Flusso del campo elettrico

Flusso del campo elettrico
FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO
Si considera una carica elettrica , Q, puntiforme positiva. Le linee di forza del campo elettrico sono
delle rette che escono dalla carica ed hanno il verso uscente. Nello spazio circostante la carica si
considera, per semplicità, una superficie piana. Questa viene attraversata da linee di forza la cui
intensità dipende dal valore della carica elettrica.
Si prendano un campo elettrico costante ed uniforme ed una superficie piana, come mostrato in
figura.
La superficie viene individuata mediante un vettore la cui direzione è ad essa perpendicolare.


Si definisce flusso, , del campo elettrico, E , attraverso la superficie S , il prodotto scalare tra il


vettore campo elettrico E ed il vettore superficie S .

 
 S( E ) = E  S = EScos 
dove  è l’angolo formato tra il vettore superficie ed il vettore campo elettrico, nel punto in cui la linea
di forza interseca la superficie.
L’unità di misura del flusso è il Nm2C-1
Adesso si considera il flusso attraverso una superficie S prodotto da una carica puntiforme. Ora
l’angolo tra la superficie ed il vettore campo elettrico non è costante, allora si suddivide la superficie S
in tante piccole superficie Si. Per ognuna delle superficie elementari Si il flusso è

 
 S i E i  E i  S i  E i  S i  cos  i
 
1
Flusso del campo elettrico


 
Il flusso totale,  S( E ), è la somma di tutti i flussi elementari  S i E i
Il caso più interessante per il valore del flusso del campo elettrico è quello in cui la superficie è
chiusa. In questa situazione si hanno due casi: 1) la carica elettrica o le cariche elettriche che si trovano
all’interno della superficie chiusa; 2) la carica elettrica o le cariche elettriche si trovano al di fuori della
superficie chiusa. In entrambi i casi le superficie chiuse possono essere assimilabili a delle sfere
(l’affermazione può essere tranquillamente dimostrata).
Carica all’interno di una superficie sferica
Per semplicità si considera una carica elettrica, Q, che viene posta al centro di una sfera (se, invece,
si avesse il caso di più cariche o distribuzione di cariche poste a caso dentro la superficie sferica le
conclusione sarebbero le stesse).
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Flusso del campo elettrico
Il calcolo del flusso della carica, Q, posta al centro della sfera è abbastanza semplice. I vettori campo
elettrico e superficie sono paralleli tra di loro e quindi l’angolo che essi formano è zero (cos0°=1).
Inoltre sulla superficie sferica il campo elettrico è costante e perpendicolare alla superficie, ed il suo
valore è:
E =
1
Q
 2
4   0 R
Il flusso totale attraverso la superficie sferica è:

1
Q
Q
 S  E  
 2   4R2 
0
 4  0 R 


Il risultato ottenuto è di validità generale. Se, invece di una carica, abbiamo diverse cariche
distribuite all’interno della sfera in modo casuale (Qtot = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn), allora il flusso totale
è:
 S  E =
Q1 + Q 2 + Q 3 + . . . . + Q n
Q Tot
=
0
0
Carica all’esterno di una superficie sferica
Una carica, Q (o una distribuzione di cariche), si trova all’esterno di una superficie sferica.
Una linea di forza interseca la superficie sferica in due punti: A e B. In A i vettori campo elettrico e
superficie formano un angolo ottuso, il cui coseno è negativo, di conseguenza il flusso è negativo. In B
i vettori campo elettrico e superficie formano un angolo acuto, il cui coseno è positivo, allora il flusso è
positivo. Sommando tutti i contributi positivi e negativi del flusso, si ottiene che il flusso totale e nullo
( S(E) = 0).
Unendo i risultati relativi alle due situazioni circa la distribuzione di cariche e la superficie chiusa, si
può concludere che: il flusso del campo elettrico, E, uscente da una superficie chiusa, S, contenente
n cariche, Qtot = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn, è dato da:
3
Flusso del campo elettrico
n
Qi
Q 1 + Q 2 + Q 3 + .... + Q n Q Tot 
i 1
 S E =
=

0
0
0
Pertanto il flusso attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla cariche che si trovano al
suo interno.
La conclusione è il teorema di Gauss o prima equazione di Maxwell.
Il valore numerico del flusso può essere sia positivo che negativo e dipende dal valore della carica
totale. Se il flusso è negativo si ha un flusso entrante, invece se il flusso è positivo allora esso è
uscente.
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