Corso di Studi

FIS. GEN. 10 CFU Vecchio Progr. A
I Appello A.A. 2009-2010
07.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 3 Un corpo puntiforme di massa m viene lasciato cadere dal punto più alto A di una guida liscia, avente la forma di un
quarto di circonferenza di raggio R, come in figura. Giunta su un piano orizzontale, la massa m urta in modo completamente anelastico
nel punto O contro una massa M, inizialmente in quiete, fissata ad una molla di costante elastica K, agganciata ad una parete all’altro
estremo. Sapendo che nei punti a destra di O il piano, scabro, è caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico , si determini la
massima contrazione della molla. Si seguano i calcoli per =0.2, m=50g, M=150g, R=20cm, K=25N/m.
Dalla conservazione dell’energia meccanica ricaviamo la velocità della massa m un
istante prima dell’urto:
A m
1
mgR  mv02  v 0  2 gR
2
R
x
O
Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui la velocità
delle due masse unite dopo l’urto:
mv0  M  m   V0  V0 
M
mv0
M  m
A questo punto, tenendo conto del lavoro della forza d’attrito sul piano scabro si ha il seguente bilancio energetico:
 M  mgl M  m  V02
1
1
1
2
2
2
2
M  m  V0  W ATTR  Kl   M  mgl  Kl  l  2

0
2
2
2
K
K
La cui soluzione positiva fornisce l  3.1cm
Esercizio n. 4 Su di un piano orizzontale liscio, una massa m inizialmente in quiete è fissata ad un estremo di una bacchetta rigida di
lunghezza r avente massa trascurabile. Il secondo estremo della bacchetta è incernierato in O, cosicché il sistema bacchetta+massa può
ruotare sul piano attorno ad un asse verticale passante per O. Una forza di carattere impulsivo fornisce alla massa un impulso J 0, sul
piano, perpendicolare alla direzione della bacchetta, come in figura. Sapendo che a causa degli attriti il momento angolare della massa
diminuisce linearmente nel tempo secondo la legge L(t)=-kt, si determini l’angolo spazzato dalla bacchetta prima dell’arresto. Siano:
m= 50g, J0=0.05Kg·m/s, r=25cm, k=0.02Kg·m2/s2.
m
La variazione nel tempo di L(t) ci fornisce il momento della forza frenante, e quindi l’accelerazione tangenziale:
r
F
dL
k
 k  M  E   rFATTR  k  aT  ATTR 
dt
m
mr
O
Il moto dunque è circolare uniformemente decelerato. La velocità, tenendo conto della condizione iniziale, si
scrive:
v  v0 
K
t . Ed imponendo che che la massa si arresti in un tempo t* si ha:
mr
v(t*)  0  t* 
mv0 r J 0 r

k
k
infine lo spazio percorso e l’angolo spazzato in questo intervallo di tempo si trovano da:
2
s (t )  v 0 t 
J r
1 k 2
1 k
t  s (t*)  v 0 t * 
t *2  0 ;
2 mr
2 mr
2mk
2
 (t*) 
s(t*) J 0

 1.25rad  71.6
r
2mk
J0
FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B
I Appello A.A. 2009-2010
07.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una massa m è appesa al soffitto di un vagone tramite un filo inestensibile che forma con la verticale un angolo =20°
come in figura. Ad un certo istante la velocità del vagone vale voux. Sapendo che l’angolo  rimane costante, si dica quanto spazio
percorrerà il vagone prima che la sua velocità raddoppi, e la tensione del filo. Si eseguano i calcoli per =20° e vo=50Km/h, m=100g.
Nel sistema di riferimento non inerziale l’inclinazione del filo è causata dall’azione
contemporanea della forza peso e della forza apparente, di modulo ma, e diretta come -ux. Se ne
deduce pertanto che il moto del vagoncino è rettilineo uniformemente accelerato:
tg   
v0

ma
 a  g  tg    v(t )  v 0  at
mg
O
x
Ricavando l’istante nel quale la velocità risulterà raddoppiata, determiniamo lo spazio percorso:
v(t * )  v0  at *  2v0  t * 
s(t )  v0 t 
v0
a
1 2
3 v 02
at  s(t * ) 
 81m
2
2 g  tg  
La tensione si ricava infine dall’equilibrio delle forze:
ma2  mg 2

 mg 1  tg 2    1.04 N .
Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile, utilizzando come fluido termodinamico un gas perfetto, esegue un ciclo
rappresentabile sul piano PV come in figura. Le trasformazioni A→B, C→D, E→F, sono isoterme reversibili, durante le quali il gas
scambia calore con tre sorgenti a temperature rispettivamente pari a T 3=500K, T2=400K, T1=300K. Le trasformazioni B→C, D→E,
F→A, sono adiabatiche reversibili. Sapendo che i calori scambiati con la prima e la terza sorgente valgono, in modulo, │Q AB│=100J e
│QEF│=120J, si calcoli il lavoro prodotto dalla macchina in un ciclo e il suo rendimento.
A
P
T3
C T
2 D
Il gas assorbe calore durante le isoterme A→B e C→D, lo cede durante E→F. Per cui
QAB  0; QCD  0; QEF  0; Data la reversibilità del ciclo vale, indipendentemente dal numero di
sorgenti:
 QEF Q AB 
Qi
Q AB QCD QEF



0




0

Q

4
CD
i
 3  T   80 J
Ti
T3
T2
T1
3



A questo punto facilmente ricaviamo lavoro prodotto e rendimento:
W  QASS  QCED  QAB  QCD  QEF  60 J

W
 0.33 .
Q AB  QCD
B
F
T1
E
V
FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito A
II Appello A.A. 2009-2010
11.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1Una pallina di massa m=10g è sospesa al soffitto tramite una molla di massa trascurabile, costante elastica k=1N/m e
lunghezza a riposo L0= 50cm. Si determini la velocità che deve essere impressa alla pallina affinché si muova di moto circolare uniforme
in un piano orizzontale, in modo che la molla formi un angolo  = 10° con la verticale.
accelerazione centripeta della pallina in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio
Le forze che agiscono sulla pallina sono: la forza elastica e la forza peso. Ovvero
assi avremo:
. Scomponendo lungo gli
lungo x:
lungo y:
Quindi
Esercizio n. 2 Si consideri il contenitore riportato in figura. In A è contenuto un gas monoatomica che non può scambiare calore con
l’esterno e si trova in uno stato caratterizzatoda P 0= 105Pa,V0= 10-2m3,T0=290K. In B e contenuto un altro gas biatomico che ha le stesse
P0,V0,T0, ma che può scambiare calore. Il setto adiabatico può scorrere senza attrito. Con una trasformazione reversibile, il gas in B viene
portato alla temperatura T ed al volume V=12x10 -3m3. Calcolare il valore di T ed il calore ceduto al gas in B. Successivamente il gas in B
viene posto in contatto termico con una sorgente a temperature T 0, mantenendo bloccato il setto. Raggiunto l’equilibrio termico, calcolare
la pressione del gas in B e la variazione di entropia dell’universo nelle due trasformazioni.
Durante la prima ttrasformazione, la pressione in A e in B è la stessa, quindi:
Pertanto la temperatura T sarà:
energia interna di B e
.
. Il calore ceduto al gas in B
, dove
è la variazione di
è il lavoro fatto su A.
con
quindi
.
La seconda trasformazione avviene a volume costante
Durante la prima trasformazione
dell’entropia dell’ambiente.
Durante la seconda trasformazione
e l’aumento di entropia in B corrispone ad una uguale diminuzione
in quanto
.
. L’ambiente riocev dal gas una quantità
di calore Q, a temperatura costante, pari alla diminuzione di energia interna del gas stesso, ovvero
Quindi
.
Pertanto
FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B
II Appello A.A. 2009-2010
19.07.2010
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n. matricola
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Docente
Voto
Esercizio n. 1Un punto materiale è appoggiato sulla superficie interna scabra di un cono che ruota attorno all’asse verticale con velocità
angolare =5rad/s. Siano R=15cm la distanza dall’asse di rotazione e =30° la semiampiezza dell’angolo al vertice. Si calcoli per quali
valori del coefficiente di attrito statico il punto non si muove sulla superficie del cono.
Le forze che agiscono sul punto sono: la forza peso, la reazione del vincolo e la forza di attrito:
Proiettiamo lungo due assi, uno ortogonale alla superficie del cono e orientato verso l’asse di rotazione, l’altro parallelo alla superficie e
rivolto verso il vertice del cono.
Lungo questi assi avremo:
Affinché non vi sia scorrimento deve essere soddisfatta la disuguaglianza:
Quindi
In conclusione avremo:
Esercizio n. 2 0.16 moli di un gas ideale monoatomico a T 0=300K sono contenute nella parte inferiore A di un cilindro. Un pistone, di
massa m1=31kg e spessore trascurabile, divide la parte inferiore A da quella superiore B del cilindro. In B c’è il vuoto. Una massa m 2 è
attaccata al pistone mediante un filo che esce dalla base del cilindro. Il sistema è in equilibrio termodinamico con il pistone a distanza
h=0.5m dalla base. Calcolare m2. Si taglia il filo che collega il pistone a m2. Questo causa un’espansione del gas che si porta ad un
volume doppio di quello iniziale. Calcolare il lavoro compiuto dal gas. Durante il processo il sistema può scambiare calore con
l’ambiente.
Scriviamo l’quazione di stato dei gas ideali e la relazione di equilibrio tra le forze:
Da queste equazioni ricaviamo:
Nell’ipotesi che il sistema si porti ad un nuovo stato di equilibrio, il lavoro compiuto dal gas deve uguagliare la variazione di energia
potenziale della massa m1, ovvero
FISICA GENERALE I (10 CFU)
A.A. 2009-2010
19 luglio 2010
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Nome
n. matr.
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Docente
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Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è inizialmente in quiete in cima ad un piano
inclinato di un angolo α, avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m 1 e m2=
0.5 m1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m 1 si muove in discesa lungo il
piano inclinato con velocità v1. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e m 1 è μ, e che m 1
si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal
frammento m 2.
Eseguire i calcoli per α= 20°, h= 1 m, = 0.5.
m
h
Per il frammento m1 si ha
 m1g cos 
h
1
 m1gh  m1v12
sen
2

v1  2 gh

1
tg 
e per la conservazione della quantità di moto nell’esplosione :


m2v2  m1v1

v2 y 
m1
m2
2 gh

 1 sen
tg 
e la quota massima raggiunta vale :
yM
m
 h
 h   1
2g
 m2
v 22 y
2
  

 h 
 1 sen 2   1.17 m
  tg  
Esercizio n. 2 Un veicolo di massa m si muove su una strada rettilinea accelerando da fermo
sottoposto ad una forza F(t)= kt1/2 fino all’istante t*, per poi proseguire di moto uniforme. Il veicolo
porta con sé una sorgente di onde sonore (di velocità V) alla frequenza ν e si allontana, partendo
da una distanza iniziale B da un muro perpendicolare alla strada (vedi figura) che riflette le onde
emesse dalla sorgente. Determinare la massima e minima frequenza delle onde ricevute dagli
occupanti il veicolo e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la minima frequenza.
Eseguire i calcoli per m= 900 kg, k= 5000 Ns-0.5, t*= 3 s, V= 343 m/s, B= 10 m, = 1200 Hz.
Detta v la velocità del veicolo in allontanamento dal muro, quest’ultimo riflette onde sonore di frequenza
 '  V /( V  v )
che vengono ricevute dal veicolo alla frequenza
 "   ( V  v ) /( V  v )
per cui la frequenza massima percepita (alla partenza) è v, la minima è quella corrispondente alla velocità massima v(t*). Ma
t
v( t )  
0
F( t )
dt
m

v( t*) 
2k 3 / 2
t *  19.2 m / s
3m
e la frequenza minima vale :
 m 
V  v( t*)
 1072 Hz
V  v( t*)
osservata per t> t*, ossia per
t*
x  B   v( t )dt  B 
0
4k
t * 5 / 2 33.1 m
15m
B
Esercizio n. 3 In un cilindro di area di base A sono contenute n moli di acqua alla temperatura di
ebollizione (100 °C). Il cilindro è posto nel vuoto, chiuso superiormente da un pistone mobile senza
attrito di massa M. Al cilindro viene fornita una quantità di calore Q sufficiente a far completamente
evaporare l’acqua (il cui calore latente di evaporazione è λ) e poi portare reversibilmente il vapore (da
trattare come un gas ideale biatomico) ad uno stato finale di equilibrio in cui il pistone si trova ad una
quota h rispetto alla base del cilindro. Calcolare Q e la variazione di entropia dell’ambiente esterno.
Eseguire i calcoli per n= 0.05, M= 20 kg, h= 1.2 m, λ= 9.2 Cal/mole.
La pressione è costante e pari a p=Mg/A
I calori assorbiti dal sistema rispettivamente nelle fasi di evaporazione e riscaldamento del vapore sono
Qev= nλ= 1923 J
Qrisc= ncpΔT= ncppΔV/nR= (cp/R)pΔV= (cp/R)(Mg/A)AΔh= (cp/R)MgΔh
Dove Δh è la variazione di quota del pistone. La quota iniziale, detta T0= 373 K la temperatura di ebollizione, è
h0= V0/A= nRT0/pA= nRT0/Mg=0.79 m
e quindi
Q= Qev+Qrisc= 2204 J
Il processo è reversibile e quindi
ΔSamb= -(ΔSev+ΔSrisc)= -nλ/T0-ncpln(TF/T0)= -nλ/T0-ncpln(VF/V0)= -nλ/T0-ncpln(h/h0)= -6.04 J/K
Esercizio n. 4 Un disco di massa M e raggio R, inizialmente fermo, può rotolare senza
strisciare su un piano orizzontale. Sul bordo del disco è fissata una massa puntiforme m come
mostrato in figura. Se il disco viene leggermente spostato dalla posizione di equilibrio instabile
rappresentata in figura, determinare la massima velocità angolare del disco durante il suo moto e
la sua accelerazione angolare quando ha percorso un quarto di giro.
Eseguire i calcoli per M= 400 g, m= 50 g, R= 10 cm.
La massima velocità angolare si ha dopo mezzo giro, quando la massa m è ferma, nel moto di puro rotolamento, e quindi la
conservazione dell’energia dà
mg 2 R 
1 2 3
IM  MR2M2
2
4

M 
8mg
 5.7 s 1
3MR
Dopo un quarto di giro invece m si trova a distanza a= 2 R dall’asse istantaneo di rotazione e



d dbm
M I

dt
dt
da cui
mgR 
3
d
dv
3
d
d
MR2
 m a  MR2
 ma 2
2
dt
dt
2
dt
dt
e infine
d
2mg

 7 s 2
dt 3MR  4mR
Esercizio n. 4 Un nuotatore deve attraversare un fiume largo D=250 m, la cui corrente ha una velocità v C= 1.8 km/h.
Trovare : A) in quale direzione rispetto all’acqua deve nuotare con velocità u = 2 km/h per raggiungere il punto sulla sponda
opposta esattamente di fronte a quello di partenza; B) quanto tempo impiega in tali condizioni per raggiungere il punto di
arrivo.
V = u + vC ;  arcosin (vC/u) = 64.2 °
V = (u2 - vC2)1/2 = 0.871 km/h
t = D/V = 0.281 h.
vC
V
D

u
FISICA GENERALE I 10 CFU
I Appello settembre A.A. 2009-2010
06.09.2010
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n. matr.
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Esercizio n. 1 Il carico di un camion è costituito da un cilindro pieno omogeneo di massa M e raggio R appoggiato sul
piano orizzontale scabro del camion (con coefficiente di attrito statico s) come in figura. Il cilindro è trattenuto da una
fune orizzontale che fissa il bordo del cilindro, sulla verticale del centro C, ad un vincolo solidale al piano. Tutto il sistema
si muove di moto rettilineo con accelerazione costante a diretta orizzontalmente. Si determini il valore minimo di s tale
che il cilindro resti in quiete rispetto al piano. Si eseguano i calcoli per a = 2 m/s2.
l’equilibrio delle forze e dei momenti (rispetto al punto di contatto col piano)
nel sistema non inerziale del piano:

Fris  0  T  Fa  Ma  0

M ris  0  2TR  MaR  0
da cui:
Ma
Fa 
 s Mg
2
a
 s 
 0.10
2g
C
s
a
Esercizio n. 2 Una guida liscia ha la forma di un quarto di circonferenza di raggio R e una massa M (vedi figura). La guida
è libera di muoversi senza attrito su un piano orizzontale ed è inizialmente in quiete. Una massa puntiforme m,
inizialmente in quiete sul bordo più alto della guida, è lasciata scivolare sotto l’azione della forza peso. Calcolare il modulo
della velocità relativa di uscita dalla guida della massa m rispetto alla guida stessa. Siano: m = 300 g, M = 1 Kg, R = 20 cm.
La risultante delle forze esterne è nulla lungo l’asse x per cui si conserva la quantità di moto lungo tale direzione e quindi, quando m
abbandona la guida, per le rispettive velocità assolute vale:
m
V
m
v
M
R
Per la conservazione dell’energia:
1
1
1
1 m2 2
mgR  mv 2  MV 2  mv 2 
v
2
2
2
2 M
da cui:
v 
2gR
 1.74 m/s ,
m
1
M
V 
Per la velocità relativa di m rispetto a M:

 
 
v r  va  v t  v  V
da cui si ricava:
v r  V  v  2.26 m/s
m
v  0.52 m/s diretta verso sinistra
M
M
Esercizio n. 3 Un cilindro lungo L è posto in rotazione con velocità angolare costante  su un piano orizzontale intorno ad
un asse verticale passante per un suo estremo. Il cilindro è pieno a metà di un liquido ideale che può fuoriuscire da un foro
(di sezione trascurabile rispetto alla sezione del cilindro) situato sulla base B del cilindro. Si determini il modulo della
velocità di uscita del liquido rispetto al sistema di riferimento rotante trascurando gli effetti della forza di gravità. Si
eseguano i calcoli per L = 0.2 m,  = 10 s-1
Dalla legge di Torricelli applicata in presenza di forze inerziali di valore  2 r a unità di volume:
L
1 2
3
u    2 rdr   2 L2
2
8
L
2
dove u è la velocità relativa al sistema non inerziale rotante col cilindro, da cui:
B
3
L  1.73 m/s
4
u 
Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico esegue un ciclo composto da un’espansione isoterma reversibile AB a
temperatura TA = 120 °C che ne raddoppia il volume, da una trasformazione isocora irreversibile BC, realizzata ponendo il
gas a contatto con una sorgente a temperatura TC, e da una adiabatica reversibile CA che chiude il ciclo (vedi figura).
Calcolare il lavoro compiuto dal gas e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo.
Considerato che BC è comunque un isocora e che nell’adiabatica L = -∆U:
L  L AB  LCA  nRT A ln
VB
 ncV TA  TC 
VA
A
p
B
Dall’equazione dell’adiabatica reversibile:
 1
TAV A
 1
 TCVC
V 
 TC  TA  A 
 VB 
 1
 248 K
V
quindi:
L  nRT Aln
C
 V 
VB
 ncVTA 1   A 
  VB 
VA

 1

  456 J


Poiché il gas compie un ciclo la variazione di entropia dell’universo coincide con quella delle due sorgenti TA e TC
S u  S TA  S TC   nR ln
c T  TB 
VB
 n V C
 1.47 J/K
VA
TC
FISICA 1 (5 CFU)
I Appello A.A. 2009-2010
06.09.2010
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un punto si muove con velocità relativa costante vr = 0.5 m/s in direzione radiale verso il centro di una
piattaforma circolare orizzontale che ruota con velocità angolare  = 2 rad/s. All’istante iniziale t0 = 0 il punto si trova ad
una distanza R = 1 m dal centro della piattaforma. Determinare in direzione e modulo la velocità assoluta del punto
all’istante t* = 3 s.
all’istante t* il punto, oltrepassato il centro, si trova ad una distanza dal centro:

r  vr t*  R  0.5 m
la velocità assoluta sarà quindi:
vr
 




va  v'  v t  v r    r
C
con modulo:
va 

v2  v 2n 
r 2  v 2r

 3.18 m/s

considerato che v r e v t sono ortogonali, v a forma con la direzione radiale un angolo:
 r 
  tan 1    81
 vr 
Esercizio n. 2 Un’imbarcazione di massa M = 200 kg, partendo da ferma, si muove di moto rettilineo in un fiume sotto
l’azione di una forza motrice costante di modulo F = 500 N e di una forza resistente, da parte dell’acqua, dipendente dalla
velocità , Fa= -bv con b = 200 Ns/m. Determinare: a) la velocità limite dell’imbarcazione; b) la potenza fornita dal motore
in tale condizione; c) il lavoro totale eseguito dalle forze dall’istante della partenza al raggiungimento della velocità limite.
a) vlim = F/b = 2.5 m/s ; Plim = F vlim = 1250 Watt
b) Ltot = T = ½ M vlim2 = 625 J
FISICA GENERALE I
A.A. 2009-2010
23.09.2010
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Nome
n. matricola
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Voto
10 Crediti
Esercizio n. 1 Per quale valore dell’ampiezza angolare di oscillazione di un pendolo semplice sono uguali i
moduli dell’accelerazione nei punti più alti e più basso del moto?
Nel punto più alto di inversione del moto v=0 e pertanto l’accelerazione è solo tangenziale e vale
[1] asup  g sin  ,
mentre nel punto più basso essendoci solo forze parallele al filo, l’accelerazione è solo normale
v2
[2] a inf  .
l
Tenendo conto della conservazione dell’energia meccanica si ha
1 2
m
v m
 gl1  cos  ,
2
che sostituita nella [2] fornisce
[3] a inf  2 g 1  cos  .
Uguagliando le [1] e [3] si ottiene
2  sin   2 cos  ,
che quadrata fornisce
5 sin   4sin   0
La cui unica soluzione accettabile è sin   4 / 5 , cioè  =53,13°.
Esercizio n. 2 Una sfera omogenea di massa m= 1 kg, partendo da ferma, rotola senza slittare su un piano
inclinato di alzo α= 20°. Determinare i valori del coefficiente d’attrito per i quali non si ha slittamento e
l’energia cinetica della sfera dopo t= 5 s dall’inizio del moto.
Per un osservatore inerziale la prima equazione cardinale si scrive
ma  mg sin   mg cos  ,
Mentre la seconda equazione cardinale, considerando i momenti rispetto al punto di contatto è
2
a
mgR sin    mR 2  mR 2  ,
5
R
5
2
Da cui si ottiene a  g sin  , che sostituita nella prima dà   tan   0,104.
7
7
2
1
1
217
5
a 
mR 2  t   mg 2 t 2 sin 2   100,5 J.
L’energia cinetica è data da T  mvc2  mr 2 2 
2
2
525
14
R 
Esercizio n. 3 In un tubo verticale di altezza h= 1,5 m e sezione S = 15 cm2 scorre dell’acqua (= 103 kg/m3)
a velocità costante v= 2 m/s. Nelle parti estremali del tubo la sezioni sono ridotte da due strozzature di sezione
S1= 3 cm2 in alto e S2= 5 cm2 in basso. Determinare la differenza di pressione esistente tra le due strozzature.
Dall’equazione di continuità si ha:
S1v1  S 2 v2  Sv  v1  Sv / S1  10 m/s, v2  Sv / S 2  6 m/s.
Dal teorema di Bernoulli si ha


p 2  p1  (v12  v 22 )  g (h1  h2 )  (v12  v 22 )  gh  4,7104 Pa.
2
2
Esercizio n. 4. Un volume V0= 10 L, pressione p0= 105 Pa e temperatura T0= 300 K di gas perfetto biatomico
all’equilibrio è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa trascurabile. Se il sistema è posto in contatto con
una sorgente alla temperatura T1= 450 K il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio finale. Determinare la variazione
di entropia dell’universo.
S univ  S gas  S sorg .
Il gas compie una trasformazione isobara irreversibile, che ai fini del calcolo dell’entropia va sostituita con
un’isobara reversibile
S gas  nc p ln
T1 p0V0 7
T

R ln 1  4,73 J/K.
T0
RT0 2
T0
La sorgente termica cede al gas una quantità di calore Q  nc p (T1  T0 ) sicché la sua variazione di entropia
vale
S sorg  
p0V0 7 T1  T0
R
 -3,89 J/K.
RT0 2
T1
La variazione di entropia richiesta vale Suniv= 0,84 J/K.
FISICA GENERALE (10 CFU) Compito B
Cognome
Corso di Studi
Voto
II Appello Settembre - A.A. 2009-2010
Nome
Docente
23.09.2010
n. matricola
Esercizio n. 1 Una particella di massa m1 si muove con velocità V ed urta elasticamente un’altra particella ferma di massa m2. Dopo
l’urto le due particelle si muovono con velocità uguali ed opposte, con la prima particella che inverte il suo moto. Si determini il
rapporto tra le masse e quello tra le velocità iniziale e finale della prima particella.
Si conservano:
a) la quantità di moto
m1V  m1v  m2v  m2  m1v
b) l’energia cinetica
1
1
1
1
mV 2  m1v 2  m2v 2  m1  m2 v 2
2
2
2
2
Elevando la prima equazione al quadrato e determinando il rapporto con la seconda si ricava:
m1 1
 ;
m2 3
V
2
v
Esercizio n. 2 0.2 moli di un gas ideale monoatomico si trovano inizialmente alla temperatura T0=300K ed occupano il volume
V0=210-3m3. Il gas é fatto espandere, fino a raddoppiare il volume, seguendo la trasformazione p=a+bV 2, dove a=105Pa e
b=3.71010Pa/m6. Si calcolino: 1) la temperatura finale del gas; 2) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione; 3) il calore
scambiato dal gas durante la trasformazione.
Il valore di b sul testo d’esame era errato ed è qui sopra sostituito con quello corretto. Verranno tuttavia considerati corretti i calcoli dei
compiti effettuati con quel valore.
Ricavando p0 dalla legge di trasformazione riportata nel testo o dalla legge dei gas ideali si ottiene il valore:
p0 
nRT0
nRT0

 2.5  105 Pa
2
V0
a  bV0
Quindi si avrà:
T1 
p1V1
T0  7.2T0  2160 K
p0V0
W
V1
 pdV  aV
0
V0
7
 bV03  1133J
3
U  ncv T1  T0   6.2ncvT0  4637 J
Quindi il calore scambiato sarà
Q  W  U  5570 J
SOLUZIONI FISICA GENERALE A 23.09.2010
(10 CFU) Compito B
Esercizio n. 1 Una pallina di massa m=1kg, collegata ad una delle estremità di un filo (l=1m), ruota su di un piano orizzontale intorno
alla seconda estremità fissa. La velocità angolare  cresce linearmente nel tempo a partire da 0=2 rad/s. Se  raddoppia dopo il
primo minuto e se il filo si rompe dopo 5 minuti, determinare: a) la velocità angolare all’istante della rottura; b) il numero di giri
compiuti dalla pallina; c) la tensione del filo.
 (t )  0  t;

 (t )  1

20  0  60 ;
t 
0 ;
60 

0
60
 (300s)  60 = 12 rad/s
1
2
 (t )  0t  t 2 ;
 (300s) = 1050  2 ; quindi n = 1050 giri
T  m2l 1421N
Esercizio n. 2 Una mole di gas ideale biatomico, inizialmente a pressione atmosferica e a T 0=400K, si espande reversibilmente
secondo la trasformazione pV2=costante. Sapendo che durante l’espansione il gas compie il lavoro W=2000J, si calcolino: a) la
temperatura finale del gas; b) il calore scambiato durante la trasformazione.
pV 2  cost
pV 2  p0V02
pV 2  RT0V0
pV  RT
W
V1
 pdV  RT V  V
0 0
V0
TV  cost  T1 
dV
2
 V 
 RT0 1 0  
 V1 
V0
T0  160K
V1
Q  U W; U = cV T1  T0  4990J
Q  2990J
p
RT0V0
V2
p0V0  RT0
V1
V0

V0
 0.4
V1
FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
Esercizio n. 1
A.A. 2009-2010
Nome
1 febbraio 2011
n. matricola
Docente
Un corpo puntiforme scivola sulla superficie di una semisfera liscia, fissa, di raggio R, posta su un piano orizzontale,
partendo dalla sommità di essa con velocità iniziale trascurabile. Calcolare la velocità del corpo e l’angolo tra il raggio
R e il piano orizzontale, nella posizione di distacco dalla semisfera. Eseguire i calcoli per R=0.8 m.
m
R
θ
Prima del distacco si ha:
mv2/R = mg senθ – N
All’istante del distacco N = 0 e quindi v*2= Rg senθ*.
Inoltre, per la conservazione dell’energia: mgR = mgR senθ*+ m v*2/2 .
Sostituendo:
v* = √(2gR/3) = 2.3 m/s
e θ* = 42.4°
Esercizio n. 2
Un’asta omogenea di massa M e lunghezza L è ferma su un piano orizzontale liscio. Una massa puntiforme m, avente
velocità v0 ortogonale all’asta, la urta elasticamente in un punto distante d=L/6 dal centro. Determinare il valore che
deve avere la massa puntiforme per rimanere ferma dopo l’urto. Eseguire i calcoli per M=2 kg.
Poiché per l’intero sistema Re = 0 e Me = 0 si ha , nell’urto, la conservazione della quantità di moto e del momento
angolare totali; dopo l’urto, poiché la massa m si ferma, l’asta acquista un moto di rototraslazione.
Considerando come polo il centro di massa, si ha:
mv0 = MvCM
e
mv0d = ICMω
con ICM= ML2/12
Inoltre, essendo l’urto elastico, si conserva l’energia cinetica, quindi:
mv02/2 = ICMω2/2 + MvCM2/2.
Sostituendo si ha:
m = 3M/4 = 1.5 kg
Esercizio n. 3 Una sorgente di onde acustiche di frequenza ν0 viene lasciata cadere da una certa altezza.
Determinare la distanza che essa ha percorso quando, al punto di partenza, arrivano onde di frequenza ν’. Si
consideri trascurabile il tempo impiegato dall’onda emessa per raggiungere il punto di partenza. Assumere ν 0=520
Hz, ν’= 490 Hz e la velocità del suono pari a 340 m/s.
La sorgente, cadendo, si allontana dal punto di partenza, quindi, per l’effetto Doppler, la frequenza udita al punto di
partenza sarà:
ν’ = ν0 v/(v - vs) e quindi vs /v = 1- ν0/ ν’
Da qui, si ottiene
da cui vs = -20.8 m/s.
h = vs2/2g = 22m
Esercizio n. 4 Una macchina termica lavora tra due sorgenti a temperature T 1 e T2, producendo un lavoro W
numericamente equivalente a quello che si otterrebbe se n moli di gas perfetto raddoppiassero il loro volume in una
espansione isoterma reversibile a temperatura T*. Il rendimento della macchina è del 20%. Calcolare il valore dei
calori scambiati e la variazione di entropia dell’universo. Assumere: n=0.1, T*=348 K, T 1=300 K, T2=450 K.
Il lavoro prodotto dalla macchina sarà:
W = nRT* ln 2 = 200 J.
La macchina non è reversibile poiché ηrev= 1 – T1/T2 = 0.33, quindi η = 0.2 = W/QA, da cui QA= 1000 J.
Per il calore ceduto si avrà: │QC│= QA – W = 800 J
ΔSu = ΔSsorg. La variazione di entropia per ciascuna sorgente è data da:
ΔS1 = │QC│/ T1 = 2.67 J/K
ΔS2 = - QA/T2 = -2.22 J/K
Quindi ΔSu = 0.45 J/K
FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2009-2010
Nome
15.02.2011
n. matricola
Docente
10 Crediti
1. Il piano inclinato in figura, con  =30°, si muove verso l’alto con accelerazione a = 5 m/s2 . Sul
piano si trovano due masse, m1 = 100 g e m2 = 200 g collegate da una fune inestensibile e di
massa trascurabile. Una seconda fune, di uguali caratteristiche, dopo essere passata intorno ad una
guida fissa, liscia, sollecita m1 attraverso l’applicazione di una forza F= 3 N alla sua seconda
estremità. Se il piano è liscio determinare le espressioni ed i valori di: A) l’accelerazione delle
masse rispetto al piano ; B) la tensione lungo la fune tra le masse.
Nel sistema di riferimento N. I. solidale al piano: ar1 = ar2 = ar
m1
m2
F

a
T1+m1g +(-m1a)+ T +Rn1= m1ar con |T1|= |F|; m2g +(-m2a)+(- T) + Rn2= m2ar
Lungo il piano : F-m1(g+a) Sin - T = m1ar ; T- m2(g+a)Sin = m2ar
F - (m1  m2 )( g  a ) Sin
= 2.6 m/s2
m1  m2
T  m2 ( g  a)Sin  m2 a r = 2.0 N
Da cui : a r 
2.) Si abbia un anello sottile omogeneo, di massa M e raggio R, con due aste sottili ciascuna di
lunghezza L=2R e massa M, montate diametralmente perpendicolari fra loro, come in figura. Il
sistema è inizialmente sospeso in quiete, in un piano verticale, ad un perno orizzontale O, mostrato in
figura, intorno al quale può ruotare liberamente. Una massa puntiforme m urta il sistema con velocità
orizzontale v, rimanendovi conficcato in corrispondenza del punto più basso. Determinare, dopo
l’urto il valore della massima deflessione angolare del sistema intorno ad O. m=10 g, M= 20 g , R=
20 cm, v=2m/s.
Rispetto al polo O: mv2R  I o ;  = 1.5 rad/s; (3M  m) ghc (1  Cosmax ) 
(3MR  2mR)
=
0.23 m
(3M  m)
I o  (2MR 2  2ML2 / 3  4mR 2 ) =
hc 
quindi max = arccos(
1
I o 2
2
) = 15.5°
(3M  m) gh
(3M  m) ghc 

R
 v
1
I o 2 , dove
2
la distanza del centro di massa del sistema
5.3x10-3 kgm2
O
da O
e
3. Un recipiente cilindrico viene riempito da un liquido di densità = 2 g/cm3, fino ad un’ altezza h = 50
cm dal fondo. Se un piccolo foro viene praticato sulla parete laterale del cilindro ad una distanza H = 15
cm dal fondo, e se il fluido, dato il profilo del foro, ne fuoriesce obliquamente verso l’alto formando un
angolo = 60° rispetto all’orizzontale, determinare quale è la massima quota raggiunta dal liquido
rispetto al fondo del recipiente.
v
h
H
Dal teorema di Torricelli: v = (g(h-H))1/2 = 2.64 m/s ; vy = v Sin-gt ; y = H+ v Sin t- ½ gt2
Nel punto di inversione (vy=0): ymax = H+ ½ (vSin)2 /g = 0.42 m
4. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente a pA = 1 atm e TA = 25 °C , esegue un’espansione isobara reversibile
assorbendo un calore QAB = 800 J. Successivamente il gas si espande ulteriormente lungo un’isoterma reversibile
assorbendo un calore QBC = 1667 J. Calcolare la variazione totale di entropia del gas.
VA = RTA/pA = 24 l = 0.024 m3 ; pB= pA ; TB = TA + QAB/cp = 336.5 K; VB = RTB/pB = 0.0277 m3 ; TC=TB; QBC =
RTBln(VC/VB) da cui VC = 0.05 m3 ;
pC =RTC/VC = 0.55 atm
S=cpln(TB/TA)+Rln(VC/VB) = 7.43 J/K , oppure utilizzando l’espressione generale della variazione di entropia di un gas
perfetto in funzione del valore dei parametri di stato iniziali e finali:
S=cvln(TC/TA)+Rln(VC/VA) . Si dimostra in generale che le due espressioni sono equivalenti.
FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
I Prova A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
10 CFU
12 CFU
Esercizio n. 1 Si considerino 3 punti geometrici, equispaziati su una circonferenza di raggio
R e centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (vedi figura). Ogni
punto genera una forza centrale Fi= - kri , in cui ri è il vettore posizione rispetto al punto iesimo. Si determini la posizione di equilibrio di una massa m, sottoposta all’azione della forza
risultante. La massa m viene poi portata a distanza r dall’origine, nella posizione indicata in
figura, e lasciata libera di muoversi. Si descriva il tipo di moto effettuato dalla massa.
y
P1
m
r
R
x
O
P3
P2
Chiamiamo Ri i vettori che individuano i punti Pi rispetto ad O ed r il vettore posizione di m rispetto ad O si ha:
dalla quale si ricava che il punto di equilibrio è O, come era ovvio aspettarsi vista la simmetria del problema.
Spostando la massa dalla sua posizione di equilibrio, si ottiene un moto armonico di equazione:
P1
Alternativamente si può procedere proiettando le forze ed imponendo l’equilibrio (vedi figura):
R-r
s
 r+R/2
P3
P2
nella quali s rappresenta la distanza di m sia da P2 che da P3 ed r la sua coordinata rispetto ad O. Sostituendo:
ossia si ottiene lo stesso risultato già ricavato precedentemente.
Esercizio n. 2 Una freccia di massa m e lunga L si conficca, ad una distanza x dal centro, in
un bersaglio a forma di disco, girevole intorno ad un suo asse diametrale (in figura è riportata
una vista dall’alto). Sia ID il momento di inerzia del disco calcolato rispetto all’asse di rotazione.
Sapendo che, all’istante dell’urto, la freccia ha velocità v, si calcoli la velocità angolare del
sistema freccia-bersaglio. Si eseguano i calcoli per m=200 g , v=50 m/s , x=10 cm ,
ID=0.05 Kg m2 ed L=50 cm.
L
x
Nell’urto si conserva il momento angolare, per cui:
nella quale If indica il momento di inerzia della freccia rispetto al polo O. Per calcolare If si ricorre al teorema di
Huygens-Steiner:
Sostituendo If nell’espressione del momento angolare finale, si ricava:
Esercizio n. 3 Due contenitori identici, di sezione , sono posti in comunicazione
tramite un condotto di sezione  << . All’istante t=0 s, uno dei due è riempito di acqua
fino ad una quota h0 mentre l’altro è vuoto. Si ricavi l’espressione della velocità v1 di
abbassamento della superficie libera dell’acqua nel primo recipiente in un istante
generico (vedi figura). Se ne calcoli poi il valore quando il dislivello h tra i due recipienti
è pari ad h0 /2 . Si effettuino i calcoli per  =10 cm2 , =10 m2 ed h0=5 m.
z
h0
z1
1
2
z3
3
z2=O
Facendo riferimento alla figura, che schematizza la situazione all’istante generico t , nell’ipotesi che v1<<v2 si
può scrivere:
Per h=h0 / 2 si avrà quindi:
Esercizio n. 4 Si consideri un recipiente complessivamente adiabatico, chiuso da un pistone
mobile. Al suo interno sono contenuti una mole di gas perfetto monoatomico e un solido di massa
M, dimensioni trascurabili e calore specifico c. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di
equilibrio alla temperatura Ti . Il pistone viene quindi abbassato fino a che la temperatura raggiunge
il valore Tf . Assumendo reversibile la trasformazione termodinamica eseguita, si determinino le
variazioni di entropia dell’universo, del solido e del gas ed il volume finale. Eseguire i calcoli
per Ti =293 K , Vi =0.02 m3 , Tf =303 K , M=0.1 kg , e c=385 cal / kg K .
gas
M
Per quanto riguarda le variazioni di entropia:
Applicando poi il I principio della termodinamica al gas perfetto si ha:
Per quanto riguarda il calore scambiato dal solido, possiamo porre:
nella quale, vista l’adiabaticità del contenitore, si è imposto che tutto il calore ceduto dal gas venga assorbito
dal solido. Sostituendo:
FISICA GENERALE I
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2010-2011
Nome
27.06.2011
n. matricola
Docente
Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza
massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi
figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ 0+αx, x
essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si
è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti:
I.
m
O
il motore esercita sempre la forza massima FM
II. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile)
Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg.
Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro :
x*
x*
1
0  K  Ltot   FM dx   ( mg ) dx  FM x *  0 mgx *  mg x *2
0
0
2
da cui
x*  2

FM  0 mg 2  FM
 
 0   15.5 m
mg
  mg

Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà
quando tale forza sarà pari a FM:
FM  mg  0   xM  mg

xM 
 x*
1  FM

 0  
 7.7 m
  mg
 2
Esercizio n. 2 Una piattaforma circolare di massa m e raggio R, inizialmente ferma, viene posta in rotazione attorno al
proprio asse applicando per un tempo Δt un momento costante M0. Passato il tempo Δt una persona di massa m’,
inizialmente posta al centro della piattaforma, e schematizzabile come un punto materiale, si sposta in direzione radiale
sulla piattaforma fino a fermarsi a distanza R/2 dal centro. Determinare la velocità angolare del sistema e la forza di
attrito agente sulla persona quando essa si è fermata nella posizione finale.
Eseguire i calcoli per M0= 100 Nm, Δt= 10 s, m= 200 Kg, m’= 70 Kg, R= 5 m.
Detto z l’asse cartesiano coincidente con l’asse di rotazione, la velocità angolare 0 al tempo t si ricava dalla
t
bz   M 0 dt  M 0 t
0

1
mR 20  M 0 t
2

0 
2M 0 t
 0.4 rad / s
mR 2
In seguito, durante lo spostamento della persona agiscono solo forze interne, e quindi si conserva il momento della
quantità di moto tra il momento in cui la persona è ferma nel centro della piattaforma e quello in cui la persona è ferma a
distanza R/2 dal centro. La velocità angolare f in questo istante si calcola allora dalla:
2
1
1
mR 2
2m
R 
2
2
mR 0   mR  m'     f

 f  0
 0
 0.34 rad / s
2
2
2
mR  m' R / 2
2m  m'
 2  
 2
Infine, la forza di attrito Fa nello stato finale deve essere tale che la forza totale nel sistema di riferimento solidale con la
persona (ferma) sia nulla. L’unica forza agente in direzione parallela alla piattaforma è la forza centrifuga m’f2R/2, per
cui
Fa  m'  2f
R
 20.3 N
2
Esercizio n. 3 Un rivelatore di onde acustiche compie un moto armonico di periodo T
lungo il segmento AB (vedi figura) di lunghezza 2L. Una sorgente di onde sonore alla
frequenza ν è posta nel punto C, allineato con AB. Nota la velocità V S del suono in aria,
determinare la massima e minima frequenza ricevute dal rivelatore e la sua posizione nel
momento in cui viene percepita la massima frequenza.
Eseguire i calcoli per L= 1 m, T= 3 s, ν= 100 Hz, VS= 343 m/s.
C
A
B
Le frequenze minima e massima rivelate (m e M rispettivamente) si avranno in corrispondenza della velocità massima (in
allontanamento e in avvicinamento alla sorgente) durante il moto armonico. In un moto armonico di pulsazione  e ampiezza A la
velocità massima vale V= A, per cui nel nostro caso
V  L 
2L
 2.1 m / s
T
e di conseguenza
 m 
VS  V
 99.4 Hz
VS
;
 M 
VS  V
 100.6 Hz
VS
;
Naturalmente la frequenza massima (come anche la minima) viene misurata quando il rivelatore passa per il centro del segmento AB,
ossia quando la sua velocità è proprio V.
Esercizio n. 4 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il
tutto è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto
monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi
lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello
stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale.
Determinare il calore specifico del piombo e la variazione totale di entropia.
Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T0= 210 K.
L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al
valore Tf per cui
1 2
kL  Q  cmT f  T0   ncv T f  T0 
2
con
T f  T0 
pV p0V V
 p  p0   0.03 p0V  0.03T0  6.3 K


nR nR nR
nR
Dalla precedente equazione si ricava allora
c
nc
k L2
 v  129 J / KgK
2 mT f  T0  m
Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento
isocoro del gas e del piombo:
S  S g  S m   ncv
T
dT
dT
  mc
 ncv  mc  ln f  0.075 J / K
T
T
T0
FISICA GENERALE I
II prova A.A. 2010-2011
15/07/2011 - A
Nome
Cognome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
10 CFU
12 CFU
Voto
Esercizio n.1 Un proiettile di massa m viene sparato con velocità iniziale v0 a un angolo  rispetto
all’orizzontale. Determinare le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione al tempo t* dopo il
lancio. Eseguire i calcoli per v0 = 50 m/s,  = 60°, t* = 8 s.
Considerando il moto balistico del proiettile:
v x t   v 0cos  cost

v y t   v 0sen  gt
v x t *  v 0cos  25 m/s
 
v y t *  v 0sen  gt *   35.2 m/s

an
g
v
da cui si ricava che la velocità (e quindi la tangente alla traiettoria) forma con
l’orizzontale, al tempo t*, un angolo:
 vy 
  54.6 orientato verso il basso.
  arctg 
 vx 



D’altra parte l’accelerazione del moto è sempre verticale e pari a g , da cui:



2
a t *  gcos     gsen  8.0 m/s
2


a t *  gcos   5.7 m/s 2
 n

dv
a t * 
dt t*
Alternativamente: 

2
2
a n t *  g  a
Esercizio n. 2 Un anello sottile di massa M = 2 kg giace su un piano con
attrito inclinato con angolo  = 30°. Sul bordo dell’anello è avvolto un filo
inestensibile e privo di massa che reca all’altro estremo una massa m = 800 g
(vedi fig.). La carrucola P è priva di massa e senza attrito. Il sistema,
inizialmente in quiete, viene lasciato libero e l’anello comincia a muoversi con
moto di puro rotolamento. Si determini: (a) modulo e verso dell’accelerazione
della massa m e (b) modulo e verso della forza di attrito col piano.
P
M
m

Ipotizzando che la forza di attrito F sia diretta lungo il piano verso l’alto, per l’anello abbiamo
l’equazione dei momenti rispetto al centro proiettata lungo la normale al foglio:
a
a
I C  I C
 MR 2
 TR  FA R  T  FA  Ma
con T tensione della fune
R
R
e quella delle forze proiettata lungo il piano inclinato : T  FA  Mgsen  Ma
Mgsen
 4.91 N > 0 quindi verso l’alto.
Sottraendo la seconda dalla prima: FA 
2
Per la massa m proiettando lungo la verticale verso il basso: mg  T  ma  T  mg  a 
sostituita in una delle due precedenti da’:
M


 m  sen 
2
 g  1.05 m/s 2  0 quindi m scende
a  
 M  m 


che
Esercizio n. 3 Un cilindro omogeneo di altezza L = 30 cm e densità M
= 0.4 è posizionato verticalmente in modo da sfiorare con la sua base
inferiore il pelo libero di una massa d’acqua (vedi figura). A questo punto
L
viene lasciato scivolare in acqua con velocità iniziale nulla. Determinare
la massima profondità hM raggiunta dalla base inferiore trascurando ogni aria
attrito con l’acqua e assumendo che il cilindro, nel suo moto, rimanga
acqua
sempre in posizione verticale.
hM
Il lavoro infinitesimo compiuto della spinta di Archimede quando la base si trova alla profondità x è:
dL  S A ( x)dx   Axdx dove A è la sezione del cilindro
Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla profondità massima hM la somma del lavoro
compiuto dalla forza peso e dalla spinta di Archimede sarà nullo:
Mgh M 
hM
 gAxdx   M ALgh M  gA
0
h 2M
 T  0
2
e l’espressione vale per hM < L. Da cui:
hM 
2L M

 0.24 m
Esercizio n. 4 Determinare il rendimento per un ciclo reversibile eseguito da un gas perfetto biatomico e
realizzato da un’espansione adiabatica AB, da una compressione isobara BC, una compressione isocora
CA sapendo che VB= N VC con N=5.
AB
QAB  0
BC
Qced  c p TB  TC 
CA
Qass  cv TA  TC 
 TB 
  1
c p TB  TC 
T
N 1
N 1
  1
 1   C   1 
 1  
 0,34
p
V
cv TA  TC 
N 1
 TA 
A A
1
  1
p
V
T
B
C
 C 
FISICA GENERALE I
A.A. 2010-2011
15.07.2011 - B
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Crediti 10 
Crediti 12 
Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa
trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una
massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O,
determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa.
L’elastico presenterà un allungamento Δl tale che
1
mg 2l  l max   k (l max ) 2 ,
2
in tali condizioni lnax  Fmax / k , sicché
F  1 F2

mg 2l  max   k max
k  2 k2

da cui

F F
l  max  max  1  1,37 m.
2k  2mg 
Esercizio n. 2 Un solido di forma arbitraria può ruotare senza attrito attorno a un asse
orizzontale non centrale per O (v.fig.). Partendo da fermo dalla posizione col centro di massa
C al disopra dell’asse di sospensione e sulla sua verticale, esso transita per la posizione di
equilibrio stabile con velocità angolare Ω= 10 rad/s. Se lo stesso solido è fatto oscillare con
oscillazioni di piccola ampiezza determinarne il periodo.
Non conoscendo il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse di rotazione, esso è
determinabile dalla conservazione dell’energia
4mgrC
1
2mgrC  I O  2 da cui si ha I O 
.
2
2
Per le oscillazioni di piccola ampiezza si ha
 mgrC sin   I O
da cui per la pulsazione si ha  
e per il periodo T 
2


mgrC 

2
IO
4
 1,26 s.

C
O
Esercizio n. 3 Avvicinandosi a una parete verticale con velocità vE ed emettendo una frequenza νE= 400 Hz si
percepisce un battimento Δν=νR-νE= 2 Hz. Determinare vE sapendo che la velocità del suono in aria è vS= 342
m/s.
Sia νE la frequenza emessa, νR la frequenza ricevuta
R E
vS  v E
vS  v E
Da cui si ricava:
v E  vS
v / vE
 0,85 m/s.
2   /  E
Esercizio n. 4 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la
temperatura varia con l’entropia secondo la legge T  aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica
del corpo in funzione dell’entropia C = f(S).
C
Q
dT

TdS
dT
differenziando l’espressione data: T  aS n
dT  anS n-1dS 
C
ovvero:
C ( S )  f S  
1
S
n
T ( S )dS
aS n
1


S
n-1
n-1
n
anS dS
anS
FISICA GENERALE I
I Appello settembre A.A. 2010-2011
02.09.2011
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
 9 crediti
 10 crediti
 12 crediti
Esercizio n. 1 Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e
R2
R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa
una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a
R1
riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano
orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella
posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema.
m
Sia y la generica lunghezza della molla
all’estremità fissa)
(la coordinata dell’estremità collegata al disco interno rispetto
mgR2
= 0.16 m
kR1
B) Equazione dei momenti assiali lungo asse perpendicolare al foglio in verso uscente:
db tot
d (mvR2 )
mgR2  kyR1  a  I a  
dt
dt
1
dove I a  M ( R12  R22 ) , v è la velocità lineare della massa m, e  la velocità angolare dei dischi ; v   R2 ;
2
R
se y è la generica lunghezza della molla , dato che y   R1 , v  y 2
R1
A) Equilibrio dei momenti: mgR2  kyeq R1  0 ; yeq 
si ottiene quindi mgR2  kyR1  (
R2
1 M ( R12  R22 )
 m 2 )y e  
2
R1
R1
2
2kR1
= 3.11 rad/s
M ( R12  R22 )  2mR22
Esercizio n. 2 Un anello di massa m=30 g può scivolare lungo una guida fissa liscia di raggio R= 30
cm e si trova inizialmente in quiete nella posizione di equilibrio instabile. Ad un certo istante viene
ceduto all’anello un impulso J= 0.06 Ns diretto lungo l’orizzontale. Il mezzo in cui sono immersi
l’anello e la guida fa si che sia esercitata sull’anello una forza di attrito di valore costante A = 0.2 N,
opposta alla direzione del moto. Determinare i valori di: a) la velocità dell’anello nel punto più
basso della guida; b) la componente normale e tangenziale della risultante delle forze agente
sull’anello nel punto più basso della guida.
vo = J/m = 2 m/s
Dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica :
2 AR
 1.8 m/s
m
a)
v f  v02  4 gR 
b)
2A v o
an 
 4g 

R
m
R
vf
2
F   A = -0.2 N
1
2
2
m(v f  v o )  mg 2 R  AR
2
2
= 10.67 m/s2 ;
Fn  Rn  mg  man  0.32 N
J
R O
Esercizio n. 3 Due onde elastiche, di ugual ampiezza A = 0.1mm, di lunghezza d’onda  = 20 cm e frequenza  = 500 Hz,
si propagano nello stesso verso in un mezzo di densità  = 4 g /cm3 . Se l’intensità media dell’onda risultante è
I tot= 59,16 kW/m2, calcolare la differenza tra le fasi iniziali delle due onde.
1
v 2 A 2 = 19720 W/m2 dove v = 
2
Itot  3I ; ma Itot = 2I(1+Cos ()) da cui Cos () = ½ ;  = 60° .
Oppure Itot = 4ICos2(/2) per cui /2 = 30°
L’intensità media di ciascuna onda, I =
Esercizio n. 4 Un sistema termodinamico esegue un ciclo reversibile diretto dove il calore è
scambiato solo lungo tre espansioni isoterme, a temperature T 1= 300°C, T2= 200 °C, T3 = 100°C e
una compressione isoterma a T4 = 50 °C. Il ciclo è chiuso mediante rami di adiabatiche come indicato
in figura. Se le quantità di calore scambiate durante le espansioni sono Q1 = 90 cal, Q2 = 70 cal, Q3
= 40 cal, A) calcolare il lavoro compiuto in un ciclo; B) Se T4 viene dimezzata, lasciando le altre
condizioni invariate, calcolare il rendimento del nuovo ciclo.
T1
T2
T3
T4
Q1 Q2 Q3 Q4
Q Q Q



 0; Q 4  T4 ( 1  2  3 )  - 133 cal
T1 T2 T3 T4
T1 T2 T3
L  Q1  Q2  Q3  Q4  67 cal = 280 J
Se T4 dimezza, Q4’= Q4/2
quindi
  1
Q4
2(Q1  Q2  Q3 )
 0.66
FISICA GENERALE I
II APPELLO DI SETTEMBRE A.A. 2010-2011
27.09.2011
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
 9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Un corpo di massa m è fermo alla base di un piano inclinato scabro. All’istante t=0 viene sottoposto ad una
forza F0(t)=m(A-kt), con A e k costanti note, parallela al piano inclinato, nel verso della salita. Calcolare l’istante t* in
corrispondenza del quale il corpo si arresta sul piano inclinato. Supponendo che in tale istante venga soppressa la forza
F0(t), verificare se il corpo rimane fermo sul piano inclinato oppure no. Eseguire i calcoli per: A=20 m/s 2, k=6.7 m/s3,
θ=30°, µs=0.3, µd=0.2.
L’accelerazione cui è soggetto il corpo è:
a(t) = -g (senθ + µd cosθ) + A – kt. Imponendo che la velocità si annulli all’istante t*, si ottiene
v(t*) =
= -g (senθ + μd cosθ)t* + At* - kt*2/2 = 0 da cui t* = 4 s.
Il corpo resta fermo se fa,max> mg senθ, cioè μs mg cosθ > mg senθ e quindi se tg θ < μs. Essendo
tg θ = 0.58, il corpo torna indietro.
Esercizio n. 2 Un disco di raggio R e massa M, posto orizzontalmente, può ruotare senza attrito
intorno ad un asse verticale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco, parallela ad esso, è fissata
una molla di massa trascurabile e costante elastica K, compressa di Δl, che collega due corpi di massa
m1 e m2. Il sistema è inizialmente fermo. Ad un certo istante la molla viene sbloccata, la massa m1 resta
attaccata al disco, mentre la massa m2 viene lanciata con una velocità v2, tangente al disco. Calcolare v2
e la velocità angolare ω del sistema disco + massa m1. Eseguire i calcoli per: M=0.7 kg, m1=100 g,
m2=50 g, R=50 cm, K=1000 N/m, Δl=20 cm.
m2
m1
R
Si conservano l’energia e il momento angolare totale. Quindi:
Iω2 + m2v22 = k Δl2
Li = Lf = 0
dove I = Idisco+ Im1 = MR2 + m1R2 = 0.11 kgm2
con Lf = -Iω + m2v2R = 0
Sostituendo, si ottiene ω = 6.1 s-1
da cui v2 =
e v2 = 26.8 m/s
e
Esercizio n. 3 Un automobilista procede alla velocità va mentre sulla carreggiata
opposta si avvicina una macchina della polizia che viaggia alla velocità vp. La distanza
tra le due carreggiate è pari a d e la sirena dalla polizia emette onde sonore alla
frequenza . Determinare la frequenza del suono udito dall’automobilista nell’istante in
cui le due auto distano tra loro in linea d’aria L. Eseguire i calcoli con va = 100 km/h,
vp = 150 km/h,  = 800 Hz, d = 10 m, L = 20 m. Si assuma la velocità del suono
vs = 340 m/s.
 '
vp
L
d
va
v s  v a cosarcsind L 
 958Hz
v s  v p cosarcsind L 
Esercizio n. 4 Una macchina frigorifera irreversibile scambia un calore Q1 con una sorgente a temperatura T1 e un calore
Q2 con una sorgente a temperatura T2. Il lavoro necessario al suo funzionamento è fornito da una espansione adiabatica
reversibile di n moli di gas perfetto biatomico dalla stato A (TA, VA) allo stato B (TB, VB). Calcolare l’efficienza della
macchina e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. Eseguire i calcoli per: |Q 2|=76.6 kJ, T1=275 K, T2=295 K,
n=2.5, VA=0.06 m3, TA=400 K, VB=0.15 m3.
Il lavoro fornito alla macchina è W ad= - ΔU = ncv (TA – TB) = 6.4 103 J
con
TB = TA (VA/VB)γ-1 = 277 K
Quindi, il calore che la macchina assorbe dalla sorgente fredda T1 sarà
Q1 =
-
= 70.2 kJ
e
= 11
La variazione di entropia dell’universo è solo quella delle sorgenti, quindi:
ΔSU =
-
= 4.4 J/K
FISICA GENERALE I
1° Appello febbraio A.A. 2010-2011
08.02.2012
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
 9 crediti
 10 crediti
 12 crediti
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è appoggiato, inizialmente in quiete, nel punto A di
L
una guida liscia composta (vedi figura) da un tratto orizzontale AB di lunghezza L seguito da un m
B
tratto di circonferenza di raggio R posto nel piano verticale. Nel centro O del tratto circolare è A
R
fissato un estremo di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, avente l’altro
O
estremo fissato alla massa m. Determinare
1) la velocità con cui la massa giunge in B
2) il punto in cui la massa si stacca dalla guida, individuato tramite il valore dell’angolo α in
figura
Effettuare i calcoli per L= 10 cm, k= 5.88 N/m, R= 15 cm, m= 100 g.
Nel tratto AB
1 2 1 2 1
mvB  kR  k ( L2  R 2 )
2
2
2

vB 
k
L  0.77 m / s
m
Nel tratto circolare il distacco avviene nel punto P in cui si annulla la reazione vincolare. La legge di Newton proiettata
nella direzione radiale è allora
mvP2
kR  mg cos  
R
Dove per la conservazione dell’energia (considerando,l’origine della quota in O) :
1 2
1
mvP  mgR cos   mvB2  mgR
2
2
Sostituendo per mvP2 e mvB2 le espressioni che si ricavano dalle precedenti equazioni
kR2  mgR cos   kL2  2mgR1  cos  
cos  


2
k

R 2  L2
3 3mgR




3
Esercizio n. 2 Ad un solido conico di altezza h, raggio alla base R e momento di inerzia assiale I,
inizialmente fermo, è applicato un momento parallelo all’asse (z) del cono che varia nel tempo
secondo la legge Mz(t)= At3/2. Calcolare di che angolo è ruotato il solido al tempo t*. Determinare
inoltre la massa volumica (densità) del solido.
Effettuare i calcoli per h= 20 cm, R= 5 cm, I= 1.2 10-3 kg m2, A= 0.01 Kg m s-1.5, t*= 0.8 s.
L’equazione del moto è
I
d
 M z  At 3 / 2
dt
che integrata dà
 (t ) 
t
A 3/ 2
2A 5/ 2
t dt 
t

I 0
5I

 (t ) 
t
2A 5/ 2
4A 7 / 2
t dt 
t

5I 0
35I

 (t*)  0.44 rad
Per calcolare la massa volumica si può sfruttare la conoscenza di I, che può essere calcolato suddividendo il cono in
dischetti orizzontali di altezza dz e raggio (vedi figura) r= z senα (z essendo la .quota a partire dal vertice e α la
semiapertura del cono) Allora
1 2
1
1
r dm  r 2  r 2 dz  z 4 sen 4  dz
2
2
2
da cui
h
1
1
h5
1
1
I   z 4 sen 4  dz  sen 4 
  h h 4 sen 4   h R 4
2
2
5 10
10
0
e
10 I
  4  3056 kg / m 3
R h
dI 
z
Esercizio n. 3 Due sorgenti puntiformi di onde sferiche, S1 e S2, della stessa potenza W,
sono poste a distanza D tra loro. Nel punto P, posto sulla congiungente le due sorgenti a
distanza L da S1 (vedi figura), si misura un’intensità I1 quando è accesa solo S1, e I2
quando è accesa solo S2. Determinare i valori di D e W.
Effettuare i calcoli per L= 4 m, I1= 100 W/m2, I2= 60 W/m2.
L
D
S2
S1
P
Per S1 e S2 rispettivamente l’intensità dell’onda sferica in P vale
I1 
W
4L2
W
2
4 L  D 
I2 
;
e si ricava
W  4L2 I1  20.1 kW
I 2  I1
L2
L  D 2
da cui

I 
D 2  2 LD  L2 1  1   0
 I2 
Risolvendo
 I

D  L  1  1  1.16 m
 I2

Esercizio n. 4 Un recipiente (vedi figura) complessivamente isolante è diviso in due parti (A e B) da
un setto fisso e termicamente conduttore. La parte di sinistra (A) è chiusa da un pistone mobile e
isolante. Nello stato di equilibrio iniziale in A sono contenute n moli di un gas perfetto biatomico,
mentre in B c’è una miscela di ghiaccio e acqua. Ad un certo istante il volume del gas in A viene
bruscamente dimezzato compiendo attraverso il pistone un lavoro esterno L, dopodiché il pistone
viene bloccato ed il sistema si porta allo stato di equilibrio finale. Sapendo che alla conclusione del
processo non tutto il ghiaccio presente in B si è sciolto, determinare
1) la massa m di ghiaccio che si è sciolta in B (calore latente di fusione λ) all’equilibrio finale
2) la variazione di entropia del sistema.
Effettuare i calcoli per n= 1.5, L= 5000 J, λ= 80 Cal/Kg.
A
B
Il gas in A compie una compressione adiabatica irreversibile seguita da una isocora che lo riporta alla temperatura iniziale
T0. In totale quindi per il gas
U A  0  QA  LA  QA  L

QA  L
Allora considerando l’intero sistema A+B, ed essendo il recipiente adiabatico
QA  QB  0

QB  QA  L
e siccome QB è utilizzato per sciogliere la massa m di ghiaccio, e quindi QB=mλ :
m
QB


L

 15 g
Infine per la variazione di entropia si può sostituire alla effettiva trasformazione compiuta dal gas in A una isoterma
reversibile :
S  S A  S B  nR ln
Vf
Vi

m
L
 nR ln 2 
 9.7 J / K
T0
T0
II Appello
Cognome
Voto
Fisica Generale I
Nome
22.02.2012
n. matricola
Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di
lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura).
Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale.
Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad
un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il
filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla
quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro
completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione.
L
O
m
d
O’
La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si
ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al
perno:
mv12
 mg  0
(Ld )
Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre:
1 2
mv1  mg L  2( L  d )  0  v12  2 g( 2d  L )
2
da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene:
d
3
L  60 cm
5
Esercizio n. 2. Una massa puntiforme di valore 3m è attaccata ad un estremo di
una sbarretta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Inizialmente il sistema è
fermo in assenza di forze esterne. Una seconda massa, di valore m, viaggia con
velocità v0 in direzione ortogonale alla sbarretta (vedi Figura). Ad un certo istante
la massa m urta contro l’estremità libera della sbarretta e vi rimane attaccata.
Determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema
rigido dopo l’urto. Eseguire i calcoli con L = 40 cm e v0 = 2 m/s
y
L
x
3m
v0
m
Dalla conservazione della quantità di moto si ha:


mv0  4mvCM

1
 vCM  v0  ( 0.5 m / s ) û y
4
Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L
Dalla conservazione del momento della quantità di moto p.e. rispetto al punto inizialmente occupato da 3m,
considerando l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha:
2
 3 
 1 
L
mv0 Lû z  4 mvCM  û z  m f  L   3m f  L 
4
4 
4 
quindi in senso antiorario.
2

v
  f  0 û z  ( 5 rad / s )û z
L
Esercizio n. 3
Si consideri un tubo di lunghezza 2L, avente sezione S1 per metà
della sua lunghezza e sezione S2 per l’altra metà (vedi figura).
Nel tubo, munito di due tubi piezometrici, scorre un fluido
incomprimibile di densità ρ. In corrispondenza della strozzatura è
presente un emettitore E di onde sonore, mentre alle due
estremità del tubo sono posti due rivelatori R1 e R2 . Sapendo che
nel primo tratto la velocità del fluido è pari a v1 e che nei due tubi
piezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote
h1 e h2 rispettivamente, si calcoli la velocità v2 del fluido nella seconda parte di tubo. Si calcoli inoltre la
differenza tra tempi impiegati dall’onda generata dall’emettitore per giungere ai due rivelatori. Si trascurino le
dimensioni di E, R1 e R2 e si eseguano i calcoli numerici con: L = 70 cm, v1 = 2 m/s, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm,
velocità del suono nel fluido vs = 1500 m/s
Dall’equazione di Bernoulli
1
2
1
2
gh1  v12  gh2  v22
Da cui si ottiene
v2  v12  2 g( h1  h2 )  2.8 m / s
I tempi impiegati dall’onda per raggiungere i due rivelatori sono rispettivamente
t1 
L
;
vs  v1
t2 
Da cui t1  t2  L
L
vs  v2
v1  v2
 1.5  106 s
( vs  v1 )( vs  v2 )
Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre
seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica
reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara
reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU .
Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J .
Nelle prime due trasformazioni si ha:
U AB  0

QBC  0

TA  TB

WBC  U BC  ncv ( TB  TC )  ncv ( TA  TC )
Per calcolare SU , essendo per l’intero ciclo Sgas = 0, si ha:
T 
SU  Samb  SCA  nc p ln  A   91 J / K
 TC 

TC  TA 
WBC
 1289 K
ncv
p
A
C
B
V
FISICA GENERALE I
1° Appello estivo A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
 9 crediti
 10 crediti
 12 crediti
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa
M (vedi figura) che si sta muovendo con velocità v su un piano orizzontale liscio e senza attrito. Il punto materiale è fermo
rispetto alla slitta e quindi si muove rispetto al piano con la stessa velocità della slitta. Fra punto materiale e piano della
slitta vi è un coefficiente di attrito statico s. Ad un certo istante la slitta colpisce l’estremo di una molla orizzontale di
costante elastica k fissata ad un vincolo che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di k
affinché il punto materiale m resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione.
m
Effettuare i calcoli per M = 2.8 kg, m = 0.2 kg, s = 0.6, v = 20 m/s.
M
k
v
Nell’ipotesi che m non si muova rispetto a M, la frenata produce una compressione massima della molla:
1
M  mv12  1 k x 2  x  M  m  v1
2
2
k
A cui corrisponde una decelerazione massima per il sistema M+m:
a
Fel
M m

kx

M m
k
 v1
M m
sempre affinché m resti fermo rispetto a M :
ma   s mg
k
 m
 v1   s mg
M m
2
 g
 k   s  M  m   0.26 N/m
 v1 
Esercizio n. 2 Un cilindro omogeneo di massa m1 = 2 kg e raggio R = 10 cm, in moto di
m1
pura rotazione intorno al proprio asse con velocità angolare 0= 5 rad/s, viene

C
appoggiato su una lunga e sottile tavola scabra di massa m2 = 1 kg inizialmente in quiete
R
su una superficie piana orizzontale liscia. Quando cessa lo slittamento del cilindro
m2
rispetto alla tavola si osserva che quest’ultima si muove con velocità v2 = 0.2 m/s
rispetto al piano. Determinare la velocità angolare del cilindro quando cesserà lo
slittamento rispetto alla tavola.
Per un osservatore inerziale il sistema cilindro+tavola presenta il risultante delle forze esterne e il momento risultante di tali
forze ambedue nulli, quindi si conservano costanti, per un osservatore fisso esterno, la quantità di moto:
0
m1v1  m2 v2  v1 
m2
v2  0.1 m/s ;
m1
e il momento angolare totale rispetto a qualsiasi polo fisso, in particolare a qualsiasi punto del piano:
(*)
m1 R 2
I C 0  m1v1 R 
f
2
m1 R 2
m R2
0  m1v1 R  1  f .
2
2

 f  0  2
v1
 3 rad/s
R
Al primo membro il momento angolare iniziale è solo quello rispetto a C, risultando il centro di massa del cilindro fermo,
mentre a secondo membro il momento angolare è espresso come somma di quello del centro di massa C del cilindro più
quello rispetto al centro di massa C..
Alternativamente, la velocità angolare finale è:
f 
 m 
v1  v2
 v1 1  1  / R
R
 m2 
f 
0 (m1  m2 )
= 3 rad/s.
m1  3m2
v1 
R f
che, sostituita nella (*) dà
m1
1
m2
Esercizio n. 3 In una fontana ornamentale il getto d’acqua è prodotto da un tubo orizzontale di sezione S = 1 cm2 con un
gomito orientato verticalmente verso l’alto. Sapendo che l’acqua entra nel tubo alla pressione di 1.3 atm con una portata
volumetrica Q = 0.4 litri/s e che il gomito ha sezione pari a quella del tubo ed altezza trascurabile, si calcoli l’altezza
massima a cui arriva l’acqua. Si assuma che il getto verticale di acqua in aria sia il prolungamento del tubo di flusso.
h
S
Si può applicare il teorema di Bernoulli fra un punto qualsiasi del tubo orizzontale, dove p = p1 e v = v1, e il punto di
massima altezza dove p = p0 pressione atmosferica e v = 0
p1 
1 2
v1  p0  gh
2
D’altra parte v1 
h 
Q
S
quindi:
p1  p0
1 v2
p  p0
1 Q2
 0 1  1
 0 2  3. 91 m
g
2 g
g
2 S g
Esercizio n. 4 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K. La
variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K.
a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo.
In una seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di
una macchina frigorifera di efficienza frigorifera ɛ = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede
all’ambiente.
b) Calcolare la quantità m di ghiaccio prodotta per ciclo. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g.
Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili:
 REV   C  1 
T1
T T
T
L
 2 1 

T2
T2
T2
Q2
Per la macchina frigorifera:
 
Qass
L
per cui: m 

Qass
sol
Qass  L 

L
sol
 0.25 kg
 L 
Q2
T  S 2 T  S1 T  16740 J
T2
FISICA GENERALE I
A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
 12 Crediti
 10 Crediti
Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a
un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel
piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale?
Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto la velocità deve essere v B2  gl . Detto A il punto di
partenza dalla conservazione dell’energia si ha
1 2 1 2
mv A  mvB  2mgl
2
2
Da cui v A  5gl  6,06 m/s.
La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2  3gl cui corrisponde una tensione del filo
TD  m
v D2
 3mg  1,18 N.
l
Esercizio n. 2 Intorno ad una puleggia cilindrica di raggio R, libera di ruotare
intorno al suo asse orizzontale, è avvolta una fune ideale con appeso ad un capo un
corpo di massa m = 5.0 kg. Una sbarra omogenea di lunghezza L = 40 cm e massa
MS, formante un angolo  = 30° rispetto all’orizzontale, è appoggiata sulla
puleggia (senza intralciare la corda) in un punto posto a distanza h = 28 cm
dall’estremo della sbarra che è incernierato in O (vedi figura). Nell’appoggio tra
sbarra e puleggia si sviluppa un attrito statico con s = 0.5. Determinare il minimo
valore della massa della sbarra MS affinché la puleggia rimanga in equilibrio
statico.
L, MS
h

R
m
Se indichiamo con fs il modulo della forza di attrito che agisce sulla puleggia a causa dell’appoggio della sbarra, la
puleggia sarà in equilibrio statico quando il momento risultante delle forze rispetto all’asse della stessa che agiscono
su di essa è nullo. E cioè quando:
RT – Rfs = 0 con T = mg essendo il sistema in equilibrio statico e quindi abbiamo: fs = mg
d’altra parte, l’equilibrio statico della sbarra impone che anche la risultante dei momenti delle forze rispetto al suo
estremo fisso O sia nulla, e cioè:
L
M S g cos  Nh con N la reazione normale determinata dall’appoggio sulla puleggia.
2
Deve essere quindi: f s  mg   s N   s
L
M S g cos
2h


2h 
 m  16.2 kg
M S  

L
cos

 s

O
Esercizio n. 3 Due corde tese, rispettivamente di lunghezza L1=52 cm e L2=48 cm, sono entrambe vincolate ai propri
estremi. La velocità delle onde trasversali nelle due corde ha lo stesso valore v. Sapendo che quando le corde sono fatte
vibrare secondo la loro oscillazione fondamentale viene prodotta un’ampiezza risultante con un battimento alla frequenza
fb = 4 Hz , a) calcolare il valore della velocità v. Inoltre: b) calcolare quale dovrebbe essere la lunghezza L’2 affinché la
frequenza di battimento sia f’b = 6 Hz.
1  2 L1 
v
 1 
1
v 1
v
2 L1
1
 b   2   1    
2  L2 L1 
v 1
1
 
2  L' 2 L1 
 b   2  1   
 2  2 L2 
;
v  2 b

v
2
 2 
v
2 L2
L1 L2
 50 m/s
L1  L2


L'  46.2 cm
v
 L1   2 a
 L' 2  
L' 2b  59.4 cm
 v  2 b L1 
Esercizio n. 4 Un cilindro adiabatico chiuso da un pistone mobile anch’esso adiabatico, è diviso a metà da una parete
diatermica fissa. Il volume di ciascuna parte è pari a V0 ed entrambe le metà sono riempite con un gas ideale monoatomico
a pressione atmosferica e temperatura iniziale T0. Il pistone mobile comprime il volume del gas nella parte A con una
trasformazione quasi statica fino a quando la pressione nella parte B diventa pB. Determinare, nella situazione finale di
equilibrio: 1) la variazione d’entropia del gas in B; 2) quella del gas in A; 3) il volume finale della parte A. Si eseguano i
calcoli con: V0 = 0.03 m3, T0 = 0 °C pB = 2 p0.
A
A
B
Per la parte A possiamo considerare una generica trasformazione reversibile, per cui:
 Tf
S A  ncv ln 
 T0

V 
  nR ln  A 
 V0 

(1)
d’altronde:
S A  S B  0
 Tf
S B  ncv ln 
 T0
 S A   S B quindi:

T
 e T f  0 2 p0  546.3 K
p0

perché isocora, mentre: n A  nB 
quindi
S A  
 Tf
p0V0
cv ln 
RT0
 T0
ma dalla (1) è anche:

   11.4 J/K

V 
S A   S A  nR ln  A 
 V0 
ovvero:
V A  V0 e
2 ΔS A
nR
 0.12  V0  3.7  10 3 m 3

V 
2S A
 ln  A 
nR
 V0 
p0V0
 1.33
RT0
FISICA GENERALE I (A)
Cognome
Corso di Studi
9 crediti
A.A. 2011-2012
Nome
18 Luglio 2012
n. matricola
Docente
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1
La cabina di un ascensore, di altezza h, si muove verso l’alto con velocità va . Ad un certo istante comincia ad
accelerare nello stesso verso con accelerazione costante aa . In quello stesso istante una m massa puntiforme si stacca
dal soffitto con velocità nulla rispetto all’ascensore. Calcolare : A) il valore minimo della forza vincolare che
impedirebbe il distacco; B) il tempo necessario alla massa per raggiungere il pavimento dell’ascensore; C) lo spazio
percorso dalla massa, rispetto ad un osservatore esterno fisso, in quello stesso intervallo di tempo. Eseguire i calcoli
con: m=100 g va= 2 m/s ; aa= 2m/s2 ; h=2.5m.
Nel S.R. non inerziale solidale con l’ascensore:
A) la forza vincolare R dovrebbe essere in grado almeno di controbilanciare la forza peso e quella fittizia (-maa) ;
R=m(g+aa)  1.18N
B) ar= aass – at ; proiettando verso il basso: ar= g+ aa ; h= ½ artc2 ; tc = 0.65 s.
C) verso il basso: yass = vo ass tc + ½ gtc2 = -vatc + ½ gtc2 = 0.78 m.
Esercizio n. 2 Una sbarretta AB, di lunghezza L ha densità lineare di massa ρl=αx2, crescente
A
dall’estremo A verso l’estremo B. Essa giace in quiete su un piano orizzontale liscio e, ad un
v1
certo istante, i due estremi A e B vengono urtati in modo completamente anelastico da due
corpi puntiformi di massa m1 e m2 con velocità v1 e v2, perpendicolarmente alla sbarretta.
m1
Determinare il valore di v1 affinchè, dopo l’urto, il sistema abbia solo moto di traslazione e
calcolare la variazione di energia cinetica del sistema nell’urto.
Eseguire i calcoli per: L=1.2m, α=1.39kg/m3, m1=0.1kg, m2=0.6kg, v2=4m/s.
B
v2
m2
Sistema isolato: si conservano la quantità di moto totale e il momento angolare.
m1v1+ m2v2 = (m1+m2+M)vCM
dove M è la massa della sbarretta.
Li=Lf , quindi, imponendo che non ci sia rotazione dopo l’urto e prendendo come polo il centro di massa del sistema si
ha:
1) m1v1xCM - m2v2 (L-xCM) = 0
con
dove xCM=(M xCMsbarretta+ m1x1 +m2x2)/ (m1+m2+M) = 0.96m dall’estremo A
xCMsbarretta =
Sostituendo nella 1), si ottiene v1 = 6m/s
=
= 0.9m
e M=α
= 0.8kg
da cui vCM = (m1v1+ m2v2)/(m1+m2+M) = 2 m/s
ΔK = = (m1+m2+M)vCM2/2 - ( m1v12+ m2v22 )/2 = -3.6 J
FISICA GENERALE I (B)
A.A. 2011-2012
18.7.2012
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Una particella puntiforme si muove sotto l’azione di una forza la cui energia potenziale è descritta dalla
funzione U(x)=Ax2+Bx. Determinare l’espressione della forza e la posizione del centro delle oscillazioni. Sapendo inoltre
che l’energia meccanica della particella è pari ad E m, calcolare le posizioni dei punti estremi dell’oscillazione. Eseguire i
calcoli per: A=4J/m2, B=-2J/m, Em=30J.
- (2Ax +B) N = (-8x +2) N forza elastica + forza costante.
Il centro delle oscillazioni corrisponde alla posizione di equilibrio statico, cioè dove U ha un minimo (F(xeq)=0)
-8xeq + 2 = 0
da cui xeq = 0.25m
Agli estremi (inversione) l’energia cinetica è nulla, quindi uguagliando l’energia potenziale agli estremi dell’intervallo
all’energia meccanica, si ottiene
U(x1, x2) = Em = (4x2-2x)J e quindi x1=-2.5m e x2=3m
Esercizio n. 2
Un disco di massa m e di raggio R, sale lungo un piano inclinato (= 30°), in condizioni di puro
rotolamento, condotto dalla forza costante F , orientata ed applicata come in figura. Determinare:
A) modulo, direzione e verso dell’accelerazione del centro di massa del sistema; B) modulo,
direzione e verso della forza di attrito necessaria per mantenere il puro rotolamento; C) il minimo
coefficiente di attrito necessario per mantenere il puro rotolamento. Eseguire i calcoli con m=500 g
e F= 5N .
F
R/2
R

F
Ipotizzando una forza di attrito lungo il piano verso l’alto, la prima equazione cardinale proiettata
lungo tale direzione e verso:
F + Fa – mg Sin () = mac
La seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa e proiettata lungo un asse entrante nel
piano del foglio, con la condizione del puro rotolamento: FR/2 - FaR= ½ mR2 ac/R

Dalle due si ottiene: A) ac= F/m - g/3  6.7 m/s2 , positiva quindi lungo il piano verso l’alto;
B) Fa =mg/6  0.82 N, positiva quindi lungo il piano verso l’alto
C) Fa  sRn ; s Fa/mg Cos() 0.19
Esercizio n. 3 Una sorgente di onde sonore S, posta in un mezzo di densità , emette, come in
figura, onde lungo l’asse x di velocità v, lunghezza d’onda  e ampiezza A. Le onde emesse nel verso
negativo vengono riflesse da una parete O distante D dalla sorgente e vanno a sovrapporsi con quelle
emesse nel verso positivo. Se le onde riflesse mantengono la stessa ampiezza di quelle incidenti,
calcolare , in un generico punto P in cui avviene la sovrapposizione: A) il valore di D affinché in P
risulti il primo minimo di interferenza; B) il valore dell’intensità dell’onda risultante in P quando la
sorgente viene spostata di una distanza d, verso la parete, rispetto alla posizione a distanza D
calcolata nel caso precedente. Eseguire i calcoli con : A= 0.2 mm; = 12.56 mm ; v = 25.1 m/s ; = 1
g/cm3; d= 1.57mm .
Fa
mg
O
d
S
P
D
A) Per avere il primo minimo deve risultare /2= (k2D)/2 = π/2 con k=2π/λ da cui D=λ/4 = 3.14 mm
B) Essendo AT =2ACos k(D-d) = 2ACos(π/4) = 0.28 mm e ω=kv=12.55 103 rad/s
si ottiene I= ½  2 AT2 v = 155 kW/m2
x
Esercizio n. 4 Un recipiente con pareti adiabatiche, chiuso da un pistone mobile di massa trascurabile anch’esso adiabatico,
contiene n moli di gas ideale monoatomico inizialmente in equilibrio a pressione atmosferica e a temperatura T A. Quindi,
attraverso la base diatermica, viene posto in contatto con una sorgente realizzata da una miscela di acqua e ghiaccio,
anch’essa a pressione atmosferica. Raggiunto nuovamente l’equilibrio, si osserva che si è sciolta una massa di ghiaccio m 1.
Successivamente, sempre in contatto con la sorgente, il gas viene compresso molto lentamente finchè il volume si riduce
alla metà. Calcolare la massa totale di ghiaccio che si scioglie e la variazione di entropia del sistema gas+sorgente. Eseguire
i calcoli per: n=2, TA=500K, λfus=3.33·105J/kg.
I trasformazione: isobara
Qp=ncp (T0-TA) calore scambiato dal gas e
m1=
= 28g quantità di ghiaccio sciolto durante l’isobara
II trasformazione: isoterma Qisot. = nRT0 ln(Vf/Vi) = nRT0 ln0.5 calore scambiato dal gas e
m2=
= 9.4g
quantità di ghiaccio sciolto durante l’isoterma
mtot=37.4 g
=
ΔStot= 9 J/K
FISICA GENERALE I
A.A. 2011-2012
03 Settembre 2012
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
9
crediti
10 crediti
12 crediti
Voto:
Esercizio n. 1 Si calcoli la velocità iniziale v0 da imprimere ad una massa puntiforme m se si vuole che essa,
muovendosi sotto l’azione di una forza di resistenza viscosa all’avanzamento esprimibile come F = -kv , riesca a
coprire una distanza L in un tempo t* .
Determinare poi il valore che dovrebbe avere v0 perché L sia la distanza di arresto.
Si effettuino i calcoli per m= 200 g, k= 0.1 Ns/m, L= 20 m, t*= 3 s.
L’equazione del moto fornisce:
La distanza percorsa nel tempo t* è quindi:
da cui si ricava facilmente
L sarà la distanza di arresto se t*→∞, il che corrisponde a
Esercizio n. 2 Un cubo di legno di lato L e massa M è appoggiato sul bordo di un
tavolo, sporgendo per 1/3, ed è incernierato allo spigolo del tavolo un modo da poter
ruotare attorno ad esso, senza traslare (vedi figura). Sulla faccia superiore del cubo si
muove a velocità costante v0 un punto materiale di massa m. Tra il punto materiale e il
cubo esiste un coefficiente di attrito μ, e per t= 0 la massa m si trova sul bordo sinistro del
cubo.
Determinare in quale istante il cubo inizia a ruotare.
Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, M= 0.2 kg, v0= 0.1 m/s; m= 0.1 kg, μ= 0.7.
m
Cubo
Tavolo
Preso come polo un punto O dello spigolo del tavolo (preso come asse orientato verso l’interno del foglio), la
rotazione inizierà appena il momento MO delle forze applicate al cubo sarà positivo.
Detta x= v0t la posizione di m sulla faccia superiore del cubo la condizione di inizio moto sarà allora:
da cui
Esercizio n. 3 Un’ambulanza si dirige a sirene spiegate verso un incrocio a velocità
costante v1, emettendo un suono di frequenza E . Un’automobile si dirige, anch’essa a
velocità costante v2, verso lo stesso incrocio lungo una strada perpendicolare a quella percorsa
dall’ambulanza. Se ad un istante t0 l’ambulanza e la vettura distano dall’incrocio L e 2L
rispettivamente, quale deve essere la velocità v2 affinché il conducente dell’automobile possa
percepire il suono della sirena a frequenza sempre costante e quanto vale tale frequenza ?
Effettuare i calcoli per v1= 15 m/s, νE= 3000 Hz, v= 343 m/s (v è la velocità del suono in
aria).
Secondo la formula dell’effetto Doppler la frequenza rilevata, detto θ l’angolo
riportato nel disegno:
Automobile
Ambulanza
Automobile
θ
Ambulanza
e quindi è costante se e solo se è costante θ. Questo implica cha la congiungente ambulanza-automobile
abbia sempre la stessa inclinazione. Questo è possibile solo se
D’altra parte per t= t0 è facile vedere dal disegno che
e quindi
Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico compiono il ciclo reversibile in p
figura, costituito da una compressione isobara AB in cui il volume dimezza rispetto a
quello iniziale VA, una trasformazione BC di equazione p= aV, e una isocora CA.
Calcolare il rendimento del ciclo.
Eseguire i calcoli per a= 107 Pa m-3, VA= 20 l, TA= 120.5 K
C
B
A
V
Trattandosi di un ciclo QTOT= LTOT, e il lavoro totale può essere calcolato geometricamente dall’area del ciclo,
sfruttando il fatto che pC= aVC= aVA:
Il rendimento è η= 1+QCED/QASS. Il calore è ceduto nelle trasformazioni AB e CA e assorbito in BC, quindi
Rimangono da calcolare TB e TC:
Si ricava allora
P.S. Il dato TA è ridondante e fornito per semplicità di calcolo.
FISICA GENERALE I - A
Cognome
Corso di Studi
Voto:
Esercizio n. 1
A.A. 2011-2012
19 Settembre 2012
Nome
Docente
9 crediti
n. matricola
10 crediti
12 crediti
Un’automobile di massa M frena, a partire dalla velocità iniziale v0, fino ad arrestarsi. Sapendo che a causa del
riscaldamento dei dischi la forza frenante diminuisce con la distanza percorsa (calcolata dal punto in cui inizia la
frenata) secondo la legge F(x)= F0exp(-kx), determinare la distanza di arresto. La vettura si arresterebbe per qualsiasi
valore di v0 ? Perché ? Eseguire i calcoli per: M= 1000 kg, v0= 20 m/s, F0= 8000 N, k= 0.03 m-1.
(Suggerimento: nella soluzione si utilizzi il teorema del lavoro e dell’energia cinetica)
Dal teorema del lavoro (della forza di attrito Fa= -F(x)) e dell’energia cinetica:
Da cui si ricava facilmente
La distanza di arresto diverge per
Esercizio n. 2 Una sbarra lunga L è inizialmente tenuta poggiata ad una parete inizialmente
in posizione verticale. Quindi essa viene liberata e le sue estremità iniziano a scivolare
vincolate e senza attrito su parete e pavimento rispettivamente (vedi figura). Si calcolino
modulo direzione e verso della velocità finale vCM,f del centro di massa della sbarra e della
velocità angolare f di quest’ultima nel momento in cui arriva a terra in posizione orizzontale
( = 0). Effettuare i calcoli per L = 1 m .
rCM 
L(cos  i  sen j)
;
2
v CM 
L ( sen i  cos j)
2
Nella posizione finale dalla conservazione dell’energia meccanica:
1
1 2
mgL
mL2
L
2
I C f  mv CM f 
; IC 
; v CMf   f
2
2
2
12
2
con verso uscente dal foglio e
diretta verso il basso.
y

O
x
Esercizio n. 3 Una granata di massa M è inizialmente ferma nel punto P0 di coordinate (0,h) , sulla verticale
dell’origine O= (0,0) di un sistema di riferimento xy . M esplode in tre frammenti di masse m1 , m2 ed m3. Sapendo che
i tre frammenti subito dopo l’esplosione hanno tutti velocità parallela all’asse x e che le masse m1 ed m2 cadono al
suolo nei punti P1 e P2 rispettivamente, determinare il punto di caduta P3 della massa m3 e l’energia totale sviluppata
nell’esplosione. Trascurare la resistenza dell’atmosfera. Eseguire i calcoli per: M= 20 kg, m1= m2= M/4, P1= (40,0) m,
P2= (20,0) m, h= 10 m.
Per la conservazione della quantità di moto il centro di massa del sistema rimane sempre sulla verticale di O. Ne
consegue :
mx
i
i i
 0;
M
M
M
1
x1  x2  x3  0; x3  - ( x1  x2 )  30m
4
4
2
2
Inoltre, dal tempo di caduta tc=(2h/g)1/2= 1.43 s e dalle distanze orizzontali percorse si possono ricavare le velocità
dei tre frammenti subito dopo l’esplosione; dato che nel piano orizzontale non agisce alcuna accelerazione, risulta:
v1 
x
x1
x
 28 m / s ; v 2  2  14 m / s ; v 3  3  21 m / s ;
tc
tc
tc
e di conseguenza l’energia liberata E 
1
m v 2  4665 J

1 i i
2
Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico vengono portati dallo stato termodinamico A allo
stato B mediante una espansione libera. Il gas viene poi portato in uno stato C tramite una compressione
adiabatica irreversibile in cui il gas compie un lavoro WBC . Infine, il gas ritorna allo stato iniziale A tramite
una trasformazione isobara reversibile. Determinare la variazione di entropia dell’universo nel ciclo.
Effettuare i calcoli con TA = 300 K e WBC = −2×103 J
Espansione libera AB:
Adiabatica irreversibile
WBC  U BC  ncV (TB  TC )  ncV (TA  TC ) ; TC  TA  WBC / ncV  348.1 K
Per quanto riguarda la variazione di entropia dell’universo, si ha:
Q
T
J
  nc p ln A  8.65
T
TC
K
TC
TA
ΔSU  ΔS gas  ΔS amb   
FISICA GENERALE I (B)
Cognome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2011-2012
Nome
19.09.2012
n. matricola
Docente
 9 Crediti
 10 Crediti
Esercizio n. 1 Su un piano orizzontale sono posti due piattelli sovrapposti di
uguale massa m= 0,5 kg e connessi tra loro mediante una molla di costante elastica
k. Se dalla configurazione di equilibrio stabile la molla viene compressa
ulteriormente di un tratto mg/k (con g accelerazione di gravità) e poi lasciata libera,
determinare i valori minimo e massimo della reazione vincolare offerta dal piano
durante il moto oscillatorio verticale del piattello superiore.
  12 Crediti
Rispetto alla configurazione indeformata all’equilibrio statico la molla risulta compressa di un tratto mg/k.
Intorno a tale posizione il piatto superiore oscillerà con un’ampiezza determinabile dalla posizione e velocità
iniziale della massa:
A  (lO  l EQ ) 2  ( / v O ) 2  mg / k
Pertanto al massimo la molla sarà compressa di 2mg/k, comunicando al piattello inferiore una spinta verso il
basso pari a 2mg.
In tali condizioni l’equazione della dinamica del piatto inferiore (sempre fermo) proiettata lungo l’alto sarà:
RNMax-mg-Fel=0 ; quindi ma pari a RNMax =3mg = 14,7 N.
Quando il piattello è nel punto più alto del suo moto armonico verticale la molla risulta indeformata e quindi il
piano fornirà un valore minimo della reazione di contatto pari al solo peso del piattello inferiore R Nmin = mg =
4,9 N.
Esercizio n. 2 Ad una ruota omogenea di massa m= 1 kg, raggio R= 0,1 m, inizialmente ferma su un piano
orizzontale scabro col quale presenta un coefficiente di attrito statico s= 0,2, viene applicato un momento
motore assiale crescente linearmente nel tempo M(t)=Bt, con B= 0,2 Nm/s costante. Si determini l’istante tc in
cui il moto cessa di essere di puro rotolamento.
Le equazioni cardinali per un osservatore inerziale solidale con il piano si scrivono
.
F  ma C ;
M Ce  I C ω
Per il puro rotolamento, detta FA la forza d’attrito diretta nel verso del moto, proiettando le precedenti si ha:
x
FA  mxC ; M (t )  FA R  I C   I C C .
R
Ricavando FA dalla seconda e sostituendola nella prima, con I C  mR 2 / 2 , si ottiene
2M (t )
mxC 
3R
Che sostituita nella prima fornisce
2 M (t ) 2 B
FA 

t.
3R
3R
Il puro rotolamento cessa quando FA  FA. max   s mg , cioè per
3R s mg
t c
 1,47 s.
2B
Esercizio n. 3 Su un piano orizzontale liscio sono disposti a riposo due blocchi di
pesi PA = 100 N e PB = 250 N. Se i due blocchi presentano tra loro un coefficiente di
attrito  = 0.4 determinare l’accelerazione relativa di A rispetto a B nel caso che ad
A sia applicata una forza costante orizzontale F = 250 N come in figura.
A
F
B
Poiché F > mAg le due masse presentano un moto relativo.
μmA g
 1.57 m/s 2
mB
F  μmA g
 F  μmA g  a A 
 20.6 m/s 2
mA
Per B si ha (per un osservatore inerziale): μmA g  mB aB  aB 
Per A si ha (per un osservatore inerziale): mAa A
L’accelerazione relativa è: a rel  a A - a B  19.03 m/s 2
Esercizio n. 4 Una macchina termica operatra due sorgenti alle temperature T1 = 550 K e T2 = 320 K con un rendimento
pari alla metà del rendimento massimo ottenibile operando fra le due medesime temperature. Se la quantità di calore
assorbita a ciclo è Q1 = 12 kJ determinare quanti cicli al secondo deve compiere la macchina per fornire una potenza pari a
P = 50 kW.
 
1
1 T
 MAX  1  2
2
2  T1
Q  Q2

L
  1

Q1
Q1

N
L    L , dove N è il numero di cicli eseguiti nel intervallo di tempo t
t
N
P
P


 20 Hz
pertanto:  
t
L
1  T2 
Q1 1  
2  T1 
La potenza è: P 
FISICA GENERALE I
A.A. 2012 - 2013
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Voto:
Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m è inizialmente in quiete su un piano orizzontale con coefficiente di attrito
dinamico d. Alla massa viene applicata all’istante t0 = 0 una forza orizzontale con direzione e verso costanti e il cui
modulo varia nel tempo secondo la legge F = F0cos(kt). Si determini, al tempo : a) la velocità di m; b) il lavoro
compiuto dalla forza di attrito; c) il lavoro compiuto dalla forza applicata F.
m
F
Eseguire i calcoli per:  = 10 s, m = 1 kg, d = 0.2, F0 = 4 N, k = 10-2 s-1.
d
m
Dalla dinamica del punto materiale si ha:

v( )   a(t )dt 
t0
F0 coskt   d mg
F
dt  0 sen(k )   d g  20.3 m/s
m
mk
t0


da cui si ricava lo spazio percorso al tempo :

 s( )   vt dt 
t0
F0
1  cosk   1 d g 2  101.7 m
2
mk
2
e il lavoro della forza di attrito (uniforme):
1
 F

La   Fa dx    d mg  s( )    d mg  0 2 1  cosk    d g 2    199.5 J
2
 mk

0
s
Quindi, dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica:
1
2
La  LF  mv 
2
2

1
1 F

LF  mv 2  La  m  0 senk    d g   La  405.5 J
2
2  mk

Esercizio n. 2 Un blocco di legno di massa M viene lasciato cadere, con
velocità iniziale nulla, da un’altezza h rispetto al suolo. Quando si trova a quota
h/2 viene colpito da un proiettile di massa m che viaggia orizzontalmente con
velocità v. Dopo l’urto il proiettile resta conficcato nel legno. Si determini la
coordinata del punto di impatto al suolo del sistema blocco+proiettile.
Si consideri il blocco di legno e il proiettile come punti materiali.
Eseguire i calcoli per: M = 1 kg, h = 10 m, m = 10 g, v = 800 m/s.
y
M
m v
h
h/2
x
Dopo l’urto col proiettile, per la conservazione della quantità di moto, le componenti della velocità del sistema sono:
 m 
V' x  
  v  7.92 m/s ;
mM
 M 
V' y  
V 
mM
 M 
2 gh/2 
   9.81 m/s
mM
per la componente verticale del moto di caduta del sistema avremo quindi:
Y (t )  
1 2
h
gt  V' y t 
2
2
V' y  V' y   gh
quindi si ricava il tempo di volo dopo l’urto:
2
t*
g
 0.42 s (ovviamente è scartata la soluz. n egativa)
l’impatto avviene a: xC  V' x t *  3.33 m
Esercizio n. 3
Una sbarretta sottile di lunghezza l e massa m è libera di ruotare senz’attrito
sul piano verticale intorno ad un asse fisso orizzontale passante per un suo
estremo O. La sbarretta è inizialmente ferma nella posizione verticale di
equilibrio instabile A (vedi figura). Viene quindi perturbata con velocità
iniziale trascurabile e comincia a ruotare sotto l’azione della forza peso.
Calcolare le componenti della reazione vincolare esercitata dall’asse in O
quando la sbarretta transita nella posizione orizzontale B. Eseguire i calcoli
per m = 10 kg.
A
m
y
l
B
O
x
Dalla prima eq. cardinale per il corpo rigido :



R  mg  maCM
che, proiettata sulla sistema di coordinate rappresentato in figura, quando la sbarretta è in B da’:
l

Rx  maCM x   m 2


2

 R  mg  ma    m l
y
CM y

2

Dalla conservazione dell’energia abbiamo:
1 l2 2
l
m   mg
2 3
2

2  3
g
l

Rx   3m
g l
3
  mg   147.1 N
l 2
2
Dalla seconda eq. cardinale (per i momenti):
l2
l
m   mg

3
2
 
3g
2 l

Ry  mg 
3
1
mg  mg  24. 5 N
4
4
Esercizio n. 4 Per un gas perfetto monoatomico, si calcoli il rapporto tra il
rendimento del ciclo reversibile ABC mostrato in figura (dove A-B è
un’isobara, B-C una isocora e A-C un’adiabatica) e il rendimento di un ciclo
di Carnot funzionante tra la massima e la minima temperatura raggiunta nel
ciclo ABC stesso.
p
A
B
C
VA
Poiché VB = 2VA sull’isobara, è TB = 2TA. Inoltre sull’adiabatica
 -1
 -1
A A
 -1
C C
 TV
TV
 ABC  1 
Carnot
QBC
QAB
T
 1 C
TB
da cui:
 ABC
 Carnot
 0.26
 -1
V 
1
 TC  TA  A   TA  
ovviamente TC  TA
2
 VC 
 -1
3 
 1  
R 2TA  TA  
2


2 
 2  
cV TB  TC 
3  13 
 1
 1
 1
2     0.178
5
c p TB  TA 
5  2 
RT A


2
1
TA  
2
 1  
2TA
 -1
1
 1  
 2

5
 1 3
 1     0.685
2
2VA
V
FISICA GENERALE I (12 CFU)
Cognome
Corso di Studi
Voto:
Esercizio n. 1
A.A. 2011-2012
Nome
Docente
9 crediti
20 Febbraio 2013
n. matricola
10 crediti
12 crediti
Una pallina di massa m si trova su un piano orizzontale liscio, ed è collegata ad un filo
inestensibile di massa trascurabile che, passando attraverso un foro nel piano nel punto C,
con bordi lisci, ha la sua seconda estremità disposta verticalmente alla quale può essere
applicata una forza verticale, come mostrato in figura. La massa ruota inizialmente intorno
al foro con velocità angolare  e raggio L sotto l’azione di un determinato valore della
forza F. Il valore viene quindi progressivamente e lentamente aumentato fino a portare il
raggio del moto circolare della massa a L/2. Determinare: A) il valore della forza nella
condizione finale ; B) Il lavoro che è stato svolto dalla forza per portare il sistema dalla
condizione di moto iniziale a quella finale. Eseguire i calcoli per m = 100 g, L = 50 cm,  =
1 rad/s.
In assenza di alcun attrito, il valore della tensione T=F è uniforme lungo tutto il filo.

C
F
A) Durante l’accorciamento del raggio del moto della massa, tutte le forze a risultante non nulla hanno la retta di
azione che passa per C, per cui si conserva il momento angolare rispetto a tale punto:
2
L
L
quindi :  f  4 . Pertanto : F f  m  2f  8mL 2 = 0.4 N .
mL   m  f
2
4
B)
Il
lavoro
svolto
è
pari
alla
variazione
di
energia
cinetica
della
pallina
:
2
1 L
3
2
L  m(  f - L2 2 )  mL2 2  0.0375 J
2
4
2
In alternativa se si indica con x il raggio variabile della traiettoria del punto, dalla conservazione del momento
L/2
3
mL4 2
angolare: mx2 ( x)  mL2 quindi F(x)=m x ( x) 2 
e
pertanto:
L

 F ( x)dx  mL2 2
3

2
x
L
2
Esercizio n. 2 Una lastra orizzontale, sottile, ruvida, di massa M, può scorrere senza
slittare , su due cilindri ruvidi, di ugual raggio R, e massa m, che sono vincolati a ruotare
intorno ad assi fissi orizzontali, passanti per i rispettivi centri, distanti d . Ad una estremità
della lastra viene applicata una forza f costante ed orizzontale. Determinare: A) modulo,
direzione e verso delle forze di attrito esercitate sulla lastra; B) le reazioni normali esercitate
sulla lastra quando il suo centro di massa si trovi a distanza d/4 rispetto al punto di contatto
col cilindro a sinistra. Eseguire i calcoli con M = 1 kg; m = 200 g ; f = 5 N ; d = 50 cm .
Le forze di attrito esercitate dai cilindri sulla lastra avranno il verso opposto rispetto a f ,
mentre quelle esercitate dalla lastra sui cilindri avranno verso concorde a f.
A) Dall’equazione della dinamica di traslazione della lastra lungo l’orizzontale:
f  A1  A2  Ma
Dalle equazioni dei momenti per i cilindri, rispetto ai rispettivi assi di rotazione, proiettate
nel verso entrante nel foglio, e utilizzando la condizione di assenza di slittamento   a / R :
m R2
m R2
m f
= 0.417 N
A1R 
a / R ; A2 R 
a / R ; quindi : A1  A2 
2
2
2( M  m)
B) Dall’equilibrio lungo la verticale del moto della lastra: Mg  R1  R2  0 ; dall’equilibrio
d
3d
(assenza) di rotazione intorno al centro di massa della lastra:  R1  R2
0
4
4
3Mg
Mg
da cui R1 
 7.36 N ; R2 
 2.45 N
4
4
f
.
.
R1
A1
R2
.
A2
Mg
.
f
Esercizio n. 3 Due sorgenti fisse di onde sonore, separate da una distanza a,
emettono onde di frequenza , velocità c, con differenza tra le fasi iniziali nulla.
Determinare: A) la differenza di fase tra le due onde quando raggiungono il
punto C in figura; B) la frequenza di ciascuna onda che percepisce un
osservatore che si muove con velocità v lungo il lato orizzontale di lunghezza b,
allontanandosi dalle sorgenti , quando passa per il punto C . Eseguire i calcoli
per: a = 2 m;  = 30° ;  = 170 Hz ; c = 340 m/s; v = 30 m/s
2
a

1
b
C
2
(a / Sin(  ))  a Cot ( )  1.68 rad  96.26 
c
A)
cv
 c  vCos( ) 
B)  1   
  155 Hz ;  2   
  157 Hz
c
 c 


 
Esercizio n. 4 140 g di azoto (N2; peso molecolare 28) passa dalla pressione di 1 atm e temperatura di
10 °C sino ad un volume di 200 litri, lungo la trasformazione di equazione pV1.5= cost. Calcolare A) il calore
scambiato dal gas; B) la variazione di entropia subita.
La trasformazione è reversibile
Q
VF
 pdV  ncv (TF  TI )  pIVI
VI
VF
1.5
V
VI
1.5


5
5
1.5
 0.5
 0.5
dV  nR(TF  TI )  2 pIVI VI  VF
 nR(TF  TI )
2
2
In alternativa, il calore molare di una trasformazione
pV k  cos t
c
k 
ck  cv
;   p  1.4 ; cv  5 / 2R ; quindi : Q  nck (TF  TI )
k 1
cv
è:
1.5
V 
nRTI
 0.116 m3 ; pF  pI  I 
Dove : n = 140/28 = 5 ; VI 
pI
 VF 
Pertanto : Q  - 1392 J ; S 
TF
V
 0.442 atm ; TF 
F
ncv
pdV
T
V
dT

nR
T T
V T  ncv ln TFI  nR ln VFI  4.96 J / K
I
I
pFVF
 215 K
nR