Geometria Sacra – Confronto tra la Matrice Di Progetto Rettangolare MDPR e la
Matrice Di Progetto Rettangolare Quadrilunga MDPRQ con verifica delle congruità
relative con la piantina di base del Duomo di Firenze.
Sergio Dr. Ing. Berti
Presidente Associazione Architettura e Geobiologia Studi Integrati
Abstract
A seguito di esperienze di ricerca e di studio già effettuate su alcuni monumenti storici,di epoche diverse,in Italia e all’
estero,al riguardo dell’ armonia delle forme di base relative (Chiesa della Vera Cruz di Segovia,Chiesa di
Eunate,Cappella Templare di Laon ,Giardino della Villa Medicea di Quarrata, Cavaneo dello Spirito Santo Lerici, Duomo
di Carrara,Pantheon di Roma e altri ), è stato effettuato un confronto tra la Matrice Di Progetto Rettangolare MDPR
(utilizzata per definire, in passato,le dimensioni ed i dettagli di molti edifici importanti, e basata su di un rettangolo
derivante dalla figura che si ottiene sovrapponendo sullo stesso asse con vertici contrapposti due triangoli identici,con
basi in rapporto aureo con le altezze) e la Matrice Di Progetto Rettangolare Quadrilunga MDPRQ ( basata come
elemento di partenza,per il suo sviluppo, su di un quadrilungo ed avente una conformazione finale di un rettangolo ( 5
X 4 ) suddiviso in venti quadrati uguali ).Anche la matrice MDPRQ è stata utilizzata per definire le dimensioni di alcuni
edifici storici e , quindi , il presente studio vuole mettere a confronto le due metodologie,evidenziando pregi e difetti,
attraverso la verifica delle congruità relative con un monumento importante come il Duomo di Firenze .
Premessa
La Matrice Di Progetto Rettangolare Quadrilunga MDPRQ è basata, come elemento iniziale per il suo
sviluppo ,su di un rettangolo speciale,chiamato quadrilungo,che è formato dall’unione di due quadrati
identici ( vedere Fig. 1 ).
Figura 1 – Quadrilungo formato dall’unione di due quadrati identici con la caratteristica peculiare ,in caso di lato unitario,di avere
le diagonali pari a radice di 5 . ( Fonte ed elaborazioni : Sergio Berti )
Il quadrilungo ,se i lati dei quadrati sono unitari , ha la lunghezza delle diagonali pari a radice di 5.Questa
caratteristica peculiare del quadrilungo è importante per il legame con il rapporto aureo Phi ( numero
irrazionale pari a 1,6180339887… ). Il rapporto aureo Phi si ottiene sviluppando la sotto indicata
espressione numerica dove compare anche la radice di 5 :
Phi = ( 1 + RAD 5 )/ 2
(1)
L’ espressione (1) sopraindicata, per ottenere il valore di Phi, si può risolvere,per via geometrica, come è
indicato in figura 2 .
Figura 2 : Calcolo per via geometrica del valore del rapporto aureo Phi ( Fonte ed elaborazioni di Sergio
Berti )
Dalla figura 2, si evidenzia che la metà del lato maggiore del rettangolo globale è pari a Phi e che , inoltre,
valgono anche le seguenti relazioni :
AC /AB = A’C’/A’B’ = Phi = 1,6180339887…
(2)
Partendo da un quadrilungo di base, si può,attraverso multiplazioni in verticale ed in orizzontale come
indicato in Figura 3 ,arrivare a definire la Matrice Di Progetto Rettangolare Quadrilunga ( 5 X 4 ) formata da
20 quadrati totali tutti identici ( vedere figura 4 ).
Figura 3 – Multiplazioni orizzontali e verticali del quadrilungo ( fonte ed elaborazioni di Sergio Berti )
Figura 4 – Matrice Di Progetto Rettangolare Quadrilunga MDPRQ ( Fonte ed elaborazione di Sergio Berti)
Le caratteristiche geometriche principali della Matrice MDPRQ sono di seguito indicate :
AC/OB = 1,6
AE/AB = 3,2015621187…
(3)
Ne segue che il rapporto tra le basi e le altezze dei triangoli ACO e EFO non corisponde al numero
aureo irrazionale Phi ,pari a 1,6180339887… , ma ad un numero razionale pari a 1,6 prossimo a
Phi.
Analogamente, il rapporto tra la lunghezza delle diagonali e la lunghezza del semilato minore non
corrisponde a PI Greco,numero irrazionale,pari a 3,1415926535… ma ad un numero irrazionale
pari a 3,2015621187… prossimo a PI Greco.
Caratteristiche della Matrice Di Progetto Rettangolare MDPR a
confronto con quelle della Matrice MDPRQ
La Matrice Di Progetto Rettangolare ( MDPR ) nella versione più semplice, con solamente gli
elementi di riferimento principali, è rappresentata in figura 5 .
Matrice Di Progetto Rettangolare ( MDPR )
B1
F
E
A1
C1
C2
A2
O
G
D
E2
F2
F1
E1
A
B
C
AC = OB * 1,618
A C C1 A1 = E F F1 E1 = Quadrati
AE = AB * 3,14
A C A2 = C A C2 = E F E2 = F E F2 = Triangoli Pitagorici 3 - 4 - 5
Figura 5 : Matrice Di Progetto Rettangolare ( MDPR ) e relazioni geometriche principali relative di cui AE=AB*3,141 è
approssimata con un errore dell’ ordine di 1,464 % ( Fonte : Sergio Berti ed elaborazione di Sergio Berti )
La Matrice ( MDPR ) è basata su di un rettangolo con ben definite relazioni geometriche ed, in
particolare,come indicato anche in figura 5 , le principali sono :
AC = OB * 1,618
AE = AB * 3,1875 = AB*3,14
(4)
(circa)
(5)
Sono inoltre riportati i Triangoli Pitagorici 3 , 4 , 5 ed i Quadrati con dimensioni pari al lato minore
del rettangolo principale. Nelle ricerche precedentemente effettuate su monumenti antichi , si è
notato una corrispondenza tra le linee principali della Matrice e gli elementi portanti della
struttura dell’ edificio. Elaborazioni geometriche più complesse,mediante il tracciamento di linee
verticali al lato minore ed orizzontali al lato maggiore integrate anche da proiezioni da vari punti
del perimetro del rettangolo principale, è possibile ricavare tutti i punti caratteristici della piantina
di base ed individuare completamente le forma ed il dimensionamento delle pareti e delle
colonne.
Nella figura 6, è riportato un confronto tra le linee principali della matrice MDPR e della Matrice
MDPRQ. Come si può notare ,a parità di dimensione del lato minore ( larghezza ) ,la Matrice
MDPRQ è leggermente più lunga perché è basata sul numero 1,6 e non sul numero aureo
irrazionale 1,6180339887…. .L’incremento in lunghezza complessivo della Matrice MDPRQ è dell’
ordine del 1,125% rispetto alla Matrice MDPR. Quest’ultima è formata da rettangoli generati dalle
linee derivanti dal riporto dei quadrati con lato pari a quello minore ( vedere figura 5 ) e da quattro
triangoli Pitagorici ( 3-4-5 ) dove il 4 corrisponde al lato minore della Matrice. Collegando le
mezzerie dei lati maggiori e minori nella matrice MDPR ,come indicato in Figura 6,si ottiene un
rombo importante per i suoi punti di incrocio con le linee sia verticali che orizzontali che si
verranno a creare,durante lo sviluppo della Matrice. L’ incrocio delle ipotenuse dei triangoli
Pitagorici crea ,a sua volta, un rombo più piccolo importante per i suoi punti di incrocio con le
linee sia verticali che orizzontali che si verranno a creare, durante lo sviluppo della Matrice. Il
rettangolo orizzontale, formato dalla prima linea orizzontale che si incontra dopo il lato minore
superiore e dalla prima linea orizzontale che si incontra dopo il lato minore inferiore,genera a sua
volta ,riportando i quadrati ed i triangoli pitagorici relativi , delle linee verticali importanti per la
creazione delle strutture principali dell’ edificio dimensionabile con l’ utilizzo della matrice MDPR.
Figura 6 – Confronto tra la Matrice MDPR e la Matrice MDPRQ ( Fonte ed elaborazione di Sergio
Berti )
Verifica della congruità delle Matrici MDPR e MDPRQ con la
piantina del Duomo di Firenze ( Santa Maria del Fiore )
Il Duomo di Firenze è la quarta Chiesa della Cristianità per grandezza , dopo la Basilica di San Pietro, la
Cattedrale di San Paolo a Londra, e il Duomo di Milano ( vedere ,in figura 7, il Duomo di notte ).
Figura 7 – Duomo di Firenze di notte ( Fonte : Wikipedia )
La Chiesa è lunga 160 metri, larga 90 metri al transetto della crociera e 43 metri alle navate, mentre il
basamento della cupola è largo 92 braccia fiorentine, pari a 54,8 metri ( vedere figura 8 ) .
Figura 8 – Evoluzione storica della pianta di Base del Duomo di Firenze e dimensioni della pianta
attuale ( Fonte : Wikipedia-Cattedrale di Santa Maria del Fiore ed elaborazioni di Sergio Berti )
La costruzione, iniziata sulle antiche fondazioni della chiesa di Santa Reparata nel 1296 a Arnolfo di
Cambio, fu continuata da Giotto a partire dal 1334 fino alla sua morte avvenuta nel 1337.
Francesco Talenti e Giovanni di Lapo Ghini la continuarono nel 1357. Nel 1412 la nuova cattedrale
fu dedicata a Santa Maria del Fiore, e consacrata il 25 marzo del 1436 al termine dei lavori della
cupola del Brunelleschi da papa Eugenio IV. Come si può notare dalla figura 8 , ha una pianta
peculiare, composta di un corpo basilicale a tre navate saldato ad una enorme rotonda triconica
che sorregge l'immensa Cupola del Brunelleschi, la più grande Cupola in Muratura mai costruita.
La verifica della congruità delle Matrici MDPR e MDPRQ con la piantina del Duomo è stata
effettuata sulla piantina indicata in figura 8, per indisponibilità di una piantina più dettagliata.
In figura 9, è indicata la pianta del Duomo di Firenze con sovrapposta la Matrice MDPR ,completa a
livello medio, per non appesantire troppo l’ immagine di linee proiettive dai vari vertici e mezzerie.
Figura 9 – Pianta del Duomo di Firenze con sovrapposta la Matrice MDPR completa a livello medio (Fonti :Pianta –
Wikipedia-Cattedrale di Santa Maria del Fiore ed elaborazioni di Sergio Berti )
Come si può osservare dalla figura 9,la corrispondenza tra le dimensioni ed i particolari del Duomo , la
struttura e le principali proiezioni della Matrice MDPR è di buon livello.Proseguendo con le proiezioni è
possibile identificare dimensionalmente e localizzare con precisione anche i particolari più minuti.
In figura 10, è indicata la pianta del Duomo di Firenze con sovrapposta la Matrice MDPRQ ,completa a
livello medio, per non appesantire troppo l’ immagine di linee proiettive dai vari vertici e mezzerie.
Figura 10 – Pianta del Duomo di Firenze con sovrapposta la Matrice MDPRQ completa a livello medio (Fonti :Pianta –
Wikipedia-Cattedrale di Santa Maria del Fiore ed elaborazioni di Sergio Berti )
Come si può osservare dalla figura10 ,la corrispondenza tra le dimensioni ed i particolari del Duomo , la
struttura e le principali proiezioni della Matrice MDPRQ è di buon livello nella parte superiore della Chiesa
che è ,quindi, di realizzazione più recente.Proseguendo con le proiezioni,è possibile identificare
dimensionalmente e localizzare con buona precisione anche i particolari più minuti.Andando verso l’
ingresso e ,quindi, verso la parte più antica preesistente dell’ edificio, le colonne non vengono a
corrispondere con gli incroci relativi di quantità dell’ ordine del metro.Questo aspetto richiederebbe una
verifica maggiormente accurata; dovrebbe,infatti , essere confermato tramite l’utilizzo di una pianta di base
migliore di quella impiegata nella presente ricerca.
Conclusioni
La presente ricerca che ha permesso il confronto di due approcci progettuali dimensionali
,utilizzati nel passato e basati sul rapporto aureo ( Matrice MDPR ) e sulla radice di 5 ( Matrice
MDPRQ ),ci consente di constatare,in via preliminare e con le limitazioni di una pianta di base non
ottimale,che nella relizzazione della versione finale del Duomo di Firenze la matrice di Progetto
utilizzata è stata quella MDPR.
Le verifiche effettuate andrebbero confermate nuovamente, attraverso l’utilizzo di una pianta di
base del Duomo più idonea, e con maggiore certezza di rispondenza allo stato della realtà
dimensionale dell’ edificio.In ogni caso,la leggera differenza di circa un metro in più ,ogni 100
metri ,nel caso di utilizzo della Matrice MDPRQ nella costruzione di un edificio simile “ex novo”,
senza il riutilizzo ed integrazione di una parte preesistente, non comporterebbe ,a parità di forme,
delle differenze in grado di inficiare gli aspetti strutturali e nemmeno quelli armonici.
Bibliografia
Ambrosini D.; Berti S. ;Galassi M. ; Geometria Sacra – Armonia delle forme nella pianta di base del
Duomo di Carrara- 2014- – www.scribd.com/sergio_berti
Berti S. - Sacred Geometry-Hypothesis about the modality of project of La Vera Cruz Church in
Segovia Spain – www.scribd.com/sergio_berti
Berti S.- Geometria Sacra-Matrici di Progetto a confronto nella realizzazione di Terra del Sole,città
ideale e fortezza rinascimentale della Romagna Toscana,nei pressi di Forlìwww.scribd.com/sergio_berti
Berti S. – Geometria Sacra- Armonia delle forme nella pianta di base del Pantheon Adrianeo di
Roma - 2014- – www.scribd.com/sergio_berti
Berti S.; Crocini G. – Seminario sulla Sezione Aurea-Associazione Architettura&Geobiologia Studi
Integrati-20 Settembre 2014-Sala Convegni del Mulino Forti-Centro storico di Carrara
Wikipedia-Cattedrale
di
Santa
Maria
www.it.wikipedia.org/wiki/Cattedrale_di_Santa_Maria_del_Fiore
del
Fiore
-
Ringraziamenti
Un particolare ringraziamento all ‘ Architetto Giovanni Crocini per avere dedicato buona parte del
suo Tempo ad approfondire le tematiche correlate agli aspetti della Geometria Sacra e della
Sezione Aurea.
Ringraziamenti a tutti i Soci dell’ Associazione Architettura e Geobiologia Studi Integrati che
hanno partecipato e stanno continuando a partecipare ai Seminari sulla Geometria Sacra
organizzati dall’ Associazione.
Speciali ringraziamenti a tutti gli Allievi del Corso “Diamo vita al centro storico di Carrara”
dell’Università del Tempo Libero di Carrara-Avenza per l’ interesse dimostrato per la Geometria
Sacra.
Figure ed elaborazioni
Fig.1,2,3,4,5,6,9,10 – Foto ed elaborazioni di Sergio Berti
Fig. 6 - Tratta da WIKIPEDIA-: Wikipedia-Cattedrale di Santa Maria del Fiore
www.it.wikipedia.org/wiki/Cattedrale_di_Santa_Maria_del_Fiore
-
Fig. 7 –Tratta da WIKIPEDIA-: Wikipedia-Cattedrale di Santa Maria del Fiore www.it.wikipedia.org/wiki/Cattedrale_di_Santa_Maria_del_Fiore ed elaborazione di Sergio Berti
