Il Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato Si dice che un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme quando esso si sposta su di una retta percorrendo spazi uguali in tempi uguali. In tale caso la sua velocità istantanea sarà in ogni istante la stessa e pertanto coinciderà con la velocità media. Dalla definizione di velocità media abbiamo allora: x − xi
∆x
vm = v =
= f
t f − ti
∆t
supponiamo ora che la particella parta dall’istante iniziale cioè ti = 0 , e per semplificare la notazione indichiamo semplicemente con x la posizione ad un certo istante t anziché con x f e con t anziché t f il tempo . Sia inoltre la posizione iniziale x 0 . Abbiamo: x − x0
v=
t
Da tale espressione possiamo ricavare una relazione che esprime la posizione x in funzione del tempo t x = x 0 + vt Una relazione che esprime una grandezza fisica in funzione del tempo si dice legge oraria. Quella sopra è pertanto la legge oraria dello spostamento per il moto rettilineo uniforme. Essa è rappresentata da una retta in un diagramma cartesiano spazio tempo, con lo spazio x sulle ordinate ed il tempo t sulle ascisse. Confrontando con l’equazione di una retta y = mx + q si vede immediatamente che m = v , cioè la velocità istantanea è il coefficiente angolare mentre x 0 = q cioè la posizione all’istante iniziale è il termine noto. Di conseguenza un punto materiale che si allontana dall’origine sarò rappresentato nel diagramma spazio tempo da una retta con pendenza positiva, mentre un punto materiale che si avvicina all’origine, cioè che torna indietro, da una retta con pendenza negativa. velocità
spostamento
v0
x0
v>0
tempo
tempo
La figura a sinistra rappresenta la legge oraria dello spostamento nel caso di un moto rettilineo uniforme per una particella che si allontana dall’origine. Attenzione, perchè tale grafico non ha nulla a che vedere con la traiettoria, cioè l’insieme delle posizioni effettivamente occupate dalla particella nello spazio. La figura a destra rappresenta invece esattamente lo stesso moto però in un altro piano, nel quale lungo l’asse delle ascisse c’è sempre il tempo ma sulle ordinate abbiamo ora la velocità. Secondo la terminologia sopra introdotta, questo secondo andamento si dice legge oraria della velocità. La sua equazione è rappresentata da una retta parallela all’asse delle ascisse perché nel moto rettilineo uniforme la velocità si mantiene costante. Se con v0 indico il valore di tale velocità costante, che coincide anche con la velocità iniziale (essendo costante sarà sempre uguale al valore che aveva all’inizio) allora la legge oraria della velocità per il moto rettilineo uniforme sarà: v = v0 Il grafico della figura a destra ha una proprietà notevole: l’area che sta sotto alla retta fra l’istante iniziale ed un istante qualunque t rappresenta lo spazio percorso. Nel caso in cui il punto materiale parta dall’origine, cioè x 0 = 0 lo si può verificare immediatamente: in questo caso la legge oraria dello spostamento diventa: x = vt che come si vede dalla figura sotto è proprio l’area della parte di piano che sta sotto la retta e compresa fra l’asse delle ordinate e la retta verticale che passa per t. Questa relazione si mantiene anche nel caso in cui la velocità velocità
non sia costante. Il più semplice dei moti rettilinei con area = vt
velocità non costante è quello in cui la velocità varia di quantità uguali in intervalli di tempo uguali, vale a dire tale v
che la sua accelerazione istantanea sia costante, e pertanto coincide con l’accelerazione media. Un tale moto si dice tempo
uniformemente accelerato. Dalla definizione di accelerazione t
media si ha: v − vi
v − v0
=
a= f
t f − ti
t
dove l’ultimo passaggio segue le convenzioni sui nomi stabilite sopra per lo spostamento. In questo caso possiamo facilmente ricavare la legge oraria per la velocità: v = v0 + at per semplificare le cose restringiamoci alla situazione in cui la particella in esame parta da ferma, cioè v0 = 0 . In questo caso la legge oraria della velocità diviene v = at , che nel diagramma velocità‐ tempo è rappresentata da una retta passante per l’origine. Per analogia con quanto sopra diciamo che anche in questo caso lo spostamento è l’area sottesa dalla retta e tale area è quella di un triangolo di base t ed altezza v=at quindi sarà: 1
1
1
area= vt = at ⋅ t = at 2 =spazio percorso 2
2
2
Ci proponiamo ora di calcolare la velocità media di un tale moto. Ricordiamo che la velocità media è quella per cui se lo stesso spostamento venisse percorso con velocità costante pari ad essa, complessivamente la particella velocità
1
impiegherebbe lo stesso tempo. Nel grafico velocità tempo area = vt
tale moto sarà rappresentato da una retta orizzontale di 2
v = at
ordinata v m tale che l’area sotto di essa compresa fra l’asse v
delle ordinate e la retta verticale che passa per t sia uguale a quella del triangolo grigio evidenziato in figura. In questo modo infatti avremo percorso nello stesso tempo (fra 0 e t) lo stesso spazio (la stessa area). Affinché le due aree siano uguali è sufficiente che siano uguali i due triangoli evidenziati in tempo
t
grigio dato che l’altro pezzetto di area è comune a tutti e due i grafici. Tali due triangoli sono rettangoli ed hanno gli angoli in velocità
A uguali in quanto opposti al vertice. Ne consegue che essi sono congruenti solo se hanno almeno una coppia di lati v = at
v
congruenti. Questo accade se v m sta a metà fra 0 e v sull’asse v+0
vm
delle ordinate cioè se vm =
. A
2
tempo
Tale risultato ci dice che nel caso del moto uniformemente t
accelerato vm oltre ad essere la velocità media è anche la media della velocità. Infatti la formula ricavata è il valore medio fra la velocità al tempo t, che qui abbiamo semplicemente indicato con v e la velocità iniziale, che qui è nulla per semplificare. Nel caso generale in cui la velocità iniziale vale v0 ≠ 0 si sarebbe trovato v + v0
vm =
. Tutto questo permette di ricavare la legge oraria dello spostamento nel caso 2
di moto con accelerazione costante. Infatti dalla definizione di velocità media si ha: 1
x = x 0 + vmt = x 0 + (v + v0 ) t 2
dove, lo ricordiamo, v è la velocità istantanea. Ricordando ancora che sopra si è ricavato, per un moto uniformemente accelerato, v = v0 + at , inserendola si ottiene infine: 1
1
1
x = x 0 + [(v0 + at ) + v0 ]t = x 0 + (2v0 + at )t = x 0 + v0t + at 2 2
2
2
che è la legge oraria per lo spostamento nel moto uniformemente accelerato. Esercizi 1. L’astronave Enterprise, ferma nello spazio, lancia un siluro fotonico con v enterprise = 10−3 c (c = 3 × 105 Km/s è la velocità della luce) contro un falco da guerra romulano che dista 10−4 ly dall’Enterprise (1 ly cioè un anno luce sono circa novemila miliardi di Km). Il falco da guerra, che non è stupido, appena avvistato il siluro scappa in avanti con vfalco = 10−4 c . Sapendo che in 5s il falco entra nell’iperspazio (e quindi è salvo) ce la faranno i romulani a sfuggire al siluro? Rappresentare i moti del siluro e del falco nel piano spazio tempo. 2. Un’astronave di classe Galaxy viaggia in linea retta da Plutone verso la Terra con una velocità pari a vA = 10−3 c mantenendola costante. Contemporanemente parte dalla Terra verso Plutone un cargo interplanetario di seconda classe con velocità costante pari a vC = 0.2 × 10−4 c . Quale dei due intercetta per prima l’orbita di Giove? A quale distanza dalla Terra si incontrano? Si assuma D(Terra‐
Sole)= 0.15 × 1012 m, D(Plutone‐Sole)= 5.91 × 1012 m, D(Giove‐Sole)= 0.778 × 1012 m. Rappresentare le leggi orarie sul piano.
