Campo Magnetico

Nuova Forza
• La forza Gravitazionale è attrattiva ed agisce su ogni MASSA
• La forza elettrica è attrattiva o repulsiva ed agisce sulle CARICHE
Come Agisce ?
Può essere attrattiva
Un metallo (la magnetite) attira a sé la limatura
di ferro, acciaio e di altri (particolari) metalli
Può essere sia attrattiva che repulsiva
Gli estremi di due pezzi di
magnetite si attraggono o si
respingono
Può indurre un momento di rotazione
Un elemento di magnetite fa cambiare
orientamento ad una sottile lamina di
magnetite in equilibrio su una punta o
sospesa con un filo
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Per ottenere due magneti da un
magnete è sufficiente spezzarlo
in due pezzi.
Frantumando, non importa
quanto finemente, un magnete
ottengo tanti piccoli magneti
A tutt’oggi non è stato ancora possibile costruire un magnete che
sia solo attratto o solo respinto da un altro magnete
A tutt’oggi non è stato ancora possibile ottenere un polo magnetico
(nord o sud) isolato (monopolo magnetico)
L’elemento piu semplice che genera un campo magnetico è quindi
una sbarrettina di dimensione infinitesime (o in prima
approssimazione un ago magnetizzato)
Dipolo Magnetico
Si definisce dipolo magnetico la sorgente più semplice di campo
magnetico. Il dipolo magnetico è l’equivalente del dipolo elettrico.
+
--
Dipolo
Elettrico
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Dipolo
Magnetico
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Campo Magnetico
In analogia a quello che si è fatto nel caso gravitazionale ed
elettrostatico si ipotizza quindi la presenza di un campo di tipo
magnetico generato dalla terra o da una calamita responsabile delle
forze e/o rotazioni osservate sperimentalmente.
Nota:
Questa volta, diversamente che nel caso elettrico o gravitazionale, non
partiamo neanche più dalla forza, ma direttamente dal campo. A partire
dal campo verrà trovata la forza.
Per misurare la presenza di un campo magnetico si utilizza un ago
magnetizzato (una piccola bussola) con attrito trascurabile.
La direzione del campo magnetico sarà quella in cui si orienta la bussola
sonda. Ponendo la bussola in punti differenti sono in grado di disegnare
le linee di campo magnetico
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Magnete Permanente
- Dipolo Magnetico -
Magnete
Permanente
curvato ad U
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Sperimentalmente si verifica anche che:
Il campo magnetico è generato non solo dai
magneti ma anche da fili percorsi da corrente
Un filo percorso da corrente fa
cambiare orientamento ad una
sottile lamina di magnetite in
equilibrio su una punta o
sospesa con un filo
Un pezzo di magnetite fa
cambiare orientamento ad un
circuito percorso di corrente
Due fili percorsi da corrente
subiscono una forza attrattiva o
repulsiva in dipendenza dalla
direzione della corrente che vi
circola
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Circuito percorso da corrente
- Dipolo magnetico -
Filo rettilineo percorso da corrente
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Campo di un dipolo magnetico
Il campo creato da una sbarrettina infinitesima o da un circuito di dimensioni
infinitesime si dice campo di dipolo magnetico in analogia al campo creato da
un dipolo elettrico.
Campo di un dipolo elettrico
Con il rosso è indicato il campo elettrico, con il giallo il potenziale
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Forza Magnetica
Per misurare la forza indotta da un campo magnetico uso ancora un ago
magnetizzato dove però il filo che sostiene l’ago risulta avere una
resistenza costante alla torsione.
Dalla misura della torsione dell’ago posso avere una stima quantitativa
della forza indotta da un campo magnetico
Sperimentalmente si verifica che:
• La forza diminuisce con la distanza dall’oggetto
• La forza può essere attrattiva o repulsiva
• In alcuni casi la forza non è diretta lungo la congiungente i due corpi
(p.es. Un filo percorso da corrente ed un ago magnetizzato)
• La forza dipende dall’orientamento della bussola
• Essa è massima quando l’ago è posto perpendicolarmente alle linee di B
• Essa è nulla quando l’ago è posto parallelamente alle linee di B
Un ago magnetizzato immerso in un campo magnetico B subisce una
forza il cui momento è pari a
M =µ∧B
Il vettore µ è un vettore detto momento magnetico, esso è intriseco del
materiale che costituisce l’ago ed ha la direzione dell’ago ed il verso
pari alla direzione polo nord-polo sud
Ogni calamita ha un suo momento magnetico intrinseco µ
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L’origine del Campo Magnetico
Perché oggetti estremamente diversi come la magnetite, certi metalli e fili
percorsi da corrente sono tutti soggetti alla forza magnetica ?
• Un filo percorso da corrente ⇒ Cariche elettriche in movimento
• Materia ⇒ Sistemi costituiti da cariche in moto
Il Campo Magnetico è generato da cariche in movimento
cariche in movimento sono soggette a forze dovute al Campo Magnetico
Nei magneti permanenti la somma di tutte le correnti elettriche dovute al moto
degli elettroni non risulta nulla (come invece capita negli altri materiali) così che
viene generato un campo magnetico
NON Magnete
Magnete
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- Magnetismo La forza magnetica si dovrà rappresentare come un vettore (esattamente come per
la forza di gravità e la forza di Coulomb) cioè con
• un modulo che indicherà l’intensità della forza
• una direzione che indicherà la direzione lungo la quale agisce la forza
• un verso che indicherà il verso lungo il quale agisce la forza
Ho definito sperimentalmente il vettore campo magnetico che indico con B
• Otterrò sperimentalmente
• Il legame tra B ed la forza magnetica F
• La direzione di B relativamente a F
• Il verso di B relativamente ad F
L’esperimento deve essere il più semplice possibile
• Una particella di carica Q
• La particella è in moto rettilineo uniforme
• La sua velocità è v costante in direzione, verso e modulo
• Una regione di spazio ove il vettore B è costante
• Se la particella subisce una forza osserverò (dalle leggi di Newton):
• Una variazione della velocità
(cioè una accelerazione o una decelerazione)
• Una variazione della direzione di moto
(una deflessione)
• Dalla misura sistematica di questi effetti ricavo una legge generale
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Esperimento:
v
F
Cosa osservo ?
• La forza agisce ortogonalmente alla direzione della velocità
• Se aumento la carica q la forza aumenta linearmente ----->
F ∝Q
• Se B Æ 0 allora anche F Æ 0 --------------------------------->
F∝B
• Se v Æ 0 allora anche F Æ 0 linearmente ------------------>
F ∝v
• A parità di v e B la forza che agisce dipende dalla direzione di moto
• Esiste una direzione ove F = 0
• Esiste una direzione ove F è massima
• Detto θ l’angolo tra la direzione ove F=0 e la direzione attuale
F ∝ v ⋅ sen(θ )
• L’energia cinetica totale della particella non varia
• La particella non accelera ne decelera in modulo
• Se la particella devia, il modulo di v rimane però costante
• Allora la forza magnetica non lavora !!!!!
F = qv × B
Forza di Lorentz
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Vettore Induzione magnetica B
Data una carica q che si muova con velocità v in un campo
magnetico B (orientato di θ rispetto a v) che subisce una forza F.
Si definisce il vettore B di induzione magnetica il vettore che ha
per direzione quella ortogonale a v ed F, verso quello della regola
della mano destra e modulo pari a:
B=
F
q v sin (θ )
Nota:
La definizione di direzione e verso è perfettamente coerente con quella
precedentemente data con l’ago magnetizzato. La direzione è cioè quella
determinata dall’orientamento di un ago magnetizzato ed il verso quello
che va dal polo nord al polo sud del magnete.
La regola della mano destra
vale nel caso della forza di
lorentz e in tutti i casi
compare un prodotto
vettoriale
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Unità di Misura
• Ovviamente la forza magnetica si misura in Newton
(come ogni altra forza)
• Il campo magnetico si misura in Tesla T
• una vecchia unità di misura è il Gauss G ⇒ 1 G = 10-4 T
[T] = [N][s]/([C][m])
• Un Tesla è il campo magnetico necessario affinchè una carica di 1
coulomb con velocità pari a 1 m/s subisca una forza pari ad 1
Newton
Campi Magnetici in Natura
• Sulla superficie di un nucleo ......................................................................... 1012 T
• Sulla superficie di una Pulsar ........................................................................ 108 T
• In un Laboratorio Scientifico (per tempi brevi) ............................................ 103 T
• In un Laboratorio Scientifico (costante) ....................................................... 30 T
• In una macchia solare ................................................................................... 2 T
• In prossimità di un magnete ......................................................................... 2 10-2 T
• In prossimità dell’impianto elettrico di casa ................................................ 10-4 T
• Sulla Terra ..................................................................................................... 10-5 T
• Nello spazio intergalattico ............................................................................. 10-10 T
• In una camera antimagnetica schermata ........................................................ 10-14 T
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Moto di una particella carica in un campo magnetico
E’ data una particella di carica Q in moto rettilineo uniforme con velocità v che
improvvisamente entra in un campo magnetico costante B ortogonale alla velocità v
B
v
Florentz
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La traiettoria finale della particella sarà di tipo elicoidale o, se la velocità
della particella non ha componenti paralleli a B, di tipo circolare:
Nel caso più semplice quindi, la forza di Lorentz agirà su questa particella
deviandola in una traiettoria circolare
v
Campo magnetico entrante
Campo magnetico uscente
F
v
B
F
v
F
R = raggio dell’orbita
w = velocità angolare
f = frequenza
v2
FM = qvB Fc = m
r
FM = Fc
r=
mv
qB
f =
B
ω
qB
=
2π 2πm
La frequenza f (detta frequenza di ciclotrone) non
dipende dalla velocità iniziale della carica
• Le particelle veloci si muoveranno in orbite
molto larghe
• le particelle lente in orbite molto strette
Tutte però avranno lo stesso periodo di rotazione
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La traiettoria di una particella
carica in una carica a bolle in
un campo magnetico
La traiettoria di un fascio di
elettroni in un campo magnetico
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Filo percorso da corrente
Un filo percorso da corrente può essere descritto come un insieme di cariche (gli
elettroni) che si muovono (con velocità v costante) lungo il filo conduttore:
In presenza di campo magnetico questi elettroni subiranno una forza (e di
conseguenza il filo stesso)
F = qv × B
Ciascun elettrone subirà una forza pari a
La forza subita dal filo Ftot sarà risultante di quella subita dai singoli elettroni Fe
Ftot =
∑F
i =1, N
e
=
∑q
i =1, N
e
ve ∧ B
Che per fili rettilinei di lunghezza l in cui passa una corrente i immersi in
un campo magnetico B costante nello spazio diventa
Ftot = il ∧ B
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Per fili rettilinei di lunghezza l in cui passa una corrente i immersi in
un campo magnetico B costante nello spazio diventa
Ftot = il ∧ B
Un campo magnetico
quindi tende a far orientare
perpendicolarmente al
compo magnetico stesso
un circuito percorso da
corrente
Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell
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Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell
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Proprio come per un circuito, un campo magnetico su un ago magnetizzato induce
un rotazione dell’ago stesso fino a farlo allineare con B, in altre parole subisce un
Momento M
M = µ×B
Dove è µ una costante caratteristica del circuito stesso
Principio di Equivalenza di Ampere
L’azione di un campo magnetico su un ago magnetizzato di momento magnetico µ
è identica a quella su una spira piana di superficie S percorsa da un corrente i se
M = µ×B
M = iS n × B
iS = µ
Oppure:
Il campo magnetico generato da una spira percorsa da corrente è identico a quello
generato da un magnete di momento magnetico corrispondente
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Riassunto:
• La fenomenologia sperimentale del magnetismo associa oggetti a prima
vista sensibilmente diversi (circuiti, magneti, metalli)
• L’ipotesi che cariche in movimento generano un campo magnetico
insieme all’ipotesi atomica inizia ad unificare lo scenario
• La forza di Lorentz applicata nelle varie situazione unifica formalmente
queste diverse facce del magnetismo
• Una volta che siamo in grado di calcolare/misurare la forza è possibile
risalire al modulo del vettore Campo Magnetico B (la direzione e verso
la ottengo con un ago magnetico)
Tuttavia:
Sappiamo che le leggi della fisica sono identiche in tutti i sistemi inerziali (cioè in
tutti i sistemi il cui moto relativo è rettilineo uniforme)
Tuttavia un elettrone in movimento con velocità v (costante) genera un campo
magnetico e subisce la forza di Lorentz mentre un elettrone fermo genera solo un
campo elettrico.
Due sistemi inerziali in moto tra loro osserverebbero l’elettrone generare campi
magnetici differenti e/o subire forze di Lorentz differenti.
Quest’assurdo non è risolvibile nell’ambito della fisica classica, è necessaria la teoria
della relatività ristretta per rimettere tutto a posto.
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Fili percorsi da Corrente
Legge di Biot-Savart:
Un filo rettilineo percorso da una corrente di intensità ‘i’ produce un campo di
induzione magnetica circolare attorno all’asse del filo di intensità:
µ0 i
B=
2π r
µ0 i ∧ r
B=
2π r 2
Dove
µo= 4π 10-7 = 1.26 10-6 [Volt][sec] / [ampere][metro]
r = distanza radiale tra il filo ed il punto ove
voglio calcolare B
• L’intensità del campo magnetico decresce con la distanza
• L’intensità del campo magnetico aumenta con l’intensità di corrente
Prima formula di Laplace
Qualsiasi sistema che generi un campo magnetico può quindi essere visto come un
insieme di cariche in movimento. Utilizzando il Principio di sovrapposizione è
possibile formulare una relazione generale, detta prima formula di Laplace, per il
calcolo del vettore Induzione Magnetica B
µ0 dl ∧ r
dB =
i
3
4π r
dl
i
• i l’intensità di corrente che passa sul filo
r
B ??
• dl rappresenta il segmento infinitesimo di
filo percorso da corrente
• r la distanza tra il segmento dl ed il
punto ove voglio calcolare B
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Solenoide
Il solenoide consiste in un avvolgimento cilindrico di filo conduttore ove la lunghezza
sia molto maggiore del raggio di base. All’interno di un solenoide il campo magnetico
è rettilineo e costante, al suo esterno è in pratica nullo.
B = nµ oi
n ⇒ numero di avvolgimenti per m
µo= 4π 10-7 = 1.26 10-6 [Volt][sec] / [ampere][metro]
Come nel caso del campo elettrico con il condensatore, il solenoide è
sperimentalmente molto importante in quanto permette di creare un campo magnetico
rettilineo, costante e confinato nello spazio, facilmente regolabile dall’esterno.
(p.es. Nella NMR si entra all’interno di un solenoide)
Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell
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Esempio alla lavagna:
Ordini di grandezza sui magneti
Elettromagnetismo - Cap. XXIII Cutnell
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Campo Elettrostatico e Campo magnetostatico
L’esempio della carica in moto + relatività ristretta indicano che devono
essere in qualche modo ‘parenti’ in quanto si trasformano uno nell’altro
Campo Elettrostatico
Campo Magnetostatico
Ho due cariche elettriche
fisicamente separabili
Ho due poli fisicamente NON
separabili
Non esiste il Monopolo magnetico
Le linee di campo iniziano e
finiscono nelle cariche elettriche
Le linee di campo sono sempre
chiuse
Una misura determina E
univocamente
Una misura NON determina
univocamente B
Posso definire un potenziale U
- E’ un campo conservativo -
Difficilmente potrò definire un
potenziale
- NON è un campo conservativo -
∫ E ⋅ dl = 0
l
NON Vale il principio di
Vale il principio di azione e
XXIII Cutnell
e reazione
reazione Elettromagnetismo - Cap.azione
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