Una barra cilindrica di diametro D è sottoposta a carico assiale (P=1

Esercizio: criteri di plasticità
Una barra cilindrica di diametro D è sottoposta a carico assiale (P=10,00 kN) e a momento torcente (Mt=1000 Nmm).
La legge di flusso plastico del materiale è la seguente:  = 513 0,15 MPa.
Si verifichi: in quale dei seguenti casi si raggiunge il campo plastico secondo il criterio di Von Mises:
 Caso 1: D= 5 mm
 Caso 2: D=8 mm
 Caso 3: D=10 mm
Soluzione:
La condizione di plasticità di Von Mises, scritta in coordinate xyz, vale:



  y    y   z    z   x   6  xy2   yz2   zx2  2 02 ; con  0  C (0,002 ) n (0,2% limite di
2
x
2
2
proporz.tà)
In condizioni di sollecitazione di pura torsione vale:
Mt
 
 , dove:  = distanza dell'area elementare dal centro di torsione; J = momento d'inerzia polare definito come:
J
J    2dA
A
Per le sezioni piene il momento d'inerzia polare è dato da:
1
J  Ce4
2
Ce è il raggio esterno. Per sezioni piene Ce = ;
16 Mt
Pertanto si può scrivere:  xy 
D3
P
; ( A  D 2 / 4)
A
2
2
di conseguenza la condizione di plasticità di von Mises si riduce a: 2  z  6  xy
 2 02
Mentre, per quanto concerne la sollecitazione assiale:  z 
   
Pertanto si avrà:
 Caso 1 __________________________________________________________________
 xy 
16 Mt
D
3

16 1000
 5
3
 40,74 MPa
   
e
z 
10000
 52
 509 ,3 MPa
4
2
2  z  6  xy
 2 02 infatti 528724,74 > 81578,13
2
La barra subirà deformazioni permanenti

Caso 2 __________________________________________________________________
16 Mt 16 1000
10000
z 
 98,94 MPa
e
 xy 

 9,95 MPa
3
3
 82
D
 8
4
2
2
2  z  6  xy
 2 02 infatti 79750,85 < 81578,13
La barra non subirà deformazioni permanenti.
   

Caso 3 __________________________________________________________________
16 Mt 16  1000
10000
z 
 127 ,32 MPa
e
 xy 

 5,09 MPa
3
3
 10 2
D
 10
4
2
2
2  z  6  xy
 2 02 infatti 32578,41 < 81578,13
La barra non subirà deformazioni permanenti.
   