Lo studio della disponibilità d'acqua costituisce
la base per la progettazione di
- acquedotti per uso civile e industriale,
- impianti di irrigazione,
- impianti idroelettrici.
La progettazione dell'opera si basa sulla
simulazione del funzionamento per un periodo
abbastanza lungo.
Per effettuare la simulazione occorre assegnare
- le serie storiche delle grandezze idrologiche,
- le opere,
- le regole di gestione.
I calcoli si effettuano discretizzando il tempo.
La lunghezza dell'intervallo di tempo
elementare dipende
- dalla variabilità delle grandezze nel tempo,
- dal grado di sfruttamento dei deflussi
disponibili,
- dal volume disponibile per la regolazione.
Ripetendo le simulazioni si ottimizza il progetto.
richieste di produzione
di energia elettrica
regole di gestione
prodotta
energia
richieste di acqua
per l'irrigazione
opere
deflussi regolati
deflussi naturali
Sistema da ottimizzare
La definizione della serie storica
La serie storica deve essere sufficientemente
lunga, per garantire l'attendibilità dei risultati.
Per permettere la simulazione del
funzionamento dell'impianto deve anche essere
senza lacune.
Ricostruzione dei dati: si basa
sulla persistenza,
sulla correlazione spaziale,
sulla relazione causa-effetto.
Persistenza:
uso della regressione lineare; per esempio
x i = a x i- 1 + b + ε
oppure
x i = a x i-1 + b x i+ 1 + c + ε
Correlazione spaziale:
uso nella regressione lineare di termini di
un'altra serie.
Relazione causa-effetto:
regressione dei deflussi sugli afflussi.
La ricostruzione riduce la variabilità della serie:
x i = a x i- 1 + b + ε
→ σ 2 (x i ) = a 2 σ 2 (x i-1 ) + σ 2 ( ε )
x i = a x i-1 + b
→ σ 2 (x i ) = a 2 σ 2 (x i-1 )
Il problema della definizione della serie storica
La simulazione del funzionamento dell'impianto per un certo periodo
richiede la disponibilità di una serie di osservazioni di lunghezza
s u f f i c i e n t e e senza interruzioni. Quando le due condizioni non sono
soddisfatte dai dati disponibili si può fare ricorso alla ricostruzione dei
dati mancanti, che in certe condizioni può riguardare l'intera serie.
I principi su cui si basa la ricostruzione dei dati sono
- la persistenza (per cui deflussi elevati tendono a essere seguiti da
deflussi elevati, e viceversa),
- la correlazione spaziale (per cui i periodi di tempo di deflussi
abbondanti, oppure di deflussi scarsi, tendono a essere tali per
un'intera regione),
- la relazione causa-effetto (che lega precipitazioni e deflussi).
I calcoli si effettuano generalmente applicando delle tecniche di
regressione lineare.
Per ricostruire il dato mancante di una singola lacuna si può fare ricorso
alla relazione con il dato precedente (basata sulla persistenza, e dove ε è
l'errore di regressione)
x i = a x i- 1 + b + ε i ,
oppure alla relazione (ancora basata sulla persistenza) con il dato
precedente e con quello seguente
x i = a x i- 1 + b x i+ 1 + c + ε i ,
ponendo l'errore di regressione uguale a zero.
Introducendo le variabili normalizzate z i e z i- 1 , la prima delle due
relazioni si scrive nella forma
z i = ρ z i- 1 + u i ,
dove ρ è il coefficiente di correlazione lineare tra z i e z i- 1 (coincidente
con quello tra x i e x i- 1 ) e u è l'errore di regressione. Un altro modo di
colmare la lacuna adoperando il dato precedente è di fare l'ipotesi
semplificativa che la relazione tra z i e z i-1 sia deterministica: allora u si
annulla, ρ diventa uguale a uno e la relazione diventa
z i = z i- 1 .
Un altro modo di colmare la lacuna adoperando sia il dato precedente sia
quello seguente è di assumere
z i = (z i- 1 + z i+ 1 ) / 2 .
Per migliorare la ricostruzione si possono aggiungere tra le variabili
indipendenti della regressione altri termini della serie, oppure anche
termini di un'altra serie (per esempio termini di una serie di deflussi di
una stazione vicina). Adoperare i termini di una serie di una stazione
vicina significa utilizzare anche la correlazione spaziale.
Per ricostruire intere porzioni di una serie ci si basa sulla correlazione
spaziale (considerando per esempio i deflussi contemporanei di due
sezioni vicine), oppure sulla relazione causa-effetto (considerando per
esempio i deflussi e i contemporanei afflussi meteorici al bacino), o su
entrambe.
Quando occorre ricostruire intere serie, e non è quindi possibile adottare
la tecnica della regressione per mancanza di dati, si può fare ricorso
all'assunzione (essenzialmente basata sull'ammissione dell'esistenza di
una correlazione spaziale) che i deflussi delle sezioni dei corsi d'acqua di
un'intera regione siano funzione dell'area dei rispettivi bacini.
(L'assunzione più semplice è che i deflussi siano proporzionali alle aree.)
Nella ricostruzione dei dati mancanti le formule di regressione
generalmente si usano ponendo l'errore di regressione uguale a zero. La
pratica non produce alcun danno quando si tratta di colmare una singola
lacuna. Quando si ricostruisce un'intera porzione della serie di dati, o
addirittura l'intera serie, il porre sistematicamente l'errore di
regressione uguale a zero ha l'effetto di ridurre la variabilità della serie.
Supponiamo che la grandezza da ricostruire (per esempio il deflusso) sia
legata alla grandezza nota (per esempio l'afflusso meteorico) dalla
regresssione lineare
y = ax + b + ε.
Essendo l'errore ε per definizione indipendente da x, la relazione implica
che sia
σ 2 (y) = a 2 σ 2 (x) + σ 2 ( ε ).
Ora, l'assumere ε sistematicamente uguale a zero equivale a porre
σ 2 (y) = σ 2 (x) ,
cioè a ridurre la varianza di y.
Per porre rimedio all'inconveniente si possono introdurre nei calcoli di
ricostruzione degli errori presi a caso (controllando però che la loro
varianza non sia troppo diversa da quella ricavata dall'analisi della
regressione).
200
1933-69
q [m3 s -1]
150
1970
100
50
0
0
100
200
300
t [d]
Curve delle durate delle portate medie giornaliere dell'Oglio a Capriolo
per il periodo 1933-69 e perl'anno 1970
1,5
1.5
portata del canale
qm
portata mensile
qd
portata mensile
derivabile
Q /m(qm ) = 1,30
Q /m(qm ) = 1,00
qd /m(qm )
1
Q
0.5
0,5
Q /m(qm ) = 0,50
0
0
0.5
0,5
1
1.5
1,5
2
2.5
2,5
qm /m(qm )
Curve adimensionali delle portate derivabili del Cagayan a Uguiaban
(Mindanao, Filippine) (periodo 1954-89)
Affidabilità di un impianto di irrigazione
Problema di verifica:
determinare la probabilità di fallanza, data
l'area irrigabile (e le altre caratteristiche del
progetto).
Si determina la relazione tra area irrigata e
probabilità di fallanza attraverso l'analisi
statistica dei risultati della simulazione su una
serie storica.
Problema di progetto:
determinare l'area irrigabile con un certo grado
di affidabilità, data la disponibilità d'acqua (e le
altre caratteristiche del progetto).
a) Si determina la relazione tra area irrigata e
probabilità di fallanza attraverso l'analisi
statistica dei risultati della simulazione su una
serie storica.
b) Si fa uso delle distribuzioni di probabilità
ricavate delle portate derivabili e delle piogge
efficaci (senza propriamente determinare la
probabilità di fallanza).
Esempio di uso delle distribuzioni di probabilità
delle portate derivabili e delle piogge efficaci
Intervallo di discretizzazione del tempo: 10
giorni.
Determinazione delle portate decadiche Q
derivabili con affidabilità dell'80%.
Determinazione delle piogge lorde decadiche h
con affidabilità dell'80%.
Determinazione delle piogge efficaci decadiche
h e con affidabilità dell'80%
h e = 0 , 7 5 ( h - 5) [mm]
Calcolo dell'area irrigabile per ogni decade e
scelta dell'area minima.
Esempio di calcolo per una decade:
A
area irrigabile (in ettari)
q
fabbisogno irriguo della coltura
(in litri al secondo per ettaro)
Q
portata derivabile (in metri cubi al secondo)
η
rendimento globale dell'irrigazione
Aq = 1000Q η
→
A = 1000
Q
η
q
portata derivabile (affidabilità 80%) 34,0 m3 s - 1
fabbisogno idrico della coltura
64,1
mm
pioggia efficace (affidabilità 80%)
8,3 mm
rendimento globale dell'irrigazione
0,51
fabbisogno irriguo della coltura:
q = 6 4 , 1 - 8 , 3 = 55,8 mm = 0,65 ls - 1 h a - 1
A = 1000
34,0
0 , 5 1 = 2 6 677 ha
0,65
Determinazione dell'area irrigabile con un grado di affidabilità assegnato
La determinazione dell'area irrigabile con un grado di affidabilità
assegnato si basa sulla stima della funzione che lega l'area da irrigare
alla probabilità che l'irrigazione avvenga senza fallanze (vale a dire
senza insufficienze nella fornitura d'acqua).
Per individuare la funzione si fissa un certo numero di valori tra loro
diversi dell'area e per ogni valore si calcola - simulando il
funzionamento dell'impianto nel periodo per cui sono disponibili i dati la frequenza delle fallanze (cioè il rapporto tra il numero degli anni in
cui si verifica qualche insufficienza dell'irrigazione e il numero degli anni
del periodo per cui si effettua la simulazione). Riportando in un
diagramma cartesiano i valori della frequenza in funzione di quelli
dell'area si ottiene una curva che cresce al crescere dell'area. (La
frequenza delle fallanze può risultare uguale a zero per valori molto
piccoli dell'area e uguale a uno per valori molto alti.) La frequenza delle
fallanze si assume come stima della probabilità.
Dalla curva si può quindi ricavare la probabilità di fallanza che
corrisponde a una certa area, oppure l'area che risulta irrigabile con una
probabilità di fallanza assegnata.
Nella progettazione degli impianti di irrigazione è prassi comune
determinare l'area irrigabile, vale a dire assegnare la probabilità di
fallanza accettata e individuare quindi l'area corrispondente.
L'area irrigabile si può determinare anche con un procedimento diverso,
alternativo a quello sopra illustrato.
Innanzi tutto si fissa l'intervallo di tempo elementare da adoperare nei
calcoli. (Per un impianto di derivazione ad acqua fluente di una qualche
importanza, per esempio, si può assumere un intervallo di 10 giorni.)
Quindi si stima, per ogni decade dell'anno, la distribuzione di probabilità
della portata media decadica derivabile e quella dell'altezza di pioggia
efficace. L'altezza decadica di pioggia efficace h e si ricava dalla
corrispondente altezza di pioggia lorda h : per esempio si può assumere
che la pioggia efficace sia data dall'espressione
he = 0,75(h - 5).
Si assegna quindi un valore di probabilità abbastanza alto (per esempio
uguale a 0,80: il valore adottato dipende dalla prassi progettuale seguita)
e si individuano, per ognuna delle 36 decadi dell'anno, la portata (media
decadica) derivabile e la pioggia efficace caratterizzate da una
probabilità di superamento uguale a quella assegnata (che nell'esempio
considerato è 0,80).
In base al fabbisogno d'acqua della coltura (che ovviamente dipende
dallo schema di coltivazione ipotizzato e dalla decade considerata) e alla
pioggia efficace si determina il fabbisogno irriguo q . Si calcola infine
l'area irrigabile A , imponendo l'uguaglianza tra il fabbisogno irriguo
all'opera di presa e la portata derivabile Q . Indicando con η il
rendimento globale dell'irrigazione, e misurando q in litri al secondo per
ettaro, A in ettari e Q in metri cubi al secondo, risulta:
Aq = 1000Q η .
Per ognuna delle 36 decadi dell'anno si ottiene un valore diverso
dell'area irrigabile. Come area irrigabile di progetto si assume il minimo
dei 36 valori calcolati.
Vale la pena di osservare che il dimensionamento dei canali si effettua
ipotizzando la totale assenza di pioggia.
Problema di verifica:
determinare la probabilità di un certo evento,
date le caratteristiche del progetto.
Problema di progetto:
dimensionare le opere e stabilire le regole di
gestione in modo che un certo evento abbia una
preassegnata probabilità di accadere.
L'analisi statistica dei risultati della simulazione
non è sempre possibile: l'evento che interessa
può non comparire mai nella simulazione.
Esempi:
- probabilità che il serbatoio si svuoti almeno
una volta in N anni;
- probabilità che il deflusso regolato sia
inferiore a un valore assegnato per N anni
consecutivi.
Alternativa all'analisi statistica dei risultati
della simulazione:
derivazione del modello probabilistico dei
risultati da quello dei deflussi (soluzione
analitica).
Difficoltà analitiche.
Difficoltà fondamentali:
- per l'analisi statistica dei risultati: la serie
storica è troppo breve;
- per la soluzione analitica: è troppo difficile
derivare il modello probabilistico dei risultati.
Soluzione in due fasi:
- determinazione del modello probabilistico dei
deflussi;
- derivazione del modello probabilistico dei
risultati per via numerica (metodo
Montecarlo).
Descrizione dei risultati della gestione dell'opera in termini probabilistici
In diversi casi l'analisi statistica diretta dei risultati della simulazione
non è possibile, perchè nella simulazione l'evento considerato si verifica
molto raramente o addirittura non si verifica mai. Il problema di stimare
la frequenza di eventi così rari è analogo a quello di stimare il tempo di
ritorno di una portata di piena così alta che nell'intero periodo di
osservazione si è verificata una sola volta o addirittura non si è mai
verificata.
Quando non è possibile fare ricorso direttamente al campione risultante
dalla simulazione effettuata con la serie storica, occorre derivare la
distribuzione di probabilità della grandezza che interessa dal modello
probabilistico dei deflussi naturali.
Molto spesso però la derivazione analitica è così complicata da risultare
infattibile.
In sostanza, la situazione si presenta nei termini seguenti. Il meccanismo
probabilistico che governa la distribuzione dei valori di certe grandezze
(come i deflussi naturali) si può determinare (anche se non facilmente);
resta però praticamente impossibile derivare da questo il meccanismo
probabilistico che governa la distribuzione della grandezza a cui si è
interessati. (Per esempio: si può determinare il meccanismo
probabilistico che governa il succedersi degli afflussi mensili a un
serbatoio sottoposto a un certo tipo di regolazione, ma da questo non si
può derivare il meccanismo probabilistico che governa i deflussi mensili
regolati.) D'altra parte, il periodo a cui si riferiscono le osservazioni non è
mai abbastanza lungo da permettere un'analisi statistica significativa di
certi risultati delle simulazioni (gli eventi rari). (Tornando all'esempio
precedente, è possibile che dalla simulazione non risulti mai lo stato di
serbatoio vuoto.)
Per superare la difficoltà, si risolve il problema in due fasi:
- si determina il meccanismo
le grandezze) di ingresso al
- si deriva da questo per via
probabilità della grandezza
probabilistico che governa la grandezza (o
sistema (esempio: i deflussi naturali);
numerica (non analitica) la distribuzione di
considerata.
La prima fase richiede l'uso di nuove nozioni di statistica, che vanno al di
là del concetto di distribuzione di probabilità (i processi stocastici). La
seconda fase richiede l'uso di un metodo di calcolo numerico di per sè
estremamente semplice (il metodo Montecarlo) .
