UN METODO NUMERICO MESHFREE PARTICELLARE NEL
DOMINIO DEL TEMPO PER L'ANALISI ELETTROMAGNETICA:
SVILUPPO DI APPLICAZIONI 3D
Guido Ala1, E. Francomano2, Antonino Spagnuolo1, Fabio Viola1
1
Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e delle Telecomunicazioni
2
Dipartimento di Ingegneria Informatica
Università degli studi di Palermo - Viale delle Scienze, 90128 Palermo
L’impiego dei calcolatori per la simulazione di problemi elettromagnetici è divenuto uno
standard sia in fase di progettazione di prototipi ma anche in fase di verifica delle condizioni
di compatibilità elettromagnetica. D’altra parte, la crescente complessità delle simulazioni da
effettuare, a causa di geometrie complesse o irregolari, non omogeneità e non linearità, unita
alla pressante necessità di ottenere soluzioni in tempi rapidi, ha richiesto la formulazione di
metodi numerici alternativi a quelli tradizionalmente impiegati.
I metodi computazionali denominati meshfree consentono di ottenere soluzioni numeriche per
equazioni integrali e/o differenziali con le opportune condizioni al contorno, utilizzando un
insieme di particelle (o nodi) arbitrariamente distribuite. Tra questi, il metodo “Smoothed
Particle Hydrodynamics” (SPH) si è rivelato particolarmente versatile. I ricercatori dell’unità
hanno implementato una versione modificata del metodo per applicazioni in ambito
elettromagnetico, denominata “Smoothed Particle Electromagnetics” (SPEM).
L’implementazione del metodo SPEM richiede la creazione di due insiemi di particelle, uno
di campo elettrico e l’altro di campo magnetico, la cui distribuzione non necessità di alcuna
legge di connettività. La disposizione deve essere tale che ogni particella di campo E sia
circondata da un numero opportuno di particelle di campo H e viceversa. Il numero di
particelle deve essere sufficientemente grande in modo da permettere la corretta propagazione
del fenomeno elettromagnetico, ma non tale da generare oscillazioni spurie.
Si riporta, a titolo d’esempio, la formulazione SPEM per la valutazione della componente di
campo elettrico Ex nel caso di propagazione nel vuoto:
W ri r j , h
W ri r j , h
t N
V j ,
(1)
E xt 1 i E xt i H y j
H z j
0 j 1
z
y
essendo ri e rj i vettori di posizione della particella i e j rispettivamente, h la cosiddetta
smoothing length che definisce l’area di influenza della funzione kernel W ed ha un peso
rilevante nell’accuratezza della soluzione ed infine ΔVj, il volume associato alla particella jesima. Si nota che la derivata spaziale è stata sostituita da una sommatoria estesa alle
particelle vicine alla particella i-esima, pesata mediante la derivata della funzione kernel.
Se il dominio di supporto della particella interseca il contorno del dominio del problema in
esame o se la distribuzione delle particelle è irregolare, il metodo non mantiene la consistenza
ed occorre quindi introdurre delle modifiche alla formulazione, in particolare alla funzione
kernel. Inoltre, la convergenza dello schema temporale esplicito richiede il rispetto della
condizione di Courant-Friedrichs-Lewy che impone un limite al valore massimo del passo
temporale Δt. Tale valore dipende dalla smoothing length (a sua volta dipendente dalla
distanza tra le particelle) ed è pari a min( hi / c ) , essendo c la velocità di propagazione delle
onde elettromagnetiche nel mezzo considerato.
Il metodo è stato applicato alla simulazione del comportamento elettromagnetico di alcune
tipologie di cavità risonanti.
Un primo esempio riguarda la simulazione di una cavità di dimensioni 1m x 1m x 0,5m nel
quale è presente un’onda elettromagnetica TE10 stazionaria alla frequenza di circa 212 MHz.
Per questa rappresentazione si sono impiegate 10927 particelle per il campo elettrico e 10926
per il campo magnetico. Si sono confrontati i risultati ottenuti per i campi H con il metodo
SPEM con quelli ottenuti mediante il metodo FDTD (fig.1)
Campo Hy [A/m]
2 x 10
-3
SPEM
FDTD
1
0
-1
-2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Distanza [m]
0.7
0.8
0.9
Figura 1 – Disposizione delle particelle per la rappresentazione del dominio (a sinistra). Confronto dei risultati con il metodo
FDTD (a destra).
Un'altra simulazione ha riguardato invece una cavità a forma di “H” nella quale ad
un’estremità del piano mediano è posta una sorgente di campo elettrico Ez con forma d’onda
di tipo impulso gaussiano per la quale si è rilevata la risposta, sempre in termini di campo
elettrico, all’altra estremità. Per realizzare questa configurazione sono state impiegate 9639
particelle E e 9640 particelle H. Sono inoltre state introdotte 2574 particelle “ghost” (non
influenti ai fini del comportamento elettromagnetico) allo scopo di rendere stabile la
simulazione. Anche in questo caso, il confronto tra il metodo SPEM ed il metodo FDTD ha
dato risultati soddisfacenti (fig.2).
0
0.1
0.1
0.5
0.05
z
Campo Ez [V/m]
0.02
1
Campo E [V/m]
Particelle E
Particelle H
Ghost
0.04
0
FDTD
SPEM
0
-0.05
-0.5
0.05
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-1
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
2
2.5
-9
x 10
-0.1
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
2
2.5
-9
x 10
Figura 2 – Disposizione delle particelle nel dominio (a sinistra). Si notino le particelle ghost necessarie per la stabilità della
simulazione. Andamento temporale della sorgente (al centro). Confronto con il metodo FDTD (a destra).
Bibliografia
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[2] M.B. Liu, G.R. Liu, “Restoring particle consistency in smoothed particle Hydrodynamics”, Applied Numerical
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[3] G. Ala, F. Viola, E. Francomano, A. Tortorici, E. Toscano: “A Smoothed Particle Interpolation Scheme for
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ISSN: 0377-0427, vol. 210, issue 1, December 31, 2007, pp. 34-46, DOI: 10.1016/j.cam.2006.10.054, on line
1/12/2006: http://www.sciencedirect.com/.
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DOI:10.1016/j.amc.2008.06.038, Elsevier Science Publishers, ISSN: 0096-3003.
