INVARIANZA DELLE LEGGI DELLA MECCANICA RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI
GALILEIANE
Verifichiamo che le leggi della Meccanica sono le sesse per tutti i riferimenti inerziali
a)il secondo principio della dinamica F = ma è invariante
Infatti
m è considerata invariante ( caratteristica del corpo)
a è invariante
la forza, che in generale dipende dalla distanza o dal tempo , è invariante
b) il terzo principio della dinamica ovvero il principio di conservazione della Quantità di moto è
covariante nel senso che il valore della quantità di moto dipende dal riferimento, ma il principio
resta verificato in S come in S’
Consideriamo in S un sistema costituto da due masse, M ed m , di velocità V e v, rispettivamente.
Se P1 = M Viniziale + m viniziale è la quantità di moto del sistema prima dell’interazione , e P2 =
Vfinale + m finale è la quantità di moto dopo l’interazione, per il terzo Principio sarà P1 = P2.
Passando al riferimento S’
P’1= M(Viniziale-vt) + m (viniziale -vt)= P1+(M+m)vt
P’2= M(V finale-vt) + m (v finale -vt)= P2+(M+m)vt
Quindi, se P1 = P2., anche P’1 = P’2.
Analogamente
c)Il principio di conservazione dell’energia è covariante
Consideriamo come esempio un carrellino su cui è fissata una catapulta che, grazie ad una molla
compressa, lancia un proiettile P con velocità v rispetto al carrello, il quale acquisterà una velocità
W di rinculo.Sfruttando la conservazione della quantità di moto e dell’energia possiamo scrivere
0
mv MW
1 2 1
2
L
2 mv 2 MW
dove L è il lavoro compiuto dalla molla, pari all’energia elastica immagazzinata
Nel caso in cui il carrellino si muove di moto rettilineo uniforme , con velocità V, rispetto al
tavolo Ox, che consideriamo fermo, le equazioni precedenti vanno interpretate in un riferimento
solidale col carrello .
Rispetto al riferimento del tavolo possiamo applicare innanzi tutto il Principio di conservazione
della quantità di moto m(v V ) M (V W ) ( m M )V da cui mv+MW=0.
1
Per quanto riguarda le energie cinetiche , consideriamo quella iniziale (m M )V 2 e quella finale
2
1
1
m(v V ) 2 M (V W ) 2 del sistema
2
2
La seconda equazione, dopo semplici passaggi algebrici,
1 2 1
1
1
1
1
mv MW 2 (m M )V 2 V (mv MW ) mv 2 MW 2 (m M )V 2
2
2
2
2
2
2
Pertanto l’aumento di energia , dovuto al lavoro della forza elastica, è uguale nei due riferimenti
Osservazione: l’energia cinetica del proiettile, misurata rispetto al tavolo, è maggiore , dato che la
velocità è maggiore, ma in compenso è minore l’energia cinetica finale del carrello , in quanto v e
W hanno verso opposto
INDIETRO
In epoca moderna il concetto di invarianza rispetto ad un gruppo di trasformazioni è stato sempre
più avvicinato al concetto di simmetria e a loro volta le proprietà di simmetria dello spazio-tempo
sono state collegate con i tre principi di conservazione, della quantità di moto, del momento
angolare e dell’energia, ( Engel –1916)
Scrive Weil nel suo Simmetry(1952) : “ Condividiamo ancor oggi la sua ( di Keplero) fede
nell’armonia matematica dell’universo: essa ha retto all’esame di un’esperienza sempre bpiù vasta .
oggi però non ricerchiamo più quest’armonia in forme statiche come i poligoni regolari, ma in
leggi dinamiche”
Le leggi fisiche esprimono le relazione che gli eventi fisici devono soddisfare, i principi di
simmetria rappresentano condizione imposte alle leggi stesse .
