filtri passivi ed attivi

FILTRI
in
io
z
a
or
lav
….
e
n
1
Introduzione
Cosa sono i filtri?
o
II Cfiltri
sono dei quadripoli particolari, che presentano attenuazione
differenziata in funzione della frequenza del segnale applicato in
ingresso.
In pratica essi bloccano il passaggio di alcune frequenze,
consentendo il passaggio di altre.
Classificazione.
Una possibile classificazione dei tipi di filtri può essere la seguente,
basata sui componenti con i quali essi sono costruiti:
• Filtri “passivi” - sono costituiti solo da bipoli elementari R,L,C.
• Filtri “attivi”
- fanno uso anche di transistor e circuiti integrati;
2
Classificazione
3
Classificazione
Filtri passivi
• costituiti da componenti passivi: resistenze, condensatori e
induttori
• nessun elemento di amplificazione (transistor, op-amp, etc)
• nessun guadagno del segnale
• 1 ° ordine: il progetto è semplice (basta usare le equazioni
standard per trovare la frequenza di risonanza del circuito)
• 2 ° ordine: complesse equazioni di progetto
• non richiedono alimentatori
• non sono condizionati dalle limitazioni di banda degli op-amp
• possono essere usati a frequenze molto alte
• sono in grado di gestire grandi livelli di tensione o di corrente
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Classificazione
Filtri attivi:
• senza induttori
• composti da op-amp, condensatori e resistenze
• possono fornire guadagni anche molto elevati
• generalmente più facili da progettare
• l’impedenza di ingresso alta impedisce il carico eccessivo della
sorgente da cui sono pilotati
• la bassa impedenza di uscita di tali filtri impedisce l’influenza da
parte del carico
• l’uso alle alte frequenze è limitato dal prodotto
guadagno-larghezza di banda degli op-amp
• facili da regolare su una vasta gamma di frequenze senza
alterare la risposta desiderata
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Classificazione
Una successiva classificazione, che tiene conto della banda
passante, è invece quella che prevede i seguenti tipi di filtro:
•
•
•
•
Passa basso
Passa alto
Passa banda
Elimina banda ( o arresta banda o notch ).
Passa-Basso
Passa-Banda
Passa-Alto
Elimina-Banda
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Filtro Passa Basso
La banda passante di un PASSA BASSO è, per definizione,
compresa tra 0 Hz (segnale continuo) e la frequenza di taglio
fc , in corrispondenza della quale il valore della tensione di uscita
diventa il 70.7% (-3dB) del valore massimo assunto dalla
stessa tensione nella banda passante.
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Filtro Passa Basso
La banda passante ideale, rappresentata in figura dalla zona
in colore compresa tra le linee tratteggiate, si porta
istantaneamente a zero (cioè è caratterizzata da una pendenza
infinita) in corrispondenza della frequenza fc .
La larghezza di banda di questo tipo di filtro risulta pertanto
uguale ad fc.
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Filtro Passa Basso
Sebbene una risposta ideale non sia praticamente realizzabile, è
comunque possibile ottenere pendenze (roll-off ) di
-20 dB/decade e anche maggiori.
La figura riporta i diagrammi di Bode di alcuni filtri passa
basso passivi , con pendenza diversa (1°, 2° e 3° ordine).
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Filtro Passa Basso
La pendenza di -20 dB/decade si ottiene mediante un'unica rete
RC composta da una resistenza e da un condensatore.
Per realizzare pendenze maggiori ( ordine maggiore) occorre
collegare opportunamente tra loro più reti RC.
Ciascuna di tali reti viene chiamata POLO.
La frequenza di taglio di un filtro RC è quella per cui si ha che
Xc = R e pertanto è data dalla relazione
1
fc =
2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
10
Filtro Passa Alto
La risposta del filtro PASSA ALTO consiste nella attenuazione di
tutti i segnali con frequenze inferiori a fc , e nel lasciare invece
passare tutti i segnali con frequenze superiori a fc.
Come per il Passa Basso la frequenza di taglio è la frequenza
in corrispondenza della quale il valore della tensione di uscita
diventa il 70.7% (-3dB) del valore massimo assunto dalla stessa
tensione nella banda passante (figura).
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Filtro Passa Alto
Come nel caso del filtro passa basso RC, anche la frequenza
di taglio del Passa Alto corrisponde alla frequenza in
corrispondenza della quale si ha Xc = R e, di conseguenza, è
data dalla relazione
1
fc =
2 ⋅π ⋅ R ⋅ C
La risposta di un filtro Passa Alto si estende da fc fino a una
frequenza il cui valore risulta fissato dalle limitazioni imposte
dall'elemento attivo (transistor o amplificatore operazionale)
utilizzato nel filtro.
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Filtro Passa Alto
La risposta ideale, indicata dalla zona in colore racchiusa nelle
linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero (pendenza
infinita) in corrispondenza di fc.
Tale comportamento è, ovviamente, irrealizzabile.
E’ però possibile ottenere pendenze di 20 dB/decade o multipli di
questo valore, tenendo presente che ciascun POLO (cioè
ciascuna rete RC) introduce una pendenza di 20 dB/decade.
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Filtro Passa Banda
Un filtro Passa Banda consente il passaggio di tutti i
segnali le cui frequenze fanno parte di una BANDA compresa
tra una frequenza limite inferiore e una frequenza limite
superiore, mentre impedisce il passaggio di tutti i segnali con
frequenze esterne alla suddetta banda.
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Filtro Passa Banda
La larghezza di banda (BW) è definita come la differenza
tra la frequenza di taglio superiore (fc2) e la frequenza di taglio
inferiore (fc1):
BW = f c 2 − f c1
Le frequenze di taglio sono le ascisse della risposta in
frequenza in corrispondenza delle quali l'ampiezza della risposta
stessa è il 70.7% del suo valore massimo.
15
Filtro Passa Banda
Queste frequenze di taglio vengono anche chiamate
frequenze a -3 dB.
La frequenza rispetto alla quale risulta centrata la banda
passante viene chiamata FREQUENZA CENTRALE f0 .
Essa è definita come media geometrica delle frequenze di
taglio:
f0 =
f c1 ⋅ f c 2
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Filtro Passa Banda
Il fattore di qualità Q di un filtro passa banda è il rapporto
tra la frequenza centrale e la larghezza di banda del filtro
stesso:
f0
Q=
BW
Il valore di Q è un'indicazione della SELETTIVITÀ di un filtro Passa Banda.
Quanto più elevato è Q, tanto più stretta risulta la larghezza di banda e, di
conseguenza, migliore risulta la selettività del filtro per un dato valore di Q.
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Filtro Passa Banda
I filtri Passa Banda vengono talvolta classificati:
• a banda stretta se è Q > 10
• a banda
larga
se è Q < 10
Il fattore di qualità Q può anche essere espresso in funzione
del fattore di smorzamento ξ (damping factor) del filtro
nel modo seguente:
Q
1
2⋅ ξ
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Filtro Elimina Banda
Un'altra categoria di filtri attivi è quella dei filtri
Elimina Banda (che vengono a volte designati anche con
il termine inglese NOTCH ).
Il comportamento di questo tipo di filtro esattamente
l’opposto di quello del filtro passa banda.
Nel filtro Elimina Banda, infatti, tutti i segnali con frequenze
comprese in una data larghezza di banda vengono respinti
mentre è consentito il passaggio a tutti i segnali con
frequenze esterne ad essa.
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Filtro Elimina Banda
Nella figura è riportato un esempio di risposta in frequenza di un
filtro elimina banda passivo.
Si noti che, esattamente come nel caso della risposta in
frequenza del filtro Passa Banda, la larghezza di banda è
l'insieme di frequenze comprese tra i punti a 3dB.
20
Curva di risposta Passa -Basso:
approfondimento
21
Curva di risposta Passa - Banda:
approfondimento
22
Check-up
• La larghezza di banda di un filtro Passa Basso è
determinata da……………
• Che cosa limita la larghezza di banda di un filtro Passa Alto?
• In un filtro Passa Banda, che relazione esiste tra il
Q e la larghezza di banda?
• In che modo la selettività di un filtro dipende dal Q del filtro?
• Quanto vale il Roll-Off di un Passa-Alto del III ordine?
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Filtri di ordine 1
in
io
z
a
or
lav
….
e
n
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Filtri di ordine 1
Premessa - A
Nello studio dei filtri si farà spesso riferimento al concetto di
funzione di trasferimento del filtro o, più in generale, di un
quadripolo.
In questo contesto essa può essere definita come
rapporto tra le tensioni di uscita e di ingresso
(nella variabile complessa s = jω).
Vi
Filtro
Funzione di trasferimento:
Vo
H
Vo
Vi
25
Filtri di ordine 1
Premessa – B
I filtri del PRIMO ORDINE sono caratterizzati da:
• 1 polo nella funzione di trasferimento
• pendenza, in valore assoluto, di 20 dB per decade
• massimo sfasamento tra Vo e Vi, in valore assoluto, pari a 90°
Nota: i POLI sono le radici del polinomio al denominatore
della Funzione di trasferimento.
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Filtri passivi del I ordine
27
Filtro RC passivo Passa-Basso
H( s )
Vo
1
Vi
1 + s ⋅ RC
Polinomio di I grado: un polo
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Filtro RC passivo Passa-Basso
Ponendo s=jω nella precedente funzione di trasferimento
si ottiene la risposta in frequenza:
H( jω)
V o ( jω)
V i( jω)
1
1 + jω ⋅ RC
Il modulo di H(jω) rappresenta il rapporto tra l’ampiezza del segnale
sinusoidale all’uscita del filtro e quello all’ingresso, alla pulsazione ω.
Il modulo di H(jω) vale:
H( jω)
1
1
1 + jω ⋅ RC
1 + ( ωRC)
2
La fase, cioè lo sfasamento introdotto dal quadripolo-filtro, è :
φ
 ωRC 

 − atan 
1
1
 


atan 
0
−atan ( ωRC)
29
Filtro RC passivo Passa-Basso
Desiderando esprimere il modulo del guadagno in forma
logaritmica, si ha:
|H(jω )|dB = 20—log |H(j ω)|
|H(jω )|dB =
Quindi, in definitiva:
|H(jω )|dB =
30
Filtro RC passivo Passa-Basso
I diagrammi sottostanti mostrano le risposte in ampiezza e fase
di un filtro RC Passa Basso I ordine - passivo.
31
Filtro RC passivo Passa-Basso
32
Filtro RL passivo Passa-Basso
Un filtro passivo del I ordine Passa-Basso può essere ottenuto
anche mediante una rete RL , come da figura
La funzione di trasferimento si determina con lo steso metodo
visto per il Passa – Basso RC ed è la stessa, a patto di sostituire
la costante di tempo RC con L/R (costante di tempo di un circuito LR):
G( s )
Vo
Vi
1
1+ s⋅
L
R
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Filtro RC passivo Passa - Alto
La corrente risulta:
La tensione in uscita è:
V o( s )
I( s ) ⋅ R
V i( s )
R+
1
⋅R
sC
e quindi il rapporto uscita – ingresso vale
H( s )
Vo
s ⋅ RC
Vi
1 + s ⋅ RC
Polinomio di I grado: uno zero
Polinomio di I grado: un polo
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Filtro RC passivo Passa - Alto
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Filtro RC passivo Passa - Alto
Un filtro passivo del I ordine Passa-Alto può essere ottenuto
anche mediante una rete RL , come da figura
La funzione di trasferimento si determina con lo steso metodo
visto per il Passa – Alto RC ed è la stessa, a patto di sostituire
la costante di tempo RC con L/R:
G( s )
Vo
Vi
s⋅
L
R
1+ s⋅
L
R
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Filtri Attivi del I ordine
37
Filtro RC attivo Passa - Alto
Un filtro attivo Passa Alto del primo ordine può essere realizzato con
una cella RC ed un amplificatore operazionale (non invertente)
R
R
OUT
+
C
Vi
R
La funzione di trasferimento è:
Vi
Vo
Vo  R2  sCR
= 1 + 
Vi  R1  1 + sCR
Vo
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Filtro RC attivo Passa - Basso
Un filtro attivo Passa Basso del primo ordine può essere realizzato
con una cella RC ed un amplificatore operazionale (non invertente)
R2
R1
OUT
R
C
Vi
+
U1
Vo
La funzione di trasferimento è:
Vi
Vo  R2  1
= 1 + 
Vi 
R1  1 + sCR
Vo
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Filtro RC attivo Passa - Alto
Un’altra possibile configurazione circuitale per filtri attivi Passa Alto
del I ordine è mostrata nella figura seguente.
C
Rf
Rs
OUT
Vi
+
U1
La funzione di trasferimento è:
Vo
sCR f
Vo
=−
Vi
1 + sCRs
40
Filtro RC attivo Passa-Basso
Un’altra possibile configurazione circuitale per filtri attivi Passa
Basso del I ordine è mostrata nella figura seguente.
Cf
Rf
Rs
OUT
Vi
+
U1
Vo
La funzione di trasferimento è:
R
Vo
1
=− f
Vi
Rs 1 + sC f R f
41
Filtri di II ordine
in
io
z
a
or
lav
….
e
n
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Filtri Passivi di ordine 2
Premessa
I filtri del SECONDO ORDINE sono caratterizzati da:
• 2 poli nella funzione di trasferimento
• pendenza, in valore assoluto, di 40 dB per decade
• massimo sfasamento tra Vo e Vi, in valore assoluto,
di 180°
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