Facoltà di Psicologia

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SEMINARIO:
LA RICERCA EMPIRICA E LA
STATISTICA DESCRITTIVA
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INTRODUZIONE AL CORSO:
L’UTILITà DELLA PSICOMETRIA
• Psicodiagnosi
• Aggiornamento
• Analisi bibliografica della tesi di laurea
• Analisi dei dati (tesi, valutazione dell’efficacia
dell’intervento psicologico, ecc.)
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CONSIGLI PER LO STUDIO
• Leggere il programma più volte focalizzandosi
sulla comprensione e non sulla
memorizzazione
• Creare esercizi in autonomia
• Autosomministrarli estrapolati dal contesto di
spiegazione
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LA PSICOMETRIA E LE ALTRE DISCIPLINE
Metodologia della ricerca
Statistica è usata dalle discipline che usano il
procedimento scientifico per la verifica delle ipotesi
Descrivere - predire - spiegare
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L’INDAGINE EMPIRICA
1. quesito  ipotesi di ricerca
(affermazione che mette in relazione due variabili: se x allora y)
2. COSTRUTTI TEORICI (VARIABILI LATENTI) 
OPERAZIONALIZZAZIONE 
INDICATORI OSSERVABILI (VARIABILI MANIFESTE)
(variabile qualsiasi caratteristica che cioè che può assumere valori diversi)
3. MISURAZIONE
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DEFINIRE LE VARIABILI
ESAUSTIVITA’: devono essere classificati tutti i casi
ESCLUSIVITA’: ogni caso deve essere assegnato ad una sola categoria
QUALITATIVE: caratterizzate da categorie (nominali e ordinali)
QUANTITATIVE: caratterizzata da valori che variano in grandezza
(a intervalli e a rapporti)
CONTINUE: possono assumere qualsiasi valore in un insieme continuo
DISCRETE O DISCONTINUE: prevedono categorie distinte e possono
assumere solo valori interi
INDIPENDENTE: manipolata dallo sperimentatore o dagli eventi
DIPENDENTE: ciò che consegue alla manipolazione
D’ERRORE/INTERVENIENTI: che producono errori (casuali o sistematici)
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RELAZIONI TRA VARIABILI
E LIVELLI DI INDAGINE EMPIRICA
1) L’INDAGINE DESCRITTIVA: dare una rappresentazione
2) L’INDAGINE CORRELAZIONALE: si ipotizza una compresenza
sistematica, senza alcuna relazione di causa ed effetto
3) L’INDAGINE SPERIMENTALE: ha l'obiettivo di spiegare il
comportamento y in funzione di una causa x; ipotizza una relazione
di causa ed effetto tra x e y
4) L’INDAGINE QUASI SPERIMENTALE: i soggetti da assegnare
alle diverse condizioni sono selezionati da gruppi già esistenti
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LA MISURAZIONE
 Misurare significa costruire un omomorfismo (f) tra un
sistema relazionale empirico (E) e un sistema relazionale
numerico (N)
[la funzione f di omomorfismo rappresenta la regola sistematica che
consente l'assegnazione dei numeri (N) a oggetti ed eventi (E)]
 Si distinguono diversi livelli di misura a seconda delle
proprietà che caratterizzano il sistema empirico e il sistema
numerico.
[In psicologia ci sono quattro livelli di misura: la scala nominale,
la scala ordinale, la scala ad intervalli e la scala a rapporti.]
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SCALA NOMINALE
 sistema empirico classificatorio: sistema in cui
esiste solamente la suddivisione in categorie distinte,
esaustive e mutualmente escludentesi (classi di
equivalenza).
sistema numerico classificatorio ha la sola proprietà
di simbolo ragion per cui si potrebbero usare altrettanto
bene le lettere dell'alfabeto o altri sistemi simbolici
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CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA NOMINALE
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SCALA NOMINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione numerica che stabilisca una corrispondenza biunivoca tra sistema
relazionale empirico e sistema relazionale numerico
ESEMPIO: A (colori) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (rosso) = {a, b, c}, C (verde) =
{d, e}, D (giallo) = {f, g, h, i}
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SCALA ORDINALE
 sistema
empirico ordinato : gli elementi componenti
godono della stessa caratteristica ma in quantità o grado
diverso, ordinabile rispetto a tale grado
sistema numerico ordinato : indica la posizione
reciproca degli elementi quindi i numeri non implicano
alcuna nozione di grandezza ma l’assegnazione non è
arbitraria come nella scala nominale (graduatoria).
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA ORDINALE
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SCALA ORDINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione monotòna crescente ossia qualsiasi modificazione che preservi
l’ordine tra i membri.
ESEMPIO: A (stadi piagettiani) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (sensomotorio) = {a, b,
c}, C (preoperatorio) = {d, e}, D (operatorio concreto) = {f, g}, E (operatorio
formale) = {h, i, l}
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SCALA A INTERVALLI
 sistema empirico delle differenze: è possibile stabilire un'unità di misura
 sistema numerico delle differenze: l’unità di misura indica l'entità delle
differenze di intensità della caratteristica
 parte da uno 0 che non è assoluto, ma arbitrario
possiamo fare rapporti tra intervalli, che rimangono costanti, non
possiamo fare rapporti diretti tra valori, ovvero dire che un valore e il doppio,
metà, un quarto dell’altro.
ESEMPIO:
Agli elementi A, B, C, D, E, sono associati rispettivamente i numeri 4, 6, 12, 14, e 18.
Possiamo affermare che la differenza di caratteristica associata ad A e B è uguale a
quella associata a C e D, e inoltre che la differenza di intensità di caratteristica tra B e C
e tripla di quella tra A e B o tra C e D.
NON possiamo però dire che il valore di C è doppio rispetto a quello di B.
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A INTERVALLI
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SCALA A INTERVALLI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 (coefficiente angolare a maggiore
di 0): funzione monotòna crescente e lineare o trasformazione lineare
positiva (aggiunta di una costante, moltiplicazione per una costante positiva).
ESEMPIO: Si consideri la prestazione in un test di vocabolario composto da 20 parole per
ognuna delle quali bisogna scegliere il sinonimo fra 5 alternative. Anche se un soggetto desse 0
risposte corrette, questo non significa che ha una conoscenza del vocabolario pari a 0. Quale
unità di misura si sceglie una differenza pari a 1 risposta corretta.
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SCALA A RAPPORTI
 sistema empirico additivo: è possibile stabilire
un'unità di misura e un elemento di intensità nulla
sistema numerico additivo : godrà di tutte le
proprietà dei numeri reali
 il valore 0 è assoluto
la regola di trasformazione potrà comprendere anche l'uguaglianza
del rapporto diretto tra valori
 la scala non può assumere valori negativi
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LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A RAPPORTI
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SCALA A RAPPORTI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI
Ogni funzione lineare
y = ax + b con
Sono dette anche similitudini dirette
(moltiplicazione per una costante positiva).
a>0
o
e b (intercetta) = 0
trasformazioni
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moltiplicative
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IDENTIFICARE IL LIVELLO DI MISURA
La conoscenza del tipo di scala su cui sono misurati i dati è importante
perché non si arrivi a conclusioni sbagliate
Differenza tra livello teorico e uso pratico: le scale Likert
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RELAZIONI TRA SCALE E
QUANTITA’ DI INFORMAZIONE
 Ogni scala di livello superiore ha le caratteristiche
della scala precedente con l'aggiunta di una propria
peculiare caratteristica.
 È sempre possibile trasformare le misure ottenute su
una scala superiore in misure su scale inferiori
sopportando una inevitabile perdita di informazione;
non è mai possibile compiere l'operazione inversa
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STATISTICA

Una statistica è una qualunque funzione che
associa un numero reale, chiamato statistica, a un
sistema relazionale numerico.
Quindi, dato un sistema numerico, una statistica associa
(secondo qualche regola) a ogni insieme di numeri n
tratto dal sistema numerico un numero reale.
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STATISTICA DESCRITTIVA
Lo scopo è di descrivere e riassumere i dati attraverso un numero
limitato di indici, senza dover elencare tutti i casi che lo costituiscono
Popolazioni  parametri (lettere dell’alfabeto greco)
Campioni  indici statistici o statistiche (lettere dell’alfabeto latino).
Distribuzione di frequenza,
tabelle di frequenza
rappresentazioni grafiche
indici di tendenza centrale
Tre classi di misure riassuntive:
indici di variabilità/dispersione
indici di posizione
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STATISTICA DESCRITTIVA
 indici di tendenza centrale: statistiche che esprimono la tendenza
prevalente o principale che emerge da un campione di dati. i dati non si
presentano uniformemente distribuiti in tutte le classi in cui possono
cadere, ma hanno la tendenza a comparire con frequenze più elevate al
centro della distribuzione.
 indici di variabilità/dispersione: descrivere quantitativamente la
dispersione rispetto al valore di tendenza centrale; indicano quindi se i dati
di un campione sono molto diversi o molto simili tra loro.
 indici di posizione: consentono di individuare la posizione di un
punteggio in relazione agli altri presenti nella distribuzione
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SCALA NOMINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
 È una funzione, che ad ogni classe di equivalenza di un sistema
relazionale (empirico o numerico) associa – tramite un’operazione di
classificazione – il numero (detto frequenza) degli elementi che
appartengono alla classe stessa
 L’insieme delle frequenze nelle varie classi da origine appunto ad
una distribuzione di frequenze.
La sommatoria (Σ) di tutte frequenze (f) delle classi (i) è uguale a N
k
∑fi = N
i =1
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SCALA NOMINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
ESEMPIO
Sistema relazionale numerico
A = {1, 7, 4, 2, 1, 4, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 7, 2, 1, 4, 2}.
La sua distribuzione di frequenza è rappresentata dalle 4 classi di equivalenza 1,
2, 4, 7 e dal numero di elementi appartenenti a ciascuna di esse
La sommatoria di tutte le frequenze delle 4 classi è uguale a 18:
k
4
i =1
i =1
∑fi = ∑fi = 6 + 5 + 5 + 2 = 18
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SCALA NOMINALE
TABELLE DI FREQUENZA
1.
Tabella semplice o a entrata singola
2.
Tabella o tavola di contingenza detta anche
tabella a doppia entrata
3.
Tabella ad entrata plurima o multipla
La scelta dipende dal numero delle variabili
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SCALA NOMINALE
FREQUENZE RELATIVE E PERCENTUALI
 Per attuare dei confronti tra distribuzioni.
 Confronto non eseguibile direttamente se il numero delle osservazioni
all'interno delle distribuzioni è differente.
 Proporzione (o frequenza relativa): rapporto tra la
frequenza di una classe o categoria (fk) e il numero totale
delle osservazioni compiute (N)
 Percentuale: proporzione moltiplicata per 100
fk
N
fk
x100
N
• somma delle proporzioni = 1; somma delle percentuali = 100
• non si calcolano le percentuali se la frequenza nelle classi è molto bassa (20)
• riportare il valore di proporzioni e percentuali assieme al valore assoluto della frequenza
• calcolabili sui marginali di riga, di colonna o totali
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Facoltà di Psicologia
SCALA NOMINALE
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Diagramma a barre (semplice, complesso, composto)
Grafico a torta (semplice,fetta esplosa, torta esplosa)
© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004
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SCALA NOMINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MODA
Mo o Md: classe che compare con frequenza più alta all’interno
della distribuzione
 Distribuzioni: unimodale, bimodale, multimodale/plurimodale, amodale.
 È utile accompagnare la moda con la sua frequenza percentuale
ESEMPIO:
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SCALA NOMINALE
INDICE DI DISPERSIONE:
NUMERO DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA
NdE: statistica che associa ad un insieme di elementi
il numero di categorie in cui viene ripartito il sistema

Non permette di capire se i dati sono distribuiti in modo uniforme nelle varie classi o se
si concentrano quasi tutti in una o in poche classi.
 Ogni classe di equivalenza deve contenere almeno un elemento; non si contano le
categorie vuote
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SCALA NOMINALE
INVARIANZE
Mo o Md: di riferimento
NdE: assoluta
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SCALA ORDINALE
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E TABELLE
Le classi di equivalenza sono disposte secondo il loro giusto
ordine di successione, monotono, crescente
ESEMPI:
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SCALA ORDINALE
FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE
 Proporzione (o frequenza relativa)
 Percentuale
fk
N
fk
x100
N
 Frequenze cumulate (fc) indicano quante frequenze si accumulano
fino a una certa misura, comprendendo la misura stessa
- La somma delle frequenze deve coincidere con la frequenza cumulata dell'ultima categoria
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SCALA ORDINALE
FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE
 Frequenze cumulate relative (fc relative) non sono altro che le
frequenze cumulate espresse in proporzione. Si calcolano dividendo la
frequenza cumulata per il totale N dei casi osservati
fc
N
 Frequenze
cumulate percentuali non sono altro che le
frequenze cumulate espresse in percentuale (fc %). Si calcolano
moltiplicando la frequenza relativa cumulata per 100.
fc
x100
N
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SCALA ORDINALE
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Istogramma: (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)
l’ordine delle barre deve rispettare l’ordine implicito nella variabile
 poligono cumulativo o ogiva (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
DATI DISPERSI
Me o Mdn: è la misura che occupa la posizione centrale in un
campione di dati disposti in ordine crescente in base al loro valore.
Divide la distribuzione di frequenza a metà in modo tale che il 50% dei
casi cadono al di sotto e il 50% al di sopra di esso.
Quando n è dispari, rango Mdn = posizione n + 1
2
Quando n è pari, posizione n < rango Mdn < posizione
2
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n
+1
2
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
DATI DISPERSI
Quando n è dispari, rango Mdn = posizione
ESEMPIO
n +1
2
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 8, 2} con n = 13,
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8}
Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8) = 4
Quando n è pari, posizione
n
2
< rango Mdn < posizione
ESEMPIO
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12,
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}
Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7)  3<Mdn<4.
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n
+1
2
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
DATI IN CLASSI
Nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero elevato di
osservazioni, per trovare la posizione mediana della distribuzione di
frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate
ESEMPI O: n
è pari
La posizione della mediana è tra
40
n n
= 20 e
e
,
cioè
tra
+1
2
2
2
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40
+ 1 = 21
2
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
DATI IN CLASSI
ESEMPI O: n
è dispari
Il rango della mediana è n + 1 = 49 + 1 = 25
2
2
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SCALA ORDINALE
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
MEDIANTE fc%
Tramite tabella di dati
Tramite ogiva
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI
Consentono di:
 individuare la posizione di un punteggio in relazione agli altri presenti nella
distribuzione
 confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro due diverse
distribuzioni
 confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni
Rango R: numero che indica la posizione che quell'osservazione
occupa nell'insieme ordinato a cui appartiene
 Se all'interno di una distribuzione ci siano dei punteggio uguali fra loro il loro
rango corrisponde al rango medio dei valori uguali.
 Il rango è strettamente dipendente del numero delle osservazioni della
distribuzione
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI
ESEMPIO
I = {27, 12, 14, 19, 13, 17, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 18, 16, 20} con n = 15
I = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27}
ESEMPIO
I = {27, 12, 12, 19, 13, 22, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 22, 16, 20} con n = 15
I = {11, 12, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 26, 27}
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
Sono indici statistici di posizione e vengono individuati relativamente al
numero di frequenze che si trovano al di sotto della loro posizione
in un insieme di misure disposte in ordine crescente
Terzili, quartili, quintili, decili, centili (o percentili)
CALCOLO (stesso procedimento usato per la mediana):
 DATI DISPERSI: disporre i dati in ordine crescente
 DATI IN CLASSI: calcolare le frequenze cumulate.
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI
n +1
Primo quartile (Q1): rango
4
Secondo quartile (Q2): posizione
Terzo quartile (Q3): rango 3(n + 1)
4
2(n + 1)
4
Se n+1 non è multiplo di 4 si considera la misura immediatamente inferiore
alla posizione calcolata ovvero si effettua un’operazione di troncamento
alla parte intera del numero.
ESEMPIO
con n = 5,
n + 1 = 1.5 e 3(n + 1) = 4.5; si considerano le posizioni 1 e 4.
4
4
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#insegnamento#
#lezione#
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI
DATI DISPERSI
ESEMPIO
I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12.
I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}.
Q1.
n +1
12 + 1
=
4
4
= 3.25, Q1 = 2  la misura che occupa la 3°
posizione nella distribuzione.
Q2.
2(n + 1)
4
=
2(12 + 1)
4
= 6.5, Q2 = 3  la misura che occupa il 6°
rango nella distribuzione.
Q3.
3(n + 1)
3(12 + 1)
=
4
4
= 9.75, Q3 = 5  la misura corrispondente
alla posizione 9 all’interno dell’insieme ordinato.
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI
DATI IN CLASSI
Come per la Mdn, nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero
elevato di osservazioni, per trovare la posizione dei quartili nella
distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate
ESEMPI O
Q3.
3(n + 1)
300 + 1 = 225.75  il soggetto in posizione 225 cade all’interno della
=
4
4
classe di equivalenza 6 quindi Q3 = 6.
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI
MEDIANTE fc%
Tramite ogiva
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
 È una strategia di standardizzazione dei punteggi,
(procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla
stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla
numerosità della distribuzione
 Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci
dice che quantile è di una distribuzione quel particolare
punteggio grezzo.
 Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:
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SCALA ORDINALE
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
Le procedure di calcolo si differenziano ancora una volta a
seconda che i dati siano:
1. dispersi
2. raggruppati in classi
- rango medio
- frequenza cumulata
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SCALA ORDIINALE
INDICE DI DISPERSIONE:
RANGE E DIFFERENZA INTERQUARTILE
1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi
compreso tra Q3 e Q1.
2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1
3. Semidifferenza interquartile: SIQ =
DIQ Q3 - Q1
=
2
2
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SCALA ORDINALE
INVARIANZE
Mo o Md: di riferimento e di confronto
Mdn: di riferimento e di confronto
NdE: assoluta
Quantili: di riferimento e di confronto
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#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
 Importanza delle trasformazioni lineari
positive che rendono i dati più agevoli da usare
 Importante distinguere i casi in cui i dati
sono realmente discreti oppure sono continui
o sottendono una caratteristica di tipo continuo
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#attività#
#docente#
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SCALA A INTERVALLI
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
Costruzione degli intervalli di classe (con perdita di informazione)
• limite tabulato inferiore e limite tabulato superiore
• limite esatto (o reale) inferiore e limite esatto (o reale) superiore
• valore centrale;
 La classe è chiusa a sinistra e aperta a destra
 Le frequenze relative ad ogni punteggio vanno considerate come
uniformemente distribuite all’interno dell’intervallo
 Se si raccolgono in intervalli di classi i dati di una variabile discreta
(purché misurata su scala a intervalli o a rapporti), la variabile andrà
considerata come se fosse continua.
 E’ possibile anche costruire intervalli di classe di ampiezze diverse
tra loro
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Insegnamento:
Lezione n°:
Titolo:
Attività n°:
Docente:
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#insegnamento#
#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
ESEMPIO
68
61
98
65
84
65
78
80
75
75
89
73
82 68
87 74
61 75
57 88
90
62
95
78
62
95
60
62
88 76 93
78 63 72
79 83 71
76 53 74
73
66
79
86
79 88
78 82
62 67
67 73
73
75
98
81
60
94
78
72
93
77
85
63
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71 59 85
69 74 68
76 65 71
76 75 85
75
60
75
77
Corso di Laurea:
Insegnamento:
Lezione n°:
Titolo:
Attività n°:
Docente:
#corso#
#insegnamento#
#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Istogramma (con dati raggruppati in classi uguali o di diversa ampiezza)
 poligoni di frequenza (semplice, cumulata, cumulata percentuale)
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Titolo:
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Docente:
#corso#
#insegnamento#
#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Grafici a dispersione o Scatterplot
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Insegnamento:
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Titolo:
Attività n°:
Docente:
#corso#
#insegnamento#
#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
DATI NON RAGGRUPPATI (n pari):
n
media aritmetica dei due valori che occupano la posizione n e la posizione + 1
2
2
DATI RAGGRUPPATI DISCRETI:
Stesso procedimento visto per dati ordinali
DATI RAGGRUPPATI CONTINUI:
metodo dell’interpolazione lineare
Mdn = Limite reale inferiore classe mediana +
 Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale
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xA
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Lezione n°:
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Attività n°:
Docente:
#corso#
#insegnamento#
#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA
Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale
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#docente#
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA
Media del campione o media campionaria:
n
∑xi
X 
M=
i =1
n
=
x1+x 2+x 3+...+x n
n
Media del campione o media campionaria con dati raggruppati:
n
∑fixi
X  M = i =1
n
=
f 1 x1+f 2 x 2+f 3 x 3+...+fnxn
n
n
Media della popolazione:
∑xi
µ=
i =1
N
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#lezione#
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA
1) È possibile calcolare le media di un gruppo ottenuto dall’unione di due gruppi distinti
senza ricorrere alle distribuzioni iniziali dei dati.
2) La media è influenzata inoltre dalla grandezza dei dati ossia sfrutta le caratteristiche
quantitative dei dati. Come conseguenza la media è molto più influenzata dai valori
estremi della distribuzione rispetto alla mediana.
3) La media può essere definita come il centro di gravità (o baricentro) della distribuzione
dei dati. Per forza di cose, non può quindi essere inferiore al valore minimo né superiore
al valore massimo.
4) Scarto di un dato xi dalla media M o deviazione: xi – M
 Positivo significa che il numero è maggiore del valore medio; negativo significa che il
numero è inferiore al valore medio.
n
 La somma di tutti gli scarti dalla media è zero
∑(xi - M) = 0
i =1
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SCALA A INTERVALLI
INVARIANZE INDICI DI TENDENZA CENTRALE
Mo o Md: di riferimento
Mdn: di riferimento
M: di riferimento
1) Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per uno
stesso numero positivo a, la moda, la mediana e la media vengono
anch’esse moltiplicate per lo stesso numero
2) Se a tutti i dati di una distribuzione viene aggiunta una costante b,
la moda, la mediana e la media vengono tutte aumentate o diminuite di
una quantità b a seconda che b sia positivo o negativo.
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SCALA A INTERVALLI
IDICI DI TENDENZA CENTRALE E FORMA
DELLA DISTRIBUZIONE
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
La definizione tiene conto dei rapporti di distanza intercorrenti tra i dati
e delle caratteristiche di continuità
 CALCOLO DATI DISPERSI (stesso procedimento usato per la mediana):
1. disporre i dati in ordine crescente
2.
3. Se la cifra ottenuta è un numero intero si procede individuando nella distribuzione
il valore relativo alla posizione trovata.
Se la cifra ottenuta è un numero decimale si procede individuando nella
distribuzione il valori inferiore (valinf) e il valore superiore (valsup) alla posizione trovata.
Infine si calcolerà il quantile in base alla formula:
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI
 CALCOLO DATI DISCRETI RAGGRUPPATI (stesso procedimento usato
per la scala ordinale)
 CALCOLO DATI CONTINUI RAGGRUPPATI (stesso procedimento delle
mediana)
metodo dell’interpolazione lineare
Quantile = Limite reale inferiore
classe del quantile
+
 Possibile individuarli mediante ogiva come su scala ordinale
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SCALA A INTERVALLI
INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI
 È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il
quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla
dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione
 Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è
di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo.
 Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:
 Con dati raggruppati in classi
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INDICI DI DISPERSIONE
1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi
compreso tra Q3 e Q1.
2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1
3. Semidifferenza interquartile:
DIQ Q3 - Q1
SIQ =
=
2
2
4. Campo di variazione (range, gamma, intervallo di variazione):
Range = xmassimo – xminimo
5. Scostamento semplice medio (SSM) o scarto semplice medio
n
o deviazione media:
∑xi - M
SSM = i = 1
n
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INDICI DI DISPERSIONE
6. Varianza (s2 o MS nel campione e σ2 - sigma quadro - nella
popolazione)
n
Devianza: ss =
∑(xi - M )
n
∑(xi - M )
2
2
s =
i =1
2
i =1
n
Formula abbreviata
n
=
s2 =
∑x i2
i =1
n
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-M2
ss
=
n
Corso di Laurea:
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#titolo#
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SCALA A INTERVALLI
INDICI DI DISPERSIONE
n
Varianza con dati raggruppati
∑fi (xi - M)
2
s 2 = i =1
n
Formula abbreviata
n
=
∑fix i2
s 2 = i =1
n
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-M 2
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SCALA A INTERVALLI
INDICI DI DISPERSIONE
7. Deviazione standard o standard deviation o scarto quadratico
medio (s o DS o SD nel campione e σ - sigma - nella popolazione) =
radice quadrata della varianza.
n
∑(x - M)
2
i
s  s2 
i=1
n
Formula abbreviata
n
=
s=
∑x i2
i =1
n
-M2
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#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
INDICI DI DISPERSIONE
Deviazione standard con dati raggruppati
n
∑fi (xi - M)
s=
2
i =1
n
Formula abbreviata
n
∑fx i2
=
s=
i =1
n
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#insegnamento#
#lezione#
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#attività#
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Facoltà di Psicologia
SCALA A INTERVALLI
INDICI DI DISPERSIONE
La variabilità di un campione è sempre minore della variabilità della
popolazione dalla quale il campione è stato estratto
Denominatore formule per il calcolo della varianza e della deviazione standard:
- nei campioni = n – 1
- nella popolazione = n
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#lezione#
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SCALA A INTERVALLI
DEVIAZIONE STANDARD E DISTRIBUZIONE NORMALE
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#titolo#
#attività#
#docente#
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SCALA A INTERVALLI
INDICI DI DISPERSIONE
8. Coefficiente di variazione (CV)
CV =
s
M
s
CV
=
×100
Talvolta viene espresso mediante percentuale
M
Consente di confrontare :
 distribuzioni di dati relativi a variabili che hanno unità di misura
diverse
 la variabilità nei punteggi ottenuti su una stessa prova da gruppi
diversi di soggetti
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SCALA A INTERVALLI
LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z
Le distanze dalla media hanno un significato diverso a seconda della variabilità
della distribuzione dei dati
Serve una statistica che tiene conto degli scarti dalla media in funzione
della variabilità  usa la deviazione standard come nuova unità di
misura
x-M
z=
s
x- μ
z=
σ
Se esprimiamo tutti i valori della distribuzione secondo i punti z otteniamo una
distribuzione standard, che è omomorfa a quella originale e ha media 0 e
deviazione standard 1
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#docente#
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SCALA A INTERVALLI
LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z
Formule inverse: per ricavare il valore di x a partire dal valore di z (media e la
deviazione standard del campione o della popolazione devono essere note)
x =M  s  z
x = μ σ  z
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Lezione n°:
Titolo:
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#lezione#
#titolo#
#attività#
#docente#
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SCALA A INTERVALLI
LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE:
ALTRI INDICI
 Trasformazione lineare dei punti z
 Nella costruzione di tali scale si parte quindi sempre
dai punti z ottenuti dai punteggi originali
 Punti T. M = 50 e S = 10 T = 50 + 10 ▪ z
 Sten (da standard ten). M = 5.5 e S = 2
Sten = 5.5 + 2 ▪ z
 Stanine (da standar nine). M = 5 e S = 2 Stanine = 5 + 2 ▪ z
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SCALA A INTERVALLI
INVARIANZE: INDICI DI POSIZIONE E DISPERSIONE
Ranghi percentili: invarianza assoluta
Punti z: invarianza assoluta
DIQ: invarianza di confronto
Campo di variazione: invarianza di confronto
Varianza e deviazione standard: invarianza di confronto
Se si aggiunge una costante a tutti i dati di una distribuzione, il campo
di variazione, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard
rimangono invariati.

 Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per una costante
positiva, la gamma, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard
risultano moltiplicati per lo stesso numero positivo.
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