Unità Le 1 frazioni e i numeri decimali GLI ESERCIZI 1 Indica, segnando con una crocetta, quali delle seguenti divisioni hanno il quoziente nell’insieme N e quali nell’insieme Q+: N Q+ N Q+ 3 __ ✗ 3 : 8 = ......... ✗ 8 9 __ ✗ 9 : 11 = ......... ✗ 11 26 ✗ 26 : 32 = ......... ✗ __ 32 9 ✗ ✗ 72 : 8 = ......... 8 8 : 10 = ___ 10 9 54 : 6 = ......... 7 49 : 7 = ......... 6 __ 6 : 9 = ......... 9 2 Completa la tabella inserendo in modo corretto i seguenti numeri: __ 19,330, 5 __ 1024,0 6 Numero naturale 16 432 Numero decimale limitato 16 19,3 __ 17,413 __ 51,8 __ 15,7 174,3 4150,3 54,632 ___ Numero decimale illimitato periodico semplice periodico misto 30,517,413 10 174,3 15,7 24,06 432 4150,3 51,8 54,632 Giochiamo insieme Un tronco d’albero è stato tagliato a fette per fini scientifici. Qual è la frazione che manca? soluzioni a pag. 138 3 Unità Le 1 frazioni e i numeri decimali GLI ESERCIZI 1 Stabilisci, senza eseguire il calcolo, se le seguenti frazioni generano un numero naturale, decimale limitato o decimale illimitato (periodico semplice o misto): 6 ___ 20 ................................................................................................................................................................................................... 14 ___ decimale illimitato (p. semplice) ................................................................................................................................................................................................... 6 decimale limitato 18 ____ decimale limitato ................................................................................................................................................................................................... 100 16 ___ decimale illimitato (p. semplice) ................................................................................................................................................................................................... 26 ___ decimale illimitato (p. misto) ................................................................................................................................................................................................... 34 ___ decimale illimitato (p. misto) ................................................................................................................................................................................................... 8 ___ decimale illimitato (p. misto) ................................................................................................................................................................................................... 54 44 24 90 74 ____ decimale illimitato (p. misto) ................................................................................................................................................................................................... 108 22 ____ decimale illimitato (p. misto) ................................................................................................................................................................................................... 120 7 ___ 25 decimale limitato ................................................................................................................................................................................................... 2 Completa la tabella indicando il periodo e l’antiperiodo dei seguenti numeri decimali periodici: Numero __ 14,5 __ 26,08 ___ 14,072 __ 36,008 ____ 1210,24618 ____ 0,00563 ____ 216,23156 __ 34,4 Periodo Antiperiodo 5 – 8 0 72 0 8 00 618 24 563 00 156 23 4 – 5 generatrice 3 Frazione di un numero decimale LA TEORIA Per trasformare un numero decimale limitato in una frazione, si scrive a numeratore il numero naturale che si ottiene togliendo la virgola (senza scrivere gli zeri) e a denominatore si scrive 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato: 2643 43 2,643 = _____ 0,43 = ____ 100 1000 Per trasformare un numero decimale periodico semplice in una frazione, si scrive a numeratore la differenza fra tutto il numero dato, senza la virgola, e la sua parte intera e a denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo: ___ _____ 509 514 – 5 3215 = ____ 0, 3215 = _____ 5,14 = ________ 99 99 9999 Per trasformare un numero decimale periodico misto in una frazione, si scrive a numeratore la differenza fra tutto il numero dato, scritto senza la virgola, e tutta la parte che precede il periodo, senza la virgola e a denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo: ___ ___ 6437 – 64 _____ 6373 32 = = 0,08 6,437 = __________ 990 990 832 – 8 824 ________ = _____ 9900 9900 GLI ESERCIZI 1 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali: 1534 5435 543,5 = ................................................................................ 15,34 = ____ ____ 100 10 46 191 216 ______ 0,046 = ____ ................................................................................ 19,1216 = ........................................................................... 1000 10 000 2 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali periodici: __ __ 534 − 53 1113 1236 − 123 ____ 481 ___ 123, 6 = .._________ .............................................................................. 53,4 = ________ = ..................................................... = = 9 9 9 9 ___ ___ 1602 8758 8846 − 88 ____ 1618 − 16 ____ _________ 16,18 = .._________ ............................................................................... 88,46 = ............................................................................... = = 99 99 99 99 3 Trasforma in frazione i seguenti numeri decimali periodici misti: ___ ___ 7315 − 73 ____ 6172 6234 − 62 ____ _________ = 7242 ................................................ 6,234 = ................................................................................ 7,315 = _________ = 990 990 990 990 __ ___ 29 307 32 563 − 3256 _____ 61261 − 612 60 649 __________ 32,563 = ............................................................................. 83,261 = ............................................................................. ___________ = = _____ 900 990 900 990 6 si approssima 4 Come un numero decimale Le Unità 1 frazioni e i numeri decimali LA TEORIA Un numero decimale può avere molte cifre dopo la virgola e, nel caso di numeri periodici, addirittura infinite. Per eseguire i calcoli con i numeri decimali è necessario tenere conto solo di alcune cifre decimali. Si considerano quindi dei valori approssimati. A seconda delle cifre considerate dopo la virgola si parla di approssimazione: •ai decimali (0,1) se si considera la prima cifra dopo la virgola; •ai centesimi (0,01) se si considerano le prime due cifre dopo la virgola; •ai millesimi (0,001) se si considerano le prime tre cifre dopo la virgola. Per approssimare correttamente un numero decimale è necessario verificare il valore della prima cifra trascurata: • se questa ha valore minore o uguale a 5 ci si ferma alla cifra dei decimali voluta senza modificarla; • se questa ha valore maggiore di 5 si aumenta di una unità la cifra dei decimali cui ci si ferma. Nel primo caso si parla di approssimazione per difetto, nel secondo di approssimazione per eccesso. Per esempio, se si vuole approssimare ai decimi il numero 5,328 si scrive: 0,1 5,3 5,328 approssimazione per difetto perché la prima cifra trascurata (2) è minore di 5 e non si modifica nulla cifra < 5 Se si vuole approssimare ai centesimi il numero 7,348 si scrive: 7,348 0,01 7,35 cifra > 5 approssimazione per eccesso perché la prima cifra trascurata (8) è maggiore di 5 e si aggiunge 1 unità alla cifra dei centesimi (in questo caso) GLI ESERCIZI 1 Completa la tabella approssimando ai decimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Numero Approssimazione ai decimi Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 6,748 22,396 6,7 22,4 ✗ ✗ 16,278 16,3 ✗ 126,326 126,3 ✗ 7 4 Come si approssima un numero decimale 2 Completa la tabella approssimando ai centesimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Numero 11,2852 Approssimazione ai centesimi Approssimazione per difetto __ 26,6592 11,28 ✗ 26,66 18,2321 18,23 ✗ 64,37 ___ 64,3695 Approssimazione per eccesso ✗ ✗ 3 Completa la tabella approssimando ai millesimi i seguenti numeri decimali e indica con una crocetta il tipo di approssimazione: Approssimazione ai millesimi Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 4,686 ✗ 618,343 ✗ 178,29985 16,78653 178,300 16,786 ✗ Numero 4,68593 __ 618,34332 ✗ 4 Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali e approssima questi ultimi ai decimi: – 2 ___ = 0,13 → 0,1 15 18 0,45 → 0,4 ___ = ................................................................................................................................................................................................... 40 50 2,27 → 2,3 ___ = .................................................................................................................................................................................................. 22 16 0,53 → 0,5 ___ = ................................................................................................................................................................................................... 30 86 2,38 → 2,4 ___ = .................................................................................................................................................................................................. 36 14 0,194 → 0,2 ___ = ................................................................................................................................................................................................... 72 5 Svolgi i seguenti calcoli e approssima il risultato ai centesimi: (1,6 + 3,04) × 0,6 = 4,64 × 0,6 = 2,78 .............................................................................................................................................................. 2,25 × 3,6 = 8,10 (2 − 0,5 + 0,75) × 3,6 = .................................................................................................................................................... 6 Approssima ai centesimi i numeri decimali, svolgi i calcoli e approssima il risultato ai decimi: __ __ __ ___ __ × 3 − 0,84 = 3,5 (0,615 + 0,33 + 0,5) × 3 − (0,23 + 0,512 + 0,1 ) = ..1,44 ................................................................................... __ __ __ 3 + 1,25 + 0,70 = 4,9 3 + (0,75 + 0,5) + (0,26 + 0,43 ) = ........................................................................................................................... 8 Unità L'angolo del problema 1 1 Calcola il valore approssimato ai decimi della seguente espressione: __ __ __ __ 9,2 − (0,3 + 3,5 − 1,2 ) × 1,5 × 1,3 + 0,6 = Ti do una mano... Trasformiamo in frazione tutti i numeri decimali: ( 9 ) 3 11 15 12 6 ...... ...... ...... ...... 3 35 − ...... 92 ___ − ___ × ___ − __ + _______ × ___ + ___ = 10 9 9 ...... 10 ...... 9 ...... 10 Semplifichiamo dove possibile: ( ) 32 ...... 11 3 1 ...... 4 2 ...... 3 ...... 46 1 ...... − ___ + ___ × ___ + ___ = × ___ ___ − __ ...... 9 9 2 1 ...... 3 1 ...... 5 5 3 Svolgiamo i calcoli: ) 24 8 ............ 67 3 138 − 80 + 9 __ 3 46 16 __ 46 = = 4,5 + = _____________ 2 + __ = __ − __ × ................................................................................................................................................................... ___ − _____ 5 5 5 93 3 15 5 15 ( ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ [4,5] 2 Calcola il valore approssimato ai centesimi della seguente espressione: __ __ __ __ __ (0,31 + 0,15 ) : (0,85 − 0,16 ) + 1 − 0,4 Prova da solo! 28 ( 90 14 90 77 ) ( 90 15 90 ) 4 9 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ __ + __ : __ − __ + 1 − __ = ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 62 ) ( 90 ) ( 90 90 1 62 31 42 4 42 4 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ __ : __ + 1 − __ = __ × __ + 1 − __ = 21 9 90 1 9 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 189 + 279 − 124 279 344 21 4 ______________ __ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ + 1 − __ = = ___ = 1,23 31 9 279 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ [1,23] 9