Teorema di Gauss

Teorema di Gauss
Enunciato
Il flusso del campo elettrico, nel vuoto, attraverso una superficie chiusa S è uguale alla sommatoria di tutte le
cariche, e solo le cariche, interne alla superficie fratto ε0.
Φ E
∑ Q
S
, dove Qi sono le cariche interne alla superficie chiusa S
Dimostrazione:
Analizzeremo il caso di una sola carica posta all’interno della
superifie e dopo generalizzeremo il concetto.
Si consideri un carica Q posta dentro una superficie chiusa S,
generica, e si consideri un elemento della superficie e lo chimaremo
ΔS1, frutto della suddivisione della superficie in n elementi denominati
ΔSi (S = ΔS1+ΔS2+ ... +ΔSn) . Si prenderà il centro della superficie e si
calcoli il campo elettrico in questo punto, indicandolo con E1.
Il flusso attraverso questo elementino di superficie sarà:
Φ E
∆S
E ·S
dove S è il vettore normale della superficie, posto al centro della
superficie avente modulo uguale all’area della superficie e direzione e
verso normale ad essa. Per piccole superfici il valore il modulo di Sn1
si può approssimare a quello di un elementino di superficie sferica con
in centro nello stesso punto e quindi si ha:
Sn1 ≈ S’n1 ≈ ∆α1 r2 dove ∆α1 è la porzione di angolo solido1 sotto cui si
vede la superficie ed r è il raggio della sfera, nel nostro caso la
distanza tra la carica +Q e il centro della superficie. Il vettore
superficie S’ è, per le proprietà note della sfera, perpendicolare alla
superficie, e quindi in direzione radiale nonché parallelo ad .
Dopo aver approssimato la situazione di partenza con l’attuale si
ha:
Φ E
∆S
E ·S
E ·SI
1
4
·
·∆
4
∆
Non dimentichiamo che questo è solo il flusso attraverso l’elemento di superficie ΔS1, mentre adesso
dobbiamo considerare la superifcie nella sua interezza. Si era diviso la superficie in n piccole superfici ΔSi (
facendo in modo che ΔSi → 0 e n → ∞, perché più la superficie è piccola più l’approssimazione alla
superficie della sfera è fedele), quindi il flusso sarà:
Φ E
S
Φ E
∆S
Φ E
∆S
Φ E
∆S
4
0
∆
1
4
0
∆
2
4
0
∆
4
0
∆
Si definisce angolo solido ∆ , il rapporto tra la superficie e il quadrato del raggio, lo spazio compreso nella parte di
1
∆ ′
cono in figura e la sua espressione matematica è la sua espressione matematica è ∆
.
L’unità di misura degli angoli solidi si chiama steradiante e il valore di un angolo solido che sottende una sfera è 4π,
quindi anche di una qualsiasi superficie chiusa.
Ricordiamo, come specifica nella nota1, che per una superficie chiusa l’angolo solido sotteso è 4π, quindi nel
nostro caso
∆
4
Φ E
S
4
∆
4
4
.
Quindi abbiamo dimostrato il Teorema di Gauss per una sola carica posta all’interno della superficie chiusa,
ma ricordandoci del principio di sovrapposizione del campo elettrico e ragionando in modo adeguato, si
ottiene lo stesso risultato per ogni carica posta all’interno della superficie. Alla fine basterà somma ogni
singolo flusso e quindi si avrà:
Φ E
∑ Q
S
(C.V.D.)