Meccanismi di trasporto del calore

Corso di fisica generale con elementi
di fisica tecnica
Aniello (Daniele) Mennella
Dipartimento di Fisica
Secondo modulo – Parte seconda
(fondamenti dei fenomeni di trasporto del calore)
Lezione 5
Meccanismi di trasporto del calore
Aniello Mennella
Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica
A.A. 2013-2014
Sommario
Abbiamo visto che il calore è l'energia che viene trasferita fra due corpi quando fra essi
esista una differenza di temperatura. Abbiamo anche visto come sia possibile calcolare
quest'energia in condizioni di equilibrio o flusso in stato stazionario.
In questa parte ci occupiamo di studiare i meccanismi con cui il calore viene trasferito.
Questi meccanismi sono di tre tipi, ognuno dei quali si basa su un particolare
meccanismo fisico
●
Trasporto per conduzione
●
Trasporto per convezione
●
Trasporto per irraggiamento
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Fenomeni di trasporto del calore
Trasporto per conduzione
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Osservazioni empiriche
●
●
●
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Immaginiamo di scaldare una sbarra di metallo a
un'estremità e di misurare la temperatura in vari
punti della sbarra. Osserveremo che la
temperatura si alzerà fino a raggiungere un profilo
che rappresenta l'equilibrio fra l'energia che
forniamo con la fiamma e la dissipazione
nell'ambiente.
All'interno della sbarra il calore viene trasportato
dall'estremità calda a quella fredda. Ci
domandiamo: qual è il meccanismo alla base di
questo trasporto?
La temperatura è legata al movimento termico
degli atomi del materiale. Quando noi scaldiamo
l'estremità della sbarra gli atomi aumentano la
velocità del loro movimento termico e
trasmettono questa energia cinetica agli atomi
vicini che, a loro volta aumentano la loro
velocità.
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Osservazioni empiriche
●
temperatura
T1
temperatura
T2
Sperimentalmente si osserva che la potenza
termica trasferita per conduzione,
(cioè
la variazione di energia termica nell'unità di
tempo), ha le seguenti caratteristiche:
1. È direttamente proporzionale alla differenza di
temperatura, ΔT (T2  T1), fra le due estremità
2. È direttamente proporzionale alla sezione, A, del
materiale attraverso il quale si propaga il calore
3. È inversamente proporzionale allo spessore, Δx,
del materiale attraverso il quale si propaga il
calore
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La legge di conduzione termica (legge di Fourier)
●
temperatura
T1
detta anche legge di Fourier del trasporto del
calore
temperatura
T2
●
●
●
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Possiamo quindi scrivere la seguente relazione:
La costante k è detta conducibilità termica del
materiale che misura la capacità di un materiale
di condurre il calore
Il segno “–” va messo per fare in modo che
risulti una quantità positiva.
Per Δx → 0 otteniamo la forma differenziale
della legge di Fourier
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Conducibilità termica
●
Se ricaviamo la conducibilità termica
dalla legge di Fourier otteniamo
da cui risulta che le unità di misura di k
sono W m-1 °C-1
●
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Come il calore specifico rappresenta la
capacità di un materiale di
immagazzinare energia termica, così la
conducibilità termica rappresenta la
capacità di un materiale di trasportare
energia termica
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Conducibilità termica
Cristallo
Conduttori
●
●
Isolanti
●
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La conducibilità termica dei materiali
varia su molti ordini di grandezza
In generale i materiali elettricamente
conduttori, come il rame, l'argento, l'oro
ecc., sono anche buoni conduttori
termici, molto migliori rispetto a materiali
isolanti come il vetro, la plastica, ecc.
I materiali cristallini, come il diamante
possono essere dotati di un'elevata
conducibilità termica, pur non essendo
buoni conduttori elettrici.
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Conducibilità termica nei gas
Nei gas il calore viene trasportato da due
meccanismi: gli urti delle molecole che si
muovono per moto traslazionale, vibrazionale e
rotazionale e la diffusione di molecole con
velocità maggiore nella direzione di quelle con
velocità minore.
Quando due molecole con diversa energia cinetica collidono, parte
dell'energia cinetica della molecola con energia maggiore viene trasferita a
quella con energia minore.
●
●
●
●
Poiché la temperatura è la misura dell'energia cinetica delle molecole il
trasferimento dell'energia cinetica da un punto a un altro del gas si rileva
come una variazione di temperatura
Applicando la teoria cinetica dei gas si può dimostrare che
dove M è la massa molare del gas, n è la densità di molecole e il libero
cammino medio delle molecole nel gas (la distanza media che una molecola
riesce a percorrere senza urtarne un'altra).
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Conducibilità termica nei gas
●
●
Il fatto che la conducibilità termica diminuisce all'aumentare di M si spiega
perché a parità di energia cinetica (temperatura) la velocità quadratica
media delle molecole è inferiore per molecole di massa maggiore
Inoltre la relazione di proporzionalità
ci dice che kgas è
generalmente indipendente dalla pressione. Infatti se aumentiamo la
pressione aumenta la densità delle molecole (il che gioca a favore di un
aumento di kgas) ma diminuisce il libero cammino medio (e quindi ogni
molecola può trasferire energia su un tratto più breve). In questo modo i
due effetti grosso modo si compensano e non si ha dipendenza dalla
pressione.
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Conducibilità termica nei liquidi
●
●
●
●
●
●
Il meccanismo di trasporto del calore nei liquidi è lo
stesso che per i gas (urti e diffusione).
Nei liquidi le forze intermolecolari sono maggiori
che nei gas, il che porta a una maggiore capacità
di condurre il calore
La conducibilità termica dei liquidi assume valori intermedi fra quella dei
solidi e quella dei gas
Come nei gas la conducibilità termica diminuisce all'aumentare della massa
molare
Diversamente dai gas la conducibilità termica diminuisce all'aumentare della
temperatura (con lacune eccezioni, come l'acqua).
Metalli liquidi, come il mercurio, sono i migliori conduttori termici liquidi e sono
utilizzati dove è necessario ottenere un trasporto di calore efficiente in fase
liquida (per esempio negli impianti nucleari)
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Conducibilità termica nei solidi
●
●
●
Nei solidi il calore viene trasportato da due
meccanismi: la vibrazione degli atomi nella
struttura del solido e il movimento degli elettroni
liberi (nei materiali conduttori dove abbiamo degli
elettroni nella banda di conduzione).
Nei conduttori la conducibilità termica è dovuta per la maggior parte agli
elettroni. Questo spiega perché nei metalli conducibilità elettrica e termica
sono fortemente correlate (i migliori conduttori elettrici sono anche migliori
conduttori termici)
Nei materiali cristallini, come il diamante, non abbiamo elettroni in
movimento, ma le vibrazioni collettive degli atomi in una struttura ordinata
causano elevate conducibilità termiche
●
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Le leghe metalliche hanno in generale una
conducibilità termica peggiore che i metalli puri. Questo
perché l'inclusione di una sostanza estranea nel
reticolo atomico aumenta il disordine nella struttura
cristallina e riduce la distanza media di propagazione
dei moti vibrazionali.
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Dati di conducibilità termica
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Dati di conducibilità termica
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Esercizio – dissipazione attraverso un tetto
Il tetto di una casa riscaldata elettricamente la le dimensioni di 6 m x 8 m ed è spesso 25
cm. Il materiale è un cemento don una conducibilità termica k = 0.8 W / m • °C. Le
temperature alle due estremità del tetto misurate nel corso di un periodo di 10 ore durante
una notte sono 15°C e 4°C. Determinare (a) la potenza termica dissipata durante la notte e
(b) il costo relativo assumendo un costo dell'energia elettrica di 0.15 € / kWh
●
La potenza dissipata attraverso il tetto è
data da:
dove A è l'area del tetto e Δx lo spessore
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Esercizio – dissipazione attraverso un tetto
Il tetto di una casa riscaldata elettricamente la le dimensioni di 6 m x 8 m ed è spesso 25
cm. Il materiale è un cemento don una conducibilità termica k = 0.8 W / m • °C. Le
temperature alle due estremità del tetto misurate nel corso di un periodo di 10 ore durante
una notte sono 15°C e 4°C. Determinare (a) la potenza termica dissipata durante la notte e
(b) il costo relativo assumendo un costo dell'energia elettrica di 0.15 € / kWh
●
●
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L'energia dissipata durante la notte, in kWh
è data semplicemente da
Il costo dell'energia dissipata durante le 10
ore è dato da:
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Esercizio – misura della conducibilità
Un modo di misurare la conducibilità
termica dei materiali è rappresentato nella
figura. Due campioni identici del materiale
di cui vogliamo misurare k sono posti uno
sopra l'altro e circondati da materiale
isolante. Fra i campioni si inserisce una
resistenza elettrica e le due estremità sono
collegate a un circuito di liquido che serve
a mantenere la temperatura costante (la
stessa alle due estremità). Due
termocoppie sono inserite nei due
campioni alla stessa distanza (a) dalla
resistenza e misurano la differenza di
temperatura su un tratto L (identico per le
due termocoppie).
Quando si raggiungono condizioni di stato
stazionario la potenza dissipata dalla
conduzione di temperatura è uguale alla
potenza elettrica della resistenza che può
essere calcolata conoscendo la tensione e
la corrente
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Esercizio – misura della conducibilità
5 cm
Campione
Isolante
3 cm
ΔT = 15 °C
Resistenza:
0.4 A, 110 V
3 cm
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ΔT = 15 °C
In un esperimento vogliamo misurare la
conducibilità di due cilindri di 5 cm di
diametro e 10 cm di lunghezza. Le due
termocoppie in ciascun campione sono
posizionate a 3 cm di distanza. Dopo un
transiente iniziale nella resistenza elettrica
scorre una corrente di 0.4 A a 110 V ed
entrambi i termometri differenziali
misurano una differenza di temperatura di
15 °C. Calcolare la conducibilità termica
del campione
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Esercizio – misura della conducibilità
5 cm
Campione
●
Cominciamo a calcolare la potenza
elettrica dissipata dalla resistenza
Isolante
●
3 cm
ΔT = 15 °C
Resistenza:
0.4 A, 110 V
3 cm
●
Ora la potenza si ripartirà equamente
fra i due campioni di materiale, per cui
la potenza termica dissipata da ciascun
campione sarà
Applichiamo la legge di Fourier
ΔT = 15 °C
da cui otteniamo
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Esercizio – misura della conducibilità
5 cm
Campione
●
Risolviamo numericamente
Isolante
3 cm
ΔT = 15 °C
Resistenza:
0.4 A, 110 V
3 cm
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ΔT = 15 °C
Domande possibili a valle del risultato
1. Di che tipo di materiale potrebbe
trattarsi? Un isolante? Un metallo
poco conduttivo? Un buon conduttore
elettrico? Un cristallo?
2. Paragonare il numero ai valori di k di
materiali noti e discutere il paragone
3. Perché abbiamo bisogno di due
campioni? Avremmo potuto fare la
misura con un campione solo? Con
quali svantaggi?
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Capacità termica e diffusività termica
●
●
Richiamiamo il concetto di calore specifico a pressione costante, cp, che
rappresenta la quantità di calore immagazzinata da un corpo della massa di
1 kg quando la sua temperatura si innalza di 1 °C.
Se moltiplichiamo cp per la densità del materiale, ρ, otteniamo quella che
viene definita capacità termica e che indichiamo con Cp. La capacità
termica rappresenta la capacità di un materiale di immagazzinare calore
per unità di volume.
[cp] = J / kg • °C
●
Cp = ρ cp, [Cp] = J / m3 • °C
Il rapporto fra la conducibilità termica e la capacità termica viene definita
diffusività termica e rappresenta la velocità con cui il calore si propaga
all'interno di un materiale.
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Capacità termica e diffusività termica
Diffusività termica
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Conducibilità termica
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Fenomeni di trasporto del calore
Trasporto per convezione
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La convezione
●
●
Quando il calore si viene trasportato grazie al movimento di un liquido o di
un gas si parla di trasporto convettivo.
Se consideriamo, ad esempio, un blocco solido che si raffredda in presenza
di un flusso di aria, il calore viene dapprima trasportato dall'interno verso la
superficie per conduzione e successivamente viene rimosso per
convezione
●
●
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Le molecole di aria in movimento
trasportano l'energia termica sia
grazie al movimento causale delle
molecole del gas (conduzione) che
grazie al movimento fluidodinamico
della massa d'aria
Il movimento dell'aria aumenta
molto l'efficienza del raffreddamento
anche se rende più difficile il calcolo
del trasferimento di calore
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La convezione
●
La convezione può essere naturale, quando il movimento dei fluidi è
determinato dai gradienti termici presenti naturalmente nel sistema, forzata
quando il flusso è instaurato artificialmente (mediante un ventilatore, una
turbina, ecc.)
●
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Anche nei casi in cui vi sia un
cambiamento di fase si ha un
trasporto di calore convettivo (ad
esempio il vapore che sale da una
pentola di acqua che bolle, il
movimento delle gocce di acqua
che condensano su una superficie
fredda).
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La legge di Newton del trasporto convettivo
●
●
Il trasporto di calore per convezione è complesso e dipende fortemente dal
dettaglio delle condizioni di flusso. In generale, comunque, si osserva che
la potenza termica dissipata per convezione è proporzionale al gradiente di
temperatura e alla superficie del solido che attraverso la quale avviene il
trasporto
Possiamo quindi scrivere la legge generale del trasporto convettivo:
dove As e Ts sono l'area e la temperatura della superficie attraverso la
quale avviene il trasporto di calore e T∞ la temperatura in un punto
sufficientemente lontano dalla superficie. La costante h è il coefficiente di
trasporto convettivo (unità di misura: W / m2 • °C).
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Il coefficiente di trasporto convettivo
●
●
●
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Il coefficiente di trasporto convettivo non
è una proprietà intrinseca né del
materiale che dissipa il calore né del
fluido utilizzato per la convezione
Va determinato sperimentalmente e il
suo valore dipende dal tipo di fluido,
dalle condizioni di flusso (laminare o
turbolento), dalla rugosità della
superficie, dalla velocità del flusso, ecc.
Nella tabella vediamo gli intervalli di
variazione tipici di questo coefficiente
per alcuni casi di rilievo
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Il numero di Nusselt
●
Consideriamo il trasferimento di calore fra due superfici (a temperature
T2 > T1) attraverso uno strato di spessore L attraverso il quale vi sia un
flusso di un fluido
●
Il flusso (potenza per unità di superficie)
trasportato per conduzione sarà
●
●
Il flusso trasportato per convezione sarà
Il rapporto fra i due flussi (che viene
definito numero di Nusselt) è
e rappresenta quanto è efficace la
convezione rispetto alla conduzione nel
trasporto di calore
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Convezione in flusso laminare e turbolento
●
●
Il movimento del fluido può avvenire in condizioni di flusso laminare
(quando la velocità degli strati del fluido è regolare e orientata lungo la
direzione del flusso) o turbolento (nel qual caso il fluido si muove di moto
caotico con grande variabilità della velocità del fluido)
Le condizioni di flusso (laminare o turbolento) sono regolate dal rapporto fra
le forze inerziali (determinate dalla velocità) e viscose nel fluido. In generale
si ha flusso turbolento per fluidi poco viscosi e/o che si muovono con
velocità elevata.
●
Questo bilancio è espresso dal numero
di Reynolds
dove ρ e v sono la densità e la velocità
del fluido, Lc la lunghezza caratteristica
del sistema, μ la viscosità.
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Numero di Reynolds e condizioni di flusso
●
In generale possiamo identificare i seguenti tre regimi di flusso sulla base
del numero di Reynolds
Si ha per basse velocità e/o fluidi
molto viscosi
Il flusso è laminare. Il fluido si
muove lungo strati paralleli in
modo ordinato.
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Numero di Reynolds e condizioni di flusso
●
In generale possiamo identificare i seguenti tre regimi di flusso sulla base
del numero di Reynolds
È un regime di transizione in cui le
forze inerziali e quelle viscose
hanno lo stesso peso
Il flusso presenta ancora zone in
cui il moto è laminare ma vi sono
anche regioni in cui si inizia ad
evidenziare turbolenza.
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Numero di Reynolds e condizioni di flusso
●
In generale possiamo identificare i seguenti tre regimi di flusso sulla base
del numero di Reynolds
Il regime è turbolento
Il fluido si muove in modo
disordinato con presenza di zone
vorticose.
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Convezione in flusso laminare e turbolento
●
●
●
Il trasporto di calore attraverso un fluido in condizioni di flusso turbolento è
molto più efficace rispetto al caso di flusso laminare.
Infatti se il flusso è laminare il calore passa da una linea di flusso all'altra
solo per diffusione
Se il flusso è turbolento allora è il fluido stesso che trasporta il calore in
quanto la velocità non è diretta solo lungo la direzione del flusso
Trasporto di calore
perpendicolarmente alla
direzione del flusso solo per
diffusione
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Trasporto di calore
perpendicolarmente alla
direzione del flusso anche per il
movimento del fluido
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Fenomeni di trasporto del calore
Trasporto per irraggiamento
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La radiazione di corpo nero
●
●
●
Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione
elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette).
Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita
viene re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura
assoluta del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della
radiazione assorbita.
Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione
elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono.
Se T è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della
radiazione è di corpo nero.
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La legge di Planck
●
La potenza emessa da un corpo nero (per unità di superficie e
frequenza) in funzione della frequenza è data dalla legge di Planck:
h = 6.62607 x 10-34 J • s (costante di Planck)
k = 1.38065 x 10-23 J / K (costante di Boltzmann)
c = 2.99792458 x 108 m / s (velocità della luce nel vuoto)
●
La funzione B() d rappresenta la potenza per unità di superficie
emessa in un piccolo intervallo di frequenze [, + d]
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Corpi neri
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La legge di Stefan-Boltzmann
●
●
Se abbiamo un corpo in equilibrio termodinamico, tutto il volume del corpo
emette radiazione di corpo nero. La radiazione emessa all'interno del corpo,
però, viene immediatamente riassorbita. Per questo motivo solo la superficie
del corpo viene considerata come emettitore della radiazione che
effettivamente si propaga nello spazio.
Il flusso emesso da un corpo nero può essere ottenuto integrando la legge di
Planck su tutte le frequenze, ovvero:
Possiamo quindi scrivere:
dove σ è la costante di Stefan Boltzmann data da:
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Emissività
●
Se un corpo con superficie a temperatura Ts emette come un corpo nero
allora la potenza termica emessa è
dove As è l'area della superficie emissiva
●
Nei casi reali l'emissione è meno efficiente che in un corpo nero perfetto, così
che la legge di Stefan-Boltzmann può essere generalizzata come segue:
dove ε è un parametro adimensionale, compreso fra 0 e 1 chiamato
emissività. Un corpo nero perfetto, che emette il 100% della radiazione
assorbita, è caratterizzato da ε = 1.
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Emissività di alcuni materiali a 300 K
●
●
●
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In tabella vengono riportati i coefficienti
di emissività a temperatura ambiente di
vari materiali
Da notare come i metalli abbiano
(generalmente) un'emissività molto
bassa (ovvero sono molto riflettenti)
Domanda: la carta bianca e la carta
nera hanno entrambi un'emissività molto
alta, sono, pertanto, corpi quasi neri.
Discutere l'affermazione e come la
differenza in emissività sia legata al
colore della carta
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Assorbività e riflettività
●
●
●
Un altro parametro che caratterizza le proprietà radiative della superficie è
l'assorbività (o coefficiente di assorbimento), ovvero la capacità di un
corpo di assorbire la radiazione incidente
Come l'emissività, anche l'assorbività è un numero puro compreso fra 0 e 1
Il parametro (1 – α) è detto riflettività e descrive la capacità di una superficie
di riflettere la radiazione incidente
Lo scambio radiativo di una
superficie con l'ambiente è
regolato dall'assorbività della
superficie. Parte della
radiazione viene assorbita e
parte viene riflessa
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Legge di Kirchhoff
●
●
In generale sia l'emissività che l'assorbività dipendono dalla temperatura e
dalla frequenza
Se il corpo è in equilibrio termodinamico con la radiazione (ovvero se la
temperatura del corpo e della radiazione incidente è la stessa) allora la
quantità di radiazione assorbita deve essere uguale a quella incidente; questo
implica che emissività e assorbività ad ogni frequenza coincidono
in condizioni di equilibrio termodinamico
●
Se non vi è equilibrio termodinamico il trasferimento di calore è regolato dal
bilancio fra emissività e assorbività (un corpo che assorbe più energia di
quanta ne emette aumenterà la sua temperatura e viceversa)
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Scambio radiativo con l'ambiente
●
Nel caso in cui il corpo si trovi racchiuso in una superficie a temperatura
costante allora lo scambio radiativo fra le due superfici è dato da:
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