DAC – Digital Analogic Converter

Appunti del corso di Sistemi Elettronici – Prof. A. Celentano – a.s. 2009/2010
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DAC – Digital Analogic Converter
Osserviamo lo schema elettrico riportato qui a lato,
rappresenta un convertitore Digitale-Analogico a n
Bit.
Si osservino le resistenze che di volta in volta sono
divise per 2, nel passaggio da una resistenza
superiore a quella successiva inferiore.
Le resistenze da un lato sono tutte collegate tra loro
e collegate all’ingresso invertente dell’operazionale
mentre dall’altro capo sono collegate a commutatori
che permettono il collegamento a un potenziale di
riferimento Vo o al potenziale di massa.
Lo schema è un convertitore Corrente-Tensione, ciò
significa che in qualche modo dobbiamo calcolare
la corrente che è generata in funzione delle posizioni occupate dai commutatori e, quindi, calcolare l’uscita che altro
non è la tensione ai capi di Rf.
Osserviamo che se una resistenza viene commutata sul potenziale di massa, questa resistenza non ha più alcun effetto
sullo schema. Infatti, se da un lato il commutatore collega la resistenza a massa, l’altro capo della resistenza si trova già
collegato al morsetto invertente dell’operazionale che, come si vede dallo schema e per il principio della massa virtuale,
si trova a potenziale nullo (massa virtuale). Quindi questa particolare resistenza non fornisce alcun contributo alla
corrente generale in quanto sottoposta a una differenza di potenziale nulla.
Detto questo, è intuitivo che la prima resistenza rappresenta l’ingresso di un bit meno significativo (LSB) in quanto il
contributo alla corrente generale è la metà di quella generata dalla resistenza successiva. Mentre è ¼ della corrente
generata dalla resistenza ancora successiva. Ovviamente l’ultima resistenza, poiché è divisa per un fattore 2n-1 genera
una corrente che è esattamente 2n-1 volte quella generata della prima resistenza. Quindi, nell’ordine indicato in figura,
le resistenze vanno da una LS(B) a quella più significativa, cioè MS(B). In parentesi la B ricorda l’analogia con i
corrispondenti bit.
I commutatori rappresentano gli ingressi binari: l’ingresso B0 è collegato alla resistenza R/20; l’ingresso B1 è collegato
alla resistenza R/21, e così via di seguito. In generale possiamo dire che l’ingresso Bi è collegato alla resistenza R/2i.
Possiamo anche pesare che l’ingresso Bi altro non è che un coefficiente che può assumere solo due valori: 0 oppure 1, a
secondo che il relativo commutatore sia collegato a massa o al potenziale di riferimento V0. Calcoliamo i vari contributi
alla corrente generale delle resistenze:
. . .
. . .
. . .
!"#$ % &% '(#)*'%
Nelle espressioni delle correnti riportate sopra, il coefficiente Bi rappresenta il valore del bit i-esimo, con i che assume
valore tra 0 e n-1. In altre parole determina se c’è o non c’è il contributo della corrente dovuto a quel bit, visto che può
essere 0 oppure 1.
Calcoliamo la corrente totale.
'%'
+
+
+ ,--, +
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Ossia:
+
'%'
Mettendo a fattore:
'%'
.
+
+
+
+ ,--, +
/
+ ,--, +
#1
0
#1
#
#
L’ultima espressione è semplicemente un modo compatto di scrivere la formula. L’espressione racchiusa tra parentesi
altro non è che un numero tra 0 e (2n-1). Se indichiamo con Nx tale numero si ha:
'%'.23 /
23
Da questa formula si comprende che la corrente totale dovuta alla presenza di tutti i bit è:
.
'%'
/
Calcoliamo l’uscita dell’operazionale.
Come abbiamo detto il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Pertanto dobbiamo calcolare l’uscita
dell’operazionale per un dato numero qualsiasi Nx. Pertanto abbiamo:
%*'
%*'.23 /
'%'.23 /
4
Ossia:
4
%*'.23 /
23
Sostituendo a Nx il suo valore massimo 2n-1 si ottiene la massima tensione di uscita:
4
$ 53
.
/
Il segno meno che appare nella formula può essere risolto o con una tensione di riferimento negativa oppure facendo
seguire all’operazionale un circuito amplificatore con guadagno -1.
Il valore massimo calcolato ci permette di ricavare il valore di fondo scala. Il valore massimo è per definizione:
$ 53
8
67
Dove VFSR è la tensione di fondo scala e Q rappresenta la risoluzione o quanto del DAC. La risoluzione è la minima
variazione della tensione d’uscita quando l’ingresso passa da una configurazione binaria a quella successiva. Quindi,
per confronto con la precedente espressione, possiamo ricavare:
4
67
Ed anche :
4
8
Si osservi che la risoluzione può essere espressa in termini di tensione di fondo scala:
Ossia:
4
8
8
67
67
Il principale inconveniente di questo schema è la grande disomogeneità dei valori dei resistori. Ad esempio, un DAC a
12 bit se pensiamo di prendere un valore di 1K-Ohm per il resistore MSB, il valore del resistore LSB deve essere
dell’ordine di 212 volte il valore per la resistenza MSB, ossia dell’ordine del M-Ohm. Valori troppo diversi che
comportano problemi di instabilità del circuito nella conversione. Lo schema va bene per DAC con n piccolo (3,4).
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Uno schema perfettamente equivalente può essere
realizzato con i resistori i cui valori non si dimezzano,
come nello schema appena trattato, ma bensì
raddoppiano ad ogni passaggio successivo.
Osserviamo lo schema riportato qui a lato.
I valori dei resistori sono presi in modo che dal passaggio
di un bit al successivo, iniziando dall’alto, i valori
raddoppiano. La prima resistenza è assunta 2R, la
seconda 4R, la terza 8R, ecc. ecc. L’ultima resistenza
sarà 2nR. In questo caso la resistenza determina il bit
LSB e MSB. Infatti, poiché il contributo alla corrente
generale è più alto nella prima resistenza, cioè quella di
valore 2R, questo valore determina il bit MSB, mentre
l’ultima resistenza, quella 2nR, individua il bit LSB.
Calcoliamo la corrente che viene generata per una data configurazione dei bit.
Si ha:
'%'.23 /
+
+
+ ,,-+
L’espressione calcolata fornisce la corrente dovuta alla configurazione dei bit in ingresso dovuto al numero Nx. Si
possono mettere a fattore alcuni termini. Infatti:
'%'.23 /
.
+
+
+ ,,-+
/
Conviene riscrivere l’espressione facendo in modo che le potenze del 2 compaiano al numeratore. Infatti, mettendo in
evidenza 2n si ha:
'%'.23 /
.
+
+
+ ,,-+
/
Da cui si vede che l’espressione in parentesi è proprio il numero Nx. Per cui si ha:
'%'.23 /
23
Questa espressione rappresenta la corrente fornita dal circuito per una configurazione binaria in ingresso.
La corrente totale è
.
'%'
/
Scriviamo adesso l’espressione dell’uscita dell’operazionale. Ossia, ricordando che è un convertitore I-V:
L’uscita assume valore massimo:
4
%
%*'.23 /
4
%
$ 53
.
23
/
Da questa espressione possiamo ricavare la tensione di fondo scala e la risoluzione. Ossia:
4
67
8
%
4
Bisogna ricordare che Vmax = VFSR – Q.
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Lo schema che segue è quello di un convertitore DAC con rete a scala, detto anche a commutazione di tensione.
Osserviamo lo schema e cerchiamo di capire come è stato realizzato. Tutte le resistenze che possono essere collegate a
massa hanno un valore pari a 2R. Tutte le altre hanno valore R.
L’operazione è in configurazione di adattatore di impedenza, per
cui può far seguito un amplificatore. La tensione Vo è la tensione
di riferimento. I commutatori permettono di collegare le
resistenze 2R o al valore della tensione di riferimento V0 oppure a
massa.
Supponiamo che tutti i commutatori sono messi in modo che le
resistenze 2R risultino collegate a massa. Si nota subito che il
nodo A presenta due resistenze da 2R in parallelo: al nodo A è
come se vi fosse una sola resistenza di valore R.
In questo caso al nodo B fanno capo una resistenza da 2R, che
tramite il commutatore è collegata a massa, e una serie di due
resistenze di valore R collegate verso massa. Questo significa che
al nodo B è come se vi fosse una sola resistenza R collegata verso
massa.
Continuando l’analisi, possiamo dire che ogni nodo ‘vede’
sottostante la sua posizione una sola resistenza di valore R, se
tutti i commutatori sottostanti sono orientati verso massa.
Nel caso che tutti i commutatori sono orientati verso massa, al nodo D vi è una sola resistenza di valore R sottoposta ad
una tensione nulla. In quest’ultimo caso l’uscita Vout è nulla.
Sulla base di quanto detto cerchiamo di calcolare il contributo alla tensione di uscita in funzione di ciascun
commutatore. Supponiamo che il solo commutatore indicato con B1 è commutato verso la tensione di riferimento V0
mentre tutti gli altri sono commutati verso massa.
Per l’analisi fatta prima, possiamo dire che sotto il noto C vi è una sola
resistenza di valore R, essendo i commutatori orientati verso massa. Quindi il
circuito si trasforma come quello riportato qui a lato. In questo caso possiamo
ricavare il contributo di questo primo ingresso binario. E’ intuitivo che tale
contributo è:
Si osservi che il valore di ½ è stato scritto sotto forma di potenza del 2.
Calcoliamo il contributo del secondo bit, indicato con B2. In questo caso dobbiamo considerare che il primo
commutatore è orientato verso massa, quindi la resistenza da 2R al nodo D è collegata a massa. Sempre dal nodo D esce
una resistenza di valore R e al nodo C vi è una resistenza di 2R collegata alla
tensione V0 e, per l’analisi fatta in precedenza, due resistenze di valore R messe
in serie con collegamento a massa, come si vede dalla schema riportato qui a
lato. Non è difficile dimostrare che il potenziale nel punto D è pari a ¼ della
tensione di riferimento V0, ossia:
Questo risultato è vero perche ‘guardando’ nel nodo C la rete elettrica è
equivalente ad un generatore di valore pari a Vo/2 con una resistenza in serie di
valore pari a R (Thevenin).
Da questi due risultati appena scritti possiamo ricavare l’espressione generale del contributo relativo al bit Bi . Ossia:
#
#
#
Osserviamo adesso che la rete resistiva è una rete lineare, ciò vuol dire che per essa vale il principio di sovrapposizione
degli effetti. Quindi, se in ingresso abbiamo un numero generico Nx = (Bo,B1,B2…Bn-1), possiamo ricavare l’espressione
della tensione di uscita sommando semplicemente i vari contributi. Ossia:
%*'
+
+
9
9
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+ ,--+
#1
0
#1
#
#
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In questa espressione abbiamo supposto il caso generale di n ingressi binari. Mettiamo in evidenza il Valore V0 e
seguiamo qualche passaggio matematico:
:
%*'
+
+
9
9
+ ,--+
;
In questa espressione oltre a mettere in evidenza V0 abbiamo anche moltiplicato e diviso per uno stesso numero senza
cambiale il valore dell’espressione. Moltiplichiamo 2n che sta al numeratore per ciascun addendo dell’espressione. Si
ha:
.
%*'
+
+
9
9
+ ,--+
/
Dall’espressione in parentesi ci accorgiamo che il valore del bit Bn non è il MSB ma, bensì, è il valore LSB, poiché è
legato alla potenza 20. Mentre B1 è il MSB perché è legato al ‘peso’ più grande, ossia 2n-1. Quindi, cambiando
semplicemente ‘nome’ agli indici, possiamo scrivere:
%*'
.
+
+
9
9
+ ,--+
/
In questa espressione si riconosce facilmente che tra parentesi vi è l’espressione binaria di un numero Nx che può
assumere valore tra 0 e 2n-1, con n il numero di bit di ingresso al DAC.
L’espressione del valore massimo che assume l’uscita, quando tutti i coefficienti Bi valgono 1, è:
.
$ 53
/
Da questa espressione possiamo calcolare sia la tensione di fondo scala che la risoluzione o quanto Q:
$ 53
67
Ossia :
67
E quindi:
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Lo schema di un convertitore DAC con rete a scala e a commutazione di corrente è lo schema che segue.
In linea di principio è molto simile a quello studiato in precedenza. I resistore con valori da 2R sono solo quelli che
possono essere collegati a massa. Tutti gli altri resistori hanno valore R. Come per lo schema studiato in precedenza,
anche qui vale la ‘regola’ che se i commutatori sono
orientati verso la massa la resistenza che si ‘vede’ dal nodo
è R. Quindi, se per ipotesi i commutatori sono tutti orientati
verso massa, al nodo A è collegato una sola resistenza di
valore R.
Bisogno osservare che a differenza dello schema
precedente i commutatori possono collegare gli ingressi
binari una volta a massa reale e una volta alla massa
virtuale dell’operazionale, come si vede dallo schema.
Quindi, sia che i commutatori siano orientato verso massa
reale o virtuale risultano sempre orientati verso massa.
Questo significa che la tensione di riferimento Vo ‘vede’
una sola resistenza di valore R e, pertanto, a prescindere
dalla posizione dei commutatori si genere una corrente
costante di valore pari a Vo/R.
Calcoliamo il contributo di corrente dato dal primo ingresso
binario. Supponiamo che il commutatore B1 è orientato
verso massa virtuale, e tutti gli altri a massa reale. In questo
caso nel nodo A fanno capo due resistenze di uguale valore 2R, come è evidente dall’analisi dello schema elettrico.
Poiché abbiamo detto che nel nodo A entra una corrente pari a V0/R, è evidente che questa si divide in due parti: una
metà fluisce verso la massa reale e un’altra metà fluisce verso l’operazionale. Possiamo, quindi, scrivere:
Calcoliamo il contributo del secondo ingresso binario. Se il solo commutatore B2 è orientato verso la massa virtuale
allora una metà della corrente I1 fluisce attraverso la resistenza 2R per raggiungere l’operazionale e l’altra metà fluisce
verso il nodo C. Il contributo di corrente dovuto a questo commutatore è:
Con lo stesso ragionamento si può calcolare il contributo generico del commutatore binario Bi:
<
<
<
E’ necessario fare una precisazione. I contributi calcolati, I1, I2 ecc.ecc, sono contributi che esistono sempre, a
prescindere dalla posizione dei commutatori. Questi fanno sì da convogliare le quantità di corrente o nell’operazione
oppure verso massa, a secondo dei valori assunti da Bi.
L’espressione della corrente che entra nell’operazionale può essere scritta come segue:
<1?
.=> /
0
<1
<
:
<
+
+
@
@
,--+
?;
?
L’espressione in parentesi può essere modificata nel seguente modo:
.=> /
:
+
+
@
@
,--+
?
?;
?
?
?
.
?
+
?
+A+
?
/
Nell’ultima espressione si riconosce il numero binario Nx. Per poterlo riconoscere facilmente è sufficiente cambiare il
nome ai commutatori binari: Bn diventa B0, Bn-1 diventa B1 ecc. ecc. fino a B0 che diventa Bn-1. Quindi possiamo
scrivere:
.23 /
23
Questa espressione rappresenta la corrente che ‘entra’ nell’operazionale in funzione della combinazione binaria dei
commutatori. Calcoliamo la tensione di uscita, considerato che il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Si ha
BCD.23 /
E
.=> /
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E
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Questa è la tensione in funzione del numero Nx che in forma binaria mettiamo in ingresso.
Calcoliamo il valore massimo:
$ 53
.
4
/
Ricordando la relazione:
$ 53
8
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Possiamo scrivere:
E quindi in definitiva:
$ 53
.
4
/
4
67
4
Ed anche:
8
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.
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8
/