V ITI INFORMATICA
CORSO DI SISTEMI
a.s. 2012/13
ESERCITAZIONE
Filtro passa basso
Obiettivi: partendo dallo schema circuitale di un filtro passa basso, trovare la funzione di
trasferimento ed effettuare lo studio con i diagrammi di Bode.
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FILTRO PASSA BASSO
Sommario
FILTRO PASSA BASSO ......................................................................................................................................... 3
FILTRO PASSA BASSO PASSIVO ...................................................................................................................... 3
DIAGRAMMA DI BODE DI UN FILTRO PASSA BASSO PASSIVO ...................................................................... 4
L’IMPEDENZA ..................................................................................................................................................... 7
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FILTRO PASSA BASSO
FILTRO PASSA BASSO
Un filtro passa basso è costituito da un circuito elettronico che permette solo il passaggio di
frequenze al di sotto di una data frequenza detta "frequenza di taglio".
Può essere di tipo attivo o passivo a seconda della presenza di elementi attivi nel circuito quali
amplificatori oppure solo passivi.
Inoltre, in base alla pendenza del taglio in frequenza, si può distinguere in filtro passa basso di:
1.
2.
3.
4.
primo ordine (20 db per decade)
di secondo ordine (40 db per decade)
di terzo ordine (60 db per decade)
e così via
FILTRO PASSA BASSO PASSIVO
Schema di filtro passa-basso passivo
Il filtro passa basso passivo tra i più semplici filtri da realizzare è il circuito RC in serie che ha la
caratteristica di far passare tutte le componenti di frequenza comprese tra 0 Hz e la frequenza di
taglio che dipende dalle caratteristiche degli elementi che lo costituiscono. Al di là di tale
frequenza il filtro elimina le componenti in frequenza del segnale.
Essendo:
Con:
applicando le L-trasformate con l'ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico, si ha:
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allora:
Che non è altro che un polo reale non nullo.
DIAGRAMMA DI BODE DI UN FILTRO PASSA BASSO PASSIVO
Prima di tracciare il diagramma di Bode, notiamo che:
Dove:
(variabile complessa nel dominio trasformato)
(pulsazione, misurata in radianti al secondo
)
f = frequenza misurata in Hz (Herz)
costante di tempo del circuito RC
Ricordando che:
si calcola l’ampiezza (modulo) della funzione di trasferimento.
Il modulo espresso in dB, risulta:
La fase, risulta:
È appena il caso di sottolineare che il segno meno nella fase, spunta perché siamo nel caso di un
polo, e quindi siamo a denominatore.
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Concludendo, il diagramma di Bode asintotico della fase è composto da due linee:
Per frequenze minori di
è una linea orizzontale a 0 dB;
Per frequenze maggiori di
è una linea con pendenza di – 20 dB per decade.
Queste due linee si incontrano alla frequenza di taglio1. Dal diagramma si vede che per frequenze
molto al disotto della frequenza di taglio il circuito ha un'attenuazione di 0dB, cioè il filtro non
modifica il modulo del segnale. Frequenze al disopra della frequenza di taglio sono attenuate in
misura maggiore tanto più si sale in frequenza.
Tracciando i diagrammi di Bode si vede che l'ampiezza rimane costante fino alla frequenza di
taglio che si ricava imponendo per definizione:
Diagramma di Bode del modulo di un polo reale non nullo
Diagramma di Bode del modulo di un polo reale non nullo
che corrisponde ad una attenuazione del segnale di 3 dB, ottenendo:
Ricorda che la frequenza è pari a:
Dopo tale valore l'ampiezza del segnale diminuisce di 20 dB per decade.
I valori asintotici dell'ampiezza e della fase sono:
1
La frequenza di taglio (
) è un parametro di definizione delle proprietà dei filtri, è viene definita tale come quella frequenza in cui il
modulo del segnale in uscita è attenuato di una valore pari a
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rispetto al segnale di ingresso:
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per
che significa che il sistema RC trasmette il segnale in continua,
per
che significa appunto che l'ampiezza si annulla per alte frequenze,
mentre per la fase:
per
per
per
che significano che il segnale di uscita dal filtro sarà sfasato rispetto all'ingresso, con valori
particolari per
e
.
Notiamo che l'impedenza del condensatore è inversamente proporzionale alla frequenza del
segnale.
Così, se il segnale posto in ingresso avrà una bassa frequenza d'oscillazione, la resistenza del
condensatore sarà molto alta ed un quantitativo maggiore di tensione si ripartirà ai capi del
condensatore. A seconda del valore della resistenza, sotto una certa frequenza (la frequenza di
taglio del circuito), ai capi del condensatore avremo una tensione pressoché uguale alla tensione
di ingresso. Quando il valore della frequenza del segnale di input, supera il valore della frequenza
di taglio, in uscita avremo una tensione attenuata, tendente a zero, rispetto a quella di ingresso.
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L’IMPEDENZA
L'impedenza è una grandezza fisica vettoriale che rappresenta la forza di opposizione di un bipolo
al passaggio di una corrente elettrica alternata. È esprimibile come numero complesso ed è data
dal rapporto tra il fasore della tensione e il fasore della corrente. Comunemente è indicata con Z e
la sua unità di misura è l'ohm. Il termine fu coniato da Oliver Heaviside nel luglio del 1886.
Il concetto di impedenza generalizza la legge di Ohm estendendola ai circuiti funzionanti in regime
sinusoidale (comunemente detto corrente alternata): in regime di corrente continua rappresenta
infatti la resistenza elettrica.
Essa tiene conto dei fenomeni di consumo di energia elettrica e dei fenomeni di accumulo di
energia elettromagnetica. L'impedenza è descritta matematicamente da un numero complesso, la
cui parte reale rappresenta il fenomeno dissipativo e corrisponde alla resistenza, R, nella
schematizzazione con elementi in serie; la parte immaginaria, detta reattanza, X, è associata ai
fenomeni energetici di accumulo.
Indicando con V e I i numeri complessi che rappresentano i fasori di tensione e corrente,
l'impedenza è esprimibile come:
dove con j si è indicata l'unità immaginaria. Il modulo dell'impedenza corrisponde al rapporto dei
valori efficaci di tensione e corrente:
Il suo argomento è l'angolo formato dai vettori rappresentativi della tensione e della corrente:
In notazione polare, o esponenziale, l'impedenza si rappresenta come:
L'inverso dell'impedenza è detta AMMETTENZA:
Per un bipolo passivo :
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la resistenza è un numero sempre positivo
la reattanza può essere positiva o negativa
o nel primo caso prevale l'accumulo di energia magnetica (impedenza induttiva),
o nel secondo quello di energia elettrostatica (impedenza capacitiva).
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Riassumendo si ha:
Reattanza induttiva:
Reattanza capacitiva:
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