PARTE I: MOTI DI FILTRAZIONE
MONODIMENSIONALI
ORARIO LEZIONI
Lun 14 – 16
Mar 16 – 18
Gio 9 – 11 (?)
Aula 13
Escursione a Monte Mario/Visita cantiere
Libri testo: Meccanica dei Terreni (Valore),
Geotecnica (Lancellotta)
VISCOSITA’ DI UN FLUIDO
La viscosità è quella proprietà di un fluido che ne condiziona la
resistenza ad una forza di taglio. Essa è dovuta alle interazioni fra
le molecole del fluido. La viscosità dei liquidi in genere diminuisce
con l’aumentare della temperatura mentre non è influenzata dalla
pressione (Unità di misura: Pa * s).
LINEE DI FLUSSO (O DI CORRENTE)
Sono linee immaginarie condotte attraverso un liquido in
movimento; esse indicano la direzione del moto in punti diversi
corrispondenti a sezioni del flusso del sistema liquido. La tangente
in un punto qualsiasi della curva rappresenta la direzione
istantanea della velocità delle particelle liquide in quel punto
(vettore).
TUBO DI FLUSSO
Rappresenta alcune porzioni elementari di un liquido in
movimento racchiuse da una famiglia di linee di flusso che
costituiscono il confine del flusso stesso. Se la sezione retta del
tubo di flusso è sufficientemente piccola, la velocità al centro di
ciascuna sezione può essere assunta come velocità media per
tutta la sezione.
MOTO DEI FLUIDI
Il moto di un liquido può essere permanente o non permanente, uniforme o non
uniforme.
MOTO PERMANENTE (o moto stazionario)
Un moto si dice permanente (o stazionario) quando la velocità del liquido rimane
costante nel tempo (istante per istante) in un qualsiasi punto di riferimento: le linee di
flusso coincidono con le linee di corrente ovvero le traiettorie che seguono le
particelle, possono non essere rettilinee, ma rimarranno costanti nel tempo (dV/dt
=0).
Per un flusso stazionario quindi è verificata la conservazione della massa e da essa
ricaviamo l’equazione di continuità. Un moto permanente può essere a sua volta
uniforme o non uniforme (detto anche vario). Si ha moto uniforme quando modulo,
direzione e verso della velocità non cambiano in ogni punto del liquido (quindi non si
ha variazione dei parametri del moto nello spazio e nel tempo). Condizioni di moto
non uniforme si verificano quando velocità, quota e pressione variano da un punto
all’altro del liquido.
REGIME DI FLUSSO
Regime laminare: si ha flusso laminare o regime laminare quando il moto del liquido avviene con
scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di
liquido, neanche su scala microscopica. Il flusso è governato dalle forze viscose ed è costante
nel tempo.
Per spiegare il concetto di regime laminare in maniera semplice ed intuitiva, si supponga di iniettare un
liquido colorato (inseminante), detto B, all'interno di un flusso di un altro liquido trasparente, detto
A. Se la velocità dei liquidi è sufficientemente bassa (rispetto alla loro viscosità) si noterà che
questo filetto liquido colorato (B) non si mescola con A, e rimarrà confinato in un "cilindro virtuale"
separato da A. All'aumentare della velocità del liquido A si vedrà come il liquido B rimarrà confinato
nel suo cilindro virtuale solo per un breve tratto, dopodiché si evidenzierà un progressivo
sfaldamento di questo cilindro virtuale, e si noterà come B inizi a mescolarsi con A che gli scorre
attorno. Questo mescolamento ha inizialmente l'aspetto di piccole ondulazioni delle pareti del
filetto di B, che procedendo diventeranno vortici, prima piccoli e poi di maggiori dimensioni. Se si
dà al fenomeno un tempo sufficiente, si vedrà come a valle ci ritroveremo nelle condizioni di non
poter più distinguere B (inseminante) da A (trasparente), vedremo un unico liquido indistinto,
magari di colore non più trasparente.
Nel primo caso (velocità basse), si è in presenza di un flusso in regime laminare, cioè un flusso in cui
tutti i filetti fluidi che costituiscono il campo di moto, rimangono sempre paralleli a sé stessi, senza
mai mescolarsi, come tante piccole "lamelle" o "lamine" tutte parallele, da cui la definizione di
laminare.
Nel secondo caso (velocità più alte), possiamo dire di essere in un regime turbolento, in cui fenomeni
inerziali (dovuti alla velocità) come i vortici, vincono sui fenomeni viscosi (che tendono a mantenere
tutto parallelo), e svolgono un'azione di mescolamento dei filetti fluidi tra loro, rompendone
l'originario parallelismo (mantenuto invece in un flusso a regime laminare).
Il flusso laminare si contrappone ai flussi turbolenti dominati da ricircolazioni, vortici e
apparente casualità.
Regime turbolento: è un moto di un liquido in cui le forze viscose non sono sufficienti
a contrastare le forze di inerzia: il moto delle particelle del fluido avviene in maniera
caotica, senza seguire traiettorie ordinate come nel caso di regime laminare.
La transizione da flusso laminare a turbolento dipende dal valore del numero di Reynolds :
esiste un valore critico per cui al di sotto di questo il moto è laminare, al di sopra evolve
gradualmente in turbolento. In linea generale si considera indicativamente il fluido in regime
laminare se Re < 2000; turbolento se Re > 4000, di transizione se cade tra questi valori. Il
numero di Reynolds (Re) è un gruppo adimensionale usato in fluidodinamica, proporzionale al
rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose.
Combinando la velocità media U, il diametro del tubo d e la viscosità
cinematica ν in un fattore (in seguito chiamato appunto numero di Reynolds)
Ud
ν
si può descrivere la dinamica del flusso. L'esperimento consiste in un tubo trasparente ad
asse rettilineo nel quale circola un flusso a portata costante e dove viene iniettato, tramite
un ago, un colorante. Reynolds trovò infatti tre differenti tipologie di flusso:
Re ≤ 2000
il flusso si mantiene stazionario e si comportava come se fosse formato
da delle lamine sottili che interagivano solo mediante sforzi tangenziali,
chiamato per l'appunto flusso laminare. Il colorante cioè si muove in una
sottile linea che rimane parallela alla direzione del tubo.
2000≤ Re ≤ 4000 la linea perde la sua stazionarietà formando piccole ondulazioni che
dipendono dal tempo, rimanendo tuttavia sottile. Questo regime è detto
di transizione.
Re ≥ 4000
dopo un piccolo tratto iniziale dove le oscillazioni oscillavano, il colorante
tende a diffondersi nel flusso. Questo regime è detto turbolento, ovvero
caratterizzato da un moto disordinato, non stazionario e tridimensionale.
Nel caso più generale il numero di Reynolds è scritto come:
Re = ρUL
µ
dove:
•U è la velocità media del fluido,
•µ è la viscosità dinamica,
•ν è la viscosità cinematica: ν = µ / ρ,
•ρ è la densità del fluido,
•L è la lunghezza caratteristica del corpo (per il moto in condotti equivale al diametro 2r se la
sezione del condotto è circolare, altrimenti è pari al cosiddetto diametro equivalente -o
diametro idraulico-)
Legge di continuità del flusso: La legge di continuità (o principio di continuità) afferma
che in una corrente liquida in regime permanente attraverso una qualsiasi sezione la
portata risulterà costante. In termini matematici si ha:
Q = S1 ν1 = S2 ν2 = K
dove Q (m3/s) è la portata, S1 e S2 sono due generiche aree di due differenti sezioni, ν1 e ν2 sono
rispettivamente i valori di velocità nelle sezioni prima indicate. Tale equazione traduce in forma
analitica il principio di conservazione della massa, che esprime la non variazione della massa per
effetto del moto.
Per un liquido incomprimibile la conservazione della massa si traduce in conservazione del volume.
Consideriamo all’interno del liquido una superficie chiusa σ che racchiude un volume τ e che è
attraversata dal liquido; il volume in entrata dovrà eguagliare quello in uscita durante lo stesso
intervallo di tempo.
Equazione di Bernoulli
L'equazione di Bernoulli non è altro che una formulazione matematica della legge di
conservazione dell'energia totale:
(E cin + E pot + E pres)A = (E cin + E pot + E pres)B
L’equazione di Bernoulli è valida solo per liquidi perfetti, incomprimibili ed in regime permanente.
Energia cinetica= mv2 = [M L2 T-2]
2
Energia di posizione= mzg = [M L2 T-2]
Energia di pressione= u m = [M L2 T-2]
ρ
CARICO = energia per unità di peso = ENERGIA = [M L2 T-2] = [L]
gm
[M L T-2]
Altezza cinetica = hc= mv2 = 1 v2
2mg 2 g
Altezza geometrica = hg = mzg = z
mg
Altezza di pressione = hp = u m 1 = u
ρ mg γw
L’equazione di Bernoulli diventa:
(hc + hg + hp)A = (hc + hg + hp)B
hc nei terreni è bassima: v<0,6 m/min
Quindi:
(hg + hp)A = (hg + hp)B
hc<<1 e può considerarsi trascurabile.
Considero un elemento di liquido di peso unitario:
zA altezza geometrica= distanza del punto considerato da un
piano arbitrario di riferimento z = 0;
uA/γw altezza di pressione= distanza di risalita dell’acqua per
effetto della sua pressione uA;
v2A/2g altezza cinetica= dovuta alla velocità vA dell’acqua.
zA + uA + v2A
H = Carico effettivo o altezza totale =
γw 2g
Quota geometrica, altezza e quota piezometrica nell’acqua in quiete:
- in un recipiente
- in un tubo capillare
Q = k A ΔH
L
Q = portata attraverso una sezione
perpendicolare alla direzione del flusso
k = coefficiente di permeabilità [L/T]
A = area della sezione filtrante
ΔH = differenza di carico totale = h3-h4
L = percorso idraulico = lunghezza del
campione
GRADIENTE IDRAULICO = i = ΔH = [L] (adimensionale)
L
[L]
La differenza di carico totale ΔH serve ad esprimere la differenza di energia tra i due punti
tra i quali avviene il flusso. Solo e soltanto se ci sono perdite di carico totale c’è filtrazione.
In acqua non avvengono perdite di carico.
Velocità di filtrazione
Q=kiA
Q=ki=v
A
[L3/T] = [L/T]
[L2]
vs = k i = velocità apparente (o
nominale) di filtrazione: è la velocità
fittizia di un’ipotetica goccia d’acqua che si
sposti da A a B muovendosi nel terreno in
linea retta
vr = vs/n = velocità reale di
filtrazione con n = porosità efficace
Percorso di filtrazione nel terreno
Tubo di flusso idealizzato
Esempi di filtrazione verticale -1
z (m) hg(m)
0,9 0,9
1,2 1,2
1,5 1,5
2,1 2,1
hp(m)
0,3
0
-0,3
-1,8
ht(m)
1,2
1,2
1,2
0,3
ΔHt = 1,2 m – 0,3 m = 0,9 m
i = 0,9 m = 1,5
0,6 m
Q = 5x10-3 m/s x 1,5 x 0,071 m2 = 5,33x10-4 m3/s
Carico (m)
Esempi di filtrazione verticale -2
Esempi di filtrazione verticale -3
Esempio di filtrazione orizzontale
Filtrazione attraverso diversi terreni sovrapposti:
Flusso perpendicolare al p.c.
k1v
h1
k2v
h2
k3v
h3
knv
hn
htot = h1 + h2 +h3 + hn
Q1 = Q2 = Q3 = Qn = Q
Δhtot = Δh1 + Δh2 + Δh3 + Δhn
A1 = A2 = A3 = An = Atot
Q = kmv Δhtot Atot
htot
Δhtot = Q htot = Q h1 + Q h2 + Q h3 + Q hn
k1v A
kvm A
k2v A k3v A knv A
kvm =
htot
Con Q e A costanti
htot
Permeabilità media nella direzione verticale di
h1 + h2 + h3 hn una successione di strati
+
k1v k2v k3v knv
Filtrazione attraverso diversi terreni sovrapposti:
Flusso parallelo al p.c.
k1v
h1
k2v
h2
k3v
h3
knv
hn
Qtot = Q1 + Q2 + Q3 + Qn
Δhtot = Δh1 = Δh2 = Δh3 = Δhn
htot
i = i1 = i2 = i3 = in
Considero la profondità unitaria
Atot = (h1 1) + (h2 1) + (h3 1) + (hn 1) = (htot 1)
Qtot = kmh i htot = k1h i h1 + k2h i h2 + k3h i h3 + knh i hn
kmh = k1h h1 + k2h h2 + k3h h3 + knh hn
htot
con i costante
Permeabilità orizzontale media di una
successione di n strati orizzontali
Filtrazione attraverso diversi terreni sovrapposti -1
Q1 = Q2
ΔH1 + ΔH2 = ΔHTOT
k1 * A1 * ΔH1 = k2* A2 * ΔH2
L1
L2
ΔH1 + ΔH2 = ΔHTOT
Quote geometriche e piezometriche, altezze piezometriche e stato tensionale nei
terreni interessati da moti di filtrazione
Filtrazione attraverso diversi terreni sovrapposti -2
Pressioni efficaci in presenza di moti di filtrazione
Pressioni neutre su un elemento
di terreno.
(a) Pressioni sul contorno (sulle
basi). (b) Pressioni neutre sul
contorno in condizioni
idrostatiche. (c) Pressione
dissipata (energia piezometrica
spesa) per produrre il moto di
filtrazione.
=j
Forze neutre (o azioni dell’acqua) su un elemento di terreno
Equilibrio alla traslazione:
(a)in termini di peso totale del terreno e di forze neutre al contorno (sulle basi);
(b) in termini di peso immerso in acqua del terreno e di forza di filtrazione.
(1)
TERRENO ASCIUTTO
SABBIA
H
σt =γtH
griglia
σ’ = σt
(2)
a
SABBIA
griglia
H
CONDIZIONI IDROSTATICHE
σt =γtH + γwa
u = γwH + γwa
σ’ = σt - u = (γt - γw)H = γbH
(3)
a
h
FILTRAZIONE VERSO IL BASSO
z
z
SABBIA
H
griglia
σt =γtH + γwa
u = γwH + γwa - γwh
σ’ = γtH - γwH + iγwH = γbH + iγwH con i = h/H
σ’= z γ’ + i z γw
(4)
h
FILTRAZIONE VERSO L’ALTO
a
z
SABBIA
griglia
H
u = γwH + γwa + γwh
σt =γtH + γwa
σ’ = γtH - γwH - iγwH = γbH - iγwH con i = h/H
σ’= z γ’ - i z γw
Liquefazione: annullamento delle pressioni efficaci per effetto del moto dell’acqua
σ’v = σv - u = (aγw + bγt + ∆qs) - hγw
Se ∆qs =0 e a =0
i = ∆ht = h - b
L
L
σ’v = bγt - hγw
h = b(i + 1) γw
σ’v = bγt - b(i + 1)γw = bγt - biγw - b γw
Poniamo σ’v = 0
γt - iγw - γw = 0
γt - γw
γ’
i = Gradiente idraulico critico
γw = γw = c
Si consideri un elemento di terreno sede di moto laminare con portata q con componenti qx, qy, qz
secondo le direzioni x, y, z:
Utilizzando la legge di Darcy si possono scrivere le seguenti espressioni per la componente qz della
portata.
La portata entrante nell’elemento di terreno è pari a qz = kia, essendo a l’area della faccia inferiore:
La portata uscente dalla faccia superiore dell’elemento è pari a
Essendo:
kz: permeabilità nella direzione z nel punto di coordinate x, y, z.
h: quota piezometrica.
La portata filtrante netta ∆qz che attraversa l’elemento di terreno in direzione verticale è pari alla
differenza tra la portata e ntrante e la portata uscente
Se la permeabilità è costante,
e quindi:
Analogamente nella direzione x si ha:
Per un moto di filtrazione piano qy = 0, e quindi:
Il volume Vw d’acqua contenuto nell’elemento di terreno è pari a
e la sua varizione nel tempo è
Poiché dx dy dz/(1 + e) è il volume delle particelle solide contenute nel prisma elementare ed è
costante, si ha:
Eguagliando le due espressioni di ∆q si ottiene
ovvero
Equazione fondamentale del moto piano di
filtrazione in regime laminare nei terreni
Per un flusso stazionario (e ed S costanti):
e se il coefficiente di permeabilità non varia con la direzione, kz =kx, si ha:
EQUAZIONE DI LAPLACE : La somma tra la variazione del gradiente nella
direzione z e la variazione del gradiente nella direzione x è pari a zero.
Il fatto che l’equazione fondamentale del flusso stazionario in un terreno isotropo soddisfi l’equazione di Laplace,
significa che le linee di flusso intersecano con angoli retti le linee equipotenziali, in una rete di flusso.12
I vettori velocità sono:
Lungo le linee equipotenziali h = costante quindi
Dividendo per dx e risolvendo per dy/dx, otteniamo
v
= - vy
x
PERMEAMETRO A CARICO COSTANTE
Q = ΔV/ Δt;
V = Q Δt
V = vA Δt
V = kiA Δt
V = k h A Δt
L
k = VL
h A Δt
PERMEAMETRO A CARICO VARIABILE
q dt = -a dh (vol. acqua in ingresso in dt)
q dt = kiAdt = k h A dt (vol. acqua in uscita in dt)
L
-a dh = k h A dt (per continuità flusso)
L
-a dh = k A dt
h
L
h2
-a
h1
k=
t2
dh = k A
Lt
h
dt
1
aL
ln h1
A (t2 - t1)
h2
