Si arresterà l’espansione dell’Universo?
Le misure di Hubble spingono a pensare che le galassie degli ammassi vicini al nostro ammasso
locale si stiano allontanando dalla Via Lattea. In altri termini l’Universo è in continua espansione.
Nasce dunque la domanda: l’universo si espanderà per sempre o l’espsansione prima o poi si
arresterà?
In queste pagine definiremo un po’ meglio la questione. In particolare vedremo che affrontando il
problema in termini di energia delle galassie che sembrano ‘fuggire’ dalla nostra potremo capire
quale grandezza fisica gli astrofisici dovranno misurare per capire quale sarà li destino
dell’espansione dell’universo. Al termine del nostro lavoro vedremo che la grandezza fisica che si
dovrà misurare sarà la densità di massa dell’universo (ovvero la quantità di massa per unità di
volume – (kg/m3). Scopriremo che se la densità dell’universo è maggiore di un certo valore c
(detto densità critica) l’espansione si fermerà e le galassie collasseranno verso uno stesso punto, se
la densità dell’universo è minore o uguale di c l’espansione non si fermerà mai. Come vedremo:
3H 2
.
C
8G
La gravità frena l’espansione.
In base a quanto abbiamo detto fino ad ora è chiaro che la forza di gravità tra le varie galassie,
essendo attrattiva, freni l’espansione. Dobbiamo quindi capire se la forza di gravità sarà sufficiente
intensa da fermare l’allontanemento e dar vita quindi ad un processo di avvicinamento (collasso
dell’universo). Ricordiamo che le altre 3 forze oggi note (forza elettromagnetica, forza nucleare
debole e forza nucleare forte) non giocano alcun ruolo a livello cosmologico in quanto le galassie
sono globalmente neutre e le forze nucleari agiscono a livello nucleare cioè all’interno di regioni
molto piccole. (le distanze intergalattiche sono invece enormi). Detto questo pare di poter affermare
che l’epsansione sia necessariamente in frenata (a<0).
Trattazione energetica del problema dell’epsansione dell’universo.
Consideriamo una galassia
A a distanza r dalla nostra,
che fugge da noi (cioè dalla
nostra galassia) con velocità
v (secondo la legge di
Hubble). Indichiamo con m
la massa della galassia A,
con M la massa della
regione d’universo
compresa all’interno della
sfera di raggio r centrata
nella nostra galassia.
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Energia totale della galassia A
L’energia totale della galassia A è:
1 2 GmM
mv
2
r
Attenzione: questa formula richiede qualche spiegazione:
a. l’energia potenziale gravitazionale è scritta come se ci fossero due masse a distanza r che si
attraggono (m e M la massa interna alla sfera). Bisogna però chiedersi come mai le masse
presenti al di fuori della sfera di raggio r non entrino in gioco. In fondo anche loro
attraggono dall’esterno la galassia A.
b. La massa M è distribuita all’interno della sfera e non è concentrata nel centro della sfera.
Eppure nella formula dell’energia potenziale si scrive a denominatore r (la distanza tra le
due masse che si attraggono). Stiamo quindi agendo come se pensassimo che tutta la massa
M sia posta nel centro della sfera.
ETOT ECIN E POT
Sia la considerazione a. sia la considerazione b. sono tutt’altro che ovvie e su di esse torneremo alla
fine del nostro discorso. Per adesso diciamo che sono entrambe assunzioni ragionevoli grazie a un
famoso teorema matematico che va sotto il nome di teorema di Gauss. Parleremo di questo teorema
più avanti.
Ora esaminiamo alcuni casi possibili del problema energetico in questione (cioè quello che
concerne l’energia di una galassia che fugge da ‘noi’). Esistono 3 casi possibili: la galassia ha
energia totale negativa, energia totale positiva, energia totale nulla. Discutiamo il primo caso:
Energia totale negativa.
La figura sottostante riassume graficamente l’andamento dell’energia potenziale gravitazionale al
variare di r (ramo di iperbole nero), e dell’energia totale (essendo costante il suo grafico consiste in
una linea orizzontale blu)
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Supponiamo che una galassia in fuga sia in posizione r1; la sua energia potenziale (negativa) è
indicata dalla freccia nera. Visto che l’nergia totale è quella indicata dalla linea blu quella galassia
deve per forza avere energia cinetica (sempre positiva) pari alla freccia verde (quindi sempre rivolta
verso l’alto). In questo modo infatti la ‘somma’ delle frecce dà l’effettiva energia totale. Ne
deduciamo che una galassia possa stare in quella posizione e stando in quella posizione deve per
forza avere energia cinetica pari alla lunghezza della freccia verde.
Se la galassia fosse in posizione rc l’energia potenziale uguaglierebbe l’energia totale, dunque la
cinetica è pari a zero. Anche questa è una situazione possibile (basta che la galassia sia ferma in rc),
dunque una galassia può stare in rc ma è ferma. (Riflessione. Una galassia in rc è ferma ma ancora
soggetta a forza di attrazione gravitazionale – perché non è ancora infinitamente lontana dal centro
di attrazione, rc non è infinito – ne segue che il suo destino è di ricadere verso il centro).
Ora chiediamoci se una galassia con l’energia totale indicata in figura potrebbe trovarsi in posizione
r2. La risposta è no. Per farlo avrebbe bisogno di abbassare ulteriormente la sua energia potenziale,
per arrivare all’energia totale blu: avrebbe dunque bisogno di energia cinetica negativa (ma questo è
impossibile). Segue che r2 è una posizione vietata.
Conclusione: se la galassia avesse energia negativa la sua fuga continuerebbe fino ad una distanza
finita (rc) da noi e poi l’epsansione si arresterebbe convertendosi in un collasso (Il collasso si
concluderebbe in un futuro big crunch).
Nota. Gergo fisico: Il potenziale gravitazionale forma una buca di potenziale. La galassia con
energia totale minore di zero a causa della buca di potenziale si trova in uno stato legato (non può
allontanarsi indefinitamente né da una parte né dall’altra).
Energia totale positiva
In questo caso tutte lo posizioni sono permesse alla galassia. A mano a mano che si allontana dal
centro attrattore (r crescente) diminuirà la sua energia cinetica, ma quand’anche la galassia
raggiungesse distanza infinita le avanzerebbe ancora energia cinetica. All’infinito Epot = 0 e Ecin =
Etot.
In tal caso allora l’espansione non si arresterebbe mai.
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Energia totale nulla.
La discussione del caso ad energia totale nulla è lasciato come esercizio. E’ chiaro comunque che
anche in tali condizioni l’epsansione non si arresterebbe mai.
Densità dell’universo
Se l’energia totale fosse maggiore o uguale a zero l’espansione dell’unverso non si arresterebbe più.
Proviamo a esprimere questa affermazione in termini matematici (ricordando che la massa M può
essere espressa in funzione della densità della sfera:
ETOT 0 ;
1 2
mM
mv G
0,
2
r
m4 r 3
1
mH 2 r 2 G
0,
2
3r
H2
4
G
0,
2
3
3H 2
.
8G
3H 2
è chiamato densità critica e si indica con il simbolo c. Se la densità
8G
dell’universo è minore o uguale della c allora l’espansione non si arresterà altrimenti l’epsansione
avrà fine e si incorrerà inun big crunch. Per sapere quale sarà il destino del nostro universo gli
astrofisici dovranno misurare con precisione la densità dell’universo.
il termine
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