Meccanica
2 - Dinamica
1
Introduzione alla Fisica Classica
Le Forze
2
L’effetto delle forze
Una forza può cambiare la velocità di un
corpo, facendola aumentare o diminuire.
Quando agiscono forze su un corpo
inizialmente fermo:
• se il corpo resta fermo, la forza totale su di
esso è zero;
• se si muove, la forza totale è diversa da
zero e modifica la sua velocità.
• Per variare lo stato di moto di un corpo
occorre intervenire dall’esterno, solo
l’intervento di una causa esterna può far
variare un moto!
Che cos’è una forza?
Una forza è una qualunque causa esterna che produce una
variazione dello stato di moto o di quiete di un corpo.
Una “causa esterna”
non può essere altro
che una interazione
con un “altro corpo”
Le Forze
Vi sono vari tipi di forze:
forze di contatto: agiscono come il vento su una vela o
lo sforzo dei nostri muscoli;
forze a distanza: agiscono senza contatto, come la
forza di gravità o la forza magnetica.
La misura delle forze
Una forza è un definita da:
direzione: la retta lungo cui
agisce;
verso: uno dei due possibili;
intensità: misurata con uno
strumento detto dinamometro.
La misura delle forze
Il dinamometro è uno strumento costituito da un cilindro che racchiude
una molla, il cui allungamento aumenta al crescere della forza
applicata.
Due forze hanno la stessa intensità se provocano allungamenti
uguali.
La misura delle forze
L'unità di misura della forza è il newton (N):
Per avere un’idea della sua grandezza, 1 N è circa uguale all’intensità
della forza-peso con cui la Terra attrae una massa di 102 g
Questa non è la definizione “corretta” per la quale serve il secondo
principio della dinamica.
Le forze sono vettori
Le forze sono definite da direzione, intensità e verso. Si verifica che sono
vettori, perché i loro effetti si sommano vettorialmente.
Caso di due forze parallele:
Le forze sono vettori
Somma di due forze non parallele:
Le forze sono vettori
Verifica sperimentale della somma vettoriale di più forze non
parallele:
Le forze sono vettori
L'anello di metallo è fermo, quindi la somma delle forze deve
essere uguale a zero:
Le forze sono vettori applicati
A differenza dei vettori spostamento e velocità, per le forze è
rilevante il punto di applicazione (“coda” del vettore) da cui
dipende l'effetto della forza stessa:
Introduzione alla Fisica Classica
Principi della Dinamica
14
La dinamica
La dinamica studia il moto dei corpi per effetto delle forze che
agiscono su di essi.
I principi della dinamica
Sono stati enunciati da Isaac Newton e sono tre:
primo principio o principio d'inerzia;
secondo principio o legge fondamentale della dinamica;
terzo principio o principio di azione e reazione.
Il primo principio della dinamica
Apparentemente un corpo si muove perché una forza lo spinge; lo
affermò anche Aristotele nella Meccanica.
Galileo nel Seicento concluse invece che:
In assenza di forze esterne, un corpo mantiene il suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme
Un caso particolare di moto rettilineo uniforme è quello di un corpo
fermo (v = 0).
Il primo principio della dinamica
Il ragionamento usato da Galileo nel Dialogo sopra i due massimi
sistemi è:
Il primo principio della dinamica
L’esperienza ci dice che un corpo in moto dopo un po’ si ferma.
Ma sulla Terra nessun corpo è isolato: c’è sempre attrito, riducendo
l’attrito si prolunga il moto. Al limite se non ci fosse attrito del tutto il
moto potrebbe proseguire all’infinito!
La necessità di applicare una forza per mantenere in moto un corpo
è dovuta alla presenza delle forze d'attrito.
Primo principio della dinamica (o di inerzia):
se la forza totale applicata ad un punto materiale è F = 0, allora il
corpo si muove a v = costante;
se un punto materiale ha v = costante, allora su di esso agisce una
forza totale F = 0.
Il primo principio della dinamica
Il disco a ghiaccio secco è un dispositivo che elimina gli attriti.
Il primo principio della dinamica
Imprimendo solo una spinta iniziale al disco e scattando foto ad
intervalli t regolari, si vede che il disco si muove di moto rettilineo
uniforme:
percorre s uguali in t uguali.
I sistemi di riferimento inerziali
Sono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio della dinamica.
I sistemi di riferimento non inerziali
I sistemi che si muovono di moto accelerato rispetto al Sole NON sono sistemi
inerziali: non vale il principio d'inerzia.
Il ragazzo è spinto anche se su di lui non agiscono forze.
I sistemi di riferimento non inerziali
Consideriamo ora lo stesso fenomeno visto da un sistema di riferimento
inerziale:
Il ragazzo si muove e continua a muoversi a 50 km/h.
I sistemi di riferimento non inerziali
Per questo in auto servono le cinture di sicurezza.
Il principio di relatività galileiana
Nel 1632 Galileo Galilei, nel Dialogo sopra i due massimi sistemi, disse che i
fenomeni che accadono su una nave ferma sono invariati se la nave si muove a
velocità costante.
Il principio di relatività galileiana
Principio di relatività: le leggi della meccanica sono le
stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali,
indipendentemente dalla loro velocità relativa.
Quindi nessun esperimento
svolto
al
chiuso
può
permetterci di capire se siamo
fermi o in moto rettilineo
uniforme.
L’effetto delle forze
In ogni sistema inerziale una forza
provoca un'accelerazione.
Applicando una forza costante sul disco
a ghiaccio secco, le foto scattate a t
regolari sono:
L’effetto delle forze
Un corpo su cui agisce una una forza costante si muove con
un'accelerazione costante.
Applicando una forza doppia sul disco a ghiaccio secco, si ha
un'accelerazione doppia.
L'accelerazione è direttamente
proporzionale alla forza applicata.
Il secondo principio della dinamica
L'accelerazione ha stessa direzione e verso della forza ed è inversamente
proporzionale alla massa del corpo.
Nel SI, k = 1: un newton è l'intensità di una forza che applicata a m = 1kg, dà
a = 1 m/s2.
Il secondo principio della dinamica
Secondo principio della dinamica
La forza è uguale al prodotto della massa per l'accelerazione.
F rappresenta la forza totale agente sul corpo.
Il secondo principio è valido solo in sistemi di riferimento inerziali.
Che cos’è la massa
La massa di un corpo può essere misurata in diversi modi:
Che cos’è la massa
La massa di un oggetto misura la resistenza che esso oppone
al tentativo di accelerarlo, cioè la sua inerzia.
Perciò è detta anche massa inerziale.
Il terzo principio della dinamica
Quando un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B ne esercita
un'altra sul corpo A.
I due dinamometri indicano forze uguali in intensità e direzione, ma con
versi opposti.
Il terzo principio della dinamica
Terzo principio della dinamica (o di azione e reazione)
Quando un corpo A esercita una forza su un corpo B, il
corpo B ne esercita una uguale e opposta sul corpo A.
Nei fenomeni quotidiani, l'attrito
fa muovere i corpi più leggeri
verso i più pesanti.
Il terzo principio della dinamica
Il terzo principio si verifica bene nello spazio, in assenza di attriti:
Su oggetti di masse molto diverse, il terzo principio determina
accelerazioni di diverso ordine di grandezza.
(Ad esempio quelle di un sasso e della Terra che si attraggono).
Il terzo principio della dinamica
Tutti i sistemi di locomozione si basano sul terzo principio:
L'attrito radente tra il piede e il terreno ci consente di
avanzare.
Il terzo principio della dinamica
Altri esempi di locomozione:
L'attrito volvente tra
L'attrito viscoso tra
ruota e terreno consente remo e acqua consente
all'auto di avanzare.
alla barca di avanzare.
Il terzo principio della dinamica
Supponiamo di porre su una slitta una calamita ed un blocco di
ferro:
Se la forza del blocco sulla calamita fosse diversa da quella
della calamita sul blocco, la slitta inizierebbe a muoversi in
assenza di forze motrici esterne.
Introduzione alla Fisica Classica
La quantità di moto
40
La quantità di moto
Il moto a reazione avviene per la legge di conservazione della
quantità di moto.
Il vettore quantità di moto
Il vettore quantità di moto di un corpo è dato dal prodotto della
massa per il vettore velocità.
•
ha la stessa direzione e verso del vettore velocità;
•
è proporzionale alla velocità
e alla massa (a parità di v, p è maggiore per un treno che per
un'automobile).
•
Conservazione della quantità di moto
Consideriamo un fenomeno che simula “l’esplosione” di un corpo
in due frammenti:
p totale era zero all'inizio e rimane zero alla fine.
Conservazione della quantità di moto
Consideriamo ora i due frammenti di massa l'una doppia dell'altra:
p totale era zero all'inizio e rimane
zero alla fine.
Conservazione della quantità di moto
Quindi la quantità di moto di ciascun corpo cambia, mentre la
quantità di moto totale del sistema rimane costante.
Conservazione della quantità di moto
In termini più generali si esprime:
se su un sistema non agiscono forze esterne, la quantità di moto totale del
sistema si conserva.
L’impulso di una forza
Definiamo impulso di una forza F il vettore prodotto della forza per
l'intervallo di tempo durante il quale essa agisce:
L'impulso è legato alla variazione di p:
ovvero
Il teorema dell’impulso
Dalle formule precedenti si ricava il teorema dell'impulso:
ovvero
La variazione della quantità di moto che una forza
determina è uguale all'impulso della forza stessa.
Minimizzare la forza d’urto
Quando si subisce un urto, c'è una
grossa variazione di p.
Poiché
, Furto= p/t.
Se il tempo dell'urto t è più lungo allora
la Furto è più piccola.
Per aumentare t , nelle cadute si
piegano le gambe.
Minimizzare la forza d’urto
Nelle automobili l'intervallo di tempo t viene aumentato (e quindi
Furto minimizzata) utilizzando gli airbag e carrozzerie deformabili.
I principi della dinamica e la conservazione della
quantità di moto
Consideriamo l'interazione di due corpi A e B e utilizziamo la
notazione seguente:
I principi della dinamica e la conservazione della
quantità di moto
Per il III principio della dinamica:
Moltiplicando per t:
Per il teorema dell'impulso si ha:
quindi
I principi della dinamica e la conservazione della
quantità di moto
La formula precedente si può scrivere:
La conservazione della quantità di moto in un sistema isolato è conseguenza
dei princìpi della dinamica.
L'emissione di gas dai motori
dell'aereo determina la spinta
in avanti.
Urti
La foto mostra l'urto di due biglie di massa diversa:
Urti
Se rappresentiamo con frecce dello stesso colore delle biglie le
quantità di moto iniziali e finali, si vede che la quantità di moto
totale resta la stessa prima e dopo l'urto.
Urti su una retta
Durante un urto i due corpi che collidono rappresentano un
sistema isolato, quindi la quantità di moto totale si conserva.
m1, m2: masse
dei corpi
v1, v2: velocità
prima dell'urto
V1, V2: velocità
dopo l'urto
Urto elastico
Durante un urto elastico si conservano:
• la quantità di moto totale;
• l'energia cinetica totale.
Urto elastico
Se conosciamo le masse di corpi e le velocità iniziali, possiamo
ricavare le velocità finali risolvendo il sistema:
p1 + p2 = cost.
K1 + K2 = cost.
In cui compaiono due equazioni nelle due incognite V1 e V2.
Urto completamente anelastico
I due oggetti che collidono rimangono uniti dopo l'urto:
Urto completamente anelastico
In un urto completamente anelastico V1 = V2 = V:
la velocità finale V è determinata dalla sola legge di
conservazione della quantità di moto.
Si ha
ovvero
Urti obliqui
Caso semplice: due biglie uguali di massa m, di cui una inizialmente ferma;
urto elastico.
Indichiamo con:
Urti obliqui
1) Imponiamo la conservazione di p:
dividendo per m:
2) Imponiamo la conservazione di K:
ovvero
Il triangolo ABC è rettangolo.
Dopo l'urto le due biglie hanno velocità perpendicolari tra loro.
Introduzione alla Fisica Classica
La forza peso
64
La forza gravitazionale
Tra due corpi di massa m1 e m2, posti a distanza r, si esercita
sempre (non solo sulla Terra!) una forza di mutua attrazione
diretta lungo la congiungente tra i due corpi
proporzionale alle due masse
inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
F G
m 1m 2
r
2
G è la costante di gravitazione universale pari a
G 6 . 67 10
11
2
N m / kg
2
La forza peso
E' la forza di gravità con cui ogni corpo sul nostro pianeta
viene attratto dalla Terra.
Si può misurare con la bilancia a molla.
Il modulo FP della forza-peso che agisce su un oggetto è
direttamente proporzionale alla sua massa m:
La forza peso
Massa
Grandezza fondamentale proprietà intrinseca dei corpi
Si misura in Kilogrammi nel Sistema Internazionale
È una grandezza scalare
Peso
E’ una forza
E’ una grandezza vettoriale
E’ la forza con cui ogni corpo dotato di massa viene attirato dalla terra
Si minura in N (newton) nel Sistema Internazionale
Spesso si usa come unità pratica il Kgpeso che è la forza con cui la terra
attrae un oggetto dotato di massa pari ad 1 Kg
1 Kg
peso
1 Kg
massa
9 . 81 m / s
2
9 . 81 N
Equilibrio su un piano inclinato
Tre forze agiscono sul carrello in figura:
la forza-peso del vaso+carrello
FP
la forza equilibrante dell'uomo
FE
la forza vincolare perpendicolare al piano
FV
Equilibrio su un piano inclinato
Consideriamo vaso+carrello come un punto materiale.
L’equilibrio su un piano inclinato
La condizione per l'equilibrio delle forze su un piano inclinato è:
Quindi tanto più il piano è inclinato (h/l grande), tanto più deve
aumentare la forza equilibrante FE.
Introduzione alla Fisica Classica
Forze elastiche
Giovanni Della Lunga - Corso di Fisica Generale – CdL in CTF – A.A. 2013/2014
71
La forza elastica
E' quella che tende a fare ritornare una molla deformata nella
posizione iniziale.
E' direttamente proporzionale allo spostamento s della molla.
La legge di Hooke
La forza elastica della molla è direttamente proporzionale
spostamento s dalla posizione di equilibrio (ed ha verso opposto).
k è il rapporto tra la forza e lo spostamento: più è grande, più la molla è
rigida.
La legge è valida per deformazioni piccole rispetto alla lunghezza della
molla.
allo
La legge di Hooke
Equazione del moto
2
F ma m
d x
dt
2
2
kx
d x
dt
2
k
x x
2
m
Il moto risultante è periodico. La posizione di un
corpo che oscilla secondo il moto armonico
semplice, con l'origine del sistema di riferimento
posizionata nel punto attorno al quale avviene
l'oscillazione, può essere descritto attraverso
una funzione sinusoidale di ampiezza e fase
costanti
x ( t ) A cos( t )
Introduzione alla Fisica Classica
Le forze di attrito
75
Le forze di attrito
Sono forze di contatto che hanno sempre
verso opposto al moto.
Attrito radente: si esercita tra due superfici.
Attrito volvente: si ha quando un corpo rotola
su una superficie.
Attrito viscoso: si ha quando un corpo si
muove in un fluido (ad es. l'aria).
Attrito radente
E' dovuta agli urti tra le microscopiche irregolarità delle superfici a
contatto.
Attrito radente statico: ostacolo a mettere in moto un oggetto
fermo.
Attrito radente dinamico: resistenza al movimento di un oggetto
già in moto.
Attrito radente statico
La forza necessaria a mettere in movimento un corpo, vincendo
l'attrito radente statico, è direttamente proporzionale al peso del
corpo su un piano orizzontale.
Attrito radente statico
La forza premente F è il modulo della forza con cui il corpo preme
sulla superficie.
Attrito radente statico
La costante di attrito statico s è un numero puro (adimensionale).
La forza di attrito statico:
non dipende dall'area di contatto tra le superfici;
è parallela alla superficie di contatto;
il suo verso si oppone al movimento.
Attrito radente dinamico
Si ha quando un blocco scivola lungo un piano.
La forza di attrito dinamico ha:
modulo direttamente proporzionale alla forza premente;
direzione parallela al piano;
verso opposto a quello del moto.
Attrito radente dinamico
Il coefficiente di attrito dinamico d è sempre minore di quello di
attrito statico s.
Introduzione alla Fisica Classica
Altre forze
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Forza centripeta
Forza che bisogna applicare ad un corpo per “obbligarlo” a percorrere una
(o un arco di) circonferenza. Questa forza accelera un corpo variandone il
vettore velocità in direzione senza variarne il modulo.
F ma
ac
v
c
2
R
2
R
Attenzione! La forza centrifuga è una forza “apparente” (cioè non dovuta ad
una effettiva causa fisica), la possiamo vedere in effetti come una
“assenza” di forza centripeta (che invece è una forza “reale”).
Introduzione alla Fisica Classica
Il corpo rigido
85
Corpo rigido
Consideriamo corpo rigido un oggetto che non viene deformato,
qualsiasi sia la forza ad esso applicata.
La palla da bowling può essere
schematizzata come un corpo
rigido.
La scatola da scarpe non può
essere schematizzata come un
corpo rigido.
Momento di una forza
Un corpo rigido, a differenza del punto materiale, può ruotare
oltre che muoversi.
Braccio di una forza F rispetto ad un punto O: distanza di O
dalla retta di F .
Momento di una forza
Il momento di una forza F rispetto ad un punto O è un vettore che
ha modulo:
ha direzione perpendicolare al piano contenente F e O;
ha verso dato dalla regola
della mano destra.
Il momento di una forza e il prodotto vettoriale
Il momento di una forza e il prodotto vettoriale
Il momento di una forza F definisce l'effetto di rotazione
della forza.
= 90°: l'effetto di rotazione è massimo
= 0°: l'effetto è nullo.
Se sono presenti più forze,
Momento di una coppia di forze
Una coppia di forze è l'insieme di due forze uguali e opposte
applicate in due punti di un corpo rigido.
L'effetto di rotazione è descritto dal momento della coppia e
non dipende dal punto O scelto.
Momento di una coppia di forze
Per il calcolo del momento si sceglie come punto O quello di
applicazione della forza F1.
Momento di una coppia di forze
Il momento di una coppia ha:
intensità M data da:
direzione perpendicolare al piano della
coppia;
verso dato dalla regola della mano
destra.
Equilibrio di un corpo rigido
Per l'equilibrio devono annullarsi:
la somma vettoriale delle forze applicate (il corpo non si
sposta);
il momento totale di tali forze (non ruota).
Effetto delle forze su un corpo rigido
Spostando una forza agente su un corpo rigido lungo la sua retta d'azione,
il suo effetto non cambia.
Questo accade perché il momento della forza rispetto ad un punto
qualsiasi resta lo stesso.
Effetto delle forze su un corpo rigido
1) Forze che agiscono sulla stessa retta.
Effetto delle forze su un corpo rigido
2) Forze concorrenti.
Effetto delle forze su un corpo rigido
3) Forze parallele. Possono essere:
La risultante è applicata nel punto P tale che:
forze concordi: F = F1 + F2; P compreso tra le due forze.
forze discordi: F = F – F ; P esterno, dalla parte della forza maggiore.
1
2
Il baricentro
Il baricentro o centro di gravità di
un corpo rigido è il punto di
applicazione della forza-peso,
risultante delle piccole forze
parallele applicate ad ogni
volumetto del corpo.
Se un corpo ha un centro di
simmetria, il baricentro è in quel
punto.
Per corpi irregolari il baricentro può
trovarsi anche all'esterno del
corpo.
L’equilibrio di un corpo appeso
Un corpo appeso in un punto P è in equilibrio se il baricentro G
si trova sulla verticale passante per P.
L’equilibrio di un corpo appoggiato
Un corpo appoggiato su un piano è in equilibrio se la retta
verticale passante per il baricentro G interseca la base di
appoggio.
Introduzione alla Fisica Classica
Il momento angolare
102
Il momento angolare
Esaminiamo i moti di rotazione.
Il momento angolare
Per descrivere le rotazioni introduciamo il momento angolare:
(Il vettore quantità di moto ha
stessa direzione e verso
del vettore velocità.)
Il momento angolare
Ricordando la definizione di prodotto vettoriale, L ha:
direzione perpendicolare al piano di r e v;
verso dato dalla regola della mano destra;
modulo L dato dalle formule:
dove è l'angolo tra i
vettori r e p.
Conservazione del momento angolare
Il momento angolare totale di un sistema si conserva se è nullo il
momento totale delle forze esterne che agiscono sul sistema
stesso.
Variazione del momento angolare
Se sul sistema agiscono delle forze che hanno un momento
totale M per un tempo t, la variazione di L è data da:
M è il momento torcente del sistema, che è in grado di
aumentare o diminuire la velocità di rotazione.
