•
Non è degno di uomini eccellenti perdere ore come
schiavi e faticare su calcoli che potrebbero essere affidati a chiunque se venissero usate le
macchine Leibniz
•
•
Machina arithmetica in qua non
additio
tantum et subtractio sed et multiplicatio
nullo, divisio vero paene nullo animi
labore peragantur
LOGICA CLASSICA E LOGICA FORMALE
La nascita della logica, che potrebbe essere definita come la scienza che studia le forme e le leggi
del pensiero, coincide con la nascita del pensiero filosofico ( occidentale)
. La logica classica , il cui primo teorizzatore fu Aristotele( anche se il termine logica fu introdotto
probabilmente dagli stoici) si fonda prevalentemente sul sillogismo, cioè "un ragionamento
consistente di tre parti, una premessa maggiore, una premessa minore e una conclusione" e sulla
deduzione. Con logica matematica o formale si vuole indicare quella branca della logica moderna
che rappresenta i modi del pensiero con combinazioni di stringhe di segni e, spogliate queste di ogni
significato, riconduce lo studio del pensiero allo studio di tali stringhe e alle leggi che ne regolano le
trasformazioni.
La differenza fondamentale tra logica aristotelica e logica matematica (a parte l'aspetto puramente
estetico: parole nella prima, segni nella seconda) è che a differenza della seconda, la prima
concepisce una dimostrazione soprattutto come metodo di "persuasione". Cioè in essa si dà molto
peso alla componente psicologica che, al contrario, è totalmente assente nella logica matematica.
Il precursore della logica matematica fu Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) che nel 1666
espresse, nel suo primo lavoro matematico, l'idea-utopia di creare un alfabeto universale di segni
tale che tutti i possibili pensieri potessero essere espressi tramite stringhe di tali segni, così che "lo
stesso sillogismo avrebbe dovuto essere ridotto a una sorta di calcolo espresso in un simbolismo
universale comprensibile in tutte le lingue. La verità e l'errore si sarebbero ridotti allora
semplicemente a una questione di calcoli esatti o errati all'interno del sistema, e si sarebbe posto
fine a tutte le controversie filosofiche"
1
<<Di conseguenza, quando sorgeranno controversie fra due filosofi, non sarà più necessaria
una discussione, come [non lo è] fra due calcolatori. Sarà sufficiente, infatti, che essi
prendano in mano le penne, si siedano di fronte agli abachi e (se così piace, su invito di
un amico) si dicano l’un l’altro: Calculemus!>>(Leibniz, )
··
Nonostante quella di Leibniz fosse un'idea pionieristica di grande portata, essa fu accolta con
scarsissimo entusiasmo dai suoi contemporanei e la logica matematica dovette rimandare la sua
nascita di circa due secoli.
Kant, in particolare, riteneva - come asserisce esplicitamente nell'Introduzione della Critica alla
Ragion Pura - che la logica formale avesse avuto la sua formulazione definitiva in Aristotele, e non
fosse passibile di alcun progresso
L'anno che di solito si sceglie per datare la nascita della logica matematica è il 1847, anno di
pubblicazione di The mathematical Analysis of Logic (L'analisi matematica della logica) di George
Boole (1815-1864), anche se forse sarebbe più giusto scegliere l'anno 1854, in cui uscì
l'Investigation of the Laws of Tought (Investigazione sulle leggi del pensiero) sempre di Boole.
Per comprendere perché le innovazioni nella logica provengono non dall'ambiente filosofico ma
dall'ambiente dei matematici e in particolare degli algebristi inglesi, è importante soffermarci sui
mutamenti del pensiero matematico nella prima metà dell'800.
Gli algebristi inglesi e L'analisi matematica della logica di Boole
L’orientamento della matematica del primo Ottocento è quello di giungere a dare una fondazione
logica autonoma ai sistemi matematici, nel senso di scindere la loro giustificazione dalla particolare
natura degli enti cui si riferivano .
La scoperta delle Geometrie non euclidee contribuì da un lato a togliere alla Geometria il posto
privilegiato che fino allora aveva occupato nella definzione dei concetti matematici, dall’altro a
sottolineare l’importanza dei sistemi assiomatici e a spostare i sempre più i canoni estetici verso il
rigore e l’essenzialità.
In Inghilterra in particolare si sviluppa una tematica originale soprattutto nel campo dell’Algebra ,
intesa fino allora come una sorta di generalizzazione dell’aritmetica, con un progressivo distacco
dell’algebra astratta o simbolica da quella concreta , legata ancora cioè al momento numerico,
aprendo la strada al concetto di sistema formale , attraverso un processo che porta all’analisi delle
strutture formali dell’algebra fino all’algebra della logica.
Alcuni matematici (tra cui Babbage e Peacock) fondarono nel 1812 la Cambridge Analytical
Society, società il cui scopo era favorire la diffusione e lo sviluppo dei metodi algebrici dei
matematici continentali. Babbage divenne famoso per i suoi progetti di macchine di calcolo
automatiche. Peakock, algebrista di Cambridge, sviluppò una concezione del calcolo come
manipolazione puramente meccanica di simboli: l'attività combinatoria è distinta
dall'interpretazione dei risultati ottenuti.
Peakock è il primo a distinguere esplicitamente una "algebra aritmetica" e una "algebra simbolica".
Negli anni '30, insieme a queste nuove idee, si sviluppò una grossa disputa tra il matematico
Augustus De Morgan (membro anch'egli della Analitical Society) e il filosofo William Hamilton
sulla priorità di alcune idee sul modo di trattare il sillogismo. La disputa mostrava dopotutto, sia pur
in negativo, un primo intrecciarsi di interessi comuni tra filosofi e matematici, e portava l'attenzione
del mondo accademico sulla logica. Ma Hamilton in seguito, alla fine degli anni '30, criticò
aspramente l'irruzione della matematica nella logica, insistendo sul primato della filosofia sulla
matematica e sull'idea che la logica è parte della filosofia e non della matematica.
2
Nel 1847 Boole entra nel vivo della discussione con L'analisi matematica della logica, dove, contro
Hamilton, sostiene che la logica non deve associarsi alla metafisica, ma alla matematica .
Nella sua prefazione all’Analysis (1847) Boole afferma:
<< Nella primavera di quest’anno la mia attenzione fu attratta dalla disputa allora sorta fra Sir
W.Hamilton e il Professor De Morgan; e fui indotto dall’interesse che la ispirava a riesumare
trame, ormai quasi dimenticate, di indagini precedenti. Mi sembrava che, malgrado la logica
possa essere riguardata con riferimento all’idea di quantità , essa fosse caratterizzata anche da
un altro e più profondo sistema di relazioni. Se era legittimo riguardarla dall’esterno, come una
scienza che attraverso la mediazione del numero si connette con le intuizioni di spazio e tempo,
era legittimo anche riguardarla dall’interno come basata su fatti di ordine diverso che hanno la
loro sede nella costituzione della mente…>>
<<Coloro che hanno familiarità con lo stato attuale della teoria dell’algebra simbolica , sono
consapevoli che la validità dei procedimenti dell’analisi non dipende dall’interpretazione dei
simboli che vi sono impiegati , ma soltanto dalle leggi che regolano la loro combinazione . Ogni
sistema di interpretazione che non modifichi la verità delle relazioni che si suppone esistano tra
i simboli è ugualmente ammissibile , ed è così che il medesimo processo può, secondo uno
schema di interpretazione, rappresentare la soluzione di una questione riguardante le proprietà
dei numeri , secondo un altro schema quello di un problema di dinamica o di ottica. Questo
principio possiede un’importanza fondamentale e si può affermare che i recenti progressi
dell’analisi pura sono stati in larga misura promossi dall’influenza che esso ha esercitato nel
dirigere l’indirizzo della ricerca>>
<< La caratteristica che definisce un calcolo autentico consiste in questo: che esso è un metodo
fondato sull’impiego di simboli le cui leggi di combinazione sono note e generali, e i cui risultati
ammettono un’interpretazione coerente. Il fatto che alle forme oggi esistenti di analisi venga
assegnata un’interpretazione quantitativa è il risultato delle circostanze che determinarono il
sorgere di tali forme, e noi non dobbiamo farne una condizione universale dell’analisi. Sulla base
di questo principio generale , io intendo appunto fondare il calcolo logico , e reclamare per esso
un posto tra le forme di analisi matematica ormai generalmente riconosciute , senza tener conto
del fatto che, dato il suo oggetto e gli strumenti di cui si avvale, esso deve, per il momento,
rimanere isolato.>>
In termini moderni potremo esprimere il punto di vista di Boole ( e dei suoi precursori)
individua e distingue i due momenti (sintattico e semantico) del discorso inferenziale .
L’aspetto sintattico viene privilegiato durante la conduzione dell’argomentazione, una
conduzione puramente formale, l’interpretazione semantica interviene nel momento iniziale
quando si fissano gli oggetti e i principi formali del calcolo, e nel momento finale . quando si
interpretano i risultati.
Logica dei termini nell' Analisi di Boole:
Leibniz aveva notato come fosse possibile accostare la disgiunzione e la congiunzione fra concetti
alle operazioni matematiche di addizione e moltiplicazione; Boole sviluppò ulteriormente e in
maniera rigorosa questa intuizione, costruendo una rappresentazione algebrica non solo per la
congiunzione e la disgiunzione ma anche per i quantificatori 'ogni' e 'qualche', e utilizzando le
normali variabili algebriche 'x', 'y' ecc. come variabili sui due valori di verità 'vero' e 'falso',
rappresentati rispettivamente dall''1' e dallo '0'
Supponiamo di partire da un <<universo del discorso>> , ossia da un insieme di <<cose>> concrete
o no che Boole indica con <1>, il vero <<oggetto>> del nostro sistema.
3
Nell’ambito di questo universo possiamo scegliere alcuni oggetti x che godono di una certa
proprietà X e costituire così la classe x.
Tra le classi si può definire la relazione di <<uguaglianza di estensione>>, indicata con il simbolo
(=)
Se tra gli elementi di x facciamo un’ulteriore selezione scegliendo quegli elementi che godono
anche della proprietà Y definiamo sostanzialmente un’operazione tra classi che chiameremo
<<prodotto logico>> , indicato con il simbolo ( ).
Il risultato del prodotto logico si indica brevemente con xy (elementi dell’universo che godono sia
della proprietà X ,sia della proprietà Y)
X Y
.
Vale la proprietà
xy=yx ( proprietà commutativa)
Ovvero si ottiene lo stesso risultato se si scelgono gli elementi della classe x che godono della
proprietà Y o, viceversa , gli elementi della classe y che godono della proprietà X.
Somma logica
Date due classi x e y disgiunte, cioè non aventi elementi in comune, si opera la scelta degli elementi
dell’universo che appartengono ad una almeno delle due classi. L’operazione si chiama somma
logica e si indica con il simbolo (+).
Il risultato dell’operazione si indica con x+y (elementi dell’universo che godono o della proprietà
X o della proprietà Y)
Vale anche in questo caso la proprietà commutativa
x+y=y+x
Sottrazione (-).
Si osserva facilmente che x-y rappresenta il risultato della scelta : gli elementi dell’universo che
godono della proprietà X ma non della proprietà Y
L’operazione(-) è l’ inversa della somma in quanto
(x-y) + y =x
4
In particolare la classe 1-x (completare) rappresenta tutti gli elementi dell’universo che non
godono della proprietà X
1- X
Le quattro forme di proposizione categorica ( secondo la logica aristotelica)
A
Tutti gli X sonoY
( universale affermativa)
E
Nessun X è Y
( universale negativa)
I
Qualche X è Y
( particolare affermativa)
O
Qualche X non è Y
( particolare negativa)
Le quattro vocali a , e , i , o che si usano per rappresentare simbolicamente i quattro tipi di categoriche derivano
convenzionalmente dalle parole adfirmo (a: univ. affermativa, i: partic. affermativa) e nego (e: univ. negativa, o: partic.
negativa).
Si scrivono , rispettivamente
A xy=x
oppure x(1-y)= 0
E xy = 0
I
xy = u (vi è una classe U non vuota, i cui membri sono sia x che y)
O x(1-y)=u (vi è una classe U non vuota, tra i cui membri vi sono degli X, e qualcosa di ciò che non è Y).
5
La traduzione del linguaggio del pensiero in linguaggio algebrico però non si ferma qui,
Boole enuncia le leggi generali del pensiero sotto forma di leggi matematiche alle proprietà di
alcune operazioni tipiche dell'algebra e che sono comuni anche alla logica, e cioè:
1. xy = yx
Proprietà commutativa del prodotto
2. x+y=y+x
Proprietà commutativa della addizione
3.z(x+y)=zx+zy
Proprietà distributiva della moltiplicazione risp. all'add.
4.z(x-y)=zx-zy
Proprietà distributiva della moltiplicazione risp. alla sottr.
5 Sostitutività di elementi uguali rispetto a moltiplicazione, addizione e sottrazione
se x=y allora: zx=zy , z+x=z+y , x-z=y-z
6.x2=x Legge degli indici.
Si noti che mentre le prime 5 proprietà ( o meglio <<assiomi>>) sono tutte applicabili
nell’ordinaria algebra numerica, interpretando i segni x,y,z come numeri e le due operazioni ( ).e
(+) rispettivamente come prodotto e somma aritmetica, la legge n.6 si discosta dall’ordinario
calcolo algebrico, a meno che non si operi solo su variabili che assumano solo i valori <0> e <1>.
Questa caratteristica ,lungi dall’essere una limitazione, si rivelerà molto importante in tutte le applicazioni
dell’Algebra Booleana. dal calcolo proposizionale alla logica dei circuiti elettrici .Infatti alla fine degli anni' 40, con il
primo impiego della tecnologia elettronica nella realizzazione di elaboratori numerici, l'algebra di Boole si rivelò
subito uno strumento prodigioso per la progettazione dei circuiti dei calcolatori
OPERAZIONI TRA NUMERI E OPERAZIONI TRA CLASSI
L’analogia tra operazioni numeriche (nell’insieme che contiene i due soli elementi 0 e 1) e le
operazioni tra classi risulta più evidenti se si opera nel modo seguente:
Dato una classe x , per ogni elemento a dell’insieme universo U si costruisce la variabile logica
<<appartenenza di a ad x).
Si assegna alla variabile il valore 1 se a appartiene ad x, il valore 0 in caso contrario
Si confrontano le tabelle relative a ciascuna operazione
Operazioni tra numeri
x
1
1
0
0
prodotto
y
1
0
1
0
x y
1
0
0
0
x
1
1
0
0
somma
y
1
0
1
0
x+y
1
1
1
0
x
1
0
x
0
1
Negazione o
complementarità
6
. Operazioni tra classi
x
y
x∩y
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
And (intersezione)
x
y
1
1
1
0
0
1
0
0
Or (unione)
xV y
1
1
1
0
x
1
0
x
0
1
Not (Negazione o
complementarità)
VARIABILI BINARIE
Il discorso può essere esteso a qualsiasi altra variabile binaria.
Esempio :
Sia x il risultato del lancio di una moneta: si può assegnare alla variabile il valore 1, per esempio, se
esce testa e 0 se esce croce.
Le terze colonne , nelle tre tabelle, rappresenteranno rispettivamente le variabili:
In due lanci si ottengono due teste
In due lanci si ottiene almeno un volta testa
In un lancio non esce testa
La logica delle proposizioni
Una variabile binaria di particolare importanza è il valore di verità di una proposizione
Dopo aver trattato la sillogistica, Boole fa un enorme passo in avanti: usa gli stessi simboli algebrici
(lettere e segni di operazione) per trattare le proposizioni ipotetiche del tipo di quelle che si trovano
nel sillogismo condizionale ("se A è B allora C è D; Ma A è B dunque C è D). Ma invece di trattare
i termini del sillogismo, ritiene più utile trattare in generale la verità di proposizioni, cioè formule
del tipo:se X è vera allora Y è vera
In questo caso X e Y rappresentano non più classi, ma proposizioni. Occorre dunque dare ai simboli
algebrici una interpretazione diversa da quella del calcolo delle classi, e cioè, prima di tutto, il
simbolo "1" assume un significato diverso dal significato che ha nella logica dei termini, dove
significa "dominio di discorso" (o insieme delle classi di cui si parla). Il simbolo "1" in questo caso
significherà l'universo, che comprende tutti i casi e le congiunture di circostanze concepibili.
Se vi è una sola circostanza concepibile rappresentata da una sola proposizione X, allora vi sono
solo due possibili congiunture: che X sia vera o X sia falsa; e Boole le esprime così:
x = la proposizione X è vera
1-x = la proposizione X è falsa
7
Se vi sono due circostanze concepibili rappresentate da due proposizioni X e Y, allora vi sono
quattro possibili congiunture così simbolizzate da Boole:
X è vera Y è vera = xy
X è vera Y è falsa = x(1-y)
X è falsa Y è vera = (1-x)y
X è falsa Y è falsa = (1-x)(1-y)
Con linguaggio più moderno possiamo dire
Il valore di verità di una proposizione p può assumere due valori : Vero (V) e Falso (F).
Si possono definire tre operazioni fondamentali, regole di composizione tra proposizioni, analoghe
a quelle tra classi e si costruiscono le relative tabelle, chiamate Tavole di verità
Tavole di Verità
p
q
p∩q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
And (intersezione)
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
Or (unione)
pV q
V
V
V
F
p
V
F
q
F
V
Not (Negazione o
complementarità)
.
.Verifichiamo che nel calcolo preposizionale vale , per esempio, la proprietà 3
p(q+r) = pq+pr
Costruiamo le tavole di verità
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p∩q
V
V
F
F
F
F
F
F
p∩r
V
F
V
F
F
F
F
F
qVr
V
V
V
F
V
V
V
F
(p∩q)V(p∩r)
V
V
V
F
F
F
F
F
p∩( qVr)
V
V
V
F
F
F
F
F
8
Circuiti logici
Consideriamo un circuito elettrico in cui siano inseriti:
Un generatore (pila)
Una lampadina
Un interruttore
Possiamo introdurre due variabili binarie:
o Lo stato dell’interruttore (basso/alto)
o Lo stato della lampadina (accesa/spenta)
e si possono definire anche in questo caso i
tre operatori fondamentali
Oltre alle porte AND e OR, c'è la porta NOT, capace di invertire il segnale in ingresso: se vale 1,
diventa 0 e viceversa.
9
Sillogismi
Oltre a dare una "traduzione" delle proposizioni
categoriche aristoteliche secondo modalità
logiche, Boole definisce in termini analoghi le
regole di conversione della logica classica e
mostra come le premesse e le conclusioni del
sillogismo possono essere tradotte in termini di
operazioni algebriche.
Esempio
Tutti gli X sono Y .
0 tutti i greci sono uomini
Tutti gli Y sono Z . .
0 tutti gli uomini sono mortali
. x(1-y) =
y(1-z) =
Un modo di vedere il funzionamento del
sillogismo è il seguente:
Riscriviamo le due equazioni di cui sopra nel modo seguente
(1) x = xy
(tutti gli Xsono Y)
(2) y = yz
(tutti gli Y sono Z)
moltiplichiamo ambo i membri di (2) per x e otteniamo
(3) xy = xyz
d'altra parte, per (1), possiamo sostituire in (3) xy con x e otteniamo:
(4) x = xz
che equivale a x(1-z) = 0 che è interpretabile come Tutti gli X sono Z. tutti i greci sono mortali
Consideriamo ora il seguente sillogismo
Nessun triangolo rettangolo è equilatero
Qualche triangolo isoscele è equilatero
Qualche triangolo rettangolo non è isoscele.
La conclusione è vera ma non è conseguenza delle premesse.Infatti, se la deduzione fosse valida,
potrebbe essere applicato lo stesso metodo a queste altre proposizioni, la cui conclusione è
indubbiamente errata.
Nessun cane è ruminante
Qualche quadrupede è ruminante
Qualche cane non è quadrupede
10
In generale:
Date le due premesse
Nessun X è Y
Qualche Z è Y
Quale sarà la conclusione?
CALCULEMUS!
xy=0
zy=u
y(1-x) =y
zy(1-x) =uu(1-x) =u
Ma l’ultima relazione può essere interpretata così:
qualche U non è X, ovvero qualche Z non è X
La forma corretta dei due sillogismi è pertanto
Nessun triangolo rettangolo è equilatero
Nessun cane è ruminante
Qualche triangolo isoscele è equilatero
Qualche quadrupede è ruminante
Qualche triangolo isoscele non è rettangolo
Qualche quadrupede non è cane
RAPPRESENTAZIONE INSIEMISTICA
Le proposizioni dei sillogismi possono essere rappresentate con i diagrammi di Eulero
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Rivediamo gli esempi precedenti
Tutti gli X sono Y
Tutti gli Y sono Z
Tutti gli X sono Z
X insieme dei cani
Y insieme dei ruminanti
Z insieme dei quadrupedi
A
Esistono quadrupedi che non sono cani
X insieme dei triangoli rettangoli
Y insieme dei triangoli equilateri
Z insieme dei triangoli isosceli
B
Esistono triangoli isosceli che non sono rettangoli
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