Il secondo principio della dinamica
Dal primo al secondo principio della dinamica
Se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, il corpo o è fermo o si muove di moto
rettilineo uniforme. In entrambi i casi la sua velocità è costante in modulo, direzione e verso.
Pertanto, se la velocità di un corpo subisce variazioni, su di esso necessariamente agiscono delle
forze la cui risultante è diversa da zero. Poiché l’accelerazione è una variazione di velocità, ad una
forza è sempre associata una accelerazione. Per scoprire la relazione che lega tra loro la forza
applicata a un corpo e l’accelerazione che questo subisce faremo ricorso ad un esperimento.
Determinazione sperimentale del secondo principio della dinamica
Consideriamo un apparato sperimentale come quello indicato
in figura. Per ridurre al minimo gli attriti si usa una rotaia ad
aria, cioè un dispositivo in cui, attraverso getti d’aria, un
carrellino scivola senza attrito su un cuscino d’aria. Al
carrello, di massa M è collegato un filo che all’altro capo ha
una massa m che pende nel vuoto. La forza applicata al
sistema è il peso della massa m: F = m·g, mentre la massa in
movimento è M+m (non dimentichiamo che anche m si muove). Per ricavare l’accelerazione a del
moto abbiamo bisogno del tratto s percorso dal carrello (che è dato dalla distanza tra la posizione
iniziale e la fotocellula) e del tempo t impiegato (misurato dal cronometro collegato alla
fotocellula). Sappiamo infatti che in un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla
1
lo spazio percorso, il tempo e l’accelerazione sono legati tra loro dalla relazione: s = a ⋅ t 2 , e
2
2s
quindi a = 2 .
t
Da una prima serie di misure eseguite mantenendo costante la massa totale, osserviamo che
all’aumentare della forza applicata aumenta anche l’accelerazione del carrello. Facciamo quindi
l’ipotesi che forza e accelerazione siano direttamente proporzionali. Ricordando che il rapporto tra
due grandezze direttamente proporzionali si mantiene costante, per verificare l’ipotesi costruiamo
una tabella con massa, accelerazione, forza e il rapporto tra forza e accelerazione:
M (kg)
0,208
0,208
0,208
0,208
a (m/s2)
0,188
0,144
0,092
0,050
F (N)
0,0392
0,0392
0,0392
0,0392
M (kg)
0,208
0,308
0,328
0,368
F (N)
0,0392
0,0294
0,0196
0,0098
F/a (N·s2/m)
0,208
0,204
0,213
0,196
a (m/s2)
0,188
0,129
0,119
0,107
M·a (kg·m/s2)
0,0391
0,0397
0,0390
0,0394
Vediamo che, entro il margine degli inevitabili errori
sperimentali, l’ipotesi è ben verificata. Inoltre il valore
costante del rapporto tra la forza e l’accelerazione è molto
vicino a quello della massa.
Passiamo adesso a una seconda serie di misure in cui
manteniamo costante la forza applicata. Il fatto che all’aumentare della massa l’accelerazione
diminuisca ci suggerisce che tra le due grandezze sussiste una relazione di proporzionalità inversa.
Ricordando che il loro prodotto di due grandezze inversamente proporzionali si mantiene costante,
per verificare l’ipotesi costruiamo una tabella con massa, accelerazione, forza e il prodotto tra
massa e accelerazione:
Anche in questo caso, entro il margine degli inevitabili
errori sperimentali, l’ipotesi è ben verificata. Inoltre il
prodotto
tra
la
massa
e
l’accelerazione
è
approssimativamente uguale alla forza applicata.
Il secondo principio della dinamica
Dall’analisi dei risultati sperimentali risultano quindi due importanti fatti:
1)
quando la massa è costante forza e accelerazione sono direttamente proporzionali;
2)
quando la forza è costante massa e accelerazione sono inversamente proporzionali.
Entrambi questi fatti sono spiegati se assumiamo che tra forza, massa e accelerazione valga la
seguente relazione:
F = M·a
che esprime il secondo principio della dinamica.
Il secondo principio della dinamica ci permette di definire l’unità di forza (il newton) in termini
delle grandezze fondamentali del SI: una forza di un newton applicata ad un corpo di un
chilogrammo di massa produce una accelerazione di un metro al secondo quadrato. Cioè: 1 N
= 1 kg · 1 m/s2
Poiché sia la forza che l’accelerazione sono grandezze vettoriali, il secondo principio della dinamica
r
r
è una relazione vettoriale: F = M ⋅ a . Pertanto, l’accelerazione di un corpo è un vettore la cui
direzione e il cui verso sono gli stessi della risultante delle forze applicate, mentre il modulo è
proporzionale a quello della forza risultante.
Se conosciamo l’accelerazione e la massa del corpo, la forza agente su di esso è F = M·a; se invece
F
; se infine abbiamo la
conosciamo la massa del corpo e la forza applicata l’accelerazione è: a =
M
F
forza e l’accelerazione la massa è data dalla relazione: M = .
a
Il secondo principio della dinamica nel quotidiano
Se ci capita di dover saltare giù da un muretto abbastanza alto, vorremmo farci meno male
possibile; la fisica ci può aiutare a questo scopo. Al momento dell’atterraggio o rimaniamo dritti e
rigidi sulle gambe, o ci pieghiamo accucciandoci a terra durante l’impatto. Nel primo caso il tempo
in cui la velocità passa dal valore che aveva un attimo prima che i piedi toccassero il suolo e zero (il
cosiddetto tempo di arresto) è molto breve; nel secondo caso invece il tempo di arresto è più lungo,
essendo pari alla durata del piegamento. Poiché l’accelerazione media è data dal rapporto tra la
variazione di velocità e il tempo in cui tale variazione avviene, essa è più alta nel primo caso. Ora,
essendo la forza tra il soggetto che atterra e il terreno data dal prodotto della sua massa per
l’accelerazione, avremo che tale forza (e conseguentemente il danno) sarà minore in caso di
piegamento.
Esempio – Calcolo della forza che determina una data accelerazione mediante il secondo principio
della dinamica
Il libretto delle specifiche tecniche di un certo modello di automobile riporta, tra gli altri, i seguenti dati:
massa dell’autoveicolo = 750 kg; da 0 a 100
km
in 12 secondi. Vogliamo, in base a questi dati, calcolare la
h
massima forza che è in grado di sviluppare il motore dell’automobile.
Scriviamo i dati del problema
Massa del veicolo: M = 750 kg.
Velocità raggiunta partendo da fermo: v = 100
km
m
= 27,8
h
s
Tempo necessario per raggiungere la massima velocità: t = 12 s
Incognita
La forza F che mette in movimento il veicolo.
Analisi e soluzione
m
v
s = 2,32 m . Per trovare la forza applichiamo il
Per prima cosa calcoliamo l’accelerazione: a = =
t
12 s
s2
m
secondo principio della dinamica: F = M ⋅ a = 750 kg ⋅ 2,32 2 = 1740 N .
s
27,8
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Che cosa possiamo dedurre dal fatto che il vettore velocità di un corpo non è costante?
Che cosa significa che la velocità di un corpo ha subito variazioni?
A quale grandezza cinematica è connessa la forza?
Quale dispositivo si può utilizzare per ridurre al minimo gli attriti in un esperimento di dinamica?
Come si realizza l’esperimento per determinare la relazione matematica tra forza, massa e accelerazione?
Come si calcola l’accelerazione in un moto uniformemente accelerato conoscendo la lunghezza di un
tratto percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo?
7. Che tipo di relazione sussiste tra forza applicata e accelerazione se la massa del corpo è mantenuta
costante?
8. Che tipo di relazione sussiste tra massa del corpo e accelerazione se la forza applicata è mantenuta
costante?
9. Come si esprime il secondo principio della dinamica?
10. Come si esprime il newton in termini delle unità fondamentali del SI?
11. Che cosa possiamo dire riguardo al vettore accelerazione di un corpo se conosciamo il vettore forza
applicata?
12. Come si calcola l’accelerazione se conosciamo la forza applicata e la massa del corpo?
13. Come si calcola la massa del corpo se conosciamo la forza applicata e l’accelerazione?
14. In che senso il primo principio della dinamica può essere visto come un caso particolare del secondo?
15. Come si deve fare per non farsi male quando si salta giù da un muretto?
Verifiche di conoscenza
1. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
a. se la velocità di un corpo è costante su di esso potrebbe agire una forza
b. se su un corpo agiscono due forze la sua velocità non può essere costante
c. se la velocità di un corpo è costante su di esso potrebbero agire tre forze
d. se su un corpo agisce una sola forza la sua velocità può anche essere costante
2. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo adeguato scelto tra alcuni di quelli indicati:
La … è la causa del moto di …; essa è in relazione con la variazione …, cioè con … . (accelerazione, la
sua accelerazione, un corpo, della sua posizione, la sua velocità, forza, della sua velocità, massa)
3. Quali sono le grandezze che vengono misurate nell’esperimento della rotaia ad aria?
a. la massa del peso traente
b. le dimensioni del carrello
c. la massa del carrello
d. il tempo di percorrenza
e. la tensione del filo
f. la velocità del carrello
g. la distanza percorsa
4. Quali misure servono per calcolare l’accelerazione nell’esperimento della rotaia ad aria?
a. la distanza percorsa e il tempo di percorrenza
b. la velocità del carrello e il tempo di percorrenza
c. la tensione del filo e la massa del carrello
d. la tensione del filo e la massa del peso traente
5. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
a. F e M sono inversamente proporzionali, F e a sono direttamente proporzionali
b. a e M sono direttamente proporzionali, F e M sono inversamente proporzionali
c. a e M sono inversamente proporzionali, F e M sono direttamente proporzionali
d. F e a sono direttamente proporzionali, F e M sono inversamente proporzionali
6. L’unità di misura della forza nel SI è:
a. kg · m/s2
b. kg/m2·s
c. kg · m · s2
d. kg /(m/s2)
7. Il vettore accelerazione e la risultante delle forze agenti su un corpo:
a. sono sempre paralleli, ma possono non essere concordi
b. sono sempre paralleli e concordi
c. sono sempre paralleli e discordi
d. possono non essere paralleli
8. L’accelerazione è data dal:
a. rapporto tra la massa e la forza
b. prodotto tra forza e massa
c. rapporto tra massa e inverso della forza
d. rapporto tra forza e massa
9. La massa è data dal:
a. prodotto tra forza e inverso dell’accelerazione
b. prodotto tra forza e accelerazione
c. rapporto tra accelerazione e forza
d. inverso del prodotto tra forza e accelerazione
10. Se la risultante delle forze agenti su un corpo è zero
a. la velocità è zero
b. l’accelerazione può essere diversa da zero
c. il vettore velocità è costante
d. la massa è zero
Problemi
1. Calcola l’accelerazione con cui un corpo di massa 2 kg scivola lungo un piano inclinato di 30˚ privo di
attriti.
2. Dimostra che l’accelerazione subita da un corpo che si muove lungo un piano inclinato non dipende dalla
sua massa
3. Ad un corpo inizialmente fermo su un piano inclinato di 45 ˚ viene impressa una velocità di 13,9
m
s
diretta verso l’alto. Quanto tempo impiega il corpo a fermarsi?
4. Un razzo di massa 150 kg parte con una accelerazione di 8,0
m
. Quanto vale la forza che lo spinge in
s2
alto?
5. Su un veicolo di massa 450 kg agiscono due forze: la spinta del motore pari a 1200 N e gli attriti pari a
300 N. Quanto vale l’accelerazione del veicolo?
6. Quale forza deve esercitare una ragazzo che lancia una palla da 150 grammi per far acquistare alla palla
una velocità di 4
m
in 0,1 s?
s
7. Su un corpo di massa 14 kg agiscono due forze di uguale intensità pari a 50 N e formanti tra loro un
angolo di 90˚. Quanto vale e come è diretta l’accelerazione del corpo?
8. Durante una brusca frenata la velocità di una automobile passa da 90
km
in 3,2 s. Se la massa
h
dell’automobile è di 650 kg quanto vale la forza esercitata dai freni?
m
. Se la massa complessiva
s2
dell’ascensore e del suo carico è di 200 kg, calcola quanto vale la forza prodotta dal motore.
9. Un ascensore ha alla partenza una accelerazione di 1,2
