Liceo Scientifico Statale «E. Boggio Lera» 4 Marzo 2016

Liceo Scientifico Statale «E. Boggio Lera»
4 Marzo 2016
04/03/2016
Programma del seminario
 Introduzione
 La scoperta delle onde gravitazionali: conferma
definitiva della teoria della Relatività Generale di
Einstein (prof. Stivala)
 Aspetti sperimentali della scoperta delle onde
gravitazionali da parte dell’esperimento LIGO (prof.
Maccora)
 Dibattito e conclusione
04/03/2016
Liceo Scientifico Statale «E. Boggio Lera»
4 Marzo 2016
04/03/2016
Prof. Nunzio Mario Stivala
Indice
 dalla gravitazione universale di Newton alla teoria
relativistica della gravitazione di Einstein
 la visione di Einstein della gravitazione come
“curvatura” dello spaziotempo
 un’analogia con la teoria di Maxwell del campo
elettromagnetico
 le onde gravitazionali
04/03/2016
Prof. Nunzio Mario Stivala
Il “cuore” di questo seminario
«Ciò che noi chiamiamo gravità è
spaziotempo curvo in azione…la gravità di
Einstein è geometrodinamica» (J.A. Wheeler)
«La materia è rappresentata dalla curvatura,
ma non tutta la curvatura rappresenta
materia: esiste una curvatura anche nel
vuoto» (G. Lemâitre)
04/03/2016
Prof. Nunzio Mario Stivala
La RG in breve
La Relatività Ristretta tratta delle leggi della Meccanica e
dell’Elettromagnetismo così come vengono descritte da osservatori in
moto relativo uniforme e costante.
D’altra parte, come osservò Einstein nel 1915, all’interno di un sistema di
riferimento in caduta libera il campo gravitazionale viene annullato.
Un sistema di riferimento in moto accelerato è localmente equivalente ad
un campo gravitazionale uniforme (principio di equivalenza).
La RG, trattando il moto relativo accelerato tra gli osservatori, esamina
automaticamente i campi gravitazionali, tenendo conto del ruolo di
velocità limite della velocità della luce nel vuoto.
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Prof. Nunzio Mario Stivala
Il campo gravitazionale non può essere, come nella fisica newtoniana, un
campo che agisce «a distanza»: non ci sono «forze gravitazionali» che
influenzano i corpi distanti, ma ogni corpo si muove nello spaziotempo
badando solo a ciò che avviene nelle sue immediate vicinanze.
Il moto accelerato dei corpi è conseguenza della curvatura dello
spaziotempo che, generata dalla materia, è ciò che noi chiamiamo
«gravità».
La curvatura dello spaziotempo spiega alcuni fenomeni (deflessione dei
raggi luminosi, red-shift gravitazionale, precessione del perielio delle
orbite planetarie, onde gravitazionali) non previsti dalla teoria
newtoniana della gravità.
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Prof. Nunzio Mario Stivala
Gravitazione e Relatività
Il principio fondamentale della RR è il Principio di Relatività: non esistono
moto o quiete assoluti, e tutti i sistemi di riferimento inerziali sono
equivalenti.
Di conseguenza, le leggi della Fisica sono covarianti per trasformazioni di
Lorentz, e la velocità della luce nel vuoto è invariante ed universale.
Così, i concetti di spazio e di tempo vengono radicalmente trasformati:
vengono introdotti lo spaziotempo, l’intervallo invariante fra gli eventi,
ecc…
Quali sono le conseguenze per la teoria della gravitazione?
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Prof. Nunzio Mario Stivala
La teoria di Newton è basata sui concetti di spazio assoluto e di tempo
assoluto: la forza gravitazionale agente all’istante t fra due masse è
determinata dalla distanza fra le due masse nel medesimo istante.
Ciò non comporta ambiguità, nella fisica newtoniana, perché tutti gli
osservatori misurano le stesse distanze negli stessi istanti, ma non è così in
Relatività!
Esiste nella fisica newtoniana un problema analogo, che nasce quando si
considera l’interazione fra cariche elettriche in moto.
Infatti, la forza di Coulomb fra due cariche (matematicamente analoga alla
legge di Newton della gravitazione) vale solo se le due cariche sono ferme
l’una rispetto all’altra, ed è scritta nel sistema di riferimento nel quale sono
ambedue in quiete.
Se invece una carica è in moto rispetto all’altra, occorre tener conto della
propagazione del campo elettromagnetico prodotto dalla prima fino al
punto in cui è posta la seconda…
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Il Principio di Equivalenza
Nella Meccanica di Newton e nella RR hanno fondamentale importanza i sistemi
di riferimento inerziali, che possono essere estesi in entrambe le teorie in modo
arbitrario nello spazio e nel tempo; in essi vale il Principio d’Inerzia.
Per controllare l’assenza di campi e.m., occorre confrontare le accelerazioni subite
da corpi carichi di diversa massa posti nel medesimo punto dello spazio.
Lo stesso non vale per i campi gravitazionali, a causa dell’equivalenza fra massa
inerziale e massa gravitazionale. Occorre perciò confrontare le accelerazioni
subite dai corpi in punti diversi.
M
r1
a1
r2
a2
se
. In altri termini, i campi gravitazionali sono rilevabili solo se
non sono omogenei.
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In un sistema di riferimento in caduta libera, il campo gravitazionale è zero.
I sistemi in caduta libera sono quanto di più simile ai sistemi inerziali si possa
trovare ma, a causa delle disomogeneità di un vero campo gravitazionale, essi
non possono essere estesi: sono cioè sistemi locali.
≪
′
≅
′
La presenza di un «vero» campo gravitazionale equivale all’impossibilità di
estendere i sistemi di riferimento in caduta libera.
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Viceversa, un sistema di riferimento in moto accelerato può simulare
localmente gli effetti di un campo gravitazionale.
Ciò vale sia per i corpi materiali sia per la luce.
Se vale il Principio di
Equivalenza, un campo
gravitazionale deve incurvare
L
la traiettoria della luce.
L
∆ ≅
∆ ≅
1
2
1
2
∆ ≅
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1
2
Principio di covarianza generale e
curvatura dello spaziotempo
In presenza di campi gravitazionali, il percorso della luce è deviato dalla linea retta
(e quello degli oggetti materiali è ancora più deviato…).
Non si possono costruire sistemi di riferimento con assi rettilinei, ma solo
riferimenti curvilinei estesi, che localmente si possono considerare rettilinei: sono
i riferimenti in caduta libera.
Qualunque sistema di riferimento curvilineo esteso deve descrivere, altrettanto
bene rispetto ad un qualunque altro, le leggi della Fisica.
Vale allora il Principio di covarianza generale: le leggi della Fisica devono essere
covarianti in forma per trasformazioni generali di coordinate
Questo principio è intimamente connesso alla curvatura dello spaziotempo: gli
assi di un sistema di riferimento esteso nella RG sono curve geodetiche dello
spaziotempo curvo (mentre gli assi rettilinei dei sistemi di riferimento inerziali
della RR sono geodetiche dello spaziotempo piatto di Minkonwskij).
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Gravitazione = «geometrodinamica»
Il trasporto parallelo di vettori lungo linee giacenti su superfici curve definisce le
geodetiche come linee autoparallele, cioè come quelle linee per le quali una
tangente, trasportata parallelamente a se stessa lungo la linea, rimane tangente a
questa in ogni punto.
Nella RG si estende allo spaziotempo curvo il Principio di Fermat, cioè il principio
del minimo tempo proprio: si assume quindi che le traiettorie delle particelle e
della luce in moto in un campo gravitazionale sono geodetiche dello spaziotempo
curvo.
In altri termini, dal punto di vista geometrico, le particelle e la luce si muovono
seguendo la curvatura media dello spaziotempo nelle loro immediate vicinanze e
descrivono così linee d’universo geodetiche.
Il moto delle particelle in un campo gravitazionale, dal punto di vista dinamico, è
sempre un moto naturale di caduta libera: l’accelerazione della particella in un
punto è determinata dal valore del campo gravitazionale in quel punto.
L’equivalenza fra i due punti di vista è il cuore dell’interpretazione di Einstein del
campo gravitazionale come «geometrodinamica».
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Muovendosi su una superficie curva, due punti si avvicinano anche se ognuno di
essi si muove lungo una geodetica mantenendo invariata la direzione del proprio
moto:
P
A’
B’
A
B
All’interno della superficie curva, i due punti sembrano sottoposti ad una forza
attrattiva che li accelera l’uno verso l’altro. Nella concezione relativistica
einsteniana, «la gravità è spaziotempo curvo in azione» (J.A.Wheeler): i corpi
materiali e la luce si muovono seguendo la curvatura dello spaziotempo nelle loro
immediate vicinanze.
D’altra parte, la curvatura dello spaziotempo è conseguenza della massa-energia
dei corpi materiali. Allora, «la materia dice allo spaziotempo come curvarsi, e lo
spaziotempo curvo dice alla materia come muoversi: la gravità di Einstein è
geometrodinamica» (J.A.Wheeler)
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Il legame fra la curvatura dello spaziotempo e la distribuzione della massa-energia
è descritto matematicamente dalle equazioni di Einstein del campo gravitazionale,
date in forma compatta da
Qui, G è una particolare grandezza matematica (detta tensore di Einstein) che
descrive opportunamente il campo gravitazionale, mentre T è una grandezza
analoga (detta tensore energia-impulso) che descrive la distribuzione di massa,
energia e quantità di moto.
Così, come accade in tutte le teorie di campo (quali la teoria di Maxwell
dell’elettromagnetismo) nella RG si collegano le grandezze matematiche che
descrivono il campo con funzioni che rappresentano la distribuzione (nello spazio
e nel tempo) delle sorgenti del campo stesso.
Una delle conseguenze più importanti di tale concezione della gravità è che il
campo gravitazionale generato da sorgenti in moto accelerato può propagarsi nel
vuoto (cioè in zone prive di massa-energia) alla velocità della luce: questo campo,
analogamente al campo e.m. nel vuoto, è un’onda gravitazionale.
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Il campo elettromagnetico nel
vuoto e le onde e.m.
Com’è noto, in una zona dello spazio sufficientemente lontana da cariche
e da correnti elettriche (cioè, nel vuoto) le equazioni di Maxwell si
scrivono nella forma:
Queste equazioni mostrano che, a differenza di quanto accade per i campi
statici, un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo
elettrico variabile nel tempo e viceversa: e non sono più indipendenti
fra loro ma componenti di un’entità unica, il campo elettromagnetico.
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Come si vede, e nel vuoto hanno proprietà simili e si comportano in
modo simmetrico; il campo elettromagnetico è capace di autoalimentarsi
e di propagarsi sotto forma di onde e.m., con una velocità pari a
Le oscillazioni che costituiscono l’onda non riguardano però un mezzo
materiale elastico, come nel caso delle onde meccaniche, ma gli stessi
vettori e nei diversi punti dello spazio raggiunti dall’onda.
Un’analisi matematica dettagliata mostra che le oscillazioni dei campi e
nel vuoto sono sempre perpendicolari alla direzione di propagazione
dell’onda: le onde e.m. sono onde trasversali.
Le onde e.m. più semplici da studiare sono le cosiddette onde piane, che
possiedono fronti d’onda piani e si propagano in direzione perpendicolare
ai fronti d’onda.
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In un’onda piana, i campi e oscillano ognuno in una direzione
perpendicolare a quella dell’altro e perpendicolare alla direzione di
propagazione dell’onda.
I piani di oscillazione dei campi e sono in genere variabili nel tempo
in modo casuale; quando però essi si mantengono costanti ed i campi e
di oscillano in fase, la loro somma oscilla lungo un piano costante
inclinato rispetto ai precedenti e le onde risultano polarizzate
linearmente.
Quando invece le oscillazioni dei campi e sono sfasate, la loro somma
ruota in un verso definito attorno alla direzione di propagazione e le onde
sono polarizzate circolarmente oppure ellitticamente.
Onda piana polarizzata linearmente
Onde piane polarizzate circolarmente
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Onde e.m. generate
da una carica in
moto accelerato
Nell’interpretazione di J.J. Thomson,
le onde e.m. sono dovute ad una
deformazione delle linee del campo
elettrico dovuta al moto accelerato
della sorgente.
Questa deformazione si propaga
trasversalmente nel vuoto a velocità c.
L’intensità del campo elettrico è
massima in direzione perpendicolare
al moto della sorgente, e risulta
proporzionale ad 1⁄ a causa
dell’addensamento delle linee del
campo lungo gusci sottili che si
allontanano a velocità c dalla
sorgente.
La parte «statica» del campo ha linee
orientate in direzione radiale ed
intensità proporzionale ad 1⁄ ,
conformemente alla legge di
Coulomb.
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Distribuzione
spaziale della
radiazione di dipolo
Nella figura A è mostrato un dipolo
elettrico oscillante: si evidenzia la
deformazione subita dalle linee del
campo elettrico.
Nella B è mostrato il campo elettrico
della radiazione emessa dal dipolo: i
colori verde e blu rappresentano versi
opposti del campo, il colore rossoviola la maggiore intensità.
La C descrive il potenziale elettrico in
un istante fissato.
C
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A
B
Ricezione di onde
elettromagnetiche
Una carica elettrica oscilla lungo
un’antenna emittente collegata ad un
circuito elettrico che fornisce l’energia
necessaria alle oscillazioni.
Il campo elettrico nelle immediate
vicinanze dell’antenna subisce delle
variazioni, che si propagano nello spazio
a velocità c. (onde e.m.)
L’intensità del campo dell’onda e.m.
diminuisce come 1⁄ finché esso, dopo
un tempo
/ , raggiunge una carica
elettrica immobile contenuta in
un’antenna ricevente.
Quest’ultima, sotto l’azione del campo
elettrico dell’onda e.m., comincia ad
oscillare e trasferisce l’energia trasportata
dall’onda ad un circuito elettrico,
collegato all’antenna ricevente.
Il trasporto di energia da parte dell’onda
e.m. può essere usato per trasferire a
distanza suoni, immagini, bit, ecc….
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Il campo gravitazionale nel vuoto
Le equazioni di Einstein del campo gravitazionale collegano il tensore energetico
T col tensore di Einstein G , il quale soddisfa particolari relazioni di simmetria
dette identità di Bianchi ; come conseguenza, il tensore energetico T rispetta i
teoremi di conservazione.
Risolvere le equazioni del campo gravitazionale significa determinare le proprietà
geometriche (curvatura, metrica, …) dello spaziotempo in presenza di una
determinata distribuzione di massa-energia, descritta dal tensore energetico.
Dal punto di vista fisico, all’interno dei corpi materiali G è diverso da zero e
descrive l’effetto contrattile del campo gravitazionale: una distribuzione di masse
soggette al campo gravitazionale sarà sottoposta ad uno «schiacciamento»
uniforme in ogni direzione che ne ridurrà il volume senza però cambiarne la
forma.
Se G è proporzionale al tensore energetico, sarà nullo nel vuoto: cosa descrive
allora il campo gravitazionale al di fuori dei corpi materiali?
In effetti, la curvatura dello spaziotempo è descritta dal tensore di Riemann , che
può essere separato nei due tensori indipendenti G e Weyl (che è la parte di
Riemann a traccia nulla).
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Se allora nel vuoto è nullo G , non lo sarà il tensore di Riemann, perché
all’esterno dei corpi materiali sarà diverso da zero il tensore di Weyl!
Il tensore di Weyl descrive l’effetto mareale del campo gravitazionale: una
distribuzione di masse all’esterno di una sorgente viene deformata dalla differenza
fra i valori del campo in due punti vicini, ma il suo volume totale non cambia
perché lo «stiramento» subìto in direzione longitudinale è compensato dagli
«schiacciamenti» subìti nelle direzioni trasversali.
Il raccordo fra la soluzione delle equazioni di
Einstein all’interno e quella all’esterno delle
sorgenti permette di descrivere il campo
gravitazionale in tutto lo spazio.
La soluzione delle equazioni di campo per distribuzioni arbitrarie di massa –
energia non è nota: sono soltanto quattro le famiglie di soluzioni esatte note
finora, ed esse sono state ottenute sfruttando particolari proprietà di simmetria
delle sorgenti; fra queste soluzioni, particolarmente importante è quella che
descrive le onde gravitazionali.
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Onde gravitazionali
Questa soluzione fu ottenuta per la prima volta dallo stesso Einstein nel 1916
risolvendo le equazioni di campo «linearizzate» nel vuoto, in una forma valida
cioè in zone dello spaziotempo a curvatura trascurabile e lontane dalle sorgenti.
Questa soluzione è analoga alle onde elettromagnetiche della teoria di Maxwell:
come queste, anche le onde gravitazionali sono trasversali, si propagano nel vuoto
a velocità c, trasportano energia e quantità di moto e possono essere generate solo
da sorgenti che possiedano un moto trasversale accelerato.
Le onde gravitazionali possiedono però due stati di polarizzazione indipendenti:
l’onda si propaga in direzione radiale, mentre le distorsioni mareali che essa
provoca localmente sono perpendicolari alla direzione di propagazione.
Onda piana
gravitazionale
polarizzata
linearmente
secondo
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La quantità di radiazione emessa dipende dal grado di disomogeneità nella
distribuzione di massa-energia della sorgente rispetto alla simmetria sferica.
A differenza delle onde e.m., non possono esistere onde gravitazionali di
dipolo, perché nel caso della gravità il momento di dipolo di un sistema di
masse corrisponde alla quantità di moto totale o al momento angolare totale,
e queste quantità sono costanti.
Una sorgente di onde gravitazionali deve pertanto possedere un grado di
disomogeneità pari almeno a quella descritta dal momento di quadrupolo.
Questa conclusione è coerente con un risultato generale della RG, noto come
teorema di Birkhoff: ogni soluzione a simmetria sferica delle equazioni di
campo nel vuoto deve essere stazionaria e asintoticamente stabile.
Un esempio di sorgente di onde gravitazionali è costituito dalle stelle doppie:
la rotazione delle componenti modifica il momento di quadrupolo, che è
proporzionale ad
(m indica la massa tipica delle stelle, d la loro distanza)
ed inversamente proporzionale al cubo del periodo di rivoluzione.
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Rappresentazioni
artistiche della
radiazione
gravitazionale di
quadrupolo
emessa da un
sistema binario:
a sinistra è messa
in evidenza la
distribuzione
delle onde nello
spazio;
a destra è
rappresentata con
diversi colori
l’intensità delle
onde, che
diminuisce come
1⁄ .
Questa animazione rappresenta le onde
gravitazionali emesse da un sistema binario
come increspature delle spaziotempo che si
allontanano dalla sorgente.
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Onde gravitazionali nella teoria
completa della RG
Finora abbiamo trattato le onde gravitazionali come soluzioni delle equazioni
della RG «linearizzate»: in questo caso, esse sono considerate come piccole
increspature di uno spaziotempo altrimenti piatto, simili alle onde marine.
Finché osserviamo il moto di onde marine su piccole distanze, possiamo
completamente trascurare la curvatura della superficie terrestre, l’effetto delle
maree, quello dei venti, quello della forza di Coriolis dovuta alla rotazione
terrestre attorno al proprio asse, ecc…
Se invece osserviamo dallo spazio la propagazione a grandi distanze di onde
oceaniche, vedremo effetti prima non apprezzabili: la curvatura globale della
superficie degli oceani deforma i fronti d’onda, le forze di Coriolis deviano le
traiettorie delle onde, la sovrapposizione tra le onde diventa non lineare, ecc…
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Le onde gravitazionali generate da sorgenti stellari e che attraversano l’universo si
comportano in modo simile: la curvatura su larga scala dello spaziotempo
prodotta dalle galassie determina variazioni della lunghezza d’onda, causa
deformazioni dei fronti e deviazioni delle traiettorie, ecc….
Una caratteristica peculiare dell’energia e della quantità di moto trasportate da
un’onda gravitazionale è che esse, a differenza di quanto accade in un’onda
meccanica od elettromagnetica, non sono localizzabili.
Infatti, il principio di equivalenza permette di eliminare localmente gli effetti di
un qualunque campo gravitazionale attraverso un’opportuna scelta di un sistema
di riferimento; ma se il campo gravitazionale svanisce in piccole porzioni dello
spaziotempo, altrettanto fanno l’energia e la quantità di moto ad esse associate.
L’energia e la quantità di moto trasportate da un’onda gravitazionale sono quindi
«distribuite» su regioni macroscopiche, di dimensioni pari a diverse decine di
lunghezze d’onda e sono soggette alle leggi di conservazione; inoltre esse
contribuiscono, come per la materia e per gli altri campi presenti nell’universo,
alla curvatura su larga scala dello spaziotempo.
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Prof. Nunzio Mario Stivala
Un calcolo preciso mostra che l’energia per unità di tempo e per unità di volume di
un’onda gravitazionale piana (T) è proporzionale al quadrato della sua ampiezza
ed al quadrato della sua pulsazione
, essendo la frequenza.
D’altra parte, in virtù delle equazioni di Einstein, T è proporzionale ad
, dove
è il raggio di curvatura medio su larga scala dello spaziotempo.
Così, il concetto stesso di onda gravitazionale come di perturbazione su piccola
scala della curvatura generale dello spaziotempo perde di significato, a meno che
l’ampiezza dell’onda non sia molto piccola e la sua lunghezza soddisfi la relazione
Questa differenza di scala permette infatti di separare le «increspature» dello
spaziotempo dallo «sfondo» nel quale esse si muovono. La curvatura locale in
un’onda è corrispondentemente più grande della curvatura dello «sfondo»:
È un po’ come per la superficie di un’arancia: i granuli hanno una curvatura molto
maggiore dell’arancia, ma sono molto più piccoli…
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Oltre al contributo alla curvatura dello spaziotempo, esistono molti altri effetti
non lineari che riguardano le onde gravitazionali:
 l’energia che l’onda sottrae alle sorgenti rende impossibile l’esistenza di onde
esattamente periodiche;
 la propagazione delle onde attraverso la curvatura dovuta alla materia
determina rifrazione, redshift gravitazionale e dispersione all’indietro;
 la variazione nella forma e nella polarizzazione delle onde impulsive dovuta
alla dispersione genera «code» che si spargono dietro al fronte d’onda,
muovendosi a velocità inferiori a quella della luce;
 mentre un’onda e.m. non trasporta cariche elettriche (quindi si sovrappone in
modo lineare ad altre onde e.m.), un’onda gravitazionale abbastanza intensa, a
causa della sua energia e della sua quantità di moto, genera un proprio campo
gravitazionale capace di rifrangere, disperdere e modificare la forma e la
polarizzazione di altre onde gravitazionali che si sovrappongano ad essa;
 per il medesimo motivo, un’onda gravitazionale intensa può interagire con se
stessa e, se
, un’onda impulsiva può essere, almeno in linea di
principio, concentrata in una regione di dimensioni
dando luogo ad un
collasso gravitazionale!
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Potenza irradiata e sorgenti di onde
gravitazionali
Abbiamo già sottolineato il fatto che le onde gravitazionali devono avere natura
quadrupolare in virtù dei teoremi di conservazione della quantità di moto e del
momento angolare totale di un sistema meccanico isolato.
La potenza trasportata da un’onda gravitazionale di quadrupolo può essere
calcolata a partire dal tensore d’inerzia (ridotto) I tramite l’equazione
Qui i tre puntini rappresentano la derivata terza rispetto al tempo, cioè il
momento di quadrupolo, mentre le parentesi indicano una media temporale
calcolata rispetto a diversi periodi caratteristici, come conseguenza della non
località dell’energia-impulso trasportata da un’onda gravitazionale, che non è
confinabile in spazi dell’ordine di una sola lunghezza d’onda.
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L’equazione precedente può essere riscritta in modo da eseguire più agevolmente
una stima degli ordini di grandezza delle quantità coinvolte.
Il momento di quadrupolo può essere espresso come
dove M è la massa della parte del sistema in moto accelerato, R la dimensione
tipica del sistema e T il tempo impiegato in media dalle masse per spostarsi da
una parte all’altra del sistema.
A sua volta, l’ultima espressione si può riscrivere come
ed essendo R/T sostanzialmente uguale alla velocità media, il secondo membro si
può interpretare come l’energia cinetica media (associata a moti che non hanno
simmetria sferica) trasportata nell’unità di tempo da una parte all’altra del
sistema, cioè come il flusso interno di potenza:
Si può quindi concludere che la potenza trasportata da un’onda gravitazionale è
proporzionale al quadrato del flusso interno di potenza:
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Dall’equazione precedente si ricava che la potenza trasportata da un’onda
gravitazionale, nonché il flusso interno di potenza di un sistema gravitante, vanno
rapportate ad una «scala naturale» di potenza, data dalla quantità
Com’è evidente, si tratta di una potenza enorme, pari alla massa-energia di circa
duecentomila stelle come il Sole irraggiata in un secondo!
Ciò significa che la stragrande maggioranza di sorgenti «ordinarie» di onde
gravitazionali emettono potenze estremamente piccole e straordinariamente
difficili da captare: ecco perché la rivelazione di onde gravitazionali è così difficile!
La conservazione dell’energia garantisce che l’emissione di onde gravitazionali è
accompagnata da una corrispondente diminuzione dell’energia interna del
sistema; la scala di tempo necessaria perché la reazione della radiazione sul
sistema ne diminuisca sensibilmente l’energia interna è data da
Di conseguenza, la reazione della radiazione è importante in un periodo
caratteristico solo se
!
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Per avere un’idea un po’ più precisa del tipo di sorgenti necessarie per produrre
onde gravitazionali rilevabili, basti pensare che una sbarra d’acciaio di raggio
e lunga
, posta in rotazione con la massima velocità angolare possibile di
rad/sec (oltre la quale le forze centrifughe superano il carico di rottura della
sbarra), emetterà una potenza di circa
Watt!
Evidentemente, sarà possibile rilevare solo le onde gravitazionali emesse da
sorgenti astrofisiche quali stelle pulsanti e in rapida rotazione, stelle collassanti,
supernovae, sistemi binari, buchi neri in collisione, ecc…
Per ottenere una stima di
, se M è la massa del sistema astrofisico ed R la sua
dimensione tipica, la sua energia cinetica è all’incirca pari, secondo il teorema del
viriale, alla metà del suo potenziale gravitazionale:
Il tempo medio necessario alla massa per spostarsi da una parte all’altra del
sistema è all’incirca pari a
(dell’ordine di grandezza del tempo di caduta libera, o del tempo per descrivere un
radiante lungo un’orbita, secondo la terza legge di Keplero).
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Di conseguenza, il flusso interno di potenza sarà dato da
/
/
/
/
/
La potenza trasportata dall’onda gravitazionale sarà quindi pari all’incirca a
ed in questa equazione compare in modo naturale il rapporto adimensionato
fra il raggio critico di Schwarzschild e la dimensione tipica del sistema gravitante.
La potenza massima viene emessa quando il sistema è vicino al collasso
gravitazionale, e poiché neanche le onde gravitazionali possono allontanarsi da un
sistema con
, il massimo valore di
è pari ad , indipendentemente dalla
natura della sorgente.
04/03/2016
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Le sorgenti delle onde gravitazionali più intense saranno quindi sistemi stellari
dinamici, altamente deformati e vicini al loro raggio critico di Schwarzschild.
Ad esempio, durante il suo collasso gravitazionale, una stella in rotazione attorno
al proprio asse e di forma non sferica tende ad aumentare la velocità angolare della
rotazione, evolvendo in una stella di neutroni fortemente schiacciata che finirà
per attraversare il proprio raggio critico con forti deviazioni dalla forma sferica.
In questo caso, ci si aspetta un’ultima esplosione di onde gravitazionali che
trasportino via una frazione apprezzabile, fra l’1% ed il 90%, della massa-energia
della stella.
Anche la materia in caduta dentro un buco nero può rappresentare una sorgente
significativa di onde gravitazionali, in genere di tipo impulsivo: se è la massa di
un grumo di materia in caduta ed la massa totale del buco nero, allora l’energia
totale irradiata nell’impulso è dell’ordine di
Altro tipo di sorgenti sono le esplosioni di supernova: ci si aspetta un’emissione di
energia dell’ordine di
, sotto forma di onde gravitazionali con frequenza
media di
Hz e potenza trasportata
Watt.
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Particolare importanza hanno infine i sistemi stellari doppi, nei quali il periodo di
rivoluzione e la distanza fra le due masse
ed
, soggette alla mutua
attrazione gravitazionale, obbedirà alla terza legge di Keplero:
essendo
la massa totale del sistema.
In virtù del teorema del viriale,
per cui il flusso interno di potenza è dato approssimativamente da
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essendo
04/03/2016
la massa ridotta del sistema.
Prof. Nunzio Mario Stivala
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La potenza irradiata in onde gravitazionali da un sistema doppio è perciò
all’incirca
L’energia totale del sistema doppio, data all’istante attuale da
diminuirà nel tempo secondo l’equazione
Il sistema perciò è instabile ed in un tempo caratteristico
le due componenti del sistema doppio cadranno spiraleggiando l’una nell’altra.
Si può scrivere
, perciò negli ordinari sistemi binari il
collasso avviene in tempi estremamente lunghi (miliardi di anni).
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Prof. Nunzio Mario Stivala
La prima evidenza sperimentale indiretta
dell’esistenza di onde gravitazionali fu ottenuta
osservando la variazione del periodo di
rivoluzione delle pulsar del sistema binario PSR
J0737-3039: nel periodo di trent’anni compreso
fra il 1975 ed il 2005, il periodo diminuì di 40
secondi!
Nel caso di un sistema binario in cui una delle
componenti (oppure entrambe) è un buco nero,
il collasso può infatti avvenire in tempi molto più
brevi rispetto ai miliardi di anni tipici…
Nonostante fosse considerato molto improbabile, è stato proprio il collasso
di un sistema binario costituito da due buchi neri ad aver portato alla storica
scoperta dell’esperimento LIGO!
04/03/2016
Prof. Nunzio Mario Stivala