RETI IN REGIME SINUSOIDALE - Ingegneria elettrica ed elettronica

RETI IN REGIME SINUSOIDALE
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai
Tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici
A. A. 2005/ 2006
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
(ultimo aggiornamento 14/11/2009)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
1
Introduzione: definizioni
Funzioni periodiche
Grandezza alternata e sinusoidale
Metodo simbolico per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale
Bipoli e circuiti semplici
Funzionamento dei bipoli clettrici R, L, C in corrente continua
Funzionamento dei bipoli elettrici r, l, c in regime sinusoidale permanente
Bipolo resistivo
Bipolo induttivo
Bipolo capacitivo
Equazioni costitutive dei componenti elementari: resistore, induttore e capacitore.
Componenti elementari: trasformatore e generatori dipendenti
Trasformatore ideale: potenza istantanea
Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione)
Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione)
Bipoli RLC
Ammettenza: conduttanza, suscettanza
Triangolo delle ammettenze
Impedenze in serie e in parallelo
Potenza istantanea in un bipolo
Potenza attiva, reattiva, apparente e complessa
Triangolo delle potenze
Potenza in un bipolo puramente resistivo
Potenza in un bipolo puramente induttivo
Potenza in un bipolo puramente capacitivo
Generatori reali di tensione e di corrente
Condizioni di massimo trasferimento di potenza: rendimento.
Teorema di Tellegen e di Boucherot
Applicazione del teorema di Boucherot
Analogie fra i metodi di risoluzione delle reti in regime continuo e sinusoidale
Metodi di risoluzione delle reti in regime sinusoidale
Metodo delle correnti maglia
Metodo dei potenziali di modo
Rifasamento
Modalità di rifasamento di un impianto
Risoluzione delle reti lineari in presenza di generatori con frequenza diversa
Risonanza
Risonanza serie
Risonanza parallelo
Reti due porte o bi-porta
Bi-porta attivo: teorema generalizzato di Thevenin
Definizione del bi-porta attraverso la matrice Z
Definizione del bi-porta attraverso la matrice Y
Definizione del bi-porta attraverso la matrice T
Definizione del bi-porta attraverso la matrice inversa Ti
Potenza assorbita da un bi-porta
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pag. 3
pag. 5
pag. 6
pag. 13
pag. 19
pag. 20
pag. 21
pag. 21
pag. 23
pag. 25
pag. 27
pag. 29
pag. 30
pag. 31
pag. 32
pag. 33
pag. 34
pag. 35
pag. 36
pag. 38
pag. 39
pag. 41
pag. 42
pag. 42
pag. 43
pag. 45
pag. 46
pag. 48
pag. 48
pag. 50
pag. 51
pag. 51
pag. 54
pag. 58
pag. 59
pag. 63
pag. 66
pag. 68
pag. 79
pag. 88
pag. 90
pag. 94
pag. 95
pag. 96
pag. 97
pag. 99
2
RETI IN REGIME SINUSOIDALE
INTRODUZIONE
Sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al
variare del tempo con legge sinusoidale.
Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con
tensione sinusoidale con frequenza di:
9 50 Hz in Europa
9 60 Hz in USA.
Le tensioni sinusoidali sono molto importanti nelle
applicazioni.
DEFINIZIONI
Funzione periodica nel tempo t, u(t): è una funzione che
rappresenta una grandezza che assume valori uguali ad
intervalli di tempo pari al suo periodo T
u( t ) = u( t + nT )
∀n ∈ Interi
(1)
u1(t)
t
T
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3
Si definiscono:
9 Valore medio u(t) nel periodo T:
T
UmT =
∫
1
u( t )dt
T
(2)
0
9 Valore medio u(t) in un qualunque intervallo di tempo τ:
Umτ =
τ
u( t )dt
∫
τ
1
(3)
0
9 Valore efficace o valore quadratico medio:
T
U=
∫
1
u 2 ( t )dt
T
(4)
0
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4
FUNZIONI PERIODICHE
Una qualsiasi funzione tale che soddisfi la relazione (1) e
cioè: u( t ) = u( t + nT ) ∀n ∈ Interi
può essere espressa mediante la serie di Fourier a
condizione che siano verificate le condizioni di Dirichelet:
1. se è discontinua presenti un numero finito di
discontinuità nel periodo T
2. abbia un valor medio finito nel periodo T :
T
∫
1
UmT =
u( t )dt < ∞
T
0
3. presenti un numero finito di massimi positivi e
negativi.
Lo sviluppo di u(t) nella serie di Fourier in forma reale è:
∞
∞
a0
u( t ) = +
an cos( nωt ) +
bn sin( nωt )
(5)
2 n=1
n=1
∑
∑
con:
an =
bn =
2
T
2
T
T
2
∫ u( t ) cos( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(6)
∫ u( t ) sin( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(7)
−T
2
T
2
−T
2
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5
Si definisce:
• Alternata o alternativa una grandezza periodica il cui
valor medio nel periodo è uguale a zero:
T
U mT =
∫
1
u( t )dt = 0
T
(8)
0
• Fattore di forma Kf di una grandezza alternativa il
rapporto fra il suo valore efficace e il suo valore medio
U
(9)
nel semiperiodo: K f =
U mT
2
u
t
Una grandezza alternativa è sinusoidale se varia nel tempo
con legge sinusoidale:
(10)
u( t ) = U M sin( ωt + α )
Essa è caratterizzata da tre parametri, ossia per definirla in
maniera univoca sono necessari tre parametri:
1. AM ampiezza o valore massimo di picco di a(t) con le
stesse dimensioni di a(t); cioè se a(t) è una corrente
AM si misurerà in Ampere, se a(t) è una tensione AM si
misurerà in Volt, e così via.
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6
2π ⎡ rad ⎤
pulsazione, legata alla frequenza
⎢
⎥
T ⎣ s ⎦
1⎡ 1 ⎤
f e al periodo T = ⎢ ⎥ = [s ]
f ⎣ Hz ⎦
⎡
⎤
α ⎢ rad ⎥
= [s ]
3. α [rad ] fase iniziale e tα = ⎢
⎥
ω ⎢ rad ⎥
⎣ s ⎦
intervallo di tempo corrispondente alla fase α.
2. ω = 2πf =
N.B. (ωt+α) [rad ] rappresenta la fase istantanea della
grandezza sinusoidale. Per t=0 risulterà (ωt+α) = α.
Si definisce:
9 Periodo T l’intervallo di tempo che intercorre fra due
istanti successivi aventi la stessa fase istantanea
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7
Osservazione
tα =
α
; in funzione del valore dell’angolo α avremo i
ω
seguenti casi:
9 α=0
9
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per
0
tα = = 0
u(0)=UMsin(ωt+α)=0
ω
U
Sinusoide con fase iniziale nulla
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
Tempo
9 α<0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per
−α
−α ⎞
tα =
<0
u(0)=UMsin ⎜⎛
⎟ <0
ω
⎝ ω ⎠
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8
tα =
α
[sec ondi ]
ω
9 α>0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per:
α
α
tα = > 0
u(0)=UMsin ⎜⎛ ⎞⎟ >0
ω
⎝ω ⎠
tα =
α
[sec ondi ]
ω
Se la fase iniziale è positiva la sinusoide è in anticipo, in
caso contrario la fase iniziale è negativa e la sinusoide
risulta in ritardo.
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9
DETERMINAZIONE DEL VALORE EFFICACE DI
UNA GRANDEZZA SINUSOIDALE u(t)
9 Definizione di valore efficace
T
∫
1
2
U=
U M sin 2 ( ωt )dt
T
(11.a)
0
Dalle formule trigonometriche per la duplicazione degli
archi:
cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x da cui sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
T
U=
1
2 ⎛ 1 − cos 2ωt ⎞
UM ⎜
⎟dt
T
2
⎝
⎠
∫
(11.b)
0
Inoltre:
1 − cos 2ωt
2π
⎡ t sin 2ωt ⎤
=
−
dt
e
ricordando
che
ω
=
si
π
f
2
=
∫
⎢⎣ 2
0
2
4ω ⎥⎦ 0
T
T
T
ha che la soluzione del precedente integrale risulta essere:
2π
2π ⎤
⎡
T
sin
2
sin
2
⎢T
T −0+
T ⎥ =T
−
⎢2
2π
2π ⎥
2
2
⎥
⎢
4
4
⎣
T
T ⎦
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La (11.b) diventerà:
U=
1 2 T UM
UM =
2
T
2
(12)
Il valore medio UT di una grandezza sinusoidale u(t) nel
semiperiodo sarà:
T
2
U mT =
2
∫
2
U M sin( ωt + α )dt
T
(13)
0
Operando un cambiamento di riferimento:
T
2
U mT =
2
2
2
⎡
U M sin( ωt )dt = U M ⎢ −
T
T
⎣
∫
0
T
cos ωt ⎤ 2
ω ⎥⎦ 0
T
⎡
⎞⎤
⎛
ω
cos
⎟⎥
⎜
cos
0
ω
2⎢
2+
⎟⎥ =
U m T = ⎢U M ⎜ −
ω
ω ⎟⎥
T⎢
⎜⎜
2
⎟
⎠⎦
⎝
⎣
2π T
⎡
⎛
⎞⎤
cos
⎜
⎟⎥ 2
2⎢
1
T 2 + ⎟ = U ⎡ cos π + 1 ⎤ =
U mT = ⎢U M ⎜ −
⎥
M⎢
T
T
ω
ω
ω
ω ⎥⎦
⎣
⎜
⎟
2
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎦
⎣
2
⎡1 1⎤
= UM ⎢ + ⎥ =
T
⎣ω ω ⎦
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=
2
2
2 2
2
UM = UM
= U M = 0.636U M
2π π
T
ω T
T
Il fattore di forma di una grandezza sinusoidale sarà:
UM
U
2 = 1.11
Kf =
=
2
U mT
UM
2
(14)
π
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METODO SIMBOLICO PER LO STUDIO DEI
CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE
Se una rete lineare è alimentata da un generatore
sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α), risulteranno sinusoidali
tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei
diversi rami del circuito.
L’importanza delle eccitazioni di tipo sinusoidale è legata
al fatto che:
• qualsiasi funzione periodica nel tempo o alternativa è
sviluppabile in una serie di funzioni del tipo:
2π
con pulsazione
ei(t)=EMisin(ωit+αi) con ω i = 2πf i =
Ti
ωi=iω per i=0, 1 ,2 ,….(sviluppo in serie di Fourier) e
che
• per circuiti lineari vale il principio di sovrapposizione
degli effetti.
Per tali motivi lo studio di questi circuiti si riconduce allo
studio di circuiti alimentati da un solo segnale sinusoidale
(tanti circuiti quante sono le componenti dello sviluppo di
Fourier), per poi applicare il principio di sovrapposizione
degli effetti per tutti i contributi delle cause, o eccitazioni,
alle diverse frequenze.
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In base delle considerazioni già fatte, poiché una funzione
sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α) è definita da tre parametri
(ampiezza EM, pulsazione ω, fase α) è possibile
semplificare notevolmente i calcoli trasformando:
l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di
funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.
Insieme delle funzioni sinusoidali S
u(t)=UMsin(ωt+α)
(15)
Insieme delle funzioni complesse C
U(jωt)=UM e j(ωt+α)
(16)
Le operazioni tra grandezze sinusoidali, che richiedono
l’applicazione di tutte le formule relative alla trigonometria,
vengono così semplificate in operazioni più semplici da
eseguire fra grandezze simboliche complesse.
La corrispondenza risulta anche isomorfa, cioè conserva le
operazioni fondamentali.
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Relazioni tra le grandezze sinusoidali, i
corrispondenti
vettori
rotanti
nella
rappresentazione complessa e i fasori della
rappresentazione fasoriale
Rappresentazione sinusoidale
Rappresentazione complessa
e( t ) = E M cos( ωt + α )
j ( ωt +α )
E ( jω t ) = E M e
e jα + e − jα
Ricordando che cos α =
avremo:
2
e( t ) = E M cos( ωt + α ) = E M
e j ( ωt +α ) + e − j ( ωt +α )
=
2
e j ω t e jα + e − j ω t e − j α
= EM
=
2
( E M e jα )e jωt + ( E M e − jα )e − jωt
=
2
__
Ponendo: E = E M e e
e( t ) = E M
jα
__
*
E
= E M e − jα , si ricava:
⎡ __ jωt ⎤
E e jω t + E * e − jω t
cos( ωt + α ) =
= Re ⎢ E e ⎥
2
⎣
⎦
(17)
__
Ricordando che se I = I R + jI I si ha:
9 I + I = I R + jI I + I R − jI I = 2 I R = 2 Re ⎡ I ⎤
(18)
⎢⎣ ⎥⎦
__
__
__
*
⎡
9 I − I = I R + jI I − I R + jI I = 2 jI I = 2 j Im I ⎤ (19)
⎢⎣ ⎥⎦
__
__
*
__
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⎡ __⎤
__
*
__
Quindi: Re ⎢ I ⎥ = I + I
2
⎣ ⎦
⎡ __⎤
Im ⎢ I ⎥ =
⎣ ⎦
__
(20)
__
*
(21)
I−I
2j
Dall’espressione della rappresentazione complessa si
ottengono le seguenti relazioni:
__
e( t ) = E M
__
⎡ __jωt ⎤
E jω t E − j ω t
= Re ⎢ Ee ⎥
cos( ωt + α ) = e + e
2
2
⎢⎣
⎥⎦
__
e' ( t ) = E M
(22)
__
⎡ __jωt ⎤
E jω t E − jω t
= Im ⎢ Ee ⎥
sin( ωt + α ) =
e − e
2j
2j
⎥⎦
⎣⎢
che possono essere visualizzate attraverso la seguente
rappresentazione grafica:
__
e(t)’= EMsin(ωt+α)
E e j ωt
__
E jωt
e
2
(ωt+α)
__
E − j ωt
e
2
e(t)=EMcos(ωt+α)
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Si vede come e(t) risulta essere:
9 la proiezione sull’asse reale del vettore rotante e
9 uguale in ogni istante alla somma di due vettori
rotanti con velocità angolare opposta jωt e
E
-jωt, di modulo M pari alla metà dell’ampiezza del
2
vettore rotante associato E ( jωt ) .
Più grandezze sinusoidali di uguale frequenza possono
essere rappresentate con i fasori, ossia considerando i
vettori rotanti associati alla rappresentazione complessa
relativi all’istante t=0.
Ciò è possibile perché grandezze complesse della stessa
frequenza ruotano mantenendo fra loro lo stesso
sfasamento al variare del tempo.
Quindi:
1. Rappresentazione sinusoidale
e( t ) = E M sin( ωt + α )
2. Rappresentazione complessa
j ( ωt +α )
E ( jω t ) = E M e
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3. Rappresentazione fasoriale
__
E = E M e jα
In questo modo ad ogni grandezza sinusoidale
corrisponde una grandezza complessa con modulo pari al
valore massimo (o efficace) e fase pari alla fase iniziale.
• Con la rappresentazione fasoriale non viene espresso
il terzo parametro ω, perché è definito a priori per
tutte le grandezze aventi la stessa pulsazione e quindi
rappresentabili sullo stesso piano complesso.
• Grandezze di pulsazioni diverse non possono essere
rappresentate sullo stesso piano perché in ogni istante
varia lo sfasamento relativo fra loro.
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BIPOLI E CIRCUITI SEMPLICI
Ipotesi: circuito in regime sinusoidale permanente.
Se ad un bipolo si applica una tensione sinusoidale u(t),
esso assorbirà una corrente sinusoidale i(t) sfasata di un
certo angolo che dipende dalla natura stessa del bipolo.
i(t)
u(t)
⎧u( t ) = U M sin( ωt + αV )
⎨
⎩i ( t ) = I M sin( ωt + α I )
U = U∠αV
I = I∠ α I
UM
2
I
I= M
2
U=
Lo sfasamento fra le due grandezze può essere positivo o
negativo ed è espresso dalla relazione ϕ=αV-αI ossia dalla
differenza fra le fasi.
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FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI
R, L, C IN CORRENTE CONTINUA
U
Resistore o resistenza ideale
U=RI
(1)
Vale la legge di Ohm
Capacitore o condensatore ideale
U
U
R=∞⎯
⎯→ I =
U
=0
R
(2)
Induttore o induttanza ideale
U
U
R=0⎯
⎯→ U = 0 ; I = 0 (3)
Il condensatore ideale in corrente continua equivale ad un
interruttore aperto; non circola corrente (funzionamento a
vuoto).
L’induttore ideale in corrente continua equivale ad un
interruttore chiuso privo di resistenza; la tensione ai capi
del bipolo è nulla (funzionamento in corto circuito).
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FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI
R, L, C IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE
9 Bipolo resistivo
i(t)
u(t)
R(Ω)= Resistenza
i ( t ) = 2 I sin ωt = I M sin ωt
u( t ) = Ri ( t ) = RI M sin ωt = U M sin ωt
U M = RI M
U M = 2U ⎯
⎯→ u( t ) = 2U sin ωt
(1)
(2)
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Utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
_
U = U ∠0 (Volt)
_
_
I = I ∠0 (Ampere)
_
_
U = RI
con U =
I
U
(3)
UM
I
;I = M ;
2
2
Le due grandezze risultano in fase pur avendo dimensioni e
ampiezze diverse.
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9 Bipolo induttivo
i(t)
u(t)
L(Henry) = Induttanza
Per la legge di Lenz: u L ( t ) = L
di
dt
(4)
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Poiché i ( t ) = I M sin ωt , avremo:
π⎞
π⎞
⎛
⎛
uL ( t ) = ωLI M cos ωt = ωLI M sin⎜ ωt + ⎟ = U M sin⎜ ωt + ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
(5)
con U M = ωLI M
(6)
Si definiscono:
Reattanza induttiva:
Suscettanza induttiva:
X L = ωL = 2πfL (Ω)
1
1
(S)
BL =
=
ωL 2πfL
(7)
(8)
Utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
U = U∠
π
2
(Volt)
U
_
I = I∠0 (Ampere)
I
UM
IM
UL =
;I =
2
2
_
Inoltre:U L = (ωLI ) ∠
π
2
_
= jω L I
(9)
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Bipolo capacitivo
i(t)
u(t)
C (Farad) = Capacità o capacitore
La relazione che lega tensione e corrente in un bipolo
capacitivo è duale a quella trovata per il bipolo induttivo:
du
(10)
i( t ) = C
dt
Quindi se u( t ) = U M sin ωt
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π⎞
⎛
i ( t ) = ωCU M cos ωt = (ωCU M ) sin⎜ ωt + ⎟ =
2⎠
⎝
π⎞
⎛
= I M sin⎜ ωt + ⎟
2⎠
⎝
con I M = ωCU M
UM =
(11)
(12)
1
IM
ωC
(13)
Si definiscono:
1
(Ω)
ωC
Suscettanza capacitiva: BC = ωC (S)
Reattanza capacitiva:
XC =
(14)
(15)
1
I = XC I
Con i valori efficaci: U =
ωC
utilizzando la rappresentazione fasoriale:
_
_
U = U ∠0 (Volt)
_
_
I = I∠
π
(16)
I
(Ampere)
2
U
_
_
I = jω C U
_
1 _
I
U =−j
ωC
(17)
(18)
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Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
EQUAZIONI COSTITUTIVE DEI COMPONENTI
ELEMENTARI
1. Resistore:
9 equazione costitutiva in c.a.: u( t ) = Ri ( t )
9 equazione costitutiva in c.c. : U = RI
i(t)
u(t)
2. Induttore
di ( t ) dΦ ( t )
=
dt
dt
9 equazione costitutiva in c.c. La corrente I non varia e
la tensione U=0.
L’induttore equivale ad un interruttore chiuso o ad una
resistenza di valore nullo.
9 equazione costitutiva in c.a. u( t ) = L
i(t)
u(t)
N.B. Φ=LI (Weber)
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3. Capacitore
du( t ) dq( t )
=
dt
dt
9 equazione costitutiva in c.c.: La tensione non varia
nel tempo e la corrente è sempre nulla. Il capacitore
equivale ad un interruttore aperto o ad una resistenza di
valore infinito.
9 equazione costitutiva in c.a.: i ( t ) = C
i(t)
u(t)
N.B. Q=CV:quantità di carica (Coulomb)
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Fra i componenti elementari principali esistono altre tre
categorie:
1. Trasformatore ideale
2. Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in
tensione)
3. Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in
tensione)
Trasformatore ideale
U1
⎧u1 = nu2
⎪
⎨
1
i
=
⎪⎩ 1 n i 2
U2
(4) 1-1’ = morsetti primari; 2-2’ = morsetti secondari
n = rapporto di trasformazione (è un numero reale)
Questo doppio bipolo è descritto dalle relazioni (4) utilizzando:
• la convenzione degli utilizzatori per la coppia di morsetti di ingresso
(1-1’) e
• la convenzione dei generatori per la coppia di morsetti in uscita (2-2’).
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La potenza istantanea è data dalla seguente relazione:
1
p1 ( t ) = u1 i1 = nu2 i 2 = u2 i 2 = p2 ( t )
(5)
n
La relazione (5) indica che:
9 il trasformatore è trasparente alle potenze (potenza in
ingresso pari alla potenza in uscita), mentre
9 variano tensioni e correnti, che hanno valori in
ingresso e in uscita in proporzione mutuamente
inversa.
Se n > 1 ⎯
⎯→ u1 > u2 : trasformat ore − abbassatore
⎯→ u1 < u2 : trasformat ore − elevatore
Se n < 1 ⎯
⎯→ u1 = u2 : trasformat ore di isolamento
Se n = 1 ⎯
Il trasformatore di isolamento viene utilizzato per separare
una parte del circuito da un’altra per motivi principalmente
dovuti alla sicurezza elettrica.
Essendo p1 ( t ) = u1 i1 = u2 i 2 = p2 ( t ) la potenza assorbita
dal doppio bipolo è p( t ) = u1 i1 + u2 i 2 = 0 , ossia la potenza
entrante è uguale a quella uscente. In base a queste
considerazioni risulta che: il trasformatore ideale è un
elemento passivo e non dissipativo, non è dotato di stato,
in quanto sia le tensioni che le correnti primarie e
secondarie sono legate da relazioni algebriche e non
differenziali (non ci sono derivate temporali, quindi non si
può parlare né di condizioni iniziali, né di variabili di stato).
La base di definizione è mista: (u1;i2) o (u2;i1).
Questo quadripolo ideale è utile per modellare componenti
reali.
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Generatore ideale di tensione controllato
9 Generatore di tensione pilotato in corrente
(CCVS: Current Controlled Voltage Source)
k [Ω ]
I
transimpedenza
kI
9 Generatore di tensione pilotato in tensione
(VCVS: Voltage Controlled Voltage Source)
β [ad ]
βU
U
Altro simbolo previsto dalle norme:
+
-
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Generatore ideale di corrente controllato
9 Generatore di corrente pilotato in corrente
(CCCS:Current Controlled Current Source)
α [ad ]
I
αI
9 Generatore di corrente pilotato in tensione
(VCCS: Voltage Controlled Current Source)
g [Siemens
]
transammettenza
U
gU
Altro simbolo previsto dalle norme:
Questi ultimi quattro componenti sono attivi.
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BIPOLO RLC
UR
UL
UC
U
U AB = U R + U L + U C
(1)
U AB = R I + jX L I − jX C I = [R + j ( X L − X C )] I
Introducendo il concetto di impedenza avremo:
(2)
U AB = Z& I (N.B. Z& è un operatore complesso)
(3)
2
Z& = Z∠ϕ ⎯
⎯→ Z = R 2 + ( X L − X C ) modulo di Z& (4)
X − XC
ϕ Z = arctan L
argomento di Z& (5)
R
R = Z cosϕz
(6)
X = Z sinϕz= R tanϕz (7)
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• Se XL-XC >0 prevale il fenomeno induttivo e la
corrente è in ritardo rispetto alla tensione
• Se XL-XC <0 prevale il fenomeno capacitivo e la
corrente è in anticipo rispetto alla tensione
U
Ammettenza
1
Y& = = G + jB ; (8)
Z&
Y& = Y∠ϕ Y
G = conduttanza (Siemens)
B = suscettanza (Siemens)
(con notazione fasoriale)
ATTENZIONE:
Y& =
Y=
1
R − jX
R
X
j
= 2
=
−
≠
2
R + jX R + X 2 Z 2
Z
R2
Z
4
+
X2
Z
4
=
Z2
Z
4
=
1
Z
2
=
1
1
+j
R
X
1
Z
(9)
(10)
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X
2
X
X
Z
ϕY = arctan
= arctan− = − arctan = −ϕ
R
R
R
+ 2
Z
−
Quindi:
Y=
1
;
Z
ϕY = − ϕ Z
(11)
(12)
Analogamente a quanto fatto per le impedenze, si definisce
un triangolo delle ammettenze:
In regime sinusoidale due bipoli si dicono equivalenti se
presentano ai loro morsetti la stessa impedenza equivalente,
ossia il rapporto fra il fasore della tensione e quello della
corrente é lo stesso.
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_
U1
Z& 1 = _
I1
U1
U2
_
U2
Z& 2 = _
I2
_
_
_
_
_
_
⎯→ I 1 = I 2 = I ⎯
⎯→ Z& 1 = Z& 2
Se U 1 = U 2 = U ⎯
IMPEDENZE IN SERIE E IN PARALLELO
Come in corrente continua, valgono relazioni analoghe a
quelle viste per il partitore di tensione e di corrente
realizzati in regime permanente con i resistori.
•
•
•
•
•
9 Serie: Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3 + .... + Z n =
n
•
∑Z
i
(1)
i =1
U1
U2
_
Ui =
U3
•
_
Zi
n
U
•
∑Z
Un
(2)
i
i =1
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9 Parallelo:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
Z& eq Z& 1 Z& 2 Z& 3
Z& n
(3)
Y&eq = Y&1 + Y&2 + Y&3 + ... + Y&n
(4)
_
_
_
_
_
I = I 1 + I 2 + I 3 + ... + I n
Y&i
_
Ii =
(5)
_
∑ Y&
(6)
I
n
i
i =1
Nel caso particolare di due sole impedenze in parallelo
avremo:
(7)
•
_
I1 =
•
_
Z2
•
•
Z1 + Z 2
I=
•
U
•
Z eq =
•
•
•
•
Z1 * Z 2
Z1 + Z 2
I2 =
I
•
_
Z1
•
•
Y1 + Y2
•
_
_
Y1
•
Z1 + Z 2
I=
_
Y2
•
•
Y1 + Y2
I
(8)
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POTENZA ISTANTANEA IN UN BIPOLO
Se si alimenta un bipolo passivo in
regime sinusoidale le tensioni e le
correnti relative saranno:
u( t ) = U M sin ωt
i ( t ) = I M sin(ωt − ϕ )
i(t)
u(t)
I
ϕ
U
Si definisce potenza istantanea p(t):
p( t ) = u( t )i ( t ) = U M I M sin ωt sin(ωt − ϕ )
essendo sinα sin β = −
=
(1)
1
[cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
1
[cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
UM IM
U I
cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) =
2
2
U I
U I
= M M cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) =
2 2
2 2
π⎞
⎛
= UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟
2⎠
⎝
π⎞
⎛
essendo; − cos α = sin⎜ α − ⎟
2⎠
⎝
(2)
p( t ) =
(3)
(4)
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•
UI cos ϕ : é costante e coincide con il valor medio
della potenza istantanea p(t) nel semiperiodo, essa é
la potenza attiva o reale e cos ϕ è il fattore di potenza.
La potenza attiva si indica con P. Si ha:
P ≥ 0 per
P < 0 per
•
−
π
π
2
2
≤ϕ ≤
<ϕ <
π
2
3π
2
π⎞
⎛
UI sin⎜ 2πt − ϕ − ⎟ è la potenza fluttuante di
2⎠
⎝
pulsazione doppia 2ω rispetto alla potenza attiva.
Questo termine non da contributo di potenza attiva.
POTENZA ATTIVA, REATTIVA, APPARENTE E
COMPLESSA
Potenza attiva
P = UI cos ϕ
[Watt ] [W ]
(1)
Potenza reattiva Q = UI sin ϕ [VAR] o
[VoltAmpereReattivi]
(2)
Potenza apparente S = UI [VoltAmpere] [VA]
(3)
_ _∗
Potenza complessa S& = P + jQ = U I
[VA]
(4)
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Dimostrazione:
i(t)
Z& = R + jX = Z& e jϕ
_∗
_
Se I = Ie jϕ I ⎯
⎯→ I = Ie − jϕ
u(t)
_
_
Allora U = Z& I = ( ZI )e jϕ e jϕ I
S& = P + jQ = UI ∗ = ( Ue jϕ e jϕ I )Ie − jϕ = UIe jϕ
=UI cos ϕ + jUI sin ϕ
Altre relazioni utili:
S = P 2 + Q 2 = U 2 I 2 cos 2 ϕ + U 2 I 2 sin 2 ϕ = UI
P
P = UI cos ϕ = S cos ϕ ⎯
⎯→ S =
cos ϕ
Q
⎯→ S =
Q = UI sin ϕ = S sin ϕ ⎯
sin ϕ
Q = P tan ϕ
_
(5)
(6)
(7)
(8)
_
I cos ϕ
U
ϕ
_
_
I sin ϕ
I
Il grafico si riferisce alla ipotesi
di carico ohmico-induttivo
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La potenza attiva P = VI cos ϕ sarà il prodotto della
tensione per la componente della corrente nella direzione
_
della tensione: I cos ϕ
La potenza reattiva Q = VI sin ϕ sarà il prodotto della
tensione per la componente della corrente nella direzione
_
perpendicolare (o in quadratura) alla tensione: I sin ϕ
Analogamente a quanto fatto per impedenze e ammettenze
si definisce un triangolo delle potenze:
S
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Potenze istantanea, attiva, reattiva e apparente nel caso si
bipoli puramente resistivi, induttivi o capacitivi.
1. Potenze in un bipolo puramente resistivo
Se il bipolo è resistivo non c’è sfasamento fra tensione e
(9)
corrente:ϕ=0
π⎞
π⎞
⎛
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI + UI sin⎜ 2ωt − ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
T
P=
∫
0
U2
p( t )dt = UI cos ϕ = RI =
R
2
Q = UI sin ϕ = UI sin 0 = 0 ⎯
⎯→ S = P
(10)
(11)
2. Potenze in un bipolo puramente induttivo
Se il bipolo è induttivo lo sfasamento fra tensione e
corrente: ϕ =
π
(12)
2
π⎞
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt − π )
2⎠
⎝
T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0
(13)
0
π
U2
→ S = Q L (14)
Q = UI sin ϕ = UI sin = UI = ωLI =
ωL
2
2
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3. Potenze in un bipolo puramente capacitivo
Se il bipolo è capacitivo lo sfasamento fra tensione e
corrente: ϕ = −
π
(15)
2
π⎞
⎛
p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt )
2⎠
⎝
T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0
0
Q = UI sin ϕ = UI sin−
π
2
= −UI = −
(16)
1 2
I = ωCU 2 → S = QC
ωC
(17)
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GENERATORI REALI
Generatore reale di tensione.
Può essere simulato con un generatore ideale di tensione
con in serie l’impedenza interna.
Generatore reale di corrente.
Può essere simulato con un generatore ideale di corrente
con in parallelo l’ammettenza interna.
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_
_
_
•
J = E Yi =
E
•
Zi
è la relazione che consente di passare da un generatore di
tensione a un generatore di corrente equivalente o
viceversa, in base ai teoremi di Thevenin e Norton.
CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI
POTENZA
U
•
Z i = Ri + jX i
(1)
Z = R + jX
(2)
•
_
_
I=
E
•
•
(3)
Zi + Z
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La potenza trasferita dalla resistenza al carico sarà:
E2
2
Pu = RI = R
( R + Ri )2 + ( X + X i )2
(4)
Tale potenza sarà massima per:
•
•
∗
R = Ri
e per X = − X i ossia per Z = Z i
Per dimostrarlo basta esprimere Pu in funzione di R
considerando costante X, e poi in funzione di X
considerando costante R, derivare le due espressioni e
quindi uguagliarle a zero.
dPu
con X = cost
=0⎯
⎯→ R = Ri
dR
dPu
=0⎯
⎯→ X = − X i con R = cost
dX
Il rendimento complessivo η sarà ridotto del 50%:
potenza utilizzata Pu
RI 2
=
=
η=
potenza erogata
Pe 2 RI 2
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TEOREMA DI TELLEGEN
•
_ _
S = P + jQ = U I* è la potenza complessa.
Per una rete lineare in regime sinusoidale vale il teorema di
Tellegen secondo il quale:
l
_ _∗
l
l
_
∑ U I =∑ (P + jQ ) = 0 ⎯⎯→ ∑ S
i
i =1
i
i =1
i
=0
(1)
i =1
Poiché deve essere valida la (1) sarà:
l
∑P =0
i
i =1
l
∑Q
i
=0
(2)
i =1
Le relazioni (2) esprimono il teorema di conservazione
della potenza attiva e reattiva, chiamato Teorema di
Boucherot.
Separando i generatori dagli altri bipoli elementari passivi,
il teorema di Tellegen può essere così enunciato:
la somma delle potenze attive (o reattive) generate deve
essere uguale alla somma delle potenze attive (o reattive)
assorbite.
Con l sono stati indicati i lati della rete a cui è associato un
grafo con l lati orientati.
In altre parole il teorema mostra come il vettore delle
tensioni e delle correnti sono fra loro ortogonali, infatti se
_ _
_
_
U I * = 0 , allora i vettori U e I* sono ortogonali.
Il teorema di Tellegen è una delle espressioni del principio
di conservazione dell’energia, da esso discende che la
somma delle potenze attive (reattive) erogate è uguale alla
somma delle potenze attive (reattive) assorbite.
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Applicazione del TEOREMA DI BOUCHEROT
U1
U2
U 1 = tensione ai morsetti dell’alimentazione
U 2 = tensione ai morsetti dell’utilizzatore
P1 = potenza attiva erogata
Q1= potenza reattiva erogata
P2 = potenza attiva assorbita dall’utilizzatore
Q2= potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore
PR = potenza attiva assorbita dalla linea
QX= potenza reattiva assorbita dalla linea
P1 = PR + P2 = RI 2 + P2
Q1 = Q X + Q2 = X L I 2 + Q2
(1)
(2)
S2
=I
U2
S
2
2
Da cui S 1 = P1 + Q1 = U 1 I 1 ⎯
⎯→ U 1 = 1
I
Lo sfasamento fra U1 e I1 è dato da :
(3)
⎯→ I 2 =
Poiché S 2 = P2 + Q2 = U 2 I 2 ⎯
2
2
(4)
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ϕ 1 = arctan
Q1
P1
(5)
ANALOGIE FRA I METODI DI RISOLUZIONE DELLE
RETI IN REGIME CONTINUO E SINUSOIDALE
La risoluzione delle reti sinusoidali è basata sui teoremi
visti per le reti in corrente continua, valgono quindi:
9 La legge di Ohm
9 Il principio di sovrapposizione degli effetti
9 I teoremi di Thevenin e Norton
9 Il metodo di risoluzione delle correnti di maglia
9 Il metodo di risoluzione dei potenziali di nodo
9 Il teorema di Millman.
Quindi le espressioni analitiche delle leggi, teoremi e
principi sono generalmente analoghe a quelle valide per il
regime permanente, basta far corrispondere le grandezze
corrispondenti secondo il seguente schema:
grandezze in
corrente continua
corrente alternata
U tensione
I corrente
R resistenza
G conduttanza
U tensione
I corrente
•
Z impedenza
•
Y ammettenza
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3.METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI
IN REGIME SINUSOIDALE
3.1 Metodo delle correnti di maglia
Il metodo discende dalle equazioni di Maxwell, quindi dalla
solenoidità delle correnti. Per applicarlo si introducono
delle correnti fittizie che siano di per sé solenoidali.
Procedimento
1. Si sceglie un albero sul grafo
2. Si assumono come variabili ausiliarie le correnti di
maglia che corrispondono alle correnti nei rami di
co-albero, con le rispettive orientazioni l-(n-1)si scrive
il sistema risolvente determinando la matrice dei
coefficienti (complessi) e il vettore dei termini noti nel
modo seguente:
•
n
Z ii =
•
•
∑Z
i
> 0 sempre
i =1
con Z ii = impedenza della maglia i-esima o autoimpedenza
n = numero delle impedenze della maglia i-esima
•
m
Z ij = Zji =
•
∑Zj
j =1
•
con Z ij = impedenza del ramo comune alle maglie i e j o
mutua impedenza
m = numero delle impedenze della maglia i-esima
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_
_
_
_
Z& ij > 0 se I i e I j percorrono il ramo ij con verso concorde
Z& ij < 0 se I i e I j percorrono il ramo ij con verso discorde
_
Ui =
ri
_
∑E
dove gli Ei sono i generatori di presenti nel
i
i =1
ramo i e ri é il numero di generatori di tensione presenti nel
ramo i-esimo.
Il segno delle tensioni imposte dai generatori è
positivo se il generatore, considerato da solo, fa fluire una
corrente concorde con il verso di percorrenza della maglia,
negativo in caso contrario.
Z& 11
Z& 21
.
Z& n1
Z& 12
Z& 22
.
Z& n2
... Z& 1n
... Z& 2n
...
.
... Z& nn
_
_
_
I1
U1
I2
U2
=
.
:
In
Un
In presenza di generatori di corrente, bisognerà considerare
non solo il contributo dei generatori di tensione, ma anche
quello dei generatori di corrente, per cui in generale si ha:
U j = U jU + U jI
dove:
_
U jU dovuta ai generatori di tensione presenti nella maglia;
_
U
_
jI
dovuta ai generatori di corrente presenti nella maglia
(U jI =
∑
_
Ij
)
&
Y
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_
N.B. E j =
_
Ij
•
Y
j
•
e Zj =
1
•
Y
j
Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono
reali. In presenza di generatori ideali di corrente, la tensione
ai loro capi è incognita: per non aumentare il numero delle
incognite con la conseguente necessità di introdurre una
nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve far
in modo di scegliere la corrente di maglia coincidente con
la corrente imposta dal generatore.
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Metodo dei potenziali di nodo
Tale metodo è derivabile da quello su base maglie
utilizzando la dualità e sostituendo le ammettenze Y&ij alle
impedenze Z& ij , le correnti impresse dai generatori di
_
corrente I i alle tensioni impresse dai generatori di tensione
_
_
E i , le tensioni ai nodi U i (rispetto ad un nodo preso come
_
riferimento) alle correnti di maglia I i .
Infatti, per ogni generico ramo, applicando la legge di Ohm
generalizzata avremo:
_
_
_
E ij U i − U j
⎯→ I ij = • + •
U i − U j = E ij − Z& ij I ij ⎯
Z ij
Z ij
_
_
_
_
_
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Procedimento
1. Si sceglie su un albero il grafo orientato
2. Si assumono come variabili ausiliarie i potenziali ai
nodi dell’albero (escluso il nodo che verrà preso come
riferimento), quindi avremo n*=n-1 variabili,
indicando con n il numero di nodi della rete
3. Si scrive il sistema risolvente costituito da equazioni
delle correnti per i tagli fondamentali associati
all’albero scelto, ossia si scrive il sistema risolvente
determinando la matrice dei coefficienti nel seguente
modo:
Y&11 Y&12
Y&21 Y&22
.
.
Y&n* 1 Y&n* 2
... Y&1n*
... Y&2 n*
...
.
Y&n* n*
U1
I1
U2
I2
=
.
.
U n*
I n*
Y&ii
è l’ammettenza propria, pari alla sommatoria delle
singole ammettenze dei rami i e j che fanno capo al nodo
i-esimo.
Y&ij < 0 sempre, é l’ammettenza equivalente del ramo ij
che è connesso al nodo i.
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_
I i è il componente i-esimo del vettore dei termini
noti, pari alla somma algebrica delle correnti imposte
dai generatori di corrente e, se ce ne fossero, di
tensione, che fanno capo al nodo i.
Si usa la seguente convenzione:
_
I i > 0 se la corrente imposta dal generatore è entrante
nel nodo i-esimo
_
I i < 0 se la corrente imposta dal generatore è uscente
dal nodo i-esimo
4. Risolvere il sistema calcolando le tensioni dei nodi
rispetto al nodo assunto come riferimento.
5. Determinare la tensione ai capi degli altri rami del
circuito come differenza fra i potenziali dei nodi ai
quali tali rami sono connessi.
In presenza di generatori di tensione, bisognerà considerare
non solo il contributo dei generatori di corrente, ma anche
quello dei generatori di tensione.
_
_
_
I j = I jV + I jI
dove:
_
I jV è il contributo dei generatori di tensione presenti nella
maglia
_
I jI è il contributo dei generatori di corrente presenti nella
maglia
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_
_
Ij
1
e Z& j =
Y& j
Y& j
Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono
reali.
Nel caso ci fossero generatori ideali di tensione, la corrente
da loro erogata è incognita: per non aumentare il numero
delle incognite con la conseguente necessità di introdurre
una nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve
far in modo di scegliere uno dei potenziali nodali
coincidente con la tensione imposta dal generatore.
Se non è possibile occorre scrivere una nuova equazione in
modo da poter risolvere con unicità il problema.
N.B. E j =
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RIFASAMENTO
4.1 GENERALITA’
U1
∆U
U2
•
Z L = R + jX L
(1)
Z U = R + jX = ZU ∠ϕ con ZU = R 2 + X 2
(2)
•
_
_
∆ U = Z& L I caduta di tensione nella linea
PJL = RI 2
potenza dissipata nella linea
_
(3)
(4)
_
I cos ϕ
U
ϕ
_
_
I
I sin ϕ
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All’aumentare della corrente I aumentano sia la caduta di
tensione sia la potenza dissipata in linea.
L’ente erogatore dell’energia elettrica dovrebbe spendere
ulteriormente, per produrre una aliquota di energia che
viene dissipata lungo la linea per effetto Joule, o aumentare
la sezione dei conduttori per realizzare linee con resistenza
più bassa in modo da ridurre le perdite, come dimostrato
dalla relazione (4).
Per tali motivi l’ente erogatore ha fissato dei limiti per il
fattore di potenza degli impianti utilizzatori, al di sotto dei
quali l’utente viene costretto a pagare una penale o, nei casi
più gravosi, a rifasare.
9 cosϕ ≥ 0.9 : nessuna penale
9 0.7 ≤ cosϕ ≤ 0.9:pagamento di una penale
Qdt
con T che
proporzionale a T
Pdt
∫
∫
T
rappresenta il periodo di fatturazione
9 cosϕ ≤ 0.7 : obbligo di rifasamento dell’impianto.
MODALITA’ DI RIFASAMENTO DI UN
IMPIANTO
Per rifasare una linea si inserisce in parallelo al carico una
batteria di condensatori. Inserendo la batteria di
condensatori il carico sarà alimentato con la stessa corrente
richiesta I, mentre nella linea circolerà una corrente:
_
_
_
I = I+ IC.
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U1
∆U
U2
U2
Triangolo delle potenze
Si nota che ϕ' < ϕ
Q
ϕ = arctan
P
Q − Qc
mentre ϕ' = arctan
P
(1)
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Per determinare il valore della capacità della batteria di
condensatori C e il valore della potenza reattiva capacitiva
Qc necessari per rifasare ad un certo fattore di potenza si
utilizzano le seguenti relazioni:
9 Potenza reattiva della batteria di condensatori
Qc = Q' −Q = P (tan ϕ − tan ϕ' )
(2)
Dimostrazione:
Q − Qc
tan ϕ' =
da cui P tan ϕ' = Q − Qc ;
P
inoltre dal triangolo delle potenze si ha P tan ϕ' = Q ;
quindi si risale alla (2) con semplici passaggi matematici.
9 Capacità della batteria di condensatori
Q' −Q P (tan ϕ − tan ϕ' )
C=
=
=
2
2
ωU
ωU
ωU 2
Qc
(3)
I carichi che richiedono un rifasamento sono in genere:
9 Motori asincroni
9 Lampade a scarica
9 Saldatrici con trasformatore
9 Forni ad induzione
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Il rifasamento può essere:
9 R. centralizzato, se si usa un’unica batteria di
condensatori posta a monte dei vari carichi inseriti in
una rete
9 R. distribuito, se si rifasa ogni singolo carico che lo
richieda.
In genere si usa il rifasamento centralizzato quando i carichi
si inseriscono tutti contemporaneamente; quello distribuito
quando i carichi non vengono inseriti contemporaneamente.
Per quanto riguarda i costi, chiaramente il rifasamento
distribuito è il più costoso, ma garantisce un risultato
migliore.
La soluzione che si usa sovente è il rifasamento “a gradini”,
che consente di ottenere una potenza reattiva variabile (a
gradini) in funzione della richiesta della rete collegata a
valle della batteria di condensatori.
Per evitare dimensionamenti errati è bene conoscere il
diagramma di carico della rete da rifasare.
Il massimo tornaconto economico si ottiene quando è
massima la differenza fra il vantaggio per le minori perdite
che si ottengono dopo il rifasamento e l’onere relativo alla
installazione della batteria di condensatori.
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RISOLUZIONE DELLE RETI LINEARI IN
PRESENZA DI GENERATORI CON FREQUENZA
DIVERSA
Se una rete lineare è alimentata da:
9 più generatori con diversa frequenza o
9 un generatore di segnale periodico esprimibile
mediante una serie di Fourier
si può applicare il
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI.
Si risolve una rete per ciascun generatore, prestando
attenzione al fatto che al variare della frequenza variano
anche le reattanze XL e XC: i loro rispettivi valori andranno
quindi valutati volta per volta per ciascun valore della
frequenza.
Per ciascun valore di fi le corrispondenti reattanze saranno:
9 X Li = 2πf i L
1
9 X Ci =
2πf i C
(1)
(2)
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Le potenze istantanee in ciascun ramo saranno:
n
9
p(t) = U o I o +
con ui (t) =
∑i
u (t) ⋅ ii (t)
i =1
2 U i sin wt + ϕ
Ui
(
)e
(
ii (t) = 2 I i sin wt + ϕ
Ii
)
(3)
n= numero di generatori sinusoidali a frequenza diversa
La potenza istantanea è quindi data dalla somma di due
termini:
9 U 0 I 0 rappresenta la potenza fornita dal generatore
equivalente in corrente continua
n
9
ui (t) ⋅ ii (t) rappresenta la potenza fornita dai
i =1
generatori che erogano energia con frequenze diverse
∑
Il valore medio della potenza istantanea o la potenza attiva
sarà:
n
9 P = U0 I0 +
∑ U I cos ϕ
i i
i
(4)
i =1
La potenza reattiva sarà:
n
9Q =
∑U I
i i
sin ϕ i
(5)
i =1
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Ui e Ii sono i valori efficaci di tensione e corrente.
Si nota che per la potenza reattiva manca il termine a
frequenza nulla (per f=0), infatti a frequenza nulla:
XL=0
XC= ∞
cortocircuito
circuito aperto
U=0
I=0
La potenza apparente sarà:
9 S = P 2 + Q2
(6)
con:
n
P = U0 I0 +
∑U I
i i
cos ϕ i
i =1
n
Q=
∑U I
i i
sin ϕ i
i =1
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Inoltre il valore efficace della corrente e della tensione
saranno:
n
I = I 0 + ∑ i I i2
2
i =1
n
U = U 0 + ∑ i U i2
2
i =1
Essendo Ii e Ui valori efficaci della corrente e della
tensione relativi al contributo del generatore di frequenza
iesima.
RISONANZA
Il concetto di risonanza risale alla diffusione dei primi
sistemi a corrente alternata. Sin da allora si iniziarono ad
osservare fenomeni strani nei circuiti con comportamento
elettrico prevalentemente induttivo o capacitivo.
Si possono verificare due tipi di risonanza:
• risonanza serie e
• risonanza parallelo.
In condizioni di risonanza serie può accade che la tensione
fra gli estremi di un bi-polo, pur attraversato da corrente,
risulti praticamente nulla, mentre la tensione ai capi del
condensatore o dell’induttore sia uguale o addirittura più
elevata della tensione applicata alla serie degli elementi.
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Analogamente in condizioni di risonanza parallelo può
accadere che la corrente assorbita dal bi-polo sia
praticamente nulla, mentre la corrente che attraversa
l’induttore o il capacitore può assumere lo stesso valore o
addirittura superare quello della corrente erogata dal
generatore cui sono collegati gli elementi.
Risulta dunque importante studiare tale fenomeno
perché in impianti con correnti forti, tale condizione può
rappresentare una condizione di funzionamento anomala di
un circuito ed arrecare danni non solo agli impianti (nel
caso della conversione statica dell’energia può dar luogo a
pericolose sovratensioni o sovracorrenti), ma anche alle
persone. In alcune applicazioni, al contrario, è proprio tale
condizione a rappresentare il funzionamento desiderato del
circuito, si tratta di circuiti in bassa potenza dove le correnti
in gioco sono correnti deboli.
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RISONANZA SERIE
Si consideri un circuito R, L, C serie, in serie ad un
generatore di tensione a frequenza variabile.
UR
UL
UC
E
Si supponga di far variare la frequenza f da zero ad infinito.
Poiché le reattanze variano al variare della frequenza,
avremo un circuito che potrà avere sia un comportamento
elettrico prevalentemente induttivo, che capacitivo secondo
il valore della frequenza imposta dal generatore di tensione:
_
I = I∠ ϕ i
•
Z = Z∠ϕ
_
U = Z∠ϕ ⋅ I∠ϕ i = ZI∠( ϕ i + ϕ ) = U∠ϕ U
(1)
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Ci saranno tre casi possibili:
9 ϕ > 0, la tensione è in anticipo rispetto alla corrente
CARICO PREVALENTEMENTE INDUTTIVO
U
9 ϕ < 0, cioè tensione in ritardo rispetto alla corrente
CARICO PREVALENTEMENTE CAPACITIVO
U
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9 ϕ = 0, cioè tensione e corrente sono in fase fra loro
CARICO PREVALENTEMENTE RESISTIVO
Se si studia la variazione dell’impedenza Z& al variare della
frequenza f si ha:
1 ⎞
⎛
Z& = R + j ( X L − X C ) = R + j ⎜ ωL −
(2)
⎟
ωC ⎠
⎝
X L = ωL rappresenta l’equazione di una retta passante per
l’origine degli assi (y=mx)
1
rappresenta l’equazione di una iperbole
XC =
ωC
equilatera (y=a/x)
R si può ritenere praticamente costante al variare della
frequenza
1 ⎞
⎛
Z& = R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
ϕ = arctan
1
ωC
R
2
(3)
ωL −
(4)
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Graficamente:
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A sinistra della pulsazione di risonanza ω0, il carico è
prevalentemente capacitivo, in corrispondenza di ω0 il
carico é puramente ohmico, mentre a destra di ω0 il carico é
prevalentemente induttivo.
Alla pulsazione di risonanza ω0 si ha l’uguaglianza fra
reattanza induttiva e capacitiva:
⎯→ 2πf 0 L =
X L = XC ⎯
1
1
⎯
⎯→ f 0 =
2π LC
2πf 0 C
(5)
f0 = frequenza di risonanza
ω0 = 2π f0 = pulsazione di risonanza
In condizioni di risonanza la corrente sarà massima in
quanto si annulla la reattanza del circuito; l’impedenza
coincide con la resistenza, quindi tensione e corrente sono
in fase.
I=
U U
= = I MAX
Z R
(6)
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Valori della resistenza e della reattanza al variare della
frequenza
f
0
ω0
∞
R
R
R
1
ωC
X L = ωL
∞
0
1
ω0C
ω0 L
R
0
Z&
∞
R
−
0
XC =
I
ϕ
−
π
2
∞
∞
0
0
π
2
Di seguito è rappresentata la curva di risonanza, che risulta
essere tanto più acuta quanto minore è il valore di
resistenza rispetto alla reattanza alla frequenza di risonanza
1
1
⎯→ 2πf 0 L =
⎯
⎯→ f 0 =
X L = XC ⎯
2π LC
2πf 0 C
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ω0 L
1
1 L
=
(7)
R
ω0CR
R C
viene chiamato fattore di merito del circuito alla frequenza
di risonanza..
Il rapporto Q0 =
Se Q0>1
=
1
ω
L
=
>R
0
ossia :
ω0 C
in condizioni di
risonanza la tensione ai capi di L e C risulta maggiore della
tensione totale applicata ai capi di R.
************************************************
Il fattore di merito di un circuito risonante alla frequenza f,
Q0 è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata
nel circuito e quella dissipata in un ciclo di oscillazione alla
frequenza f0 di risonanza.
Un’altra definizione è la seguente : Q0 è il rapporto tra la
differenza di potenziale ai capi dell’induttore o ai capi del
capacitore e la differenza di potenziala ai capi della
resistenza in condizioni di risonanza:
1
Io
UL
jω 0 L I o
Uc
jω 0 C
1
1 L
f = fo
Q0 =
=
=
=
=
=
ω0CR R C
RI o
UR
RI o
UR
f = fo
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Il fattore di merito consente di calcolare il valore della
tensione che si stabilisce in condizioni di risonanza serie ai
capi dei singoli bipoli L e C in funzione della tensione
applicata U
=U R:
f = fo
UL
f = fo
=UC
f = fo
= Qo * U
f = fo
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R→∞
ϕ
R→0
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UR
UL
UC
E
Il bipolo può essere usato come un filtro selettivo per Q
elevato (bassi valori di R)
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In tale filtro passa banda reale f1 ed f2 sono i valori delle
due frequenze di taglio di un filtro passa banda reale e
rappresentano quei valori di frequenza per le quali il
segnale di uscita si riduce a circa il 70% di quello in
ingresso, con una attenuazione di 3 dB.
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RISONANZA PARALLELO
U AB
E
Il generatore di tensione E ha frequenza variabile.
Relazioni in termini di ammettenze
_
_
I = Y& E
(8)
1
Y&L = − j
ωL
Y&C = jωC
1
Y&R =
R
(9)
(10)
(11)
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1
1
+ jω C
Y&L = − j
R
ωL
(12)
Andamento dei moduli della resistenza e delle reattanze
La corrente sarà minima per la pulsazione ω=ω0.
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Inoltre, se R=0, la corrente, per ω=ω0, sarà nulla.
Il bipolo può essere utilizzato per filtrare segnali con
frequenza f0.
Andamento delle fasi.
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ϕ = arctan
(13)
ωC −
1
ωL
R
Infatti se:
9 f=0
9 f= ∞
9 f=f0
ϕ = arctan
ϕ = arctan
ϕ = arctan
1
0L = 0 − ∞ = −π
R
R
2
0C −
1
∞L = ∞ − 0 = π
R
R
2
∞C −
ω0C −
R
1
ω0 L
= arctan
0
=0
R
Sia per quanto riguarda la risonanza serie, che la
risonanza parallelo, diminuendo la resistenza R, si
rendono i filtri passa banda ed elimina banda più selettivi.
U
e, all’aumentare di R,
Per la risonanza serie: I MAX =
Ri
diminuisce IMAX
U
= G i U , quindi
Per la risonanza parallelo: I min =
Ri
all’aumentare di R diminuisce Imin
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Risonanza parallelo
Chiaramente la frequenza di taglio f0 si può variare,
variando L o C essendo:
1
f0 =
(14)
2π LC
1
> G la corrente sull’induttanza e sulla
Se ω 0 C =
ω0 L
capacità puo essere superiore alla corrente che attraversa la
resistenza R. Un aumento di L o di C farà diminuire la
frequenza di taglio, viceversa una riduzione di L o C la farà
aumentare.
Il fattore di merito Q0 di un circuito risonante alla frequenza
fo, è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata
nel circuito e quella dissipata nel ciclo alla frequenza f0 di
risonanza.
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U2
1 2
PR =
U ;
Qc = ωC U 2
; QL =
R
ωL
Q
C
1
=R
oppure
Q0 = L =
PR
L
ω0 LR
Q0 =
Q c ω0C
C
=
=R
PR
R
L
In condizioni di risonanza Q0 coincide con il rapporto tra il modulo
della corrente nell'induttore (o nel condensatore) il modulo della
corrente e la corrente nel resistore
⎫
⎪
IL
R
⎪
→
=
= Q0
⎬
I R ω0 L
U
U ⎪
=
=
jωL ωL ⎪⎭
IR =
IL
U U
=
R
R
→ I L = Q0 ⋅ I
f = fo
⎛
C⎞
⎟⎟ ⋅ I
I L = ⎜⎜ R
L⎠
⎝
IL
f = fo
= IC
f = fo
= Q0 ⋅ I
f = fo
⎛ R ⎞
⎟⎟ I
= ⎜⎜
L
ω
⎝ 0 ⎠
f = fo
=
f = fo
1
LC
Se Q0 > 1, il modulo della corrente nell'induttore (o nel condensatore)
essendo ω0 =
é maggiore del modulo della corrente nel resistore, che in condizioni di
risonanza coincide con la corrente totale assorbita.
Quindi in condizioni di risonanza il modulo della corrente nell'induttore
(o nel condensatore) é maggiore della corrente totalmente assorbita
dal bipolo.
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La corrente I MAX =
U
per la risonanza serie e la corrente
Ri
U
= G i U per la risonanza parallelo, non varieranno
Ri
al variare di L e C in quanto dipendono solo dalla
resistenza R
I min =
Risonanza parallelo.
Risonanza serie
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Per studiare la selettività di un circuito risonante serie
occorre definire:
9 la larghezza di banda B = f2 – f1
9 le frequenze di taglio f2 ed f1
Per esempio in condizioni di risonanza serie: I MAX =
U
In condizioni ordinarie: I =
Ricordando che C =
I=
1
ω0 L
2
U
R
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
avremo:
U
ω 0 2 L2 ⎛ ω ω 0 ⎞
⎜
⎟⎟
−
R 1+
2 ⎜ω
R ⎝ 0 ω ⎠
2
=
U
ω ⎞
2⎛ ω
− 0 ⎟⎟
R 1 + Q0 ⎜⎜
⎝ ω0 ω ⎠
2
(15)
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Le frequenze di taglio si determinano imponendo:
1
1
I
1
=
da cui
=
2
2
I MAX
2
ω0 ⎞
2⎛ ω
⎟⎟
−
1 + Q0 ⎜⎜
⎝ ω0 ω ⎠
2
ω ⎞
I MAX
2⎛ ω
− 0 ⎟⎟
= 2 = 1 + Q0 ⎜⎜
I
⎝ ω0 ω ⎠
Elevando al quadrato 1° e 2° membro dell’equazione:
ω − ω0
ω ω0 ⎞
2⎛
⎟⎟ = 1 + Q0 ⎜
−
2 = 1 + Q0 ⎜⎜
⎜ ωω 0
⎝ ω0 ω ⎠
⎝
2
2⎛
2
2
2
⎞
⎟ ≅
⎟
⎠
2 ⎛ 2 (ω − ω 0 ) ⎞
⎟⎟
≅ 1 + Q0 ⎜⎜
ω0
⎝
⎠
N.B. L’approssimazione è valida per f ≅ f 0
2
2⎛
⎜ω
2 ⎞2
− ω0 ⎟
2 − 1 = Q0
da cui risulta:
⎟
⎜ ωω
0
⎝
⎠
⎛ ω 2 − ω0 2 ⎞
⎟.
± 1 = Q0 ⎜
(16)
⎟
⎜ ωω
0
⎝
⎠
Risolvendo l’equazione si ottengono 4 soluzioni, 2 positive
e 2 negative; ovviamente non hanno significato fisico le
soluzioni negative.
2
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 87
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Attraverso passaggi matematici si ottengono le seguenti
soluzioni:
ω 12 = ω 0 ±
f 12
ω0
in termini di pulsazione
2Q0
f
= f 0 ± 0 in termini di frequenza
2Q0
(17)
(18)
Per un determinato valore di ω0, all’aumentare di Q0
l’ampiezza di banda diminuisce.
In generale per un bipolo passivo costituito da resistenze,
induttanze e capacità diversamente collegate, si possono
definire:
• le condizioni di risonanza serie, ossia di reattanza nulla
(con picchi della corrente che si possono verificare per
più valori della frequenza) dallo studio del
comportamento elettrico della impedenza equivalente
serie RLC
o
• le condizioni di risonanza parallelo, ossia con
suscettanza nulla (con attenuazioni della corrente
complessiva che si possono verificare per più valori
della frequenza) dallo studio del comportamento
elettrico della ammettenza equivalente parallelo
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 88
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RETI DUE PORTE
Definizione generale
Una rete due porte è un circuito accessibile da due porte
privo o no di eccitazioni nel suo interno.
Si ricorda che la porta è costituita semplicemente da una
coppia di morsetti connessi in modo qualsiasi al circuito
d’interesse ed usati in modo che la corrente entrante
nell’uno sia uguale a quella uscente dall’altro.
La rete due porte può essere:
9 Attiva
9 Passiva
Per verificare se una rete due porte è attiva o passiva,
basterà scollegare la rete da eventuali collegamenti esterni
e:
1. Misurare con un voltmetro la tensione che si
stabilisce fra i morsetti 1-1’ e 2-2’
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 89
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Se U1 ≠ 0 oppure U2 ≠ 0 la rete è attiva
Altrimenti:
2. Misurare con un amperometro la corrente che si
stabilizza in un corto-circuito fra i morsetti primari
e secondari
Se I1 ≠ 0 oppure I2 ≠ 0 la rete è attiva
Queste operazioni sono consentite quando si conosce
l’entità delle tensioni e delle correnti e si dispone della
strumentazione idonea.
La caratterizzazione di una rete due porte attiva può essere
ricondotta a quella di una rete due porte passiva, applicando
il teorema generalizzato di Thevenin.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 90
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Teorema generalizzato di Thevenin
Un sistema accessibile da due porte può essere
caratterizzato mediante i due seguenti gruppi di parametri:
1. Parametri che rappresentano la rete due porte ottenuta
dal circuito disattivando le eccitazioni (rendendo
passivo il circuito, aprendo i rami dove sono presenti i
generatori di corrente e cortocircuitando i generatori di
tensione)
2. Le tensioni che si manifestano ai morsetti delle due
porte quando sono lasciati aperti.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 91
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Quindi al circuito equivalente che consegue da questa
caratterizzazione si perviene nel seguente modo:
I1
U1
I2
Bi-porta
attivo
U2
Con i morsetti 1-1’ e 2-2’ aperti si avrebbe:
⇓
I1
U 10
I2
Bi-porta
attivo
U 20
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Infine applicando il Teorema generalizzato di Thevenin si
ottiene:
I1
U1
U 10
U 20
+
+
U *1
Bi-porta
passivo
U *2
I2
U2
_
_
⎧ _
⎪U 1 = U 1' + U 10
⎨
_
_
con: ⎪ _
⎩U 2 = U 2' + U 20
essendo U 10 e U 20 le tensioni che si stabiliscono tra i
morsetti 1 1’ e 2 2’ nel funzionamento a vuoto del bipolo
attivo.
Caratterizzazione di una rete due porte priva di eccitazioni
al suo interno
La caratterizzazione di una rete due-porte passiva richiede
quattro parametri.
Se
9 l è il numero di rami del circuito
9 n è il numero di nodi del circuito
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 93
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considerando al posto del due-porte due bipoli
indeterminati caratterizzati da quattro grandezze elettriche
(U1; U2; I1; I2) e scegliendo un albero nel circuito
risultante, si possono scrivere
9 le equazioni di equilibrio per le maglie [l − (n − 1)]
9 le equazioni di equilibrio per i tagli fondamentali
(n − 1)
Risultano [l − (n − 1)] + (n − 1) = l equazioni complessive.
Si scrivono le equazioni costitutive per tutti i rami, fatta
eccezione per i due bipoli indeterminati connessi alla porte,
(l -2) equazioni.
Risultano [2 l − 2 ] equazioni con 2 l variabili.
Questo sistema, eliminando tutte le variabili, ad esclusione
di quelle che si riferiscono ai due bipoli indeterminati, può
essere ridotto ad un sistema in due sole equazioni lineari
omogenee nelle quattro grandezze elettriche dei bipoli
indeterminati.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 94
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Per cui si può affermare che la rete due-porte è
caratterizzata da due equazioni omogenee nelle quattro
grandezze elettriche di porta.
U1
U2
U1 +U 2
U2
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Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Z&
⎧ _
⎪U 1 =
⎪
⎨ _
⎪U =
⎪ 2
⎩
⎛ _ _⎞
f ⎜⎜ I 1 ; I 2 ⎟⎟
⎝
⎠
⎛ _ _⎞
f ⎜⎜ I 1 ; I 2 ⎟⎟
⎠
⎝
I 1 e I 2 sono le variabili indipendenti
U 1 e U 2 sono le variabili dipendenti
_
•
_
•
_
_
•
_
•
_
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2
U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
da cui
•
Z 11 =
_
U1
;
_
I1
I 2 =0
•
Z 12 =
_
U1
;
_
I2
I 1=0
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 96
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
•
Z 21 =
_
U2
;
_
I1
•
Z 22 =
_
U2
I 2 =0
_
I2
I 1=0
Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Y&
⎧_
⎛ _ _ ⎞
⎪ I 1 = f ⎜⎜ U 1 ; U 2 ⎟⎟
⎪
⎠
⎝
⎨_
_
_
⎪ I = f ⎛⎜ U ; U ⎞⎟
⎜ 1 2⎟
⎪ 2
⎠
⎝
⎩
I 1 e I 2 sono le variabili dipendenti
U 1 e U 2 sono le variabili indipendenti
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 97
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_
•
_
•
_
_
•
_
•
_
I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2
I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2
da cui:
_
•
Y 11 =
I1
•
Y 12 =
;
_
Y 21 =
_
I2
_
U 1 U 2 =0
I1
;
_
U 2 U 1=0
U 1 U 2 =0
•
_
;
•
Z 22 =
_
I2
_
U2
U 1=0
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Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di
trasmissione T&
_
Se si vogliono relazionare le grandezze in ingresso U 1 ; I 1
_
con le grandezze in uscita U 2 ; I 2 si utilizza la matrice di
trasmissione T&
⎧ _
⎛ _ _⎞
_
_
⎧ _
⎪U 1 = h1 ⎜⎜ U 2 ; I 2 ⎟⎟
&
⎝
⎠
⎪
⎪U 1 = A U 2 + B& I 2
⎨_
⎨_
_
_
_
_
⎪ I = C& U 2 + D& I 2
⎪ I = h ⎛⎜ U ; I ⎞⎟
⎩ 1
2⎜ 2
2⎟
⎪ 1
⎝
⎠
⎩
I 1 e U 1 sono le variabili dipendenti
I 2 e U 2 sono le variabili indipendenti
_
A=
U2
guadagno di tensione
_
U1
I 2 =0
_
B=
U1
transimpedenza diretta
_
I2
U 2 =0
_
C=
I1
transammettenza diretta
_
U2
I 2 =0
_
B=
I1
guadagno di corrente
_
I2
U 2 =0
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 99
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Le espressioni dei parametri suggeriscono prove che
possono essere simulate utilizzando il modello circuitale del
nullore, infatti si dovrebbe alimentare da entrambi i lati e
avere I2=0, oppure alimentare il primario e cortocircuitare il
secondario U2=0.
Questa matrice descrittiva è utilizzata quando si hanno più
quadripoli in cascata. Infatti è facilmente dimostrabile che
essi equivalgono a un quadripolo equivalente definito con
una matrice di trasmissione Te:
n
Te = ∏ Ti n = numero dei blocchi in cascata
i =1
I1
U1
I2
T1
T2
Tn
U2
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 100
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Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di
trasmissione inversaT&i = T& - 1
_
Se si vogliono relazionare le grandezze in uscita U 2 ; I 2
_
con le grandezze in ingresso U 1 ; I 1 si utilizza la matrice di
trasmissione inversa T&i = T& - 1
⎧ _
⎛ _ _⎞
⎪U 2 = i 1 ⎜⎜ U 1 ; I 1 ⎟⎟
⎝
⎠
⎪
⎨ _
_
_
⎪ I = i ⎛⎜ U ; I ⎞⎟
2⎜ 1
1⎟
⎪ 2
⎝
⎠
⎩
_
_
U 2 = T −1 U 1
I2
I2
dove T&i = T& - 1 è facilmente determinabile in base delle
proprietà del calcolo matriciale.
POTENZA ASSORBITA DA UN DUE PORTE
La potenza totale assorbita da un due porte è :
[
]
[
1
1
P = P1 + P2 = Re U 1 I1* + Re U 2 I 2 *
2
2
]
La sua espressione è legata alle relazioni della matrice di
definizione scelta. P può essere espressa in funzione delle
sole correnti se si è scelta la matrice delle impedenze Z , o
in funzione delle sole tensioni se si è scelta la matrice delle
ammettenze Y o in funzione di corrente e tensione con la
matrice T e così via.
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Nello studio dei quadripoli è importante definire il rapporto
tra le grandezze fisiche in uscita e quelle corrispondenti in
ingresso come tensioni, correnti e potenze.
Il rapporto uscita/ingresso può essere maggiore , uguale o
minore di 1.
Nel primo caso si ha una amplificazione della grandezza in
esame e il quadripolo deve essere necessariamente attivo,
ossia contenere dei generatori di tensione o di corrente.
Nel secondo caso il quadripolo è passivo e la grandezza in
esame risulta attenuata.
Nella valutazione e nella misurazione sperimentale di
attenuazioni si usano generalmente unità logaritmiche .
La scelta di queste unità consente di semplificare i calcoli
nei quadripoli in cascata dove gli effetti della attenuazione
o amplificazione si moltiplicano tra di loro e in particolare,
se i quadripoli sono uguali, l’attenuazione o amplificazione
residua risulta essere la potenza ennesima della
attenuazione del singolo quadripolo.
Si definiscono rispettivamente il rapporto di potenze, di
tensioni e di correnti come:
AP =
P1
P2
V1
AV =
V2
AI =
I1
I2
in decibel →
(A P )db = 10log
P1
P2
V1
= 20log
V2
in decibel →
(A P )db
in decibel →
(A P )db = 20log
I1
I2
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