Autoinduzione di un circuito elettrico

Allegato 13
AUTOINDUZIONE DI UN CIRCUITO ELETTRICO
Gruppo di Sonia Bongiovanni Albertini, Sara Cortinovis Mariani, Paola Leidi Peroni,
lavoro:
Silvia Turlon Covucci, Sofia Sabatti
Classe a cui ci si rivolge: V liceo scientifico (tradizionale)
Periodo dell’anno: inizio di maggio
conoscere il concetto di flusso di un vettore attraverso una superficie ideale;
conoscere il concetto di forza elettromotrice;
conoscere il fenomeno dell’induzione elettromagnetica;
conoscere la legge di Ohm;
conoscere la relazione che esprime il campo magnetico generato da un
Prerequisiti:
solenoide percorso da corrente;
conoscere il concetto di energia associata ad un campo elettrico e di densità
di energia;
saper montare un circuito elettrico elementare;
saper calcolare i fondamentali integrali indefiniti.
conoscenze
- (*) saper definire il
coefficiente di
autoinduzione di un
circuito
competenze
capacità
- saper spiegare il
- (*) descrivere ed
fenomeno
interpretare il fenomeno
dell'autoinduzione con la delle extracorrenti di
legge di Lenz
chiusura e di apertura
- saper tracciare ed
nell'ambito
- (*) conoscere
interpretare il grafico
dell'autoinduzione
l'equazione
relativo alle extracorrenti - ricavare, attraverso il
rappresentante le
- saper individuare
calcolo integrale,
Obiettivi: extracorrenti di chiusura l'analogia tra massa
l'equazione delle
e apertura
inerziale e coefficiente di extracorrenti di apertura e
- (*) saper spiegare che autoinduzione
di chiusura
cosa si intende per
- (*) saper individuare
- ricavare, attraverso il
energia associata ad un l'analogia tra energia
calcolo integrale, il valore
campo magnetico
cinetica, energia associata dell'energia associata ad
ad un campo elettrico ed un campo magnetico
energia associata ad un
campo magnetico
(*) sono stati contrassegnati con un asterisco quelli che si ritengono essere obiettivi
"minimi", che si prevede possano e debbano essere raggiunti da tutti gli studenti della
classe
Esperienza di laboratorio (qualitativa)
Tempi: 1 ora
La prima lezione, il cui scopo è quello di incuriosire i ragazzi mostrando loro una
situazione non completamente spiegabile con le conoscenze da loro acquisite, avverrà in
laboratorio. La scelta di introdurre questo nuovo argomento attraverso questa modalità è
dovuta al fatto che, così facendo, i ragazzi (oltre ad essere adeguatamente motivati)
avranno già toccato con mano quanto ci si prepara a spiegare con un linguaggio
matematico specifico e astratto nelle lezioni successive. Questo è fondamentale affinché i
ragazzi comprendano che il formalismo matematico serve come modello per descrivere
una realtà fattuale e affinché acquisiscano sicurezza psicologica in vista delle successive
spiegazioni (gli integrali terrorizzano... le lampadine illuminano...!)
Questa esperienza verrà approntata solo da un punto di vista qualitativo, senza la pretesa di
ottenere dati numerici da elaborare.
Materiale occorrente:
- due lampadine uguali con portalampada
- due resistenze uguali o meglio due reostati
- una bobina con 600 spire e un nucleo di ferro ad E con giogo i chiusura
- cavetti di collegamento
- due interruttori
- un generatore di corrente continua.
Procedimento:
Prepara un circuito con una lampadina, una resistenza e un interruttore; collegalo al
generatore di corrente continua e chiudi il circuito; che cosa succede immediatamente?
che cosa succede non appena lo riapri? sono fatti che ti saresti aspettato?
Prepara un altro circuito identico al primo, ma aggiungi in serie alla resistenza anche la
bobina con il nucleo inserito. Chiudi il circuito. Che cosa osservi? Apri il circuito. Che
cosa osservi? Sono fatti che ti saresti aspettato? Se sì, come li giustificheresti?
Collega ora entrambi i circuiti al generatore e chiudili contemporaneamente, azionando
invece che i singoli interruttori interni a ciascun circuito l’interruttore generale inserito
nel generatore di corrente. Che cosa osservi?
Autoinduzione
Tempi: 2 ore
Partendo dalle risposte date dai ragazzi alle domande presenti sulla scheda consegnata loro
per la lezione in laboratorio, l’insegnante introduce il concetto di autoinduzione e il
coefficiente di autoinduzione.
L'insegnante farà notare che il coefficiente di autoinduzione è detto anche "inerzia
elettromagnetica" ed inviterà i ragazzi stessi (in modo che la loro partecipazione alla
lezione sia il più attiva possibile) ad istituire un'analogia tra questa grandezza e la massa
inerziale.
m
L
x
q
v = dx/dt
i = dq/dt
Aiutandosi con il grafico che presenta l’andamento dell’intensità di corrente in funzione
del tempo, l’insegnante introduce i concetti di extracorrenti di chiusura e di apertura di un
circuito, dando anche l’equazione che le rappresenta.
In questo modo inseriamo l’esperienza di laboratorio nell’opportuno quadro teorico, senza
appesantire subito con i relativi calcoli, ma anticipando i risultati che verranno giustificati
anche da un punto di vista matematico.
[Potrebbe essere interessante verificare la possibilità di utilizzare degli strumenti di
laboratorio on-line che, collegati al circuito, misurino l’intensità di corrente e traccino il
grafico dell’andamento dell’intensità di corrente nel tempo; in questo modo il
collegamento esperienza – teoria sarebbe ancora più efficace].
Successivamente, si propone ai ragazzi suddivisi in gruppetti da 3 o 4 persone ciascuno, il
seguente problema aperto, corredato da alcune domande che li guidino nella risoluzione:
Un solenoide ha una sezione trasversale di area A, una lunghezza l e n spire per unità di
lunghezza. Qual è la sua autoinduttanza?
[Domande guida: Com’è definita l’autoinduttanza?- Da che cosa dipende la f.e.m.
indotta? - Qual è il flusso del campo magnetico generato dal solenoide stesso? - Quale
variazione di flusso si ha quando la corrente varia? - Quale espressione per la f.e.m.
otteniamo usando la legge di Faraday?]
Questo esercizio mira a:
- rinforzare l’apprendimento dei contenuti proposti dall’insegnante;
- costruire una nuova conoscenza a partire da diversi elementi già noti;
- stimolare le capacità operative dei ragazzi;
- evidenziare la dipendenza del coefficiente di autoinduttanza dalle caratteristiche
geometriche del solenoide.
Calcolo delle extracorrenti di chiusura ed apertura di un circuito
Tempi: 1 ora
Seguendo quanto di seguito schematizzato, l'insegnante presenterà agli studenti la
determinazione dell’intensità di corrente in un circuito alimentato da una forza
elettromotrice costante F.e.m. e contenente in serie una resistenza R ed un’induttanza L
(ossia in un circuito che presenta extracorrenti di chiusura e apertura).
Il calcolo richiede l'utilizzo di un simbolismo e di concetti matematici che, probabilmente,
non possono essere ritenuti assimilati e ben padroneggiati da tutta la classe. A questo
proposito si ribadisce che tale calcolo non rientra negli obiettivi minimi da noi previsti.
Riteniamo, comunque, che possa essere utile presentarlo: si avrà così un'occasione in più
per mostrare come il calcolo integrale sia un modello utilissimo per svariate applicazioni
fisiche.
Se la classe dimostra di recepire senza troppe difficoltà il calcolo della extracorrente nella
fase di chiusura del circuito, si proporrà il calcolo della extracorrente nella fase di apertura
come lavoro di gruppo.
FASE DI CHIUSURA
Applichiamo la seconda legge di Ohm al circuito per determinare l’intensità di corrente:
di
F.e.m. - L  Ri
dt
che rappresenta un’equazione differenziale del I° ordine a variabili separabili; l’incognita è
la funzione i = i(t), F.e.m. è la forza elettromotrice erogata dal generatore e –Ldi/dt è la
forza elettromotrice autoindotta.
Dalla formula precedente segue :
di
L  F.e.m.  Ri
dt
di
1
 dt
da cui:
F.e.m. - Ri L
ossia:
1 d(F.e.m. - Ri)
1
  dt
R F.e.m. - Ri
L
d(F.e.m. - Ri)
R
   dt
F.e.m. - Ri
L
ed integrando:

cioè:
log(F.e.m. - Ri)  -
che si può scrivere anche nella
forma:
R
tc
L
R
F.e.m. - Ri  K e
-
t
L
R
F.e.m. K  L t
da cui:
i
 e
R
R
dove K è una costante d’integrazione uguale a ec. La costante K può essere determinata
mediante le condizioni iniziali, infatti per t = 0 e i = 0 si ha :
F.e.m. K
0

R
R
da cui:
K = F.e.m.
e quindi
i
F.e.m.
R

(1  e
L
R
t
)
FASE DI APERTURA
All’apertura del circuito la F.e.m. = 0 per cui applicando nuovamente la seconda legge di
Ohm e separando le variabili dell’equazione differenziale si ha :
di
R
  dt
i
L
di
R
integrando
    dt
i
L
ossia
log i  -
R
tc
L
R
-
t
da cui:
iKe L
c
con K = e ; ed essendo i= F.e.m./R per t = 0 dalla precedente si ricava K = F.e.m./ R e
quindi:
R
F.e.m. - L t
i
e
R
che rappresenta l’extracorrente di apertura del circuito.
Esercizio in classe
Tempi: 2 ore (1 ora a questo punto e 1 ora dopo aver visto la lezione sull’energia)
Si prevede di esercitare i ragazzi su diverse tipologie di esercizi, in base ai diversi
contenuti proposti.
Gli esercizi proposti in classe (Ai) e come lavoro a casa (Ci) rispecchiano le seguenti
tipologie:
- applicazione immediata delle formule (A1, A2, A4, C5, C6); questi esercizi costituiscono
un mezzo per rinforzare le conoscenze relative agli obiettivi minimi; verrà richiesto agli
alunni di fornire le formule necessarie per la risoluzione;
- stimolo delle capacità operative (A3, A5); questi esercizi mirano allo sviluppo delle
capacità di collegamento e di rielaborazione dei contenuti proposti;
- rinforzo e guida nello studio personale (C1, C2, C3, C4, C7, C8).
Relativamente ad ogni esercizio si cercherà di stimolare i ragazzi a condurre, innanzitutto,
un'analisi qualitativa della situazione.
A1
A2
A3
A4
A5
C1
C2
C3
Un solenoide, lungo 31,4 cm ed avente in totale 1000 spire di sezione costante uguale
a 50 cm2, viene inserito in un circuito in modo che in esso la corrente, in 1/5 di
secondo, passi dal valore 0 a 4 A. Calcolare la f.e.m. di autoinduzione nel solenoide.
Un circuito è formato da una bobina di resistenza trascurabile e di induttanza 2,5
henry, da una resistenza di 5 ohm in serie con la bobina, da un generatore di f.e.m.
costante uguale a 10 V e da un interruttore inizialmente aperto. Calcolare
l'extracorrente di chiusura del circuito dopo 1,5 s dall'istante di chiusura
dell'interruttore e l'intensità della corrente di regime.
Un circuito comprende un solenoide d'induttanza 5 henry posto in serie con una
resistenza uguale a 10 ohm, un generatore di f.e.m. costante uguale a 20 V e un
interruttore inizialmente chiuso.
Ad un certo istante, mentre il circuito è percorso dalla corrente di regime, per mezzo
dell'interruttore s'interrompe la corrente. Illustra con un grafico l'intensità di corrente
nel circuito in funzione del tempo. Calcola inoltre il tempo (dalla apertura
dell'interruttore) trascorso il quale la corrente si riduce alla metà rispetto a quella di
regime e quello in cui assume un valore pari all'80% del valore di regime.
Un solenoide lungo 31,4 cm è costituito da 1000 spire ed ha una resistenza di 2 ohm.
Calcolare la densità di energia del campo magnetico in condizioni di regime se viene
alimentato con una tensione di 10 V.
In prossimità della superficie terrestre esistono un campo elettrico di 300 V/m e un
campo magnetico di 0,5 x 10-4 T. Determinare il rapporto fra l’energia elettrica e
quella magnetica esistenti in un sottile strato prossimo alla superficie terrestre.
Fornisci una definizione del coefficiente di autoinduzione di un circuito.
Il coefficiente di autoinduzione proprio di un circuito è numericamente uguale:
 al rapporto fra la corrente che attraversa il circuito e il campo magnetico prodotto
 al prodotto del campo magnetico interno al circuito per la corrente che lo attraversa
 al flusso del campo magnetico attraverso il circuito per unità di corrente elettrica
 al rapporto fra la corrente che attraversa il circuito e l'intensità del campo
magnetico esterno.
L'unità di misura del coefficiente di autoinduzione è pari a:
1H

1V
1Wb

1V
1Wb

1A
1H

1A
C4
La forza elettromotrice indotta in un circuito a causa di una variazione della corrente
nel circuito stesso è:
 direttamente proporzionale all'intensità della corrente nel circuito
 inversamente proporzionale all'intensità della corrente nel circuito
 direttamente proporzionale alla rapidità di variazione della corrente nel circuito
 inversamente proporzionale alla rapidità di variazione della corrente nel circuito.
C5 Un circuito elettrico percorso da una corrente di 760 mA genera attraverso la propria
superficie un flusso del campo magnetico pari a 380 Wb. Determina il coefficiente
di autoinduzione del circuito.
C6 Una bobina di 1000 ohm di resistenza e induttanza 5,0 H viene improvvisamente
collegata a un generatore di f.e.m. uguale a 20 V. Calcolare dopo 2,0 ms dall'istante
della connessione l'intensità totale della corrente che percorre la bobina e
l'extracorrente di chiusura.
C7 L'energia del campo magnetico che si accumuila in un circuito di induttanza A,
percorso da una corrente finale C, è:
 AC 2
1
 AC 2
2
1
 AC
2
A
 2
C
C8 In un punto dello spazio dove è presente un campo magnetico vi è una densità di
energia magnetica:
 direttamente proporzionale all'intensità del campo magnetico
 inversamente proporzionale all'intensità del campo magnetico
 direttamente proporzionale al quadrato dell'intensità del campo magnetico
 inversamente proporzionale al quadrato dell'intensità del campo magnetico.
C9 Due bobine di ugual lunghezza sono costituite l’una da N e l’altra da 2N spire di
ugual area. Se l’induttanza della prima bobina è L, quella della seconda è :
 2L;
 L/2;
 L/4;
 4L.
C10 Il generatore inserito nel circuito raffigurato fornisce una d.d.p. = ΔV.
Quando l’interruttore viene chiuso:
 nel circuito si instaura una corrente di regime i = ΔV / R;
 la corrente non passa immediatamente da 0 al valore di regime i = ΔV / R a causa
di una forza elettromotrice autoindotta di segno opposto a ΔV;
 il lavoro che viene compiuto per portare la corrente da 0 al valore di regime i è pari
a Li2/2;
 il valore Li2/2 corrisponde all’energia magnetica del campo di induzione magnetica
che si genera nell’interno del solenoide.
Energia associata ad un campo elettrico e ad un campo magnetico
Tempi: 1 ora
Attraverso una lezione frontale l'insegnante presenterà agli studenti la determinazione,
attraverso il calcolo integrale, dell'energia associata ad un campo elettrico e ad un campo
magnetico. Il calcolo verrà mostrato, ancora una volta, soprattutto per dare prova
dell'utilità del calcolo integrale come modello matematico per la fisica; ciò su cui sarà però
più opportuno insistere sono i seguenti elementi:
1. analogia formale tra le espressioni di energia cinetica, energia associata ad un campo
elettrico ed energia associata ad un campo magnetico:
1
E  mv 2
energia cinetica
2
11 2
E
q
energia associata ad un campo elettrico
2C
1
E  Li 2
energia associata ad un campo magnetico
2
2. necessità, ai fini di creare un campo elettrico, di spendere dell'energia;
3. necessità, ai fini di creare un campo magnetico, di spendere dell'energia
Infine potrà essere utile calcolare la densità di energia associata al campo magnetico, che si
ritroverà, più avanti, come energia trasportata dalle radiazioni elettromagnetiche.
VERIFICA IN CLASSE SULL'AUTOINDUZIONE
Tempi: 2 ore.
All’interno di questa verifica abbiamo inserito diverse tipologie di esercizi. Vogliamo
verificare infatti:
- la comprensione degli argomenti affrontati;
- la capacità di descrivere qualitativamente alcune situazioni problematiche;
- la capacità espositiva, sia attraverso il linguaggio naturale che quello grafico e
quello simbolico;
- la capacità operativa;
- la capacità di individuare un metodo risolutivo appropriato;
- la capacità di schematizzare e semplificare situazioni complesse.
Il primo gruppo di esercizi, che non richiede una elaborazione numerica, mira a
verificare la comprensione degli argomenti affrontati, la capacità di descrivere
qualitativamente situazioni interpretabili nell’ambito dell’autoinduzione e la capacità
espositiva. Il fatto che si tratti di domande aperte permette di verificare l’uso corretto
della lingua italiana per descrivere le situazioni; il fatto che sia vincolata la lunghezza
della risposta permette di verificare la capacità di sintesi; il fatto che si richieda di
mostrare e commentare un grafico permette di verificare la capacità di usare
rappresentazioni e simboli per esprimere concetti.
1. Perché chiudendo un interruttore collegato con un generatore l’amperometro non
segnala istantaneamente il valore dell’intensità della corrente di regime? Rispondi in
massimo 7 righe.
2. Perché nell’interruttore della luce si osserva più spesso una scintilla quando si spegne
la luce, che non quando la si accende? Rispondi in massimo 7 righe.
3. Mostra e commenta (in massimo 7 righe) il grafico qualitativo delle extracorrenti di
apertura di un circuito RL.
4. Due solenoidi hanno lo stesso numero di spire e la stessa lunghezza; inoltre le spire
dell'uno hanno area uguale a quelle dell'altro. Può darsi che essi abbiano diversa
induttanza? Giustifica la risposta in massimo 4 righe.
Il secondo gruppo di esercizi, che fornisce invece dei dati da rielaborare numericamente,
mira a verificare la capacità operativa (inquadrare la situazione problematica, richiamare
le formule adeguate a descriverla, sostituire alle variabili i dati opportuni e trattarli
correttamente, con particolare attenzione alle loro unità di misura); la capacità espositiva,
attraverso il linguaggio grafico e quello simbolico; la capacità di individuare un metodo
risolutivo appropriato ed, eventualmente, originale (sia relativamente al procedimento
scelto che al metodo utilizzato per presentarlo, come grafici o rappresentazioni).
5. In una bobina, facendo variare la corrente di 2 A in 0,1 s, si genera una f.e.m. indotta il
cui valore medio è di 60 V. Quanto vale il suo coefficiente di autoinduzione? Se la
bobina è composta da 1000 spire, lunga 3 cm e con una sezione di 1,5 cm2, quanto vale
la permeabilità magnetica relativa al nucleo su cui essa è avvolta?
6. L’energia elettromagnetica di un circuito percorso da una corrente di regime di
intensità 5 A è 0,2 J. A quale valore si deve ridurre in 0,03 s l’intensità di corrente
affinché ai capi del circuito si generi una f.e.m. autoindotta di 0,3 V?
7. Un solenoide è caratterizzato da una induttanza di 0,5 mH ed è attraversato da un flusso
pari a 200 Wb.
a) calcolare il valore dell’intensità di corrente che lo attraversa
b) supponendo che l’intensità di corrente raddoppi in 3 centesimi di secondo,
quanto vale la f.e.m. ai capi del solenoide?
Il terzo gruppo di esercizi consente (in più, rispetto a quelli del secondo) di verificare
anche
la capacità di schematizzare e semplificare situazioni complesse. Questi problemi, infatti,
dopo una prima parte che richiede una elaborazione numerica abbastanza semplice e
immediata, richiedono una riflessione ulteriore, a livello applicativo – matematico il primo
e a livello fisico – teorico il secondo.
8. Un circuito elettrico ha resistenza pari a 10  e coefficiente di autoinduzione di 1 H. Il
circuito viene chiuso collegandolo a un generatore di f.e.m.10 V avente resistenza
interna trascurabile. Determina dopo quanto tempo la corrente raggiunge il 50% del
suo valore di regime e dopo quanto tempo la corrente raggiunge il 99% dell’intensità di
regime.
9. Un solenoide con coefficiente di autoinduzione pari a 0,2 H è attraversato da una
corrente di 8 A. Se la corrente varia in modo uniforme riducendosi a zero in 2 s, nella
spira si autoinduce una forza elettromotrice. Si vuol conoscere di che entità è la f.e.m.
indotta e come si modifica il fenomeno se si raddoppia il numero delle spire del
solenoide. Se si interrompe il circuito, in esso circola una extracorrente. Si indichi da
dove proviene l'energia necessaria e come può essere valutata.
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del primo gruppo:
Risposta completa e corretta
Risposta completa e corretta ma eccedente il numero delle righe
Risposta completa, ma con linguaggio impreciso
Risposta incompleta
Risposta scorretta
Risposta mancante
10
8
6
4
2
0
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del secondo gruppo:
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio graficosimbolico e con procedimento originale
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio graficosimbolico e con procedimento standard
Esercizio svolto con un procedimento corretto, solo a volte commentato e con un
uso non sempre proprio del linguaggio grafico-simbolico, ma con errori di calcolo
Esercizio svolto solo parzialmente
Esercizio impostato scorrettamente
Esercizio mancante
10
8
6
4
2
0
Attribuzione del punteggio relativamente agli esercizi del terzo gruppo:
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio graficosimbolico e con procedimento originale
Esercizio corretto, commentato, con un uso proprio del linguaggio graficosimbolico e con procedimento standard
Esercizio svolto con un procedimento corretto, solo a volte commentato e con un
uso non sempre proprio del linguaggio grafico-simbolico, ma con errori di calcolo
Esercizio svolto solo parzialmente
Esercizio impostato scorrettamente
Esercizio mancante
10
8
6
4
2
0
Assegnazione del peso agli esercizi e del voto
esercizio 1
esercizio 2
esercizio 3
esercizio 4
esercizio 5
esercizio 6
esercizio 7
esercizio 8
esercizio 9
punteggio
0
60
120
220
320
420
570
720
820
920
peso da attribuire al punteggio
9
9
9
9
12
12
12
10
10
920
voto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Per la sufficienza sono richiesti almeno due esercizi del primo gruppo e due del secondo
gruppo.