Entropia e probabilità termodinamica Entropia e probabilità termodinamica Boltzmann stabilì l’esistenza di una relazione tra il valore dell’entropia di una sostanza in un dato stato e la probabilità termodinamica di questo stato1. Distinzione tra probabilità termodinamica e probabilità matematica. La probabilità matematica è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi equiprobabili. Esempio: In una scatola vi sono 10 palline: 5 bianche e 5 nere. Le palline, oltre al colore, non hanno altro elemento distintivo, per cui quando ne viene estratta una, la scelta della pallina è puramente casuale, ovvero ognuna di essa ha la stessa probabilità di essere estratta. Pertanto vi sono 10 casi equiprobabili: 5 casi equiprobabili che venga estratta una pallina bianca e 5 casi equiprobabili che venga estratta una pallina nera. A questo punto si formula la seguente domanda: qual è la probabilità matematica che venga estratta una pallina bianca? Dei 10 casi equiprobabili possibili, 5 di essi sono i casi favorevoli, per cui la pallina estratta sia di colore bianco. Dalla definizione di probabilità matematica si ha: Casi favorevoli N F Pr obabilità matematica Wm Casi equiprobab ili N P nel nostro esempio: NF = 5 NP = 10 per cui si ha: Wm NF 5 1 0,5 N P 10 2 Poiché il numeratore è sempre più piccolo del denominatore, o al massimo uguale, si ha che il valore della probabilità è minore od uguale ad uno. L’estrazione della pallina bianca o rossa costituisce un evento semplice. Se alle palline sono assegnate ulteriori condizioni, l’evento risulta composto. In tal caso è necessario individuare il modo di calcolare la probabilità. Si supponga che 3 palline bianche siano contrassegnate con un numero, qual è la probabilità che essa venga estratta? Il calcolo della probabilità può essere eseguito in due modi. 1. Nel primo modo il calcolo non richiede aggiunte rispetto a ciò che è stato scritto sopra. I casi equiprobabili sono sempre 10, mentre i casi favorevoli sono 3, per cui la probabilità matematica è: Wm 2. NF 3 0,3 N P 10 nel secondo modo il calcolo avviene in due tempi: a) Si calcola la probabilità che esca una pallina bianca. Il valore della probabilità è: Wb dove: b) NB 5 0,5 N P 10 Wb è la probabilità che esca la pallina bianca; NB numero di casi favorevoli riguardante la pallina bianca Successivamente si calcola la probabilità che una pallina bianca sia contrassegnata da un numero. I casi equiprobabili sono 10, tanti quante le palline bianche; i casi favorevoli sono 3, tanti quante sono le palline con numero. Per cui la probabilità di questo evento è: Wn NN 3 0,6 NB 5 dove: Wn è la probabilità che esca la pallina bianca con numero; NN numero di casi favorevoli riguardante la pallina bianca con numero; NB numero di palline bianche; c) Infine, il calcolo della probabilità matematica si effettua eseguendo la moltiplicazione tra le due probabilità: Wm Wb Wn 0,5 0,6 0,3 1 Kirillin A.A. – Sycev V.V. – SeJndlin A.E.: Termodinamica tecnica, pag. 111 1 Entropia e probabilità termodinamica Pertanto la probabilità matematica composta è uguale al prodotto delle probabilità matematiche semplici, che compongono l’evento composto. Stato macroscopico e microscopico Lo stato macroscopico o il macrostato di un sistema è definito dai parametri termodinamici di questo sistema: pressione, temperatura, volume specifico, energia interna, ecc. Il macrostato del sistema può essere definito da due parametri termodinamici qualsiasi , come volume ed energia interna. Lo stato microscopico o il microstato di un sistema è definito dall’insieme dei parametri che caratterizzano lo stato di ciascuna molecola del sistema: velocità, posizione nello spazio, ecc. Il microstato non è lo stato di una sola molecola, ma è definito dall’insieme dei parametri di tutte le molecole del sistema. Da queste due definizioni si può arguire che ad un medesimo macrostato di un sistema può corrispondere un numero molto grande di microstati più diversi. Esempio: In un recipiente vi un gas composto da molecole tutte uguali tra di loro e che si muovono con la stessa velocità, per cui le grandezze che caratterizzano il macrostato sono il volume, V, e l’energia interna, U. Questa è data dalla somma di tutte le energie cinetiche delle singole molecole. Questa medesima situazione può essere ottenuta supponendo che metà delle molecole abbiano una energia due volte più grande di quella corrispondente all’altra metà delle molecole, in modo tale che sommando le energie si ottiene ancora l’energia interna, U. Queste due situazioni, ovverosia due microstati diversi, corrispondono ad uno stesso macrostato, ovverosia stesso volume, V,e stessa energia interna, U. Quindi, ad uno stesso macrostato corrisponde un numero enorme di microstati. Altro esempio: Si prendono in considerazione due dadi identici a forma di cubo. Sulle sue facce sono segnati i numeri da 1 a 6. Si lancino i due dadi: sommando i numeri sulle due facce si ottiene un certo numero compreso tra 2 e 12. I vari modi con cui si possono ottenere i numeri sono elencati nella seguente tabella. Somma dei due dadi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Totale Combinazioni che forniscono un certo valore della somma nel lancio di due dadi 1–1 1-2 2–1 1-3 3-1 2–2 1-4 4-1 2-3 3–2 1-5 5-1 2-4 4-2 3–3 1-6 6-1 2-5 5-2 3-4 4–3 2-6 6-2 3-5 5-3 4–4 3-6 6-3 4-5 5–4 4-6 6-4 5–5 5-6 6–5 6-6 Numero combinazioni 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 Lanciando i dadi, si supponga che esca il numero 6. Tale numero può essere ottenuto in 5 modi diversi. Numero 6 Faccia 1 Faccia 2 Primo modo 1 5 Secondo modo 5 1 Terzo modo 2 4 Quarto modo 4 2 Quinto modo 3 3 Il numero 6 può essere considerato un macrostato, mentre ognuno dei 5 modi di ottenere il numero 6 è un microstato. Da questo esempio si può pertanto definire la probabilità termodinamica o peso statistico di un macrostato come il numero di microstati che realizzano un certo macrostato. Per il numero 6 nel lancio dei dadi, la probabilità termodinamica vale 5. Per confronto, la probabilità matematica per il numero 6 vale: 2 Entropia e probabilità termodinamica Wm NF 5 N P 36 dove i casi favorevoli sono 5, mentre i casi possibili sono 36 Ulteriore esempio: Adesso si considererà un altro esempio2 3 che si avvicina al caso di un gas all’interno di un recipiente. In un recipiente, costituito da due scomparti, vi sono 4 particelle, indicate con a, b, c, d. S D Con N viene considerato il numero totale di particelle nel recipiente (N=4); NS è il numero di particelle nello scomparto di sinistra, mentre ND è il numero di particelle che si trovano nello scomparto di destra. Pertanto N=NS+ND. Nella seguente tabella sono evidenziate le diverse distribuzioni delle particelle nei due scomparti Scomparto di sinistra S a b c d a b c a b d a c d b c d a b a c a d b c b d c d a b c d Scomparto di destra D d c b a c b b a a a a a a a d d c d c b b c c b b b c c d d d d NS 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 ND 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 P(NS, ND) 1 4 6 4 1 Ogni riga della tabella rappresenta un possibile modo distinto di distribuire le particelle nei due scomparti del recipiente. Pertanto si definisce configurazione ogni possibile distribuzione distinta delle particelle tra i due scomparti. Nell’esempio considerato il numero totale di configurazioni è 16, ovvero 2N. Ogni configurazione prende anche il nome di microstato, che è lo stato termodinamico di un sistema descritto nei dettagli macroscopici dalla più completa analisi di tutte le particelle del sistema. Nella tabella le diverse configurazioni o microstati sono stati raggruppati. Ogni gruppo rappresenta un macrostato o stato macroscopico. Pertanto, in senso termodinamico, per macrostato si intende lo stato macroscopico del sistema, descritto senza considerare i particolari microscopici, ma specificando solamente le quantità che si possono determinare con misure macroscopiche. Facendo riferimento alla tabella, si consideri il secondo raggruppamento o secondo macrostato. Si nota che nella parte di sinistra vi sono tre particelle mentre in quella di destra ve ne è una sola. Il macrostato non fa differenza se nello scomparto di destra vi è la particella a oppure la particella b, o la c o la d. La misurazione di una grandezza macroscopica, come il volume, la pressione o la temperatura, che sono grandezze che caratterizzano lo stato macroscopico o macrostato, non viene influenzata da quale particella si trova nello scomparto destro. 2 Calvelli G.: Un approccio statistico al II principio della termodinamica; La fisica nella scuola: XXII (1989), pag. 123 (inserto speciale). 3 Reif F.: Fisica statistica – 5, La fisica di Berkeley, cap. 1 3 Entropia e probabilità termodinamica In questo esempio, la probabilità termodinamica, P(NS, ND), ovvero il numero di microstati, m, che compongono un macrostato, M, vale: PN S , N D N! N S! N D ! dove: N è il numero di particelle totali che ritrovano nel recipiente; NS è il numero di particelle che si trovano nella parte sinistra del recipiente; ND è il numero di particelle che si trovano nella parte destra del recipiente. La notazione matematica N! si legge “enne fattoriale” ed il suo valore si calcola effettuando la moltiplicazione di tutti i numeri interi da 1 fino ad N: N! 1 2 3 4 .... N 1 N Nell’esempio considerato N=4, per cui 4! 1 2 3 4 24 Il caso particola 0! (zero fattoriale) vale: 0! = 1 I valori della probabilità termodinamica dei macrostati evidenziati nella tabella sono: 4! 4 3 2 1 1 4!0! 4 3 2 1 1 4! 4 3 2 1 P3, 1 4 3!1! 3 2 1 1 4! 4 3 2 1 P2, 2 6 2!2! 2 1 2 1 4! 4 3 2 1 P1, 3 4 1!3! 1 3 2 1 4! 4 3 2 1 P0, 4 1 0!4! 1 4 3 2 1 P4, 0 La probabilità matematica è dato dal rapporto tra il numero di microstati che compongono un certo macrostato (eventi favorevoli) ed il numero totale di microstati. Pertanto: Wm N S , N D Come caso particolare si consideri: Wm 3, 1 PN S , N D 2N P3, 1 4 1 4 16 4 2 Se invece di quattro particelle si hanno 20 particelle, che è un numero nettamente inferiore al numero di Avogadro (NA=61023 mol-1, numero di particelle contenute in una mole), le probabilità termodinamiche assumono i seguenti valori, che sono raggruppati nella seguente tabella. NS ND Macrostato Numero di microstati Numero di microstati, forma esponenziale Probabilità matematica Wm(NS,ND) 40 0 P(40, 0) = P(0, 40) 1 1,00000E+00 9,09495E-13 39 1 P(39, 1) = P(1, 39) 40 4,00000E+01 3,63798E-11 38 2 P(38, 2) = P(2, 38) 780 7,80000E+02 7,09406E-10 37 3 P(37, 3) = P(3, 37) 9880 9,88000E+03 8,98581E-09 36 4 P(36, 4) = P(4, 36) 91390 9,13900E+04 8,31187E-08 35 5 P(35, 5) = P(5, 35) 658008 6,58008E+05 5,98455E-07 4 Entropia e probabilità termodinamica 34 6 P(34, 6) = P(6, 34) 3838380 3,83838E+06 3,49099E-06 33 7 P(33, 7) = P(7, 33) 18643560 1,86436E+07 1,69562E-05 32 8 P(32, 8) = P(8, 32) 76904685 7,69047E+07 6,99444E-05 31 9 P(31, 9) = P(9, 31) 273438880 2,73439E+08 0,000248691 30 10 P(30,10) = P(10, 30) 847660528 8,47661E+08 0,000770943 29 11 P(29, 11) = P(11, 29) 2311801440 2,31180E+09 0,002102571 28 12 P(28, 12) = P(12, 28) 5586853480 5,58685E+09 0,005081214 27 13 P(27, 13) = P(13, 27) 12033222880 1,20332E+10 0,010944152 26 14 P(26, 14) = P(14, 26) 23206929840 2,32069E+10 0,02110658 25 15 P(25, 15) = P(15, 25) 40225345056 4,02253E+10 0,036584738 24 16 P(24, 16) = P(16, 24) 62852101650 6,28521E+10 0,057163653 23 17 P(23, 17) = P(17, 23) 88732378800 8,87324E+10 0,080701628 22 18 P(22, 18) = P(18, 22) 113380261800 1,13380E+11 0,103118747 21 19 P(21,19) = P(19, 21) 131282408400 1,31282E+11 0,119400655 20 20 P(20, 20) = P(20, 20) 137846528820 1,37847E+11 19 21 P(19, 21) = P(21, 19) 131282408400 1,31282E+11 0,125370688 0,119400655 Osservando i numeri presenti nella tabella è possibile effettuare qualche interpretazione termodinamica del fenomeno. Il macrostato per cui le particelle, o le molecole del gas, si trovano tutte nella parte di sinistra [N S=40, ND=0] o nella parte destra [NS=0, ND=40] del recipiente si può ottenere con un’unica configurazione. Il macrostato per cui le particelle si trovano metà nella parte di sinistra e metà nella parte destra [N S=20, ND=20] si può ottenere in un numero di configurazioni pari a 1,378471011 configurazioni o microstati. Il primo macrostato, [NS=40, ND=0] oppure [NS=0, ND=40], individua una situazione particolare, mezzo recipiente pieno e mezzo recipiente vuoto, per cui il sistema si dice ordinato e si ottiene raramente. Pertanto un sistema si dice ordinato quando la probabilità termodinamica è piccola ovvero è piccolo il numero di configurazioni che individuano il sistema. Il secondo macrostato, [NS=20, ND=20], individua una situazione normale, il recipiente è uniformemente occupato dalle particelle o le molecole del gas, ed il sistema si dice disordinato. Pertanto un sistema si dice disordinato quando vi è un numero molto elevato di configurazioni che individuano il sistema. Nella sesta colonna della tabella è riportata la probabilità matematica dei vari macrostati, di cui si riporta il calcolo dello stato [NS=21, ND=19]: Wm N S , N D PN S , N D P21, 19 40! 40 0,119400655 N 40 2 2 2 21!19! Gli atomi o le molecole del gas perfetto contenuto nel recipiente sono in continuo movimento, per cui non sempre il numero delle particelle contenute nella parte di sinistra sia uguale a quello nella parte destra. Osservando i dati riportati nelle ultime due colonne della tabelle si nota che le probabilità di diversi macrostati sono paragonabili tra di loro, ovvero è identico il loro ordine di grandezza. Pertanto, osservando il gas in modo dinamico, si hanno delle fluttuazioni intorno alla situazione ideale in cui metà molecole si trovano nella parte destra e metà nella sinistra, cioè si ottengono delle oscillazioni intorno al suo stato di equilibrio. Si esegue la addizione delle probabilità di 11 macrostati: W(25, 15) + W(15, 25) + W(24, 16) + W(16, 24) + W(23, 17) + W(17, 23) + W(22, 18) + W(18, 22) + W(21,19) + W(19, 21) + W(20, 20) = 0,919309532 Il numero ottenuto indica che 11 macrostati su 40 (circa utilizzando circa il 92% di microstati. 5 1 0,25 di tutti i macrostati) si ottengono 4 Entropia e probabilità termodinamica Quando si utilizzano un numero elevato di particelle, i valori della probabilità termodinamica sono elevati. Allora si utilizza una grandezza chiamata entropia che è collegata alla probabilità termodinamica dalla seguente relazione: S k lnP dove: S è l’entropia k è la costante di Boltzmann e vale 1,3810-23 JK-1, P è la probabilità termodinamica. 6