Elementi di analisi delle reti elettriche

I.T.I.S. "Antonio Meucci" di Roma
Elementi di analisi
delle reti elettriche
a cura del Prof. Mauro Perotti
Anno Scolastico 2009-2010
Elementi di analisi delle reti elettriche
Sommario
1. Note sulla simbologia ............................................................................................4
2. Il generatore (e l’utilizzatore) elettrico.................................................................4
3. La legge di Ohm ....................................................................................................5
4. Le leggi di Kirchhoff..............................................................................................5
4.1 La prima legge di Kirchhoff (delle correnti)................................................... 5
4.2 La seconda legge di Kirchhoff (delle tensioni) ............................................... 6
5. Generatori di tensione e generatori di corrente ...................................................6
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Generatori ideali di tensione........................................................................ 6
Generatori ideali di corrente........................................................................ 6
Generatori reali di tensione ......................................................................... 7
Forza elettromotrice (f.e.m.) di un generatore di tensione ............................. 7
Generatori comandati ................................................................................. 7
6. La potenza dissipata da un resistore ................................................................... 8
6.1 La massima potenza dissipabile da un resistore ............................................ 9
7. Il collegamento dei bipoli .....................................................................................9
7.1 Il collegamento serie .................................................................................. 9
7.1.1 Resistori in serie........................................................................................... 9
7.1.2 Generatori di tensione in serie ...................................................................10
7.1.3 Generatori di corrente in serie....................................................................10
7.2 Il collegamento parallelo........................................................................... 10
7.2.1 Resistori in parallelo................................................................................... 11
7.2.2 Generatori di tensione in parallelo ............................................................ 11
7.2.3 Generatori di corrente in parallelo.............................................................12
8. I condensatori e gli induttori.............................................................................. 12
8.1 I condensatori ......................................................................................... 12
8.1.1 Condensatori in parallelo ...........................................................................12
8.1.2 Condensatori in serie .................................................................................13
8.2 Gli induttori ............................................................................................. 13
8.2.1 Induttori in parallelo..................................................................................14
8.2.2 Induttori in serie........................................................................................14
9. Metodi di analisi delle reti elettriche.................................................................. 15
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Analisi di una rete per mezzo delle leggi di Kirchhoff ................................... 15
Riduzione di una rete ............................................................................... 15
II partitore di tensione ............................................................................. 15
Il ponte di Wheatstone ............................................................................. 16
II principio di sovrapposizione degli effetti.................................................. 17
Il teorema di Thevenin ............................................................................. 17
9.6.1 L'applicazione del teorema di Thevenin a una parte di circuito ................18
9.6.2 L'applicazione del teorema di Thevenin a circuiti contenenti generatori
comandati ..................................................................................................18
10. Segnali elettrici..................................................................................................18
10.1 Classificazione dei segnali ....................................................................... 19
10.2 I principali segnali periodici (canonici)...................................................... 21
10.2.1 Il segnale sinusoidale................................................................................21
10.2.2 Il segnale impulsivo................................................................................. 23
10.2.3 Il segnale ad onda quadra ....................................................................... 24
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Elementi di analisi delle reti elettriche
10.2.4 Il segnale ad onda triangolare................................................................. 24
10.2.5 Il segnale a denti di sega.......................................................................... 24
10.2.6 Il calcolo del valore efficace per segnali canonici non alternati.............. 25
10.3 I principali segnali non periodici............................................................... 25
10.3.1 Il segnale a rampa.................................................................................... 25
10.3.2 Il segnale a gradino ................................................................................. 26
10.3.3 Il segnale esponenziale............................................................................ 26
Approfondimento ...................................................................................................27
Dimostrazione della formula per il calcolo del valore efficace di un segnale
periodico qualunque. ..................................................................................... 27
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Elementi di analisi delle reti elettriche
1. Note sulla simbologia
In elettronica è invalso l'uso di indicare le grandezze elettriche con lettere maiuscole o minuscole in base
alla costanza o meno delle stesse.
Le grandezze variabili nel tempo vengono indicate mediante lettere minuscole. Per esempio, la
notazione v(t) indica una tensione variabile nel tempo. Oppure si può scrivere semplicemente i per
indicare una corrente variabile nel tempo, omettendo la specificazione della variabile
t
(tempo).
Se usiamo un grafico cartesiano per indicare come varia una tensione al variare del tempo scriveremo, in
prossimità degli assi, v e t. Conformemente all'analisi matematica dove, con tali simboli, si usa indicare i
generici valori delle ordinate e delle ascisse.
Le grandezze costanti nel tempo vengono indicate con lettere maiuscole. La notazione I, ad esempio,
indica una corrente costante nel tempo. Anche il valore che una grandezza elettrica assume in un
determinato istante viene indicato da una lettera maiuscola: la scrittura v(t1) = V significa che la
tensione v(t), nell'istante t1, assume il valore V.
VAB,
in A e
La scrittura
convenzionalmente usata per rappresentare una tensione, indica la differenza tra il
potenziale
quello in
B.
Se è positiva vuol dire che il potenziale in
A
è maggiore di quello in B;
viceversa se è negativa. Graficamente la si indica con una freccia orientata verso il polo
caso della scrittura
circolazione.
VAB).
A
(sempre nel
Per una corrente è sufficiente indicare, sempre con una freccia, il suo verso di
2. Il generatore (e l’utilizzatore) elettrico
La potenza elettrica, generata o utilizzata, la indichiamo con p ed è definita dal prodotto tra la tensione v
e la corrente i.
(1)
p(t) = v(t) i(t)
Per capire se un bipolo (ovvero un elemento con due terminali) è un generatore o un utilizzatore occorre
analizzare la polarità della tensione ai suoi capi e il verso della corrente che lo attraversa: se la corrente
esce dal polo positivo, allora il bipolo è un generatore (figura 1a), mentre, viceversa, se la corrente entra
nel polo positivo, allora il bipolo è un utilizzatore (figura 1b). Fisicamente il generatore eroga potenza
mentre l'utilizzatore l'assorbe.
L'unità di misura della potenza è il watt, indicato con W, quando la tensione è espressa in volt (V) e la
corrente in ampere (A).
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Elementi di analisi delle reti elettriche
3. La legge di Ohm
La legge di Ohm stabilisce il legame esistente tra la corrente i che attraversa un
resistore (figura 2) e la tensione v ai suoi capi. Il coefficiente di proporzionalità tra
queste due grandezze prende il nome di resistenza elettrica, e lo si indica con R;
esso si esprime in ohm (Ω) quando la tensione si misura in volt (V) e la corrente
in ampere (A). Analiticamente si scrive:
(2)
v(t) = R i(t)
Quindi una resistenza vale 1Ω quando in essa fluisce la
corrente di 1A in seguito all'applicazione ai suoi capi della
tensione di 1V.
E’ comune supporre costante la resistenza R dal momento che
le variazioni di valore che essa subisce nelle normali condizioni
operative risultano praticamente trascurabili. La rappresentazione grafica della (2), quindi, è una retta (figura 3). Il
coefficiente angolare di questa retta coincide con R.
La tensione ai capi di una resistenza viene spesso definita caduta di tensione (in breve, c.d.t.).
In questa prima parte analizziamo le reti elettriche in regime continuo, in cui tutte le tensioni e tutte le
correnti sono continue, cioè costanti nel tempo; per questa ragione esse verranno indicate mediante
lettere maiuscole. In regime continuo, quindi, la legge di Ohm risulta scritta nel modo:
V = RI
4. Le leggi di Kirchhoff
4.1 La prima legge di Kirchhoff (delle correnti)
La formulazione generale della prima legge di Kirchhoff, valida per qualsiasi regime di funzionamento e
per qualunque tipo di rete, stabilisce che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma
delle correnti uscenti dallo stesso nodo. Fisicamente essa deriva dalla legge, ancor più generale, della
conservazione della carica elettrica la quale, sostanzialmente, afferma che un nodo non può essere sede
né di accumulazione e né di dispersione di carica elettrica.
Un nodo è un punto nel quale si congiungono più rami o
cammini di corrente. Per esempio, facendo riferimento alla
figura 4, l'applicazione della prima legge di Kirchhoff
fornisce la relazione:
i1 + i2 + i4 = i3 + i5 + i6 + i7
Le correnti i1, i2 e i4, infatti, entrano nel nodo, mentre le
correnti i3, i5, i6 e i7, escono dal nodo stesso.
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4.2 La seconda legge di Kirchhoff (delle tensioni)
La seconda legge di Kirchhoff, valida per qualsiasi regime di funzionamento e per qualunque tipo di rete,
afferma che la somma algebrica di tutte le tensioni presenti in una maglia è nulla. Una maglia è un
percorso chiuso all'interno di una rete.
Per poter assegnare ad una tensione un segno algebrico è
necessario
stabilire,
arbitrariamente,
un
verso
di
percorrenza della maglia. Tutte le tensioni incontrate lungo
la maglia, le cui polarità risultano concordi con il verso di
percorrenza prestabilito, vengono assunte positive, mentre
quelle che hanno il verso discorde vengono assunte
negative. Facciamo riferimento alla figura 5, e scriviamo la
legge di Kirchhoff delle tensioni:
V1 - v2 + v3 - V4 + v5 - v6 + v7 = 0
Le tensioni V1, v3, v5 e v7 sono infatti positive rispetto al
verso di percorrenza orario della maglia (fissato
arbitrariamente); mentre le tensioni v2, V4 e v6, sempre
rispetto allo stesso verso di percorrenza, sono negative.
5. Generatori di tensione e generatori di corrente
5.1 Generatori ideali di tensione
Un generatore di tensione si definisce ideale quando eroga potenza mantenendo costante la tensione ai
propri morsetti in corrispondenza di qualunque valore di corrente richiesta dal carico ad esso collegato.
Pertanto, la caratteristica tensione-corrente di un generatore ideale di tensione è una retta come quella
riportata in figura 6. In figura 7 sono riportati i possibili simboli circuitali.
5.2 Generatori ideali di corrente
Un generatore di corrente
(il cui simbolo è riportato in
figura 8) si definisce ideale
quando
eroga
potenza
mantenendo costante la
corrente
fornita
in
corrispondenza
di
qualunque
valore
di
tensione richiesta dal carico
ad esso collegato. Pertanto, la caratteristica
tensione-corrente di un generatore ideale di
corrente è una retta come quella riportata in
figura 9.
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Elementi di analisi delle reti elettriche
5.3 Generatori reali di tensione
Un generatore di tensione reale, invece, possiede una resistenza interna
dovuta alle inevitabili (ed ineliminabili) perdite ohmiche presenti al suo
interno (ad esempio per la realizzazione dei percorsi conduttivi). Esso viene
schematizzato secondo il modello illustrato nella figura 10. Si tratta della serie
di un generatore ideale Vs, e di un resistore, Ri, la cui resistenza è detta
resistenza interna.
5.4 Forza elettromotrice (f.e.m.) di un generatore di tensione
Con ciò si intende la differenza di potenziale ai capi di un generatore di
tensione a vuoto.
Consideriamo la figura 10. Se con un multimetro misuriamo, in tali condizioni,
la d.d.p. tra A e B troveremo un valore pari a Vs. E ciò in quanto, a vuoto,
non circolando corrente non potrà esserci c.d.t. ai capi della resistenza interna.
Tutta la tensione ai capi di Vs, pertanto, la ritroveremo tra i poli A e B.
5.5 Generatori comandati
I generatori comandati (anche detti dipendenti o pilotati) possono essere di quattro tipi:
•
•
•
•
di
di
di
di
tensione comandati
tensione comandati
corrente comandati
corrente comandati
in tensione;
in corrente;
in tensione;
in corrente.
Esaminiamoli separatamente.
Il generatore di tensione comandato in tensione è un generatore ideale di tensione il cui valore risulta
proporzionale a quello di una tensione presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore
comandato.
Ad eccezione di questa particolarità operativa, le restanti
caratteristiche funzionali del generatore comandato di
tensione sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore
ideale di tensione. Consideriamo il circuito di figura 11. Il
valore della tensione ai morsetti del generatore
Vc
risulta
proporzionale, secondo il parametro α, a quello della
tensione V1 (che nello specifico è la c.d.t. ai capi di R1).
Vc è pilotato dalla
V1. Ne segue, pertanto, che la tensione Vc ai capi
Ciò significa che il generatore di tensione
tensione
del generatore comandato è:
Vc = αV1
Il generatore di tensione comandato in corrente è un generatore ideale di tensione il cui valore risulta
proporzionale a quello di una corrente presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore
comandato.
Anche qui, ad eccezione di questa particolarità operativa, le restanti caratteristiche funzionali del
generatore comandato di tensione sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore ideale di tensione.
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Consideriamo il circuito di figura 12. Il valore della tensione
ai morsetti del generatore Vc risulta proporzionale, secondo
il parametro β, a quello della corrente I1 (indicata nella
medesima figura). Ciò significa che il generatore di tensione
Vc è pilotato dalla corrente I1. Ne segue, pertanto, che la
tensione
Vc ai capi del generatore comandato è:
Vc = βI1
il cui valore risulta proporzionale a quello della corrente I1 secondo il parametro
β.
Il generatore di corrente comandato in corrente è un generatore ideale di corrente il cui valore risulta
proporzionale a quello di una corrente presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore
comandato.
Le restanti caratteristiche funzionali del generatore
comandato di corrente sono identiche a quelle di un
qualsiasi generatore ideale di corrente. Consideriamo il
circuito di figura 13. Il valore della corrente erogata dal
generatore Ic risulta proporzionale, secondo il parametro γ,
a quello della corrente I1 (indicata nella medesima figura).
Ciò significa che il generatore di corrente Ic è comandato
dalla corrente I1. Ne segue, pertanto, che la corrente
erogata dal generatore comandato è:
Ic = γI1
il cui valore risulta proporzionale a quello della corrente I1 secondo il parametro γ.
Il generatore di corrente comandato in tensione è un generatore ideale di corrente il cui valore risulta
proporzionale a quello di una tensione presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore
comandato.
Le restanti caratteristiche funzionali del generatore comandato di corrente sono identiche a quelle di un
qualsiasi generatore ideale di corrente. Consideriamo il
circuito di figura 14. Il valore della corrente erogata dal
generatore Ic risulta proporzionale, secondo il parametro
δ,
a quello della tensione
V1
(indicata nella medesima
figura). Ciò significa che il generatore di corrente
Ic
è
comandato dalla tensione V1. Ne segue, pertanto, che la
corrente erogata dal generatore comandato è:
Ic = δV1
il cui valore risulta proporzionale a quello della tensione
V1 secondo il parametro δ.
6. La potenza dissipata da un resistore
Il resistore è un bipolo utilizzatore che, quando viene attraversato da corrente, assorbe energia
dissipandola interamente sotto forma di calore. L'espressione di tale potenza dissipata assume, nel caso
di un resistore, tre possibili, ma equivalenti formulazioni. La prima è quella generale valida per qualsiasi
bipolo, sia esso un generatore che un utilizzatore:
4)
P = VI
Le altre due formulazioni si ricavano dalla (4) sostituendo la legge di Ohm una volta in V:
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Elementi di analisi delle reti elettriche
5)
P = RI2
ed una volta in I:
6)
P = V2/R
6.1 La massima potenza dissipabile da un resistore
I resistori disponibili in commercio sono caratterizzati, oltre che dal proprio valore ohmico, anche da un
valore massimo di potenza dissipabile. Ciò significa che un resistore non può dissipare una potenza
superiore a quella consentita da questo limite. Questo limite dipende dalle dimensioni geometriche e dalla
forma del resistore, nonché dalle caratteristiche del materiale utilizzato per la sua costruzione; non
dipende invece dal valore ohmico dello stesso resistore. Se venisse superato il valore massimo di potenza
dissipabile il resistore, non potendo scambiare con l'ambiente circostante questo calore, andrebbe
incontro ad un danneggiamento irreversibile (se tale condizione operativa risultasse prolungata nel
tempo). I limiti superiori di potenza dissipabile dei resistori disponibili sul mercato sono:
1/8 W = 0,125 W;
1/4 W = 0,250 W;
1/2 W = 0,500 W;
1 W e oltre.
È prassi progettuale consolidata inserire nei circuiti resistori il cui valore massimo di potenza dissipabile
sia prossimo al doppio della potenza effettivamente dissipata su di essi.
7. Il collegamento dei bipoli
7.1 Il collegamento serie
Due o più bipoli sono collegati in serie quando sono tutti attraversati dalla stessa corrente, cioè quando
vengono collegati l'uno accanto all'altro come indicato in figura 15. In altre parole, si può affermare che il
collegamento serie realizza un unico cammino di corrente - o ramo - tra due nodi di un circuito.
7.1.1 Resistori in serie
In base a questa definizione possiamo dire che n resistori risultano collegati in serie, tra i nodi A e B, così
come indicato in figura 16, quando vengono attraversati dalla stessa corrente.
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Elementi di analisi delle reti elettriche
Il circuito di figura 16 può essere sostituito da un circuito contenente un unico resistore, la cui resistenza,
detta equivalente, deve soddisfare la relazione:
(7) RS = R1 +R2 + R3 + … + Rn
La sostituzione della serie di n resistori con il relativo resistore equivalente non altera la caratteristica ai
nodi del collegamento serie e consente pertanto la semplificazione del circuito.
Poiché i resistori sono degli utilizzatori, la corrente che attraversa
ciascuno di essi deve risultare entrante nel polo positivo, e pertanto la
caduta su ciascuno deve assumere la polarità indicata nella figura 17.
7.1.2 Generatori di tensione in serie
Due o più generatori di tensione collegati in serie sono equivalenti ad un unico generatore di tensione, il
cui valore VT si determina scegliendo prima una polarità di riferimento e poi sommando tutte le tensioni
aventi polarità concordi con quella scelta e sottraendo invece tutte quelle aventi polarità discordi.
La polarità di riferimento, che sarà poi quella del generatore equivalente di tensione
quella dei generatori i cui valori, sommati tra loro, producono il valore più elevato.
VT,
coincide con
Questa modalità di calcolo del generatore equivalente deriva dalla legge di Kirchhoff delle tensioni.
7.1.3 Generatori di corrente in serie
Due o più generatori di corrente possono essere collegati in serie se e solo se ogni generatore eroga la
stessa corrente. In caso contrario, infatti, ogni generatore tenderebbe a imporre nell'unico ramo in cui è
inserito il proprio valore di corrente, violando in tal modo la legge di Kirchhoff delle correnti, e inducendo
malfunzionamenti in se stesso e negli altri generatori di corrente.
7.2 Il collegamento parallelo
Due o più bipoli sono collegati in parallelo quando ai loro capi risulta applicata la stessa tensione, cioè
quando vengono collegati tra loro come descritto in figura 18.
In un collegamento parallelo, effettuato tra due nodi di un circuito, risultano presenti più rami. Ogni
collegamento che unisce due nodi viene anche chiamato ramo o lato del circuito.
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Elementi di analisi delle reti elettriche
7.2.1 Resistori in parallelo
In base alla precedente definizione, n resistori si dicono collegati in parallelo quando vengono connessi
l'uno all'altro fra due nodi A e B come mostrato in figura 19.
Più resistori collegati in parallelo tra due nodi possono essere sostituiti da un unico resistore Rp, chiamato
resistore equivalente parallelo, il cui valore di resistenza è determinato dalla seguente relazione:
(8) 1/Rp = 1/R1 +1/R2 +1/R3 +...+1/Rn
La sostituzione del parallelo di n resistori con il relativo resistore equivalente non modifica la caratteristica
ai poli del collegamento parallelo e consente, pertanto, la riduzione della struttura circuitale.
La resistenza del resistore equivalente Rp di due resistori
mediante la seguente relazione, ricavata dalla (8):
R1
ed
R2
in parallelo viene determinata
(9)
Sempre dall'equazione (8) si possono fare interessanti osservazioni. Ad esempio, il resistore equivalente
Rp di due resistori R collegati in parallelo e di uguale valore, ha resistenza:
Rp = R/2
Il caso generico di n resistori
equivalente di resistenza:
R
di uguale valore, collegati in parallelo, conduce ad un resistore
Rp = R/n
Si noti che il valore della resistenza del resistore equivalente parallelo è sempre inferiore al più piccolo
valore tra quelli delle resistenze dei resistori in parallelo che lo determinano.
Il parallelo di n resistori viene talvolta indicato, per comodità, con la notazione:
Rp = R1 // R2 // R3 // . . . // Rn
7.2.2 Generatori di tensione in parallelo
Due o più generatori di tensione possono essere collegati in parallelo se e solo se ogni generatore
fornisce la stessa tensione.
In caso contrario, verrebbe violata la seconda legge di Kirchhoff, e ciò produrrebbe dei transitori di
corrente e di tensione tendenti a imporre l'uguaglianza delle tensioni in parallelo, provocando un
conseguente danneggiamento dei generatori stessi.
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7.2.3 Generatori di corrente in parallelo
Due o più generatori di corrente collegati in parallelo equivalgono ad un unico generatore di corrente il cui
valore IT si determina scegliendo un verso di riferimento per le correnti e quindi sommando tutte le
correnti aventi verso concorde con quello scelto e sottraendo tutte le correnti aventi verso discorde.
Il verso di riferimento, che sarà poi quello del generatore equivalente di corrente IT, coincide con quello
dei generatori i cui valori, sommati tra loro, producono il valore più elevato.
Questa modalità di calcolo del generatore equivalente deriva dalla prima legge di Kirchhoff.
8. I condensatori e gli induttori
Il simbolo circuitale del condensatore è riportato in figura
20a; quello dell'induttore è riportato nella figura 20b.
Il condensatore è un bipolo passivo caratterizzato dalla
grandezza fisica capacità - indicata con C -,la cui unità di
misura è il farad (F). In elettronica vengono impiegati
condensatori che hanno capacità i cui valori oscillano
generalmente da qualche µF a qualche pF.
L'induttore è un bipolo passivo caratterizzato dalla grandezza fisica induttanza - indicata con L -, la cui
unità di misura è l'henry (H). Gli induttori impiegati in elettronica hanno induttanze i cui valori oscillano
generalmente tra qualche mH e qualche µ H.
8.1 I condensatori
La relazione tra tensione e corrente ai capi di un condensatore è descritta, in termini di variazioni finite,
dalla relazione:
(10)
In termini differenziali, e fisicamente più corretti, questa relazione viene descritta nel modo:
(11)
e ic rappresentano rispettivamente la tensione ai capi del condensatore e la corrente in esso
circolante; C è la capacità del condensatore. Si osservi che il verso e la polarità di vc sono quelli di un
utilizzatore. Un condensatore, infatti, è un utilizzatore in grado di immagazzinare l'energia fornita da un
generatore elettrico e di restituirla successivamente. Entrambe le equazioni evidenziano che la corrente
circolante in un condensatore è prodotta da una variazione della tensione ai capi del condensatore stesso.
Quindi, se non si verifica alcuna variazione di tensione, cioè quando ∆vc = 0, la corrente ic è nulla. Ne
deriva che nei circuiti in regime continuo le correnti relative ai condensatori sono nulle. Pertanto, in
questo regime, i condensatori si comportano come circuiti aperti.
dove
vc
8.1.1 Condensatori in parallelo
Due o più condensatori sono collegati in parallelo quando ai loro capi è applicata la stessa tensione, cioè
quando vengono collegati tra loro come mostrato in figura 21.
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Si può dimostrare che il valore della capacità
Cp del condensatore equivalente parallelo è la seguente:
Cp =C1 +C2 +C3 +...+Cn
8.1.2 Condensatori in serie
Due o più condensatori sono collegati in serie quando in essi circola la stessa corrente, cioè quando
vengono collegati tra loro come mostrato in figura 22.
Si può dimostrare che il valore della capacità
Cs del condensatore equivalente serie è la seguente:
L'energia immagazzinata da un condensatore nel proprio campo elettrico è la seguente:
espressa in joule (J) se C è espresso in farad (F) e V in volt (V).
8.2 Gli induttori
La relazione tra tensione e corrente ai capi di un induttore è descritta, in termini di variazioni finite, dalla
relazione:
(12)
In termini differenziali, e fisicamente più corretti, questa relazione viene descritta nel modo:
(13)
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Elementi di analisi delle reti elettriche
dove
vL
e
iL
rappresentano rispettivamente la tensione ai capi dell'induttore e la corrente in esso
circolante; L è l'induttanza dell'induttore. Si osservi che il verso di iL e la polarità di vL sono quelli di un
utilizzatore. Un induttore è un bipolo in grado di immagazzinare l'energia elettrica fornita da un
generatore (e restituirla in tempi successivi). Le equazioni (12) e (13) mostrano che la tensione ai capi di
un induttore è prodotta da una variazione della corrente che attraversa l'induttore stesso. Se, quindi, non
si verifica alcuna variazione di corrente, la tensione vL è nulla. Pertanto, nei circuiti in regime continuo, le
tensioni ai capi degli induttori sono nulle. Quindi in tale regime gli induttori si comportano come
cortocircuiti.
Si tenga presente, inoltre, che la tensione di un induttore prodotta da una variazione di corrente (e quindi
del campo elettromagnetico) assume sempre una polarità tale da opporsi alla variazione di corrente che
l'ha generata (legge di Lenz).
8.2.1 Induttori in parallelo
Due o più induttori sono collegati in parallelo quando ai loro capi è applicata la stessa tensione, cioè
quando vengono collegati tra loro come mostrato in figura 23.
Si può dimostrare che il valore dell'induttanza
Lp dell'induttore equivalente parallelo è la seguente:
8.2.2 Induttori in serie
Due o più induttori sono collegati in serie quando in essi circola la medesima corrente, cioè quando sono
inseriti tutti sullo stesso ramo come mostrato in figura 24.
Si può dimostrare che l'espressione dell'induttanza
Ls dell'induttore equivalente serie è la seguente:
Ls =L1 +L2 +L3 +...+Ln
L'energia immagazzinata da un induttore nel proprio campo elettromagnetico è la seguente:
espressa in joule (J) se L è espresso in henry (H) ed I in ampere (A).
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Elementi di analisi delle reti elettriche
9. Metodi di analisi delle reti elettriche
Una rete elettrica attiva è l'insieme di più bipoli, attivi e passivi, variamente collegati. Una rete elettrica è
lineare se e solo se tutti i bipoli ivi presenti sono lineari. Un bipolo è lineare se la relazione matematica
che lega la tensione ai suoi capi con la corrente che vi circola è una relazione di primo grado nelle
variabili V ed I.
Analizzare una rete elettrica significa determinare univocamente tutte le correnti nei rami, le c.d.t.
presenti ai capi di ogni bipolo presente nella rete ed il valore della grandezza fisica associata ad ogni
componente.
Esistono diversi metodi per analizzare una rete. Alcuni di questi sono generali, come le leggi di Kirchhoff,
e non richiedono nessuna ipotesi. Altri, invece, sono applicabili esclusivamente a reti lineari.
9.1 Analisi di una rete per mezzo delle leggi di Kirchhoff
Questo metodo prevede la scrittura di un sistema di tante equazioni quante sono le incognite da
determinare. L'applicazione della prima legge di Kirchhoff consente di scrivere tante equazioni quanti
sono i nodi indipendenti della rete. Se indichiamo con n il numero complessivo dei nodi della rete il
numero di quelli indipendenti è pari ad
n-1.
L'applicazione della seconda legge di Kirchhoff consente di scrivere tante equazioni quante sono le maglie
indipendenti della rete. Se indichiamo con r il numero complessivo dei rami della rete il numero delle
maglie indipendenti è pari ad
r -(n-1).
In tal modo la simultanea applicazione delle leggi di Kirchhoff ad una rete elettrica ci consente di scrivere
un sistema di equazioni pari a:
n-1 + r -(n-1) = r
ovvero pari al numero dei rami della rete.
E' opportuno sottolineare che prima della scrittura delle r equazioni è necessario stabilire un verso, scelto
arbitrariamente, per tutte le correnti del circuito. La risoluzione del sistema indicherà il valore delle
intensità delle correnti che potranno risultare positive o negative. Le correnti positive fluiranno nel
circuito con verso coincidente a quello prefissato, mentre quelle negative fluiranno nel circuito con verso
opposto.
9.2 Riduzione di una rete
Una rete elettrica può essere ridotta (semplificata) per mezzo dell'individuazione sistematica dei
collegamenti serie e parallelo e la sostituzione, di questi, con i relativi circuiti equivalenti.
Successivamente si procede alla determinazione delle grandezze elettriche richieste.
9.3 II partitore di tensione
Una struttura circuitale come quella indicata in figura 25
viene chiamata partitore di tensione (da ripartire,
suddividere), perché la tensione di alimentazione Vs si
suddivide tra le varie resistenze in modo proporzionale
al valore di ciascuna di esse.
Indicando con
resistenza
Vi
la tensione ai capi della generica
Ri, si ricava che:
pag. 15
Elementi di analisi delle reti elettriche
Poiché la resistenza equivalente serie del circuito dato è:
Rs = R1 + R2 + R3 +...+ Ri +...+ Rn
si ricava che:
9.4 Il ponte di Wheatstone
Una particolare struttura circuitale largamente utilizzata in
molte applicazioni è il ponte di Wheatstone, il cui schema è
quello riportato in figura 26.
Quando la tensione tra i nodi A e C è nulla si afferma che il
ponte è in equilibrio (o bilanciato). Questa condizione si
verifica quando la d.d.p. tra A e D è uguale a quella tra C e
D (avendo eletto
quando:
D
quale nodo di riferimento). Cioè
VA = VC
R1 - R2
è in parallelo con il ramo R3 - R4. La tensione tra i punti B e
tensione VA coincide con la c.d.t. su R1, mentre la tensione
Si osservi, inoltre, che il ramo costituito dalla serie
D, ancora, è quella
VC coincide con la
del generatore
c.d.t. su
R4 .
VS.
La
Tali tensioni sono determinabili mediante la regola del partitore di
tensione. Cioè:
La condizione di equilibrio del ponte impone che sia
VA = VC, e quindi:
cioè:
da cui, in definitiva:
(14)
pag. 16
Elementi di analisi delle reti elettriche
che viene definita come la condizione di equilibrio del ponte. Mediante il ponte di Wheatstone, ad
esempio, è possibile determinare il valore di una resistenza incognita. Supponendo, infatti, che nella
figura 26 R1 sia la resistenza di valore incognito e che R2 sia una resistenza variabile, è possibile risalire
al valore di R1 agendo su R2 fino al raggiungimento della condizione di equilibrio del ponte. In tale
condizione vale l'equazione (14) dalla quale:
Ovviamente,
R3 e R4 devono essere di valore noto e deve essere possibile conoscere il valore assunto da
R2 .
9.5 II principio di sovrapposizione degli effetti
Il principio della sovrapposizione degli effetti si applica a reti attive e lineari (o linearizzabili) e stabilisce
che la corrente in un ramo o la tensione tra due punti può essere calcolata sommando algebricamente le
correnti in quel ramo o le tensioni tra quei due punti dovute all'effetto di ogni singolo generatore
considerato operante separatamente.
Tale principio si rivela molto utile quando nella rete agiscono più generatori contemporaneamente, di
tensione e/o di corrente, costanti e/o variabili nel tempo.
E' importante aggiungere una nota operativa all'enunciato del principio: per valutare gli effetti di un dato
generatore bisogna annullare gli effetti prodotti dagli altri generatori presenti nel circuito. Ciò si ottiene
cortocircuitando i generatori di tensione e aprendo i generatori di corrente. Una volta determinati gli
effetti di ogni generatore, si procede alla loro sovrapposizione, sommando algebricamente le correnti e le
tensioni.
9.6 Il teorema di Thevenin
Il teorema di Thevenin stabilisce che una rete elettrica lineare "vista" da una coppia qualsiasi di punti è
equivalente a un circuito lineare composto da un generatore di tensione Veq in serie con una resitenza
Req, come mostrato in figura 27.
Tale circuito viene spesso indicato con la locuzione di generatore equivalente di Thevenin.
Ciò significa che il generatore equivalente di Thevenin presenta, alla coppia di poli considerata, lo stesso
legame tensione-corrente presentato dalla rete elettrica originaria. Pertanto, il circuito di Thevenin e la
rete data sono equivalenti.
pag. 17
Elementi di analisi delle reti elettriche
La resistenza di Thevenin Req è la resistenza offerta dall'intera rete, oppure, il che è equivalente, è la
resistenza "vista" alla coppia di morsetti considerata guardando verso la rete (o la porzione di circuito) di
cui si vuole ricavare l'equivalente. La tensione Veq è invece la tensione a vuoto tra tali morsetti.
Il valore di Req si determina annullando gli effetti di tutti i generatori presenti nella rete data e calcolando
quindi la resistenza equivalente alla coppia di morsetti considerata della rete puramente resistiva così
ottenuta.
Il valore di Veq si determina invece calcolando la tensione a vuoto presente alla coppia di morsetti
considerata.
Si tenga presente che una stessa rete elettrica, "vista" da coppie diverse di suoi capi, risulta equivalente
a differenti circuiti di Thevenin.
9.6.1 L'applicazione del teorema di Thevenin a una parte di circuito
Talvolta, per snellire l'analisi di una struttura circuitale complessa, può essere conveniente semplificarne
la topologia determinando l'equivalente di Thevenin di una o più parti del circuito che si sta analizzando.
Ciò è possibile "scollegando" la porzione di circuito che interessa e calcolandone quindi, separatamente,
cioè come circuito a sé stante, l'equivalente di Thevenin.
9.6.2 L'applicazione del teorema di Thevenin a circuiti contenenti generatori
comandati
Nei circuiti in cui sono presenti uno o più generatori dipendenti conviene applicare il teorema di Thevenin
svolgendo la seguente procedura.
Si calcola
Veq
usando i vari metodi di analisi (come le leggi di Kirchhoff ed il principio della
sovrapposizione degli effetti) e si calcola
•
•
•
•
•
Req con i seguenti tre passi:
si annullano tutti i generatori presenti nel circuito tranne quelli pilotati;
si applica ai morsetti, rispetto ai quali deve essere determinato l'equivalente di Thevenin, un
generatore di tensione nota V;
si verifica se tale generatore impone oppure no nel circuito la presenza della grandezza (tensione
o corrente) che comanda il generatore dipendente;
se tale grandezza è presente, il relativo generatore dipendente deve essere considerato nel
calcolo di Req. Altrimenti il generatore dipendente deve essere annullato con le solite modalità
(aperto se di corrente, cortocircuitato se di tensione);
infine si calcola Req come rapporto tra la tensione V del generatore noto applicato esternamente
e la corrente I erogata da questo stesso generatore. Ciò significa che:
Req = V/I
10. Segnali elettrici
Un segnale elettrico è la variazione di tensione tra due punti di una rete o la variazione di corrente
all'interno di un conduttore. Il concetto di segnale, in elettronica, assume un significato particolarmente
importante in quanto esso può rappresentare un veicolo di informazione. Facciamo un esempio.
Consideriamo il segnale elettrico prodotto da un sensore di temperatura come l'AD 590. Si tratta di un
sensore che fornisce una corrente di
1µ A
per ogni grado kelvin assunto dalla temperatura dell'ambiente
nel quale la sonda è immersa. Se, per esempio, l'ambiente si trova a
20°C, la sonda fornirà una corrente
di 293 µA (293 °K, infatti, corrisponde a 20°C). Quindi, dalla misura di questa corrente, noi avremo
l'informazione relativa al valore della temperatura assunto dall'ambiente.
pag. 18
Elementi di analisi delle reti elettriche
Se poi riportiamo in un riferimento cartesiano la successione di
queste misure con gli istanti di tempo in cui queste sono state
effettuate abbiamo quella che viene definita forma d'onda del
segnale (la figura 28 è un esempio di segnale di tensione).
Il ruolo svolto da un segnale elettrico quale veicolo di
informazione può essere maggiormente rimarcato e, per così
dire, esteso all'ambito delle comunicazioni sociali. Supponiamo,
infatti, di prendere in considerazione due persone che si trovano in due ambienti diversi e che intendono
comunicare fra loro. Nell'ambiente dove risiede
il primo individuo c'è un generatore di tensione
collegato ad un resistore variabile. La serie di
questi due bipoli viene poi estesa fin verso il
secondo ambiente – dove risiede il secondo
individuo - e collegata ad un amperometro
(vedi figura 28a). Si viene così a stabilire un
sistema di comunicazione. Il primo individuo,
facendo variare la resistenza offerta dal
resistore variabile, impone nel circuito la
circolazione di una corrente di volta in volta
differente. E così, il secondo individuo,
leggendo sullo strumento il valore della nuova
corrente, potrebbe associare, secondo un
codice che i due dovrebbero aver prima
concertato, un significato di volta in volta
diverso.
E' utile a questo punto aggiungere un'ulteriore considerazione: se di un segnale elettrico si conosce in
anticipo il valore che esso assumerà questi, in realtà, non è portatore di alcuna informazione. Un segnale,
quindi, per essere tale dovrebbe innanzitutto essere sconosciuto. Nell'ambito della disciplina
dell'elettronica, però, è invalso l'uso di denominare segnale qualunque forma d'onda: nota a priori o
meno. Ed anche noi ci avvarremo di tale uso. Per distinguere queste due classi di segnali si usa
aggiungere un aggettivo. Sono determinati, quei segnali la cui evoluzione nel tempo è nota a priori (se ne
conosce la legge matematica o si dispone di una tabella di valori o di un grafico); sono invece
indeterminati o aleatori o stocastici quelli il cui andamento nel tempo non è conosciuto a priori.
10.1 Classificazione dei segnali
Vi sono segnali periodici e segnali non periodici. I primi sono
tutti quei segnali che ripetono il proprio andamento temporale in
successivi intervalli eguali di tempo. Ognuno di questi intervalli è
denominato periodo e viene indicato con il simbolo T. Il periodo,
che rappresenta un intervallo di tempo, si misura in secondi. In
figura 29 vi è qualche esempio di segnale periodico. Un'altra
grandezza associata ai segnali periodici è la frequenza. Essa
rappresenta il numero di oscillazioni complete che il segnale
compie nell'unità di tempo. Si misura in hertz (Hz) ed è legata
al periodo dalla relazione:
f = 1/T
Evidentemente per i segnali non periodici non è possibile
affermare la stessa cosa. Sono certamente non periodici tutti i
segnali
aleatori
(vedi figura 30).
Ma vi sono anche segnali non aleatori, cioè determinati,
che sono però non periodici. Un esempio è costituito dai
segnali a gradino, a rampa o esponenziale che
analizzeremo in un paragrafo successivo.
pag. 19
Elementi di analisi delle reti elettriche
Un'altra caratteristica di classificazione dei segnali è la
direzionalità. I segnali possono essere bidirezionali (o bipolari) e
unidirezionali (o unipolari). E' bidirezionale un segnale la cui forma
d'onda assume nel tempo sia valori positivi che valori negativi.
Esempi di segnali bidirezionali sono quelli della figura 29. Nella
figura 31, invece, vi sono segnali unidirezionali.
Oltre a caratteristiche qualitative vi sono anche parametri
quantitativi che caratterizzano un segnale. Il valore di picco, tra
questi, rappresenta il massimo valore che il segnale raggiunge in
un periodo. Se è una tensione lo si indica con Vp e con Ip se è una
corrente. Il valore di picco massimo che il segnale assume in un
periodo viene anche indicato con il simbolo VMAX (IMAX se è una
corrente). Mentre il valore di picco minimo viene indicato con
VMIN (IMIN se è una corrente). La differenza tra il valore di picco
massimo ed il valore di picco minimo viene anche chiamato valore
di picco-picco.
Il valor medio di un segnale rappresenta il valore che il segnale "mediamente" assume in un certo
intervallo di tempo (t1, t2), con t1<t2, ed è così definito:
(15)
La figura 32 mostra il significato geometrico
del valor medio. Cerchiamo di comprenderlo
meglio. Sappiamo, dall'analisi matematica, che
l'espressione:
rappresenta l'area che la funzione v(t) sottende
con l'asse delle ascisse (in questo caso si tratta
dell'asse t). Quest'area, nella figura 32, è
formata, a sua volta, da due aree più piccole:
una positiva, relativa all'intervallo (t1, t3), e
l'altra negativa, relativa all'intervallo (t3, t2). La somma algebrica di queste due aree è proprio ciò che
abbiamo indicato con S. Confrontiamo ora quest'area con quella del rettangolo, che in figura 32, ha per
base l'intervallo (t1, t2) e per altezza Vm. Imponiamo che l'area di questo rettangolo sia equivalente ad S.
Da tale posizione, quindi, deriva che:
S = (t2 - t1) Vm
Vm rappresenta l'ordinata che moltiplicata
per il segmento (t2 - t1) fornisce un'area che è uguale a quella individuata da v(t) nell'intervallo (t1, t2).
Da cui la definizione di valor medio. Quindi, geometricamente,
Il valor medio, quindi, è la media aritmetica di tutti i valori che
Ora, essendo
v(t) una
v(t)
assume nell'intervallo considerato.
funzione continua, il metodo classico per il calcolo della media aritmetica non è
applicabile (dovremmo sommare tutti i valori che v(t) assume nell'intervallo (t1, t2) e dividerli per il
numero complessivo di tali valori). L'analisi infinitesimale ci viene quindi in aiuto fornendoci, per tale
calcolo, la relazione (15).
Per i segnali periodici il calcolo del valor medio viene eseguito in un intervallo di tempo che coincide con il
periodo T (è la scelta più naturale). Per cui la (15) diviene:
(16)
pag. 20
Elementi di analisi delle reti elettriche
Spesso il valor medio viene anche chiamato componente
continua oppure offset.
Una particolare categoria di segnali impiegata in elettronica è
quella dei segnali alternati (o alternativi). Si tratta di segnali
a valor medio nullo. Un esempio è rappresentato dai due
segnali di figura 33.
Un altro parametro quantitativo usato per caratterizzare i
segnali elettrici è il valore efficace (o rms - root mean square
-). Esso è definito come quel valore continuo (perciò costante
nel tempo) che applicato ad una resistenza di valore noto
produce la stessa dissipazione di potenza prodotta dal
segnale variabile applicato alla medesima resistenza e per un
eguale intervallo di tempo. Matematicamente lo si calcola con
la formula:
(17)
Facciamo un esempio. Prendiamo un resistore di valore pari a
10Ω. Applichiamo un segnale di tensione variabile, v(t), il cui
valore efficace, calcolato con la (17), supponiamo sia pari a
2.2V. Ora calcoliamo la potenza dissipata dal resistore:
P = V2/R = 0.484 W
Supponiamo, inoltre, che tale tensione venga applicata per
tempo sarà pari a:
20s.
L'energia spesa in questo intervallo di
∆W = P ∆t = 0.484 · 20 = 9.68 J
Questa è l'energia spesa sul resistore, nell'intervallo di tempo considerato, dal segnale variabile. La
stessa energia verrebbe spesa se applicassimo ai capi dello stesso resistore, per un egual durata di
tempo, una tensione costante di valore pari a 2.2V. Il valore efficace è quindi un equivalente termico.
10.2 I principali segnali periodici (canonici)
10.2.1 Il segnale sinusoidale
E' probabilmente il segnale più usato in elettronica. Lo si può immaginare come l'insieme delle proiezioni
sull'asse delle ordinate di un vettore di ampiezza Vp che ruota in senso antiorario a velocità (angolare)
costante. Indichiamo con
ω
tale velocità, espressa in rad/s, e con α l'angolo che il vettore,
istantaneamente, forma con l'asse
delle ascisse.
Riportiamo in un grafico cartesiano
l'insieme delle proiezioni determinate
dal vettore rotante corrispondenti agli
angoli a formati dal vettore con l'asse
orizzontale (vedi figura 34). La forma
d'onda che si ottiene è proprio il
segnale
sinusoidale.
La
sua
espressione analitica è:
v(t) = Vp sinα
pag. 21
Elementi di analisi delle reti elettriche
con
α
espresso in gradi o in radianti. Ma dove sta il tempo
al tempo t. Se il vettore ruota con velocità angolare
questa volta con
α espresso
t in questa relazione? Vediamo come legare α
ω vuol dire che:
in radianti dal momento che la velocità angolare ω viene espressa in rad/s.
Da questa relazione possiamo ricavare
α:
α = ωt
e sostituire tale relazione nella
v(t):
v(t) = Vp sin ωt
che chiarisce in che modo v dipende dal tempo. La velocità angolare ω viene anche indicata con la
locuzione pulsazione angolare. Ed ora occorre far vedere il legame tra la pulsazione angolare, la
frequenza ed il periodo.
Il vettore, nella sua rotazione, per fare un giro completo impiega un tempo pari al periodo T. Dal
momento che ω è una velocità costante possiamo scriverla considerando per
di valori. Possiamo, ad esempio, considerare per
a coprire tale angolo:
α
un angolo giro e per
t
α
e
t una qualunque coppia
il tempo impiegato dal vettore
Inoltre, dal momento che il periodo è l'inverso della frequenza, possiamo ulteriormente scrivere:
Se il vettore rotante all'istante t = 0 si trova in una posizione diversa da quella indicata in figura 34 e
forma con l'asse delle ascisse un angolo, che chiamiamo φ, l'espressione analitica del corrispondente
segnale sinusoidale diviene:
v(t) = Vp sin ωt + φ)
l'angolo φ, che si esprime in radianti, viene indicato
come fase iniziale (o, più brevemente, fase) del
segnale sinusoidale.
Graficamente la figura 35 mostra l'andamento di un
tale segnale.
In conclusione, per poter determinare univocamente
un segnale sinusoidale occorre conoscere: l'ampiezza
(o il picco), il periodo (o la frequenza, o la pulsazione
angolare) e la fase iniziale.
Si può dimostrare, infine, che per un segnale
sinusoidale alternato il valor medio è nullo ed il valore
efficace è:
pag. 22
Elementi di analisi delle reti elettriche
10.2.2 Il segnale impulsivo
E' un segnale a due livelli, uno nullo ed un
altro positivo o negativo. La figura 36 mostra
un segnale impulsivo. Si notano i due livelli,
uno positivo e l'altro nullo, il periodo T e la
durata dell'impulso indicata con tw.
Per questo tipo di segnali viene specificato
un parametro, il duty-cycle, espresso come
rapporto tra la durata del livello alto ed il
periodo:
Il duty-cycle, che è una grandezza
adimensionale, essendo un rapporto tra due
grandezze omogenee, viene anche espresso
in percentuale.
Per caratterizzare un segnale impulsivo reale vengono introdotti alcuni parametri che danno una misura
del tempo che la forma d'onda impiega per passare dal livello basso (lo zero) al livello alto e viceversa.
Facciamo riferimento alla figura 37, nella quale è rappresentato un segnale impulsivo di ampiezza Vp e
periodo
T.
Il tempo di salita, tr (rise time), è il tempo che il segnale impiega per passare dal 10% al 90% del suo
valore finale (ossia Vp).
Il tempo di discesa, tf (fall time), è il tempo che il segnale impiega per passare dal 90% al 10% del suo
valore finale (ossia Vp).
Anche la durata dell'impulso, già indicata con tw, deve essere riformulata dal momento che i fronti di
salita e di discesa del segnale non sono più verticali. Essa corrisponde all'intervallo di tempo che
intercorre tra l'istante in cui il segnale assume il 50% del valore finale passando dal livello inferiore a
quello superiore, e l'istante in cui il segnale assume il 50% del valore finale passando dal livello superiore
a quello inferiore.
I concetti di tempo di salita e tempo di discesa non sono riferibili solo ai segnali impulsivi. Essi vengono
applicati per qualunque altro tipo di segnale.
Si può dimostrare che il valor medio di un segnale impulsivo è:
e quello efficace:
pag. 23
Elementi di analisi delle reti elettriche
10.2.3 Il segnale ad onda quadra
E' un segnale a due livelli che hanno la stessa durata. Può essere a valor medio nullo, cioè alternato,
oppure con valor medio diverso da zero.
La figura 38 mostra entrambi i tipi di segnale
ad onda quadra: quello alternato e quello
unidirezionale.
Il valore efficace di un segnale ad onda
quadra alternato è pari a Vp. Il valor medio
di un segnale ad onda quadra unidirezionale
è pari alla metà del valore di picco.
10.2.4 Il segnale ad onda triangolare
La
figura
39
illustra il segnale
triangolare
in
forma alternata ed
in
forma
unidirezionale. Il
valor medio del
segnale alternato
è, per definizione,
nullo. Il valore
efficace, invece, si
può
dimostrare
che vale:
Il valor medio di un segnale ad onda triangolare unidirezionale è pari alla metà del valore di picco.
10.2.5 Il segnale a denti di sega
Fa parte dei segnali triangolari. Il segnale a denti di sega è costituito da un segnale che cresce
linearmente e poi, arrivato ad un certo valore, scende bruscamente – idealmente in modo verticale – a
zero o ad un valore
negativo per poi
riprendere
a
crescere
linearmente con la
stessa pendenza.
La figura 40 mostra
il segnale a denti di
sega
in
forma
alternata
e
unipolare.
Anche
qui, come per il
caso del segnale
triangolare, il valor
medio del segnale
alternato è nullo. Il valore efficace si calcola con la medesima formula utilizzata per il segnale triangolare.
pag. 24
Elementi di analisi delle reti elettriche
10.2.6 Il calcolo del valore efficace per segnali canonici non alternati
Per ricavare i valori efficaci dei segnali canonici non alternati si deve utilizzare la formula generale (17)
(pag. 21). Diversamente è possibile utilizzare la seguente formula:
(18)
dove con
Voeff si intende il valore efficace del corrispondente segnale alternato. Facciamo un esempio.
Consideriamo il segnale unipolare ad onda quadra di fig. 38. Supponiamo che esso abbia:
VM = 5 V e Vm = 2.5V.
Per calcolare il valore efficace di tale segnale possiamo applicare la (18). Prima, però, occorre valutare
Voeff.
Il corrispondente segnale alternato è un segnale ad onda quadra ottenuto dal segnale di partenza
al quale va sottratto il suo valor medio. E' quindi un segnale con ampiezza pari a
efficace è pari a 2.5 V. Pertanto:
2.5V.
Il suo valore
Allo stesso risultato si poteva pervenire considerando tale segnale come impulsivo con duty-cycle del
50%. Per tale tipo di segnale il valore efficace si calcola con la:
10.3 I principali segnali non periodici
Molto usati, in elettronica, sono anche alcuni segnali non periodici. In particolare essi sono il segnale a
rampa, quello a gradino e l'esponenziale.
10.3.1 Il segnale a rampa
Il segnale a rampa è un segnale nullo per t<0 e ascendente o
discendente con legge lineare e passante per l'origine per
t>0. La figura 41 mostra il segnale a rampa positiva (o
crescente). La sua equazione, per t>0, è quella di una retta
passante per l'origine ed avente coefficiente angolare positivo.
Quindi:
con:
dove T è un
generico istante
di tempo e v(T)
è il valore che la rampa assume in corrispondenza di
quell'istante.
t = 1ms
5V la sua equazione sarà:
Facciamo un esempio. Se all'istante
assume il valore di
la rampa
in quanto il coefficiente angolare vale:
pag. 25
Elementi di analisi delle reti elettriche
La rampa può anche essere negativa, come quella mostrata in figura 42, ed in questo caso anche il suo
coefficiente angolare sarà negativo.
10.3.2 Il segnale a gradino
Il segnale a gradino può essere unitario o di ampiezza diversa da 1. Può essere in salita o in discesa. Il
segnale a gradino unitario in salita (spesso indicato u(t) ed
illustrato in figura 43) vale:
0
1
per t<0
per t>0
Il segnale a gradino unitario, in discesa, vale:
1
0
Il segnale a gradino di ampiezza generica
(vedi figura 44):
per t<0
per t>0
VM,
in salita, vale
0
per t<0
VM per t>0
Il segnale a gradino di ampiezza generica
VM, in discesa, vale:
VM per t<0
0
per t>0
Il segnale a gradino di ampiezza generica si ottiene dal segnale a gradino unitario moltiplicando
quest'ultimo per il valore dell'ampiezza:
v(t) = u(t) VM
10.3.3 Il segnale esponenziale
Molti sono i fenomeni, in fisica, che sono caratterizzati da un andamento esponenziale crescente o
decrescente. E' il caso, ad esempio, della tensione ai capi di un condensatore che si carica attraverso una
batteria ed un resistore (esponenziale crescente); o, sempre
di un condensatore che, inizialmente carico ad una certa
tensione, si scarica su un resistore (esponenziale
decrescente).
La ragione del nome attribuito a questo segnale deriva dal
fatto che la funzione utilizzata per descrivere tale segnale è
proprio la funzione esponenziale:
y = ex
la cui curva è riportata in figura 45.
pag. 26
Elementi di analisi delle reti elettriche
La base e corrisponde alla costante di Nepero (o di Eulero), è un numero irrazionale, usato quale base dei
logaritmi naturali, e vale:
e = 2.7182818…
Dal grafico si vede che la funzione è sempre positiva, tende a zero per x tendente a x che tende a + . Interseca l'asse delle ordinate nel punto y = 1.
e tende a +
per
La figura 46 mostra il grafico di una tensione
esponenziale crescente la cui equazione è:
V0 rappresenta il valore limite della tensione per t
che tende ad infinito;
è invece una costante, che
ha le dimensioni di un tempo, e rappresenta il
tempo necessario all'esponenziale per raggiungere il
valore del 63% circa del valore finale V0. Si può far
vedere che dopo un tempo pari a 5 volte la costante
di tempo la v(t) è praticamente uguale a V0.
La figura 47 mostra il grafico di una tensione
esponenziale decrescente la cui equazione è:
V0
rappresenta il valore iniziale della tensione,
quindi per t=0. Anche qui è una costante, che ha le
dimensioni di un tempo, e rappresenta il tempo
necessario all'esponenziale per raggiungere il valore
del 37% circa del valore iniziale V0. Anche in questo
caso si può far vedere che dopo un tempo pari a 5
volte la costante di tempo la v(t) è praticamente
uguale a zero.
Approfondimento
Dimostrazione della formula per il calcolo del valore efficace di un
segnale periodico qualunque.
Vogliamo qui dimostrare la formula per il calcolo del valore efficace di un segnale periodico qualunque
(formula 18, pag. 25). Un segnale, quindi, con componente continua Vm diversa da zero.
v(t) sia un segnale periodico avente una componente continua che indichiamo
v0 il corrispondente segnale privo di componente continua. Si avrà, quindi:
Supponiamo che
Indichiamo con
con
Vm,
v(t) = v0(t) + Vm
pag. 27
Elementi di analisi delle reti elettriche
Calcoliamo il valore efficace di tale segnale applicando la formula 16 (pag. 21):
che possiamo anche riscrivere nella forma:
Il primo integrale corrisponde al quadrato del valore efficace di
2
sviluppato, conduce a Vm . Quindi:
V0 –
che chiameremo
V0eff
- ed il terzo,
Si può ora far vedere che l'integrale sotto radice è nullo. Infatti:
in quanto, per ipotesi,
v0 è un segnale alternato e quindi il suo integrale, nel periodo, è nullo.
Annullando, quindi, l'integrale sotto radice si ottiene la (18):
pag. 28