Formulario di onde, fluidi e termodinamica

Formulario di Onde
O.1
Proprietà elastiche dei solidi (per piccole deformazioni)
Legge di Hooke: F = k|∆l|
Energia potenziale elastica:
U=
1
k(∆l)2
2
Carico specifico o sforzo:
σ=
F
,
A
la forza F è applicata perpendicolarmente alla superficie A
Allungamento lineare o deformazione specifica: ε =
Modulo di Young o modulo di elasticità:
∆l = εl0 =
l = l0 + ∆l = l0
σ
l0
Y
σ
1+
Y
Y =
∆l
l0
l0
σ
=k
ε
A
l0 = lunghezza a riposo
∆l = allungamento sotto l’effetto di σ
Un solido che, sottoposto alla forza F , subisce una deformazione longitudinale ∆l, subisce
anche una deformazione trasversale ∆r tale che: ∆r/r = −ν(∆l/l), dove ν è il coefficiente
di Poisson (0 < ν < 0.5, caratteristico di ogni materiale).
Modulo di rigidità o di taglio:
G=
Y
2(1 + ν)
Deformazione per scorrimento:
F
= Gθ
A
σ=
F è applicata tangenzialmente alla superficie A
θ = angolo di deformazione
Deformazione (di una sbarra cilindrica) per torsione:
M = kθ
k=
M = momento torcente
θ = angolo di torsione
r, l = raggio e lunghezza della sbarra
π r4
G
2 l
Modulo di compressibilità isoterma:
βT =
Y
3(1 − 2ν)
Compressione uniforme (a temperatura costante):
O.2
∆V
∆p
=−
V
βT
Equazione delle onde (equazione di d’Alembert) in tre dimensioni
∂2ξ
∂2ξ
∂2ξ
1 ∂2ξ
+
+
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
v è la velocità di propagazione.
Vale il principio di sovrapposizione: una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è, a sua
volta, una soluzione dell’equazione delle onde.
Soluzione generale in una dimensione:
ξ(x, t) = ξ1 (x − vt) + ξ2 (x + vt)
1
ξ1 = onda progressiva
ξ2 = onda regressiva
O.3
Propagazione delle onde nei mezzi materiali
Onde elastiche longitudinali in una sbarra solida sottile
s
Y
Y = Modulo di Young
velocità di propagazione:
v=
ρ = densità di massa
ρ
Onde elastiche trasversali/torsionali in una sbarra solida
s
G
G = Modulo di rigidità
velocità di propagazione:
v=
ρ = densità di massa
ρ
Onde elastiche in una corda tesa
velocità di propagazione:
v=
s
T
ρl
Onde elastiche in una membrana tesa
s
T
velocità di propagazione:
v=
ρΣ
T = Tensione
ρl = densità lineare di massa
T = Tensione superficiale (forza per
unità di lunghezza)
ρΣ = densità superficiale di massa
Onde in un gas
p0 = pressione media
T = temperatura assoluta
R = costante dei gas
γ = costante adiabatica
ρ0 = densità di massa media
V = volume
A = massa molare
n = numero di moli
Modulo di compressibilità:
β = −V
dp
dp
=ρ
dV
dρ
Per un gas ideale (pV = nRT ):
Modulo di compressibilità
isoterma: βT = p
adiabatica: βS = γp
velocità di propagazione dell’onda:
v=
s
β
ρ0
Nelle situazioni più comuni la propagazione di un’onda in un gas avviene in condizioni
adiabatiche, quindi β → βS :
s
r
r
βS
γp0
γRT
=
=
v=
ρ0
ρ0
A
Onde sulla superficie di un liquido
velocità di propagazione:
v=
s
gλ 2πτ
+
2π
ρλ
tanh
λ = lunghezza d’onda
ρ = densità del liquido
h = profondità del liquido
τ = tensione superficiale
g = accelerazione di gravità
2πh
λ
2
O.4
Onde armoniche
Onda piana armonica progressiva
ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt) + φ = ξ0 sin(kx − ωt + φ)
ξ0 = ampiezza (costante)
k = numero d’onda [unità di mis.: rad/m]
ω = pulsazione [unità di mis.: rad/s]
kx − ωt + φ = fase (φ = costante arbitraria)
f = frequenza
ω = kv
λ=
2π
k
T =
2π
ω
T =
1
= periodo
f
ω = 2πf
λ = vT =
v
f
v=
λ
= λf
T
Altre espressioni equivalenti:
ξ(x, t)
=
=
x
t
ξ0 sin(kx − ωt + φ) = ξ0 sin 2π
+φ =
−
λ T
2π x
2π
(x − vt) + φ = ξ0 sin
−t +φ
ξ0 sin
λ
T v
Le espressioni per un’onda armonica regressiva si ottengono dalle precedenti con la sostituzione (x − vt) → (x + vt)
Onda armonica piana in tre dimensioni
ξ(~r, t) = ξ0 sin(~k · ~r − ωt)
~k · ~r = kx x + ky y + kz z
λ=
2π
|~k|
Potenza di un’onda armonica
In una corda tesa:
spostamento: s = A sin(kx − ωt)
∂s ∂s
= T A2 ωk cos2 (kx − ωt)
∂x ∂t
1
dUmecc
= ρl ω 2 A2
densità lineare di energia meccanica: wl =
dx
2
1
1
1
potenza media: Pm = T ωkA2 = v 2 ρl ωkA2 = ρl ω 2 A2 v = wl v
2
2
2
Intensità: I = Pm = wl v
[unità di mis.: W]
potenza istantanea (T = tensione) :
P = −T
In una sbarra solida o in un gas (Σ = sezione della sbarra o del tubo di gas)
spostamento: s = A sin(kx − ωt)
P = ρω 2 A2 vΣ cos2 (kx − ωt)
1
densità (volumica) di energia meccanica: wτ = ρω 2 A2
2
1 2 2
potenza media: Pm = ρω A vΣ = wτ vΣ
2
Pm
1 dUmecc
=
= wτ v
Intensità: I =
Σ
dt
Σ
m
potenza istantanea:
[unità di mis.:
W
]
m2
Su una superficie (membrana elastica o superficie di un liquido)
potenza media: Pm = wΣ vl (wΣ = densità superficiale di energia meccanica, l = sezione
lineare dell’onda)
Pm
W
1 dUmecc
=
= wΣ v
[unità di mis.:
]
Intensità: I =
l
dt
l
m
m
3
Onda sonora in un gas
Onda di spostamento: s = A sin(kx − ωt)
1
1
potenza media: Pm = βωkA2 Σ = ρ0 ω 2 A2 vΣ = wτ vΣ
2
2
Onda di pressione:
π
∂s
= −ρ0 vωA cos(kx − ωt)
= ρ0 vωA sin kx − ωt −
∆p = −β
∂x
2
(∆p)max = ρ0 vωA = 2πρ0 f vA
1
(∆p)2max
ρ0 ω 2 A2 v =
2
2ρ0 v
I
I0 = soglia di udibilità
livello sonoro: B = 10 log
log = logaritmo decimale.
I0
Velocità del suono in aria (p = 1 atm, T = 20◦ C): cs = 343 m/s
Intensità:
I = wτ v =
Onde sferiche (armoniche)
ξ0
sin(kr − ωt)
r
ξ(r, t) =
(onda progressiva)
Potenza media: Pm = I(r)Σ(r) = 4πCξ02
Intensità:
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
Pm
I0 =
4π
I0
Pm
Pm
= 2
=
Σ(r)
4πr2
r
I(r) =
Onda sferica sonora:
ρ0 vωA
cos(kr − ωt)
∆p =
r
I(r) =
1 2 A2
ρω 2 v
2
r
Onde cilindriche (armoniche)
ξ0
ξ(r, t) = √ sin(kr − ωt)
r
(onda progressiva)
Potenza media: Pm = I(r)Σ(r) = Cξ02 2πh
Intensità:
O.5
C = costante, dipende
dalla natura dell’onda
I0
Pm
=
Σ(r)
r
I(r) =
Analisi di Fourier
Funzione di una variabile f (u) periodica con periodo U : f (u + U ) = f (u).
f (u) = a0 +
∞ X
m=1
a0 =
1
U
am cos(mwu) + bm sin(mwu)
U
Z
f (u)du
am =
0
2
=
U
Z
f (u) =
Z
bm
Funzione non periodica:
U
1
a(w) =
π
∞
Z
2π
U
U
f (u) cos(mwu)du
0
f (u) sin(mwu)du
0
0
Z
2
U
w=
∞
h
i
a(w) cos(wu) + b(w) sin(wu) dw
1
b(w) =
π
f (u) cos(wu)du
−∞
4
Z
∞
−∞
f (u) sin(wu)du
O.6
Battimenti:
Sovrapposizione di due onde armoniche con diversa frequenza (stessa ampiezza)
s1 = A sin(ω1 t)
s2 = A sin(ω2 t)
ω1 + ω2
ω1 − ω2
t sin
t = 2A cos(Ωt) sin(ωt)
s = s1 + s2 = 2A cos
2
2
Frequenza di battimento (modulazione di ampiezza percepita da un osservatore quando le
frequenze sono molto simili tra loro):
fb = |f1 − f2 | =
O.7
|ω1 − ω2 |
2π
Effetto Doppler
cs : velocità del suono nel mezzo
vT velocità del trasmettitore (sorgente), diretta verso destra
vR velocità del ricevitore (osservatore), diretta verso destra
Per vT < cs , vR < cs :
cs − vR
~vT
~vR
Tr - Rr cs − vT
cs + vR
~vR
~vT
Se il trasmettitore precede il ricevitore: fR = fT
Rr - Tr cs + vT
Per velocità dirette verso sinistra basta cambiare il segno nelle formule precedenti.
Se le velocità ~vR e ~vT non sono dirette lungo la congiungente trasmettitore-ricevitore, nelle
formule precedenti bisogna usare le componenti delle velocità lungo la congiungente stessa.
Se il ricevitore precede il trasmettitore:
O.8
fR = fT
Onda d’urto
Per vT > cs , angolo di semiapertura del cono sonico:
numero di Mach =
O.9
vT
cs
sin θ =
cs
vT
Pacchetti d’onda
∆k∆x ≥ 2π
∆ω∆t ≥ 2π
∆f ∆t ≥ 1
Si definisce la relazione di dispersione (relazione tra la frequenza angolare e la lunghezza
d’onda: ω(k) = vf (k)k
Velocita’ di fase: vf = ω/k.
Se vf è costante (cioè indipendente da k), il mezzo è non dispersivo: tutte le onde,
indipendentemente da λ, hanno la stessa velocità di propagazione.
Se vf dipende da k il mezzo è dispersivo. Il pacchetto si deforma e avanza con la velocità
di gruppo:
dω
dvf
dvf
dvf
vg =
= vf + k
= vf − λ
= vf + f
dk
dk
dλ
df
In un mezzo non dispersivo vg = vf .
O.10
Interferenza
Nel punto P giungono due onde emesse (stessa frequenza e lunghezza d’onda), rispettivamente, da una sorgente a distanza x1 e da un’altra a distanza x2 da P ,
ξ1 (P, t) = A1 cos(ωt − kx1 − φ1 ) = A1 cos(ωt + α1 )
5
ξ2 (P, t) = A2 cos(ωt − kx2 − φ2 ) = A2 cos(ωt + α2 )
ξ(P, t) = ξ1 (P, t) + ξ2 (P, t) = A cos(ωt + α)
q
q
A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α1 − α2 ) = A21 + A12 + 2A1 A2 cos δ
tan α =
Interferenza costruttiva:
Interferenza distruttiva:
A1 sin α1 + A2 sin α2
A1 cos α1 + A2 cos α2
δ = α1 − α2 = 2nπ
δ = α1 − α2 = (2n + 1)π
Intensità:
I(P ) = I1 + I2 + 2
n = 0, ±1, ±2, . . .
n = 0, ±1, ±2, . . .
p
I1 I2 cos δ
Nel caso particolare di due onde di uguale ampiezza A1 = A2 = A0 :
A = 2A0 cos
O.11
δ
2
α=
α1 + α2
2
I = 4I0 cos2
δ
2
Onde stazionarie
Onde stazionarie unidimensionali
s(x, t) = A sin kx cos ωt
Corda tesa di lunghezza L con gli estremi entrambi fissi, colonna di gas chiusa ad
entrambe le estremità (o aperta ad entrambe le estremità):
v
2L
π
Serie armonica: fm = m
= mf1 , λm =
, km = m
m = 1, 2, . . .
2L
m
L
Se la corda (o colonna di gas) ha gli estremi in x = 0 e x = L:
π
λ
posizione dei ventri: x = (2m′ + 1) = (2m′ + 1)
4
2k
π
λ
posizione dei nodi: x = m′ = m′
2
k



m′ = 0, 1, 2, . . .


Corda tesa di lunghezza L con un’estremità libera ed una fissa, colonna di gas con
un’estremità chiusa ed una aperta:
Serie armonica:
v
4L
fm = (2m + 1)
= (2m + 1)f1 ,
λm =
,
m = 0, 1, 2, . . .
4L
2m + 1
Onde stazionarie in due dimensioni
Membrana rettangolare tesa, tensione T (forza per unità di lunghezza, [N/m]), densità
superficiale di massa σ. All’equilibrio la membrana è ferma sul piano xy (z = 0), investita
da un’onda vibra in direzione z. p
La velocità di propagazione è v = T /σ
Onde stazionarie:
z(x, y, t) = A sin(kx x) sin(ky y) sin(ωt)
π
π
, ky = ny
Lx
Ly
nx , ny = 1, 2, 3 . . .
kx = nx
(Lx e Ly sono le lunghezze della membrana in direzione x e y)
s
q
n2y
n2x
2π
Vettori d’onda: knx ,ny = kx2 + ky2 = π
+
=
L2x
L2y
λnx ,ny
s
n2y
v n2x
v
knx ,ny =
+ 2
Frequenze di vibrazione: fnx ,ny =
2
2π
2 Lx
Ly
6
Formulario di Fluidi
F.1
Pressione
F
S
F = forza perpendicolare alla superficie S.
Z
Lavoro della pressione: W = p dV
V = Volume
p=
~ 1
f~ = −∇U
Se la forza è conservativa:
F.2
ρ = densità di massa del fluido
f~ = forza sull’unità di massa
~ = ρf~
∇p
Equilibrio statico di un fluido:
U1 = en. pot. dell’unità di massa
Legge di Stevino
Equilibrio in presenza della forza peso per un fluido incompressibile:
p(h) = p0 + ρgh
dove: h =profondità (misurata dalla superficie, h crescente verso il basso)
p0 = pressione sulla superficie (pressione esterna)
ρ = densità di massa del fluido, costante
g = accelerazione di gravità, costante
Pressione atmosferica isoterma (p/ρ =costante, g = costante):
p0
z = altezza, crescente verso l’alto
p(z) = p0 e−z/α
α=
p0 , ρ0 = pressione e densità a z = 0
gρ0
Unità di misura:
F.3
1 atm = 101325 Pa = 760 Torr=760 mmHg,
1 bar = 105 Pa
Spinta di Archimede o spinta idrostatica
F~A = −ρfluido Vcorpo ~g
F.4
F.5
Liquido in rotazione
z=
Gradienti di pressione:
∂p
= −ρg
∂z
∂p
= ρω 2 r
∂r
Forza di attrito interno
kg
η = viscosità [unità di mis.: 1 poise=0.1 ms = 0.1 decapoise]
S = superficie di contatto
dv
dn = gradiente di velocità in direzione ortogonale a S
dv
F = ηS
dn
Fluido ideale:
F.6
ω = velocità angolare
r = distanza dall’asse di rotazione
h = profondità del liquido a r = 0
ω2 2
r +h
2g
Superficie di equilibrio:
η=0
Portata
Portata in volume:
Q = vS
Portata in massa:
Qm = ρvS
v = velocità del fluido
S = sezione del tubo di flusso
Regime stazionario per un fluido ideale:
7
Q = vS = costante
F.7
Legge di Bernoulli (fluido ideale, incompressibile)
p, v = pressione e velocità del liquido
ρ = densità del liquido (uniforme)
z = altezza, crescente verso l’alto
1
p + ρv 2 + ρgz = costante
2
F.8
Fluido reale (η 6= 0)
Moto laminare in regime stazionario:
Profilo di velocità del fluido in un condotto cilindrico di lunghezza L e raggio R:
p1 = pressione del fluido in entrata
p1 − p2 2
p2 = pressione del fluido in uscita
(R − r2 )
v(r) =
4ηL
r = distanza dall’asse del cilindro
Legge di Hagen-Poiseuille: Q =
πR4 p1 − p2
8η
L
Velocità media sulla sezione del condotto:
vm =
R2 (p1 − p2 )
Q
=
2
πR
8ηL
∆p
p1 − p2
8η
=
= 2 vm
L
L
R
Caduta di pressione per unità di lunghezza:
Moto vorticoso
vdρ
η
Transizione da regime laminare a vorticoso: in generale dipende dalla geometria;
per condutture cilindriche: Rc ∼ 2000
Numero di Reynolds: R =
Caduta di pressione per unità di lunghezza (conduttura cilindrica, regime turbolento):
∆p
ρ 2
=k
v
L
2R m
(k = coeff. di resistenza)
Moto di un corpo in un fluido
Resistenza del mezzo per un oggetto sferico (raggio R), in regime laminare:
Legge di Stokes:
Portanza:
F.9
Fres = 6πηRv
A = superficie alare (parallela al moto)
v = velocità relativa media
v + ∆v = velocità del fluido sopra l’ala
v − ∆v = velocità del fluido sotto l’ala
F = 2Aρv∆v
Fenomeni di superficie (liquidi)
Tensione superficiale (energia per unità di superficie libera):
[unità: N/m]
Lavoro per modificare superficie libera di un liquido:
Pressione di una superficie sferica (raggio R):
pτ =
τ,
caratteristica del liquido
dW = τ dS
2τ
R
4τ
R
Altezza del liquido in un tubo capillare:
Bolla di sapone:
∆p = pint − pest =
h=
R = raggio del tubo
α = angolo di contatto
(α = 0 se il liquido bagna le pareti)
2τ cos α
ρgR
8
Formulario di Termodinamica
Punto triplo dell’acqua: Ttriplo = 273.16 K.
Conversione tra gradi Celsius e gradi Kelvin (temperatura assoluta): t(◦ C) = T (K) − 273.15
Conversione tra Caloria e Joule: 1 cal = 4.186 J
T.1
Calorimetria
d̄Q
dT
C
1 d̄Q
cm =
=
m
m dT
1 d̄Q
c=
n dT
Capacità termica di un corpo:
Calore specifico:
Calore specifico molare:
C=
(capacità termica dell’unità di massa)
(capacità termica di una mole di sostanza)
m = massa che cambia fase
λ = calore latente
NB: il simbolo d̄ indica un differenziale non esatto, infatti la quantità di calore scambiato
ed i calori specifici dipendono dal tipo di trasformazione.
Cambiamenti di fase:
T.2
Q = mλ
Conduzione del calore
k = conducibilità termica
dT /dx = gradiente di temperatura
S = superficie attraversata dal calore
∆t = intervallo di tempo
dT
S∆t
∆Q = −k
dx
Legge di Fourier:
Passaggio di calore da un solido ad un fluido
(Solido a temperatura T , fluido a temperatura T0 )
Legge di Newton:
∆Q = h(T − T0 )S∆t
h = conducib. termica esterna
S = superficie di contatto
∆t = intervallo di tempo
Irraggiamento
Potere emissivo ε: energia emessa dall’unità di superficie nell’unità di tempo.
e = emissività (0 < e < 1)
(e = 1: superficie nera)
Legge di Stefan-Boltzmann:
ε = σeT 4
2
σ = 5.67 · 10−8 J/(m sK4 )
T = temperatura assoluta
T.3
Dilatazione termica di solidi e liquidi
Coefficiente di dilatazione lineare: λ =
1 ∆l
l ∆T
l = l0 1 + λ(T − T0 )
∆l = λl∆T
Coefficiente di dilatazione volumica: α =
1 ∆V
V ∆T
V = V0 1 + α(T − T0 )
∆V = αV ∆T
Per materiali isotropi: α = 3λ.
T.4
I principio della Termodinamica
In un sistema che compie una trasformazione vale la relazione seguente tra: variazione di
energia interna ∆U , calore scambiato Q e lavoro scambiato W :
Q = ∆U + W
Q > 0 se ceduto dall’esterno al sistema
W > 0 se compiuto dal sistema sull’esterno
9
T.5
Energia interna U
• In una trasformazione A → B: ∆U non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dagli
stati A e B: ∆U = UB − UA (funzione di stato).
• In una trasformazione in cui il sistema torna nello stato iniziale: ∆U = 0
• Trasformazione infinitesima: d̄Q = dU + d̄W
• Trasformazione adiabatica: d̄Q = 0, Q = 0, ⇒ W = −∆U
• Trasformazione reversibile: in ogni stato intermedio il sistema è in equilibrio termico e
meccanico con l’esterno.
• Trasformazione irreversibile: il sistema passa attraverso stati di non equilibrio.
T.6
Gas ideali
Numero di Avogadro: NA = 6.02214 · 1023 molecole/mol
Costante dei gas: R = 8.314 J/mol K
R
Costante di Boltzmann: kB =
= 1.3807 · 10−23 J/K
NA
p = pressione del gas V = volume
T = temperatura assoluta
n = numero di moli
N = numero di molecole m = massa di una molecola
A = massa molare
M = massa del gas
ρ = densità del gas
M
A = mNA
N = nNA
M = mN
ρ = mN
V = V
Equazione di stato dei gas ideali:
pV = nRT
pV = N kB T
pA = ρRT
Lavoro compiuto dal gas in una trasformazione
Z
pest =pressione esterna, cioè la forza per unità
W = pest dV
di superficie che si oppone dall’esterno al gas
Se la trasformazione è reversibile: pest = p(V ) = pgas
Z
Z
nRT
dV
Wrev = p(V )dV =
V
Se la trasformazione è irreversibile ma la pressione esterna è nota e costante:
W = pest ∆V
Calore specifico molare di un gas ideale
1 d̄Q
volume costante (trasf. isocora): cV =
n dT V
1 dH
1 d̄Q
=
pressione costante (trasf. isobara): cp =
n dT p
n dT p
3
5
gas ideali monoatomici: cV = R = 12.47 J , cp = R = 20.79 J
mol K
mol K
2
2
7
5
gas ideali biatomici: cV = R = 20.79 J , cp = R = 29.10 J
mol K
mol K
2
2
Relazione di Mayer:
R = cp − cV
Costante adiabatica:
γ=
cp
cV
γ>1
10
cV =
R
γ−1
cp =
γR
γ−1
5
3
gas ideali monoatomici: γ =
gas ideali biatomici: γ =
7
5
1
1 dV
=−
β
V dp
Compressibilità isoterma di un gas ideale: βT = p
Compressibilità adiabatica di un gas ideale: βS = γp
Coefficiente di compressibilità β:
Energia interna di un gas ideale
dU = ncV dT
cV =
1 dU
n dT
U = ncV T + cost.
Trasformazioni
• Trasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B:
Q=0
⇒
pA VA − pB VB
γ−1
W = −∆U = −ncV ∆T = −ncV (TB − TA ) =
Trasformazione adiabatica reversibile:
T V γ−1 = cost.
pV γ = cost.
Tp
1−γ
γ
= cost.
• Trasformazione isoterma dallo stato A allo stato B:
TA = TB
⇒
∆U = 0
Q=W
pA VA = pB VB = nRT
Trasformazione isoterma reversibile:
W =
Z
B
pdV = nRT log
A
VB
VA
• Trasformazione isocora dallo stato A allo stato B:
VA = VB
⇒
W =0
Q = ∆U = ncV (TB − TA )
pB
nR
pA
=
=
TA
TB
V
• Trasformazione isobara dallo stato A allo stato B:
pA = pB
⇒
Q = ncp (TB − TA )
W = pA (VB − VA ) = nR(TB − TA )
VA
VB
nR
=
=
TA
TB
p
∆U = Q − W = ncV (TB − TA )
Entalpia:
H = U + pV
• Trasformazione ciclica:
dH = ncp dT
∆Uciclo = 0
H = funzione di stato.
Qciclo = Wciclo
Qciclo = Qassorbito + Qceduto = Qassorbito − |Qceduto |
Wciclo = Wcompiuto + Wsubito = Wcompiuto − |Wsubito |
Qciclo
|Qced |
Wciclo
=
=1−
0<η<1
Qassorb
Qassorb
Qassorb
Qassorb
Efficienza (o coefficiente di prestazione) di un ciclo frigorifero: ξ =
|Wciclo|
NB: l’efficienza di un ciclo frigorifero è anche detta “coefficiente frigogeno” e indicata, oltre
che con la lettera ξ, anche con ε o K.
Rendimento di una macchina termica:
η=
• Ciclo di Carnot ABCDA (T2 > T1 ):
AB: espansione isoterma reversibile a T = T2 :
11
= Qassorb
QAB = WAB = nRT2 log VVB
A
BC: espansione adiabatica reversibile: QBC = 0 , T2 VBγ−1 = T1 VCγ−1
= Qced
CD: compressione isoterma reversibile a T = T1 : QCD = WCD = nRT1 log VVD
C
DA: compressione adiabatica reversibile:
T1
Rendimento: ηCarnot = 1 −
T2
QDA = 0 ,
Efficienza a funzionamento inverso (frigorifero): ξCarnot =
T2 VAγ−1 = T1 VDγ−1
T1
T2 − T1
Teoria cinetica dei gas ideali
pressione:
p=
N m v2
2N
Ek
=
V 3
3V
Energia cinetica media di una molecola:
Ek =
1
3
m v 2 = kB T
2
2
Equipartizione dell’energia: ogni grado di libertà ha energia media =
Legge di Dalton per le miscele di gas:
p=
P
i
pi =
RT P
i ni
V
1
kB T
2
Distribuzione delle velocità di Maxwell
N0 = numero di molecole di gas, T = temperatura assoluta
Distribuzione di una componente della velocità:
r
2
m
dN (vx ) = N0
e−mvx /2kB T dvx
2πkB T
Distribuzione del modulo della velocità:
3/2
2
m
4πv 2 e−mv /2kB T dv
dN (v) = N0
2πkB T
r
2kB T
rm
2
8kB T
Velocità media: vm = √ vp =
π
πm
r
r
p
3
3kB T
Velocità quadratica media: vq = v 2 =
vp =
2
m
Velocità più probabile:
vp =
Libero cammino medio:
(d = diametro delle molecole, n =
N0
V =
λ= √
Viscosità: η =
T.7
num. di molec. nell’unità di volume)
kB T
1
= √
2
2π n d
2π p d2
1
mvq
nmvq λ = √
3
3 2πd2
Gas reali
Equazione di stato dei gas reali (Van der Waals)
n2
n = numero di moli
p + a 2 (V − nb) = nRT
a, b = parametri tipici del gas
V
V
a
ν=
= volume specifico molare
p + 2 (ν − b) = RT
n
ν
Tc , pc , νc = coordinate termodinamiche del punto critico
pc νc = 83 RTc
a = 3 νc2 pc
Formula di Clapeyron :
12
b = νc /3
(trasform. da stato 1 a stato 2, νi = vol. spec. mol., λ = calore latente)
dT
T (ν2 − ν1 )
=
dp
λ
dp
λ
=
dT
T (ν2 − ν1 )
Teoria cinetica dei gas reali
a = αNA2 ,
α = coeff. dipendente da forze intermolecolari
√
3
r = raggio delle molecole
b = 4 2πNA r
Energia interna di un gas reale:
na
dU = ncV dT + 2 dV
V
T.8
U = ncV T −
na
+ cost.
V
II principio della Termodinamica
Teorema di Carnot: data una macchina termica che lavora scambiando calore con due
sorgenti termiche a temperatura T1 e T2 > T1 :
ηrev = ηCarnot = 1 −
T1
T2
ηirrev < ηCarnot
Teorema di Clausius: data una macchina termica che lavora scambiando calore con n
sorgenti termiche (sia Qi il calore scambiato con l’i-esima sorgente a temperatura Ti ):
n
X
Qi
i=1
Ti
≤0
(l’uguaglianza vale per cicli reversibili)
Nel limite in cui il numero di sorgenti diventa infinito:
I
I
d̄Q
d̄Q
=0
(rev.)
<0
T
T
T.9
(irrev.)
Entropia S
S = funzione di stato. In una trasformazione dallo stato A allo stato B:
Z B
d̄Q
∆S = SA − SB =
A T
NB: qualunque sia la trasformazione tra lo stato A e lo stato B, l’integrale nella formula
precedente va calcolato lungo una trasformazione reversibile qualsiasi che lega i due
stati.
In una trasformazione adiabatica reversibile: ∆S = 0 (per l’universo od un sistema isolato).
(ciclo)
= 0, mentre
∆Ssist
In una trasformazione ciclica il sistema torna nello stato iniziale:
(ciclo)
(ciclo)
l’ambiente esterno può avere ∆Samb = 0 (trasf. rev.) oppure ∆Samb > 0 (trasf. irrev.),
quindi
= 0 trasf. rev.
(ciclo)
(ciclo)
(ciclo)
(ciclo)
∆Suniverso = ∆Ssist + ∆Samb = ∆Samb
> 0 trasf. irrev.
Scambio di calore Q tra due sorgenti a temperature T1 e T2 > T1 :
∆S1 =
Q
T1
∆S2 = −
Q
T2
∆Suniverso = ∆S1 + ∆S2 > 0
Corpo di massa m e calore specifico cm a temperatura iniziale T1 messo a contatto con
sorgente di calore a temperatura T2 :
Z T2
dT
mcm (T2 − T1 )
T2
∆Scorpo = mcm
∆Ssorgente = −
= mcm log
T
T1
T2
T1
∆Suniverso = ∆Scorpo + ∆Ssorgente > 0
Cambiamento di fase:
∆S =
mλ
T
(λ = calore latente)
13
Entropia di un gas ideale: S = ncV log T + nR log V + cost.
Variazione di S in una trasformazione tra lo stato A e lo stato B (tutte le espressioni seguenti
sono equivalenti):
Z B d̄Q
TB
VB
TB VBγ−1
∆S = SB − SA =
= ncV log
+ nR log
= ncV log
T rev
TA
VA
TA VAγ−1
A
pB
VB
pB VBγ
= ncV log
+ ncp log
= ncV log
pA
VA
pA VAγ
(1−γ)/γ
=
ncp log
pB
T B pB
TB
− nR log
= ncp log
(1−γ)/γ
TA
pA
T A pA
In particolare, per una trasformazione
isoterma:
SB − SA = nR log
VB
pB
= −nR log
VA
pA
isocora:
SB − SA = ncV log
pB
TB
= ncV log
TA
pA
isobara:
SB − SA = ncp log
TB
VB
= ncp log
TA
VA
Entropia di un gas reale:
(b = parametro dell’eq. di Van der Waals)
S = ncV log T + nR log(V − b) + cost.
Energia inutilizzabile
Einut = Tmin ∆Suniverso
Tmin =
Temperatura minima delle sorgenti
coinvolte nel processo
Formula di Boltzmann
S = kB log N + cost.
T.10
N = numero di configurazioni del sistema
III principio della Termodinamica
lim ∆Srev = 0
S(T = 0) = 0
T →0
Calore specifico molare (cX = cV o cp ):
1
cX =
n
d̄Q
dT
X
1
=
n
∂S
∂ log T
X
lim cX (T ) = 0
T →0
T.11
Potenziali termodinamici
Entalpia libera:
Energia libera:
Entalpia:
G = U + pV − T S
F = U − TS
H = U + pV
14
(equilibrio: G minima)
(equilibrio: F minima)
(equilibrio: H minima)