NUMERO
01
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
il Giornale di Divulgazione Scientifica del GDS
in questo numero
Editoriale
2
La strutturistica chimica
Fabiano Nart
3
La matematica dei colori
Paolo Alessandrini
6
Le ammoniti
Maurizio Alfieri
Il cane di Witten
Alex Casanova
Gli icnofossili
12
17
Manolo Piat
22
Informazioni utili
27
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Editoriale
Gatto di Schrödinger. Nome bizzarro, direte voi,
ponsabile iscritto all´albo dei giornalisti, ecc.).
e non avete nemmeno tutti i torti. Ma leggendo le prossime righe capirete perché la scelta del nome per la nuova
rivista del GDS è stata questa. Tra le ipotesi che vi saranno frullate in testa ci sarà stata di sicuro anche quella
della classica scusante “gli uomini di scienza sono molto
eccentrici, guarda te che razza di nome hanno dato a
questa rivista”. Se volete un po´ è cosi, ma solo un po´,
perché scorrendo la lista delle varie proposte avanzate
dal Consiglio Direttivo, tutti noi ci siamo resi conto che
scegliendo
come
nome
“Gatto
di
Schrödinger”,
all´interno del nome è contenuto l´acronimo GDS. Un
Ci auguriamo che l´iniziativa riscontri i vostri
favori e perché no, che risvegli in voi la voglia di scrivere e di condividere le conoscenze. A tale scopo vi segnalo le norme a pag. 27, alle quali gli eventuali e potenziali
autori dovranno rigorosamente attenersi. Come scritto
nelle norme, gli articoli verranno valutati dal Consiglio
Direttivo, ora quindi anche Comitato Scientifico di Redazione. Responsabile del Comitato Scientifico è l´ing.
Alessandrini (giustamente direi, dato l´impegno profuso
in questo progetto).
motivo ricorrente, quindi, come le relazioni di ricorrenza
In questo numero d´esordio potrete trovare arti-
in matematica (ecco, ci siamo di nuovo con la scienza et
coli sui più svariati temi, dalla strutturistica chimica alla
similia), ricorrente come il nostro logo, un frattale, ovve-
colorazione dei grafi in matematica, dalle ammoniti ai
ro un oggetto grafico, ma prima di tutto matematico, che
misteri della teoria delle stringhe, fino agli icnofossili.
si ripete uguale a se stesso su scale sempre più piccole.
Potrete anche trovare, senza periodicità fissa, alcune
C´è di più: il sottotitolo recita “il giornale di divulgazio-
rubriche specifiche. La cosa più bella sarebbe avere vari
ne scientifica del GDS”. Ancora la ricorrenza, doppia
contributi in modo da ampliare l´offerta culturale, come
questa volta, dell’acronimo GDS. Sembra quasi che ci
è stato fatto con Pillole di Scienza.
fosse stato qualcosa di ultraterreno quando nel 2006
decidemmo il nome Gruppo Divulgazione Scientifica,
Si dice che importante è partire, poi bisogna esse-
ma assicuro che è stato tutto fortuito (avessimo la capa-
re fiduciosi. Così è stato nel 2006 con la fondazione del
cità di predire il futuro…).
GDS e così è ora con la nascita di questa rivista; ma ora
abbiamo un contributo fondamentale che nel 2006 man-
In realtà, la storia di questa rivista nasce nel
cava: proprio voi, i numerosi soci! Comunque vada,
2007, ma una volta scontratici contro le normative vi-
un´opera pia l´abbiamo fatta: abbiamo riportato alla ri-
genti in materia di editoria e stampa, decidemmo di ac-
balta questo povero gatto che non si sa mai se è vivo o
cantonare l´idea, seppur bella, di una rivista. Dopo tre
morto. Cerchiamo questa volta di tenerlo in vita, con
anni però, grazie ai nostri soci, l’ing. Paolo Alessandrini,
buona pace di Erwin Schrödinger che si ribalterà nella
che ha rilanciato l´idea con nuovo e vitale vigore, e il dr.
tomba venendo a conoscenza che la probabilità è del
Massimo Masson (già commercialista del Gruppo), ab-
100%.
biamo rivisitato il progetto, avendo capito fino in fondo
il senso degli obblighi e delle restrizioni di legge. Senza
Buona lettura a tutti!
tediarvi con lo storico legislativo, due cose sono importanti per fare chiarezza sul futuro della rivista: sarà edita
solo in formato elettronico (pdf) e senza alcuna periodicità fissa. Venisse a mancare una delle due succitate
Il Presidente del GDS
dr. Fabiano Nart
condizioni, la rivista ricadrebbe nella tipologia “stampa
periodica” con i conseguenti obblighi di legge
(registrazione in tribunale, nomina di un direttore res-
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
La strutturistica chimica
di Fabiano Nart
La strutturistica chimica può essere definita come una branca della chimica-fisica dello stato solido che si
occupa di determinare angoli di legame, angoli di torsione e lunghezze di legame delle molecole all'interno
di un cristallo tramite diffrazione ai raggi X: in altri termini si ricavano la geometria molecolare e i parametri del gruppo spaziale facendo la radiografia ai cristalli.
La strutturistica chimica è una tecnica molto
potente e precisa, che ha conosciuto un consistente svi-
sassolini in uno stagno e provocando delle onde. Ne
vediamo un esempio nelle figure 1 e 2.
luppo solamente dopo gli anni 60 per due motivi principali: la strumentazione (diffrattometro) per quanto riguarda l'ottica, ma soprattutto i fondamenti teorici.
Questo perché trattando con grandezze atomiche non si
può sviluppare con le consuete tecniche la parte teoricomatematica (che ci permette di ricavare la struttura finale dall'enormità di dati), ma dobbiamo tentare un approccio probabilistico. Difatti, come sarà spiegato in
seguito, si ricavano le posizioni atomiche dalla natura
delle densità elettroniche e, come lascia presagire il
termine “densità”, non possiamo determinare l'esatta
posizione degli elettroni appartenenti ad ogni singolo
Figura 1. Il fenomeno della diffrazione.
atomo (principio di indeterminazione di Heisenberg).
Tale impossibilità ha creato un ostacolo per lo sviluppo
di questa disciplina, la quale ha conosciuto un boom in
questi ultimi 20 anni grazie all'interpretazione e al genio
di studiosi come Karle, Hautpman, Harcker, Kasper ma
soprattutto Sayre.
Ma vediamo ora più da vicino cosa sia la diffrazione. Si tratta di un fenomeno fisico che consiste nella
formazione di frange di diffrazione appunto, quando
una sorgente luminosa incontra un ostacolo la cui grandezza è paragonabile alla lunghezza d'onda del raggio
luminoso.
Secondo
il
principio
di
Figura 2. Esempio di frange di diffrazione.
Huygens
Ora consideriamo che questi oggetti siano atomi
quest’“ostacolo” diventa esso stesso sorgente di radia-
di una molecola. Essendo le distanze di legame, ad e-
zione secondaria in fase con quella incidente; quindi se
abbiamo più oggetti diffrangenti si hanno molte onde
diffuse che secondo le leggi della fisica si possono sommare o sottrarre dando un'onda risultante di ampiezza
sempio C-C, dell'ordine di 1,54 Å, e la grandezza di una
molecola di dimensioni discrete circa una cinquantina di
Å, si capisce che, da quanto detto sopra, per avere il
doppia, nulla o intermedia. e frange di diffrazione chia-
fenomeno della diffrazione degli atomi dobbiamo inve-
re e scura. Un po’ quello che succede lanciando vari
stire gli stessi con una radiazione elettromagnetica con
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il Gatto Di Schrödinger
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lunghezza d'onda degli Angstrom. E a svolgere questo
trici delle molecole e quindi del cristallo.
ruolo sono proprio i raggi X (100 Å<λ<0,1 Å). Precisiamo che a dare diffrazione sono gli elettroni e non i nuclei, perché i raggi X non hanno energia sufficiente (50
eV) per penetrare l'atomo fino a livello del nucleo (per
questo scopo si utilizza la diffrazione a neutroni oppure
quella a neutroni termici).
Dunque i vari atomi diffraggono i raggi X, e le
varie onde come detto prima si sovrappongono. Perché
si realizzi tutto questo occorre che sia soddisfatta la legge di Bragg, che mette in relazione la lunghezza d'onda
della radiazione con l'angolo di incisione; si immagini
quanto questo sia difficile nelle tre dimensioni. A tale
scopo si utilizza il diffrattometro a quattro archi che,
Figura 3. Impressionamento di una lastra fotografica
dovuta ai raggi X, le macchie bianche corrispondono
alle densità elettroniche cioè alla posizione degli atomi.
ruotando il cristallo attorno agli angoli euleriani, porta i
vari atomi e i vari piani reticolari in condizioni di rifles-
Ai giorni nostri il problema è risolto (almeno
sione (si dimostra che la diffrazione può in questo caso
escludendo molecole grosse tipo le proteine) tramite la
essere vista come una riflessione). I raggi diffratti vanno
relazione di Sayre. Inoltre non si ricorre più a tediose
a impressionare una lastra fotografica lasciando delle
elaborazioni delle lastre fotografiche, visto che abbiamo
macchie bianche che corrispondono ad un'interferenza
a disposizione computer e vari programmi free di com-
costruttiva fra le varie onde. Un esempio è riportato in
putazione (MULTAN). Nonostante questo rimane al
figura 3.
chimico la parte più importante, ovvero ottenere dai
numerosi dati numerici forniti dal calcolatore la giusta
Ora viene la parte difficile, ovvero ricavare la
struttura della molecola. Questo si fa tramite sofisticate
struttura tridimensionale dallo spettro di diffrazione (è
tecniche matematiche che qui non tratto, sia per la com-
questo che ha reso la strutturistica chimica una discipli-
plessità che le renderebbe una cosa marziana ai più, sia
na difficile e poco sviluppata fino a un ventennio fa),
perché non è la sede più opportuna. Ma queste non ba-
poiché dobbiamo trovare tutte le relazioni che legano le
stano. Nascono sempre problematiche nuove che solo un
varie onde diffratte. Ogni atomo è caratterizzato da un
chimico con molta dimestichezza, saggezza e intuito
proprio fattore di scattering (lo scattering è la deviazio-
chimico può risolvere. Vediamo ora un esempio di un
ne dei raggi X da parte dell'atomo e quindi del potere
minerale (figura 4) e di come si presenta una molecola
diffondente). Cercando di risolvere questo problema
(figura 5) quando viene visualizzata tramite degli oppor-
sono nate tutte le teorie probabilistiche in quanto si co-
tuni programmi.
noscono esattamente i vari fattori di scattering ma non si
riesce a ricavare la fase, cioè quanto un'onda sia in anti-
La strutturistica è quindi una disciplina molto
cipo o in ritardo rispetto ad un'altra; ed è proprio questa
complessa ma allo stesso tempo molto affascinante, che
quantità che permette di sapere tutti i parametri geome-
ci permette di “vedere” dentro le molecole. É una disci-
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il Gatto Di Schrödinger
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plina molto potente che ha fornito molti risultati: ad
esempio l'interpretazione del “legame” idrogeno, la più
forte interazione non legante responsabile della nostra
esistenza. Difatti l'interazione idrogeno è il principale
motivo dell'appaiamento delle basi nel DNA; grazie a
questa interazione esiste l'acqua nella fase liquida a temperatura ordinaria e il ghiaccio è meno denso dell'acqua
stessa; ancora, è sempre grazie ad essa che possono avvenire la totalità dei processi enzimatici nel nostro organismo. Insomma, se non fosse per il legame idrogeno
noi saremmo una pozzanghera. La strutturistica chimica
è oggigiorno l'unico metodo efficace per certificare la
purezza dei farmaci, cosa indispensabile come tutti capiranno, anche se in chimica il termine purezza ha un significato molto più profondo.
Figura 5. Struttura di un composto di rutenio e a destra
dello stesso riportante anche la cella triclina e la densità elettronica (programmi MERCURY 1.2 e ViewerLite).
Figura 4. Determinazione della struttura della fluorite
tramite il programma DIAMOND.
Bibliografia
Valerio Bertolasi, “Appunti di strutturistica chimica”,
Ferrara, Università di Ferrara, 2004.
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il Gatto Di Schrödinger
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La matematica dei colori
di Paolo Alessandrini
Il celebre dilemma dei quattro colori, che ha appassionato i matematici per più di un secolo, è il progenitore
del difficile problema del graph coloring, le cui applicazioni spaziano dalla risoluzione di uno schema di
sudoku alla pianificazione di un torneo sportivo.
Che cos'hanno in comune il gioco del sudoku,
una cartina politica dell'Europa, e il campionato italiano
di calcio? No, non vi voglio parlare di un calciatore
italiano che, durante i viaggi in aereo in occasione dei
tornei continentali, inganna il tempo cimentandosi con il
famoso rompicapo. Ad accomunare queste tre cose è la
matematica. “La matematica?” penserete voi. “Passi per
il sudoku, che è un gioco di numeri, ma cosa diavolo
Figura 1. Un semplice esempio di rete.
c’entra la matematica con una carta geografica e, peggio
che peggio, con la sacra fiera italica della palla presa a
calci?” C’entra, c’entra. E vi dirò di più: si tratta di una
matematica che ha a che fare con i colori, in particolare
con la misteriosa arte di colorare le reti.
Reti colorate
Ma andiamo con ordine. Ho parlato di reti. Una
rete, in matematica, è un insieme di punti, detti nodi (o
anche vertici), e di segmenti, detti archi (o anche lati),
ciascuno dei quali congiunge tra di loro due nodi. Un
altro termine molto usato dai matematici per indicare
queste strutture è grafo. Al di fuori dell’esclusivo club
dei matematici, il termine rete gode oggi di una fortuna
ben più grande: non passa giorno che non si senta parlare di reti sociali o social networks (come Facebook), di
reti elettriche, di reti telefoniche, di reti di computer, e
ovviamente di internet, che è una grande rete di reti.
Potremmo citare anche le reti da pesca e le calze a rete,
ma non divaghiamo troppo. Per i matematici, reti e grafi
sono più o meno la stessa cosa, quindi non ci formalizziamo. Nelle figure 1 e 2 vediamo due esempi di reti,
dove ogni nodo è rappresentato da un cerchietto e ogni
arco da un segmento che va da un cerchietto all’altro.
Figura 2. La rete delle linee degli autobus extraurbani
di Pistoia.
Colorare una rete significa assegnare un colore a
ciascuno dei suoi nodi, facendo però in modo che due
nodi vicini, cioè collegati tra loro da un arco, non abbiano lo stesso colore. Descritto così, il problema della colorazione dei grafi (in inglese, graph coloring) potrebbe
sembrare astruso e inutile, eppure ha affascinato e tormentato molte generazioni di matematici.
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il Gatto Di Schrödinger
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Tutto ebbe inizio nel 1852, quando Francis Gu-
poi, di dover ricorrere ad un quinto colore. O forse no?
thrie, un poco più che ventenne allievo del famoso mate-
Guthrie condusse numerosi esperimenti di questo tipo, e
matico Augustus De Morgan, si imbattè in una mappa
arrivò ad ipotizzare che quattro colori siano sufficienti
dell’Inghilterra, in cui ogni contea era raffigurata con un
per colorare qualsiasi cartina politica (vedi figura 4).
colore. Il giovane Guthrie, mettendosi nei panni del
Come ogni buon matematico sa, non ci si poteva accon-
disegnatore della mappa, si pose un curioso quesito:
tentare di una supposizione empirica: occorreva una
quanti colori diversi è necessario utilizzare per dipingere
prova rigorosa. Ma nessuno, per ben 125 anni, riuscì a
le contee della mappa in modo tale che, per una migliore
escogitare una tale dimostrazione, e l’ipotesi di Guthrie
leggibilità della cartina, non vi siano contee confinanti
rimase quindi una congettura fino al 1977.
con lo stesso colore?
Figura 4. Un esempio di mappa con quattro colori.
Che relazione esiste tra la congettura di Guthrie e
il problema della colorazione dei grafi? Se per ogni coppia di contee confinanti presenti nella cartina congiungiamo con un segmento i due capoluoghi, otterremo una
Figura 3. Carta delle regioni italiane.
rete i cui nodi sono le città capoluogo e i cui archi sono i
segmenti che abbiamo tracciato (vedi figura 5). E’ facile
constatare che il problema del cartografo, evitare cioè
Provate a fare qualche esperimento, ad esempio
con una cartina delle regioni italiane (vedi figura 3).
che due contee confinanti siano tratteggiate con lo stesso
colore, equivale ad un problema di graph coloring.
Non è così facile. Se iniziate colorando di verde
l’Umbria, vi vedrete costretti a usare colori diversi dal
Il matematico tedesco August Ferdinand Möbius,
verde per la Toscana e per le Marche, che confinano
che legò il suo nome al famoso nastro con una sola linea
entrambe con l’Umbria. Ma Toscana e Marche confina-
di bordo e una sola faccia, era solito raccontare ai suoi
no anche tra di loro, quindi dobbiamo ricorrere a due
allievi la storia di un re dell’India, che governava su un
colori diversi, poniamo l’arancione e il blu. E come la
vasto impero. Il re aveva cinque figli. Nel suo testamen-
mettiamo adesso con il Lazio, che confina con tutte e tre
le regioni finora considerate? Dobbiamo usare un quarto
colore. Andando avanti, potremmo aspettarci, prima o
to scrisse che dopo la sua morte il regno doveva essere
diviso in cinque parti, una per ognuno dei figli, in modo
che ogni parte avesse una frontiera in comune con le
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il Gatto Di Schrödinger
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altre. Ebbene, o questo sovrano non era forte in matema-
ricordiamo Arthur Cayley e Alfred Kempe. Nel corso
tica, o era un burlone, perché è impossibile dividere un
del Novecento, molti matematici investigarono in pro-
territorio in questo modo. Sono abbastanza comuni le
fondità sul problema, ma la tanto attesa dimostrazione
configurazioni in cui quattro regioni confinano tra loro
tardava ad arrivare.
come Umbria, Toscana, Marche e Lazio, ma è facile
dimostrare che è geometricamente impossibile una situazione analoga che coinvolga cinque territori. Alcuni
matematici ottocenteschi, come il famoso Augustus De
Morgan, pensarono che questo fatto rappresentasse una
dimostrazione della congettura di Guthrie.
Il primo aprile del 1975, sulla rivista “Scientific
American”, in un articolo del grande divulgatore matematico Martin Gardner, scomparso nello scorso mese di
maggio, veniva proposta una mappa (vedi figura 6) che,
a dire di Gardner, non poteva essere colorata con soli
quattro colori: fatto che smentiva la congettura di Guthrie. In realtà si trattava di una carta certo difficile da
colorare con quattro colori, ma una soluzione c’era, e
Gardner lo sapeva bene: il buon Martin aveva mentito, e
la data dell’uscita della rivista avrebbe dovuto rappresentare un indizio…
Figura 6. Il rompicapo di Gardner.
Figura 5. Rete ottenuta da una cartina congiungendo i
capoluoghi delle regioni.
Mentre i lettori del "Scientific American" si
dilettavano con il rompicapo di Gardner, in un laboratorio dell’Università dell’Illinois, due matematici, Kenneth
Ma le cose non erano così semplici. L’irrisolto
Appel e Wolfgang Haken, erano intenti a scrivere un
problema di Guthrie divenne ben presto il tema più ri-
complicatissimo programma informatico che, qualche
corrente nelle discussioni tra i matematici del tempo. Tra
mese dopo, avrebbe finalmente fornito la dimostrazione
gli studiosi che tentarono di dimostrare, senza riuscirvi,
della secolare congettura. Appel e Haken osservarono
che quattro colori sono sufficienti a colorare una mappa,
che le infinite mappe possibili potevano essere ridotte ad
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il Gatto Di Schrödinger
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un numero finito di configurazioni (precisamente 1936):
Il sudoku trae spunto dai vecchi schemi del
per ognuna di esse verificarono la validità della conget-
“quadrato latino”, cioè una scacchiera quadrata in cui
tura attraverso un algoritmo che, per maggior sicurezza,
alcuni simboli sono disposti sulle caselle in modo che
venne eseguito su più computer diversi.
ognuno compaia una e una sola volta in ogni riga e in
Dopo migliaia di ore di calcolo la congettura di
Guthrie risultò provata in tutti i casi possibili. Per trascrivere e verificare manualmente tutti i passi della dimostrazione servirono più di 500 pagine. Molti studiosi,
alla notizia di un teorema dimostrato attraverso un programma informatico, gridarono allo scandalo, sostenendo la non validità di una simile procedura. Ad oggi, pe-
ogni colonna, e del “quadrato magico”, cioè una scacchiera quadrata riempita da numeri, nella quale la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in
entrambe le diagonali dà sempre lo stesso numero. Nel
2004 un giudice neozelandese con l’hobby dei computer, Wayne Gould (vedi figura 8), sviluppò un programma capace di generare schemi validi di sudoku.
rò, nessuno è riuscito a scovare errori nella dimostrazione di Appel e Haken.
Sudoku a colori
E il sudoku? Alzi la mano chi non ha mai pro-
Figura 8. Wayne Gould.
vato a risolvere uno schema di questo rompicapo (vedi
figura 7), o non sia stato incuriosito almeno una volta da
questo gioco. Le regole sono semplici: si devono riempire con cifre da 1 a 9 le caselle bianche di una griglia
9x9, suddivisa a sua volta in 9 sottogriglie 3x3, ma oc-
Un sudoku è considerato valido se ammette una
corre fare in modo che, in ogni riga, in ogni colonna e in
e una sola soluzione. Prima dell’annuncio di Gould, gli
ogni sottogriglia, risultino alla fine presenti tutte le 9
schemi venivano creati a mano, artigianalmente, con
cifre ammesse, senza ripetizioni (lo stesso termine
grande difficoltà: cosa che aveva impedito fino a quel
“sudoku”, in giapponese, significa proprio “i numeri
momento la diffusione del gioco sulle riviste di enigmi-
devono comparire una sola volta”).
stica. A partire dal 2005, invece, il sudoku divenne popolarissimo in tutto il mondo. Perché il sudoku è imparentato con il problema del cartografo? Immaginate che
ad ognuna delle cifre da 1 a 9 sia associato un diverso
colore. Fatta questa associazione, per risolvere il sudoku
le 9 caselle che costituiscono una riga della griglia dovranno essere colorate con 9 colori diversi; e lo stesso
vale per le colonne e per le sottogriglie 3x3. Il problema
Figura 7. Un esempio di schema iniziale di sudoku, con
relativa soluzione.
si riduce quindi alla colorazione di una rete in cui ogni
nodo corrisponde ad una casella della griglia, e gli archi
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
congiungono tra di loro i nodi associati a caselle che
Antonio, e così via. Per stilare la lista degli invitati a
fanno parte della stessa riga, o della stessa colonna, o
ciascuna delle tre feste, dobbiamo riuscire a colorare la
della stessa sottogriglia 3x3. Se riusciremo a colorare la
rete con tre colori (uno per ogni festa), evitando di asse-
rete così costruita, sapremo quali colori assegnare a cia-
gnare lo stesso colore a due nodi collegati tra loro. Siete
scun nodo evitando archi monocromatici (cioè congiun-
riusciti a trovare una soluzione? Una delle possibili solu-
genti nodi dallo stesso colore). Conosceremo, in altre
zioni viene indicata alla fine dell’articolo.
parole, le cifre giuste da scrivere in ogni casella della
griglia del sudoku per risolvere il rompicapo.
Vi chiedo ora un ultimo sforzo di immaginazione: al posto dei vostri amici mettete delle partite di calcio. Stavolta il problema è stilare il calendario del cam-
Feste e tornei
pionato italiano di calcio di serie A, cioè decidere quali
partire dovranno essere disputate in ognuna delle giorna-
Se non siete disegnatori di mappe né appassio-
te. Le squadre partecipanti sono 20: dato che nel corso
nati di giochi matematici, vi potrebbe comunque capita-
del torneo ogni squadra deve affrontare tutte le altre 19,
re di organizzare una festa tra amici. Supponiamo che
le partite in programma saranno in tutto 20 x 19 = 380,
vogliate invitare un certo numero di amici a casa vostra,
raggruppate in 38 giornate di 10 partite ognuna. In realtà
ma vi ricordate che alcuni di loro non si possono soffri-
in questo calcolo abbiamo considerato ogni partita due
re, e di certo non volete riunire i nemici a casa vostra.
volte, il che è peraltro corretto visto che al girone di an-
Decidete allora di organizzare tre feste separate, invitan-
data segue quello di ritorno. L’ovvio vincolo che deve
do persone diverse a ognuna di esse. Come potete fare
essere rispettato nella stesura del calendario è che in
per evitare che due nemici si ritrovino nella stessa festa?
ogni giornata una squadra deve partecipare ad una sola
E’ semplice: disegnate la rete dei vostri amici, collegan-
partita. Rappresentiamo la rete i cui nodi corrispondono
do con un arco ogni coppia di nemici.
alle 190 partite del girone d’andata (basta programmare
quest’ultimo: il calendario del girone di ritorno deriverà
di conseguenza), e i cui archi collegano le partite disputate dalla stessa squadra. Due partite collegate tra loro
da un arco non possono aver luogo nella stessa giornata,
perché una squadra non può giocare nello stesso tempo
due incontri. Se riusciamo a trovare una colorazione per
la rete ottenuta, rispettando il solito vincolo dell’assenza
di archi monocromatici, abbiamo risolto il problema del
calendario: ogni colore corrisponde ad una giornata, e i
nodi di quel colore corrispondono alle partite program-
Figura 9. La rete delle inimicizie.
mate per quella giornata. Nella figura 10 è rappresentata
la rete per un immaginario torneo a 4 squadre (con 20
Un possibile grafo è rappresentato nella figura
squadre la rete sarebbe troppo complicata per essere qui
9: la rete dei collegamenti mostra che, ad esempio, Nico-
raffigurata). Anche per questo problema viene riportata
la e Chiara non si possono vedere, così come Riccardo e
una soluzione alla fine dell’articolo.
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il Gatto Di Schrödinger
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modelli di graph coloring: in questi casi diventa fondamentale riuscire a progettare algoritmi euristici ben congegnati, in grado di avvicinarsi alla colorazione migliore
senza impiegare troppo tempo.
Bibliografia
1) K. Appel, W. Haken, "The solution of the four color
Figura 10. La rete del campionato.
map problem", in Scientific American, 237 (1977), 4,
pp. 108-121.
Per grafi semplici come questo è molto facile
trovare una colorazione valida, ma il problema diventa
rapidamente molto difficile al crescere del numero dei
nodi e degli archi. I ricercatori definiscono il problema
2) G. Gonthier, "Formal Proof--The Four-Color Theorem", in Notices of the American Mathematical Society,
55 (2008), 11, pp. 1382-1393.
del graph coloring come un problema “NP-completo”,
3) Z. Chen, "Heuristic Reasoning on Graph and Game
cioè un problema in generale molto difficile. Per risolve-
Complexity of Sudoku", in The Computing Research
re problemi di questo tipo, soprattutto quando la mole
Repository, 903 (2009).
dei dati di ingresso diventa particolarmente considerevole, sono necessari approcci particolari, tipici ad esempio
dei cosiddetti metodi euristici, che cercano di raggiunge-
4) M. Kubale, "Contemporary Mathematics. Graph Colorings", Providence, AMS Bookstore, 2004.
re soluzioni valide anche se non ottimali: gli algoritmi di
5) K. Saaty, "The Four Color Problem: Assaults and
tipo tradizionale, infatti, posti di fronte a problemi così
Conquest", Mineola, Dover Publications, 1986.
ardui, rischiano spesso di fare un buco nell’acqua, cioè
di non trovare alcuna soluzione in tempi ragionevoli.
Certo, alcuni dei problemi descritti in questo
articolo, risolvibili in teoria come problemi di graph
Soluzioni degli enigmi proposti
coloring, potrebbero essere affrontati più efficientemente ricorrendo a modelli completamente diversi da quello
del grafo da colorare in modo valido: ad esempio nessun
Enigma del campionato: la prima giornata potrebbe
di sudoku scrivendo un programma che implementa un
comprendere Belluno-Cittadella e Padova-Portogruaro,
un informatico…) si sognerebbe di risolvere uno schema
la seconda Belluno-Padova e Cittadella-Portogruaro e la
lettore delle riviste di enigmistica (a meno che non sia
algoritmo di colorazione. L’importanza del tema discus-
Katia, Giuliano, Silvana e Antonio alla terza.
so resta tuttavia molto grande, soprattutto in relazione a
Chiara, Federica, Flavio e Daniele alla seconda; Marisa,
problemi difficili, di rilevanza pratica anche molto alta,
Nicola, Alessandra, Mario e Riccardo alla prima festa;
la cui risoluzione passa obbligatoriamente attraverso
Enigma delle feste: si potrebbero invitare ad esempio
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Le ammoniti
di Maurizio Alfieri
Andiamo alla scoperta di questi molluschi estinti, così definiti per la loro trasformazione del piede nei tentacoli o braccia che circondano la bocca. Il capo è nettamente separato dal resto del corpo provvisto di due
occhi, di una bocca e di un organo locomotore. Sono forme esclusivamente marine molto mobili, predatrici e
carnivore, popolavano per lo più le acque della piattaforma continentale. Le dimensioni vanno da minute a
gigantesche.
TIPO: MOLLUSCA
CLASSE: CEPHALOPODA
gono al phylum dei Molluschi classe Cephalopoda, così
definiti per la trasformazione del piede nei tentacoli o
SOTTOCLASSE: Ammonoidea
braccia che circondano la bocca; il capo è nettamente
ORDINE: Ammonitida
separato dal resto del corpo, provvisto di due occhi, una
Anarcestida
bocca ed un organo locomotore detto imbuto.
Clymeniida
Goniatitida
Prolecanitida
Ceratitida
Phylloceratida
Lytoceratida
Il loro nome deriva da Ammone, dio egizio della
vita e della riproduzione, le cui corna, simili a quelle
dell’ariete, ricordano la forma delle Ammoniti (anche se
esistono forme estremamente diverse da quelle a spirale). Le Ammoniti fanno parte del gruppo di animali marini vissuto per un lunghissimo periodo di tempo dal
Paleozoico (Siluriano, 440 mil.anni) al Mesozoico
(Cretaceo, 65 mil.anni), ed estintisi insieme ad altri organismi (dinosauri, rettili volanti ed acquatici, ecc.) du-
Figura 1. Una conchiglia di Nautilus. In evidenza nella
parte sezionata le camere di accrescimento.
rante quella che viene comunemente chiamata “crisi
biologica di fine Cretaceo”. Durante questo arco di tempo, subirono diversi processi di adattamento, che permi-
Alla stessa classe appartengono gli attuali polpi, seppie e
sero loro di collocarsi nelle numerose nicchie geologiche
nautilus. Le Ammoniti assomigliano soprattutto a
presenti nell'ambiente marino. Ritroviamo infatti mi-
quest’ultimi per via della vistosa conchiglia spiralata
gliaia di specie diverse di ammoniti che differiscono
nella quale vivono.
sostanzialmente per la forma della conchiglia. Apparten-
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Alla stessa classe appartengono gli attuali polpi,
galleggiamento e quindi di inabissarsi o risalire in super-
seppie e nautilus. Le Ammoniti assomigliano soprattutto
ficie come gli attuali sottomarini. Usavano inoltre un
a quest’ultimi per via della vistosa conchiglia spiralata
sistema di propulsione a getto per spostarsi orizzontal-
nella quale vivono. Essa, di diametro variabile da qual-
mente, garantito dal sifone che permetteva il passaggio
che centimetro a più di un metro e mezzo, era composta
dell’acqua attorno alle branchie e quindi la respirazione
di carbonati di vari elementi (principalmente Calcio e
dell’animale; il sifone poteva espellere l’acqua a velocità
Magnesio). Era strutturata in una parte esterna, scabra e
modulabile
probabilmente variamente colorata, e una interna in ma-
dell’organismo. Nel caso di ammoniti di mare aperto, il
dreperla, perfettamente liscia per non ferire il corpo
sifone doveva costituire l’unico mezzo per spostarsi,
morbido del proprietario. Se esaminiamo uno qualsiasi
visto che i tentacoli non avevano nulla su cui fare presa.
dei fossili di ammoniti per renderci conto della loro
struttura generale esterna, possiamo descriverlo come un
cono che si avvolge su se stesso a spirale, in alcuni casi
con giri visibili uno ad uno, in altri con spire che si coprono almeno in parte a vicenda. Se il fossile è parzialmente rotto, possiamo notare che ogni spira è divisa in
sezioni interne che definiamo camere.
per
agevolare
lo
spostamento
La superficie della conchiglia può essere più o
meno liscia e presenta sempre linee semplici o frastagliate che attraversano trasversalmente ogni spira; queste linee sono detti “setti” e segnano il punto in cui le
pareti di ciascuna camera incontravano il guscio esterno.
La linea di intersezione dei setti con la parete interna
della conchiglia dà la cosiddetta linea di sutura, che è
uno degli elementi più significativi per la sistematica e
la filogenesi. Ha percorso ondulato con gli elementi convessi verso l’alto detti “selle” e quelli concavi “lobi”.
La linea di sutura si modifica nel corso della vita
dell’animale: relativamente semplice nei primi giri, tende a complicarsi negli stadi maturi. Sulla base della linearità si distinguono 3 tipi di sutura:
goniatitica, con lobi e selle lineari, ossia privi di
suddivisioni o denticolazioni, eccezionalmente
solo il lobo ventrale potrebbe presentare delle
denticolazioni;
Figura 2. Ammonite genere Ariatites (Francia, Giurassico superiore, 160-140 ml di anni) con il guscio piritizzato.
colari;
Alla prima camera, detta “camera di abitazione”,
nella quale viveva l’animale, seguivano una serie di camere stagne percorse da un sifone, facilmente riempibili
di gas e acqua che consentivano all’animale un perfetto
ceratitica, con selle lineari interne ed i lobi denti-
ammonitica, con lobi e selle denticolari e frastagliati e suddivisione in elementi accessori. Un
particolare tipo di struttura ammonitica è quella
filloide con selle formate da foglioline più o meno numerose e complesse.
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
In linea generale ma non assoluta, la prima è diffusa soprattutto nelle forme paleozoiche, la Ceratitica è
tipica del Trias (250-210 milioni di anni), la Ammonitica
è diffusa in tutto il Mesozoico.
Figura 4. Ornamenti radiali, vari tipi di tubercoli e ornamenti spirali.
Purtroppo, ad oggi, non sono stati rinvenuti fossili di Ammoniti nei quali si potessero studiare le parti
molli: organi interni, mantello, tentacoli e occhi. I loro
Figura 3. Linee di sutura: 1 tipo goniatitico; 2 tipo ceratitico; 3 tipo ammonitico e relativa nomenclatura.
resti comprendono solo le conchiglie e gli opercoli che
permettevano loro di chiudere la camera di abitazione e
che sono definiti Anaptychus se singoli oppure Aptychus
Fossili di Ammoniti si rinvengono nei sedimenti
di ogni parte del mondo e questo grazie alla notevole
diffusione che ebbero nel passato. Si evolsero nel tempo,
talora molto rapidamente, dando vita a gusci di forma e
grandezza diversissime; questa poteva essere diritta,
elicoidale, rotonda, a “g”, oppure presentare combina-
se in coppia. Fortunatamente, come già menzionato,
esiste un cefalopode munito di conchiglia esterna simile
a quella delle Ammoniti: il Nautilus, che riuscì a superare la grande estinzione cretacea ed a pervenire integro
fino ai giorni nostri per poterci permettere anche lo studio dei suoi cugini della sottoclasse Ammonoidea!
zioni bizzarre di tutte queste forme da piccoli individui
Il loro studio può fornire indicazioni preziose per
millimetrici a giganti di dimensioni metriche. La conchi-
la ricostruzione degli antichi ambienti e delle vicende
glia è generalmente liscia nelle forme più primitive e via
che ne hanno determinato la modificazione e poi la
via con sempre più ornamenti nelle forme tardo meso-
scomparsa. I paleontologi infatti, si servono delle Am-
zoiche: gli ornamenti possono essere radiali, trasversali
moniti come “fossili guida” cioè per datare le rocce sedi-
e spirali, longitudinali.
mentarie. I principali caratteri di classificazione usati dai
collezionisti sono: diametro massimo, l’altezza del giro
e la larghezza dell’ombelico.
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Figura 5. Ammonite genere Pawlowia (Russia, Giurassico inf. ~ 200 mil. di anni) in bella evidenza gli ornamenti radiali primari e secondari.
Il fatto che le zone ad ammoniti siano preferite
nelle correlazioni stratigrafiche a livello mondiale, prova
la natura essenzialmente nectonica di questi organismi e
quindi la loro possibilità di distribuirsi in una grande
varietà di ambienti. Gli studiosi sono concordi nel ritenere che le forme con conchiglia discoidale a superficie
liscia fossero le più adatte al nuoto, da cui la loro maggiore frequenza statistica nei sedimenti argillosi e marnosi; le forme con ornamenti più complessi dovevano
condurre una vita bentonica mobile, e da ciò si evince la
loro diffusione nelle facies meno profonde calcareo-
Figura 6. Esempi di evoluzione dall’inizio alla fine del
Trias e dall’inizio alla fine del Giurassico. Si passa da
conchiglie lisce a forme ornate di coste, dapprima semplici e deboli, in seguito più robuste, biforcate, poliforcate e fascicolate.
detritiche. Le ammoniti sono tra i migliori fossili per
correlazioni locali e mondiali soprattutto per il Paleozoico sup. ed il Mesozoico.
Una curiosità: fin dall’inizio, i paleontologi ed i
collezionisti posizionarono le ammoniti con le camere
più grandi verso l’alto, in modo da mostrare facilmente i
Questo grande e diffuso utilizzo è dovuto alla
loro rapida evoluzione, con netti cambiamenti nelle caratteristiche morfologiche della conchiglia, alla grande
distribuzione geografica ed alla facilità del reperimento
setti che dichiaravano l’appartenenza ad una determinata
specie. Tuttavia gli studi successivi stabilirono che le
Ammoniti vive assumevano la posizione opposta, con le
camere più grandi verso il basso.
e determinazione sul terreno.
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il Gatto Di Schrödinger
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Bibliografia
1) Alessandro Castelnuovi, “Le Ammoniti”, in Dinosauri, 6 (2004), pp. 18-23.
2) Andrea Allasinaz, “Sistematica degli invertebrati”
vol.II, Genova, ECIG, 1985.
Figura 7. Per analogia con i Nautilus attuali possiamo
immaginare che questo fosse l’aspetto delle ammoniti. A
sinistra con due tentacoli sollevati in atteggiamento
agressivo ed a destra con sopra il capo l’Anaptychus
(l’opercolo) che gli consentiva di chiudersi ermeticamente all’interno.
Per l’importanza scientifica e per la loro bellezza
sono considerate da sempre uno dei simboli principali
della paleontologia. Ancora oggi non ci hanno chiarito
tutti i misteri che le circondano: infatti dal Siluriano al
Cretaceo questi molluschi popolavano tutti i mari della
Terra; nella loro distribuzione stratigrafica presentano
tre grandi crisi: alla fine del Permiano (riuscendo a superare la più grande crisi che spazzò via più del 90% delle
forme di vita sulla terra), alla fine del Triassico ( furono
presenti alla nascita ed evoluzione dei Mammiferi, Dinosauri ed Uccelli), ed alla fine del Cretaceo. Queste tre
crisi concludono dei periodi evolutivi molto significativi
in stratigrafia. Tuttavia, verso la fine dell’era Mesozoica,
cominciarono a declinare fino ad estinguersi completamente al termine del Cretaceo.
Perché? Quali fattori portarono all’estinzione di
un gruppo che aveva avuto enorme successo per oltre
340 milioni di anni? Questa è una domanda che non ha
trovato risposta e che ci seguirà ancora, io ritengo, per
molti anni a venire.
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Il cane di Witten
di Alex Casanova
Il “cane di Witten” è l’elemento centrale di una strana immagine apparsa qualche anno fa in una serie TV a
cartoni animati, un pretesto curioso per parlare di Teoria delle Stringhe facendo il verso al famoso gatto di
Schrödinger.
Introduzione
Il gatto di Schrödinger è un famoso esperimento
concettuale proposto nel 1935 dal fisico austriaco Premio Nobel Erwin Schrödinger. Consideriamo una scatola all’interno del quale poniamo un gatto ed un piccolo
campione di radio. Il campione di questa sostanza radio-
descrivere i fenomeni microscopici, non visibili ad occhio nudo, connessi ad atomi e molecole. I principi della
meccanica quantistica sono così entrati con pieno diritto
nella descrizione del mondo invisibile che ci circonda
attraverso lo sviluppo del Modello Standard, uno dei
capisaldi della fisica moderna.
attiva è stato scelto in modo che nell’arco di un’ora vi
sia la probabilità del 50% che si verifichi un decadimento. Al verificarsi del decadimento un diabolico meccani-
Il Modello Standard
smo romperà una fiala contenente un veleno che, diffon-
Le moderne teorie fisiche descrivono la Natura
dendosi nella scatola, ucciderà il gatto. Dopo un’ora
che ci circonda sulla base del cosiddetto Modello Stan-
decidiamo di aprire la scatola per testare lo stato di salu-
dard; questo modello, fino ad oggi ben testato sperimen-
te del gatto; fino all’istante in cui solleviamo il coper-
talmente, descrive le particelle elementari che compon-
chio della scatola il gatto deve essere pensato, secondo i
gono la materia e le interazioni fondamentali fra di esse.
principi della meccanica quantistica, come una sovrap-
Le particelle elementari sono i mattoni di base con i qua-
posizione di due stati: gatto vivo e gatto morto. Solo il
li costruire tutto ciò che vediamo attorno a noi. Pensia-
nostro intervento, in qualità di osservatori esterni, deter-
mo di prendere un piccolo pezzo di pane e di dividerlo a
minerà quello che si chiama il “collasso del sistema”,
metà; prendiamo una delle due metà così ottenute e divi-
ovvero il fatto che il gatto sarà o vivo o morto.
diamola ulteriormente a metà. Pensiamo di proseguire
Questo esperimento mostra alcune difficoltà di
interpretazione dei principi della meccanica quantistica
quando si cerca di applicarli al mondo macroscopico che
ci circonda. Risulta infatti difficile pensare che il gatto
possa essere sia vivo che morto e che soltanto il nostro
intervento possa determinare il suo stato di salute. Il
fatto che alcuni fenomeni siano intrinsecamente legati ad
aspetti probabilistici costituì una vera rivoluzione del
pensiero scientifico di inizio 1900; ciò nonostante la
meccanica quantistica si è rivelata il fondamento per
con questi tagli per un gran numero di volte. Certamente
non potremo proseguire all’infinito con il rischio che il
nostro panino svanisca magicamente nel nulla; ad un
certo punto saremo costretti a fermarci non essendo più
in grado di suddividere ulteriormente la materia. In mano rimarranno soltanto i costituenti elementari, quelle
particelle che non possono essere ulteriormente suddivise; Democrito li chiamò atomi, che in greco significa
appunto non-divisibili. Gli atomi di Democrito si distinguevano per forma geometrica e per grandezza; oggi
sappiamo che gli atomi non sono indivisibili ma costitui-
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il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
ti da protoni, neutroni ed elettroni e anche protoni e neu-
troni possono essere ulteriormente scomposti in quarks.
fra quarks all’interno di protoni e neutroni.
la forza nucleare forte, responsabile del legame
Secondo il Modello Standard, in Natura esistono
Queste forze si manifestano attraverso lo scambio
sei quarks e sei leptoni; ad ognuno di essi è associata
di altre particelle elementari, detti bosoni mediatori, che
un’antiparticella, particella dotata della stessa massa ma
trasportano
con carica elettrica opposta. Il Modello descrive queste
l’interazione possa svilupparsi. Il Modello Standard tut-
particelle elementari come punti privi di estensione spa-
tavia non è in grado di fornire una descrizione completa
ziale ma dotati di massa, carica elettrica ed altre proprie-
del mondo che ci circonda; manca all’appello la forza di
tà fisiche (si veda la figura 1).
gravità, nonostante sia così evidente ai nostri occhi. Le
le
necessarie
informazioni
affinché
forze descritte dal Modello Standard sono trascurabili su
scala macroscopica ma diventano essenziali su scala
microscopica, a livello di molecole, atomi e nuclei atomici. Viceversa, la gravità è una forza fondamentale a
livello macroscopico, quando abbiamo a che fare con
oggetti di notevoli dimensioni (stelle, pianeti, galassie),
ma risulta trascurabile a livello microscopico (atomi o
particelle subatomiche). In altre parole, la gravità non si
basa sui principi della meccanica quantistica, essenziali
per descrivere i fenomeni del mondo microscopico. Possiamo così affermare che il Modello Standard, nonostante sia ben testato sperimentalmente, risulta incompleto,
una lacuna che non gli permette di descrivere in modo
unitario tutti i fenomeni della Natura.
Stringhe e Unificazione
Figura 1. La “tavola periodica” delle particelle elementari del Modello Standard.
Il gatto di Schrödinger non sembra essere l’unico
animale a popolare il mondo della fisica; in un episodio
del cartone animato “Futurama” (“Università Marziana”,
Queste particelle elementari sono tenute insieme
da tre forze fondamentali:
Stagione 1, Episodio 11) fa la sua apparizione il “cane di
Witten” (si veda la figura 2). Futurama è una serie TV a
cartoni animati creata da Matt Groening e David Cohen;
la forza elettromagnetica, responsabile dei legami
la serie è ambientata nella New York dell’anno 3000 e
fra le molecole e dei fenomeni ottici;
racconta le avventure di un fattorino, Philip J. Fry, che il
31 dicembre 1999 finisce per sbaglio in una capsula
la forza nucleare debole, responsabile dei decadi-
menti radioattivi;
criogenia risvegliandosi 1000 anni dopo.
18
il Gatto Di Schrödinger
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Stringhe e Particelle
Il Modello Standard considera le particelle come
punti privi di estensione spaziale; la Teoria della Stringhe affronta il problema dei costituenti elementari in
modo differente. Secondo tale teoria i costituenti elementari della materia sono assimilabili a piccole corde,
cioè ad oggetti dotati di un’estensione spaziale. Questo
significa che scomponendo il pezzo di pane considerato
Edward Witten
in precedenza nei suoi costituenti elementari non ci fer-
(26 agosto 1951) è
meremo quando in mano avremo quark ed elettroni;
un fisico e matematico statuniten-
Figura 2. Il cane di Witten (Witten’s dog) nella singolare lezione dell’università marziana di Futurama.
saremo in grado di proseguire nella nostra ricerca dei
mattoni fondamentali della materia scoprendo che anche
se. Vincitore della
queste minuscole particelle sono costituite da enti ele-
Medaglia Fields
mentari estesi in una dimensione spaziale, piccole cordi-
nel 1990, profes-
Nell’episodio
in
questione
Fry
si
iscrive
celle, o stringhe, con dimensioni dell’ordine di 10-35
sore all’Institute
all’Università Marziana partecipando così ad una lezio-
metri. Se una stringa fosse grande quanto un intero ato-
for Advanced
ne sulla Teoria delle Stringhe e sul “cane di Witten”. In
mo, una formica sarebbe lunga quanto 10 volte la nostra
Study di Prince-
realtà il “cane di Witten” è il risultato dell’interazione
galassia.
ton, ha fornito
fra stringhe chiuse che, combinandosi fra loro come
contributi essen-
piccoli anelli, danno vita a questa figura stilizzata che
ziali allo sviluppo
ricorda la forma di un cane. Nel cartone animato di Matt
della Teoria delle
Groening non mancano riferimenti ironici a uno fra i più
Stringhe.
famosi ed importanti teorici delle stringhe, ovvero Edward Witten (si veda a lato per ulteriori informazioni).
Naturalmente ci stiamo riferendo ad una stravagante
invenzione televisiva, ma rimane un buon pretesto per
parlare di quella teoria che, oggigiorno, si configura
come la miglior candidata per una teoria unificata delle
Figura 3. Esempio di particella puntiforme (a), stringa
aperta (b) e stringa chiusa (c).
interazioni fondamentali della Natura, in grado di abbracciare sinteticamente sia il Modello Standard che la
gravità; quella “teoria del tutto” sogno innato che ha
Come evidenziato dalla figura 3, le stringhe pos-
attraversato la storia, cullato da Democrito e dai suoi
sono essere di due tipi: stringhe aperte, con due estremi-
predecessori nell’antica Grecia più di 2000 anni fa ed a
tà distinte, e stringhe chiuse, dove le due estremità coin-
lungo accarezzato da Einstein in tempi recenti.
cidono l’una con l’altra formando un piccolo anello,
come quelli delle zampe del “cane di Witten”. Considerare i costituenti elementari come corde unidimensionali
significa considerare il fatto che le stringhe, oltre a muo-
19
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
versi liberamente nello spazio come le particelle punti-
cono infatti le proprietà delle particelle del Modello
formi del Modello Standard, possono anche vibrare.
Standard, mentre all’interno dello spettro delle stringhe
Studiare i movimenti di una stringa significa studiare la
chiuse compare un particolare modo vibrazionale che,
combinazione di un movimento traslatorio e di un movi-
con grande stupore da parte dei ricercatori, corrisponde-
mento vibratorio. Questa combinazione produce, se rap-
rebbe alla particella responsabile dell’interazione gravi-
presentata graficamente, una sorta di superficie; i fisici
tazionale, il cosiddetto gravitone. Un risultato rivoluzio-
teorici studiano quindi il moto di una stringa attraverso
nario che pose la Teoria delle Stringhe alla ribalta della
un approccio geometrico volto al calcolo dell’area di
comunità scientifica internazionale dei fisici: dopo molti
questa superficie (si veda la figura 4).
anni di ricerca i fisici avevano a disposizione una teoria
che permetteva di descrivere la gravità sulla base dei
principi della meccanica quantistica, similmente alle
altre interazioni fondamentali descritte dal Modello
Standard.
La sinfonia cosmica
La Teoria delle Stringhe nacque verso la fine
degli anni 60 per render conto delle numerose particelle
che in quegli anni venivano scoperte agli acceleratori di
particelle; la teoria nacque così nel tentativo di fornire
una spiegazione dell’interazione forte che si manifestava
Figura 4. Superficie individuata dal movimento traslatorio e vibratorio nello spazio di una stringa aperta
(evidenziata in rosso).
fra queste particelle, dette adroni (dal greco adrós, forte).
Ben presto la Teoria della Stringhe fu abbandonata a
favore di modelli che meglio si adattavano ai risultati
sperimentali che progressivamente si andavano accumu-
I risultati ottenuti negli anni passati hanno evidenziato che il moto di una stringa è molto simile a quello di una corda di violino; così come le corde di violino
possono vibrare secondo frequenze ben determinate,
anche le stringhe possono vibrare secondo frequenze
discrete determinate dai principi della meccanica quantistica. Questa successione di frequenze di oscillazione
costituiscono quello che i fisici chiamano “spettro”;
l’analisi degli spettri di oscillazione delle stringhe aperte
e delle stringhe chiuse ha rivelato proprietà di notevole
importanza. Le vibrazioni di una stringa aperta riprodu-
lando; tuttavia a metà degli anni 70, grazie ai sorprendenti risultati sullo spettro delle stringhe chiuse ricordati
in precedenza, la teoria trovò nuovo slancio configurandosi non più come una teoria dell’interazione forte ma
come una teoria di unificazione in grado di racchiudere
al suo interno tutte le forze della Natura, compresa la
gravità. Grazie a recenti risultati, la Teoria delle Stringhe sembra estendere in modo consistente il Modello
Standard, riuscendo a riprodurre le diverse proprietà
delle particelle elementari. In altre parole, il mondo che
ci circonda sembra essere un concerto di stringhe, la
sinfonia cosmica di queste piccole cordicelle vibranti.
20
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Stringhe tra fisica e metafisica
La metafisica delle stringhe è lo sforzo verso la
La teoria delle Stringhe è oggi una delle migliori
candidate per una teoria unificata di tutte le interazioni
fondamentali della Natura. Soffre tuttavia di un grave
difetto: la teoria non è stata testata sperimentalmente ed
in qualche modo non offre concrete previsioni che possano permettere di falsificarla. In altre parole, la teoria
non offre test sperimentali tali da negarne la validità.
Secondo alcuni fisici la teoria delle Stringhe non può
definirsi scienza, piuttosto metafisica, qualcosa al di là
della fisica. In fondo la Teoria delle Stringhe rappresenta
ciò che Einstein a cercato per trenta anni senza successo,
ciò che già gli antichi greci cercavano: la comprensione
semplificazione e l’unificazione del complesso di fenomeni che costituisce la realtà. Ad oggi la Teoria delle
Stringhe deve essere considerata una teoria giovane ed
immatura, in continua evoluzione sia dal punto di vista
teorico che da punto di vista dei suoi sviluppi fenomenologici. Forse fra mille anni la Teoria delle Stringhe sarà
ampiamente riconosciuta e i suoi risultati ben testati dal
punto di vista sperimentale che nelle università di tutto il
mondo si insegneranno i suoi contenuti come oggi si
insegnano i contenuti della meccanica quantistica; sarà
così che il gatto di Schrödinger farà posto al “cane di
Witten”.
unitaria e sintetica della Natura, l’individuazione di un
Bibliografia
semplice principio primo in grado di spiegare la molteplicità dei fenomeni che ci circondano. La metafisica
delle stringhe è la metafisica dell’unificazione, qualcosa
che va al di là di una fisica fatta di teoria ed esperimen-
1) A. Einstein, “Ideas and Opinion”. Wings Books, New
York, 1954.
to, una cornice di riferimento che muove le ricerche e
2) B. Greene, “The Elegant Universe: Superstrings, Hid-
rimescola i concetti; usando le parole di Einstein:
den Dimensions, and the Quest for the Ultimate The-
“Nuove teorie sono necessarie prima di tutto quando si
ory”, New York, Norton & Company, 2003.
manifestano fatti non ancora spiegati da teorie esistenti.
3) B. Zwiebach, “A First Course in String Theory”.
Ma questa motivazione per la ricerca di nuove teorie è,
Cambridge, Cambridge University Press, 2004.
per così dire, banale, imposta dall'esterno. Esiste un
altro motivo non meno importante ma più sottile. Questo
è lo sforzo verso l'unificazione e la semplificazione della
4) G. Veneziano, “Construction of a CrossingSymmetric, Regge-Behaved Amplitude for Linearly
Rising Trajectories”, in Nuovo Cimento A, 57 (1968),
teoria nel suo complesso”.
pp. 190-197.
E ancora:
5) L. Ledermann. “La particella di Dio”, Saggi Monda“Il metafisico addomesticato ritiene che non tutto ciò
tori, 1995.
che è logicamente semplice sia incorporato nella realtà,
ma che la totalità di ogni esperienza sensoriale può essere "compresa" sulla base di un sistema concettuale
costruito
su
premesse
di
grande
semplicità”
6) P. Woit, “Neanche sbagliata. Il fallimento della teoria
delle stringhe e la corsa all'unificazione delle leggi della
fisica”, Torino, Codice Edizioni, 2007.
(A. Einstein, “Scientific American”, vol. 182, n. 4, aprile
7) S. Maso, “I presofisti e l’orizzonte della filosofia”,
1950 – traduzione dell’autore).
Torino, Paravia, 1993.
21
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Gli icnofossili, ossia tracce dal passato
di Manolo Piat
Nelle rocce sedimentarie sono conservate le tracce lasciate dall'attività biologica di organismi oggi scomparsi. Benché l'attribuzione di una traccia a un determinato organismo sia spesso difficile, questi particolari
tipologie di fossili (icnofossili) permettono di ottenere informazioni sullo “stile di vita” degli antichi esseri
viventi e forniscono, inoltre, validi supporti per le ricostruzioni paleoambientali e paleoecologiche.
Introduzione
Quando sentiamo parlare di fossili la nostra mente corre subito alla classica forma a spirale delle ammoniti o agli scheletri dei grandi rettili preistorici; pochi, tra
i non esperti, sanno che nelle rocce sedimentarie sono
conservati non soltanto i resti degli antichi organismi,
ma anche le tracce che questi hanno lasciato nei sedimenti, durante la propria esistenza, in conseguenza
dell’attività biologica. Lo studio delle impronte o, per
meglio dire, delle strutture biogene (icniti) è detto icnologia (dal greco ichnos = tracce e logos = studio) se riguarda gli organismi attuali, mentre prende il nome di
differenti specie possono aver prodotto identiche tracce;
è anche possibile che un singolo individuo abbia prodotto più tracce, come conseguenza di differenti comportamenti. Solo in casi del tutto eccezionali, in fondo ad una
tana o ad una pista si può trovare un animale
(fossilizzato) e si può ragionevolmente supporre che sia
stato l’autore della traccia. Le tracce fossili sono state
raggruppate in varie “categorie etologiche” (figura 1),
ossia classificate in base alla funzione fisiologica che
l’organismo stava svolgendo nel momento in cui le ha
prodotte.
.
paleoicnologia se riguarda organismi vissuti in epoche
passate; queste discipline hanno come oggetto di ricerca
le tracce, le piste, le orme, i solchi, i buchi, i resti fecali
e in genere ogni tipo di impronta che fornisca dati sul
modo di vita degli esseri viventi che le hanno lasciate.
Classificazione delle tracce fossili
Nella classificazione tassonomica, i nomi delle
tracce fossili si basano esclusivamente sulle caratteristiche morfologiche e sono indipendenti dal nome degli
organismi che le hanno lasciate. È spesso difficile, infat-
Fig. 1. Classificazione etologica delle tracce fossili.
ti, collegare le tracce al tipo di essere vivente che le ha
prodotte, per i seguenti motivi: più tracce possono essere
originate da una singola specie animale o, viceversa,
22
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
Tracce locomotorie di reptazione (Repichnia).
Sono tracce e piste lasciate dagli animali durante i loro
spostamenti su sedimenti molli; appaiono come strutture
lineari, sinuose o circolari, talvolta ramificate, in rilievo
o come solchi. Caratteristiche sono le Cruziana (figura
2), interpretate come impronte impresse sul fondo marino ad opera di Trilobiti in movimento; sono formate da
due bande di strie trasversali separate da un solco mediano.
Fig. 3. Helmintoida.
Sono scavi semplici o ramificati, spesso semplici buchi
cilindrici singoli o biforcati, con forma ad U; tipici sono
i Chondrites (o Fucoidi) (figura 4), impronte con andamento ramificato che si distribuiscono su superfici di
strato sovrapposte.
Fig. 2. Cruziana.
Tracce di pascolo (Pascichnia). Sono impronte e
resti lasciati da organismi in cerca di cibo; comprendono
solchi, scavi, allineamenti di resti algali o depositi solidi
digeriti. Hanno andamento diramato o curvilineo, sono
spesso labirintiche e riflettono la massima utilizzazione
della superficie di pascolo. Esempio tipico sono le impronte degli Helmintoida (figura 3), formate da numeroFig. 4. Chondrites.
si tratti curvilinei, paralleli tra loro, collegati da strette
curve.
Strutture di abitazione (Domichnia). Sono buchi,
Strutture di nutrizione (Fodinichnia). Compren-
tane, gallerie scavate per abitazioni permanenti e tempo-
dono scavi eseguiti e temporaneamente abitati da organi-
ranee. Hanno andamento semplice, biforcato a forma di
smi alla ricerca di cibo.
U, perpendicolare o inclinato rispetto alla superficie di
23
il Gatto Di Schrödinger
OTTOBRE 2010
strato. Predominano le forme cilindriche; un esempio è
spetto all’originale superficie del sedimento e sono utili
dato dagli attuali Litodoma o “datteri di mare” (figura
per valutare la velocità di sedimentazione.
5). Una curiosità: i datteri di mare, Litophaga litophaga
(sin. Lithodomus litophaga), considerati una prelibatezza, sono stati oggetto di un’intensa attività di pesca; poiché si annidano profondamente nella roccia, possono
essere raccolti solo frantumando la scogliera. Tale sistema di pesca compromette il litorale e la vita degli organismi ad esso legati; per questo motivo, la pesca, il commercio e il consumo del dattero di mare sono stati vietati
con il D.M. 401 30/8/88.
Fig. 6. Rusophycus.
Fig. 5. Perforazioni di Litodomi su un ciottolo.
Tracce di riposo (Cubichnia). Comprendono sol-
Fig. 7. Esempio di Fugichnia: Diplocraterion.
chi, rilievi, depressioni e impronte superficiali lasciate
da organismi sulla superficie del substrato durante soste
temporanee. Rientrano in questa categoria le tracce denominate Rusophycus (figura 6), lasciate da Trilobiti.
Accanto a queste forme, che sono delle “strutture
sedimentarie”, poiché nei sedimenti vengono registrate
Tracce di fuga (Fugichnia). Vi vengono inclusi
le modificazioni ad essi apportate dall’attività biologica,
tracce, solchi, scavi, buchi a U e altre strutture lasciate
esistono altre tracce che si conservano come fossili veri
dagli organismi in fuga, come risposta diretta al modifi-
e propri.
carsi del substrato per erosione o incremento di sedi-
mentazione (es. Diplocraterion, figura 7). Riflettono gli
spostamenti verticali od orizzontali degli organismi ri-
Prodotti di escrezione. In una particolare catego-
ria di icnofossili rientrano gli escrementi fossili
(coproliti, figura 8) e altri prodotti di escrezione.
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il Gatto Di Schrödinger
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Prodotti di riproduzione. Sono reperti fossili lega-
ti alle funzioni riproduttive, come le uova fossilizzate di
dinosauro (figura 9); alcune di esse contengono ancora
degli embrioni abbastanza sviluppati e sufficientemente
ben conservati da fornire utilissime informazioni, sia per
l'attribuzione delle uova ai rispettivi produttori, sia per
quanto riguarda lo studio e la comprensione delle caratteristiche riproduttive e dello sviluppo nei grandi rettili.
Fig. 8. Coprolite di tartaruga.
Tracce di predazione (Praedichnia). Includono
morsi, spizzicature, raschiature, fori e scavi fatti e lasciati da animali predatori sugli organismi cacciati. Ad e-
Non è sempre facile stabilire quale tipo di anima-
sempio, alcuni tipi di spugne attaccano i molluschi e ne
le li abbia prodotti, anche perché animali appartenenti a
perforano la conchiglia per cibarsene; le perforazioni si
categorie sistematiche diverse producono coproliti simi-
distinguono tra loro per le caratteristiche geometriche e
li; in genere la distinzione più facile e sicura è tra copro-
permettono così di riconoscere i diversi organismi che le
liti di invertebrati e di vertebrati, mentre un’ulteriore
hanno prodotte.
ripartizione all’interno dei due gruppi è difficile. Le escrezioni degli invertebrati sono chiamate pallottole fecali o fecal pellets; possono essere tanto abbondanti da
Importanza delle tracce fossili in geologia
costituire la maggior parte di un sedimento. I fecal pellets si diversificano tra loro per la forma, per la presenza
di canali interni e di ornamenti esterni.
Le osservazioni sugli icnofossili permettono di
ottenere dati importanti per alcune discipline in ambito
geologico quali la stratigrafia, la sedimentologia e le
ricostruzioni paleoambientali. Molti generi sono utilizzati per definire dei “livelli marker”, ossia degli strati o
unità stratigrafiche che si riscontrano identici anche in
aree tra loro molto lontane e permettono, quindi, di correlare rocce affioranti in diverse regioni oppure di datare
successioni di strati prive di fossili, essendo molti generi
di tracce limitati a determinati intervalli temporali (ad
esempio, sono note molte specie di Cruziana, tracce di
Trilobiti, che nel Paleozoico inferiore hanno diffusione
cosmopolita; specie fossili significative per il Terziario
Fig. 9. Uovo di Hadrosaurus.
sono Helminthoida labyrinthica e Paleodictyon problematicus (Fig. 10), diffusi nel Flysch eocenico); in questo
senso possono essere considerati fossili–guida, come le
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ammoniti lo sono per il Mesozoico e le Trilobiti per il
dati sedimentologici e quelli biologici considerati assie-
Paleozoico.
me permettono di ottenere le ricostruzioni paleoambientali, ossia di risalire alle caratteristiche geografiche e
fisiche degli antichi ambienti in cui quel sedimento si è
formato.
Fig. 10. Paleodictyon.
È interessante notare che nel Paleozoico gli icno-
Bibliografia
fossili si rinvengono prevalentemente in rocce arenaceo–
argillose depositatesi in acque poco profonde, spesso
1) A. Allasinaz, “Paleontologia generale e sistematica
prive di fossili; invece nelle formazioni mesozoiche e
degli invertebrati”, Genova, ECIG, 1991.
terziarie predominano in rocce torbiditiche povere di
altri reperti e sedimentate in acque profonde. Alcune
tracce fossili, specialmente se interne allo strato, sono
2) P. Arduini, G. Teruzzi, “Atlante della Preistoria”,
Milano, Vallardi Industrie Grafiche, 1982.
utili in stratigrafia per distinguere il tetto o superficie
3) L. B. Halstead, “Alla scoperta del passato”, Novara,
superiore di uno strato, dal letto o superficie inferiore,
Istituto Geografico De Agostini, 1984.
ossia per determinare quella che viene definita la polarità di uno strato: in questo modo si può stabilire se una
sequenza di strati è normale, cioè gli strati divengono
4)
Sito
web:
http://www.unipg.it/~pmonaco/
Ichnologysite/framePage.html (visitato il 01/09/2010).
via via più antichi verso il basso, o ha subito un rove-
5) Sito web: http://www.paleoantropo.net/paleogenerale/
sciamento per cause tettoniche. Gli icnofossili, inoltre,
icnofossili.htm (visitato il 01/09/2010).
possono fornire dati sulla direzione e sulla intensità delle
correnti di fondo, sulla consistenza del substrato e
sull’attività biogenica che gli organismi esercitano sul
fondo; infatti, molti organismi marini hanno abitudini
detritivore, vale a dire che ingeriscono sedimento, lo
digeriscono e quindi ne espellono i residui inorganici
(un po’ come fanno i lombrichi dei nostri orti): questo
processo può determinare il rimaneggiamento dei sedimenti sul fondo e il trasporto e accumulo di sedimenti a
grana selezionata, lasciando un deposito bioturbato. I
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Press, 1987.
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Il Gatto di Schrödinger, Numero 1 (Ottobre 2010)
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