Esercizi di Ottica

Esercizio 1
Fisica Generale B
•! La fiamma di un fornello, continuamente e regolarmente rifornita di
sale da cucina, costituisce una sorgente estesa di luce gialla.
•! Si trova che tale luce gialla è composta di due onde monocromatiche
(dette righe D1 e D2 del sodio) di frequenza pari a 5.085!1014 s"1 e
5.090!1014 s"1.
•! Determinare per tali onde monocromatiche:
3. Esercizi di Ottica
–! La frequenza angolare;
–! Il periodo;
–! La lunghezza d’onda nel vetro (n = 1.5);
http://campus.cib.unibo.it/2490/
–! La lunghezza d’onda ridotta;
–! Il numero d’onda nel vetro (n = 1.5);
–! Il numero d’onda nel vuoto;
Domenico
Galli
–! Il numero d’onda spettroscopico.
May 7, 2011
Digitally signed by Domenico Galli
DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal
Certificate, l=Bologna, cn=Domenico
Galli
Date: 2011.05.07 15:21:14 +02'00'
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 1 (II)
Esercizio 1 (III)
•! Frequenza angolare:
•! Lunghezza d’onda nel vetro (n = 1.5):
! 1 = 2"#1 = 6.283 $ 5.085 $ 1014 s %1 = 3.195 $ 1015 s %1
! 2 = 2"# 2 = 6.283 $ 5.090 $ 1014 s %1 = 3.198 $ 1015 s %1
•! Periodo:
T1 =
T2 =
2!
v
c
2.998 # 108
=
=
m = 3.930 # 10$7 m = 393.0 nm
"1 n"1 1.5 # 5.085 # 1014
!2 =
v
c
2.998 # 108
=
=
m = 3.927 # 10$7 m = 392.7 nm
14
" 2 n" 2 1.5 # 5.090 # 10
•! Lunghezza d’onda ridotta:
1
1
=
= 1.967 " 10#15 s = 1.967 fs
!1 5.085 " 1014 s #1
1
1
=
= 1.965 " 10#15 s = 1.965 fs
! 2 5.090 " 1014 s #1
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
!1 =
3!
!01 =
c 2.998 # 108
=
m = 5.896 # 10$7 m = 589.6 nm
"1 5.085 # 1014
!02 =
c
2.998 # 108
=
m = 5.890 # 10$7 m = 589.0 nm
14
" 2 5.090 # 10
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4!
Esercizio 1 (IV)
Esercizio 1 (V)
•! Numero d’onda nel vetro (n = 1.5):
•! Numero d’onda spettroscopico:
n#
2!
1.5 $ 5.085 $ 1014 %1
k1 =
= 2! 1 = 6.283
m = 1.598 $ 107 m %1
8
"1
c
2.998 $ 10
!1 =
1 #1 5.085 $ 1014 %1
= =
m = 1.696 $ 106 m %1
"01 c 2.998 $ 108
n#
2!
1.5 $ 5.090 $ 1014 %1
= 2! 2 = 6.283
m = 1.600 $ 107 m %1
"2
c
2.998 $ 108
!2 =
1 # 2 5.090 $ 1014 %1
=
=
m = 1.698 $ 106 m %1
8
"02 c 2.998 $ 10
k2 =
•! Numero d’onda nel vuoto:
k01 =
#
2!
5.085 $ 1014 %1
= 2! 1 = 6.283
m = 1.066 $ 107 m %1
"01
c
2.998 $ 108
k02 =
#
2!
5.090 $ 1014 %1
= 2! 2 = 6.283
m = 1.067 $ 107 m %1
"02
c
2.998 $ 108
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5!
6!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 2
Esercizio 2 (II)
•! Facendo incidere un raggio di luce in un recipiente cilindrico pieno
d’acqua (n = 4/3) e il cui fondo è formato da un emisfero di plexiglas,
si nota che, se il raggio passa per il centro O e forma un angolo di 37°
con la verticale in corrispondenza della superficie dell’acqua, si ha una
riflessione all’angolo critico per il passaggio acqua-aria.
•! L’angolo critico per il passaggio acqua-aria è dato da:
(
)
! c acqua " aria = arcsin
dunque:
•! Determinare l’indice di rifrazione del plexiglas.
(
)
! t = ! c acqua " aria = 48.6°
•! Se si toglie l’acqua dal recipiente, la luce attraversa o no la
superficie di separazione plexiglas-aria?
•! Considerando la legge di Snell per la rifrazione plexiglas-acqua:
nacqua
sin ! i
=
sin ! t n plexiglas
n plexiglas =
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n2
n
1
3
= arcsin aria = arcsin
= arcsin = 48.6°
n1
nacqua
43
4
7!
"
sin 37°
43
=
sin 48.6° n plexiglas
"
sin 37°
43
=
3/ 4
n plexiglas
'-%',
')*+',
4 3# 3 4
1
1
=
=
= 1.66
sin 37° 0.602
sin 37°
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!"#$%&"'(
θi
8!
Esercizio 2 (III)
Esercizio 3
•! Tolta l’acqua, l’angolo critico per il passaggio plexiglas-aria è dato da:
(
)
! c plexiglas " aria = arcsin
•! Un fascio di luce, proveniente da un mezzo con indice di rifrazione n0
incide sulla superficie (parallela al piano xy) di un mezzo composto da
N strati orizzontali di materiali trasparenti con indice di rifrazione ni
formando un angolo !0 rispetto all’asse z.
n2
n
1
= arcsin aria = arcsin
= 37.0°
n1
n plexiglas
1.66
•! Poiché il raggio incide a un angolo di 37° rispetto alla verticale, cioè
incide all’angolo critico, la luce non attraversa la superficie di
separazione plexiglas-aria.
•! Determinare il valore di (ni sin !i) per lo strato i-esimo.
•! Generalizzare la relazione precedente per il caso di un mezzo il cui
indice di rifrazione è una funzione continua di z, cioè con n = n(z).
•! Supponendo che la Terra sia piatta, determinare l’angolo di
elevazione relativo " di una stella il cui angolo di elevazione
apparente è "0 = 25° (l’indice di rifrazione dell’aria sulla superficie
terrestre è n0 = 1.003).
'-%',
')*+',
'*%')
!"#$%&"'(
θi
!"#$%&"'()
θi
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9!
Esercizio 3 (II)
•! Se l’angolo di elevazione apparente della stella è "0!=!25°, l’angolo tra
la stella e la verticale è:
! 0 = 90° " # 0 = 90° " 25° = 65°
" ni sin ! i = ni+1 sin ! i+1
•! Per quanto abbiamo detto si ha:
•! Avremo perciò, per tutti gli strati:
n! sin " ! = n0 sin " 0
ni sin ! i = n0 sin ! 0 , i = 1,2,3,…
dove n# = 1, in quanto a grande distanza dalla terra c’è il vuoto, per
cui:
•! Se l’indice di rifrazione è una funzione continua
della quota z, cioè n = n(z), detto !(z) l’angolo del
raggio rispetto alla verticale alla quota z si avrà
analogamente (sostituendo l’indice i con
l’argomento z):
()
() ()
10!
Esercizio 3 (III)
•! Per la legge di Snell si ha, nella rifrazione fra lo strato i-esimo e lo
strato (i + 1)-esimo:
n
sin ! i+1
= i
sin ! i
ni+1
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sin ! " = n0 sin ! 0 = 1.003 # sin 65° = 1.003 # 0.9063 = 0.9090
! " = arcsin 0.9090 = 65.37°
•! Infine si ha:
()
! = 90° " # $ = 90° " 65.37° = 24.63°
n z sin ! z = n 0 sin ! 0
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11!
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12!
Esercizio 4
Esercizio 4 (II)
•! Un fascio di luce si propaga entro un tubo rettilineo lungo 1 km
contenente normalmente aria in condizioni normali di pressione e
temperatura (NTP) avente un indice di rifrazione n = 1.00029.
•! La velocità della luce nel vuoto è:
c = 2.99792 ! 108 m s
mentre nell’aria è:
c 2.99792 ! 108
=
m s = 2.99705 ! 108 m s
1.00029
n
•! Il tempo di percorrenza nel vuoto e nell’aria è, rispettivamente:
v=
•! Qual è la differenza del tempo di percorrenza del tubo tra la
condizione normale (aria a NTP) e la condizione in cui viene praticato
il vuoto entro il tubo? Produrre il risultato con 2 cifre significative,
prendendo c = 2.99792!108 m/s.
tvuoto =
s
1000 m
=
= 3.33565 ! 10"6 s = 3.33565 µs
c 2.99792 ! 108 m s
s
1000 m
=
= 3.33661! 10"6 s = 3.33661 µs
8
v 2.99705 ! 10 m s
•! La differenza è perciò:
!t = taria " tvuoto =
taria =
(
)
= 3.33661# 10"6 " 3.33565 # 10"6 s =
= 9.7 # 10
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"10
!"#!
$%&'&
s = 0.97 ns
13!
14!
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Esercizio 5
Esercizio 5 (II)
•! Un’onda piana incide, parallelamente all’asse principale, su di un
diottro sferico aria-vetro che rivolge la concavità alla luce. Il raggio
del diottro è r = 30 cm e l’indice di rifrazione del vetro è 1.5. Trovare
il punto F2 in cui convergono i raggi rifratti.
•! Un’onda piana è prodotta da una sorgente puntiforme situata a
distanza infinita. Utilizzando l’equazione del diottro:
n1
x
+
n2
=
n2 " n1
R
x!
con x!$!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il
•! Supponiamo di invertire il verso di provenienza della luce. Si chiede
ancora qual è il punto di convergenza F1 dei raggi rifratti.
diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere
R!<!0:
n2 n2 " n1
=
R
x!
#
f2 = x! =
n2
1.5
R=
"30cm = "90 cm
1.5 " 1
n2 " n1
(
•! Il segno negativo indica che il fuoco si
trova prima del diottro, e quindi che i
raggi rifratti divergono.
)
n1 n2
F2
C
f2
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15!
R
F1
O
f1
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16!
Esercizio 5 (III)
Esercizio 6
•! Se il raggio proviene dal vetro, utilizzando nuovamente l’equazione del
diottro (con gli indici di rifrazione scambiati):
n2
x
+
n1
x!
=
•! Sia dato un diottro sferico aria-vetro con la superficie convessa per
chi osserva all’esterno, dove il mezzo 2 è vetro di indice di rifrazione
n2 = 1.5.
n1 " n2
R
•! I raggi paralleli all’asse ottico convergono in un punto entro il vetro
a una distanza di 40 cm dal diottro.
con x!$!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il
diottro provenendo dalla parte convessa, e dunque bisogna prendere
R!>!0:
n1 n1 " n2
=
R
x!
#
f1 = x ! =
•! Nota la distanza x = 50 cm del punto oggetto A dal diottro,
determinare la distanza del punto immagine.
n1
1
R=
30cm = "60 cm
1" 1.5
n1 " n2
•! Il segno negativo indica che il fuoco si
trova prima del diottro, e quindi che i
raggi rifratti divergono.
n1 n2
F2
C
f2
F1
O
R
f1
17!
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Esercizio 6 (II)
Esercizio 6 (III)
•! In questo caso non conosciamo il raggio di curvatura del diottro, per
cui non possiamo utilizzare l’equazione del diottro:
n1
•! Avremo:
f2
f
f1 f 2
+ =1 "
= 1# 1
x x!
x
x!
f2
40 cm
40
40
15
=
=
cm =
cm = 40 cm = 85.7 cm
x! =
80
8
cm
f
7
7
1#
1# 1 1# 3
15
15
50 cm
x
n "n
+ = 2 1
x x!
R
n2
•! Conosciamo tuttavia la distanza focale f2 = 40 cm e i due indici di
rifrazione n1 = 1 e n2 = 1.5, per cui siamo in grado di trovare l’altra
distanza focale:
"
n2
R$
n2 ! n1 $
# &
n1
f1 =
R$
n2 ! n1 $%
f2 =
e utilizzare
l’equazione:
f1 f 2
+
=1
x x!
f1 n1
=
f 2 n2
18!
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&
A
f1 =
n1
1
80
f2 =
40 cm =
cm
1.5
3
n2
n1 n2
O
F1
f1
x = 50 cm
C
R
f 2 = 40 cm
x!
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F2
A
A!
n1 n2
O
F1
f1
x = 50 cm
19!
C
R
f 2 = 40 cm
x!
F2
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A!
20!
Esercizio 7
Esercizio 7 (II)
•! Si abbia un diottro aria-vetro con la superficie sferica convessa per
chi osserva all’esterno e di raggio R = 25 cm.
•! Utilizzando l’equazione del diottro:
n1
x
•! Sull’asse principale, a una distanza di 1 cm dal centro O, nel vetro, vi è
una bollicina B.
+
n2
x!
=
n2 " n1
R
e considerando che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo
dalla parte concava, e dunque bisogna prendere R!<!0, si ha:
•! Se l’indice di rifrazione del vetro è n = 1.5, qual è la distanza
apparente della bollicina?
1.5 1 1" 1.5
+ =
1cm x ! "25cm
# x! =
1
1
=
cm = "0.676 cm
1.5
1" 1.5
0.02 " 1.5
"
"25 cm 1 cm
•! L’immagine si trova ancora entro il
vetro, ma a una profondità minore
dell’oggetto.
n1 = 1.5
F1
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21!
Esercizio 8
C
R
n2 = 1
BO
F2
x = 1cm
22!
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Esercizio 8 (II)
•! Un diottro sferico aria-vetro (con la superficie sferica convessa per
chi osserva all’esterno) ha raggio di curvatura R!=!20!cm e l’indice di
rifrazione del vetro vale n = 1.5.
•! Utilizzando l’equazione del diottro troviamo la posizione
dell’immagine x%:
n1 n2 n2 " n1
+ =
x x!
R
n2
1.5
1.5
=
=
cm = 300 cm
x! =
1
n2 " n1 n1 1.5 " 1
0.025 " 0.02
"
"
R
x 20 cm 50 cm
•! Un oggetto di dimensione l = 1 cm è posto normalmente all’asse
principale, a una distanza x = 50 cm da O. Calcolare:
–! L’ingrandimento lineare trasversale G.
•! Possiamo ora calcolare l’ingrandimento lineare trasversale e il
rapporto di convergenza:
–! Il rapporto di convergenza K.
l ! x ! n1 300 1
G= =
=
=4
l
x n2 50 1.5
K=
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23!
"! x
50
= =
= 0.167
" x ! 300
n2 = 1.5
n1 = 1
C
A F1
O
R = 20 cm
x = 50 cm
F2
A!
x!
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24!
Esercizio 9
Esercizio 9 (II)
•! Si tratta di un sistema ottico centrato. Per determinare la distanza
dell’immagine A%% del punto A consideriamo l’immagine A! di A nel
primo diottro come l’oggetto per il secondo diottro.
•! Un doppio diottro è costituito da un blocco di vetro di indice di
rifrazione n = 1.5, limitato da una superficie piana e da una superficie
sferica di raggio R = 40 cm. Il suo spessore vale s = 10 cm.
•! Utilizzando l’equazione del diottro sferico (con R!"!#) per il primo
diottro si ha:
•! Determinare la posizione dell’immagine di un punto luminoso posto
sull’asse principale a una distanza x = 20 cm dal diottro piano
(scrivere la distanza dell’immagine dal diottro piano e specificare se
essa si trovi sullo stesso lato o sul lato opposto del diottro piano
rispetto all’oggetto).
n1 n2 n2 " n1
+ =
x x!
R
n2
1.5
=
= "1.5 # 20 cm = "30 cm
x! =
1
n2 " n1 n1
0"
"
20 cm
R
x
•! Il segno negativo indica che il punto A!
si trova dalla stessa parte di A
rispetto al primo diottro.
A!! A! F
1
•! A% è l’oggetto per il secondo diottro.
25!
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Esercizio 9 (III)
"!
" !! =
n3 n3 # n2
=
" !!
R
n3
1
=
=
1.5
n3 # n2 n2
1# 1.5
#
#
R
" ! #40 cm 40 cm
1
1
cm = #
cm =
0.025
0.0125 # 0.0375
= #40 cm
=
C
F2
26!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
(
)
n1 = 1 n2 = 1.5
R = 40 cm
A!! A! F1
•! L’immagine si trova a 30 cm dal diottro piano, dallo stesso lato
dell’oggetto.
n3 = 1
O!
A C O
x = 20 cm s = 10 cm
x!
x!!
!"
! ""
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
)
x !! = s + " !! = 10 cm + #40 cm = #30 cm
•! L’equazione del diottro, per il secondo diottro, si scrive (considerando
che un raggio di luce proveniente da A% attraversa il secondo diottro
provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere R!<!0):
+
O!
O
R = 40 cm
x = 20 cm s = 10 cm
A
•! La distanza dell’immagine A%% dal diottro piano è perciò:
" ! = s # x ! = 10 cm# #30 cm = 40 cm
n2
n3 = 1
Esercizio 9 (IV)
•! Chiamando #% e #%% le distanze dell’oggetto e dell’immagine del secondo
diottro dal secondo diottro, si ha:
(
n1 = 1 n2 = 1.5
n1 = 1 n2 = 1.5
R = 40 cm
A!! A! F1
F2
27!
n3 = 1
O!
A C O
x = 20 cm s = 10 cm
x!
x!!
!"
! ""
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F2
28!
Esercizio 10
Esercizio 10 (II)
•! Calcolare il raggio di curvatura di uno specchio sferico concavo,
sapendo che un regolo lungo l = 2 cm, posto davanti allo specchio, a
una distanza x = 25 cm dal vertice, ha un’immagine reale lunga
l# = 4 cm.
•! Per calcolare il raggio di curvatura occorre avere la distanza
dell’oggetto e la distanza dell’immagine. Quest’ultima si può trovare a
partire dall’ingrandimento lineare trasversale:
G=
l!
x!
="
l
x
# x! = "
l!
4cm
x="
25 cm = "50 cm
l
2cm
•! Il raggio di curvatura può essere calcolato utilizzando l’equazione
dello specchio sferico:
1 1
2
! =!
x x"
R
2
2
50
R=
=
= !2 cm =
1
1 1
1
3
!
!
x " x !50cm 25cm
= !33.3cm
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29!
Esercizio 11
!
A
i
C
r
A! ! "
F
x
R
Q
O
x!
f
30!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 11 (II)
•! Un punto luminoso si trova sull’asse ottico di uno specchio concavo di
raggio R = 40 cm a una distanza x = 50 cm dal vertice. Determinare:
•! Utilizzando l’equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio
è concavo il raggio è negativo):
1 1
2
! =!
x x"
R
1
1
1
=
=
cm = !33.3 cm
x" =
2
1
1 2
0.02 ! 0.05
+
+
x R 50 cm !40 cm
–! La distanza dell’immagine;
–! L’ingrandimento di questa.
•! Si ripetano i calcoli per il caso di uno specchio convesso.
•! Poiché tale distanza è negativa, l’immagine è reale. L’ingrandimento
lineare trasversale è dato da:
l!
x!
"33.3
G= =" ="
= 0.667
l
x
50
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
31!
Q
A
i ! r !"
A
F
C
x = 50 cm
x!
R = !40 cm
f
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
O
32!
Esercizio 11 (III)
Esercizio 12
•! Se lo specchio è convesso, il raggio è positivo e si ha:
•! Qual è il raggio l$ dell’immagine del Sole ottenuta con uno specchio
concavo di raggio R = 5 m, ammettendo che il raggio del Sole sia 1/n
della distanza x del Sole dalla Terra, con n = 220.
1 1
2
! =!
x x"
R
1
1
1
=
=
cm = 14.3 cm
x" =
2
1
1 2
0.02 + 0.05
+
+
x R 50 cm 40 cm
•! Poiché tale distanza è positiva, l’immagine è virtuale. L’ingrandimento
lineare trasversale è dato da:
G=
l!
x!
14.3
=" ="
= "0.286
l
x
50
r
i
Q
!"
!
O
A! F
A
C
x = 50 cm x!
R = +40 cm
f
33!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 12 (II)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 13
•! Utilizzando l’equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio
è concavo il raggio è negativo):
•! Una lente biconvessa di indice di rifrazione nvetro = 1.5 ha una distanza
focale F = 40 cm nell’aria.
•! Poiché x >> R, in questa equazione possiamo porre x " #.
•! Qual è il valore F$ della distanza focale quando la lente è immersa
nell’acqua, se l’indice di rifrazione dell’acqua è nacqua = 1.33?
1 1
2
! =!
x x"
R
!
1
2
=!
R
x"
# x" = f =
34!
R
= !2.5 m
2
•! Il testo del problema ci dice che il raggio l del Sole è pari a 1/n della
distanza x del Sole dalla Terra , con n = 220:
l=
Q
1
x, n = 220
n
i
•! L’ingrandimento lineare trasversale si scrive:
l!
x!
G= ="
l
x
da cui:
l ! = "l
x!"
1 x!
x!
R
"5 m
x!
=" x =" ="
="
= 1.136 cm
n x
n
2n
2 # 220
x
C
r
F
O
x! = f
R = !5 m
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
35!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
36!
Esercizio 13 (II)
Esercizio 13 (III)
•! Abbiamo visto che la distanza focale di una lente sottile si scrive:
n
n
n
# 1
1
1 &
= n !1 % !
con
n = 2 = lente = vetro
(
F
n
n
n
R
R
"
""
$
'
1
esterno
esterno
(
•! Ovvero:
)
F! =
•! Avremo perciò nell’aria:
(
) F = 1.33(1.5 " 1) 40 cm = 156.5 cm
nacqua nvetro " 1
nvetro " nacqua
1.5 " 1.33
" 1
1 " nvetro % " 1
1 %
1 %
=$
! 1' $ !
= nvetro ! 1 $ !
'
F # 1
# R( R(( '&
& # R( R(( &
e nell’acqua:
&# 1
1 # nvetro
1 &
=%
" 1( % "
F ! $ nacqua ' $ R! R!! ('
•! Dividendo membro a membro le due precedenti equazioni si ha:
F ! nvetro " 1 nacqua nvetro " 1
=
=
nvetro
nvetro " nacqua
F
"1
nacqua
(
(
)
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
37!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 14
38!
Esercizio 14 (II)
•! La superficie curva di una lente piano-convessa ha un raggio di
curvatura R = 10 cm.
•! La distanza focale di una lente sottile si scrive, essendo R!! " #
(lente piano-convessa):
# 1
1
1
1 &
= n !1 % !
= n !1
F
R"
$ R" R"" ('
(
•! Qual è la sua distanza focale nell’aria e nell’acqua, se l’indice di
rifrazione nel vetro è nvetro = 1.5 e quello dell’acqua è nacqua = 1.33?
con:
n=
)
(
)
n2
n
= lente
n1 nesterno
•! Avremo perciò nell’aria:
"n
% 1
1
1
= vetro ! 1'
= nvetro ! 1
Faria $# 1
R(
& R(
(
)
) Faria =
R(
10 cm
=
= 20 cm
nvetro ! 1 1.5 ! 1
e nell’acqua:
1
Facqua
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
39!
"n
% 1
= $ vetro ! 1'
# nacqua & R(
) Facqua =
R(
10 cm
=
= 78.2 cm
nvetro
1.5
!1
!1
1.33
nacqua
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
40!
Esercizio 15
Esercizio 15 (II)
•! Date due lenti sottili a contatto di distanza focale F1!=!30!cm e
F2!=!$20!cm, qual è la distanza focale F del sistema risultante?
•! I raggi paralleli provenienti dall’infinito vengono fatti convergere sul
fuoco, a distanza F1 = 30 cm dalla prima lente.
•! Tale punto, a distanza F1 = 30 cm dalla prima lente, è l’oggetto per la
seconda lente (x1 = " F1 = "30 cm).
•! Il fuoco del sistema formato dalle 2 lenti è l’immagine della seconda
lente, la cui distanza si ottiene utilizzando l’equazione della lente:
1
1
1
+
=
x1 x 2 F2
F = x2 =
1
1 1
!
F2 x1
=
1
1
1
!
F2 ! F1
=
1
1
1
+
F2 F1
=
1
1
1
+
!20 cm 30 cm
= !60 cm
•! In altre parole la convergenza del sistema è la somma delle
convergenze delle due lenti.
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
41!
Esercizio 16
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
42!
Esercizio 16 (II)
•! Un’onda piana incide parallelamente all’asse ottico su una lente
biconvessa sottile di vetro avente indice di rifrazione n = 1.5.
•! Il fascio di luce proveniente dall’infinito parallelamente all’asse
ottico, incontra nel suo percorso, nell’ordine:
–! Un diottro convesso aria-vetro;
•! I raggi di curvatura della lente valgono entrambi R = 20 cm.
–! Uno specchio concavo (la superficie di separazione vetro-mercurio);
•! La lente galleggia sul mercurio.
–! Un diottro concavo vetro-aria.
•! La distanza del fuoco A1 del diottro convesso aria-vetro si ottiene
dall’equazione del diottro (diottro convesso, R > 0):
•! Dove convergono i raggi dell’onda?
naria nvetro nvetro " naria
+
=
!
x1
R
nvetro
1.5
x1 =
=
= 60 cm
nvetro " naria naria 1.5 " 1
"0
"
20 cm
R
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
43!
A3
A2
A1
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
44!
Esercizio 16 (III)
Esercizio 16 (IV)
•! Per lo specchio concavo l’oggetto A1 si trova alla distanza
x!1 = $60 cm, in quanto è posto al di là dello specchio. Utilizzando
l’equazione dello specchio si trova la distanza dell’immagine A2
prodotta dallo specchio (specchio concavo, R < 0):
1 1
2
" ="
R
x1! x2
# x2 =
1
1 2
+
x1! R
=
1
2
1
+
"60 cm "20 cm
il segno negativo indica che l’immagine si trova
al di sopra dello specchio.
•! Rispetto al diottro concavo vetro-aria, A2 si
trova alla distanza x!2 = $60/7 cm, in quanto è
posto al di là del diottro.
="
•! Utilizzando l’equazione del diottro si trova la distanza dell’immagine
A3 prodotta dal diottro (diottro concavo, R < 0):
nvetro
naria naria " nvetro
=
x3
R
x2!
naria
1
x3 =
=
= 5 cm
1.5
naria " nvetro nvetro
1 " 1.5
"
"
60
"20 cm
R
x2!
"
cm
7
60
cm
7
A3
A2
+
A3
•! I raggi dell’onda convergono nel punto A3
situato nell’aria a 5 cm dalla lente.
A1
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
A2
A1
45!
Esercizio 17
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
46!
Esercizio 17 (II)
•! Un tubo cilindrico di lunghezza opportuna è diviso in due parti da una
lente biconvessa sottile di vetro (nvetro = 1.5) aventi i raggi di
curvatura entrambi uguali a R = 20 cm.
•! Il sistema non può essere trattato come una lente in quanto il primo e
il terzo indice di rifrazione sono tra loro diversi.
•! Occorre trattare il sistema come un sistema ottico centrato
formato da 2 diottri: il diottro aria-vetro e il diottro vetro"liquido.
•! Una delle due parti del cilindro è piena d’aria, l’altra di un liquido
trasparente di indice di rifrazione nliquido = 1.2.
•! Un raggio che entra nel tubo parallelamente all’asse, dalla parte dove
vi è l’aria proviene da una sorgente puntiforme posta a x!"!#.
Possiamo trovare la sua immagine prodotta dal primo diottro
utilizzando l’equazione del diottro (R > 0 in quanto il raggio vede il
primo diottro convesso):
–! Dove va a convergere un raggio che entra nel tubo parallelamente
all’asse, dalla parte dove vi è l’aria?
–! Se si inverte il senso di provenienza della luce, dove converge il raggio?
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
naria nvetro nvetro " naria
+
=
x
R
x!
nvetro
1.5
=
= 60 cm
x! =
nvetro " naria naria 1.5 " 1
"0
"
20 cm
R
x
47!
naria = 1
nliquido = 1.2
nvetro = 1.5
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
48!
Esercizio 17 (III)
Esercizio 17 (IV)
•! L’immagine prodotta dal primo diottro diventa l’oggetto per il
secondo diottro.
•! Se si inverte il senso di provenienza della luce, ragionando come nel
caso precedente, si ha per il primo diottro (R > 0):
•! Poiché la lente è sottile, il suo spessore è trascurabile, e dunque tale
oggetto per il secondo diottro si trova alla distanza x = "60 cm (il
segno negativo denota il fatto che tale oggetto si trova oltre il
secondo diottro). Utilizzando di nuovo l’equazione del diottro per il
secondo diottro, si ha (R < 0 in quanto il raggio vede il secondo
diottro concavo):
nvetro nliquido nliquido " nvetro
+
=
x
R
x!
nliquido
1.2
=
= 30 cm
x! =
naria = 1
1.5
nliquido " nvetro nvetro 1.2 " 1.5
"
"
"20 cm "60 cm
R
x
•! Il fascio converge nel liquido, a 30 cm dalla
lente.
nvetro nvetro " nliquido
=
x
R
x!
nvetro
1.5
=
= 100 cm
x! =
nvetro " nliquido nliquido 1.5 " 1.2
"
0
"
20 cm
R
x
nliquido
+
e per il secondo diottro (x = "100 cm, R < 0):
nvetro naria naria " nvetro
+
=
naria = 1
x
R
x!
naria
1
=
= 25 cm
x! =
1.5
naria " nvetro nvetro
1" 1.5
"
"
"20 cm "100 cm
R
x
n = 1.5
nliquido = 1.2
nvetro = 1.5
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
nliquido = 1.2
vetro
49!
Esercizio 18
50!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 18 (II)
•! Si ha una lente piano-concava, sottilissima, posta orizzontalmente,
con la sua concavità rivolta verso l’alto, e piena di un liquido il cui
indice di rifrazione è nliquido = 1.318.
•! Per quanto visto nell’esercizio 15, la convergenza del sistema è la
somma delle convergenze delle 2 lenti.
1
1
1
= +
F F1 F2
•! Determinare la distanza focale F del sistema ottico così costituito,
sapendo che l’indice di rifrazione del vetro di cui è costituita la lente
è nvetro = 1.436 e che il raggio di curvatura della lente è R = 1.77 cm.
•! La convergenza di una singola lente è data da:
# 1
1
1 &
= n !1 % !
F
$ R" R"" ('
(
)
per cui, per la lente di vetro si ha (R% $ #, R%% > 0):
1
= nvetro ! 1
F1
(
#
&
#
&
) %$ ! R1"" (' = (1.436 ! 1) %$ ! 1.771 cm (' = !0.246 cm n
mentre, per la lente di liquido, si ha (R% > 0, R%% $ #):
(
)
!1
liquido
= 1.318
# 1&
# 1 &
1
= nliquido ! 1 % ( = 1.318 ! 1 %
= 0.180 cm !1
F2
$ R" '
$ 1.77 cm ('
nvetro = 1.436
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
51!
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
52!
Esercizio 18 (III)
Esercizio 19
•! Abbiamo perciò:
•! Si ha una sorgente puntiforme A che è posta sull’asse di una lente
convergente sottile a una distanza p = 40 cm dalla lente stessa, di
distanza focale F = 25 cm.
1 1
1
= +
= !0.246 + 0.180 cm !1 = !0.066 cm !1
F F1 F2
(
F=
)
•! La lente, a sua volta, dista l = 15 cm da un blocco di vetro di indice di
rifrazione n = 1.5, che presenta alla lente una faccia piana e normale
all’asse ottico della lente stessa.
1
= !15.2 cm
!0.066cm !1
–! Dove si forma l’immagine della sorgente nel vetro?
–! Supposto che la sorgente non sia puntiforme ma circolare, di diametro
2r = 1 cm, qual è il diametro d dell’immagine?
nliquido = 1.318
nvetro = 1.436
53!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 19 (II)
Esercizio 19 (III)
•! L’immagine della lente sottile si trova a una distanza dalla lente data
dall’equazione della lente:
1 1 1
+ =
x1 x2 F
! x2 =
1
1 1
"
F x1
54!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
=
1
1
1
"
25 cm 40 cm
n
n1 n2
1.5
+ = 0 " !2 = # 2 !1 = #
#51.7 cm = 77.5 cm
1
!1 !2
n1
(
= 66.7 cm
•! L’immagine si forma a 77.5 cm di profondità nel blocco di vetro.
•! L’ingrandimento lineare trasversale della lente è:
G1 =
•! Tale immagine è l’oggetto per il diottro. Essa si trova a una distanza
dal diottro pari a (il segno negativo indica che si trova al di là del
diottro):
!1 = l " x2 = 15cm" 66.7 cm = "51.7 cm
•! La distanza dell’immagine del diottro si
trova utilizzando l’equazione del diottro,
con R " #:
n1 n2 n2 " n1
+ =
= 0, per R # $
!1 !2
R
)
mentre l’ingrandimento lineare trasversale del diottro è:
G2 =
( )
n = 1.5
G = G1G2 = 1.67 !1 = !1.67
A
•! Infine il diametro dell’immagine:
F2
d = 1 cm G = 1.67 cm
F = 25cm
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
!2 n1
77.5 1
=
= "1
!1 n2 "51.7 1.5
•! L’ingrandimento totale è perciò:
p = 40 cm l = 15cm
F1
x2 66.7
=
= 1.67
x1
40
55!
p = 40 cm l = 15cm
n = 1.5
A
F1
F2
F = 25cm
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
56!
Esercizio 20
Esercizio 20 (II)
•! Un oggetto, posto sull’asse ottico di una lente sottile convergente, a
una distanza p = 4 cm da essa, dà un’immagine a una distanza
q = 10 cm e dalla stessa parte dell’oggetto.
•! Per l’equazione della lente:
1 1 1
+ =
p q F
•! Si avvicini l’oggetto di s = 0.4 cm alla lente, a partire dalla posizione
precedente. Calcolare:
! F=
1
1 1
+
p q
=
1
1
1
+
4 cm "10 cm
= 6.67 cm
•! Nella seconda posizione si ha:
–! A quale distanza dalla lente si formerà l’immagine;
(
)
p! = p " s = 4 " 0.4 cm = 3.6 cm
–! Il valore dell’ingrandimento G (nella configurazione in cui l’oggetto è già
stato avvicinato).
1 1 1
+ =
p! q! F
# q! =
1
1 1
"
F p!
=
1
1
1
"
6.67 cm 3.6 cm
= "7.82 cm
•! Per quanto riguarda l’ingrandimento lineare trasversale si ha:
G=
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
q! "7.82 cm
=
= "2.17
3.6 cm
p!
57!
Esercizio 21
58!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 21 (II)
•! Due lenti sottili convergenti, di distanza focale f1!=!25!cm e
f2!=!35!cm rispettivamente, hanno una distanza reciproca di d = 10 cm
e inoltre sono coassiali. Determinare:
•! L’immagine della prima lente si trova alla distanza da essa:
1 1
1
+ =
x1 x2 f1
–! La posizione dell’immagine di un oggetto posto a una distanza x1 = 50 cm
dalla prima lente;
! x2 =
1
1
=
= 50 cm
1
1 1
1
"
"
f1 x1 25 cm 50 cm
•! Tale immagine è l’oggetto della seconda lente e si trova a una distanza
da essa pari a (il segno negativo indica che l’oggetto si trova al di là
della lente):
–! L’ingrandimento del sistema.
!1 = d " x2 = 10 cm" 50 cm = "40 cm
•! L’immagine prodotta dalla seconda lente si trova alla distanza da essa:
1 1
1
+ =
!1 !2 f 2
1
1
!2 =
=
= 18.7 cm
1
1 1
1
"
"
f 2 !1 35 cm "40 cm
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
59!
x = 50 cm
d = 10 cm
A
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
60!
Esercizio 21 (III)
Esercizio 22
•! Per quanto riguarda l’ingrandimento, si ha:
G = G1G2 =
•! Data una lente sottile convergente di distanza focale f, calcolare a
quale distanza dalla lente occorre porre un oggetto affinché la sua
immagine reale abbia dall’oggetto distanza minima.
x2 !2 50 18.7
=
= "0.467
x1 !1 50 "40
x = 50 cm
d = 10 cm
A
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
61!
Esercizio 22 (II)
•! Si ha:
1 1 1
+ =
x1 x2
f
=
fx1
x1 ! f
1 1
!
f x1
"
x1 ! f + f
x12
f %
=
x
l = x1 $ 1 +
=
1
x1 ! f
x1 ! f
x1 ! f '&
#
(
(
)
(
)
)
•! Si ha perciò il minimo per x = 2f. In corrispondenza di tale minimo:
"
$
fx1
f2f
2f2
# & l = x1 + x2 = 4 f
=
=
=2f$
x2 =
x1 ! f 2 f ! f
f
%
x1 = 2 f
•! Nel punto di l minimo si deve avere:
2
dl
d x1
=0 !
=0
dx1
dx1 x1 " f
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
)
)
#% x = 0
dl
=0 " $ 1
dx1
%& x1 = 2 f
dl
> 0 " x ' ()0,2 f *+
dx1
l = x1 + x2
1
(
(
2
2x1 x1 ! f ! x12 x12 ! 2 fx1 x1 x1 ! 2 f
dl
0 x1
=
=
=
=
2
2
2
dx1 dx1 x1 ! f
x1 ! f
x1 ! f
x1 ! f
si tratta di trovare la distanza x1 che rende minima la somma:
x2 =
62!
Esercizio 22 (III)
•! Data l’equazione della lente:
•! Abbiamo:
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
63!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
64!
Esercizio 23
Esercizio 23 (II)
•! Un oggetto si trova sull’asse ottico di una lente, a una distanza
x1 = 81.5 cm da questa. La lente è convergente e sottile e della
potenza P = 1.9 diottrie.
•! La posizione dell’immagine della lente si trova mediante l’equazione
della lente:
1 1 1
+ =
x1 x2 F
1
1
1
x2 =
=
=
= 1.486 m = 148.6 cm
1
1
1 1
!1
!1
1.9 m !
1.9 m !
!
81.5 cm
0.815 m
F x1
•! Dietro la lente si trova uno specchio piano orientato a 45º rispetto
all’asse ottico. Lo specchio riflette i raggi sulla superficie libera
dell’acqua contenuta in una bacinella. L’indice di rifrazione dell’acqua
è n = 1.33. La somma delle distanze specchio-acqua e specchio-lente
è 101 cm.
•! Tale immagine è l’oggetto per il diottro
aria-acqua della superficie dell’acqua nella
bacinella. Rispetto a tale superficie esso si
trova alla distanza:
–! Qual è la profondità h che deve avere la bacinella affinché l’immagine dell’oggetto
si formi sul fondo?
–! Dove si formerà l’immagine se al posto della superficie libera dell’acqua si
mette uno specchio concavo di raggio R = 20.5 cm?
C
A
B
•! Dunque (segno negativo) si trova oltre tale
superficie.
65!
Esercizio 23 (III)
h
n = 1.33
66!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
Esercizio 23 (IV)
•! Nel caso in cui al posto della superficie libera dell’acqua si mette uno
specchio concavo di raggio R = 20.5 cm, l’immagine della lente è
l’oggetto per tale specchio. Esso si trova, rispetto allo specchio, alla
distanza (segno negativo cioè oltre lo specchio):
•! La posizione dell’immagine del diottro si trova mediante l’equazione
del diottro:
n1 n2 n2 " n1
+ =
=0
!1 !2
R
n
1.33
!2 = "!1 2 = " "47.6 cm
= 63.3 cm
1
n1
!1 = 101 cm" 148.6 cm = "47.6 cm
)
•! Dunque l’immagine del diottro si trova a
63.3 cm dal diottro (cioè dalla superficie
dell’acqua della bacinella).
•! Affinché l’immagine dell’oggetto si formi sul
fondo la bacinella dovrà perciò avere la
profondità:
h = 63.3 cm
O
!1 = 101 cm" 148.6 cm = "47.6 cm
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(
CA + AB = l = 101cm
x1 = 81.5cm
•! Utilizzando l’equazione dello specchio (concavo, R < 0):
1 1
2
" ="
R
!1 !2
CA + AB = l = 101cm
x1 = 81.5cm
O
C
B
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1
2 1
+
R !1
=
1
1
2
+
"20.5 cm "47.6 cm
= "8.43 cm
CA + AB = l = 101cm
•! Il segno negativo indica che l’immagine si x = 81.5cm
1
trova al di sopra dello specchio.
A
h
# !2 =
n = 1.33
67!
•! Non finisce qui in quanto l’immagine dello
specchio diviene nuovamente l’oggetto
per la lente.
O
C
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A
B
68!
Esercizio 23 (V)
Esercizio 24
•! Calcolare lo spessore minimo di una lamina a quarto d’onda avente
indice di rifrazione veloce nv = 1+ R 1000, con R = 333, e indice di
rifrazione lento nl = nv + R 32 , per un’onda avente lunghezza d’onda
ridotta $0 = 650 nm.
•! L’immagine dello specchio si trova a una distanza dalla lente pari a:
x1! = 101 cm" 8.43 cm = 92.6 cm
•! Utilizzando l’equazione della lente:
1 1 1
+ =
x1! x2! F
1
1
1
=
=
= 1.22 m = 122 cm
x2! =
1
1
1 1
1.9 m "1 "
1.9 m "1 "
"
92.6 cm
0.926 m
F x1!
•! L’immagine è nello stesso spazio in cui si
trova l’oggetto, a una distanza di 122 cm
dalla lente.
•! Su tale lamina incide un fascio di luce polarizzato ellitticamente di
componenti (detto x l’asse veloce e y l’asse lento):
(
CA + AB = l = 101cm
x1 = 81.5cm
O
C
A
•! Determinare l’angolo % che il piano di polarizzazione della luce
uscente forma con l’asse x.
B
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)
* Ex = E0 cos ! t " kz
,
+
$
R
#'
cos & ! t " kz + )
, E y = E0
1000
2(
%
-
69!
Esercizio 24 (II)
70!
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Esercizio 24 (III)
•! Lo spessore minimo della lamina a quarto d’onda è dato
dall’espressione:
•! Se sulla lamina incide l’onda polarizzata ellitticamente:
(
)
* Ex = E0 cos ! t " kz
,
$
R
#'
+
, E y = E0 1000 cos &% ! t " kz + 2 )(
-
"
1
!z = 0
4 nl # nv
l’onda uscente avrà componenti (essendo x l’asse veloce):
•! Sostituendo i dati si ha:
(
)
+ Ex = E0 cos ! t " kz + #
%
R
$
$(
R
,
- E y = E0 1000 cos '& ! t " kz + 2 + # " 2 *) = E0 1000 cos ! t " kz + #
.
R
333
nv = 1+
= 1+
= 1.333
1000
1000
(
R
333
= 1.333 +
= 1.903
32
32
"
1
1
650 nm
=
= 285.0 nm
!z = 0
4 1.903 # 1.333
4 nl # nv
e dunque sarà polarizzata linearmente. Il rapporto tra le ampiezze
Ex 0 = E0
delle due componenti è perciò:
nl = nv +
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)
Ey
R
Ex 1000
R
333
! = arctan
= arctan
= 0.321 rad = 18.4°
1000
1000
tan ! =
71!
!
=
E y 0 = E0
R
1000
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72!
Esercizio 25
Esercizio 25 (II)
•! Nell’esperimento di Young la luce uscente da due fenditure produce
frange di interferenza su di uno schermo.
•! Inizialmente, senza lastrina, per la frangia del quarto ordine si ha:
•! Interponendo sul cammino di uno dei raggi una lastrina di vetro, di
indice di rifrazione n = 1.5, la frangia centrale di interferenza si
sposta nella posizione che prima era occupata dalla frangia di quarto
ordine.
•! Nello stesso punto, dopo avere inserito la lastrina, si deve avere:
r1 ! r2 = 4"
r1 ! r2" = 0
dove r%2 è il cammino ottico del raggio 2, ovvero,
essendo s lo spessore della lastrina e n il suo
indice di rifrazione:
•! Se la lunghezza d’onda della luce utilizzata è $0 = 500 nm, determinare
lo spessore della lastrina.
(
)
r2! = sn + r2 " s #1
r2
d
r1
•! Abbiamo perciò:
#%r1 ! r2 = 4"
$
&%r1 ! sn + r2 ! s = 0
(
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73!
Esercizio 25 (III)
s=
)
d
D
s
r1
74!
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Esercizio 26
•! Tre polarizzatori sono sovrapposti (vedi figura) in modo che l’asse di
trasmissione facile del terzo è perpendicolare all’asse di
trasmissione facile del primo, mentre l’asse di trasmissione facile del
secondo forma un angolo ! con l’asse di trasmissione facile del primo.
#%r1 ! r2 = 4"
' 4" ! sn + s = 0 ' s n ! 1 = 4"
$
&%r1 ! sn + r2 ! s = 0
(
)
r2!
(
)
4"
4 (500 nm
=
= 4 µm
1.5 ! 1
n !1
•! La lastrina è spessa perciò 4 µm.
•! Determinare il rapporto If/Ii tra l’intensità della luce uscente dal
terzo polarizzatore e l’intensità della luce (non polarizzata)
incidente sul primo polarizzatore.
r2
d
r1
I
r2!
d
D
s
II
III
r1
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!
75!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
76!
Esercizio 26 (II)
Esercizio 26 (III)
•! Poiché l'onda incidente non è polarizzata, supponiamo casuale la sua
direzione di polarizzazione, istante per istante; l'intensità I1 dopo il
primo polarizzatore si può ottenere perciò integrando sull'angolo
giro la legge di Malus:
I1 = I i cos 2 ! = I i
1
2"
2"
# cos ! d! = I
0
2
i
•! Infine, analogamente per il terzo polarizzatore (essendo !/2 !
l’angolo tra il secondo e il terzo polarizzatore) si ha, per la legge di
Malus:
$!
'
I f = I 2 cos 2 & " # )
%2
(
I
1
"= i
2"
2
•! Per quanto riguarda il secondo polarizzatore, applichiamo
semplicemente la legge di Malus (essendo ! l’angolo tra il I e il II
polarizzatore):
I
I 2 = I1 cos 2 !
!
I
II
III
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http://campus.cib.unibo.it/2490/
Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
!
II
III
77!
Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!
78!