Prefazione
Come spesso avviene nel caso dei manuali, questo libro si è andato formando progressivamente a partire da appunti predisposti per cicli di lezioni. Nel mio caso, si è
trattato delle lezioni tenute annualmente, a partire dal 1995, presso due corsi master
postuniversitari: il MEC (Master in Economics) presso l’Università Commerciale
“L. Bocconi” e il MEDEA (Master in Economia dell’Energia e dell’Ambiente) presso la Scuola Superiore “Enrico Mattei” – ENI.
Inizialmente, con quelle lezioni mi proponevo di fornire, nelle prime fasi del
programma master, niente più di alcuni strumenti matematici indispensabili per affrontare un corso di studi economici avanzati, con qualche cenno alle applicazioni
economiche. Col passare del tempo e insieme ai miei colleghi, mi sono reso conto,
da un lato, che una ideale lista degli strumenti indispensabili era più lunga di quanto
pensassi; dall’altro, che nell’“indispensabile” non rientrava soltanto una serie di tecniche e di “ricette” da applicare meccanicamente alla soluzione di questo o quel
problema, ma anche una certa familiarità con il ragionamento astratto, con la definizione rigorosa dei concetti, con la dimostrazione formale di proposizioni matematiche. Inoltre, in classi felicemente eterogenee, in cui laureati in economia si affiancano a ingegneri, fisici, laureati in altre scienze sociali o anche in materie puramente
umanistiche, le applicazioni economiche hanno la funzione di motivare sia coloro
che già conoscono bene la matematica, mostrando ciò che per essi può rivelarsi un
nuovo e stimolante campo di applicazione, sia coloro che devono invece sforzarsi di
colmare delle lacune in campo matematico, illustrando almeno parzialmente lo scopo di questo importante e spesso faticoso investimento intellettuale.
È sotto questi stimoli che il testo è stato progressivamente elaborato; e se ormai
gli argomenti trattati in questo libro eccedono certamente quelli che si possono ragionevolmente coprire in un unico corso introduttivo come quelli cui accennavo, la
finalità perseguita rimane sostanzialmente la stessa: fornire gli strumenti indispensabili per chi voglia affrontare lo studio dell’economia a livello progredito, con un’attenzione costante alle interpretazioni economiche e cercando il più possibile di non
appiattire la trattazione matematica al livello dell’applicazione meccanica di formule
e tecniche.
Nel quadro del nuovo ordinamento universitario, questo libro è destinato essenzialmente all’utilizzo appena descritto, nell’ambito dei corsi di laurea specialistica e
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dei master universitari di primo livello in materie economiche. In questi casi rimane
infatti necessario omogeneizzare e consolidare il patrimonio di conoscenze matematiche di chi si accinge a diventare uno specialista in scienze economiche, sia come
supporto ad un corso di matematica per economisti che come companion book per
corsi specialistici nei vari campi dell’economia.
Quali strumenti matematici sono dunque indispensabili per intraprendere lo studio dell’economia a livello specialistico, secondo questo libro? La risposta è nel
fatto che gran parte dei problemi economici incorporano, in una forma o nell’altra,
un problema decisionale. Lo strumento matematico indispensabile è costituito quindi dalla teoria e dalle tecniche dell’ottimizzazione. Naturalmente, l’impostazione e
la soluzione di un problema di programmazione matematica richiedono un insieme
di conoscenze preliminari e strumentali, relative ad altri campi della matematica, le
quali possono peraltro avere a loro volta applicazioni economiche autonome. Il libro
è dunque costruito come segue: dei sette capitoli che lo compongono, i capitoli 5, 6
e 7 affrontano i problemi di ottimizzazione, con livelli crescenti di difficoltà e di
generalità. I capitoli da 1 a 4 forniscono invece gli strumenti preliminari e di supporto: nel capitolo 1 nozioni di algebra lineare; nel capitolo 2 i concetti di continuità e
differenziazione; nel capitolo 3 i concetti di convessità; nel capitolo 4 le equazioni e
i sistemi di equazioni dinamiche. Il lettore (o il docente) trascurerà i temi la cui
conoscenza può dare per scontata, o che non ritiene utili per i propri scopi (ad esempio il capitolo 4 se è interessato solo alla programmazione matematica “statica”). I
capitoli da 1 a 4, dal canto loro, possono naturalmente essere utilizzati senza riferimento allo studio dei capitoli successivi.
Il libro è aperto da una introduzione, dedicata ad alcuni concetti fondamentali e
di estrema generalità, che di norma si danno per scontati o per intuitivi, ma che è
parso utile definire almeno una volta esplicitamente; è corredato infine da sette brevi
appendici, in cui sono raccolti argomenti che avrebbero appesantito inutilmente il
testo principale, pur essendo potenzialmente interessanti almeno per alcuni lettori o
per alcuni tipi di approfondimento.
Il libro contiene inoltre circa ottanta esercizi, tutti risolti e nella maggior parte dei
casi discussi con un certo dettaglio. A parte un numero limitato di casi, non si tratta
di esercizi volti semplicemente a sviluppare la destrezza o la velocità nel calcolo o la
familiarità con le formule. Si punta invece sulla capacità di impostare un problema
matematico, individuare gli strumenti di soluzione e capire gli esiti ottenuti. In altri
termini, un esercizio “ideale” è quello che fa passare allo studente relativamente
poco tempo con la penna in mano a eseguire calcoli e che invece lo costringe, prima,
a chiedersi quali calcoli eseguire e poi a riflettere intensamente per interpretare i
risultati.
Le applicazioni economiche, con l’eccezione dell’introduzione e del capitolo 1,
sono distribuite in tutto il libro. Esse seguono due filoni principali. Il primo è sostanzialmente un commento matematico alla teoria del consumatore: si comincia nel
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capitolo 2 con una discussione dell’assioma di continuità, si prosegue nel capitolo 3
con lo studio del ruolo del concetto di convessità nella teoria dell’utilità, per arrivare
nel capitolo 6 a un riepilogo dei principali aspetti matematici della teoria del consumatore. Il secondo filone, invece, “commenta” alcuni modelli chiave della teoria
della crescita: il modello di Solow (capitolo 4), il modello di Ramsey (in diverse
versioni, nei capitoli da 4 a 7), il modello AK (capitoli 5 e 7) e il modello di crescita
con capitale umano di Lucas. Altre applicazioni (statica comparata e dinamica del
modello IS-LM e del modello “classico”, un modello principale-agente, un modello
di crescita a due settori, un problema di estrazione ottimale di una risorsa naturale)
sono presentate nel corso del libro.
Dato che questo libro nasce da un’esperienza didattica, non posso che ringraziare le
due istituzioni che ho citato all’inizio, ossia l’Università Bocconi e la Scuola Superiore “E. Mattei” per l’opportunità che ho avuto di insegnare a un pubblico stimolante e vario. Alla Scuola “E. Mattei” va inoltre il mio ringraziamento per aver pubblicato, nel 2001, una versione preliminare di questo testo nella propria collana
Studi&Ricerche.
In particolare, ringrazio il primo direttore del corso MEC, Prof. Carlo Filippini, e
il Dott. Enzo Di Giulio, coordinatore del programma MEDEA. Infine, è bene ricordare che un libro di questo tipo si nutre del lavoro condotto in aula, a contatto con
decine di studenti, che volta a volta criticano, approvano, aiutano e incoraggiano
l’autore, sopportando inoltre i costi delle sue manchevolezze e dei suoi ripensamenti.
Un ringraziamento collettivo è dovuto a tutti loro.
Questo libro è dedicato ai miei figli Edoardo e Irene.
Alessandro Vaglio
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Sigle utilizzate nel testo
Sigla
Significato
Posizione
AHU
AK
CCV
CO
COI
CS
CSC
CSL
CV
Γ
CVΓ
Condizione di Arrow-Hurwicz-Uzawa
Modello AK o di Rebelo
Condizione di compatibilità con i vincoli
Problema di controllo ottimo
Problema di controllo ottimo a orizzonte infinito
Condizioni di sella
Complementary Slackness Condition
Condizione di stazionarietà della funzione lagrangiana
Problema più semplice di calcolo delle variazioni
Problema di calcolo della variazioni con condizioni terminali
alternative
Problema di massimizzazione a dimensione finita
Problema di massimizzazione a dimensione finita vincolato
da diseguaglianze
Problema concavo di massimizzazione a dimensione finita
vincolato da disuguaglianze
Problema di massimizzazione a dimensione finita vincolato
da eguaglianze
Problema di massimizzazione a dimensione infinita
proposizione 6.3.3
paragrafo 5.10.2
definizione 6.2.2
paragrafo 7.2.1
paragrafo 7.4
definizione 6.7.1
definizione 6.2.2
definizione 6.2.2
paragrafo 5.5.1
DF
DFD
DFDC
DFE
DI
DID1
DID2
DII
KKT
KTL
MS
MU
PL
RP
RP1
RP2
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paragrafo 5.7.1
paragrafo 6.1.1.
paragrafo 6.2.1
definizione 6.7.1
paragrafo 6.2.1
paragrafo 5.4.1
Problemi a dimensione infinita con vincoli di diseguaglianza
Problema a dimensione infinita con vincoli in forma di integrale
Condizioni di Karush-Kuhn-Tucker
Condizioni di Kuhn-Tucker-Lagrange
Problema di minimizzazione della spesa
Problema di massimizzazione dell’utilità
Problema di Lagrange
Problema di Ramsey
paragrafo 7.7.2
paragrafo 7.7.1
proposizione 7.1.1
definizione 6.2.2
paragrafo 6.9.4
paragrafo 6.9.1
definizione 6.2.2
paragrafo 5.10.1
Problema di Ramsey, riformulazioni
paragrafo 7.5.1
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