3.4-Scuola secondaria di primo grado

LO SPAZIO E LE FIGURE
SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO
Costruire poligoni
Livello scolare: 1a classe
Competenze interessate
Costruire e disegnare con strumenti
vari le principali figure geometriche
In contesti vari, individuare,
descrivere e costruire relazioni
significative: riconoscere analogie e
differenze.
Descrivere proprietà di figure con
termini appropriati.
Produrre congetture.
Verificare le congetture prodotte
testandole su casi particolari.
Validare le congetture prodotte, sia
empiricamente,
sia
mediante
argomentazioni, sia ricorrendo ad
eventuali controesempi.
Giustificare affermazioni durante
una discussione matematica anche
con
semplici
ragionamenti
concatenati.
Collegare le risorse all’obiettivo da
raggiungere
scegliendo
opportunamente
le azioni da
compiere e concatenandole in modo
efficace al fine di produrre una
risoluzione del problema.
Contenuti
Costruzione
piane
di
Nuclei coinvolti
Collegamenti
esterni
figure Lo spazio e le Educazione
figure
tecnica
Relazioni tra lati ed angoli
di un poligono
Le relazioni
Somma degli angoli di un
triangolo e di un poligono
Criteri di congruenza dei Misurare
triangoli
Argomentare
congetturare
e
Contesto
Figure geometriche come oggetti matematici
Descrizione dell’attività
Prima parte.
I ragazzi divisi in gruppi ricevono per ogni gruppo quattro strisce di cartone rigido (forate
all’estremità in modo da permettere l’inserimento di ferma campioni) di misura predefinita ed
indicata in centimetri su ogni striscia: ad esempio 3, 4, 5, 6 o 2, 3, 4, 9 oppure 2, 7, 8, 10 oppure
ancora 4, 7, 9, 22
La misura è la distanza tra i centri dei fori di ogni striscia.
LO SPAZIO E LE FIGURE
I ragazzi devono verificare se è possibile per ogni caso considerato costruire dei quadrilateri. Essi
controllano che non in tutti i casi si può costruire un quadrilatero: si discute su quale sia la
condizione necessaria perché la costruzione sia possibile.
“In un quadrilatero qualunque, la misura di uno dei lati non può mai essere uguale o maggiore alla
somma delle misure degli altri tre lati”
I ragazzi verificano che i quadrilateri sono mobili: una stessa figura di quattro lati, pur mantenendo
le stesse misure può assumere forme diverse.
Per consolidare queste prime considerazioni si passa a costruire i quadrilateri con riga e compasso:
ogni gruppo sceglie ed indica le misure dei quattro segmenti e poi passa alla costruzione dei
quadrilateri su carta quadrettata.
Successivamente la classe sceglie misure uguali per tutti ed ogni allievo costruisce con riga e
compasso un quadrilatero e lo ritaglia dalla carta quadrettata: si prova a sovrapporre i quadrilateri
per verificarne la congruenza.
Seconda parte.
Si pone allora il problema: a quale condizione due quadrilateri costruiti con lati aventi misure uguali
sono congruenti ?
Analizzando le figure prodotte e descrivendole emerge la congettura che debbano essere uguali
anche gli angoli interni e non solo i lati.
La classe sceglie altre quattro misure (uguali per tutti i gruppi) e poi ogni gruppo decide le
ampiezze dei quattro angoli interni e prova a costruire con riga, compasso e goniometro il
quadrilatero che abbia quelle misure dei lati e degli angoli.
Probabilmente non tutti i gruppi riescono a rispettare le condizioni poste dalle misure degli angoli:
si discute di quale sia la condizione necessaria.
Analizzando e misurando i quadrilateri prodotti ci si accorge che la somma degli angoli interni
deve essere uguale ad un angolo giro.
Si prova a trarre una conclusione generale: un quadrilatero è definito dalla misura dei lati e degli
angoli interni; la somma delle misure di tre lati qualsiasi deve essere maggiore della misura del
quarto lato e la somma degli angoli interni deve essere uguale ad un angolo giro.
Eventuale sviluppo in classi successive alla prima.
Per costruire un determinato quadrilatero è necessario indicare le misure di tutti i lati e di tutti gli
angoli interni o è sufficiente un numero minore di informazioni?
Si può partire dal caso più semplice (il quadrato) e procedere fino a quello più complesso (il
quadrilatero non trapezio): in questo modo si rivede in modo costruttivo la classificazione dei
quadrilateri. Gli allievi operano con riga, compasso e goniometro.
I ragazzi sanno che per costruire un quadrato basta conoscere la misura del lato (una informazione)
e che per realizzare un rettangolo è sufficiente sapere la misura di due lati consecutivi (due
informazioni).
Scoprono che per disegnare un rombo bisogna conoscere la lunghezza del lato e la misura di un
angolo (due informazioni).
Per un parallelogramma sono sufficienti le misure di due lati
consecutivi e l’ampiezza dell’angolo compreso (tre informazioni); il trapezio richiede la conoscenza
della misura di un lato, dei due angoli adiacenti e di un altro lato (quattro informazioni).
Infine un quadrilatero non trapezio è determinato dalle misure di tre lati consecutivi e dall’ampiezza
dei due angoli che essi formano oppure dall’ampiezza di tre angoli consecutivi e dalla lunghezza dei
due lati che formano l’angolo intermedio (cinque informazioni).
Per verificare la validità delle conclusioni tratte, i ragazzi possono giocare a gruppi: un gruppo
costruisce un quadrilatero, disegnandolo su un foglio quadrettato, misura gli elementi necessari e
LO SPAZIO E LE FIGURE
sufficienti e poi li segnala ad un altro gruppo che deve cercare di costruire lo stesso quadrilatero su
un altro foglio quadrettato. Si ritagliano i due quadrilateri e si verifica la loro congruenza.
Terza parte.
A quali condizioni è possibile costruire un triangolo?
I ragazzi divisi in gruppi ricevono tre delle solite strisce di cartone ed osservano che anche per i
triangoli vale la condizione che la somma delle misure di due lati qualunque deve essere maggiore
della misura del terzo lato.
I ragazzi verificano che i triangoli, a differenza dei quadrilateri, sono figure rigide: in altre parole,
date le misure dei tre lati, se la condizione precedente è rispettata, tutti i triangoli con quelle misure
sono congruenti.
Si può dire qualcosa a proposito della somma degli angoli interni ? Gli allievi possono verificare
che la somma equivale sempre ad un angolo piatto.
Eventuale sviluppo.
Si possono estendere le stesse considerazioni alle famiglie di poligoni con 5 o 6 lati: a quali
condizioni si formano pentagoni ed esagoni ? quante vale la somma degli angoli interni ?
Esiste una formula generale che, dato il numero dei lati, permetta di determinare la somma degli
angoli interni ?
Per rispondere a questo quesito si può costruire una tabella che riepiloghi le osservazioni fatte si
triangoli, quadrilateri, pentagoni ed esagoni:
poligono
Triangolo
Quadrilatero
Pentagoni
Esagoni
N° lati
3
4
5
6
Somma angoli interni
180
360
540
720
I ragazzi possono osservare che nell’ultima colonna ci sono i multipli di 180: 180x1, 180x2, 180x3, 180x4 e
che il fattore, per cui viene moltiplicato 180, è ottenuto diminuendo di 2 il numero dei lati ( S = 180x(n-2) )
Eventuale sviluppo in classi successive alla prima.
Si è visto in precedenza che un criterio di congruenza dei triangoli è dato dalla congruenza dei tre
lati: esistono altri criteri di congruenza ?
I ragazzi esplorano il problema con riga, compasso e goniometro.
Possiamo partire anche questa volta dal caso più semplice: il triangolo equilatero. Per costruirlo è
sufficiente conoscere la misura del lato (una informazione).
Per il triangolo isoscele basta sapere le misure di un lato e di un angolo (due informazioni).
Per realizzare un triangolo scaleno occorrono più informazioni: una possibilità, come sappiamo, è
data dalla misura dei tre lati (tre informazioni).
Si può ipotizzare che, fermo restando il numero delle informazioni necessarie, si possano
considerare anche gli angoli: due lati e l’angolo compreso oppure un lato e i due angoli adiacenti.
Per verificare la validità delle conclusioni tratte, anche questa volta i ragazzi possono giocare a
gruppi: un gruppo costruisce un triangolo, disegnandolo su un foglio quadrettato, misura gli
elementi necessari e sufficienti e poi li segnala ad un altro gruppo che deve cercare di costruire lo
stesso triangolo su un altro foglio quadrettato. Si ritagliano i due quadrilateri e si verifica la loro
congruenza.
LO SPAZIO E LE FIGURE
LO SPAZIO E LE FIGURE
Leggiamo in 2D un mondo a 3D
Livello scolare: 1a e 2a classe
Competenze
interessate
Visualizzare oggetti tridimensionali a
partire da una rappresentazione
bidimensionale e, viceversa,
rappresentare su un piano una figura
solida.
Conoscere le principali proprietà delle
figure geometriche
Individuare gli elementi significativi di
una figura Risolvere problemi usando
proprietà geometriche delle figure anche
ricorrendo a opportuni strumenti
Contenuti
Le principali figure
del piano e dello
spazio
Nuclei
Collegamenti
coinvolti
esterni
Lo spazio e le Lingua
figure
italiana
Scienze
Rappresentazione
piana di figure
solide
In contesti vari, individuare, descrivere
e costruire relazioni significative:
riconoscere analogie e differenze.
Descrivere proprietà di figure con
termini appropriati.
Produrre congetture
Validare le congetture prodotte, sia
empiricamente, sia mediante
argomentazioni, sia ricorrendo a
eventuali controesempi.
Comprendere il ruolo della definizione
in matematica.
Dare definizioni di semplici oggetti
matematici.
Collegare le risorse all’obiettivo da
raggiungere scegliendo opportunamente
le azioni da compiere concatenandole in
modo efficace al fine di produrre una
risoluzione del problema.
Educazione
artistica
Le relazioni
Argomentare e
congetturare
Risolvere e porsi
e problemi
Contesto
Figure geometriche come oggetti matematici
Descrizione dell’attività
Fasi dell’attività:
a) Passaggio dallo spazio tridimensionale alla sua rappresentazione bidimensionale.
1. Disegno spontaneo di oggetti. Consegna: i ragazzi disegnano oggetti comuni (noti nella
quotidianità) la cui forma sia possibilmente inquadrabile fra quelle tradizionalmente studiate nella
geometria solida.
LO SPAZIO E LE FIGURE
2. Ricalco del contorno di oggetti su acetato. Si utilizza una lastra di plexiglas incorniciata posta
su un tavolo e si pone a pochi cm di distanza uno degli oggetti già disegnati, o sospeso mediante un
filo, oppure infilzato in uno spiedino con le estremità sostenute da appoggi laterali. Consegna: i
ragazzi appendono con delle mollette un foglio di acetato alla lastra dalla parte opposta a quella in
cui si trova l’oggetto e cercano di riprodurlo ricalcandone i contorni.
3. Fotografia di oggetti. Consegna: i ragazzi fotografano gli oggetti guardandoli attraverso
l’obiettivo nella stessa posizione in cui erano stati disegnati.
4. Proiezione di oggetti per mezzo di un proiettore. Il proiettore è posto in modo che lo schermo
sia ortogonale all’asse del cono d’ombra. Si invitano i ragazzi a identificare le sezioni dell’ombra
intercettata dal muro di oggetti aventi varie forme. Ad esempio proiettando scatole aventi la forma
di un parallelepipedo rettangolo si ottengono sezioni d’ombra aventi la forma di rettangoli, quadrati,
… ma anche pentagoni, esagoni.
5. Previsione delle sezioni d’ombra di un oggetto. Consegna: ogni ragazzo sceglie un oggetto del
quale deve disegnare le sezioni d’ombra su un foglio specificando, in corrispondenza ad ogni
disegno, la posizione dell’oggetto rispetto alla fonte luminosa.
6. Previsione delle possibili sezioni di un solido mediante l’uso di modelli concreti. Si possono
prima scegliere oggetti comuni: un’arancia, una carota, la cialda di un cono gelato, un pezzo di
plastilina modellato secondo diverse forme. Successivamente si focalizza l’attenzione sul poliedro
più familiare: il cubo e si analizzano le sezioni di un cubo, utilizzando cubi costruiti con spugna da
fioraio o un cubo contenente acqua colorata
b) Passaggio dall’immagine bidimensionale alla sua interpretazione tridimensionale.
1.
Elencazione delle possibili forme degli oggetti che hanno una determinata proiezione sul
muro.
2.
Individuazione di un oggetto a partire da sue proiezioni su un telone. Si pone un telone
traslucido fra due ragazzi. Un ragazzo da una parte del telone illumina un oggetto con un proiettore
e l’altro, dall’altra, deve indovinare la forma dell’oggetto esaminando l’ombra proiettata sul telone.
In una determinata posizione è possibile dare più risposte, ma se l’oggetto viene rigirato da diverse
angolazioni, dalle sue diverse ombre è possibile risalire all’oggetto stesso, o almeno alla sua forma.
L’attività del disegno spontaneo deve essere proposta a tutti i ragazzi con le stesse modalità. Lo
stesso oggetto viene disegnato da più ragazzi in momenti successivi, in modo da poter comparare i
risultati. Uno degli accorgimenti da seguire nel disegno spontaneo è quello di variare la posizione
dell’oggetto da disegnare e il punto di vista da parte del ragazzo; ciò per evitare lo stereotipo di
affidarsi nella rappresentazione più al ricordo e all’immaginazione dell’oggetto così come lo si
conosce, che a ciò che di fatto e oggettivamente si vede, in modo che il ragazzo sia costretto a
osservare e il disegno non subisca condizionamenti.
Uno dei momenti più significativi dell’attività è quello della discussione che nasce dal confronto fra
il disegno spontaneo dell’oggetto (in cui ciò che si vede viene filtrato dall’esperienza), il disegno
attraverso la lastra di plexiglas (che costituisce una rappresentazione meno soggettiva in quanto
guidata dalla lastra) e le fotografie dello stesso oggetto che forniscono una rappresentazione
oggettiva e distaccata (la macchina fotografica non interpreta ciò che vede). La fase di riflessione
successiva consente di notare le incongruenze del disegno spontaneo
si disegna ciò che non è possibile vedere, ma che si sa che c’è
e fa sentire la “necessità” della perdita di informazioni (in termini di relazioni geometriche) nel
passaggio dal tridimensionale al bidimensionale. Questo tipo di osservazioni facilita il graduale
passaggio allo studio della prospettiva, che in tal modo non diventa una passiva acquisizione di
regole, ma riesce a dare un codice con determinate regole della trasposizione del tridimensionale.
Attraverso le attività della prima fase (a) i ragazzi colgono la non univocità fra l’oggetto e le sue
sezioni d’ombra e fra l’oggetto e le sue sezioni.
LO SPAZIO E LE FIGURE
L’attività 5 della prima fase (a) e le attività 1 e 2 della seconda fase (b), quella relativa al passaggio
inverso dall’immagine bidimensionale all’oggetto tridimensionale, favoriscono un ulteriore
passaggio verso l’astrazione, hanno lo scopo infatti di far acquisire la capacità di riconoscere un
oggetto in presenza solo di alcuni stimoli sensoriali prodotti dall’oggetto stesso (Azzali Carminati
& Visintin Mancino, 1993).
Queste attività costituiscono un avvio verso la costruzione delle immagini mentali, nel momento in
cui il ragazzo tenta di dare un’interpretazione tridimensionale ad un’immagine.
Durante l’attività 6 della fase (a) i ragazzi analizzano le sezioni di un cubo, utilizzando cubi
costruiti con spugna da fioraio o un cubo di plexiglas contenente acqua colorata (V. Villani, 1987;
Dedò, 1995). L’insegnante guida il graduale passaggio dal primo momento in cui i ragazzi tirano
ad indovinare il tipo di poligono sezione, senza aver stabilito alcun criterio per condurre l’indagine,
al momento successivo in cui un tipo di ragionamento più organizzato porta ad ipotizzare
l’esistenza di alcune sezioni, che poi viene validata attraverso opportune inclinazioni del cubo
contenente acqua colorata o dal taglio del cubo di spugna da fioraio. Si analizzano i vari casi che si
presentano aumentando da tre a sei il numero delle facce tagliate e ci si sofferma sulle proprietà dei
poligoni sezione. Dopo aver fatto rilevare che il cubo è un solido particolare avente le facce opposte
parallele, l’insegnante pone domande del tipo:
La relazione di parallelismo fra le facce ci può dare qualche informazione in più sulla relazione fra
i lati di questi poligoni sezione?
In corrispondenza di ogni tipo di poligono trovato, a tre, quattro, cinque, sei lati, troviamo sempre
il poligono regolare corrispondente?
Perché nel caso del pentagono non si può mai avere come sezione un pentagono regolare?
Le risposte alle varie domande poste dall’insegnante o dal gruppo stesso coinvolgono gli alunni in
una attività argomentativa in cui le giustificazioni, via via che si va avanti, diventano sempre più
serrate e corrette dal punto di vista formale e del linguaggio usato. Può essere significativo
sottolineare i limiti dell’intuizione, con e senza il supporto visivo costituito dal cubo con l’acqua
colorata. La presenza di alcuni poligoni sezione può essere verificata di fatto con il cubo, non senza
qualche difficoltà, solo dopo averne supposto l’esistenza in base a ragionamenti fatti in assenza
dell’oggetto preso in considerazione.
I momenti di verbalizzazione sia durante le esperienze descritte, sia a conclusione delle stesse,
consentono ai ragazzi di condurre ragionamenti che conquistano a poco a poco la loro indipendenza
dalla presenza dell’oggetto fisico su cui si ragiona.
In un primo periodo si va avanti con nomi convenzionali (scatola, palla, …), si procede con una
terminologia più appropriata solo quando i ragazzi avvertono la necessità di definire gli oggetti con
i quali lavorano per poter scoprire la rete di relazioni che imbriglia nelle sue maglie gli oggetti
stessi. In questo senso l’attività definitoria può creare diverse occasioni che costituiscono spunto
all’argomentazione.
L'attività presentata è tratta da Micale & Milone, (2001).
LO SPAZIO E LE FIGURE
Elementi di prove di verifica
Forma le coppie
Osserva questi solidi:
Qui ci sono gli stessi solidi
disegnati in modi diversi.
Elenca le coppie che
Rappresentano lo stesso
solido.
Allo specchio
Questo è uno specchio che mostra
l’immagine riflessa della lettera F
Disegna l’immagine riflessa della
lettera J in questo specchio.
Il panetto di burro
Paolo taglia così un panetto di burro
b) Quale forma ha questa
superficie tagliata?
a) Quale tipo di solido è?
c) Paolo fa ora un taglio verticale, così.
Quale forma ha la superficie tagliata?
LO SPAZIO E LE FIGURE
Tratto da: Harper E. (1988).