Affidabilità e Sicurezza delle Costruzioni
Meccaniche
Politecnico di Torino
CeTeM
3
Calcolo strutturale statico
Esercizio 3-1
Una trave in acciaio (Rm = 360 MPa, ReH = 235 MPa) a sezione rettangolare di base
b = 25 mm e altezza h = 35 mm è soggetta a un momento flettente massimo Mf = 520 Nm e
a uno sforzo normale di trazione N = 80000 N. Identificare il tipo di cedimento e calcolare il
coefficiente di sicurezza.
S = 1.2
Soluzione
Trazione:
A = bh , σ n =
N
= 91 MPa
A
Flessione:
M
bh 2
Wf =
, σ f ,max = f = 102 MPa
6
Wf
Stato do tensione monoassiale:
σ1 =σ n + σ f ,max , σ 2 = σ 3 = 0
L’acciaio è duttile → Hp. τmax (Tresca):
σ id = σ1 − σ 3 =σ n + σ f , max = 193 MPa
Snervamento → R eH = 235 MPa , S =
R eH
= 1.2
σ
σT
σ2=σ3=0
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σ1 σN
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Calcolo strutturale statico
Esercizio 3-2
Una barra in materiale fragile (Rm = 360 MPa), a sezione circolare piena di diametro
D = 25 mm, è soggetta a un momento torcente Mt = 180 Nm, e a uno sforzo normale
N = 35000 N. Calcolare il coefficiente di sicurezza rispetto a rottura.
S = 3.5
Soluzione:
Trazione:
A=
πD 2
N
, σ n = = 71 MPa
4
A
Wt =
M
πD 3
, τ = t = 59 MPa
16
Wt
Torsione:
Stato di tensione biassiale:
2
σ1,3 =
σ
σ
± + τ2
2
2
Materiale fragile →Hp. σmax (Galileo):
2
σ
σ
σ id =σ1 = + + τ 2 = 104 MPa
2
2
Rottura → R m = 360 MPa , S =
Rm
= 3 .5
σ
σT
σ3
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σ2=0
σ1 σN
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Calcolo strutturale statico
Esercizio 3-3
Un punto della sezione di un albero in acciaio è soggetto alla tensione normale di flessione
σ = 250 MPa e alla tensione tangenziale di torsione τ = 110 MPa. Calcolare la tensione di
snervamento del materiale necessaria per garantire un coefficiente di sicurezza S = 1.5,
applicando l’ipotesi più restrittiva.
Rp0.2 = 498 MPa
Soluzione
Flessione e torsione → stato σ biassiale:
2
σ
σ
σ1, 3 = ± + τ 2 = 125 ± 166 MPa
2
2
σ1 = 291 MPa σ 3 = −41 MPa
L’acciaio è duttile → Hp. τmax (Tresca):
σ id = σ 1 − σ 3
R p 0.2 = σ id ⋅ S = 498 MPa
Esercizio 3-4
Una barra a sezione circolare piena di diametro D = 30 mm, in materiale con allungamento
a rottura del 22%, è soggetta a un momento torcente Mt = 170 Nm. Calcolare la tensione
ideale nel punto più sollecitato secondo l’ipotesi di cedimento appropriata e piú restrittiva.
σid = 64 N/mm2
Soluzione:
Torsone:
M
πD 3
Wt =
, τ = t = 32 MPa
16
Wt
Stato di tensione biassiale:
σ1 = τ, σ 2 = 0, σ 3 = − τ
A t = 22% → materiale duttile → Hp. Von Mises o τmax (Tresca):
Hp. τmax (Tresca) è più restritiva quindi:
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Calcolo strutturale statico
σ id = σ1 − σ 3 = 2τ = 64 MPa
σT
[MPa]
σ3
σ1
σ2=0
σN
[MPa]
Esercizio 3-5
Una barra quadrata a sezione cava di lato a = 40 mm e spessore s = 4 mm è soggetta a
una forza di trazione N = 6⋅104 N e a un momento flettente massimo Mf = 6⋅105 Nmm. Il
materiale ha carico di rottura Rm = 400 MPa e allungamento a rottura del 4%. Identificare il
tipo di cedimento e calcolare il coefficiente di sicurezza.
S=2
Soluzione:
Trazione:
A = a 2 − (a − 2s ) , σ N =
2
N
= 104 MPa
A
Flessione:
M
I
a 4 − (a − 2s ) 2
Wf =
=
⋅ , σ f , max = f = 96 MPa
a/2
12
a
Wf
4
Stato di tensione monoassiale:
σ1 =σ n + σ f ,max , σ 2 = σ 3 = 0
A t = 4% → materiale fragile → Hp. smax (Galileo):
σ id = σ1 =σ n + σ f ,max = 200 MPa
Rottura → R m = 400 MPa , S =
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Rm
=2
σ
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σT
[MPa]
σ1 σN
σ2=σ3=0
[MPa]
Esercizio 3-6
Un albero a sezione circolare piena di diametro D = 40 mm, è sollecitato staticamente da
un momento flettente Mf = 900 Nm e da un momento torcente Mt = 600 Nm. Calcolare il
minimo carico unitario di snervamento tale da garantire un grado di sicurezza pari a 2
rispetto al limite di elasticità (ipotesi di Von Mises).
ReH = 330 MPa
Soluzione:
Flessione:
Wf =
M
πD 3
, σ = f = 143 MPa
32
Wf
Wt =
M
πD 3
, τ = t = 48 MPa
16
Wt
Torsione:
Stato di tensione biassiale:
2
σ
σ
σ1, 3 = ± + τ 2 = 72 ± 86 MPa
2
2
Materiale duttile → Hp. Von Mises:
σ id = σ 2 + 3τ 2 = 165 MPa
oppure
σ id =
1
2
(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ1 − σ 3 )2
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= 165 MPa
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Snervamento → R eH = S ⋅ σ id = 330 MPa
Esercizio 3-7
Calcolare il massimo momento torcente sopportabile, con coefficiente di sicurezza S = 3,
da una barra di diametro D = 40 mm realizzata in materiale fragile con tensione limite di
rottura Rm = 190 N/mm2.
Mt = 795870 N⋅mm
Soluzione:
Wt = πD 3 / 16
materiale fragile → Hp. σmax (Galileo):
Rm
= 63 MPa
S
M t = σ id ⋅ Wt = 795870 N ⋅ mm
σ id = σ1 = τ =
Esercizio 3-8
Un materiale fragile è sollecitato dalla tensione σxx = 250 MPa, σyy = 150 MPa,
τxy = 80 MPa, σzz = 500 MPa, τxz = τyz = 0 MPa. Calcolare quale deve essere la tensione
minima del materiale per evitare cedimento, assumendo un coefficiente di sicurezza S = 2.
Rm = 1000 MPa
Soluzione:
Dato che τ xz = τ yz = 0 , la direzione z è principale e la tensione σ zz = 500 MPa è principale.
Le altre due tensioni principali si ricavano tracciando il cerchio di Mohr che passa per i
punti (250, 80 ) e (150, 80 ) ; le intersezioni tra questo cerchio e l’asse delle ascisse sono le
tensioni principali cercate.
σT
[MPa]
(150,80)
τxy=τyx=80
(250,80)
r
σ3 σyy=150
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c σxx=250 σ2
σ1=σzz=500
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σN
[MPa]
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σ 2,3 =
σ xx + σ yy
2
σ 3 = 106 MPa
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2
σ xx − σ yy
+ τ 2xy = 200 ± 94 MPa
±
2
σ 2 = 294 MPa
σ1 = σ zz = 500 MPa
Materiale fragile → Hp. σmax Galileo):
σ id = σ1 = 500 MPa
Rottura → R m = σ id ⋅ S = σ1 ⋅ S = 1000 MPa
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