Unità Didattica N° 8 I moti curvilinei

Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
Unità Didattica N° 8
I moti curvilinei
01) Moto curvilineo ( piano ) riferito ad un sistema di assi cartesiani :
le grandezze vettoriali espresse
in componenti cartesiane
02) La composizione dei moti rettilinei
03) Moto piano con accelerazione vettoriale costante
04) Moto dei gravi lanciati nel vuoto
05) Moto di un proiettile sparato orizzontalmente .
06) Le variabili della cinematica rotazionale
07) Moto armonico semplice
08) La dinamica del moto armonico semplice
09) Il pendolo semplice
10) Il pendolo conico
1
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2
Moto curvilineo piano riferito ad un sistema di assi cartesiani :
le grandezze vettoriali espresse in componenti cartesiane
• Un punto materiale P percorre una traiettoria curvilinea piana A . Abbiamo già detto cosa
dobbiamo intendere per spostamento del punto mobile lungo la traiettoria A .
Volendo analizzare il moto del punto nel piano ( nello spazio ) conviene riferirsi ,nella maggior
parte dei casi , ad un sistema di assi cartesiani Oxy ( Oxyz ) e considerare la posizione del punto P
G
individuata dal vettore r = P − O , detto vettore posizione ( o raggio vettore )
spiccato da un punto fisso di riferimento ( che si fa quasi sempre coincidere con l’origine O del
riferimento cartesiano ) ed avente l’estremo libero coincidente con P . Risulta , istante per istante ,
G
G
G
G
G
G
G
r = P − O = rx + ry = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j
r 2 = rx2 + ry2 = x 2 + y 2
⎧ x = x (t )
sono le equazioni parametriche della traiettoria A
⎨
⎩ y = y (t )
Eliminando il parametri t otteniamo l’equazione cartesiana di A , cioè il tipo di traiettoria A
descritta dal punto mobile P .
x = x (t ) rappresenta la legge oraria del punto P1 proiezione ortogonale del mobile P sull’asse x
y = y (t ) rappresenta la legge oraria del punto P2 proiezione ortogonale del mobile P sull’asse y
G
G
G
G
•
Δ r = Δx ⋅ i + Δy ⋅ j
Δr ≠ Δs
→
G
• La v velocità vettoriale del punto P è il vettore v tangente alla traiettoria A nel punto P .
Risulta :
G
G
G
G
G
Δr
dr
G
G
v = Lim
=
= vx + v y = vx ⋅ i + v y ⋅ j
Δt → 0 Δ t
dt
v 2 = v 2x + v 2y
v =
v 2x + v 2y
G
G
G
I vettori v x e v y sono i componenti della velocità vettoriale v lungo gli assi cartesiani x ed y ,
G
G
G
mentre v x e v y sono le componenti di v lungo le rette orientate x ed y rispettivamente di versori
G G
G
G
i e j . La velocità vettoriale v nel moto curvilineo è il risultante delle velocità vettoriali v x e
G
v y di cui sono dotate le proiezioni ortogonali P1 e P1 del punto mobile P sugli assi cartesiani .
G
• Anche l ‘ accelerazione vettoriale a può essere decomposta lungo gli assi cartesiani . Risulta :
G
G
G
G
G
a = ax + a y = ax ⋅ i + a y ⋅ j
a = a x2 + a y2
a = ax2 + a y2
U.D. N° 18
Moto curvilineo riferito ad un sistema di assi cartesiani
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3
G
G
G
I vettori ax e a y sono i componenti dell’accelerazione vettoriale a lungo gli assi cartesiani x ed y,
G
G
G
gli scalari ax ed a y sono le componenti di a lungo le rette orientate x ed y rispettivamente di
G G
versori i e j .
• Un qualsiasi moto di un punto nel piano ( nello spazio ) può essere immaginato come risultante di
due ( tre ) convenienti moti rettilinei su assi ortogonali .
Il moto curvilineo , che è utilissimo considerare direttamente , non ha più motivo di essere come
moto semplice ma come moto risultante di più moti rettilinei .
→
ry
→
r = P − O
P( x, y)
y
Δs
P
y
→
rx = P1 − O
→
Δr
→
Δy
→
ry = P2 − O
P1
y1
→
r
→
r1
A
→
j
→
→
rx
o
x
→
Δx
x
x1
i
y
→
v
→
vy
→
vy
P2
•
y
P
•
→
vx
→
r
A
o
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→
•
P1
x
vx
x
x1
Moto curvilineo riferito ad un sistema di assi cartesiani
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4
y
P
P2
→
ry
→
ay
→
→
a
r
→
A
ax
→
rx
o
x
P1
x
La composizione dei moti rettilinei
1) Due moti rettilinei
Il punto materiale P , partendo dalla posizione O , è soggetto a due moti rettilinei
uniformi lungo due rette fra loro perpendicolari .
⎧⎪ x = v x ⋅ t
⎨
⎪⎩ y = v y ⋅ t
y
con v x e v y costanti
Eliminando il parametri t , ci ricaviamo
l’equazione cartesiana della traiettoria A
Py
•
y
descritta dal punto materiale P( x , y ) .
A
P
•
s
x
t =
vx
,
y
t =
vy
y =
vy
vx
x
•
Px
o
equazione cartesiana della traiettoria A
x
x
Il punto materiale P si muove lungo una retta passante per l’origine degli assi cartesiani .
v =
La velocità risultante ha come modulo :
v 2x + v 2y = costante
Il moto risultante è rettilineo uniforme . La legge oraria del moto sulla traiettoria rettilinea A è :
s2 = x2 + y2 =
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v
2
x
⋅t2 +
v
2
y
⋅t2 =
(v
2
x
+
v
2
y
)⋅t
2
s =
v 2x + v 2y ⋅ t = v ⋅ t
La composizione dei moti rettilinei
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5
2) Moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente vario
Il punto materiale P( x , y ) , partendo da fermo dalla posizione O , è soggetto a due moti :
uno rettilineo uniforme lungo la retta x e l ‘ altro rettilineo uniformemente
vario lungo la retta y .
⎧x = vx ⋅ t
⎪
[1] ⎨
1 2
⎪⎩ y = 2 a yt
v x è costante , v y non è costante , a =
vy
t
è costante
Il punto materiale parte dalla quiete ( voy = 0 ) . La traiettoria A descritta dal punto P si ottiene
eliminando il parametro t dalle equazioni [1] .
y =
t =
x
vx
,
y =
1 ay 2
⋅ x
2 v 2x
1 ay 2
⋅ x Si tratta di una traiettoria parabolica col vertice coincidente con l’origine
2 v 2x
degli assi cartesiani
v =
v 2x + v 2y =
v 2x + a y2 t 2
non è costante a =
a x2 + a y2 =
0 + a y2 = a y è costante
y
Il moto risultante è parabolico uniformemente
A
vario con accelerazione scalare a y costante .
Py •
La sua legge oraria lungo la traiettoria
•
y
s
1
s = ay t 2
2
parabolica è :
3)
Due
moti
o
rettilinei
uniformemente
x
•
Px
x
vari
Il punto P parte da fermo dalla posizione O ed è soggetto a due moti rettilinei uniformemente vari .
1 2
⎧
⎪⎪ x = 2 axt
⎨
⎪ y = 1 a t2
y
⎪⎩
2
con
⎧vx = a x t
⎨
⎩v y = a y t
La traiettoria descritta dal punto P è :
y =
v =
ay
ax
⎧vox = 0
⎨
⎩voy = 0
⎧a x = costante
⎨
⎩a y = costante
a
y
= y
x
ax
x retta passante per l’origine degli assi cartesiani
v 2x + v 2y = a t = t ax2 + a y2
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non è costante
a =
a x2 + a y2
La composizione dei moti rettilinei
è costante
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6
y
Il moto risultante è rettilineo uniformemente
vario . La legge oraria lungo la traiettoria A è :
s2 = x 2 + y 2 =
(
)
Py
•
y
1 2 4
1
1 2
a x t + a y2t 4 =
a x + a y2 t 4
4
4
4
A
P
•
s
1 2
1
s =
ax + a y2 ⋅ t 2 = a t 2
2
2
•
Px
o
x
x
4) Caso generale
Sia P un punto materiale soggetto a due moti rettilinei aventi direzioni fra loro perpendicolari .
Si assumono tali direzioni come asse x ed asse y . I due moti componenti hanno equazioni :
⎧ x = x(t )
⎨
⎩ y = y (t )
[1]
equazioni parametriche della traiettoria A
Eliminando il parametro t dalle equazioni [1] otteniamo l’equazione cartesiana della traiettoria A
descritta dal punto P . La velocità risultante ha per componenti : vx =
v =
e come modulo :
dx
= x
dt
vy =
x 2 + y 2 =
dy
= y
dt
vx2 + v y2
L ‘ accelerazione risultante ha per componenti :
ax =
d vx
d x2
=
dt
d t2
ay =
d vy
d y2
=
dt
d t2
e come modulo :
a =
a x2 + a y2
y
La legge oraria del moto risultante è :
P( x, y)
Py •
• P
y
d s = v ⋅d t
x
O
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•
Px
s =
∫ v ⋅d t
x
La composizione dei moti rettilinei
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Moto piano con accelerazione vettoriale costante
E’ il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria piana con
G
G
accelerazione a costante , cioè il vettore a non muta né in direzione , né in verso , né in
modulo . Un esempio ci viene fornito dal moto di un grave lanciato obliquamente nel vuoto .
Questo moto può essere descritto mediante la sovrapposizione di due moti che avvengono lungo
due rette fra loro perpendicolari .
G G
G
Istante per istante i vettori r , v ed a verificano le seguenti equazioni vettoriali :
G
G
r = rx
G
G
v = vx
G
G
v = vo
G
G
1G 2
⎧G
⎪r = ro + vo t + 2 a t
⎪G
G
G
⎨ v = vo + a t
⎪aG = costante
⎪
⎩
G
G
G
G
G
+ ry = rx ⋅ i + ry ⋅ j = x ⋅ i + y ⋅ j
G
G
G
G
G
G
G
G
+ v y = vx ⋅ i + v y ⋅ j
a = ax + a y = ax ⋅ i + a y ⋅ j
G
G
G
G
G
G
G
+ a t ⇒ v x ⋅ i + v y ⋅ j = v ox ⋅ i + voy ⋅ j + t ax i + t a y j
G
G
G
G
v x ⋅ i + v y ⋅ j = (vox + ax ⋅ t ) ⋅ i + (voy + a y ⋅ t ) ⋅ j
G
G
G
1G
r = ro + v o t + a t 2
2
⇒
⇒
⇒
⎧⎪ v x = vox + ax ⋅ t
⎨
⎪⎩ v y = voy + a y ⋅ t
1 2
⎧
⎪⎪ x = xo + vox ⋅ t + 2 axt
ed anche
⎨
⎪ y = y + v ⋅t + 1 a t2
o
oy
y
⎪⎩
2
2
⎧⎪ v 2x = vox
+ 2ax ( x − xo )
⎨ 2
2
⎪⎩ v y = voy + 2a y ( y − yo )
2
⎧⎪ v 2x = vox
+ 2ax ( x − xo )
G
la ⎨ 2
velocità v all’istante t è la somma della velocità
2
⎪⎩ v y = voy + 2a y ( y − yo )
G
G
iniziale vo che il punto materiale avrebbe se non fosse accelerato e della variazione di velocità a t
G
subita nel tempo t per effetto dell’accelerazione costante a se la velocità vettoriale iniziale fosse
G
G
G
v = vo + a t
nulla .
G
G
G
1G
r = ro + vo t + a t 2
2
G
G
Il vettore spostamento r − ro è la somma vettoriale dello spostamento
G
1G
G
vo t che il punto subirebbe se non ci fosse l’accelerazione vettoriale a e dello spostamento a t 2
2
G
che il punto subisce per effetto dell’accelerazione a se la velocità iniziale fosse nulla .
U.D. N° 18
Moto piano con accelerazione vettoriale costante
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8
Moto dei proietti
( Moto dei gravi nel vuoto )
G
• Un corpo puntiforme P è lanciato nel vuoto da un punto O con una velocità vo la cui direzione
forma un angolo ϑ col piano orizzontale passante per O . 1
Esaminiamo il suo moto trascurando , qualora non ci trovassimo nel vuoto , la resistenza dell’aria .
G
L’angolo ϑ formato dal vettore v col piano orizzontale passante per O è detto angolo di
proiezione o angolo di tiro .
Vogliamo determinare l’equazione della traiettoria descritta dal mobile , la sua gittata e l’altezza
massima rispetto al piano orizzontale passante per O .
G
• In assenza di gravità e nel vuoto il moto sarebbe rettilineo uniforme con velocità vettoriale vo .
G
G
Se fosse vo ≡ o e sotto la sola azione della forza peso il corpo cadrebbe verso il basso muovendosi
G
di moto rettilineo naturalmente accelerato lungo la verticale con accelerazione vettoriale g .
G
• Nel caso nostro si tratta di studiare il moto di un corpo soggetto ad una accelerazione g costante
in modulo , direzione e verso in quanto il corpo è sottoposto alla sola azione della forza peso .
Per il moto del nostro corpo valgono le seguenti equazioni vettoriali :
G
G
1G 2
⎧G
⎪r = ro + vo t + 2 g t
⎪G
G
G
⎨ v = vo + g t
⎪aG = gG
⎪
⎩
Si tratta di un moto piano con accelerazione costante .
• Assumiamo come origine O del sistema di assi cartesiani il punto da dove il corpo è lanciato .
G
G
Il moto deve effettuarsi nel piano verticale contenente i vettori g e vo . Prendiamo questo piano
come piano xy in maniera che l’asse x sia orizzontale ed orientato nel verso del moto e l’asse y sia
verticale ed orientato dal basso verso l’alto . L’istante iniziale to = 0 è quello del lancio .
1
Ad esempio un proietto lanciato da un cannone
U.D. N° 18
Moto dei gravi lanciati nel vuoto
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9
• Il moto del punto P può essere considerato come composizione dei moti dei punti Px e Py .
Px si muove lungo l’asse delle x di moto rettilineo uniforme ( a x = 0 , v x = vox = vo cos ϑ ) ,
Py si muove lungo l’asse delle y di moto rettilineo uniformemente vario ( a y = − g se poniamo
g = 9,8
m
, voy = vo sin ϑ )
s2
⎧⎪ vox = vo cos ϑ
⎨
⎪⎩ voy = vo sin ϑ
G
G
G
v o = vox ⋅ i + v oy ⋅ j
P( x , y )
⎧ x = voxt = (vo cos ϑ) ⋅ t
⎪
⎨
1 2
1 2
⎪⎩ y = voyt − 2 g t = (vo sin ϑ) ⋅ t − 2 g t
⎧⎪ v x = vox = vo cos ϑ
⎨
⎪⎩ v y = voy − gt = vo sin ϑ − gt
⎧a x = 0
⎨
⎩a y = − g
• Le equazioni orarie dei due moti componenti sono :
⎧ x = voxt
⎪
⎨
1 2
⎪⎩ y = voyt − 2 g t
Queste sono le equazioni parametriche della traiettoria descritta dal proietto
Eliminando il parametro t otteniamo l’equazione cartesiana della traiettoria .
t =
x
vox
v
1 g
y = − ⋅ 2 ⋅ x 2 + oy ⋅ x che può essere scritta nella seguente forma :
2 vox
vox
1
1
y = − ⋅g⋅ 2
⋅ x 2 + tg ϑ⋅ x
2
2
vo cos ϑ
essendo :
tg ϑ =
voy
vox = vo cos ϑ
vox
Si tratta di una parabola ad asse verticale con la concavità rivolta verso il basso e
passante per l’origine degli assi cartesiani ed avente il vertice nel punto
•
⎧⎪ v x = vox = vo ⋅ cos ϑ
⎨
⎪⎩ v y = voy − gt = vo ⋅ sin ϑ − gt
v 2 = v 2x + v 2y
v 2 = vo2 − ( 2 vo g sin ϑ ) t + g 2t 2
v 2 = vo2 cos 2 ϑ + vo2 sin 2 ϑ − 2 gvo sin ϑt + g 2t 2
v 2 = vo2 − 2 g ( vot sin ϑ −
1 2
gt )
2
⎛ v ⋅v
v2 ⎞
M ⎜ ox oy , oy ⎟
⎜ g
2 g ⎟⎠
⎝
v 2 = vo2 − 2 g y
v 2 − vo2 = − 2 g y
• calcolo della gittata G = OC del lancio obliquo .
y = 0 ⇒ x = 0 posizione del lancio
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voy −
2 v ox v oy
1 x
g
= 0 G = xC =
g
2 vox
Moto dei gravi lanciati nel vuoto
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10
G = xC = 2 ⋅
(v o cos ϑ) ⋅ (v o sin ϑ)
v2
= o ⋅ sin 2ϑ
g
g
G = xC =
2 v ox voy
g
=
vo2
⋅ sin 2ϑ
g
La gittata massima si ha per sin 2 ϑ = 1 cioè per 2ϑ = 90° cioè per ϑ = 45°
Gmax =
La
gittata
massima
è
il
v o2
g
doppio
dell’altezza
che
il
proietto
raggiungerebbe con un lancio verticale verso l’alto e con la stessa
G
velocità iniziale vo .
Questa proprietà fu intuita da Tartaglia e dimostrata per la prima volta da Galileo Galilei .
• y = 0 ⇒ t = 0 inizio del lancio
t =
2 v oy
g
=
2 v o ⋅ sin ϑ
= tempo di ricaduta al suolo del proietto
g
• Calcolo dell’altezza di tiro h
h è l’altezza massima raggiunta dal proietto . Coincide con l’ordinata del vertice M della parabola .
xM = −
v v
v 2 sin ϑ cos ϑ
b
= ox oy = o
g
g
2a
2
y M = y ( xM ) =
y
→
v
→
v
y
Py •
→
v
oy
P
•
→
vo
P
1 voy
1
v2
= o sin 2 ϑ = G ⋅ tg ϑ = h
2 g
2g
4
→ → →
v = v = vox
x
•
M
→ →
v = vox
x
P•
→
g
→ →
v = vox
x
→
v
y
→
v
h
P• ϑ
o
→
g
U.D. N° 18
→
vox
•
Px
→ →
v = vox
x
P
•
C
è un vettore costante
ϑ = angolo di tiro
Moto dei gravi lanciati nel vuoto
→
v
y
→ →
v = vox
x
→
v
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⎧⎪ v x = vox
⎨
⎪⎩ v y = voy − gt
⎧a x = 0
⎨
⎩a y = − g
y =
11
⎧ x = vox ⋅ t
⎪
⎨
1 2
⎪⎩ y = voy ⋅ t − 2 g t
v
−g 2
−g
⋅ x + oy ⋅ x =
⋅ x 2 + tg ϑ⋅ x = equazione cartesiana della traiettoria
2
2
2
2 vox
vox
2 vo cos ϑ
OC = G = xC =
2 v ox v oy
g
=
v o2
⋅ sin 2ϑ
g
= gittata
2
1 v oy
v o2
1
sin 2 ϑ = G ⋅ tg ϑ = altezza di tiro
h =
=
2 g
2g
4
t =
2 v oy
g
=
2 v o ⋅ sin ϑ
= tempo di ricaduta al suolo
g
⎧⎪ vox = vo ⋅ cos ϑ
⎨
⎪⎩ voy = vo ⋅ sin ϑ
2
v 2y = v oy
− 2gy
v 2 = vo2 − 2 gy
→
→
Traiettoria di un proiettile lanciato con velocità v o . E’ indicata la velocità iniziale v o con le
G
sue componenti .E’ indicata la velocità v con le proprie componenti in cinque istanti diversi .
Notare che risulta sempre v x = vox . La gittata R ( G ) è la distanza orizzontale descritta dal
proiettile quando ripassa alla quota del lancio .
U.D. N° 18
Moto dei gravi lanciati nel vuoto
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12
Moto di un proiettile sparato orizzontalmente
Supponiamo che un proiettile ( o un qualsiasi grave ) sia lanciato orizzontalmente con velocità
→
v o . Scegliamo un riferimento cartesiano con l’origine O coincidente col punto di lancio ,
→
l’asse x orientato conìme v o e l’asse verticale y orientato verso il basso .
→
Il proiettile lanciato orizzontalmente con velocità v o
descrive una traiettoria parabolica con asse verticale
passante per la sua posizione iniziale .
Le equazioni parametriche della traiettoria descritta dal
proiettile sono :
Eliminando il parametro t otteniamo l’equazione cartesiana della traiettoria .
Il moto del proiettile , per il principio di indipendenza delle azioni simultanee , può essere
dedotto dalla composizione dei moti di due punti ( Px e Py ) che muovono lungo due rette
ortogonali . Px si muove di moto rettilineo uniforme e Py si muove di moto rettilineo
uniformemenete vario .
U.D. N° 18
Moto di un proiettile sparato orizzontalmente
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13
Le variabili della cinematica rotazionale
• Supponiamo che un punto materiale percorra , muovendosi in senso antiorario , una
circonferenza di centro O e raggio r . Misureremo gli angoli descritti dal raggio vettore
G
r = P − O a partire dal lato OA e gli archi a partire dal punto A . Misureremo gli angoli in
radianti . Per definizione , la misura in radianti dell’angolo ϑ,ci viene data dalla seguente formula :
ϑ =
p
AP
s
=
r
r
[ Δs = rΔϑ ]
s = ϑr
Supponiamo che all’istante iniziale to = 0 il punto mobile occupi la posizione Po ; diciamo che il
∧
valore ϑ o dell’angolo AOPo è la posizione angolare di Po . Le posizioni angolari del mobile agli
istanti t e t1 sono rispettivamente ϑ e ϑ1 .
G
Definiamo velocità angolare media del punto P ( o del raggio vettore r = P − O )
ωm =
relativa all’intervallo di tempo Δ t = t1 − t il seguente rapporto :
ϑ1 − ϑ
Δϑ
=
Δt
t1 − t
La velocità angolare media relativa ad un intervallo di tempo Δ t piccolissimo ( infinitesimo ) è la
velocità angolare istantanea del punto P , cioè :
ω = Lim
t1 → t
ϑ1 − ϑ
Δϑ
dϑ
d ⎛s⎞
1 ds
v
= Lim
=
=
= ⋅
=
⎜
⎟
Δt →0 Δ t
t1 − t
dt
dt⎝r ⎠
r dt
r
v = ωr
dove v è la velocità scalare ( o velocità lineare ) del punto P .
{ω}
=
{ϑ}
{t}
=
radiante
rad
=
secondo
s
Se la velocità angolare è costante allora la velocità angolare media coincide con quella istantanea e
possiamo scrivere :
ω =
ϑ
t
ϑ = ωt
• Se la velocità angolare di P non è costante , il punto materiale è soggetto ad una accelerazione
angolare . Siano ω ed ω 1 rispettivamente le velocità angolari di P negli istanti t e t1 .
Definiamo accelerazione angolare media del punto P relativa all’intervallo di tempo
Δ t = t1 − t il seguente rapporto :
U.D. N° 18
αm =
ω1 − ω
t1 − t
=
Le variabili della cinematica rotazionale
Δω
Δt
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14
L’accelerazione angolare media relativa ad un intervallo di tempo Δ t piccolissimo ( infinitesimo )
ci dà l ‘ accelerazione angolare istantanea , cioè :
α = Lim
t1 → t
ω1 − ω
t1 − t
{α }
at = α ⋅ r
Δω
dω
d ⎛v⎞
1 dv
a
=
=
= ⋅
= t
⎜
⎟
Δt →0 Δ t
dt
dt⎝ r ⎠
r dt
r
= Lim
=
{ω}
{t}
rad
= = 2
s
ϑ
P
t
Po
ϑ
ϑo
to = 0
ϑo
Se l’accelerazione angolare si mantiene costante , allora
l’accelerazione
angolare
media
coincide
con
quella
ϑ1
istantanea . In questo caso possiamo scrivere :
α =
ω
ω = α ⋅t
t
(1)
t1
→
r
O
A
P1 ϑ
1
• La rotazione di una particella attorno ad un asse fisso ( ad esempio attorno ad una retta
perpendicolare al piano della circonferenza e passante per il suo centro O ) ha una analogia formale
col moto di una particella lungo una traiettoria prestabilita .
Nel primo caso le variabili cinematiche sono ϑ , ω , α , nel secondo caso sono s , v , at e queste
grandezze si corrispondono a coppie :
ϑ→s ,
ω → v ,
α → at
Si noti che dimensionalmente la differenza tra le grandezze angolari e quelle lineari è di una
lunghezza , cioè se moltiplico una grandezza angolare per una lunghezza ottengo la corrispondente
grandezza lineare , se divido una grandezza lineare per una lunghezza ottengo la corrispondente
grandezza angolare .
• Posiamo attribuire alle grandezze angolari ω ed α una forma vettoriale ammettendo che i vettori
G
G
ω ed α abbiano come direzione l’asse di rotazione ( cioè la retta perpendicolare al piano della
circonferenza e passante per il suo centro O ) e verso tale da verificare le seguenti relazioni vettoriali
:
G
G
G
v =ω ∧ r
G
G
G
G
at = α ∧ r
G
G
G
an = ω ∧ v
G
ω ed α possono essere pensati applicati in P in quanto sono vettori liberi .
(1)
ω =
dϑ
dt
U.D. N° 18
⇒ α =
d2 ϑ
d t2
Le variabili della cinematica rotazionale
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
→
→
r = P−O ω
→
→
→
→
v
→
v= ω∧ r
→
→
→
an = ω ∧ v
•
asse di rotazione
→
at
α
→
a
P
→
r
O•
circonferenza
15
O•
circonferenza
•
P
→
an
→ → →
at = α ∧ r asse di rotazione
3
• Il moto rotatorio di un corpo rigido può essere descritto sia mediante le variabili
angolari ( ϑ , ω , α ) sia mediante le variabili lineari ( s , v , at ) . Però , quando ci
interessa il moto di più punti appartenenti allo stesso corpo ruotante, usando variabili lineari
dobbiamo specificare spostamento , velocità ed accelerazione di ciascun punto , mentre le
corrispondenti variabili angolari sono le stesse per tutti i punti ad ogni istante . Usando , dunque ,
variabili angolari si può descrivere in modo semplice il moto dell’intero corpo .
moto su traiettoria prestabilita a = costante
moto rotatorio attorno ad un asse prestabilito
α = costante
ω = ωo + α t
v = vo + at
s =
1 2
a t + vo t + so
2
v 2 = vo2 + 2a ( s − so )
s − so =
U.D. N° 18
vo + v
⋅t
2
ϑ =
1 2
α t + ω o t + ϑo
2
ω 2 = ω 2o + 2α ( ϑ − ϑ o )
ϑ − ϑo =
Le variabili della cinematica rotazionale
ωo + ω
2
⋅t
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
16
Il moto armonico semplice
• Sia Q un punto che sulla circonferenza σ di centro O e raggio r si muove di moto circolare
uniforme . Il moto del punto P , proiezione ortogonale del punto Q su un diametro qualsiasi ,
dicesi moto armonico semplice .
La circonferenza σ è detta circonferenza di riferimento o circonferenza associata al
moto armonico semplice . In figura è fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy ; Po è la
posizione del punto mobile all’istante to = 0 e P la sua posizione dopo t secondi .
Gli archi vengono misurati rispetto al punto fisso A , gli angoli rispetto al raggio vettore fisso
∧
∧
∧
,
AOQ = ϑ + ϑ o = ω t + ϑ o
A − O . Sia : AOQo = ϑ o , Qo OQ = ϑ = ω t
y
→
v
C
π
2
π
→
a
→
a
ϕ
•
B
→
Q
2
→
v
•
vo
• Qo
ϑ
ϑo
•
P
O
•
Po A
x
→
a
→
a
→
v
→
v
D
• Dalla trigonometria risulta :
OP = OQ ⋅ cos( ϑ + ϑ o ) cioè :
x = r ⋅ cos(ω t + ϑ o )
[1]
La [1] rappresenta la legge oraria del moto armonico semplice .
U.D. N° 18
Moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
17
O = centro di oscillazione , r = OA = ampiezza del moto armonico
x = OP = elongazione
, ϑ o = fase iniziale
ϕ = ϑ + ϑ o = ω t + ϑ o = fase del moto armonico
• Calcolo della velocità
vx =
Ricordando che
dx
= −rωsin(ωt + ϑo ) = −ω y
dt
v = ω r possiamo scrivere :
π
v x = v ⋅ cos( + ϑ + ϑo ) = −ω rsin(ϑ + ϑo ) = −ω rsin(ωt + ϑo ) = −ω y
2
• Calcolo
dell ’ accelerazione
ax =
d vx
= −rω 2 cos(ωt + ϑo ) = −ω 2 x
dt
oppure :
G
ax
G
a x = G = | a |⋅ cos[π − ( ϑ + ϑ o )] = − a cos( ϑ + ϑ o ) = − ω 2 r cos(ω t + ϑ o ) = − ω 2 x
i
a = ω 2r
Riepilogo
x = r ⋅ cos(ω t + ϑ o )
vx =
ax =
dx
= −rωsin(ωt + ϑo ) = −ω y
dt
d vx
= − r ω 2 cos(ω t + ϑ o ) = − ω 2 x
dt
Caso
particolare
ϑ o = 0 , cioè all’istante iniziale Q ≡ P ≡ A . I diagrammi delle funzioni x (t ) , vx (t ) , a x (t ) in
questo caso particolare sono indicati in figura .
⎧x = r ⋅ cosωt = r ⋅ cosϑ
⎪
⎨v x = −rω ⋅ sin ωt = −rω ⋅ sin ϑ = − ω y
⎪
2
2
2
⎩a x = −rω ⋅ cosωt = −rω ⋅ cosϑ = − ω x
U.D. N° 18
Moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
18
U.D. N° 18
Moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
U.D. N° 18
Moto armonico semplice
19
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
20
• La velocità è nulla in A e B , massima o minima in O , precisamente è minima quando il punto
P passa per O provenendo da A , è massima quando il punto P passa per O provenendo da B .
L’accelerazione è nulla in O , massima in B , minima in A .
A |−−−| O
il moto è accelerato retrogrado ( vx < 0 , a x < 0 )
O |−−−| B
il moto è decelerato retrogrado ( vx < 0 , a x > 0 )
B |−−−| O
il moto è accelerato progressivo ( v x > 0 ,
O |−−−| A
il moto è decelerato progressivo ( vx > 0 , a x < 0 )
ax > 0 )
<< Il moto armonico semplice è un moto rettilineo vario con la
velocità scalare che aumenta ( diminuisce ) quando il punto materiale
si avvicina ( si allontana ) al ( dal ) centro di oscillazione O >>
• Il percorso AOBOA ( uguale due volte il diametro ) dicesi oscillazione completa ,
mentre il percorso AB oppure BA ( uguale al diametro ) dicesi oscillazione semplice .
f =
T =
ω =
1
ω
=
= frequenza = numero di oscillazioni complete compiute dal punto P in un secondo
T
2π
2π
ω
2π
T
=
periodo = tempo necessario perché il punto P compia una oscillazione completa
= pulsazione o frequenza angolare e coincide con la velocità angolare del punto Q
Periodo e frequenza nel moto armonico semplice e nel moto circolare uniforme associato
coincidono
periodo = tempo necessario perché il moto riprenda gli stessi caratteri cinematici , cioè la stessa
posizione , la stessa velocità , la stessa accelerazione .
oscillazione completa = spazio percorso dal mobile nel tempo T
• Se avessimo considerato il moto di Py , proiezione ortogonale di Q sul diametro CD , avremmo
ottenuto :
⎧
⎪
⎪ y = r ⋅ sin(ω t + ϑ o )
⎪
dy
= r ω cos(ω t + ϑ o ) = ω x
⎨v y =
dt
⎪
⎪
d vy
= − r ω 2 sin(ω t + ϑ o ) = − ω 2 y
⎪a y =
d
t
⎩
U.D. N° 18
Moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
21
La proiezione di un moto circolare uniforme su di un diametro qualsiasi genera sempre un moto
armonico . Viceversa un moto circolare uniforme può essere ottenuto dalla combinazione di due
moti armonici che avvengono su due assi perpendicolari aventi la stessa ampiezza , la stessa
frequenza ed una differenza di fase di
La
dinamica
π
2
.
del
moto
armonico
semplice
Il moto armonico semplice è generato da una forza elastica di richiamo , cioè da una forza del
G
G
G
G
tipo F = − k s ( nel caso nostro è del tipo F = − k x ) . Se m è la massa del punto P che si muove
G
G
G
G
F = m ⋅ ax = − ω 2 m ⋅ x = − k ⋅ x
di moto armonico , abbiamo :
Risulta : {k } =
T =
2π
ω
= 2π
{F}
{ x}
=
N
m
k = ω2 m
m
mx
x
= 2π
= 2π
k
F
ax
ω =
k
m
ν =
1
1
=
T
2π
k
1
=
m
2π
F
1
=
mx
2π
ax
x
Un disco di massa m è fissato all’estremo libero di una molla che può scivolare senza attrito
lungo un piano orizzontale , come indicato in figura . Se spostiamo il disco verso destra di un
G
G
G
tratto x la molla si deforma ed esercita sul disco un forza elastica F = − k x che richiama
il disco verso la posizione di equilibrio O . Il sistema disco-molla oscilla muovendosi di moto
armonico semplice .
Se m è la massa del punto che si muove di moto armonico , applicando la seconda legge della
G
G
G
G
G
G
F = m ⋅ a x = − ω 2 m ⋅ x = − k ⋅ x con a = − ω 2 ⋅ x
dinamica abbiamo :
Questo risultato ci consente di affermare che il moto armonico semplice è generato da una forza
G
G G
G
elastica di richiamo , cioè da una forza del tipo F = − k x F = − k x .
U.D. N° 18
La dinamica del moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
22
T =
ν =
2π
ω
= 2π
1
1
=
T
2π
m
mx
x
= 2π
= 2π
k
F
ax
k
1
=
m
2π
F
1
=
mx
2π
ax
x
Il moto armonico semplice è il moto di una particella di massa m soggetta ad una forza
proporzionale allo spostamento della particella ma di segno opposto .
Concludendo possiamo affermare che un punto materiale di massa m soggetto ad una forza
elastica di costante k si muove di moto armonico semplice con pulsazione ω =
periodo T = 2π
U.D. N° 18
m
k
k
m
e con
.
La dinamica del moto armonico semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
23
Il pendolo semplice
• Dicesi pendolo semplice ( o pendolo matematico ) un sistema ideale costituito da un grave
puntiforme di massa m fissato ad un punto C mediante un filo flessibile , inestensibile e di massa
trascurabile rispetto a quella del grave . Il vincolo , cioè il filo di lunghezza A , consente al grave di
descrivere archi di circonferenza di centro C e raggio A . Indichiamo con ϑ l’angolo formato dalla
verticale passante per il punto di sospensione C del pendolo con la direzione del filo del pendolo .
• Analizziamo le forze che agiscono sulla massa m in alcune situazioni particolari :
1) Pendolo nella posizione più bassa col filo verticale ( ϑ = 0 )
La posizione di equilibrio statico è quella che si ha in corrispondenza del filo verticale teso e con il
G
G
G
pendolo fermo . Il peso P = m g del grave è equilibrato dalla reazione vincolare ( tensione ) T
G
G
del filo : P = − T . La forza esercitata dal filo sul pendolo ( tensione del filo ) vale in modulo
T = m g . Se v = 0 abbiamo l’equilibrio statico , altrimenti la tensione del filo è massima e vale
T = mg + m
v2
2 gh
= mg + m
= mg + 2mg = 3mg = 3P
A
A
se il pendolo è lasciato libero quando il filo è in posizione orizzontale . In tal caso la posizione O
del pendolo non è una posizione di equilibrio dinamico in quanto la somma
vettoriale di tutte le forze che agiscono sul pendolo non è nulla .
2) Pendolo formante un angolo ϑ con la verticale passante per il punto di sospensione C
Se spostiamo il pendolo dalla sua posizione O di equilibrio statico , esso comincia ad oscillare
attorno ad O muovendosi lungo un arco di circonferenza di raggio A , pari alla lunghezza A del
filo , in un piano verticale .
G
G
G
Le forze agenti sul pendolo sono il suo peso P = m g e la tensione T del filo . Il moto del pendolo
è regolato dalla seconda legge della dinamica che , in questa circostanza , assume la forma :
G
G
G
G
P + T = R = ma
Questa equazione vettoriale è equivalente alle due seguenti equazioni vettoriali :
G
G
G
G
G
G
G
Pt = Rt = m ⋅ at
Pn + T = Rn = m ⋅ an
[1]
[2]
G
G
G
Qui ac è l ‘ accelerazione centripeta , m ⋅ ac è la forza centripeta Rn che tiene la massa m sulla
traiettoria circolare
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
24
G
R t agisce lungo la direzione del moto ,cioè lungo la
tangente alla traiettoria (arco di circonferenza )
orientata dalla posizione di equilibrio O verso destra ,
G
R n agisce lungo la direzione del filo ( normale alla
direzione del moto ) orientata dalla posizione
occupata dal pendolo verso il punto di sospensione
C . Le [1] e [2] scritte in forma scalare assumono la
forma :
Rt = Pt = − m g sin ϑ = m at
v2
Rn = Tn − Pn = Tn − m g cos ϑ = m an = m
A
Il segno negativo della componente lungo la
direzione del moto è dovuto al fatto che la forza
tangenziale ha segno opposto rispetto a quello
dell’ascissa curvilinea s introdotta per individuare la
posizione del pendolo .
Per s < 0 , posizioni dell’arco di circonferenza poste alla sinistra della verticale , la forza
tangenziale è diretta verso la destra della verticale , mentre per s > 0 la forza tangenziale è diretta
verso la sinistra della verticale .
G
Fisicamente R t è una forza di richiamo che tende a riportare il punto materiale di massa m
( pendolo semplice ) sulla verticale , anche se non è di direzione costante come nel caso delle
forze elastiche .
La velocità è massima quando il punto passa per la verticale ( ϑ = 0 ) e nulla agli estremi delle
oscillazioni ( ϑ = ϑ o ) dove il verso del moto si inverte . Notiamo che i risultati cinematici non
dipendono dalla massa del pendolo .La tensione del filo si calcola applicando La seguente formula :
[3]
T = m g cos ϑ + m ⋅
v2
A
= tensione istantanea del filo
La tensione è massima nella posizione verticale , dove sia cos ϑ che v ( t ) assumono i valori
massimi , ed è minima nei punti di inversione .
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
25
Lo studio dettagliato del moto di un pendolo semplice è il seguente . Inizialmente il pendolo occupi
la posizione di equilibrio statico O . Esso viene portato nella posizione A ed ivi trattenuto mediante
G
un piolo . Decomponiamo la forza P lungo la tangente e la normale alla traiettoria :
G
G
G
P = Pt + Pn
G
G
G
Il componente Pn è equilibrato dalla tensione del filo T , il componente Pt è equilibrato dalla
G
reazione vincolare Z offerta dal piolo .
G
G
• Tagliando il piolo la forza Pt , non essendo più equilibrata dalla reazione vincolare Z , diventa
una forza motrice ed è la causa delle oscillazioni della massa m .
G G
Le oscillazioni avvengono sul piano verticale passante per O e contenente i vettori P e v .
G
In generale , nel caso dinamico , la massa m è soggetta , istante per istante , alla forza R somma
G
G
G
G G
G
P + T = R = ma
vettoriale delle forze P e T , cioè :
G
essendo a l’accelerazione posseduta dalla massa m quando questa percorre l’arco di circonferenza
G
AOBOA . La relazione [2] ci dice che T si può decomporre in due parti : una uguale e contraria al
G
componente normale ( Pn ) del peso , l’altra uguale alla forza centripeta che mantiene la
G
massa m sulla traiettoria curva . In altre parole , nel caso dinamico , la tensione T è sempre
maggiore ( o uguale ) di quella del caso statico ed il suo modulo , ad ogni istante , è la somma del
G
G
modulo di Pn e del modulo della forza centripeta Rn ( T = Pn + Rn ) .
Rn = T − Pn = m ⋅ ac = m ⋅
v2
= forza centripeta = forza necessaria per mantenere il pendolo
A
lungo un arco di circonferenza di cetro C e raggo A .
G
G
• Il risultante R si decompone nei due componenti : Rn forza normale che costituisce la forza
G
centripeta che mantiene la massa m sulla traiettoria circolare ; Rt forza tangenziale motrice
variabile è la forza di richiamo su m che tende a ricondurla nella sua posizione O .
G
G
G
[ Rt = Pt = m ⋅ at ]
G
• Effetti prodotti da Rn
G
G
G
G
Se orientiamo il segmento AC da A verso C l’equazione vettoriale
Pn + T = Rn = m ⋅ an si
traduce nell’equazione scalare : − Pn + T = m ⋅ an
[3]
T = m g cosϑ + m ⋅
U.D. N° 18
v2
A
T = Pn + m ⋅ ac = m g cosϑ + m ⋅
v2
A
= tensione istantanea del filo
Il pendolo semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
26
La tensione massima si ha nel punto O , la tensione minima si ha nei punti A e B dove la massa è
in quiete ma non in equilibrio ( v A = vB ) .
Ad ogni istante il modulo della tensione è la somma dei moduli del componente normale del
G
G
peso P e della forza centripeta Rn
Quando il pendolo occupa la posizione O abbiamo :
2 g h o = m g(3 − 2 cos ϑ o )
TO = m g +
ϑ = 0 ⇒ P = mg , R n = m
G
• Effetti prodotti da Rt
2g ho
A
Fissiamo sulla traiettoria circolare , come verso positivo quello antiorario e come origine la
posizione di equilibrio O . Gli archi di circonferenza saranno misurati a partire da O e gli angoli a
partire dal lato CO . La lunghezza s dell’arco è legata all’angolo ϑ dalla seguente relazione :
s = A⋅ϑ
L’equazione vettoriale :
− m g ⋅ sin ϑ = m ⋅ at
cioè :
ϑ =
G
G
G
Rt = Pt = m ⋅ at
s
A
si traduce nell’equazione scalare :
at = − g ⋅ sin ϑ
[4]
G
dove il segno meno sta ad indicare che la forza Pt ( e quindi anche l’accelerazione at ) ha verso
G
opposto a quello dello spostamento, cioè la forza Pt è diretta nel verso di ϑ decrescente . *
La [4] ci dice che il moto del pendolo semplice non è un moto armonico semplice .
• Per piccole oscillazioni ( ϑ < 5° ) è lecito porre :
at = −
[5]
g
⋅ s = −ω 2 ⋅ s
A
sin ϑ = ϑ =
s
La [4] diventa :
A
avendo posto :
ω2 =
g
A
[6]
G
Per ϑ sufficientemente piccolo la forza Pt agente su m assume la forma :
g
Pt = m ⋅ at = − m ⋅ ⋅ s = − mω 2 ⋅ s = − k ⋅ s
A
k
g
k = mω , ω =
=
,ω =
A
m
2
2
4π 2 A
2π
A
g
2π
, g =
,ω =
,T =
= 2π
[8]
A
ω
g
T2
T
p orientato da O verso A , oppure al vettore posizione
allo spostamento curvilineo OA
vettore posizione A − O negli altri casi
*
U.D. N° 18
[7]
Il pendolo semplice
A − K se ϑ o è piccolo , al
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
27
G
Per piccoli spostamenti il moto del pendolo semplice è armonico in quanto Pt è una forza
G
G
elastica di richiamo cioè del tipo Pt = − k ⋅ s cioè proporzionale allo spostamento e diretta in
verso opposto .
Le formule [8] ci consentono di ricavare le seguenti 4 leggi del pendolo semplice :
1) Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice non dipende dalla sua massa . Questo
significa che a parità di lunghezza un pendolo con una massa di acciaio ed un altro con una massa
di sughero hanno uguale periodo di oscillazione .
2) Il periodo è direttamente proporzionale alla radice quadrata della sua lunghezza ed
inversamente proporzionale alla radice quadrata dell’accelerazione di gravità .
3) Le
piccole
oscillazioni
sono
ISOCRONE , cioè
non
dipendono dall’ampiezza di
oscillazione ( sempre che questa non superi i 5° ) . Quindi il periodo di oscillazione , cioè il tempo
impiegato dal pendolo a compiere una oscillazione completa , è indipendente dall’ampiezza
dell’arco , purché esso sia piccolo .
4) Il piano di oscillazione si mantiene costante . Esso coincide col piano verticale passante per
il punto fisso C ( solidale col sistema di riferimento scelto per analizzare il moto del pendolo
semplice ) e per la posizione iniziale del pendolo .
Se ciò non si verifica si ha una prova che il
sistema di riferimento scelto non è inerziale .
In realtà il moto del pendolo è smorzato a causa degli attriti delle sospensioni e dell’aria . Per
individuare il moto del pendolo occorre specificare la posizione iniziale e la velocità iniziale della
massa m .
• La velocità nel pendolo semplice
Se trascuriamo la resistenza dell’aria , sulla massa m agiscono due forze :
G
1) la tensione T nel filo che non compie lavoro essendo sempre perpendicolare alla direzione del
moto ( spostamento istantaneo )
G
2) il peso P che è una forza conservativa .
In questo soltanto forze conservative eseguono lavoro per cui l’energia meccanica totale della
massa m si conserva . Assumiamo come riferimento per l’energia potenziale
(§)
la retta r tangente
all’arco di circonferenza nel punto di equilibrio O . Nella posizione iniziale A ed in quella finale B
la massa m è in quiete . Sia ho la distanza fra le rette parallele r ed AB .
(§)
lo zero per l’energia potenziale
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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28
Applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica totale abbiamo :
TA + U A = TM + U M
cioè : 0 + m g ho =
1 2
mv + m g h
2
v =
2 g (ho − h)
[9]
ho = OC − CK = A − A ⋅ cos ϑ o = A(1 − cos ϑ o )
h = OC − SC = A − A ⋅ cos ϑ = A(1 − cos ϑ )
v =
ho − h = A ⋅ (cos ϑ − cos ϑ o )
La [3] diventa :
[11]
2 g A ⋅ (cos ϑ − cos ϑo )
[10]
T = m g (3 cos ϑ − 2 cos ϑ o )
La [11] è valida per qualsiasi ampiezza ϑ date che per l’angolo ϑ non è stata fatta alcuna
approssimazione .
Pendolo semplice : considerazioni sintetiche finali
G
R
G
Ft
G
Ft
G
Ft
G
= P
G
+ Fc
G
= Pt
G
= Pt
G
+ T
G
= Pt
G
+ Tt
G
+ Tt
G
G
G
G G
G
G
G
G
= m a ⇒ Rt + Rn = Pt + Tt + Pn + Tn = m at + m an ⇒
G G
G
G
G
+ Tt + Pn + Tn = m at + m an
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
= Pt = m at Tt = o Fc = Pn + Tn = Pn + T = m ac
G
G
= Pt = m at ⇒ m ⋅ at = − m ⋅ g ⋅ sin ϑ ⇒ at = − g ⋅ sin ϑ
G
G
G
G
G
G
Fc = Pn + Tn = Pn + T = m ac
⇒ T − Pn = m ⋅ ac ⇒ T − m ⋅ g ⋅ cosϑ = m ⋅
T = m ⋅ g ⋅ cosϑ + m ⋅
v2
⇒
A
v2
A
Il pendolo semplice si muove di moto oscillatorio circolare vario .
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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30
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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31
Un pendolo formato da un filo di lunghezza A e da una pallina di massa m , si trova nella sua
posizione di equilibrio A . Quale velocità dobbiamo imprimere alla pallina affinché questa
compia un giro completo in un piano verticale senza ricadere .
B
•
M
La velocità deve essere tale da permettere alla
A
pallina di raggiungere la posizione B e di
proseguire il suo cammino lungo la circonferenza di
A
O •
M
centro O e raggio A . Otteniamo questo imponendo
•C
che l’energia meccanica totale in A sia uguale
all’energia meccanica totale in B e che la tensione
A
M
nel punto più alto B sia nulla .
→
•
V
A
KA + UA = KB + UB
v 2A = v 2B + 4 g A
⇒
UA = 0 , UB = 2m g A ,
1
1
m v 2A = m v 2B + 2 m g A
2
2
v 2B = v 2A − 4 g A
G
Le forze che agiscono lungo la direzione del filo sono la tensione del filo T , la forza centripeta
G
G
Fn , il componente normale del peso Pn . La legge fondamentale della dinamica vuole che sia :
G
G
G
T = Fn − Pn
Fn = T + Pn . Nella posizione B abbiamo : Fn = T + Pn ,
Dato che la tensione T del filo non può essere negativa , il valore minimo possibile in B é zero .
Fn − Pn ≥ 0 , Fn ≥ Pn , m
v 2B
≥ m g , v 2B ≥ A g , v 2A − 4 A g ≥ A g , v 2A ≥ 5 A g
A
vA ≥
5A g
Se alla pallina del pendolo imprimiamo una velocità v A ≥
5 A g allora essa non solo raggiunge la
posizione più alta B , ma prosegue lungo la circonferenza di centro O e raggio A .
U.D. N° 18
Il pendolo semplice
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
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Pendolo conico
U.D. N° 18
Il pendolo conico
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Unità Didattica N° 08 Moto Curvilineo
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Calcolo del periodo di rotazione
Abbiamo trovato lo stesso risultato ottenuto dall’osservatore inerziale .
U.D. N° 18
Il pendolo conico
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