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Lo spazio proiettivo
Nella Geometria descrittiva ed in particolare quella proiettiva, lo spazio si
considera come uno spazio aperto ed ampliato, al contrario di quello
euclideo che è chiuso e finito .
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Questo significa che, agli elementi fondamentali (punti, rette e piani)
sommiamo le direzioni, le giaciture e lo spazio.
Nella geometria proiettiva tali elementi vengono definiti impropri o
all’infinito (a differenza di quelli propri e al finito).
Per dimostrare l’esistenza di questi nuovi elementi, vengono utilizzate
alcune rappresentazioni:
nel piano, secondo una proiezione da un centro C
Ir
C
r
A
B
C
Punto improprio nel piano della retta r
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E, sempre nel piano, secondo la costruzione di circonferenze aventi
raggio sempre più grande.
N
4
3
2
1
Circonferenza di raggio infinito ( oriciclo ),
rappresentazione di una retta.
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Per spiegare il concetto d’infinito nello spazio proiettivo utilizziamo
la proiezione di una retta su un piano di quadro da un centro di
proiezione proprio. Lo vedremo in seguito
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Lo spazio proiettivo si estende, quindi, all’infinito, o agli elementi posti
all’infinito, quali punti all’infinito, ovvero direzioni e rette all’infinito,
ovvero giaciture. Tali elementi possiedono caratteristiche e proprietà
corrispondenti a quelle degli elementi al finito.

r
Ir
q
C
s//r
D
A
t
B
Negli Enunciati della Geometria proiettiva possiamo sostituire infatti
la parola “punto” con la parola “direzione” e la parola “retta” con la
parola “giacitura”. Confrontando gli enunciati della Geometria euclidea
con quelli della geometria proiettiva …..
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Enunciati della Geometria Euclidea
Enunciati di Geometria Proiettiva
Due punti distinti individuano una retta, alla quale
Un punto e una direzione individuano una retta, alla quale
appartengono.
appartengono.
Due piani distinti individuano una retta, alla quale
Un piano e una giacitura distinti individuano una
appartengono.
direzione, alla quale appartengono.
Tre punti, che non appartengono alla medesima retta,
Due punti e una direzione, che non appartengono alla
individuano un piano, al quale appartengono.
medesima retta, individuano un piano, al quale
appartengono.
Due direzioni e un punto, distinti, individuano un piano, al
quale appartengono.
Un piano e una retta, distinti, individuano un punto, al
Un piano e una giacitura, distinti, individuano una
quale appartengono.
direzione, alla quale appartengono (è la direzione comune
alla giacitura assegnata e alla giacitura del piano).
Un punto e una retta, distinti, individuano un piano, al
Un punto e una giacitura individuano un piano, al quale
quale appartengono.
appartengono.
Una direzione e una retta, distinti, individuano un piano, al
quale appartengono.
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Il centro di proiezione proprio e improprio
PROIEZIONE CONICA
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PROIEZIONE CILINDRICA
Il primo elemento che possiamo scambiare indifferentemente, che sia
proprio o improprio, è il centro di proiezione. Se utilizziamo un centro
di proiezione proprio, ovvero un punti al finito, avremo una proiezione
conica, se utilizziamo uno improprio, ovvero un punto all’infinito o una
direzione, avremo una proiezione cilindrica.
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Proiezione conica:
centro di proiezione un punto (centro
proprio)
Elementi caratteristici:
Centro di proiezione proprio
Raggi proiettanti che convergono nel
centro
Piano di quadro che taglia i raggi
proiettanti.
Le proprietà invarianti della
proiezione conica sono :
• appartenenza
• incidenza
• allineamento
• tangenza
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Proiezione conica:
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Prospettiva a quadro verticale accidentale
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Prospettiva a quadro orizzantale
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Prospettiva a quadro obliquo
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Ombra da una sorgente propria
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Proiezione cilindrica:
centro di proiezione una direzione
(centro improprio)
Elementi caratteristici:
Centro di proiezione improprio
Raggi proiettanti che sono paralleli
(hanno la stessa direzione)
Piano di quadro che taglia i raggi
proiettanti.
Le proprietà invarianti della
proiezione conica sono :
• appartenenza
• incidenza
• allineamento
• Tangenza
• parallelismo
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Proiezione cilindrica
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Proiezioni ortogonali
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Assonometria obliqua cavaliera propriamente detta
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Assonometria ortogonale
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Ombra da sorgente impropria (sole)
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Riepilogo
• Nella geometria proiettiva lo spazio si considera aperto e ampliato al
contrario dello spazio euclideo che risulta essere chiuso.
• Negli enunciati della geometria proiettiva sostituiamo la parola «punto»
con «direzione» e «retta» con «giacitura».
• La direzione, le giaciture e lo spazio sono elementi impropri o
all’infinito.
• Le proiezioni possono essere di due tipi: conica e cilindrica
• Proiezione conica :
-centro di proiezione proprio ( è un punto)
-raggi proiettanti convergono nel centro
-proprietà invarianti: appartenenza, incidenza,
allineamento, tangenza
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• Tra le proiezioni coniche ci sono:
-prospettiva a quadro verticale
accidentale
-prospettiva a quadro orizzontale
-prospettiva a quadro obliquo
-ombra da una sorgente propria
• Proiezione cilindrica:
-centro di proiezione improprio ( è una direzione)
-raggi proiettanti paralleli
-proprietà invarianti: appartenenza, incidenza,
allineamento, tangenza, parallelismo
• Tra le proiezioni cilindriche ci sono:
-proiezioni ortogonali
- assonometria obliqua cavaliera
propriamente detta
-assonometria ortogonale
-ombre da sorgente impropria
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