7. CAPACITÀ DEL CONDENSATORE SFERICO
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FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
IL CONDENSATORE CILINDRICO
Consideriamo un condensatore cilindrico, che è costituito da due cilindri conduttori molto lunghi rispetto al loro raggio, coassiali e isolati tra loro. Inoltre, il cilindro
esterno è collegato a terra. In questa condizione, la stessa dimostrazione esposta per
il condensatore sferico nel paragrafo 7 del capitolo «Fenomeni di elettrostatica» ci
porta ad affermare che
nel condensatore cilindrico avviene il fenomeno dell’induzione completa: se il
cilindro interno è elettrizzato con una carica Q, su quello esterno si porta una
carica elettrica −Q.
Per fissare le idee, nella trattazione che segue la carica Q è considerata positiva. Inoltre indichiamo con J la costante dielettrica assoluta dell’isolante posto tra i cilindri,
con R1 il raggio del cilindro più interno, con R2 il raggio del cilindro esterno e con L
la lunghezza dei due cilindri.
Proprietà geometriche del campo elettrico all’interno
del condensatore
Molto minore e molto
maggiore
Sulla base di quanto è detto sopra, valgono le relazioni
R1 % L
e
R2 % L ,
(1)
I due simboli % e &, molto
usati in fisica, significano
rispettivamente «molto minore»
e «molto maggiore».
per cui ha senso modellizzare il problema come se i due cilindri avessero lunghezza
infinita. In questo modo la carica elettrica si dispone in modo omogeneo sulle due
armature ed è possibile ripetere identica la dimostrazione (nel paragrafo 8 del capitolo «Il campo elettrico») che riguarda il campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea infinita omogenea di carica elettrica.
Ciò porta alla determinazione delle proprietà geometriche del vettore campo
elettrico nello spazio tra i due cilindri. In particolare, si trova che:
• in ogni punto, il campo elettrico è perpendicolare all’asse di simmetria dei
cilindri;
• in punti alla stessa distanza r da tale asse di simmetria (con R1 # r # R 2 ) il
vettore campo elettrico ha lo stesso modulo E(r).
Il modulo del campo elettrico tra le armature cilindriche
Le proprietà geometriche appena enunciate suggeriscono che è conveniente determinare il valore di E(r) utilizzando una superficie gaussiana che ha la forma di un
cilindro di raggio r, con lo stesso asse delle due armature e di lunghezza L (figura 1).
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FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
Figura 1 La superficie gaussiana ha la forma di un cilindro di raggio r,
coassiale alle armature del condensatore.
r
R1
R2
In questo caso, possiamo ancora una volta sfruttare l’impostazione già vista nel caso del «filo» di carica (figura 28 nel paragrafo 8 del capitolo «Il campo elettrico») e
trovare così che il flusso di campo elettrico (E ) attraverso è dato dalla formula
(E ) = 2Lr E (r) .
(2)
Ora possiamo ricordare la legge di Gauss per il campo elettrico
(E ) =
Qtot
;
J
(3)
visto che, nel caso che stiamo esaminando, si ha Qtot Q, uguagliando i secondi
membri delle formule (2) e (3) otteniamo:
2Lr E (r) =
Q
.
J
Da questa relazione si può isolare il modulo del campo elettrico, che risulta:
E (r) =
1 Q
2LJ r
(4)
Notiamo che il rapporto Q/L è analogo alla densità lineare di carica elettrica nel
«filo di carica»; allora, se confrontiamo la formula (4) appena ottenuta con la formula (21) del capitolo «Il campo elettrico» vediamo che
il campo elettrico generato da una distribuzione cilindrica omogenea di carica
è, nei punti esterni alla distribuzione stessa, uguale a quello che ci sarebbe
negli stessi punti se tutta la carica fosse concentrata nell’asse di simmetria del
cilindro.
Calcolo della differenza di potenziale ai capi
del condensatore
Consideriamo ora una traiettoria rettilinea L che collega l’armatura interna del condensatore con quella esterna rimanendo sempre radiale rispetto all’asse di simmetria del sistema. Per quanto detto in precedenza (e considerando Q positivo) l’elemento di linea infinitesimo dl lungo questa linea è in ogni punto parallelo al campo
elettrico E (r) in quel punto.
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Allora, per la formula (13) del capitolo «Il potenziale elettrico», la differenza di potenziale infinitesima dV(r) ai capi di dl è data da:
(5)
dV (r) =- E (r) $ dl =- E (r) dr ,
dove dr è la lunghezza infinitesima del vettore dl .
Su questa base possiamo calcolare la differenza di potenziale V (positiva) tra le
due armature sommando lungo il cammino L tutti gli incrementi infinitesimi dati
dall’espressione (5). Otteniamo così l’integrale
V =
=
yR dV (r) =- yR E (r) dr = yR E (r) dr = yR
R1
R1
R2
R2
2
2
1
1
Q
2LJ
R2 1
yR
1
r
1 Q
dr =
2LJ r
dr.
(6)
Conviene allora calcolare a parte l’integrale definito
R2 1
yR
1
r
R2
dr = 8ln r B = ln R 2 - ln R1 = ln
R1
R2
.
R1
(7)
Inserendo la (7) nella (6) otteniamo, quindi, il valore
V =
Q
2LJ
R2 1
yR
1
r
dr =
Q
R
ln 2
2LJ
R1
(8)
È facile verificare che, con Q 2 0 e R2 2 R1, il valore di V dato dalla formula precedente risulta positivo.
La capacità del condensatore cilindrico
Possiamo ora derivare la capacità C del condensatore cilindrico. Infatti, sulla base
della definizione C Q/V e del risultato (8) otteniamo:
C=
Q
=
V
Q
Y
2LJ
=
Q
R
R2
Y
ln 2
ln
R1
2LJ
R1
(9)
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FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
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FENOMENI
DI ELETTROSTATICA
ESERCIZI
PROBLEMI
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Un condensatore cilindrico ha due armature di
lunghezza L 6,8 cm separate da un isolante con
Jr = 4, 3 . I raggi dei due cilindri valgono rispettivamente R1 1,1 mm e R2 3,9 mm e la carica
sull’armatura interna è Q 72 pC.
Utilizza la precedente approssimazione per
esprimere la capacità del condensatore cilindrico
nel caso descritto nel testo.
Dal punto di vista geometrico, a cosa corrisponde la quantità 2R1L?
Calcola il valore del campo elettrico presente in
un punto posto a metà strada tra le superfici delle
[1,8 × 103 V/m]
due armature.
2
Indicata tale quantità con il simbolo A, a quale
Considera di nuovo i dati dell’esercizio precedente.
altra espressione si riduce la capacità del condensatore cilindrico quando è valida la condizione
enunciata nel testo del problema?
Determina
[C 2R1LJ/d; la superficie laterale del cilindro interno;
alla capacità del condensatore piano C J A/d]
il valore della capacità del condensatore e quello della differenza di potenziale ap[13 pF; 5,5 V]
plicata a esso.
3
6
Un condensatore cilindrico è lungo 4,7 cm e i
raggi delle sue armature misurano, rispettivamente, 2,6 mm e 3,4 mm. Quando ai suoi capi è
posta la differenza di potenziale V 27 V, la
carica sulla sua armatura positiva vale 0,97 nC.
Calcola il valore:
della capacità del condensatore;
della costante dielettrica relativa dell’isolante
[36 pF; 3,7]
posto tra le armature.
4
Considera il caso in cui i raggi R1 e R2 dei cilindri
sono quasi uguali, con R2 R1 d e R1 & d.
Dall’Analisi Matematica si dimostra che, per x
piccolo, vale l’approssimazione ln (1 + x) , x .
Esamina la capacità di un condensatore sferico
nel caso descritto nell’esercizio precedente (cioè
con R r d e d % r).
Definisci qual è la formula che esprime in mo-
do approssimato la capacità del condensatore
sferico nel caso sopra descritto.
A quale altra espressione è analoga la formula
così ricavata?
[C 4Jr2/d; alla capacità del condensatore piano
con A 4r2]
Un condensatore di capacità C 5,52 pF ha le
armature cilindriche lunghe 9,09 cm e poste nel
vuoto.
Determina
di quante volte il raggio dell’armatura esterna è maggiore del raggio di quella inter[2,5]
na.
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