
(2.4.7)
con F = dA. Si esegua ora una trasformazione di T-dualità lungo x1 . Allora, il campo X 1
si trasforma nell’ormai nota forma, ossia XR1 → −XR , XL1 → XL , ed è facile vedere che ciò
implica:
∂σ X 1 → ∂τ X̂ 1
(2.4.8)
∂τ X 1 → ∂σ X̂ 1
e, pertanto, in rappresentazione T-duale la condizione (2.4.7) si scrive:
∂τ X̂ 1 − 2πα′ E∂τ X 0 = 0 .
(2.4.9)
2.4. ASPETTI DI BRANA A BASSE ENERGIE
53
Posto τ uguale al tempo proprio delle estremità della stringa si ha:
∂τ X̂ 1 = 2πα′ E
(2.4.10)
Quindi, in rappresentazione T-duale, la D0 brana individuata dalle estremità della stringa
si muoverà sul cerchio duale con velocità proporzionale ad E. L’invarianza di Lorentz in
descrizione duale è dunque mantenuta solo se E è limitato superiormente, e ciò è verificato
dall’azione di Born-Infeld.
2.4.2
Azioni di brana
Avendo la stringa una sua dinamica, è del tutto naturale attendersi che anche le D-brane non
siano oggetti rigidi, bensì che varino in forma e posizione. E’ pertanto opportuno riuscire
a descriverne la corrispondente dinamica. In questa sezione si mostra brevemente come
costruire un’azione di brana di bassa energia nel vuoto. Successivamente si mostrerà anche
come tenere in considerazione l’effetto di campi di background dovuti a stati di massa nulla
presenti nel bulk.
L’ idea di base per costruire l’azione di bassa energia è di affidare la descrizione dinamica
ad i campi degli stati di stringa di massa nulla legati ad essa.
Il primo naturale passo per scrivere un’azione che descriva la dinamica della brana libera è quello di generalizzare l’azione di Nambu-Goto, cioè di scrivere un’azione che sia
proporzionale al volume di universo descritto dai campi di immersione, i.e.:
ˆ
S = −Tp
p+1
d
√
σ −det(ηµν ∂i X µ ∂j X ν )
(2.4.11)
con Tp tensione della brana, cioè energia per unità di volume, e X µ campi di immersione. Si
noti ora che la struttura dell’azione di Born Infeld
ˆ √
S∝
−det(ηαβ + kFαβ )dd x
(2.4.12)
che, come detto, descrive la dinamica dei campi sulla brana, è perfettamente compatibile con
54
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
la struttura dell’azione (2.4.11). Pertanto, seguendo l’idea che la dinamica sia governata dalle
stringhe legate alla brana, è del tutto logico stabilire che a basse energie la parte d’azione di
brana che coinvolge i campi bosonici sia:
ˆ
S = −Tp
p+1
d
√
σ −det(ηµν ∂i X µ ∂j X ν + 2πα′ Fij )
(2.4.13)
con F tensore degli sforzi del campo U (1) determinato dagli stati bosonici di massa nulla
legati alla brana.
Naturalmente tale azione è invariante per riparametrizzazioni ma non è supersimmetrica.
Tuttavia esiste un formalismo, quello di Green-Schwarz (GS), mediante il quale è possibile
definire tale azione in modo che lo sia. Non si approfondirà questo aspetto in quanto in
precedenza non si è parlato del formalismo di GS ed inoltre non sarà utile nel seguito.
Si consideri ora la possibilità della presenza di campi bosonici di massa nulla nel target space.
L’effetto sulla dinamica della brana di campi relativi al settore di NS-NS può essere tenuto in
conto facilmente. Il campo di gravitone gµν ed il campo di Kalb-Ramond Bµν si inseriscono
opportunamente nella (2.4.13) sostituendo la loro somma alla metrica piatta:
ηµν ∂i X µ ∂j X ν −→ (gµν + Bµν ) ∂i X µ ∂j X ν .
(2.4.14)
Sebbene sia intuitivo sostituire la metrica di Minkowski con il gravitone, è un pò meno
immediato aggiungere nell’azione il pullback di Bµν . Quando però si noti che le stringhe
fondamentali, per loro definizione, sono cariche rispetto a tale campo si comprende che per
descrivere le possibili interazioni tra il campo Bµν ed il campo di gauge presente sulla brana
è necessario avere nell’azione un termine del tipo Bij + 2πα′ Fij .
Sempre seguendo l’idea che l’azione di brana in presenza di campi di background descriva
gli effetti sulla dinamica dovuti allo scattering tra le stringhe aperte legate alla brana e
le chiuse presenti nel bulk, è lecito considerare anche il contributo del campo di dilatone
moltiplicando per e−ϕ . In definitiva, se nel bulk sono presenti campi di NS-NS, l’azione di
brana ristretta ai campi di immersione bosonici si scrive:
ˆ
Swv = −Tp
p+1
d
σe
−ϕ̃
√
−det(gij + Bij + 2πα′ Fij )
(2.4.15)
2.4. ASPETTI DI BRANA A BASSE ENERGIE
55
dove con ϕ̃ si è indicato il campo di dilatone riscalato in modo tale che il suo valore di
aspettazione sul vuoto sia nullo, in quanto, come si vedrà, è usanza includere la costante
di accoppiamento di stringa nella definizione di Tp . L’azione (2.4.15) è quella che viene
denominata azione di volume d’universo (world-volume).
Per considerare anche i campi di background di RR è necessario aggiungere un nuovo
termine all’azione. Come detto in precedenza, una Dp brana è carica rispetto alla (p + 1)forma di massa nulla di RR e, per ottenere l’accoppiamento, basta considerare il pullback
della forma sul volume di universo in Eq. (2.3.29). Tuttavia è opportuno considerare anche
i possibili accoppiamenti dovuti all’interazione tra il campo di gauge e tutti i campi di RR.
Una strategia elegante per descrivere tali accoppiamenti consiste nell’integrare sul volume di
universo tutte le possibili (p + 1)-forme che si ottengono dal prodotto del pullback dei campi
di RR con una funzione di Fij e Bij . Per comodità si indichino con Ar direttamente i pullback
delle r-forme di RR. L’azione di interazione può essere allora opportunamente scritta come
segue:
ˆ (
∑ )
′
SCS = µp
eB+2πα F ∧
Ar
(2.4.16)
p+1
dove col pedice p+1 si vuole intendere che bisogna considerare solo i termini del prodotto che
sono (p + 1)-forme. Si noti che il primo termine dà l’ordinaria interazione della (p + 1)-forma
con la brana. Tale termine di azione è noto come azione di Chern-Simons.
2.4.3
Brane intersecanti e brane magnetiche
Si vuole ora mostrare un’interessante relazione di T-dualità tra brane. Si consideri, a tal
fine, una Dp-brana, con p ≥ 2, ed il relativo campo di gauge associato. La dinamica di una
stringa legata alla brana è descritta dall’azione:
1
S=−
4πα′
ˆ
ˆ
d σ∂α X ∂ Xµ −
2
Σ
µ α
dτ Ai
∂Σ
∂X i
∂τ
(2.4.17)
dove, come in precedenza, con A si è indicato il campo sul volume di universo della brana e con
Σ la superficie di universo della stringa. Minimizzando si ottengono le condizioni al contorno
per i campi di immersione, in particolare per i campi relativi alle direzioni longitudinali alla
56
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
brana si ha:
∂σ X i + 2πα′ Fji ∂τ X j = 0 .
(2.4.18)
Si consideri ora la brana estesa lungo le dimensioni x7 e x8 e siano tali dimensioni compattificate in un toro piatto T 2 ; si consideri inoltre che le uniche componenti non nulle del
campo di gauge sulla brana descrivano un campo magnetico costante sul toro, i.e. F78 = cost.
Eseguendo una trasformazione di T-dualità lungo x7 si ottiene una D(p − 1) avvolta sul toro
duale. Tuttavia, a causa delle non banali condizioni al contorno (2.4.18), tale brana non sarà
orientata lungo x8 . Considerando la (2.4.8), è immediato scrivere le condizioni al contorno
(2.4.18) in rappresentazione T-duale:

 ∂ X̂ 7 + F 7 ∂ X 8 = 0
τ
8 τ
 ∂ X 8 + F 8 ∂ X̂ 7 = 0
σ
7
.
(2.4.19)
σ
Si definiscano ora nuove coordinate ortogonali sul toro duale, x̂′7,8 = x̂′7,8 (x7 , x8 ) , in modo
tale che la D(p − 1) brana sia coincidente con la direzione x̂′8 ; si possono così riscrivere le
condizioni al contorno per stringhe legate alla D(p−1) nella forma usuale, ossia esplicitamente:

 δ X̂ ′7 = 0 ⇒ ∂ X̂ ′7 = 0
τ

∂σ X̂ ′8 = 0
(2.4.20)
Posto F87 = −tan (α) ed uguagliando le condizioni (2.4.19) e (2.4.20) si ottiene:

 X̂ ′7 = cos(α)X̂ 7 − sin(α)X 8
 X̂ ′8 = sin(α)X̂ 7 + cos(α)X 8
Ciò mostra che la Dp-brana, con campo magnetico associato, in rappresentazione duale è una
D(p − 1)- brana che si avvolge sul toro con un angolo α = −arctn (F87 ) rispetto alla direzione
x7 .
Si pensi adesso allo stesso esempio ma con due Dp-brane avvolte sul toro con campi
magnetici associati differenti. In rappresentazione duale si hanno due D(p − 1) brane che, a
seconda del valore dei campi, si intersecano con un dato angolo ed un dato numero di volte.
2.5. INTERAZIONI TRA D-BRANE
57
Queste relazioni di dualità tra brane magnetiche e brane intersecanti sono di fondamentale
aiuto nel tentativo di costruire modelli semirealistici di stringa che si basino su configurazioni
di brane. Permettono infatti di eseguire nelle due rappresentazioni calcoli e ragionamenti
differenti, ma con stesso contenuto fisico, potendo decidere quale sia la più opportuna in base
all’analisi che si svolge.
2.5
Interazioni tra D-brane
Le Dp-brane sono sorgenti di stati di stringa chiusa con i quali dunque interagiscono. E’
allora naturale attendersi che le brane interagiscano tra loro tramite lo scambio di tali stati;
pertanto una configurazione di più brane singolarmente stabili non è detto che risulti stabile.
In questa sezione si mostrerà come due brane parallele, pur interagendo, esercitano tra
loro una forza totale nulla. Nel limite di bassa energia, in cui si può pensare che lo scambio
sia limitato ai soli stati di massa nulla, l’interazione di gravitone e dilatone è compensata
dall’uguale e opposta interazione dovuta al campo di R-R. E’ interessante eseguire il calcolo
in quanto permettono di calcolare esplicitamente la tensione della brana in termini della
costante di accoppiamento della stringa. Inoltre, la tecnica utilizzata è facilmente applicabile
anche a configurazioni più complesse come ad esempio due brane intersecanti.
Si considerino due Dp-brane singolarmente stabili e parallele in una teoria Type II. Calcolare l’ampiezza di probabilità dello scambio di uno stato di stringa chiusa è equivalente a
calcolare l’ampiezza al primo ordine per le fluttuazioni del vuoto delle stringhe aperte che
congiungono le due brane. Questa affermazione è giustificata da una più fondamentale dualità che sussiste tra il diagramma associato al loop del primo ordine per le fluttuazioni del
vuoto delle stringhe aperte, ossia un diagrama ad anello, e quello associato alla propagazione
di una stringa chiusa libera, ossia ad un cilindro. Questa proprietà è chiamata dualità stringa
aperta/stringa chiusa. Con riferimento alla Fig. 1, per descrivere lo scambio di uno stato di
stringa chiusa si parametrizza il world-sheet con σ2 = σ e σ1 = t, mentre nell’interpretazione
di stringa aperta σ2 = t e σ1 = σ.
In QFT l’ampiezza di probabilità della fluttuazione del vuoto, al primo ordine, per un
58
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Figura 2.1: Interazione tra brane parallele
2.5. INTERAZIONI TRA D-BRANE
59
campo scalare in autointerazione è data, in termini del potenziale efficace, dalla seguente
espressione [6]:
ˆ
A =< 0| − i
1
Hdd x|0 >= −iVef f Vd = iΓ = −
log(det(−∂ 2 + m2 ))
.
2
(2.5.1)
In trasformata di Fourier ed utilizzando l’identità log(det M ) = T r(log M ), si ha:
A1 = −
T r(log(k 2 + m2 ))
2
(2.5.2)
Tale formula risulta appropriata anche per il calcolo delle ampiezze vuoto-vuoto ad un loop
in teoria di stringa, a patto di intendere la traccia come somma non solo su tutti i possibili
momenti ma anche su tutti gli stati di massa della stringa. Intuitivamente è comprensibile
che la (2.5.2) sia corretta anche in teorie di stringa in quanto non dipende dalla struttura delle interazioni, inoltre in [3] è mostrato esplicitamente che il calcolo perturbativo per
l’ampiezza del toro, diagramma vuoto-vuoto al primo ordine per stringa chiusa, corrisponde
effettivamente alla (2.5.2).
Per calcolare l’ampiezza del loop di stringa aperta che si estende tra le brane è opportuno
riscrivere la (2.5.2); sia:
T r(log(k 2 + m2 + λ))
A1 (λ) = −
2
utilizzando la parametrizzazione di Schwinger si ha:
∂A(λ)
1
= − Tr
∂λ
2
(
1
(k 2 + m2 ) + λ
)
e pertanto:
1
A = A (0) = T r
2
1
1
= − Tr
2
ˆ
∞
1
0
ˆ
∞
e−s((k
) ds
2 +m2 )+λ
0
e−s(k +m )
ds
s
2
2
Cambiando variabile di integrazione, s = 2πtα′ , ed eseguendo la traccia sui momenti si ha:
V p+1
A =
2
1
ˆ
dp+1 k
Tr
(2π)p+1
ˆ
0
∞
′
e−2πtα (k
t
2 +m2 )
dt
(2.5.3)
60
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
dove si è tenuto conto del fatto che lungo le direzioni perpendicolari alla brana il momento
è nullo. Il parametro t è da intendersi come il tempo nel loop di stringa aperta; in Fig. 1 si
ha t = σ 2 . Per calcolare la traccia sugli stati di massa bisogna ricorrere alla condizione di
mass shell per stringhe aperte che si estendono tra due brane:
α′ M 2 =
∑
α−n · αn +
n=1
∑
Y2
.
4π 2 α′
tψ−t · ψt − a0 +
t>0
(2.5.4)
Eseguendo l’integrazione sui momenti nella (2.5.3), tenendo presente la (2.5.4), ed eseguendo
la proiezione di GSO, si ha:
ˆ
1
A =V
∞
p+1
0
{(
Tr
p+1
Y2
dt
(8π 2 α′ t)− 2 · e− 2πα′ t .
t
1 + (−1)NN s +1 −2πt P(nNB +rNN S − 1 )
2
e
2
)
(
− 16
(2.5.5)
1 + Γ11 (−1)NR −2πt P(nNB +nNR )
e
2
)}
.
Il fattore -16 che moltiplica la parte relativa al settore di R è dovuto al fatto che per campi
spinoriali, quindi per fermioni dello spazio-tempo, la (2.5.1) cambia segno e la traccia è da
intendersi anche come somma su tutte le possibili polarizzazioni, [3].
Posto e−2πt = q, esplicitamente il primo contributo alla traccia è:
(
Tr
1
q
2
P
(nNB +rNN S − 12 )
)
=
1
1∑ ∑
2


1
(
Tr
(−1)NN s +1 P(nNB +rNN S − 1 )
2
q
2
(2.5.6)
)8
1 − qn
∑
dove, osservato che 0 < q ≤ 1 per ogni t, si è notato che
Analogamente si ottengono gli altri contributi:
(
1
2
1
∞
∏
1 + q n− 2
n=1
q nNB q rNN S q − 2 
u=1 n=1 r= 1
NB NN S =0
q− 2
=
2

8 ∏
∞ ∏
∞
∏
)
NB
q− 2
=−
2
1
(
q nNB è una serie geometrica.
1
∞
∏
1 − q n− 2
n=1
1 − qn
)8
(2.5.7)
2.5. INTERAZIONI TRA D-BRANE
61
(∞
)8
)
16 P(nNB +nNR )
16 ∏ 1 + q n
Tr
q
=
2
2 n=1 1 − q n
( 11
)
Γ (−1)NR P(nNB +nNR )
Tr
q
=0
2
(
Posto:
f1 (q) = q
∞
∏
1
16
(2.5.8)
(2.5.9)
(1 − q n )
(2.5.10)
n=1
f2 (q) =
√
2q
∞
∏
1
16
(1 + q n )
n=1
f3 (q) =
∞ (
∏
1+q
n− 12
)
n=1
f4 (q) =
∞ (
∏
1
1 − q n− 2
)
n=1
la (2.5.5) si scrive:
ˆ
1
A =V
p+1
0
∞
p+1
Y2
dt
(8π 2 α′ t)− 2 · e− 2πα′ t .
2t
{
f38 − f48 − f28
f18
}
(2.5.11)
ed è subito visto che tale espressione è nulla. Infatti, il quadrato delle funzioni f è proporzionale alle ϑ(0, t) di Jacobi che soddisfano la cosiddetta identità abstrusa. Più precisamente,
vale:
∏
ϑi (0, q) =
(1 − q n )fi2 (q)
n
e pertanto l’identità abstrusa, consistente in:
ϑ43 − ϑ44 − ϑ42 = 0 ,
implica
f38 − f48 − f28 = 0.
Come ci si attendeva due brane parallele esercitano tra loro una forza totale nulla.
(2.5.12)
62
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
I termini (2.5.6) e (2.5.8) che compaiono nell’ampiezza sono antiperiodici in t = σ 2 e
pertanto, nell’interpretazione di stringa chiusa, rappresentano il contributo di stati del settore
di NS-NS. Al contrario il termine con (−1)NN S +1 nell’ eq. (2.5.7), è periodico e rappresenta
il contributo degli stati di R-R.
E’ interessante eseguire il limite per t → 0 dell’ampiezza (2.5.11); cioè si vuole analizzare
la situazione in cui l’interazione è mediata da un world-sheet che è un cilindro di raggio nullo.
Tale limite corrisponde a considerare solo lo scambio di stati di massa nulla di stringa chiusa.
Sarà pertanto ottenibile anche in teoria di campo considerando l’azione effettiva per i campi
di massa nulla e per le brane. Il confronto dei due risultati permetterà di calcolare la tensione
delle brane.
Si esegua sulla (2.5.11) la trasformazione modulare:
t→τ =
π
t
ottenendo:
V p+1
A =−
2π
ˆ
1
∞
2
′ − p+1
2
dτ (8π α )
0
·
( π ) 9−p
2
τ
{
2
e
Y
− 2α
′τ
.
f38 (q ′ ) − f28 (q ′ ) − f48 (q ′ )
f18 (q ′ )
}
(2.5.13)
dove q ′ = e−τ e si sono utilizzate le relazioni:
f1 (e− t ) =
π
√
tf1 (e−πt )
(2.5.14)
f3 (e− t ) = f3 (e−πt )
π
f2 (e− t ) = f4 (e−πt )
π
f4 (e− t ) = f2 (e−πt ) .
π
Si calcoli ora il limite per τ → ∞ della parte dovuta allo scambio di stati relativi al settore
di NS-NS:
{
(
)}
lim f1−8 (q ′ ) f38 (q ′ ) − f48 (q ′ ) =
τ →∞
(
)−8 {(∏
)8 (∏
)8 }
∏
′− 21
′n
′n− 12
′n− 12
lim q
(1 − q )
(1 + q
) −
(1 − q
)
≃
τ →∞
2.5. INTERAZIONI TRA D-BRANE
q
′− 12
63
{(
) (
)}
′n− 21
′n− 12
(1 + 8q ) 1 + 8q
− 1 − 8q
≃
′n
q ′− 2 (1 + 8q ′ ) · 16q ′ 2 = 16
1
1
Per eseguire il limite si è mantenuto solo il termine con la potenza più bassa di q ′ . Pertanto
l’ampiezza nel settore di NS-NS è:
A1N SN S
V p+1
=−
2π
ˆ
∞
2
′ − p+1
2
·
dτ (8π α )
( π ) 9−p
2
τ
0
p+1
V p+1
=
(8π 2 α′ )− 2
2π
= V p+1 8π
(
p−7
2
2α′
Y2
) 7−p
2
ˆ
16
∞
dλ · e−λ λ
(2.5.15)
7−p
−1
2
0
( 7−p )
(4π 2 α′ )3−p
Γ 2
=⇒
Y 7−p
(
)3−p
A1 = Vp+1 2π 4π 2 α′
G9−p (Y )
con
Y2
e− 2α′ τ · 16
( )
Γ 7−p
7−p
2
G9−p (Y ) =
·π 2 .
7−p
4πY
(2.5.16)
(2.5.17)
Per eseguire lo stesso calcolo in teoria di campo è necessario ottenere i propagatori ed i
vertici di interazione dei campi con le brane. Gli stati di massa nulla nel settore di NS-NS di
interesse sono il gravitone ed il dilatone, in quanto il tensore Bµν interagisce con le brane solo
tramite gli stati di stringa aperta legati ad essa che qui stiamo trascurando. Per ottenere i
vertici conviene sviluppare al primo ordine l’azione di brana (2.4.15):
ˆ
S = −Tp
dp+1 σe−ϕ̃
√
−det(gαβ )
(2.5.18)
dove, come già detto, si è trascurato Bµν ed il campo di gauge. Poichè è più facile calcolare
i propagatori partendo dall’azione effettiva scritta nell’Einstein frame, per calcolare i vertici
nello stesso frame dei propagatori è necessario riscalare la metrica nella (2.5.18). Posto:
ϕ̃
gαβ = g̃αβ e 2
(2.5.19)
64
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
ˆ
si ha
S = −Tp
p+1
d
σe
p−3
ϕ̃
4
√
− det(g̃αβ ) .
(2.5.20)
Approssimando la metrica:
(2.5.21)
g̃µν = ηµν + 2khµν
si ottiene lo sviluppo al primo ordine dell’azione notando che:
√
√
√
− det(η + 2kh) = − det(η) det(1 + 2kη −1 h)
(
= e
ln(det(1+2kη −1 h))
) 12
≃e
(2.5.22)
T r(2kη −1 h)
2
≃ 1 + T r(kη −1 h) ≃ 1 + kη αβ hαβ
dove si è usata l’identità log(det M ) = T r(log M ) e l’approssimazione al primo ordine del
logaritmo. Pertanto:
(
ˆ
S ≃ −Tp
p+1
d
)
(
)
p−3
σ 1+
ϕ̃ · 1 + kη αβ hαβ
4
(
ˆ
≃ −Tp
d x·δ
10
9−p
p−3
ϕ̃ + kη αβ hαβ
(x ) 1 +
4
⊥
)
(2.5.23)
dove si sono identificate le coordinate del volume di universo della brana con p + 1 coordinate
dello spazio-tempo e inoltre con x⊥ si sono indicate le coordinate perpendicolari alla brana.
Dalla (2.5.23) è immediato leggere i vertici di interazione:
p−3
ϕ̃
4
(2.5.24)
Jhαβ = −Tp δ 9−p (x⊥ )kη αβ .
(2.5.25)
Jϕ̃ = −Tp δ 9−p (x⊥ )
I propagatori possono essere ricavati linearizzando la parte d’azione di supergravità di
interesse scritta nell’ Einstein f rame, i.e.:
1
S= 2
2k
ˆ
10
d x
√
)
1
µ
−g̃ R̃ − ∂µ ϕ̃∂ ϕ̃ .
2
(
(2.5.26)
2.5. INTERAZIONI TRA D-BRANE
65
Posto, come in (2.5.23), g̃µν = ηµν + 2khµν , e riscalando il dilatone, χ =
1
S≃−
2
(
ˆ
10
µ νλ
d
∂µ hνλ ∂ h
1
− ∂µ hνν ∂ µ hλλ + 2∂µ χ∂ µ χ
2
ϕ̃
√
,
k 2
si ha:
)
.
(2.5.27)
Ricordando che siamo interessati alla propagazione tra due Dp brane parallele fisse a
distanza Y , e che si è approssimata la metrica al primo ordine, i propagatori di gravitone e
dilatone risultano essere:
ˆ
e−ip·Y
(2.5.28)
△χ (Y ) = d9−p p 2 = G9−p (Y )
p
△hµν,ρσ
1
=
2
(
)
1
ηµρ ηνσ + ηµσ ηνρ − ηµν ηρσ G9−p (Y )
4
(2.5.29)
La (2.5.24) scritta in termini di χ è:
p−3
Jχ = −Tp δ 9−p (x⊥ ) √ k · χ
2 2
(2.5.30)
Si può a questo punto calcolare l’ampiezza di probabilità dello scambio di stati di massa nulla
di NS-NS tra due brane parallele in teoria di campo. Esplicitamente:
}
{
AN SN S = Vp+1 Jχ △χ (Y )Jχ + Jhαβ △hαβ,γδ Jhγδ
{
= Vp+1 Tp2 k 2 G9−p (Y )
(p − 3)2
(p + 1)2
+ (p + 1) −
8
8
(2.5.31)
}
= 2Vp+1 Tp2 k 2 G9−p (Y ) .
Confrontando questo risultato con la (2.5.16), si ottiene la tensione della brana:
√
Tp =
π (4π 2 α′ )
k
3−p
2
=
1
p
g (2π) (α′ )
p+1
2
(2.5.32)
dove nello scrivere l’ultimo termine si è considerato il valore esplicito della costante gravita7
zionale in funzione della costante di accoppiamento di stringa, i.e. k = 8π 2 g (α′ )2 .
66
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Analogamente a quanto fatto per i bosoni di NS-NS, si può eseguire il calcolo per l’ampiezza di scambio di un bosone di R-R in teoria di campo.
Partendo dall’azione:
1
S=− 2
4k
ˆ
10
d x
√
ˆ
2
−gFp+2
+ µp
dp+1 σAp+1
(2.5.33)
con µp carica per unità di volume della brana, in teoria di campo si ottiene l’ampiezza:
ARR = −2k 2 µ2p Vp+1 G9−p (Y ) .
(2.5.34)
Ricordando che per la (2.5.16) deve valere
ARR + AN SN S = 0
(2.5.35)
dalle (2.5.31) e (2.5.34) è immediato ottenere la relazione di BPS tra massa e carica:
Tp = µp .
2.6
(2.5.36)
Altri possibili portatori di carica: i piani di Orientifold
Le teorie di stringa sono caratterizzate, oltre che dalle brane, dall’esistenza di altri oggetti
multidimensionali carichi rispetto ad i campi di R-R, detti piani di orientif old. Tali oggetti
sono estesi per intero lungo determinate dimensioni e, in particolare, sono individuati dal
luogo dei punti dello spazio-tempo invariante per determinate trasformazioni.
Più precisamente i piani di orientifold emergono naturalmente in “nuove” teorie di superstringa ottenute proiettando gli spettri delle teorie Type II in modo tale che tutti gli stati
siano invarianti per azione di determinati gruppi. Si ricordi che lo spettro di stringa chiusa
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
67
della teoria Type I è ottenuta da quello della Type IIB proprio con un procedimento di questo
tipo. Tra breve si vedrà che è possibile ottenere analogamente altre teorie che sono in realtà
descrizioni T-duali della Type I.
Si cominci con il ricordare la definizione, nota in geometria, di orbif old: data una varietà
M ed un gruppo discreto G che agisce su di essa, si definisce l’ orbifold M ′ come lo spazio
come lo spazio ottenuto identificando i punti che sono connessi dall’azione di G, ovvero come
quoziente di M i cui elementi sono classi di equivalenza determinate da G; in sintesi:
{ }
M
= [x]i i con x, x′ ∈ [x]i ⇐⇒ gx = x′ per ogni g ∈ G
(2.6.1)
G
dove con x si è individuato un generico punto di M . Si noti che la varietà M ′ può presentare
singolarità costituite dai punti di M invarianti per azione di G.
M′ =
Se la dinamica delle stringhe si svolge in un target space a cui è associata una simmetria
di questo tipo, cioè se il target space è identificabile con M ′ , il concetto di orbifold viene
naturalmente esteso alle teorie di stringa. Si consideri una teoria di stringhe chiuse e orientate,
si indichi tale teoria con A e sia definita in M . Dato un gruppo discreto G, che agisce sui
campi di immersione relativi agli stati della teoria nello stesso modo che sui punti di M , è
naturale definire la teoria di orbifold A′ :
A′ =
A
G
come una teoria il cui spettro sia costituito dagli stati di A con campi di immersione invarianti
per azione di G, i.e. :
X µ = gX µ per ogni g ∈ G .
(2.6.2)
Pertanto le teorie di orbifold sono teorie con simmetrie spazio-temporali delle superfici di
universo.
Tuttavia lo spettro di una teoria di orbifold non è in generale costituito solo dagli stati
della teoria da cui origina invarianti per azione del gruppo di simmetria G. Di fatto lo
spettro di stringa chiusa si arricchisce di un nuovo settore, detto settore twistato (twisted).
68
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Tale settore è costituito dagli stati per i quali vale:
X µ (σ + π) = gX µ (σ) con g ̸= 1
(2.6.3)
cioè da stati di stringa con, ad esempio, estremità in punti differenti di M ma che coincidono
in M ′ .
E’ possibile facilmente estendere il concetto di teoria di orbifold considerando teorie in
cui il gruppo di simmetria G sia una combinazione di trasformazioni spazio-temporali e della
trasformazione di parità di world-sheet, i.e. Ω : σ → π − σ.
Posto G = G1 + ΩG2 , con G1 e G2 essendo gruppi di trasformazioni spazio-temporali, la
teoria di stringa:
A
A
=
(2.6.4)
A′ =
G
G1 + ΩG2
viene detta teoria di orientif old. In tutto il prosieguo del lavoro si considererà sempre
G1 = {1}.
I luoghi dei punti connessi del target space invarianti per azione di G2 vengono detti
piani di orientifold. In ogni punto del target space le superfici di universo devono soddisfare
la condizione: X µ = ΩgX µ per ogni g appartenente a G2 ; pertanto gli stati della teoria
localizzati sui piani di orientifold devono essere non orientati, mentre in un generico punto non
invariante per azione di G2 le superfici di universo possono essere orientate. Più precisamente,
la proiezione impone delle relazioni che legano il valore della funzione d’onda di uno stato
calcolata in un punto al valore nell’immagine del punto per parità.
In teoria di orientifold non è possibile definire un analogo diretto del settore twistato,
tuttavia talvolta sono comunque presenti stati aggiuntivi rispetto alla teoria di origine. In
molti casi, ed in verità in tutte le situazioni che saranno considerate, la consistenza della
teoria di orientifold richiede la presenza di un settore di stringa aperta. Tale eventualità è
intimamente legata al fatto che i piani di orientifold possono essere visti come oggetti fisici
carichi che interagiscono con gli stati di stringa chiusa. Con i seguenti esempi si farà luce su
questi aspetti.
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
69
Si consideri la seguente teoria di orientifold:
Type IIB
1+Ω
(2.6.5)
cioè la teoria costituta da tutti gli stati della Type IIB invarianti per azione del gruppo
G = {1, Ω} ∼ Z2 . In assenza di D-brane la teoria Type IIB non presenta stati di stringa
aperta e la teoria di orientifold così definita è costituita dagli stati di stringa chiusa della
Type IIB strettamente invarianti per azione di Ω, cioè lo spettro coincide con lo spettro di
stringa chiusa della teoria Type I. Tuttavia una teoria costituita di solo stringhe chiuse non
orientate non è di per sè consistente in quanto il vuoto non è stabile. Infatti, dall’ analisi
perturbativa si evince che sono presenti tadpoles divergenti di stati a massa nulla. Si vuole
ora brevemente mostrare l’origine di tali divergenze e si vedrà che queste sono cancellate
solo se si considera l’aggiunta di un settore di stringhe aperte con 32 fattori di Chan-Paton
associati ed il cui spettro bosonico di massa nulla fornisca la rappresentazione aggiunta di
SO(32), cioè in pratica se alla teoria di orientifold (2.6.5) si aggiunge un settore di stringhe
aperte che permetta di identificare questa con la Type I. Tale analisi permetterà di introdurre
alcuni elementi che consentiranno di guardare ad i piani di orientifold come oggetti fisici ed,
in particolare, di assegnare loro una determinata carica ed una determinata tensione. A tal
proposito si noti che nella teoria di orientifold appena definita è presente un unico piano di
orientifold esteso lungo l’intero spazio tempo. Più avanti si vedrà che è possibile assegnare a
tale piano tensione e carica opposte a quelle di 32 D9 brane. Si potranno pertanto interpretare
i fattori di Chan-Paton della Type I come dovuti alla presenza di 32 D9 su cui terminano
le stringhe aperte e contemporaneamente, grazie alla presenza del piano di orientifold, avere
una configurazione di oggetti che si estendono lungo l’intero spazio-tempo con densità di
carica totale nulla. Come sarà discusso tra breve, fintanto che non si eseguano trasformazioni
di T-dualità, tale interpretazione è di fatto equivalente a considerare il bulk della Type I
senza nè brane nè piano di orientifold, pertanto si svolge ora l’analisi della cancellazione delle
divergenze ignorandone per il momento la presenza.
In una teoria di stringhe aperte e chiuse si hanno naturalmente due possibili loop, quello
di stringa aperta e quello di stringa chiusa. Il calcolo dell’ampiezza per tali loop può essere
eseguito in maniera del tutto analoga a quanto svolto per il loop di stringhe aperte che
70
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
si estendono tra due D-brane, vale a dire utilizzando la formula (2.5.3). In una teoria di
stringhe non orientate, per considerare solo gli stati effettivamente presenti nella teoria, è
tuttavia necessario introdurre il proiettore 1+Ω
, e l’ampiezza per un loop di stringhe libere
2
nell’intero spazio-tempo risulta essere:
V10
A=
2
ˆ
d10 k
Tr
(2π)10
ˆ
0
∞
[
]
′ 2
2
1 + Ω e−2πtα (k +m )
dt
2
t
(2.6.6)
dove, si ricordi, la traccia è da intendersi come somma su tutti i possibili stati. Tale ampiezza,
sia nel caso di stringa aperta, sia nel caso di stringa chiusa, può essere interpretata in termini
di due grafici differenti. Per la stringa aperta l’integrazione proporzionale ad 12 , cioè quella
che origina dal primo termine del proiettore 1+Ω
, rappresenta l’ampiezza per una superficie
2
d’universo cilindrica di stringhe orientate; difatti, fatta eccezione per il fattore 12 introdotto
dal proiettore, tale termine è identico a quello calcolato nella sezione precedente con p = 9.
Il termine proporzionale ad Ω2 rappresenta invece l’ampiezza per una superficie identificabile
con il nastro di M oebius, ed è facile convincersene se si considera che Ω inverte l’orientazione
delle stringhe ad un dato istante di tempo prima che queste completino il loop [si veda la
Fig. (2)]. Analogamente per la stringa chiusa, il termine proporzionale ad 12 rappresenta
l’ampiezza per il toro, mentre il termine con Ω2 descrive l’ampiezza per la bottiglia di Klein.
Si ricordi ora quanto visto nel paragrafo precedente per il cilindro relativo a stringhe con
estremità vincolate lungo alcune direzioni, cioè per il loop di stringhe che si estendono tra
due Dp brane: tale grafico può essere anche interpretato come dovuto alla propagazione di
stati bosonici di stringa chiusa tra le due brane. Sebbene l’ampiezza totale di scambio tra
le due sorgenti sia nulla, si è visto che l’ampiezza per lo scambio di stati relativi ai settori a
massa nulla di NS-NS, gravitone e dilatone, e di R-R, per scambio tra Dp brane descrivibili
da una Ap+1 forma, è opposta in segno ma singolarmente divergente.
Per il cilindro relativo a stringhe libere nell’intero spazio-tempo si hanno naturalmente
le stesse caratteristiche, anche in questo caso esso può essere interpretato come dovuto alla
propagazione di stringhe chiuse, e si hanno divergenze nei settori di NS-NS e R-R. La divergenza nel settore di NS-NS, cioè la divergenza dell’ampiezza relativa alla propagazione di
dilatone e gravitone tra due tadpoles, è interpretabile come un’eccitazione del vuoto, cioè è
in ultima analisi dovuta alla divergenza dei tadpoles. Inoltre la divergenza relativa al settore
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
71
di R-R può essere interpretata solo in termini di una 10-forma [4]. Per avere una teoria con
un vuoto stabile è ovviamente necessario che i tadpoles siano nulli. Alternativamente, si può
dire che, se nel bulk della teoria sono presenti oggetti sovrapposti che si estendono lungo
l’intero spazio tempo e che si accoppiano con dilatone, gravitone ed una 10- forma, la somma
delle relative densità di carica deve essere nulla in ogni punto.
Anche il nastro di Moebius e la bottiglia di Klein possono essere interpretati come dovuti
alla propagazione di stringhe chiuse tra due tadpoles [si vedano le figg. (2) e (3)]. Più
precisamente il primo è interpretabile come un cilindro con un crosscap ad una estremità,
cioè come un cilindro con una circonferenza di bordo che abbia punti opposti identificati, e ciò
è equivalente alla propagazione di una stringa chiusa con particolari condizioni al contorno.
Analogamente la bottiglia di Klein può essere descritta da un cilindro con crosscaps ad
entrambe le estremità.
Figura 2.2: Due modi di interpretare il nastro di Moebius con l’ausilio di due regioni fondamentali. In alto l’interpretazione più comune che rappresenta un loop di stringhe aperte; in
basso, definendo differentemente la regione fondamentale, si ha l’interpretazione in termini di
un cilindro con un crosscap ad un’estremità che rappresenta la propagazione di una stringa
chiusa. I due parametri l e t che, a meno del fattore π, definiscono il tempo di propagazione
nelle due interpretazioni sono legati dalla trasformazione conforme t = 2l1 .
72
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Figura 2.3: Due modi di interpretare la bottiglia di Klein con l’ausilio di due regioni fondamentali. In alto l’interpretazione che rappresenta un possibile loop di stringhe chiuse; in
basso, definendo differentemente la regione fondamentale, si ha l’ interpretazione in termini
di un cilindro con crosscaps ad entrambe le estremità che rappresenta la propagazione di
una stringa chiusa. I due parametri l e t che definiscono il tempo di propagazione nelle due
interpretazioni sono legati dalla trasformazione conforme t = 2l1 .
Sviluppando esplicitamente i calcoli per le relative ampiezze si osserva che per queste due
superfici si hanno le stesse caratteristiche del cilindro, vale a dire, sebbene l’ampiezza totale
sia nulla, nell’interpretazione di propagazione di stringa chiusa, ed eseguendo il limite di bassa
energia, si vede che l’ampiezza per i settori a massa nulla di NS-NS e R-R è opposta in segno
ma singolarmente divergente. In particolare, ad esempio nel settore di R-R, rispettivamente
per cilindro, nastro di Mobius e bottiglia di Klein si ha2 :
V10
ARR (C) = N ·
(8π 2 α′ )−5
8π
ˆ
2
0
V10
(8π 2 α′ )−5
ARR (M S) = −2 N ·
8π
∞
dτ · 16
ˆ
6
2
∞
dτ · 16
(2.6.7)
(2.6.8)
0
Per il calcolo della (2.6.8) si è considerato che la proiezione Ω è realizzata in modo tale che gli stati
bosonici di massa nulla delle stringhe aperte definiscano il gruppo speciale ortogonale SO(N ).
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
V10
ARR (KB) = 2 ·
(8π 2 α′ )−5
8π
ˆ
10
∞
dτ · 16
73
(2.6.9)
0
dove la dipendenza da N , che individua il numero dei possibili fattori di Chan-Paton associati
alle estremità delle stringhe aperte, deriva dalla somma su tutti i possibili stati di queste.
Si osservi ora che per la somma di queste tre ampiezze si ha:
ARR (C + M S + KB) ∝ N 2 − 26 N + 210 = (N − 32)2
(2.6.10)
e pertanto l’ampiezza risulta nulla se N = 32. In pratica la divergenza relativa al potenziale
A10 , così come quella dovuta ai tadpoles di stati del settore di NS-NS, è nulla se alle estremità
delle stringhe aperte sono associati 32 fattori di Chan-Paton. Come ci si attendeva la teoria
di orientifold (2.6.5) è consistente se si considera l’aggiunta di un settore di stringhe aperte
il cui spettro bosonico di massa nulla definisce SO(32).
Si vuole ora fornire una definizione consistente di teorie di orientifold che siano descrizioni
Type IIB
. Allo scopo si consideri in
T-duali della Type I, ovvero della teoria di orientifold
1+Ω
tale teoria una coordinata, sia essa xµ , compattificata in un cerchio. Si cominci inoltre con il
considerare solo il settore di stringa chiusa e si ricordi che una trasformazione di T-dualità
lungo una direzione trasforma la teoria Type IIB nella teoria Type IIA. Sarà quidi possibile
Type IIB
dopo la trasformazione di T-dualità lungo la coordinata xµ nella
esprimere la teoria
1+Ω
Type IIA
forma
, dove G è il gruppo che permette di eseguire la proiezione di orientifold sulla
G
teoria Type IIA in modo tale da restringerla solo agli stati ottenibili con una trasformazione
di T-dualità dalla Type I. Per determinare G si ricordi che la trasformazione di T-dualità
lungo la direzione xµ comporta le seguenti regole di trasformazione per i campi di immersione:
T : XLµ → XLµ
XRµ → −XRµ
(2.6.11)
ed analoghe trasformazioni per i campi fermionici:
T : ψ̃ µ → ψ̃ µ
ψ µ → −ψ µ .
(2.6.12)
Ricordando inoltre che la trasformazione Ω, di parità della superficie di universo trasforma
campi lef t in campi right e viceversa, ovvero operatori lef t in operatori right e viceversa,
74
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
l’azione di Ω sui trasformati per T-dualità dei campi di immersione è subito determinata:
Ω [T (X µ )] = Ω [XLµ − XRµ ] = XRµ − XLµ = −T [X µ ] .
(2.6.13)
Per determinare invece l’azione di Ω sui trasformati per T-dualità di stati che presentano
eccitazioni fermioniche, si ricordi che uno stato della Type I può essere determinato solo
da prodotti di oscillazioni che siano simmetrici nelle parti lef t e right, e pertanto per il
trasformato di un tale prodotto si ha:
[ (
)]
[
(
)]
∑ µ∑ µ ∑ µ∑ µ
∑ µ∑ µ ∑ µ∑ µ
Ω T
ψ̃t′
ψt +
ψt′
ψ̃t
= Ω (−1)F
ψ̃t′
ψt +
ψt′
ψ̃t
=
t′
t
t′
t′
t
(
(−1)F T
∑
t′
ψ̃tµ′
∑
t
ψtµ
+
∑
t′
ψtµ′
t′
t
∑
t
)
ψ̃tµ
(2.6.14)
t
dove con F si è indicato il numero di oscillazioni right.
In definitiva, indicata con Rµ l’operazione di riflessione della coordinata xµ , che naturalmente agisce sul campo di immersione X µ invertendo il segno, i.e. Rµ X µ = −X µ , e
guardando alle relazioni (2.6.13) e (2.6.14) è facile convincersi che l’operatore ΩRµ (−1)F lascia invariato ogni stato della teoria Type IIA ottenibile dalla Type I con una trasformazione
di T-dualità lungo la direzione xµ . Osservando inoltre che tutti gli stati della Type IIA non
ottenibili per T-dualità dalla Type I sono determinati da prodotti di operatori fermionici
antisimmetrici in lef t e right e che per il campo di immersione vale X µ = XRµ + XLµ , è
allora facile vedere che tali stati non sono strettamente invarianti per azione del proiettore
ΩRµ (−1)F . Si è quindi dimostrato che la teoria di orientifold3 :
Type IIA
1 + ΩRµ (−1)F
3
(2.6.15)
Tale definizione per la teoria di orientifold T-duale alla Type I coincide con la definizione data in [11],
in altre pubblicazioni, quali [10] e [12], non è presente il fattore (−1)F perchè in tali referenze si considera la
seguente azione di Ω sugli operatori fermionici: Ωψt Ω−1 = ψ̃t , Ωψ̃t Ω−1 = −ψt . Tuttavia tale definizione per
la trasformazione di parità della superficie di universo è fisicamente equivalente a quella adottata in questo
lavoro, i.e. Ωψt Ω−1 = ψ̃t , Ωψ̃t Ω−1 = ψt .
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
75
definisce correttamente la teoria ottenuta per trasformazione di T-dualità lungo la coordinata
Type IIB
.
xµ dalla teoria di orientifold
1+Ω
Type IIB
Si osservi che mentre nella teoria
è presente un unico piano di orientifold che
1+Ω
Type IIA
occupa l’intero spazio-tempo, nella teoria 1+ΩRµ (−1)F sono presenti due piani di orientifold,
perpendicolari alla direzione xµ , di 8 dimensioni spaziali, e localizzati nei due punti del cerchio
duale invarianti per riflessione Rµ , i.e. in xµ = 0, xµ = π.
Da quanto esposto nei paragrafi precedenti dovrebbe essere chiaro che, indipendentemente
se nel bulk della Type I sono presenti 32 D9 brane o meno, già il fatto che al settore di
stringa aperta siano associati 32 fattori di Chan-Paton implica che, dopo una trasformazione
di T-dualità lungo la direzione xµ , siano presenti 32 D8 brane localizzate in qualche punto
del cerchio duale. Più precisamente, dato che un punto dello spazio-tempo con xµ = x̄µ è
identificato dalla proiezione di orientifold con un punto per il quale xµ = x̄µ + π, se una
brana è localizzata in x̄µ allora è necessario che vi sia anche una brana in x̄µ + π. Pertanto
sedici D8 brane sono individuate da un qualche valore della coordinata duale compreso tra
0 e π ed altre sedici sono individuate dalle rispettive immagini di tali valori per riflessione.
Type IIA
In ogni caso il settore di stringa aperta della teoria 1+ΩRµ (−1)F è costituito di stringhe con
le estremità vincolate su tali brane. Si noti che se alcune di queste D8 sono localizzate in
xµ = 0 o in xµ = π, cioè se sono sovrapposte ad i piani di orientifold, le stringhe ad esse
legate devono essere non orientate.
Type IIB
Se nella teoria
si considerano più dimensioni compatte è naturalmente possibile
1+Ω
eseguire più trasformazioni di T-dualità, ed eseguendo le considerazioni precedenti per ogni
direzione lungo la quale si esegue una trasformazione, è possibile ottenere più teorie che sono
descrizioni duali della Type I. Più precisamente, non è difficile convincersi che, eseguendo
lungo n direzioni n trasformazioni di T-dualità, si ottengono le seguenti teorie:
Type IIA
1 + ΩRn (−1)F
Type IIB
1 + ΩRn (−1)F
con n dispari
(2.6.16)
con n pari
dove con Rn si è indicato il prodotto degli operatori di riflessione relativi alle coordinate
∏
T-dualizzate, cioè Rn = nµ=1 Rµ . In queste teorie si possono definire 2n piani di orientifold
76
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
di 9 − n dimensioni spaziali; nel seguito questi piani saranno identificati con O(9 − n).
Ciascun piano è naturalmente esteso lungo le dimensioni per le quali non si sono eseguite
trasformazioni di T-dualità ed è localizzato nei punti con xµ = 0 oppure xµ = π per ogni µ ∈
{1, ..., n}. Sono inoltre presenti 32 D(9 − n) brane per le quali valgono le stesse considerazioni
fatte nel caso delle D8.
Come più volte detto, i piani di orientifold presenti nelle teorie sopra definite sono oggetti
carichi rispetto ad i campi di R-R ed hanno una determinata tensione: si vuole ora fare
chiarezza su questo aspetto. Così come tra due Dp brane l’interazione può essre descritta
in termini di una superficie di universo cilindrica, l’idea di base per descrivere l’ interazione
dovuta allo scambio di stati di stringa chiusa tra due piani di orientifold di p dimensioni, è di
considerare questa come mediata da una superficie di universo identificabile con la bottiglia
di Klein, cioè da una superficie di universo cilindrica ma con due crosscaps alle estremità.
In pratica l’emissione di stati di stringa chiusa da un piano di orientifold è vincolata da
particolari condizioni al contorno. L’ampiezza di scambio tra una Dp brana e un piano Op
sarà quindi determinata dall’ampiezza per il nastro di Mobius con il crosscap localizzato sul
piano di orientifold.
Utilizzando i vari termini della formula (2.6.6), integrando però i momenti solo lungo
le direzioni parallele alle Dp brane ed ai piani Op, è facile calcolare le varie ampiezze di
scambio tra essi. Confrontando i risultati per i settori a massa nulla di NS-NS e R-R con i
calcoli eseguiti in teoria di campo nella sezione precedente, eq (2.5.31) e (2.5.34), è possibile
determinare la tensione e la carica rispetto ad una p + 1 forma di un piano Op. E’ inoltre
importante dire che in queste teorie i valori della carica e della tensione di una Dp brana
sono la metà del valore calcolato nella sezione precedente per Dp brane in teorie Type II.
Per comprendere ciò si osservi che, per calcolare l’ampiezza di scambio tra una brana individuata da determinati valori delle coordinate duali e la brana localizzata all’immagine per
riflessione, è necessario considerare una superficie cilindrica che sia un loop di stringhe aperte
non orientate, in quanto non è possibile fare distinzione tra le due estremità delle stringhe.
Questo comporta, per le ampiezze di scambio relative ai vari settori, l’aggiunta di un fattore
numerico correttivo rispetto al calcolo svolto nella sezione precedente ed in particolare, confrontando con il calcolo svolto in teria di campo, si ricavano valori per carica e tensione che
risultano la metà di quelli che si hanno considerando un loop di stringhe orientate.
2.6. ALTRI POSSIBILI PORTATORI DI CARICA: I PIANI DI ORIENTIFOLD
77
Esplicitamente, in termini della carica e della tensione di una Dp brana in teoria Type
II, si hanno i seguenti valori per cariche e tensioni dei piani di orientifold e delle bane nelle
teorie duali alla Type I:
µOp = −2p−5 µDp
1
µDp(I) = µDp
2
(2.6.17)
1
TDp(I) = TDp .
(2.6.18)
2
Talvolta, in alcuni testi, in queste teorie non viene fatta distinzione tra una brana e la
sua immagine per riflessione delle coordinate T-dualizzate: esse vengono considerate come
un oggetto unico, con ovviamente carica e tensione coincidenti con quelle che si hanno in
teorie Type II. In questo lavoro, consistentemente con quanto fatto in [12], si è voluta fare
espressamente differenza tra una brana e la sua immagine perchè, come si vedrà, ciò gioca
un ruolo rilevante nel tentativo di costruire modelli semirealistici di stringa.
TOp = −2p−5 TDp
Si ricordi ora che, in una teoria ottenuta dalla Type I con 9 − p trasformazioni di Tdualità, sono presenti 29−p piani Op. Pertanto, in ogni teoria, la somma delle cariche e delle
tensioni di tutti i piani è esattamente opposta a quella delle 32 Dp brane. Sebbene vi siano
delle difficoltà nel calcolare esplicitamente le cariche (2.6.17) nel caso sia p = 9 è del tutto
comprensibile dire che nel bulk della Type I sono estesi un piano di orientifold O9 e 32 D9
i cui rapporti tra le cariche e le tensioni sono dati dalle eq. (2.6.17) e (2.6.18) e pertanto le
somme totali sono nulle.
Naturalmente è possibile definire delle teorie con le proiezioni di orientifold sopra mostrate
che non siano strettamente duali della Type I, o meglio che non siano descrizioni duali del
bulk della Type I. Difatti, in una qualsiasi delle teorie precedenti è possibile considerare un
numero arbitrario di brane, non necessariamente 32, e non necessariamente parallele ad i
piani di orientifold. La stabilità di un tale modello è tuttavia da verificare a seconda della
particolare configurazione. Nel prossimo capitolo si farà chiarezza su questo aspetto.
Si conclude questa sezione dicendo, per completezza, che in una teoria di stringhe non
orientate definita in modo tale che gli stati a massa nulla forniscano la rappresentazione
aggiunta del gruppo simplettico, invece che dello speciale ortogonale, i piani di orientifold
hanno cariche e tensioni positive. Questo perchè, in una tale teoria, l’ampiezza del nastro di
78
CAPITOLO 2. TEORIA DELLE STRINGHE E D-BRANE
Moebius per gli stati di massa nulla cambia segno. In ogni caso nel seguito di questo lavoro
non si considererà tale eventualità.
Capitolo 3
Brane Intersecanti e Modello Standard
E’ questo il capitolo “cruciale” della tesi. In esso, infatti, verranno descritte le configurazioni
di brane intersecanti che sono quelle candidate a riprodurre la materia chirale che caratterizza
il Modello Standard. Questa tipologia di brane sarà collocata in uno spazio-tempo con sei
dimensioni compatte, in particolare lo spazio compatto sarà considerato come prodotto di
tre tori bidimensionali. L’attenzione sarà rivolta a configurazioni di D6-brane. Questo,
di fatto, non priva di generalità l’analisi che viene realizzata, dal momento che Dp-brane
con dimensionalità diverse sono tutte correlate da opportune trasformazioni di T-dualità e
limiti di decompattificazione. La scelta di una particolare tipologia di Dp-brane, in questo
caso le D6-brane, è soltanto dettata da motivi di convenienza. Inoltre modelli realistici
quadridimensionali sono ottenuti immergendo la configurazione prescelta di brane intersecanti
in uno spazio compatto con orbifold che presenta punti singolari, ossia punti fissi rispetto
a delle opportune trasformazioni di simmetria che coinvolgono sia lo spazio-tempo sia la
superficie d’universo della stringa. E’ questo un modo per implementare singolarità dello
spazio-tempo che risultano necessarie per poter ottenere teorie quadridimensionali realistiche
(ossia non conformi e con un numero ridotto di supersimmetria). La struttura fondamentale
di tutti i modelli di brane intersecanti è costituita da stacks di brane sovrapposte nell’ordinario
spazio-tempo quadridimensionale e che si intersecano nelle extra dimensioni. Proprio in tali
79
80
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
intersezioni sono localizzati stati fermionici di massa nulla e di chiralità quadridimensionale
definita; inoltre questi risultano carichi rispetto ad i bosoni vettori di gauge presenti sul
world-volume delle brane. Inoltre verrà dimostrato che il numero di generazioni leptoniche
del Modello Standard viene a coincidere con il numero di intersezioni delle brane stesse nelle
dimensioni extra.
Nel primo paragrafo si analizzerà lo spettro di bassa energia associato ad una generica
configurazione di D6 brane e in particolare si dimostrerà che alle intersezioni tra gli stack sono
presenti stati fermionici di chiralità quadridimensionale definita. Nei paragrafi successivi si
mostrerà invece come determinare delle particolari configurazioni che diano vita ad una teoria
effettiva quadridimensionale che sia una teoria di gauge realistica. In particolare, si mostrerà
prima, quali sono le condizioni da imporre per ottenere una teoria effettiva priva di anomalie
e successivamente si determineranno delle configurazioni di D6 brane che, a basse energie,
riproducono esattamente il Modello Standard. Più precisamente si vedrà che esistono delle
configurazioni il cui spettro di massa nulla consiste solo dei bosoni vettori di gauge e delle
tre famiglie di fermioni del MS. In più, si vedrà che in alcune configurazioni esistono stati
massivi in grado di interagire con le particelle del MS e di fornire gli opportuni termini di
massa, riproducendo pertanto il meccanismo di Higgs.
3.1
Brane intersecanti e possibili strutture delle dimensioni extra
Negli ultimi vent’anni numerosi sono stati i tentativi di riprodurre il Modello Standard come
teoria effettiva originante dalle Teorie di Superstringa. I primi modelli realizzati sono basati
sulla compattificazione della Teoria Eterotica E8 ⊗ E8 su una particolare tipologia di varietà
di Riemann compatte con gruppo di olonomia SU (3), i cosiddetti Calabi-Yau che vengono
indicati con la notazione CY3 . Questa tipologia di compattificazione della teoria Eterotica
porta ad una teoria effettiva quadridimensionale con uno spettro chirale e con un gruppo
di gauge contenente SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) come è richiesto ad un modello realistico che
si prefigga di descrivere il Modello Standard. Nonostante ciò, è comunque molto difficile
ottenere predizioni da questi modelli dal momento che in moltissimi casi non è nota persino
3.1. BRANE INTERSECANTI E POSSIBILI STRUTTURE DELLE DIMENSIONI EXTRA81
la metrica dello spazio compatto. Tuttavia dopo l’introduzione delle brane e delle relazioni di
dualità tra le cinque teorie di stringa è stato possibile realizzare nuovi modelli più maneggevoli
e con una maggiore capacità predittiva. L’idea di base nella costruzione di questi modelli è
di ottenere uno spettro di massa nulla che riproduca quello del Modello Standard o una sua
estensione, in maniera tale che tutti gli stati massivi, eccetto un eventuale settore di Higgs,
abbiano una massa almeno dell’ordine di alcune decine di TeV, così da giustificarne la non
osservabilità alle energie sinora indagate sperimentalmente.
Come visto in precedenza, sul volume di universo di uno stack di N Dp-brane sovrapposte vive una teoria di gauge non abeliana (p + 1)-dimensionale. Pertanto con configurazioni
di brane è possibile realizzare modelli in cui la teoria di gauge vive nelle dimensioni individuate dai volumi di universo delle brane mentre il settore gravitazionale vive nell’intero
spazio-tempo. Questa è una proprietà rilevante di tali modelli, infatti da un lato consente di giustificare la profonda differenza che vi è tra le interazioni di gauge e le interazioni
gravitazionali. Dall’ altro consente di ipotizzare che l’ energia caratteristica di stringa sia
di molti ordini di grandezza inferiore alla scala di Planck, ed in alcuni casi addirittura al
di sotto dei 100 Tev. Tale eventualità di fatto permette di realizzare teorie effettive in cui,
anche in assenza di supersimmetria, le correzioni radiative dei campi scalari non sono elevate
e pertanto non sono presenti problemi di f ine tuning.
Particolari configurazioni di Dp brane presentano inoltre altre proprietà fenomenologicamente interessanti. Infatti, come si mostrerà, considerati due stack di brane intersecanti, si può ottenere uno spettro di fermioni a massa nulla con una definita chiralità
quadridimensionale.
Pertanto, opportune configurazioni di brane nel bulk di superstringa sembrano essere un
naturale punto di partenza per la costruzione di teorie di gauge chirali quale quella sottostante
il Modello Standard. In particolare vi è la possibilità di riprodurre di questo il suo gruppo
di gauge, lo spettro chirale, nonchè le tre generazioni di quark e leptoni.
Fino ad oggi sono stati realizzati numerosi modelli realistici basati su configurazioni di
Dp brane. In essi il volume di universo delle brane, dove è conservata la simmetria di
Lorentz, è esteso almeno lungo l’ordinario spazio-tempo quadridimensionale. Tuttavia una
delle principali differenze tra i vari modelli consiste nella dimensione delle brane utilizzate.
Spettri realistici sono stati ottenuti con configurazioni di Dp brane per ogni 3 ≤ p ≤ 9. Tali
82
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
modelli possono risultare comunque legati tra loro da relazioni di dualità.
Per la costruzione di questi modelli si utilizza un procedimento noto in letteratura come
approccio bottom-up: ossia, scelta la struttura topologica della compattificazione, ci si preoccupa prima di trovare le particolari configurazioni di brane i cui spettri di bassa energia
siano realistici e successivamente si completa il modello immergendo tali configurazioni nel
bulk dove è presente la gravità, e tentando almeno di porre dei vincoli nello spazio dei moduli liberi. Con il termine moduli in generale si intendono i valori di aspettazione sul vuoto
dei campi scalari presenti nella teoria, molti dei quali generati dalla compattificazione. Tali
valori di aspettazione risultano di fatto indeterminati. Esempi di moduli sono costituiti oltre
che dai raggi di compattificazione anche dalle componenti relative alle dimensioni compatte
dei campi del settore gravitazionale, quali il tensore metrico gµν e il campo di Kalb-Ramond
Bµν . Sebbene la conoscenza di tali moduli sia fondamentale per la completa definizione delle
teorie quadridimensionali ancora non è noto un metodo per determinarli univocamente. Tale
problema è noto come stabilizzazione dei moduli.
Come già anticipato, la struttura di base di tutti i modelli di brane intersecanti è costituita da stack di brane sovrapposti nell’ordinario spazio-tempo quadridimensionale e che si
intersecano nelle extra dimensioni. Come si vedrà, in tali intersezioni sono localizzati stati
fermionici di massa nulla e di chiralità quadridimensionale definita; inoltre questi risultano
carichi rispetto ad i bosoni vettori di gauge presenti sulla superficie degli stack.
Con tali strutture è possibile così costruire teorie quadridimensionali effettive che siano
teorie di gauge non abeliane ed in cui i vari gruppi U (N ) presenti sugli stack rappresentino
appunto i gruppi di gauge. In seguito, si mostrerà inoltre, che le costanti di accoppiamento
della teoria effettiva quadridimensionale sono inversamente proporzionali al volume individuato dalle brane nelle dimensioni extra. Pertanto affinchè tali costanti di accoppiamento non
siano nulle, cioè affinchè vi siano effettivamente simmetrie locali nella teoria quadridimensionale, è necessario che il volume delle brane nelle dimensioni extra sia finito. Ciò è facilmente
ottenibile se le extra dimensioni lungo le quali si estendono le brane sono compatte.
In definitiva, è possibile costruire modelli semirealistici con stack di D(3 + m) brane,
estese lungo l’ordinario spazio-tempo e definite invece su varietà compatte per le rimanenenti
m dimensioni .
E’ possibile realizzare tali strutture considerando una compattificazione di tipo toroidale
3.1. BRANE INTERSECANTI E POSSIBILI STRUTTURE DELLE DIMENSIONI EXTRA83
in cui 2n (n ≤ 3) delle sei extra dimensioni siano descritte da un toro fattorizzabile, vale a
dire da un toro scomponibile nel prodotto diretto di n tori bidimensionali, i.e.:
T 2n = ⊗ni=1 Ti2
(3.1.1)
La scelta di una compattificazione toroidale corrisponde ad una scelta di compattificazione
sulla più semplice varietà di Calabi-Yau.
Nel seguito si considereranno configurazioni di D(3 + m) brane in cui ciascuna delle
m dimensioni non relative allo spazio-tempo quadridimensionale è estesa in uno dei tori
bidimensionali.
Quando si ricordi inoltre che la massa degli stati di stringa aperta che si estendono tra
due brane dipende anche dalla distanza relativa tra esse, come si evince dall’ eq. (2.4.3),
si comprende che per ottenere fermioni di massa nulla alle intersezioni realizzate nelle 2n
dimensioni compatte è necessario localizzare gli stack nello stesso punto dello spazio ad essi
trasverso. In particolare, è possibile ottenere fermioni a massa nulla di chiralità quadridimensionale definita, se le extra dimensioni non compatte sono descritte da un orbifold del
tipo:
C3−n
(3.1.2)
ZN
Come già spiegato in precedenza nel caso più generale, l’orbifold definito in (3.1.2) identifica,
in C3−n i punti legati tra loro da trasformazioni del gruppo ciclico finito ZN definite da:
zi → e
inπ
N
zi
(3.1.3)
con n = 0, 1, · · · , N − 1. Il gruppo di orbifold così definito lascia l’origine di C3−n invariata
e gli stack devono essere qui localizzati.
Se le dimensioni compatte sono descritte da un toro fattorizzabile è possibile ipotizzare che
le n dimensioni delle D(3 + n) brane su di esso avvolte siano descritte da n-cicli fattorizzabili,
cioè siano descritte dal prodotto diretto di n 1-cicli ognuno relativo ad un determinato T 2 .
Con tale scelta risulta particolarmente agevole costruire i modelli e visualizzare le brane.
In particolare, nel seguito di questo lavoro, si individuerà una D(3 + n) brana avvolta su
di un toro T 2n con n coppie di numeri interi (ni , mi ) che rappresentano, rispettivamente, i
84
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
numeri di avvogimento della brana lungo due cicli indipendenti dell’i-mo toro bidimensionale.
La coppia (ni , mi ) definisce formalmente una classe del gruppo di omologia H1 (Ti2 , Z). 1
Una classe del gruppo ⊗ni=1 H1 (Ti2 , Z), che quindi determinerà il modo in cui è avvolta
una brana sullo spazio compatto, verrà denotata indifferentemente con:
Π = ⊗ni=1 (ni , mi )
oppure con:
Π=
n
∏
[
]
ni [ai ] + mi [bi ]
(3.1.4)
(3.1.5)
i=1
dove [ai ], [bi ] rappresentano due classi di cicli indipendenti che determinano una base di
omologia per ciascun toro.
Naturalmente a seconda che si scelga di considerare brane di dimensioni pari o dispari
è necessario costruire un modello rispettivamente nell’ ambito delle teorie Type IIA o IIB.
Tuttavia, come si mostrerà esplicitamente nel caso dei modelli con D6, per ottenere una
teoria effettiva realistica è necessario considerare le due teorie con opportune proiezioni di
orientifold.
Più precisamente sono stati finora realizzati modelli realistici consistenti basati su configurazoni di brane intersecanti con le seguenti strutture:
IIA
in M4 ⊗ T 6 con D6
1 + ΩR3 (−1)F
1
(3.1.6)
Per una descrizione formale dei gruppi di omologia si veda ad esempio [8]. Per avere invece un’ idea
immediata ed intuitiva del primo gruppo di Omologia su T 2 , i.e. H1 (T 2 , Z), basta dire che questo è un
gruppo bidimensionale i cui elementi sono classi di equivalenza e che ad ogni determinata classe appartengono
tutti gli 1-cicli la cui differenza racchiude una superficie sul toro, cioè ad ogni classe appartengono solo 1cicli deformabili con continuità l’uno nell’altro. Ad esempio, i due 1-cicli che coincidono con i vettori di
definizione del reticolo, con cui un toro bidimensionale viene di solito rappresentato, appartengono a due
classi di equivalenza differenti, in quanto non possono determinare una superficie sul toro. Spesso vengono
usate proprio le classi definite da questi due cicli come elementi di base del gruppo e pertanto tali classi
saranno individuate da (1, 0) e (0, 1). Si noti inoltre che, con tali scelte, se si dice che una brana è individuata
su di un toro T 2 dalla classe (n, 0) vuol dire che essa è avvolta n volte intorno ad un ciclo della classe (1, 0).
In questo caso la coppia (n, m) definisce pertanto i numeri di avvolgimento delle brane. E’ utile inoltre dire
che il prodotto ⊗ni=1 H1 (Ti2 , Z) definisce un sottogruppo 2n -dimensionale di Hn (T 2n , Z), cioè il sottogruppo
determinato da tutti gli n-cicli fattorizzabili.
3.1. BRANE INTERSECANTI E POSSIBILI STRUTTURE DELLE DIMENSIONI EXTRA85
Figura 3.1: Reticolo descrivente un toro T 2 con metrica piatta, brana estesa lungo uno dei
rappresentativi di lunghezza minima della classe (2, 3) nella base individuata dai vettori di
definizione del lattice, sua immagine per riflessione di x2 , e piani di orientifold.
essendo Rn =
per ogni T 2 .
∏
i
IIB
in M4 ⊗ T 4 ⊗ C/ZN con D5
F
1 + ΩR2 (−1)
(3.1.7)
IIA
in M4 ⊗ T 2 ⊗ C2 /ZN con D5
1 + ΩR1 (−1)F
(3.1.8)
Ri il prodotto di n riflessioni spaziali ciascuna associata ad una coordinata
A patto di sostituire gli orbifold CZN con T ZN , il che localmente non implica nessun cambiamento nella fisica, questi modelli sono evidentemente descrizioni duali di modelli realizzati
6−2n
in Type I con D9 brane con flusso magnetico associato e avvolte su T 2n ⊗ T Z3 .
3−n
6−2n
L’introduzione dell’orientifold ha una influenza anche sulla scelta della struttura geometrica del toro: non tutte le possibili strutture geometriche del toro, infatti, garantiscono
l’invarianza della teoria rispetto alle proiezioni di orientifold sopra esposte, in particolare
rispetto alla riflessione spaziale di una delle due coordinate che definiscono il toro. Perchè
l’invarianza sussista, definito il reticolo che determina un toro T 2 sul piano complesso dai
vettori l1 ed l2 , questo deve essere ad esempio invariante per coniugazione complessa, ossia
86
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
per riflessione dell’asse immaginario. Ciò è vero solo se:
Im(l1 )
∈
Im(l2 )
{ }
Z
2
(3.1.9)
nell’ipotesi semplificativa che l2 coincida con il versore dell’asse immaginario.
1)
Per ridefinizione dei vettori solo due scelte risultano inequivalenti, Im(l
= 0, 12 . Nel
Im(l2 )
seguito si farà riferimento a queste scelte e si paparlerà di struttura curva del toro quando
Im(l1 )
= 12 .
Im(l2 )
1)
Figura 3.2: Lattice di un T 2 con Im(l
= 12 , brana estesa lungo uno dei rappresentativi
Im(l2 )
di lunghezza minima della classe (2, 1) nella base individuata dai vettori di definizione del
lattice, immagine della brana per riflessione di x2 , e piano di orientifold.
La proiezione di orientifold implica inoltre l’esistenza per ogni brana di una sua brana
immagine. Avendo pertanto associato ad ogni brana una determinata classe di cicli del toro,
risulta necessario indagare su come la proiezione di orientifold agisca su tali classi.
Su di un toro T 2 , nel caso di struttura piatta, nell’ipotesi che la classe (n, m) sia espressa
nella base definita dai due 1-cicli coincidenti con i vettori di definizione del reticolo, come
in fig. (2) e in fig. (3), e dunque nell’ipotesi che le componenti coincidano con i numeri di
avvolgimento, l’azione di riflessione ad esmpio della coordinata x2 su una generica classe è
3.1. BRANE INTERSECANTI E POSSIBILI STRUTTURE DELLE DIMENSIONI EXTRA87
banalmente data:
R2 (n, m) = (n, −m)
Al contrario se
ed è data da:
Im(l1 )
Im(l2 )
(3.1.10)
= 12 , la riflessione in termini dei numeri di avvolgimento è più complicata
R2 (n, m) = (n, −m − n) .
(3.1.11)
Tuttavia, ridefinita la base in modo tale che le nuove componenti (n′ , m′ ) siano legate ai
numeri di avvolgimento dalla relazione:
(n′ , m′ ) ≡ (n, m +
n
)
2
(3.1.12)
con struttura curva si ha la stessa semplice trasformazione per riflessione:
R2 (n′ , m′ ) = (n′ , −m′ ) .
(3.1.13)
Nel seguito, nel caso di struttura curva, si farà riferimento sempre a questa base.
Altra differenza importante tra le due strutture riguarda i punti invarianti per riflessione.
In generale su di un toro T 2 gli insiemi di punti invarianti per riflessione di un asse sono
determinati da cicli invarianti. Con struttura piatta i punti invarianti, per esempio, per
inversione di x2 sono determinati dalle condizioni x2 = 0 e x2 = πR2 . Ne consegue che queste
definiscono due cicli differenti fatti da punti invarianti, ed in particolare essi hanno entrambi
numeri di avvolgimento (1, 0). Con struttura curva, invece, i punti invarianti descrivono
un’unica curva chiusa con numeri di avvolgimento (2, −1) o, equivalentemente, appartenente
alla classe (2, 0) effettuando la scelta di base definita in eq. (3.1.12): si vedano fig. (2) e fig.
(3).
In definitiva, con le notazioni precedenti, un n-ciclo, avvolto su di un T 2n fattorizzabile,
per azione dei gruppi di orientifold definiti in (3.1.6), (3.1.7) e (3.1.8) ha immagine:
(
(
))
(
)
Rn ⊗ni=1 ni , mi = ⊗ni=1 ni , −mi .
(3.1.14)
Nel seguito si farà spesso riferimento a stack di brane avvolte su n-cicli; individuato lo stack
con a, la sua immagine per proiezione sarà individuata da a∗ .
88
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
∏
I punti invarianti per riflessione determinano inoltre la presenza di 2n i β i piani di orientifold, con β i = 1 nel caso Ti2 sia piatto e β i = 12 nel caso di struttura curva. Per quanto
detto, tali piani appartengono alla classe:
(
ΠO(9−p) ≡
⊗ni=1
)
1
,0 .
βi
(3.1.15)
Per quanto segue è inoltre importante notare che è possibile determinare una precisa corrispondenza tra la carica di RR delle brane e le classi dei cicli su cui sono avvolte. Infatti
la carica di ogni brana dipende dal volume del ciclo su cui è avvolta, e siccome si considereranno solo cicli di lunghezza minima, risulta che ad ogni classe ⊗ni=1 (ni , mi ) corrisponde
un determinato volume. Inoltre questi modelli sono costruiti con configurazioni in generale
composte sia da brane che da antibrane. 2 Se una brana è individuata su di un T 2 dal ciclo
(|n|, |m|), la corrispondente antibrana è individuata da (−|n|, −|m|). Pertanto se alla classe
⊗ni=1 (ni , mi ) corrisponde una data carica di RR, alla classe ⊗ni=1 (−ni , −mi ) corrisponde una
carica di segno opposto.
Altro aspetto rilevante dei modelli di brane intersecanti è la possibilità che gli stack si
intersechino più volte sui tori. Come si vedrà tra breve, ciò permette di ottenere facilmente
più repliche dello spettro fermionico come richiesto dal Modello Standard. Per due brane che
si avvolgono su n-cicli fattorizzabili di lunghezza minima, siano essi a e b, il numero di volte
che si intersecano è facilmente calcolabile [2]:
n
∏
( i i
)
|Iab | = |
na mb − nib mia | = |Πa · Πb |
(3.1.16)
i=1
Qui Πa e Πb sono definiti secondo l’eq. (3.1.5) e si perviene a questo risultato tenendo
conto delle seguenti relazioni che traducono matematicamente il fatto che uno stesso ciclo di
base non si interseca con se stesso e si interseca invece una volta con l’altro ciclo che definisce
2
Un’ antibrana è definita come una brana ma con carica negativa di RR. Sebbene un’antibrana non sia
uno stato BPS e quindi non sia singolarmente stabile, configurazioni di più brane e antibrane possono esserlo.
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
89
la base:
[ai ] · [aj ] = [bi ] · [bj ] = 0
(3.1.17)
[ai ] · [bj ] = −[bj ] · [ai ] = δij .
Si noti inoltre che, in prossimità di un’intersezione, la posizione relativa di due n-cicli può
essere ovviamente determinata assegnando gli n angoli di intersezione dei rispettivi 1-cicli,
n
e.g. {ϑi }i=1 . Inoltre, dato che si considereranno 1-cicli di lunghezza minima l’angolo, tra essi
sarà costante a tutte le possibili intersezioni.
3.2
Modelli con D6 brane
Nel primo paragrafo di questa sezione si analizzerà lo spettro di bassa energia associato ad
una generica configurazione di D6 brane, in particolare si dimostrerà quanto asserito in precedenza, ovvero che alle intersezioni tra gli stack sono presenti stati fermionici di chiralità
quadridimensionale definita. Nei paragrafi successivi si mostrerà invece come determinare
delle particolari configurazioni che diano vita ad una teoria effettiva quadridimensionale che
sia una teoria di gauge realistica. In particolare, si mostrerà prima, quali sono le condizioni
da imporre per ottenere una teoria effettiva priva di anomalie e successivamente si determineranno delle configurazioni di D6 brane che, a basse energie, riproducono esattamente il
Modello Standard. Più precisamente si vedrà che esistono delle configurazioni il cui spettro
di massa nulla consiste solo dei bosoni vettori di gauge e delle tre famiglie di fermioni del
MS. In più, si vedrà che in alcune configurazioni esistono stati massivi in grado di interagire
con le particelle del MS e di fornire gli opportuni termini di massa.
Nel seguito per semplicità di notazione si identifichi lo spazio-tempo con i cinque piani
4
complessi {Z 2µ = (x2µ , x2µ+1 )}µ=0 . Si consideri l’ordinario spazio tempo individuato da Z 0
e Z 2 ed i piani Z 4 , Z 6 e Z 8 compattificati in T 6 ≡ T42 ⊗ T62 ⊗ T82 . Per quanto esposto nella
sezione precedente si considereranno inoltre stack di D6 estesi su Z 0 e Z 2 e lungo 3-cicli
90
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
fattorizzabili su T 6 nell’ambito della teoria IIA con proiezione di orientifold (3.1.6):
IIA
in M4 ⊗ T 6
1 + ΩR3 (−1)F
(3.2.1)
L’operatore R3 rappresenta, in particolare, le tre riflessioni spaziali relative alle coordinate
x5 , x7 e x9 .
3.2.1
Aspetti generali dello Spettro
In generale, in un modello di brane intersecanti si possono individuare due tipologie differenti
di stringhe aperte:
1) le stringhe aperte con estremità sullo stesso stack di brane; queste hanno le proprietá
di cui in parte già si è discusso, ossia sono quelle che generano i bosoni vettori di gauge della
teoria che vive sulle brane stesse.
2) le stringhe aperte con con estremità tra due stack differenti, i quali si intersecano sul
toro un dato numero di volte e con determinati angoli.
Siccome si è interessati allo spettro di bassa energia, che per stringhe con estremità su
stack differenti è naturalmente localizzato all’intersezione dove la distanza spaziale delle brane
è chiaramente nulla, o anche in prossimità di essa, si può, senza perdita di generalità, calcolare
lo spettro di due stack di D6 intersecanti nello spazio piatto, purchè nel punto di intersezione.
Si vuole dunque determinare tale spettro e ciò sarà fatto gradualemte, ignorando in un primo
momento, la proiezione di orientifold.
Si considerino pertanto due D6 intersecanti in Z 4 , Z 6 e Z 8 , non compattificati, poste una
lungo x4 , x6 ed x8 , l’altra in modo tale da intersecarsi nell’origine e con angoli ϑ4 , ϑ6 e ϑ8
nei rispettivi piani.
Nei piani in cui le brane si intersecano le condizioni al contorno per la coordinata bosonica
di stringa con l’ estremità a σ = 0 sulla brana lungo gli assi, e a σ = π sull’altra, si scrivono
come segue:

 ∂ Xµ = 0
σ
σ=0
(3.2.2)
 X µ+1 = 0
3.2. MODELLI CON D6 BRANE


91
X µ sin(πϑµ ) − X µ+1 cos(πϑµ ) = 0
 ∂ X µ cos(πϑµ ) + ∂ X µ+1 sin(πϑµ ) = 0
σ
σ
σ=π
con µ = 4, 6, 8 e ϑµ espresso in unità di π. Per supersimmetria si ottengono analoghe
condizioni per i campi fermionici.
Si noti che, almeno fintanto che la fisica dipenda solo dalla posizione relativa delle due
brane, invertire i segni degli angoli di intersezione nelle (3.2.2) è equivalente a considerare
stringhe con orientazione opposta.
Posto α′ = 1 le espansioni in modi normali per i campi che soddisfano a tali condizioni si
possono scrivere nella forma [7]:
Xµ =
∑ 1 µ
∑ 1 µ
αn+ e−in+ τ cos(n+ σ) +
α e−in− τ cos(n− σ)
n+
n− n−
(3.2.3)
∑ 1 µ
∑ 1 µ
αn+ e−in+ τ cos(n+ σ) −
αn− e−in− τ cos(n− σ)
n+
n−
∑
∑
µ
=
ψnµ+ e−in+ (τ ±σ) +
ψnµ− e−in− (τ ±σ)
ψ±
∑
∑
µ+1
= ±i
ψnµ+ e−in+ (τ ±σ) ∓ i
ψnµ− e−in− (τ ±σ)
ψ±
{
}
con n+ = n + ϑµ , n− = n − ϑµ , e come sempre n ∈ Z nel settore di R , n ∈ Z − 12 in NS.
X µ+1 =
Affinchè tali espressioni siano valide anche nel caso in cui ϑµ = 0, cioè nel caso in cui le
µ
µ
siano indipendenti anche
ed αn−
brane sono sovrapposte, è necessario che gli operatori αn+
µ
µ
µ
. Più
e ψn−
con ϑ = 0; naturalmente ciò deve valere anche per gli operatori fermionici ψn+
precisamente si riottengono le espressioni più comuni in termini degli operatori αnµ ed αnµ+1
per brane coincidenti ponendo:
µ
− αµ
αn+
√ n−
2
αnµ =
µ
+ αµ
αn+
√ n−
2
αnµ+1 =
ψnµ =
µ
ψn+
+ ψµ
√ n−
2
ψnµ+1 = i
µ
ψn+
− ψµ
√ n−
2
(3.2.4)
(3.2.5)
Utilizzando tali espressioni è facile vedere che, nel caso sia ϑµ = 0, i campi (3.2.3) relativi
alla coordinata xµ soddisfano condizioni di Neumann, mentre i campi relativi alla direzione
92
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
xµ+1 soddisfano condizioni di Dirichlet come deve essere per stringhe legate a due brane
sovrapposte che si estendono lungo la direzione xµ .
Anche nel caso dello spettro di stringa aperta che si estende tra brane intersecanti la
formula di massa può essre scritta in termini dell’ operatore di Virasoro L0 , che si ricorda quì
essere coincidente con l’Hamiltoniana, la cui espressione classica, con le precedenti notazioni
diventa:
{
}
8
∑
)
(
)
1 ∑ ∑( µ
µ
µ
µ
µ
µ
+ µ
L0 =
α − αµ− + α−n
+
n− ψ−n
(3.2.6)
+ αn+
− ψn− + n ψ−n+ ψn+
2 µ=0 n∈Z −n n
n∈Z−v
µ even
con v = 12 nel settore di NS e v = 0 in R. In questa espressione, così come nel seguito, per
comodità di notazione si sono rappresentati anche i gradi di libertà relativi ai piani Z 0 e Z 2
µ
µ
µ
in termini delle oscillazioni αnµ− , α−n
+ , ψn− , ψ−n+ ,; naturalmente anche queste sono legate
alle notazioni usuali dalle relazioni (3.2.3).
Quantizzando, ossia promuovendo ad operatore L0 , è necessario introdurre la prescrizione
di ordinamento degli operatori di creazione e distruzione il che introduce la costante di energia
di punto zero. Si cominci con introdurre le seguenti regole di commutazione:
[
]
ν
αnµ± , α−n
= n± η µν δnn′
′
±
(3.2.7)
{
}
µ
ν
ψn± , ψ−n′∓ = η µν δnn′
(3.2.8)
Per calcolare l’energia del vuoto di oscillazioni, analogamente a quanto fatto in precedenza
per stringhe libere, è inoltre utile riscrivere L0 :
L0 =

∑ (
∑
1
)
µ
µ
µ
µ
α−n
+
− αn− + α−n+ αn+
∑(

)
µ
µ
µ
+ µ
n− ψ−n
− ψn− + n ψ−n+ ψn+


µ
n=1
n= 12



∑
∑
∑
( − µ
( µ
)
)
1
µ
µ
µ
µ
+ µ
+
n
ψ
ψ
+
n
ψ
ψ
α−n− αnµ− + α−n
α
+
+ n+
−n− n−
−n+ n+ 
2 µ n=−1
1
2
)
1 ∑( µ
µ
+
α−ϑµ αϑµµ + αϑµµ α−ϑ
µ
2 µ
n=− 2
(3.2.9)
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
93
Utilizzando ora le regole di commutazione (3.2.7) e (3.2.8), e ricordando che nello schema
di quantizzazione in gauge di cono luce si considerano solo gli operatori trasversi, cioè in
questo caso quelli relativi ai piani {Z µ }8µ=2 , dalla (3.2.9), è facile scrivere l’ Hamiltoniano
quantistico:
H =
8
∑

∑ (
µ=2

n=1
µ even
+
1
2
) ∑( − µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
α−n
+
n ψ−n− ψnµ− + n+ ψ−n
− αn− + α−n+ αn+
+ ψn+
8
∑

∑
µ=2

n=1
n= 12

)



∑
(n− + n+ )
(n− + n+ ) −

1
n= 2
µ even
8
)
1 ∑( µ
+
2α−ϑµ αϑµµ + |ϑµ |
2 µ=2
(3.2.10)
µ even
Per regolarizzare le serie divergenti si consideri la funzione zeta di Hurwitz:
ζ(s, c) =
∞
∑
1
(n + c)s
(3.2.11)
)
1 ( 2
6c − 6c + 1
12
(3.2.12)
n=0
la cui continuazione analitica per s = −1 è:
ζ(−1, c) = −
Si ottiene così:
∑
n=1
n=−
1
12
∑
n=
n= 12
1
24
(3.2.13)
ed in definitiva nel settore di NS si può scrivere:
H = N N S + a + α ′ p2
(3.2.14)
94
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
con:
NN S


∑ ∑ ( µ
∑
)
( − µ
)
µ
µ
µ
µ
+ µ
=
α−n− αnµ− + α−n
α
+
n
ψ
ψ
+
n
ψ
ψ
+ n+
−n− n−
−n+ n+ 

µ
n=1
n= 12
∑ µ
+
α−ϑµ αϑµµ
(3.2.15)
ϑµ ̸=0
(
)
)
(
1∑ µ
1 ∑ µ
1
1
a=
=
|ϑ | + 4 − −
|ϑ | − 1
2 µ
12 24
2
µ
e con
(3.2.16)
Con un calcolo analogo nel settore di R, posto:
NR =
{
∑ ∑(
µ
+
µ
µ
α−n
− αn−
n=1
∑
µ
µ
α−ϑ
µ αϑµ +
+
∑
ϑµ ̸=0
µ
µ
α−n
+ αn+
)
+
∑(
−
n
µ
µ
ψ−n
− ψn−
+
+n
µ
µ
ψ−n
+ ψn+
)
}
n=1
µ
µ
|ϑµ |ψ−ϑ
µ ψϑµ
(3.2.17)
µ
si ottiene a = 0.
In definitiva la formula di massa per stringhe che si estendono tra due D6 brane intersecanti in Z 4 , Z 6 e Z 8 risulta essere la seguente:
∑8
α′ M 2 =
µ=4
(Y µ )2
µ even
4π 2 α′


+N +v

8
∑

|ϑµ | − 1
(3.2.18)
µ=4
µ even
con v = 12 nel settore di NS, v = 0 in quello di R. Nello scrivere tale formula si è tenuto conto
del fatto che nei piani Z 4 , Z 6 e Z 8 l’angolo può essere anche nullo, cioè le brane possono essere
coincidenti o parallele, e si è pertanto inserito il termine dipendente da Y µ che rappresenta
l’eventuale distanza di separazione tra le brane.
Nello spettro ottenuto, se gli angoli ϑ4 , ϑ6 e ϑ8 sono tutti diversi da zero, i modi zero dei
campi fermionici lungo le direzioni compatte nel settore di R diventano, di fatto, modi non
zero nel senso che ψ0 → ψ±ϑ . I modi zero fermionici che continuano a rimanere tali sono
quelli che vivono lungo le direzioni dell’ ordinario spazio-tempo quadridrimensionale. Accade
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
95
dunque che, nel settore di R, lo stato fondamentale abbia ora degenerazione 4; in particolare
si hanno i quattro stati a massa nulla:

 ψ 0 |0 >
0
 ψ 2 |0 >
0
ψ01 |0 >
ψ03 |0 >
(3.2.19)
e dalle (3.2.5) e (3.2.8) risulta evidente che essi forniscono una rappresentazione dell’algebra di
Dirac quadridimensionale. Questo ha un’ importante conseguenza sulla forma che l’operatore
della proiezione GSO assume nel settore di Ramond. Come si vede dall’eq. (2.2.25), la
proiezione di GSO coinvolge la matrice Γ11 , il cui ruolo ora, in presenza di brane intersecanti
è assunto dalla matrice γ5 , trasformando PR in:
PR =
1 ± γ 5 (−1)NR
2
(3.2.20)
mentre nel settore di NS il proiettore rimane invariato. Quando applicato sullo stato fondamentale di Ramond, l’operatore NR assume autovalore nullo e dunque PR coincide con
l’ordinario proiettore di chiralità in quattro dimensioni spazio-temporali. Questa è la dimostrazione di quanto in precedenza affermato ovvero che i modelli di brane intersecanti
forniscono materia chirale quadridimensionale.
Più precisamente all’intersezione tra due D6 brane, o equivalentemente all’intersezione
tra due stack di D6, è presente un fermione quadridimensionale a massa nulla di chiralità
definita. Inoltre, quando si ricordi che i due stati con orientazione differente sono rappresentati invertendo il segno degli angoli, e si noti che tale operazione comporta lo scambio del
µ
µ
, si osserva che stati nel settore di R con orientazione diffee ψn−
ruolo degli operatori ψn+
rente hanno chiralità opposta. Pertanto all’intersezione sono localizzati due stati fermionici
a massa nulla di chiralità opposta da interpretarsi dal punto di vista della teoria effettiva
come fermione ed antifermione. Questa è senza dubbio una delle proprietà fondamentali
delle configurazioni di D6 intersecanti, in quanto, come è facile intuire, permette di ottenere
agevolmente uno spettro di bassa energia che riproduca una teoria di campo quantistica con
simmetria di gauge chirale.
E’ inoltre fondamentale osservare che all’intersezione tra due D6 brane la proiezione di
96
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
GSO non garantisce nè supersimmetria nè assenza di stati a massa negativa. Difatti, come
è evidente dalla (3.2.18), la massa in generale dipende dagli angoli di intersezione, e nel
settore di NS si possono avere stati a massa negativa che non sono eliminati dal proiettore
di GSO. Pertanto due brane intersecanti non costituiscono un sistema in generale stabile.
Trovare gli angoli di intersezione per i quali le configurazioni desiderate per ottenere modelli
semirealistici lo sono è uno degli obiettivi da conseguire.
Per avere una lettura più immediata dello spettro di bassa energia può essere utile bosonizzare la condizione di mass-shell (3.2.18). Senza entrare nei dettagli tecnici della bosonizzazione, si vuole qui soltanto osservare che eseguendo tale procedimento si ottiene il seguente
spettro di massa:
∑
,
(Y µ )2
|r + ϑ|2 1 ∑ ϑµ
+
N
+
− +
(1 − ϑµ )
bos
4π 2 α′
2
2
2
µ
µ
2
αM =
con
(3.2.21)
(
)
r + ϑ ≡ r2 + ϑ2 , r4 + ϑ4 , r6 + ϑ6 , r8 + ϑ8
{
e con
r ∈ Z in N S
µ
r ∈
µ
1
Z+
2
}
in R .
Pertanto, assegnati gli angoli di intersezione, nel formalismo bosonico gli stati non eccitati
di stringa aperta con estremità sulle due brane sono completamente individuati dal vettore
(r2 , r4 , r6 , r8 ). Inoltre in questo formalismo la proiezione di GSO si può implementare im∑
ponendo µ rµ ∈ Zodd [12]. Tenuto in conto ciò, per una data orientazione l’unico stato a
massa nulla nel settore di R risulta essere:
1
r=
2
(
∏
( )
( )
( )
s (ϑµ ) , −s ϑ4 , −s ϑ6 , −s ϑ8
)
(3.2.22)
µ
dove s(ϑ) indica il segno dell’angolo. Per quanto detto in precedenza tale stato rappresenta
un fermione quadridimensionale di chiralità definita ed ancora una volta invertendo il segno
degli angoli si descrive lo stato con orientazione opposta, cioè l’antifermione. Si noti che la
prima componente è ± 21 e rappresenta proprio l’elicità. Questo non è un caso, e in verità r2
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
97
rappresenta l’elicità per ogni stato.
Nel settore di NS si hanno vari stati non eccitati la cui massa, come detto, dipende dagli
angoli di intersezione; si elencano qui di seguito i quattro più leggeri:
r
(0, −s (ϑ4 ) , 0, 0)
(0, 0, −s (ϑ6 ) , 0)
(0, 0, 0, −s (ϑ8 ))
(0, −s (ϑ4 ) , −s (ϑ6 ) , −s (ϑ8 ))
α′ M 2
1
(−|ϑ4 | + |ϑ6 | + |ϑ8 |)
2
1
(|ϑ4 | − |ϑ6 | + |ϑ8 |)
2
1
(|ϑ4 | + |ϑ6 | − |ϑ8 |)
2
1 − 12 (|ϑ4 | + |ϑ6 | + |ϑ8 |)
(3.2.23)
Se per determinati valori degli angoli uno o più stati sono a massa nulla lo spettro può essere
supersimmetrico.
Si considerino ora due stack, a e b, rispettivamente costituiti da Na ed Nb brane sovrapposte; Un fermione nel settore ab, orientato da a verso b, trasforma nella rappresentazione (Na , N b ), ovvero nella fondamentale di U (Na ) e nella antifondamentale di U (Nb ).
Consistentemente l’antifermione trasforma in (Nb , N a ).
Ricordando che sugli stack sono presenti stati bosonici di massa nulla che trasformano
nella rappresentazione aggiunta di U (N ), è evidente quale sarà l’interpretazione di bassa
energia. Gli stati bosonici sugli stack rappresentano i bosoni vettori di gauge che mediano le
interazioni tra i fermioni vincolati alle intersezioni ma liberi nell’ordinario spazio tempo.
Essendo gli stack descritti sul toro dai cicli di lunghezza minima, gli angoli tra essi sono
costanti alle varie intersezioni; i due stack a e b danno pertanto luogo ad |Iab | repliche dello
spettro, in particolare |Iab | fermioni di massa nulla che trasformano in (Na , N b ). Ciò permetterà, scelte le opportune configurazioni, di riprodurre le tre famiglie del modello standard.
Inoltre il segno del numero di intersezione, Iab , assegna la chiralità del fermione in un dato
∏
settore, difatti risulta s(Iab ) = µ s (ϑµab ), nel seguito si identificheranno i fermioni lef t con
l’elicità positiva.
Tutto quanto mostrato fino ad ora non ha tenuto conto della proiezione di orientifold
(3.2.1) che si va invece ora a considerare. Lo spettro all’immagine di una data intersezione
deve essere ovviamente invariato. Tuttavia la proiezione inverte l’orientazione delle stringhe,
per cui il settore ab ha come immagine b∗ a∗ ; pertanto affinchè lo spettro resti invariato nel
98
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
settore b∗ a∗ il fermione di massa nulla deve trasformare in (N b , Na ). Si deduce quindi che alle
immagini degli stack deve essere associata la rappresentazione coniugata di quella associata
originariamente.
Considerare l’immagine degli stack per riflessione è fondamentale anche perchè evidenzia
la possibilità della presenza di altri stati. Infatti, se vi sono intersezioni tra a e b∗ , esse sono
determinate in generale da angoli differenti rispetto alle intersezioni tra a e b, e pertanto è
ivi localizzato uno spettro differente. Inoltre per quanto appena detto gli stati trasformano
in maniera differente, ad esempio il fermione nel settore ab∗ trasforma in (Na , Nb ).
Naturalmente quanto mostrato è vero in una teoria con proiezione di orientifold solo
se gli stack non si estendono lungo i piani di orientifold o comunque se le intersezioni non
sono ivi localizzate. Si ricordi che sui punti invarianti per riflessione gli stati sono non
orientati e se i piani hanno tensione negativa, come in verità si considererà sempre, gli stati
bosonici a massa nulla devono essere antisimmetrici per azione di Ω. Pertanto, se uno stack
composto da N brane è esteso per intero lungo un piano di orientifold, gli stati bosonici sulla
superficie descrivono il gruppo SO(2N ). Tuttavia nei modelli in seguito analizzati non si
presenterà questa situazione. Inoltre una particolare configurazione sarà assegnata dalle classi
di omologia e in queste è sempre possibile determinare cicli per i quali le intersezioni tra due
stack differenti non sono localizzate sui punti invarianti per la proiezione (3.2.1). Le uniche
intersezioni che necessariamente sono localizzate sui piani invarianti, indipendentemente dai
particolari cicli, sono alcune di quelle che si possono avere tra uno stack e la sua immagine.
Sia tale stack a, ed individuato dalla classe ⊗8µ=4 (nµa , mµa ), il numero di intersezioni con la
µ even
sua immagine a∗ è
|Iaa∗ | =
8
∏
8nµa mµa
(3.2.24)
µ=4
µ even
delle quali solo
∏8
µ=4
8mµa risultano necessariamente localizzate sui piani di orientifold. A tali
µ even
intersezioni lo stato di massa nulla nel settore di R è la combinazione lineare antisimmetrica
degli stati precedentemente individuati come fermione ed antifermione. Tale stato trasforma
in SO(2Na ) o equivalentemente nella rappresentazione bitensoriale antisimmetrica di U (Na ),
∏
in seguito indicata con Aa . Le restanti 8µ=4 8mµa (nµa − 1) intersezioni non sono vincolate
µ even
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
99
sui piani, lo spettro è ovviamente non orientato e trasforma in (Na , Na ) per U (Na ). Inoltre
solo metà di esse sono da considerare per lo spettro totale in quanto l’altra metà sono le
immagini per proiezione. Tenuto conto che: Aa + Sa ∼ (Na , Na ), dove con Sa si è indicata
la rappresentazione bitensoriale simmetrica di U (Na ), si può esprimere il contenuto dello
spettro fermionico di massa nulla alle intersezioni tra a e a∗ nella forma:
4
∏
[mµa (nµa + 1)] Aa + 4
µ
∏
[mµa (nµa − 1)] Sa
(3.2.25)
µ
Sintetizzando, in una data configurazione di stack che descrivono 3-cicli fattorizzabili su
T non estesi lungo i piani di orientifold, lo spettro fermionico di massa nulla alle intersezioni
è costituito da:
∑{
}
(3.2.26)
Iab (Na , N b ) + Iab∗ (Na , Nb ) +
6
a<b
∑1
a
2
{(Iaa∗ + NO6 IaO6 ) Aa + (Iaa∗ − NO6 IaO6 ) Sa }
dove Iab può essre negativo o positivo, indicando rispettivamente fermioni right o left. Per
∏
ottenere l’ultimo termine, che è una riscrittura della (3.2.25), si è osservato che 8 µ nµa mµa =
∏
|Iaa∗ | e 8 µ mµa = NO6 Ia,O6 con NO6 numero dei piani di orientifold e Ia,O6 numero di
intersezioni tra uno stack e un piano.
Visto che lo spettro (3.2.26) trasforma solo in rappresentazioni del gruppo U (N ), esso può
a prima vista sembrare lontano dal riprodurre il contenuto fermionico del modello standard.
Tuttavia U (N ) è sempre scomponibile in SU (N ) ⊗ U (1), ed inoltre per alcuni stack uno
degli stati bosonici che rappresentano U (N ) può acquisire una massa rilevante in seguito ad
interazioni con stati di stringa chiusa. Pertanto nel limite di bassa energia tale stato non è
presente ed il gruppo di gauge osservato è SU (N ). I gruppi U (N ) rimarranno comunque nel
modello come simmetrie globali. Su questo punto si farà luce nelle prossime sezioni.
Sinora si è fatto riferimento solo agli stati di stringa aperta, ed in verità tutte le particelle
del modello standrd saranno rappresentate da questi, tuttavia, come si vedrà tra breve, gli
stati di massa nulla di stringa chiusa giocano un ruolo fondamentale per la costruzione di
una teoria quadridimensionale consistente. Inoltre la gravità risulta descritta solo in termini
di stati di stringa chiusa. In ogni caso non è difficile descrivere lo spettro di stringa chiusa
100
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
per i modelli di D6 in esame.
Localmente, lontano dai piani di orientifold, lo spettro è naturalmente quello della teoria
IIA. Pertanto su T 6 , lontano dai piani, lo spettro chiuso di massa nulla è supersimmetrico,
N = 2, ed in particolare sono presenti i campi bosonici A1 , A3 , ed i loro duali A7 e A5 .
Al contrario sui piani, quindi anche nell’ordinario spazio tempo, lo spettro di stringa chiusa
deve essere non orientato e per T-dualità è immediato identificarlo con quello della type I.
Si ricordi il contenuto bosonico di massa nulla:
NS NS
ϕ
gµν
RR
(3.2.27)
A2
corrispondente a 64 gradi di libertà. Per riduzione dimensionale, nell’ordinario spazio tempo
tali gradi di libertà sono conservati e descritti da 38 scalari, 12 vettori e cosa di maggior
importanza da un campo di gravitone quadridimensionale.
Si vuole concludere questa sezione notando esplicitamente che lo spettro può essere costituito anche da stati la cui massa dipende dai moduli di compattificazione. Allo scopo si
ricordi quanto mostrato nella sezione 2.3, nel caso in cui una dimensione è compattificata in
una circonferenza; gli operatori bosonici di ordine zero relativi a tale direzione sono riguardati
come eccitazioni, e possono essere espressi in funzione del momento, il cui valore dipende dal
raggio di compattificazione, ed in funzione del numero di avvolgimento. Concettualmente
lo stesso vale per ogni direzione che determina T 6 . In particolare, per uno stato di stringa
legato ad uno stack che descrive su T 6 un 3-ciclo fattorizzabile, la massa delle eccitazioni di
Kaluza-Klein più leggere, cioè la massa di stati che non sono determinati da operatori con
moding positivo ma che hanno momento non nullo lungo la brana, può essere espressa nella
forma:
(
)2
∑ nµ
(3.2.28)
α′ M 2 = α′
lµ
µ
dove con lµ si è indicata la lunghezza dello stack su Tµ2 e naturalmente nµ ∈ Z.
Analogamente per gli stati legati ad un dato stack che presentano un numero di avvolgi-
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
101
mento non nullo su di un determinato Tµ2 si può scrivere:
1
α′ M 2 = 2 ′
4π α
(
)2
∑ W µ Aµ
µ
lµ
(3.2.29)
con W µ numero di avvolgimento su Tµ2 , ed Aµ area di tale toro.
3.2.2
Cancellazione delle anomalie dalla teoria effettiva
Sinora si sono mostrati gli elementi essenziali per descrivere agevolmente un’arbitraria configurazione di D6 brane e lo spettro associato nell’ambito di una compattificazione con proiezione di orientifold del tipo (3.2.1). Si è già notato che tuttavia non tutte le possibili
configurazioni sono stabili a causa della possibile presenza di stati a massa negativa, e sarà pertanto necessario determinare quali configurazioni non presentino tale eventualità. In
questa sezione si vuole mostrare che in realtà per creare dei modelli stabili e consistenti è necessario imporre ulteriori vincoli allo spazio delle configurazioni permesse. In particolare per
una data configurazione la somma delle cariche di R-R delle brane e dei piani di orientifold
deve essere nulla. Tale vincolo ha delle importanti e felici conseguenze sulla teoria effettiva
quadridimensionale. Difatti, come si vedrà, una configurazione con carica totale nulla assicura
la cancellazione di quasi tutte le possibili anomalie di gauge della teoria quadridimensionale.
Si cominci con lo scrivere l’azione per il campo di R-R A7 in presenza di D6 e piani di
orientifold O6:
ˆ
ˆ
∑
1
F8 ∧ ∗F8 + µD6(I)
Na
A7
(3.2.30)
S=− 2
4k M4 ⊗T 6
M4 ⊗Πa
a
ˆ
ˆ
∑
+ µD6(I)
Na
A7 + µO6 NO6
A7
a
M4 ⊗Πa∗
M4 ⊗ΠO6
per comodità si è usato il formalismo delle forme, nel termine cinetico F8 = dA7 , inoltre con
µD6(I) e µO6 si sono indicate rispettivamente le cariche per unità di volume delle D6 e dei
piani di orientifold così come definite nelle eq. (2.6.17), infine con Na si è indicato il numero
102
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
di brane da cui è composto uno stack a individuato dalla classe Πa , e con NO6 il numero dei
piani di orientifold.
Utilizzando la regola di Leibniz per le forme e la dualità tra omologia e coomologia si può
riscrivere l’azione (3.2.30) nella forma:
1
S=− 2
4k
ˆ
M4 ⊗T 6
µD6(I)
∑
A7 ∧ d ∗ F8 + µD6(I)
∑
a
ˆ
Na
M4 ⊗T 6
Na
(3.2.31)
ˆ
ˆ
M4 ⊗T 6
a
A7 ∧ δΠa +
A7 ∧ δΠa∗ + µO6 NO6
M4 ⊗T 6
A7 ∧ δΠO6
con δΠa duale di Poincarè di Πa . Pertanto l’equazione del moto per A7 è subito determinata:
∑
1
d
∗
F
=
µ
Na (δΠa + δΠa∗ ) + µO6 NO6 δΠO6
8
D6(I)
4k 2
a
(3.2.32)
Integrando entrabi i termni di tale espressione su di un 3-ciclo ed utilizzando il teorema di
Stokes, si ottengono equazioni per le componenti di coomologia delle forme duali alle classi
dei cicli che descrivono le brane, i.e.:
µD6(I)
∑
Na (δΠa + δΠa∗ ) + µO6 NO6 δΠO6 = 0
(3.2.33)
a
Ciò naturalmente implica identiche relazioni per le componenti delle classi dei cicli:
µD6(I)
∑
Na (Πa + Πa∗ ) + µO6 NO6 ΠO6 = 0
(3.2.34)
a
Notando infine dall’ eq. (2.6.17) che µO6 = −4µD6(I) , in definitiva si può scrivere:
∑
Na (Πa + Πa∗ ) − 4NO6 ΠO6 = 0
(3.2.35)
a
Si ricordi ora che le classi di omologia che identificano le brane determinano le rispettive
quantità di carica, è dunque evidente quanto implica la (3.2.34): l’ equazione del moto di A7
è consistente solo se la configurazione di stack e piani di orientifold ha carica totale nulla.
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
103
Analogamente a quanto mostrato nelle teorie duali al bulk delle Type I, la condizione di
carica totale nulla è in realtà quanto assicura che i tadpoles realtivi al settore di RR siano
nulli. Difatti le possibili divergenze delle parti relative al settore di massa nulla di RR
nelle ampiezze dei loop sono cancellate proprio se la carica totale delle brane e dei piani di
orientifold è nulla, il calcolo esplicito per i loop con una configurazione arbitraria di brane è
svolto ad esempio in [14].
Riassumendo, si è mostrato che la consistenza e la stabilità di un modello realizzato con
in M4 ⊗T 6
D6 nell’ambito della teoria IIA
necessita che la carica totale della configurazione
1+ΩR3 (−1)F
sia nulla. Si vuole ora mostrare come questa condizione permette di cancellare gran parte
delle possibili anomalie nella teoria quadridimensionale di bassa energia che si sta tentando
di costruire.
In una teoria di gauge chirale quadridimensionale vi sono varie ampiezze a tre vertici
che potrebbero violare le simmetrie. Si cominci col considerare quelle relative a processi che
coinvolgono tre bosoni associati ad un gruppo non Abeliano, sia esso G; esplicitamente per
tali ampiezze si ha:
∑
( {
})
A G3 ∝
T r tαr tβr , tγr
(3.2.36)
r
dove r indica le possibili rappresentazioni ed α, β e γ i generatori associati ai bosoni coinvolti
nel processo. In particolare la (3.2.36) per SU (N ) si può riesprimere nella forma:
ASU (N )3 ∝
∑
A(r)dαβγ
(3.2.37)
r
con dαβγ indipendente dalla particolare rappresentazione.
Pertanto, considerando lo spettro (3.2.26), per ogni ampiezza relativa al gruppo SU (Na )
localizzato su un dato stack a si ha:
ASU (Na )3 ∝
(3.2.38)
∑
Nb (Iab + Iab∗ )A(Fa )+
b̸=a
1
{(Iaa∗ + NO6 IaO6 )A(Aa ) + (Iaa∗ − NO6 IaO6 )A(Sa )}
2
dove Fa indica la rappresentazione fondamentale e si è tenuto conto che A(r) = −A(r) e
104
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
Iab = −Iba . Considerati ora i valori espliciti di A(r)[6]:
A(F ) = 1 A(Aa ) = Na − 4 A(Sa ) = Na + 4
(3.2.39)
si riscriva la (3.2.41):
ASU (Na )3 ∝
∑
Nb (Iab + Iab∗ ) − 4NO6 IaO6
(3.2.40)
b
ed ancora, usando la (3.1.16) si ha:
ASU (Na )3 ∝ Πa ·
(
∑
)
Nb (Πb + Πb∗ ) − 4NO6 ΠO6
(3.2.41)
b
che è evidentemente nulla per la condizione di carica totale nulla (3.2.35). In definitiva, i
modelli che si mostreranno sono costituiti da stack di brane e piani di orientifold la cui carica
di RR totale è nulla; ciò garantisce una teoria effetiva quadridimensionale priva di anomalie
del tipo SU (N )3 .
Tuttavia la condizione (3.2.35) non garantisce l’assenza nè di anomalie Abeliane nè di
anomalie miste.
Bosoni vettori che determinano i gruppi U (1) possono vivere sia su stack di più brane,
originando dalla scomposizione di U (N ) in SU (N ) ⊗ U (1) sia ovviamente su stack composti
da una brana. In un dato modello si hanno pertanto tanti gruppi U (1) quanti sono gli stack.
In ogni caso visto che i fermioni sono stati di stringa che si estendono tra due stack le uniche
anomalie puramente abeliane che possono verificarsi sono dovute a processi che coinvolgono
al massimo bosoni relativi a due differenti U (1). Siano tali gruppi relativi agli stack a e b,
per le ampiezze dei possibili processi si ha:
AU (1)a −U (1)2b ∝
∑
r
Qa (r)Q2b (r) +
δab ∑ 3
Qb (r)
3 r
(3.2.42)
dove Q(r) è la carica di U (1) per un fermione che trasforma in una data rappresentazione di
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
105
U (N ) = SU (N ) ⊗ U (1). In particolare risulta:
(3.2.43)
Q(F ) = 1 Q(A) = Q(S) = 2
ed ovviamente Q(r) = −Q(r). Pertanto l’ampiezza (3.2.42) con lo spettro fermionico (3.2.26)
risulta essere:
AU (1)a −U (1)2b ∝
(3.2.44)
(
)
∑
δab
Na Nb (Iab + Iab∗ ) +
Na
Nc (Iac + Iac∗ ) − 4NO6 IaO6
3
c
e solo l’ultimo termine è nullo se la carica totale di RR della configurazione è nulla. Tuttavia è
possibile cancellare anche il primo termine della (3.2.44) considerando il contributo delle interazioni tra i bosoni di gauge e alcune forme presenti nel bulk. Tale procedimento è noto come
meccanismo di Green-Schwartz, e si vuole ora mostrare esplicitamente come determinare i
controtermini necessari per rendere nulle le possibili anomalie del tipo U (1)a − U (1)2b .
Si ricordi il termine di Chern-Simon per l’azione effettiva di una D6 brana:
ˆ
SRR = µ6
(
B+2πα′ F
e
∧
∑
)
An
D6
(3.2.45)
7
dove F è il tensore del gruppo U (1) che vive su di essa o equivalentemente su di uno stack. Si
prendano ora in considerazione i termini con A5 ed A3 per uno stack costituito da N a brane
avvolto su T 6 con la solita proiezione di orientifold:
ˆ
µD6(I) Na
M4 ⊗Πa
F ∧ A5
µD6(I)
Na
2
ˆ
M4 ⊗Πa
F ∧ F ∧ A3
(3.2.46)
dove si è posto F = B + 2πα′ F . Si considerino inoltre due basi del sottospazio dei cicli
fattorizzabili di H3 (T 6 , Z), siano esse {Λi }8i=1 e {Σi }8i=1 e siano tali che Λi · Σj = δij . Quando
∑
∑
si definiscano le componeti di Πa in queste due basi, ad esempio Πa = i qai Λi = i q̃ai Σi , e
ricordando che le componenti individuano la quantità di carica di uno stack, si può riscrivere:
µD6(I) Na
∑
i
ˆ
q̃ai
M4 ⊗Σi
F ∧ A5
∑
µD6(I)
Na
qai
2
i
ˆ
M4 ⊗Λi
F ∧ F ∧ A3
(3.2.47)
106
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
E’ ora possibile definire sedici campi quadridimensionali duali, i.e.:
ˆ
ˆ
Bi =
A5
Φi =
(3.2.48)
A3
Λi
Σi
dove naturalmente Φi sono campi scalari ed i loro duali Bi 2-forme. Pertanto nell’ordinario
spazio tempo gli accoppiamenti (3.2.47) risultano:
µD6(I) Na
∑
ˆ
F ∧ Bi
q̃ai
µD6(I) Na
∑
M4
i
ˆ
F ∧ F Φi
qai
i
(3.2.49)
M4
Come visto in precedenza sull’immagine per riflessione di uno stack sono presenti gli
stessi gruppi che vivono sullo stack, tuttavia se gli stati su a trasformano in rappresentazione
fondamentale gli stati su a∗ trasformano in antifondamentale, pertanto i generatori su a∗ sono
i complessi coniugati dei generatori su a; segue che Fa = −Fa∗ e gli accoppiamenti (3.2.49)
sull’ immagine dello stack si scrivono:
−µD6(I) Na
∑
i
ˆ
F ∧ Bi
ΩR3 q̃ai
M4
µD6(I) Na
∑
i
ˆ
F ∧ F Φi
ΩR3 qai
(3.2.50)
M4
dove con ΩR3 qai si sono individuate le componenti dell’immagine.
In definitiva l’analisi della riduzione dimensionale dell’azione di brana ha permesso di
definire i campi quadridimensionali Bi e Φi e l’accoppiamento degli stessi con i gruppi di
gauge. Si vuole ora mostrare come l’interazione tra due gruppi U (1) mediata da tali campi
può fornire il controtermine necessario per rendere nulla la (3.2.44); il fatto che Bi e Φi sono
gli uni i duali degli altri permette di considerare il processo in cui un bosone di U (1)a decada
in un qualche bosone dei Bi che a loro volta decadono in due quanti di U (1)b tramite gli
accoppiamenti mediati dai duali Φi fig(4).
L’ampiezza per tale processo risulta proporzionale al prodotto delle opportune costanti
di accoppiamento definite dalle (3.2.49) e (3.2.50), i.e.:
∑
1
(1 − ΩR3 )q̃ai (1 + ΩR3 )qbi
AU (1)a −U (1)2b ∝ Na Nb
2
i
(3.2.51)
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
107
Figura 3.3: Diagrammi di Feynman per processi U (1)a − U (1)2b ; la somma delle tre ampiezze
è nulla.
l’aggiunta del fattore 12 deriva dall’identificazione del settore ab con b∗ a∗ e di ab∗ con ba∗ .
Il contributo a tale ampiezza è proprio quanto necessario per sperare di poter cancellare il
primo termine nella (3.2.44); per vederlo esplicitamente è necessario riscrivere la (3.2.51). A
tale scopo si noti che:
qai Λi = q̃ai Σi =⇒ qai Λi · Λj = q̃ai Σi · Λj =⇒ qai Λi · Λj = q̃ai δij
(3.2.52)
o equivalentemente in forma matriciale, posto Iij = Λi Λj ,
q̄at I = q̃¯at
(3.2.53)
108
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
Inoltre con tale notazione si può esprimere il numero di intersezione tra due stack a e b nella
forma Iab = q̄at I q̄b . Ed infine si può opportunamente riscrivere la (3.2.51) 3 :
1
†
AU (1)a −U (1)2b ∝ Na Nb [(1 − ΩR3 )q̃¯a ] (1 + ΩR3 )q̄b =
2
(3.2.54)
1
1
Na Nb [−I(1 − ΩR3 )q̄a ]† (1 + ΩR3 )q̄b = Na Nb q̄at I(1 − ΩR3 )† (1 + ΩR3 )q̄b =
2
2
Na Nb (Iab + Iab∗ )
Tale termine è dunque esattamente uguale al primo termine della (3.2.44), tuttavia non è a
priori detto che ciò implichi la cancellazione dell’anomalia. Difatti l’ampiezza (3.2.44) dipende
anche dalle costanti di accoppiamento della teoria di gauge, mentre l’ampiezza per il processo
che coinvolge i campi Bi e Φi , come si deduce ad esempio dalla (3.2.51), è proporzionale a
µD6(I) e dipende dunque in ultima analisi dall’energia caratteristica di striga. In seguito si
mostrerà che in realtà anche le costanti di accoppiamento della teoria quadridimensionale
effetiva dipendono dall’ energia caratteristica di stringa, e si farà maggiore luce sull’effettiva
cancellazione dell’anomalia.
Quanto mostrato per le anomalie puramente abeliane si può ripetere anche per le anomalie
miste, giungendo alle stesse conclusioni. Si riporta, per utilità nel seguito, l’espressione
generale per l’ampiezza di una possibile anomalia mista con lo spettro (3.2.26):
AU (1)a −SU (N )2b ∝
(
)
∑
1
δab
Na (Iab + Iab∗ ) +
Na
Nc (Iac + Iac∗ ) − 4NO6 IaO6
2
2
c
(3.2.55)
Come per le anomalie del tipo U (1)a −U (1)2b il primo termine è cancellato dall’interazione dei
gruppi con i campi presenti nel bulk mentre il secondo è nullo se la configurazione di stack
ha carica totale di RR nulla.
Nello sviluppare la (3.2.54) si è considerato che: 1) I = −I † , 2) IΩR3 = −(ΩR3 )† I. Difatti: 1)
Iab = −Iba ⇒ q̄at I q̄b = −q̄bt I q̄a ⇒ I = −I † 2)Iab = Ib∗ a∗ ⇒ q̄at I q̄b = q̄bt∗ I q̄a∗ ⇒ q̄at I q̄b = q̄bt (ΩR3 )† I(ΩR3 )q̄a ⇒
IΩR3 = −(ΩR3 )† I. Si è inoltre osservato che I commuta con ΩR3 .
3
3.2. MODELLI CON D6 BRANE
3.2.3
109
Massività dei bosoni vettori
Si è appena mostrato che, con configurazioni di D6 brane con carica totale nulla, è possibile
ottenere una teoria di bassa energia nell’ordinario spazio-tempo del tutto priva di anomalie
considerando le interazioni tra i gruppi di gauge ed alcuni campi di RR presenti nel bulk; si è
inoltre visto che tali campi, dal punto di vista della teoria quadridimensionale, possono essere
opportunamente descritti da 2-forme. In questa sezione si vuole mostrare come l’interazione
tra un campo di gauge U (1) ed una 2-forma può in generale conferire massa ai bosoni del
campo. Questa eventualità è di fondamentale importanza nel tentativo di costruire modelli
semirealistici con configurazioni di D6 brane. Infatti, come sarà analizzato nella prossima
sezione, ciò consente di riprodurre a basse energie i gruppi di gauge del Modello Standard, in
particolare SU (3) ed SU (2), identificandoli come sottogruppi di U (3) ed U (2) i quali vivono
su stack composti rispettivamente da 3 e 2 brane. Più precisamente è possibile determinare
delle configurazioni in cui uno dei bosoni di U (3) ed uno di U (2) acquisiscono una massa
rilevante in modo tale da giustificarne l’ assenza a basse energie.
Si vuole ora però mostrare il meccanismo generale che consente di conferire massa ai
bosoni vettori in seguito all’interazione con una 2-forma. Allo scopo si consideri la densità
lagrangiana per un campo vettoriale A, e una 2-forma B in interazione:
L = −aH µνρ Hµνρ − bF µν Fµν − cϵµνϱσ Hµνρ Aσ − cηϵµνϱσ ∂µ Hνρσ
(3.2.56)
dove H = dB, F = dA, η moltiplicatore di Lagrange ed a, b e c costanti dipendenti dall’accoppiamento. Minimizzando la corrispondente azione rispetto ad Hµνρ si ha l’equazione del
moto per H µνρ :
c
H µνρ = − ϵµνϱσ (Aσ + ∂σ η)
(3.2.57)
a
e sostituendo nella (3.2.58) si ottiene:
L = −bF µν Fµν −
c2
(Aσ + ∂σ η)2
a
(3.2.58)
che è proprio una densità per il campo A libero e massivo. E’ bene sottolineare che sebbene ad
un tale campo sia associato un propagatore divergente, ciò non comporta problemi nell’ambito
della teoria quadridimensionale che si sta sviluppando in quanto questa è per sua natura una
110
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
teoria di bassa energia.
Da quanto detto potrebbe sembrare che per una data configurazione tutti i gruppi U (1)
presenti acquisiscano una massa in seguito all’interazione con le 8 2-forme Bi introdotte nella
sezione precedente. Si ricordi che tali forme sono definite integrando la 5-forma A5 su di una
base di 3-cicli, i.e.:
ˆ
Bi =
(3.2.59)
A5
Λi
Tuttavia si è anche visto che per un gruppo che vive su di un dato stack, sia al solito a
ed individuato nella base {Λi }8i=1 dalle componenti qai , l’accoppiamento con i campi Bi è
determinato da:
1
Na (1 − ΩR3 )qai
(3.2.60)
2
e tali costanti possono essere nulle per alcuni stack. Per evidenziare ciò si rappresenti lo stack
nella base in cui ΩR3 (⊗µ (nµ , mµ )) = ⊗µ (nµ , −mµ ); esplicitamente la (3.2.60) in tale base si
scrive:








1
Na (1 − ΩR3 ) 

2






n4a n6a n8a
m4a m6a m8a
m4a m6a n8a
n4a n6a m8a
m4a n6a m8a
n4a m6a n8a
n4a m6a m8a
m4a n6a n8a
















 = Na 














0
4 6 8
ma ma ma
0
4 6 8
na na ma
0
4 6 8
na ma na
0
m4a n6a n8a
















(3.2.61)
ed è dunque evidente che solo i gruppi relativi a stack con componenti pari diverse da zero
interagiscono effettivamente con i Bi ed acquisiscono una massa. Con tali notazioni e in tale
base è pertanto necessario considerare solo i campi B2 , B4 , B6 e B8 .
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
3.3
111
Modello Standard da configurazioni di D6 brane
In questo paragrafo, utilizzando i risultati sin qui ottenuti, si vuole esplicitamente mostrare
che, con la scelta di compattificazione fatta, esistono alcune configurazioni di D6 brane che
determinano una teoria effettiva di gauge nell’ordinario spazio-tempo la cui struttura coincide
con la struttura del Modello Standard.
Si cominci con il ricordare la struttura del Modello Standard: è una teoria di gauge chirale
con gruppo SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1), e tre famiglie di fermioni i cui elementi sono:
QL = (3, 2) 1
6
UR = (3̄, 1)− 2
3
DR = (3̄, 1) 1
(3.3.1)
3
LL = (1, 2)− 1
2
LR = (1, 1)1
Dove i termini in parentesi determinano evidentemente le rispettive rappresentazioni di SU (3)
ed SU (2), mentre con il pedice si è indicato la carica rispetto al campo di ipercarica Y . QL
identifica tutti e sei i tripletti di colore dei quark lef t, mentre con UR si sono identificati i
tre tripletti di quark up right, cioè uR , cR e tR , e con DR i tripletti down right, cioè dR , sR
e bR ; inoltre con LL si sono identificati i tre doppietti di leptoni lef t mentre con LR i leptoni
right .
Da quanto esposto nelle sezioni precedenti dovrebbe essere chiaro quale è una possibile
strategia per ricercare configurazioni di D6 brane il cui spettro di bassa energia riproduca
i gruppi di gauge ed i fermioni (3.3.1). Si comincia con il ricercare configurazioni di stack
per le quali alle intersezioni sono localizzati fermioni lef t che trasformano per U (3) ed U (2)
nelle stesse rappresentazioni desiderate per SU (3) ed SU (2). Successivamente, considerati
tutti i possibili gruppi U (1), sia quelli originanti dalla decomposizione di U (3) ed U (2) sia
quelli che vivono su stack composti da una brana, si restringe lo spazio delle configurazioni
possibili considerando solo quelle per le quali tutte le combinazioni lineari degli U (1), meno
una, risultano massive. Naturalmente è inoltre necessario che la combinazione degli U (1) con
bosoni di massa nulla rappresenti correttamente l’ipercarica per tutti i fermioni.
E’ possibile ottenere i fermioni desiderati con quattro stack; siano essi a, b, c e d, e sia
112
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
Na = 3, Nb = 2, Nc = Nd = 1. Con tale scelta i rispettivi fermioni del Modello Standard
possono essere localizzati alle seguenti intersezioni:
QL
UR
DR
LL
LR
ab
ac
ac
bd
cd
ab∗
ac∗
ac∗
bd∗
cd∗
(3.3.2)
Pertanto per ottenere una teoria effettiva con giusto il contenuto fermionico del modello
standard è opportuno evitare intersezioni tra uno stack e la sua immagine. Come si evince
∏
dall’ eq. (3.2.24), per far ciò basta ad esempio imporre che per ogni stack sia µ mµ = 0,
cioè ogni stack deve essere parallelo ai piani di orientifold.
Visto che bisogna ottenere tre repliche dello spettro è inoltre necessario che la somma dei
numeri d’intersezione relativi a settori differenti ma con stesso contenuto fermionico sia tre; ad
esempio per ottenere tre quark left bisogna che Iab + Iab∗ = 3. Tuttavia in generale non tutti
i valori la cui somma è tre sono possibili. Si ricordi infatti che per avere una configurazione
stabile è necessario che la somma delle cariche delle brane e dei piani di orientifold sia nulla,
cioè è necessario che le classi che definiscono la configurazione soddisfino eq. (3.2.35), ovvero:
∑
Ni (Πi + Πi∗ ) − 4NO6 ΠO6 = 0
(3.3.3)
i
con i ∈ {a, b, c, d}. Come si è già notato analizzando le condizioni generali di cancellazione
delle anomalie della teoria effettiva, l’ eq. (3.3.3) implica ad esempio:
Πb ·
(
∑
)
Ni (Πi + Πi∗ ) − 4NO6 ΠO6
=0
(3.3.4)
i
o equivalentemente in termini dei numeri di intersezione:
∑
i
Ni (Ibi + Ibi∗ ) − 4NO6 IbO6 = 0
(3.3.5)
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
113
Considerando ora che, per le configurazioni che si stanno costruendo, gli stack devono essere
paralleli ai piani, cioè IbO6 = 0, ed inoltre che i numeri di intersezione relativi a settori non
presenti in (3.3.2) devono essere nulli, la (3.3.5) si riduce a:
∑
Ni (Ibi + Ibi∗ ) = 3Iba + 3Iba∗ + Ibd + Ibd∗ = 0
(3.3.6)
i̸=b
e questo è un primo vincolo sui possibili numeri di intersezione di una configurazione stabile
che riproduca il Modello Standard.
Analogamente, la condizione di carica totale nulla implica:
Πa ·
(
∑
)
Ni (Πi + Πi∗ ) − 4NO6 ΠO6
=0
(3.3.7)
i
ed eseguendo le considerazioni precedenti si ha:
∑
Ni (Iai + Iai∗ ) = 2Iab + 2Iab∗ + Iac + Iac∗ = 0
(3.3.8)
i̸=a
Come dimostrato in generale precedentemente, eq.(3.2.40) e (3.2.41), la relazione (3.3.7)
assicura una teoria effettiva priva di anomalie del tipo SU (3)3 come deve essere se si vuole
riprodurre il Modello Standard.
Dalle eq. (3.3.6) e (3.3.8) si nota inoltre che senza proiezione di orientifold non sarebbe
stato possibile costruire una configurazione stabile che dia vita ad una teoria effettiva con le
tre famiglie di fermioni del Modello Standard. Si osservi infatti che, ad esempio in eq.(3.3.6),
senza proiezione di orientifold si avrebbe Iba∗ = Ibd∗ = 0, e pertanto non si potrebbero avere
tre doppietti di quark left e tre doppietti di leptoni left in quanto per realizzare ciò sarebbe
necessario Iab = 3 e Ibd = 3.
Per essere inoltre certi che nessun processo che coinvologa conteporaneamente i bosoni
di U (1)c ed U (1)d violi le simmetrie, cioè per creare una teoria effettiva che non presenti
anomalie ad esempio del tipo U (1)c − U (1)2d , per la (3.2.44) deve essere:
Nc Nd (Icd + Icd∗ ) = Icd + Icd∗ = 0
(3.3.9)
114
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
Nel ricavare la (3.3.9) dalla (3.2.44) si è considerato che le configurazioni a cui si giungerà
devono avere carica totale nulla.
L’unico modo per soddisfare quest’ultima condizione ed ottenere un modello con tre
generazioni di leptoni right è di porre Icd = −Icd∗ = 3. Ma se ad esempio si considerano
−
−
∗
e−
R , µR e τR localizzati alle intersezioni cd, quali particelle sono in cd ? La scelta più logica
sembra essere quella di identificare tali stati con i neutrini right, ed è quanto si farà nel
prosieguo. In definitiva il modello che si sta costruendo sembra implicare l’esistenza dei
neutrini right.
Le condizioni (3.3.6), (3.3.8) e (3.3.9) sono soddisfatte ad esempio per la seguente scelta
dei numeri di intersezione:
Iab = 1
Iab∗ = 2
Iac = −3 Iac∗ = −3
(3.3.10)
Ibd = −3 Ibd∗ = 0
Icd = 3 Icd∗ = −3
E’ importante osservare che per ottenere una configurazione con Iab = 1 e Iab∗ = 2 è necessario
che almeno uno dei tori abbia struttura curva; si osservi infatti che:
Iab + Iab∗ = ⊗µ (nµa mµb − nµb mµa ) + ⊗µ (nµa mµb∗ − nµb∗ mµa )
(3.3.11)
e nella base in cui ΩR3 (⊗µ (nµ , mµ )) = ⊗µ (nµ , −mµ ) si ha:
Iab + Iab∗ = −2 ⊗µ nµb mµa
(3.3.12)
pertanto si può avere Iab = 2, Iab∗ = 1 solo se, con questa scelta di base, alcune componenti
dei rispettivi cicli sono semiintere, e questo si può verificare solo se almeno un toro Tµ2 ha
struttura curva; nel seguito sia questo T82 .
Stabilito ciò non è difficile calcolare le classi di omologia che identificano tutte le possibili
configurazioni di stack con numeri di intersezione (3.3.10); esplicitamente, sempre nella base
in cui ΩR3 (⊗µ (nµ , mµ )) = ⊗µ (nµ , −mµ ), esse risultano essere:
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
Stack
N
(n4 , m4 )
(n6 , m6 )
(n8 , m8 )
a
3
( β14 , 0)
(n6a , ϵβ 6 )
( ρ1 , 2ϵ̃ )
b
2
(n4b , −ϵ̃ϵβ 4 )
( β16 , 0)
(1, 3ρϵ̃
)
2
c
1
(n4c , 3ρϵβ 4 )
( β16 , 0)
(0, 1)
1
( β14 , 0)
6
(n4d , ϵβρ )
(1, − 3ρϵ̃
)
2
d
115
con ρ = 1, 13 , ϵ, ϵ̃ = ±1 e β 4 = 1, 12 , β 6 = 1, 12 a seconda se la struttura di T42 e T62 è piatta
o curva.
Per quanto finora mostrato dovrebbe essere chiaro, ad ogni intersezione di queste configurazioni, quali fermioni sono localizzati, le relative rappresentazioni, e le cariche sia per U (1)c
ed U (1)d sia per U (1)a ed U (1)b dopo la decomposizione di U (3)a ed U (2)b ; in ogni caso per
una maggiore chiarezza si faccia riferimento a tab(1).
Tabella 3.1: Contenuto fermionico della teoria effettiva, relative rappresentazioni, e cariche
per i gruppi U (1)i
Settore
N°
Classi di
Particelle
Rap. di
SU (3) ⊗
SU (2)
Qa
Qb
Qc
Qd
ab
1
QL
(3, 2̄)
1
-1
0
0
ab∗
2
qL
(3, 2)
1
1
0
0
ca
c∗ a
3
3
UR
DR
(3̄, 1)
(3̄, 1)
-1
-1
0
0
1
-1
0
0
db
3
LL
(2, 1)
0
-1
0
1
cd
d∗ c
3
3
NR
LR
(1, 1)
(1, 1)
0
0
0
0
1
-1
-1
-1
Possibile
identificazione
come particelle
del MS
uL
dL
cL tL
sL bL
uR cR tR
dR sR bR
νe− L νµ− L ντ − L
e−
µ−
τL−
L
L
νe− R νµ− R ντ − R
− −
e−
R µR τR
Il corretto valore di ipercarica per ogni fermione è ottenuto dalla combinazione lineare:
1
1
1
QY = Qa − Qc − Qd
6
2
2
(3.3.13)
116
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
e, come si vuole ora mostrare, il gruppo U (1) associato è effettivamente di massa nulla
solo per alcune delle configurazioni sopra elencate. In particolare si vedrà che, per tutte le
configurazioni ottenute, i bosoni vettori associati a tre delle quattro possibili combinazioni
lineari indipendenti dei gruppi di gauge U (1) aquisiscono una massa in seguito alle inteazioni
con le 2-forme. Più precisamente solo una combinazione lineare dei tensori degli sforzi Fa ,
Fb , Fc , e Fd rappresenterà il tensore di un gruppo di gauge con bosoni di massa nulla, e tale
campo risulterà coincidere con l’ipercarica solo per alcune specifiche configurazioni tra quelle
che realizzano i numeri di intersezione (3.3.10).
Si considerino gli accoppiamenti tra i campi Bi ed i gruppi U (1) associati ai possibili
stack. Considerando le classi di omologia ottenute e la (3.2.61), ad esempio per U (1)a si ha:








3







0
0
0







1 6 ϵ̃
n B 
β4 a 2 4 
 ∧ Fa
0


1
61
ϵβ ρ B6 
β4


0

0
(3.3.14)
analogamente si ottengono gli accoppiamenti con Fb , Fc ed Fd . Raggruppando tutte le
possibili interazioni per ogni Bi con i gruppi si ha:
ϵ̃
2β 4 β
( 6 6
)
4 4
4 4
6 6
B
∧
3β
n
F
+
6ρβ
n
F
−
2ϵ̃β
n
F
+
3ρβ
n
F
4
a
b
c
d
a
b
c
d
6
(3.3.15)
ϵβ 6
B6 ∧ (3Fa + Fd )
ρβ 4
2ϵϵ̃β 4
B8 ∧ Fb
β6
Pertanto si ha una sola combinazione lineare indipendente dei tensori degli sforzi che non
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
117
accoppia con i campi Bi , i.e.:
)
1
ϵ̃β 6 (
1
Fa − 4 4 n6a + 3ρn6d Fc − Fd
6
2nc β
2
(3.3.16)
ed il generatore per il campo abeliano corrispondente risulta essere l’ipercarica (3.3.13) solo
se:
)
ϵ̃β 6 (
n4c = 4 n6a + 3ρn6d
(3.3.17)
2β
Questo è un primo vincolo alle possibili configurazioni che realizzano i numeri di intersezione
(3.3.10). Inoltre, sebbene tali numeri sono stati ottenuti imponendo la cancellazione di alcune
possibili anomalie della teoria effettiva, e sebbene si sia in particolare visto che tali numeri
sono un vincolo necessario per una configurazione a carica totale nulla non è detto che sia
valido il viceversa. Più precisamente non è detto che tutte le configurazioni che realizzano i
numeri di intersezione (3.3.10) siano a carica toale nulla, e siano quindi stabili. In più non
è dunque detto che la teoria effettiva sia del tutto priva di anomalie. Pertanto si ricaverà
ora un ulteriore vincolo alle possibili configurazioni che realizzano i numeri di intersezione
(3.3.10).
Riscrivendo la (3.2.35) con le convenzioni sinora adottate, una generica configurazione
di D6 brane ha carica totale nulla se le componenti delle classi che individuano gli stack
verificano:







∑ 
Ni 


i





2n4i n6i n8i
0
2m4i m6i n8i
0
m4i n6i m8i
0
n4i m6i m8i
0
















4
6
8
 = 32β β β 














1 1 1
β4 β6 β8
0
0
0
0
0
0
0
















(3.3.18)
dove si è considerato che NO6 = 8β 4 β 6 β 8 e ΠO6 = ( β14 , 0) ⊗ ( β16 , 0) ⊗ ( β18 , 0). Solo la prima
di queste quattro condizioni non è in generale soddisfatta da tutte le configurazioni che
118
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
realizzano i numeri di intersezione (3.3.10), in particolare essa impone:
3n6a 2n4b
n6d
+
+
= 16
ρβ 4
β6
β4
(3.3.19)
Non è a questo punto difficile vedere che è possibile ottenere una teoria quadridimensionale del tutto priva di anomalie da tutte le configurazioni che riproducono i numeri di
intersezione (3.3.10), purchè soddisfino alle condizioni (3.3.17) e (3.3.19), cioè se riproducono
correttamente l’ipercarica e se sono a carica totale nulla. Le combinazioni lineari dei gruppi
di gauge (3.3.15) sono prive di anomalie grazie alle interazioni con i campi B e Φ. Al contrario il gruppo di ipercarica non interagisce con tali campi, rimane a massa nulla ed è privo di
anomalie senza la necessità di alcun controtermine. Infatti, ad esempio per l’ampiezza di un
processo del tipo U (1)Y → SU (2)2 , considerando l’eq. (3.2.55) e che le configurazioni sono
a carica totale nulla, si ha:
1
1
1
AU (1)Y −SU (2)2 = AU (1)a −SU (2)2 − AU (1)c −SU (2)2 − AU (1)d −SU (2)2 ∝
6
2
2
(
)
1 Na
Nc
Nd
(Iab + Iab∗ ) −
(Icb + Icb∗ ) −
(Idb + Idb∗ ) = 0
2 6
2
2
(3.3.20)
Altro aspetto importante da sottolineare riguarda il fatto che questi modelli sono in grado
di giustificare alcune simmetrie globali del Modello Standard. Si noti infatti che sebbene tre
combinazioni lineari dei gruppi di gauge Abeliani possono acquisire una massa rilevante, le
simmetrie associate ai vari gruppi U (1) rimangono comunque nella teoria di bassa energia
come simmetrie globali. Si noti in particolare che 3Qa rappresenta il numero barionico,
mentre Qd rappresenta il numero leptonico.
In definitiva, con una compattificazione toroidale con proiezione di orientifold, si sono
ottenute delle configurzioni di D6 brane a cui è associato uno spettro di massa nulla che
consente di definire una teoria effetiva quadridimensionale con la stessa identica struttura
del Modello Standard. In più, questi modelli consentono di fare luce su alcune questioni
irrisolte del Modello Standard quale l’esistenza dei neutrini right. Tuttavia vi sono altri
aspetti rilevanti da considerare se si vuole essere certi che esistano configurazioni che diano
vita a teorie effettive del tutto realistiche.
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
119
Si ricordi ad esempio che alle intersezioni tra gli stack sono presenti stati bosonici la cui
massa dipende dagli angoli di intersezione, eq. (3.2.23). Da un lato, per essere sicuri che
le configurazioni siano stabili è necessario che a tutte le intersezioni la massa di tali stati
sia maggiore o uguale a zero. Dall’ altro, al fine di giustificare la non osservazione di tali
stati a bassa energia, è necessario che per una data configurazione le relative masse siano
sufficientemente elevate. Si noti che il valore degli angoli di intersezione non dipende solo dai
numeri di avvolgimento ma anche dai raggi dei tori. Pertanto, per una data configurazione,
per determinare la massa degli stati bosonici più leggeri alle intersezioni è necessario conoscere
il valore dei sei raggi di T 6 . Con riferimento a fig(), si definisca l’ angolo tra uno stack a e
l’asse reale nel piano Z µ :
( µ µ )
m Ru+1
1
µ
−1
ϑaRe = tan
(3.3.21)
π
nµ Rµµ
µ
dove Rµ+1
e Rµµ sono i raggi di compattificazione nelle rispettive direzioni se il toro è piatto,
mentre se la struttura è torta Rµµ è la proiezione del raggio sull’asse reale. Per detrminare
tutti gli angoli di intersezione delle configurazioni ottenute risultano necessari solo sei angoli
del tipo (3.3.21), esplicitamente:
ϑ4bRe ; ϑ4cRe ; ϑ6aRe ; ϑ6dRe ; ϑ8aRe ; ϑ8bRe ;
e si ha:





(3.3.22)
ϑ4ab = −ϑ4bRe ; ϑ4ac = −ϑ4cRe ; ϑ4bd = ϑ4bRe ; ϑ4cd = ϑ4cRe ;
ϑ6ab = ϑ6aRe ; ϑ6ac = ϑ6aRe ; ϑ6bd = −ϑ6dRe ; ϑ6cd = −ϑ6dRe ;



 ϑ8 = ϑ8 − ϑ8 ; ϑ8 = ϑ8 − 1 ; ϑ8 = 2ϑ8 ; ϑ8 = 1 + ϑ8 ;
ac
aRe
aRe
bd
bRe
cd
bRe
ab
bRe
2
2
(3.3.23)
Per essere certi che la massa di tutti gli stati bosonici presenti alle intersezioni sia almeno
maggiore di 10 Tev è necessario imporre tale vincolo a tutte le masse degli stati elencati in
eq. (3.2.23); cioè è necessario vincolare la massa di quattro stati ad ogni intersezione. Nelle
configurazioni ottenute vi sono sette intersezioni ed è pertanto necessario imporre vincoli per
28 stati. Tuttavia tutte queste masse possono essere espresse in funzione degli angoli (3.3.23)
ed è facilmente possibile trovare delle limitazioni allo spazio degli angoli di intersezione, e
quindi allo spazio dei raggi di compattificazione, in modo tale che si abbia un insieme di
120
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
valori per i quali tutti gli stati bosonici alle intersezioni di una data configurazione abbiano
massa elevata. Per il calcolo esplicito si veda [15].
Altro aspetto fondamentale per definire compiutamente la teoria effettiva riguarda la
determinazione delle costanti di accoppiamento dei gruppi di gauge. Come si vuole ora
mostrare, il valore di tali costanti all’energia caratteristica di stringa può essere determinato
in funzione della costante di accoppiamento di stringa, della lunghezza caratteristica di stringa
e dei volumi dei cicli su cui sono avvolti gli stack.
Si cominci con il ricordare la parte bosonica per l’ azione di world volume di una Dp
brana:
ˆ
√
p+1
−ϕ̃
S = −Tp d σe
−det(gαβ + 2πα′ Fαβ )
(3.3.24)
Così come svolto in eq. (2.5.22), espandendo al secondo ordine in F , e ponendo a zero le
eccitazioni del campo di dilatone, si ha:
ˆ
S = −Tp
dp+1 σ
√
(
)
−detgαβ 1 + π 2 α′2 F 2
(3.3.25)
Il secondo termine di tale espansione, i.e.:
ˆ
−Tp
dp+1 σ
√
(
)
−detgαβ π 2 α′2 F 2
(3.3.26)
rappresenta evidentemente l’azione per il campo di gauge U (1) che vive sul volume di universo
della brana. Nel caso delle D6 brane estese lungo l’ordinario spazio-tempo ed avvolte su T 6
si può facilmente eseguire una riduzione dimensionale di tale azione che consenta di scrivere
l’azione per il campo di gauge nella teoria effetiva quadridimensionale, i.e.:
ˆ
−T6 Vcom
(
)
d4 x π 2 α′2 F 2
(3.3.27)
dove con Vcom si è indicato il volume che la D6 brana descrive su T 6 e si è considerata
la metrica dell’ordinario spazio-tempo piatta. Pertanto, confrontando con la forma di una
´
generica azione quadridimensionale, S = − 4g12 d4 xF 2 , la costante di accoppiamento è subito
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
determinata:
1
= T6 Vcom π 2 α′2
2
4g
121
(3.3.28)
ed in definitiva, scrivendo la tensione di una D6 brana in funzione della costante di accoppiamento di stringa, eq.(2.5.32), si ha:
3
Vcom
1
Vcom Ms3
′ −2
=
(α
)
=
g2
gs (2π)4
gs (2π)4
(3.3.29)
dove al solito con gs si è indicata la costante di accoppiamento di stringa, e con Ms =
energia caratteristica di stringa.
√1
α′
l’
Si può eseguire lo stesso discorso per uno stack composto da N brane, in particolare in
questo caso la (3.3.26) rappresenta l’azione per il gruppo di gauge non abeliano U (N ) ed F 2
( a a )2
è da intendersi come traccia sulla matrice N × N Fαβ
t , con ta generatori del gruppo; la
costante di accoppiamento è in ogni caso definita dalla (3.3.29).
Nel caso delle configurazioni che riproducono il Modello Standard è naturalmente opportuno definire due azioni effettive distinte per i gruppi di gauge su di un dato stack, cioè
un’ azione per SU (N ) ed una per U (1). In particolare sia per SU (2) che per SU (3) si può
definire, come nel caso generale di U (N ), l’ azione (3.3.27) come azione quadridimensionale
e determinare le rispettive costanti di accoppiamento con la (3.3.29). Esplicitamente con le
convenzioni adottate precedentemente si ha:
−1
αqcd
=
−1
αew
=
1
2
gSU
(3)
1
2
gSU
(2)
=
Vcom (Πa )Ms3
gs (2π)4
(3.3.30)
=
Vcom (Πb )Ms3
gs (2π)4
(3.3.31)
Per scrivere invece l’ azione effettiva quadridimensionale per i gruppi abeliani è necessario
in generale considerare anche dei termini di massa dovuti agli accoppiamenti con le 2-forme,
tuttavia per il campo di ipercarica, che come visto rimane a massa nulla, l’ azione può essere
espressa nella forma (3.3.27), con F = 61 Fa − 12 Fc − 12 Fd , e la costante di accoppiamento risulta
122
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
essere:
αY−1
=
1
g 2 1 U (1) − 1 U (1) − 1 U (1)
a 2
c 2
(6
d)
Ms3
=
gs (2π)4
(
Vcom (Πa ) Vcom (Πc ) Vcom (Πd )
+
+
36
4
2
)
(3.3.32)
Questi valori delle costanti di accoppiamento della teoria effettiva sono valori “nudi”; per
paragonarli ai valori sperimentali è necessario calcolare l’ andamento in funzione dell’energia
dovuto alle correzioni dei propagatori dei bosoni di gauge. Si ricordi che in questi modelli,
oltre ai bosoni presenti alle intersezioni, sono presenti altri stati legati alle brane la cui massa
dipende dai moduli di compattificazione, quali ad esempio le eccitazioni di KK, eq.(3.2.28). La
massa di tali stati può naturalmente essere sufficientemente elevata in modo da giustificarne
una non osservazione a basse energie ed al contempo essere inferiore alla scala di stringa.
Per calcolare quindi le ampiezze dei loop che contribuisco alle correzioni dei propagatori
della teoria effettiva è necessario determinare tutti gli stati presenti nel modello che possono
interagire con i bosoni di gauge e con massa inferiore alla scala di stringa. In definitiva,
sebbene il calcolo delle costanti di accoppiamento a basse energie non sia immediato, il
successivo confronto con i valori sperimentali dovrebbe comunque consentire di restringere
ulteriormente lo spazio delle configurazioni e dei moduli di compattificazione possibili.
Le espressioni per le costanti di accoppiamento nude consentono inoltre di giustificare
quanto in precedenza più volte asserito, ovvero che i modelli basati su configurazioni di Dp
brane aprono la possibilità di allontanare la scala di stringa anche di molti ordini di grandezza
dalla scala di Planck.
Per mostrare ciò si cominci con il ricordare la parte di azione di supergravità che determina
le equazioni del moto della metrica:
1
S= 2
2k
ˆ
d10 x
√
−g̃ R̃
(3.3.33)
Eseguendo la riduzione dimensionale, si può scrivere l’azione di Einstein-Hilbert nell’ordinario
spazio-tempo:
ˆ
ˆ
√
√
V6
1
4
S = 2 d x −gR = 2 d4 x −gR
(3.3.34)
2k
2k4
dove con V6 si è indicato il volume delle sei dimensioni compatte e con k4 la costante di ac-
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
123
coppiamento gravitazionale in quattro dimensioni. Infine, esplicitando il valore della costante
di accoppiamento in dieci dimensioni in funzione della costante di accoppiamento di stringa,
7
i.e. k = 8π 2 α′2 gs , si ha:
1
V6
V6 Ms8
Mp2 = 2 = 2 =
(3.3.35)
2k4
2k
(2π)7 gs2
dove al solito con Ms si è indicata l’energia caratteristica di stringa e con Mp la scala di
Planck. Confrontando tale relazione con la costante di accoppiamento della teoria di gauge
che vive su di un dato stack di D6 brane si può scrivere:
Vcom
Ms = gi2 Mp √
.
2πV6
(3.3.36)
Si vede quindi esplicitamente che la scala di stringa può essere inferiore alla scala di Planck
almeno di tanti ordini di grandezza quanti sono gli ordini di differenza tra il volume occupato
dalle brane nelle dimensioni compatte e la radice del volume dell’ intero spazio compatto.
E’ bene sottolineare che tuttavia tale possibilità non può essere realizzata con una semplice
compattificazione toroidale. Infatti nelle configurazioni ottenute in precedenza non vi sono
√
dimensioni dello spazio compatto trasverse ad ogni stack di brane e pertanto Vcom ≃ V6 .
3.3.1
Settore di Higgs ed accopiamenti di Yukawa
Come noto, la più accreditata struttura teorica che consente di descrivere le masse delle
particelle del Modello Standard prevede l’esistenza di uno o più campi scalari con valore di
aspettazione sul vuoto diverso da zero, i campi di Higgs. In questo paragrafo si vuole mostrare
che, nelle configurazioni che realizzano il Modello Standard trovate nella sezione precedente,
sono presenti degli stati che dal punto di vista della teoria effettiva possono essere interpretati
come i quanti di un possibile settore di Higgs.
Si cominci con il ricordare che allo stack b, sul quale vive il gruppo di gauge SU (2), sono
legati tutti gli stati che rappresentano i fermioni lef t del modello, mentre allo stack c ed
alla sua immagine c∗ , sono legati tutti gli stati right. E’ pertanto naturale costruire nella
teoria effettiva accoppiamenti di Yukawa, cioè termini di massa del tipo ēL ϕeR , identificando
i campi di Higgs con stati di stringa aperta che si estendono tra lo stack b e lo stack c.
124
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
In particolare si considereranno gli stati bosonici più leggeri che si estendono tra gli stack
b, c e c∗ e che sono vincolati alle intersezioni che tali stack descrivono sui tori T42 e T82 .
Ricordando che gli stack b, c e c∗ sono paralleli sul toro T62 , ed utilizzando la formula di
massa (3.2.21), gli stati bosonici più leggeri alle intersezioni risultano essere:
α ′ m2
h+
bc
h−
bc
h+
cb
h−
cb
2
Ybc
4π 2
2
Ybc
4π 2
2
Ybc
4π 2
2
Ybc
4π 2
+ 12 (ϑ4bc − ϑ8bc )
α ′ m2
QY
+
Hbc
∗
− 12 (ϑ4bc − ϑ8bc )
1
2
1
2
+ 12 (ϑ4bc − ϑ8bc )
− 12
Hc+∗ b
− 12 (ϑ4bc − ϑ8bc )
− 12
Hc−∗ b
−
Hbc
∗
2
Ybc
∗
4π 2
2
Ybc
∗
4π 2
2
Ybc
∗
4π 2
2
Ybc∗
4π 2
QY
+ 12 (ϑ4bc∗ − ϑ8bc∗ )
− 12
− 12 (ϑ4bc∗ − ϑ8bc∗ )
− 12
+ 12 (ϑ4bc∗ − ϑ8bc∗ )
1
2
1
2
− 12 (ϑ4bc∗ − ϑ8bc∗ )
Nella prima tabella si sono elencati gli stati nel settore bc ed i relativi stati di orientazione
opposta, cioè quelli nel settore cb; nella seconda tabella si sono analogamente elencati gli
stati di stringa aperta che si estendono tra gli stack b e c∗ . Con Y si è indicata la distanza di
separazione degli stack su T62 , mentre con ϑ4 e ϑ8 gli angoli di intersezione sui relativi tori.
Nell’ ultima colonna si sono invece riportati i rispettivi valori di ipercarica.
+
−
−
Si noti che dal punto di vista della teoria effettiva h+
bc ed hcb , così come hbc ed hcb e gli
analoghi stati nei settori bc∗ e c∗ b, possono essere interpretati come particella ed antiparticella.
Pertanto associando a tali stati campi scalari quadridimensionali, ed identificando ad esempio
( + )∗
h+
cb con hbc , si può scrivere un termine di massa per il potenziale effettivo nella forma:
( )∗
( )∗
m2h± h± h± + m2H ± H ± H ±
(3.3.37)
Si noti ora che non è possibile determinare configurazioni per le quali la massa dei bosoni
h ed H + sia arbitrariamente piccola. Infatti sebbene la distanza di separazione tra gli
Y2
stack sia arbitraria e quindi il termine 4πbc2 può essere anche prossimo a zero, non è possibile
determinare configurazioni per le quali il termine 12 (ϑ4bc − ϑ8bc ) sia arbitrariamente piccolo.
Infatti anche alcune masse degli stati bosonici presenti alle intersezioni dove sono presenti i
fermioni di massa nulla dipendono da tale termine, e pertanto configurazioni con angoli ϑ4bc e
ϑ8bc che rendono tali masse inferiori alle scale di energia indagate sperimentalmente non sono
realistiche. Al contrario è possibile determinare delle configurazioni in cui le masse degli stati
Y2
h− ed H − sono nulle, basta porre 4πbc2 = 12 (ϑ4bc − ϑ8bc ).
+
3.3. MODELLO STANDARD DA CONFIGURAZIONI DI D6 BRANE
125
Si considerino ora le seguenti combinazioni lineari dei campi scalari in esame:
( )∗ ( )∗
h1 = h+ + h−
( )∗ ( )∗
H1 = H + + H −
h2 = h+ − h−
(3.3.38)
H2 = H + − H −
Per le configurazioni in cui le masse degli stati h− ed H − sono nulle, nella teoria effettiva è
possibile considerare un valore di aspettazione sul vuoto diverso da zero solo per i campi h+
ed H + , ed in particolare si ha ⟨h1 ⟩ = ⟨h2 ⟩, ⟨H1 ⟩ = ⟨H2 ⟩.
In termini di tali campi, consistentemente con le simmetrie globali presenti nel modello,
è pertanto possibile costruire degli accoppiamenti di Yukawa del tipo:
yU QL UR h1 + yD QL DR H2 + yu qL UR H1 + yd qL DR h2 + ye LL LR H2 + yn LL NR H2
(3.3.39)
si faccia riferimento a tab. (1) per le notazioni dei fermioni.
In definitiva in configurazioni in cui gli stack b e c, b e c∗ si intersecano una sola volta sui
tori T42 e T82 è possibile avere rottura spontanea della simmetria anche ad un’ energia di gran
lunga inferiore alla scala caratteristica di stringa grazie alla presenza di due campi indipendenti che acquisiscono un valore di aspettazione sul vuoto non nullo dipendente dagli angoli
di intersezione. Come si evince dalla (3.3.39) con tale meccanismo è possibile determinare
dei termini di massa per tutti i fermioni presenti nel modello, in più è possibile mostrare che
le costanti di accoppiamento yi dipendono dal volume racchiuso tra i tre stack che realizzano
le intersezioni a cui sono presenti i fermioni e il relativo stato di Higgs [15]. Ad esempio yU
dipende dal volume dello spazio delimitato dagli stack a, b e c e dalle intersezioni tra questi,
in quanto alle intersezioni ab sono presenti i QL , in ac gli UR mentre in bc lo stato h1 . Più
precisamente è stato dimostrato che le costanti yi decrescono esponenzialmente all’aumentare dei rispettivi volumi, i.e. yi ∝ e−Vi , e con tale andamento dovrebbe essere possibile
determinare configurazioni che riproducono la gerarchia di masse del modello standard.
126
CAPITOLO 3. BRANE INTERSECANTI E MODELLO STANDARD
Capitolo 4
Conclusioni
In questo lavoro di tesi si è studiato il rapporto tra Fenomenologia e Teoria delle Stringhe. In
particolare si è tentato di capire se esistono e quali sono i possibili fenomeni che permettono di
guardare al Modello Standard come una teoria effettiva ottenibile nel limite di bassa energia
dalle Teorie di Superstringa.
Si è visto che sebbene tali teorie abbiano uno spettro di massa nulla con tutte le caratteristiche essenziali per descrivere la fisica conosciuta, infatti sono presenti sia gruppi di gauge
sia un settore gravitazionale, al fine di stabilire un reale contatto con la fenomenologia è
necessario risolvere sostanzialmente due problemi in parte collegati:
i) la ricerca di uno o più possibili fenomeni in grado di rompere la supersimmetria ed in
grado di ridurre lo spettro di massa nulla a quello del M.S.
ii) la determinazione della struttura geometrica delle sei dimensioni extra e dei moduli
che ne derivano, i quali come visto influenzano la teoria quadridimensionale effettiva.
Si è mostrato che per affrontare queste due problematiche un grande aiuto è fornito dalla
T-dualità e dall’esistenza delle Dp brane. Si ricordi ad esempio come due Dp brane intersecanti rompono la supersimmetria, e che tale configurazione altro non è che la descrizione
T-duale del vuoto di superstringa con l’aggiunta di campi “magnetici”.
In questo lavoro si è inoltre scelto di seguire quello che in letteratura è noto come approccio
di tipo bottom-up. Ossia, osservato che alle intersezioni tra D-brane sono presenti fermioni
quadridimensionali di massa nulla carichi rispetto ad i gruppi di gauge presenti sul volume di
universo delle brane, si sono dapprima ricercate le configurazioni di D-brane che forniscono
127
128
CAPITOLO 4. CONCLUSIONI
uno spettro di massa nulla in grado di riprodurre quello del MS e successivamente si è tentato
di completare il modello cercando di determinare le altre grandezze necessarie per definire
compiutamente la teoria quadridimensionale effettiva.
Si sono considerate le sei dimensioni extra compattificate con una struttura di tipo toroidale fattorizzabile. Si è tuttavia mostrato che non è possibile ottenere una teoria effettiva con
le tre famiglie di fermioni del MS senza l’introduzione di una proiezione di orientifold. Tale
proiezione nell’ambito dei modelli esposti, costruiti con D6 brane, sostanzialmente consiste
nell’ identificare coppie di punti dello spazio compatto e, come visto, ciò comporta un effetto
non banale sullo spettro.
Nell’ambito della compattificazione toroidale con proiezione di orientifold si sono determinate delle configurazioni di D6 brane che, per particolari valori dei raggi di compattificazione,
realizzano uno spettro di massa nulla proprio il contenuto particellare del modello standard.
Inoltre restringendo ulteriormente lo spazio permesso dei raggi si è mostrato che in linea di
principio è possibile determinare con esattezza anche le tre costanti di accoppiamento.
Tuttavia, in generale è possibile determinare delle configurazioni che realizzino uno spettro
di massa nulla più ampio a cui è associato un gruppo di simmetria più ampio di quello del
modello standard, quale ad esempio SU (5) [16] o SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) con supersimmetria
locale [17]; per stabilire poi in contatto con la fenomenologia di tali modelli si utilizzano vari
meccanismi di rottura della simmetria che però talvolta esulano dalle tecniche di stringa,
quale ad esempio la presenza di campi scalari con valore di aspettazione sul vuoto non nullo.
Sebbene sembri più desiderabile che la natura realizzi direttamente una configurazione di
brane con un contenuto particellare quanto più vicino possibile a quello del modello standard
non si è ancora in grado di stabilire quali siano i modelli più accreditati. Da questo punto di
vista l’approccio di tipo bottom-up presenta una certa arbitrarietà nell’individuare la “giusta”
configurazione.
Tuttavia vi sono alcune caratteristiche comuni a tutti i modelli che consentono comunque
di proporre alcuni possibili scenari sulla fisica delle energie non ancora esplorate. Come
mostrato, nel corso di questo lavoro i gruppi di gauge SU (N ) originano sempre dai gruppi
U (N ) che vivono sugli stack di brane, in particolare a basse energie si osservano solo i
bosoni vettori relativi al gruppo SU (N ) in quanto verosimilmente il bosone vettore rimanente
acquisisce una massa osservabile solo ad energie non ancora raggiunte; le simmetrie U (N )
129
sono comunque presenti come simmetrie globali a qualsiasi scala di energia e, come mostrato
nei modelli esposti, alcune identificano simmetrie note, quali la conservazione del numero
leptonico e del numero barionico. Altro aspetto rilevante riguarda il fatto che la consistenza
di tali modelli implica l’esistenza dei neutrini right.
Nell’ambito di un determinato modello l’approccio di tipo bottom-up consente inoltre
di porre forti vincoli allo spazio dei moduli liberi e questo, anche con l’ausilio delle future
evidenze sperimentali, potrebbe essere di grande aiuto nel tentativo di stabilire quali sono i
vuoti di stringa che effetivamente si realizzano.
130
CAPITOLO 4. CONCLUSIONI
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