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ORDINE, CAOS E COMPLESSITÀ
ENRICO SANTAMATO
1. INTRODUZIONE ......................................................... 2
2. DETERMINISMO E SEMPLICITÀ
...................................... 3
3. IMPREDICIBILITÀ E CAOS ............................................ 10
4. LA COMPLESSITÀ ..................................................... 22
5. CONCLUSIONI .......................................................... 40
6. APPENDICE ............................................................. 43
COME CONTINUANO GLI STUDI ....................................... 46
INTERVISTE AI LAUREATI ................................................ 50
Enrico Santamato è professore ordinario di Ottica Quantistica presso
l'Università degli Studi di Napoli Federico II
[email protected]
Tel. 081 67 63 59
2.
DETERMINISMO E SEMPLICITÀ
La convinzione di una Natura semplice nasce dal fatto che
sembrano esistere "leggi" della Natura. Queste leggi sono la base di
una concezione ordinata e deterministica del mondo. Per comprendere l'essenza delle leggi di Natura in un contesto leggermente più
ampio che le scienze naturali, è conveniente utilizzare alcune idee
tratte dalla recente matematica e scienza dei computer.
Consideriamo le due sequenze numeriche
1.
INTRODUZIONE
Se conversando con un fisico delle particelle elementari vi
trovate a parlare della natura del mondo, egli vi racconterà ben presto come semplice e simmetrico sia in realtà il mondo fisico, purché
lo si guardi dalla giusta prospettiva. Ma se si osserva la realtà che ci
sta intorno, ci si accorge che essa non è affatto semplice. Anche tra
gli stessi scienziati, pochi saranno d'accordo con il giudizio del fisico
delle particelle elementari. Per il chimico, il fisiologo, l'economista,
lo zoologo il mondo è tutt'altro che semplice. La realtà fenomenica
appare come un'accozzaglia di eventi la cui natura sembra essere più
che altro la loro mera esistenza in competizione con altri eventi,
senza alcuna tendenza verso la simmetria e la semplicità. Chi ha
ragione, dunque? Il mondo è veramente semplice come afferma il
fisico delle particelle o, viceversa, è complesso e spesso imprevedibile come appare a chiunque altro?
2
a)
0123012301230123…
b)
012002130220120320130…
e chiediamoci se queste due sequenze sono ordinate o no. È
evidente che la prima sequenza è ordinata per la semplice ragione
che noi vediamo in essa una struttura regolare; cioè, noi possiamo
sostituire la sequenza a) con una regola (o legge) che ci permette di
ricordarla facilmente o di comunicarla ad altri usando un messaggio
molto più corto che la sequenza stessa. Diremo che una sequenza di
simboli è ordinata o deterministica se essa può essere abbreviata in
una formula o regola molto più corta della sequenza stessa. Diremo
anche che una tal sequenza è "comprimibile". Viceversa, non esiste
alcuna formula o legge che permetta di ricostruire la sequenza b):
l'unico modo di trasmettere questa sequenza a una terza persona è
trasmetterla integralmente così com'è. La sequenza b) è impredicibile e, pertanto, è anche incomprimibile. In effetti, la sequenza a)
è stata generata designando con le cifre da 0 a 3 i successivi passaggi dell'orbita di un pianeta attraverso quattro punti prefissati lungo
la sua orbita e la sequenza b) è stata generata gettando ripetuta3
mente un dado a quattro facce. È ovvio che la sequenza a) è il prototipo di qualunque fenomeno periodico regolare e che la sequenza
b) è il prototipo di qualunque fenomeno caotico.
È possibile esprimere quanto detto in modo quantitativo calcolando quanti bit è necessario trasmettere a una terza persona perché questi possa ricostruire senza errori una qualunque sottosequenza di m cifre delle sequenze a) o b). Per effettuare il calcolo, esprimiamo le due sequenze in cifre binarie:
a')
00011011000110110001101100011011…
b')
00011000001001110010100001100011…
dove N è il numero di sottosequenze distinte a n bit che possono
essere trasmesse, troviamo che l'informazione necessaria per ricostruire un messaggio di n bit dalla sequenza b') è i = log22n = n bit,
pari alla lunghezza del messaggio stesso. Nel caso della sequenza a')
si ha N = 4 e l'informazione da trasmettere è molto minore e vale
i=log24 = 2 bit, come già detto. In questo calcolo abbiamo considerato l'estrazione delle sottosequenze a n bit sia da a') che da b') completamente a caso. Se si assume, invece, che ciascuna delle 2n sottosequenze possibili abbia probabilità pi di essere trasmessa, possiamo definire l'informazione media da trasmettere come
Eq. 2
Consideriamo poi tutte le possibili sottosequenze distinte di
lunghezza n = 2m di a') e b'). Siccome a') è periodica con periodo di
otto posizioni, il numero N di sottosequenze distinte è sempre quattro, qualunque sia n: si tratta delle quattro sottosequenze di n cifre
binarie che iniziano con 00, 01, 10, 11, corrispondenti ai numeri 0,
1, 2, 3, rispettivamente. Per permettere a una terza persona di ricostruire l'intera sottosequenza di n cifre binarie è sufficiente trasmettergli solo i primi due bit. L'informazione contenuta in un messaggio
di n bit preso a caso dalla sequenza a') può essere compressa in due
bit soltanto. Questo è dovuto alle regolarità e periodicità di tale
sequenza. Ma se passiamo a considerare un messaggio di n bit tratto dalla sequenza b'), che è del tutto casuale, ci accorgiamo che il
numero di sottosequenze distinte possibili di lunghezza n è N = 2n (le
sottosequenze a n bit possono essere poste in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali da 0 a 2n - 1). Se ora definiamo l'informazione i (in bit) come
Nel caso di equiprobabilità, pi = 1/N e si riottene la formula
precedente. Per messaggi molto lunghi, la quantità K è piccola per
la serie ordinata a') ed è molto grande per la serie casuale b').
Seguendo Kolmogorov, possiamo prendere K come misura del grado
di ordine di una sequenza. Nella trattazione statistica dei sistemi
termodinamici si introduce l'entropia con una formula identica alla
Eq. 2, in cui le probabilità pi si riferiscono alla realizzazione di un
particolare stato microscopico del sistema per un numero fissato di
molecole e un dato valore dell'energia totale. Appare quindi logico
assegnare a K il nome di "entropia di Kolmogorov". Le sequenze ordinate sono molto compressibili e hanno un'entropia di Kolmogorov
piccola, che, inoltre, non varia o varia poco al variare della loro lunghezza. Le sequenze disordinate sono poco compressibili e hanno, in
genere, un'entropia di Kolmogorov grande, che cresce linearmente
con la loro lunghezza. L'entropia di Kolmogorov, ci mette in grado di
misurare quantitativamente il grado di ordine di un sistema.
Eq. 1
4
5
Questo semplice esempio ci può insegnare alcune cose circa
la natura della ricerca scientifica. Si può considerare infatti la scienza come la ricerca della massima compressione dell'informazione. La
semplice osservazione del mondo e la registrazione quantitativa dei
fatti che in esso avvengono non fanno scienza. Noi cerchiamo invece delle regolarità in questi fatti, regolarità che noi diciamo essere
le leggi della Natura e che ci permettono di condensare in poche
proposizioni o formule una grande quantità di informazioni riguardo
ai fenomeni naturali. Le grandi tappe della storia della Fisica sono,
in fondo, momenti di grande sintesi. La prima grande sintesi di questo tipo è stata concepita da Newton con la sua legge di gravitazione universale e i suoi principi sul moto. Tutti i fenomeni meccanici,
dal moto dei pianeti alla caduta della mela dall'albero possono essere "compressi" in una semplice legge di forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza e a un semplice legame lineare tra
le accelerazioni dei corpi e le forze loro applicate. Una seconda
grande sintesi è stata portata a termine da Maxwell, che in poche
equazioni è riuscito a comprimere tutti i fenomeni elettromagnetici
dalla legge di Faraday sull'induzione magnetica alla propagazione
delle onde radio, della luce e dei raggi X e gamma.
Anche la teoria della relatività ristretta fu proposta da
Einstein nello spirito di un'ulteriore compressione delle leggi fisiche,
al fine di includere in un'unica teoria le leggi della meccanica e quelle dell'elettromagnetismo. È significativo il fatto che l'esigenza di
sintesi è stata in questo caso così forte da far rinunciare alle stesse
categorie aristoteliche di spazio e tempo assoluti. Si è preferito
affermare che lo scorrere del tempo è influenzato dal moto dei corpi
pur di unificare meccanica e elettromagnetismo. La teoria generale
della relatività è stata anch'essa un ulteriore momento di sintesi: in
questa teoria le cosiddette forze apparenti che si osservano nei
sistemi di riferimento accelerati sono unificate alla forza gravitazionale, per cui viene a cadere la distinzione tra sistemi di riferimento
inerziali e non inerziali. Il prezzo da pagare per raggiungere questa
nuova "compressione" è stato rinunciare alla struttura piatta dello
spazio Euclideo. al teorema di Pitagora e al principio delle rette
parallele che a noi appaiono così evidenti. La sintesi operata dalla
teoria generale della relatività è così grande da render possibile scrivere un'equazione di evoluzione per l'universo intero. I modelli
cosmologici come quello del big bang sono basati sulle equazioni
della relatività generale1. A partire dagli anni '70, l'unione dei concetti geometrici propri della relatività generale con quelli provenienti dalla meccanica quantistica ha permesso di fare ulteriori passi
in avanti verso quella che è chiamata la "grande unificazione" ovvero la "teoria del tutto" (Barrow91). In queste teorie le forze elettromagnetiche e deboli2 appaiono come aspetti di un unico tipo d'inte-
Fig. 1. La via all'unificazione delle interazioni fondamentali.
6
1 L'equazione fondamentale della relatività generale stabilisce semplicemente che la curvatura
dello spazio tempo in un punto è proporzionale al contenuto di energia e quantità di moto nello
stesso punto.
2 Le forze deboli sono responsabili di alcuni decadimenti radioattivi.
7
razione e ci sono buone possibilità che anche le interazioni forti3
possano essere incluse. Molto più problematica appare la possibilità
di includere le forze gravitazionali (Fig. 1).
Quanto si potrà andare avanti in questo processo di unificazione o "compressione" delle scienze fisiche? È abbastanza interessante, a questo proposito, la dimostrazione di Chaitin (Chaitin80),
basata sul teorema d'incompletezza di Gödel4, dell'impossibilità di
dimostrare se una sequenza di simboli è o no incompressibile. Non
potremo mai essere sicuri che la compressione raggiunta in una data
epoca storica è quella ultima: è sempre aperta la possibilità di una
unificazione ancora più profonda e, in ultima analisi, più semplice.
La sequenza "semplice" a) mostra una successione ripetitiva
di simboli che si mantiene costante nel tempo: la sequenza mostra
cioè una simmetria, nel senso che essa è invariante per una traslazione di due posti. Questa invarianza per traslazione è una "legge"
cui la sequenza a) obbedisce. D'altra parte, la stessa ripetitività
della sequenza ci permette di determinare univocamente tutte le
cifre successive a partire da una cifra qualunque assegnata. In altre
parole, il futuro della sequenza è univocamente determinato dal suo
presente. È questa l'essenza del determinismo: l'evoluzione futura di
un sistema è univocamente determinata dal suo stato presente.
L'esempio della sequenza a) mostra che il concetto (essenzialmente
dinamico) di evoluzione deterministica è strettamente collegato al
concetto (essenzialmente statico) di invarianza (o simmetria). Da
Newiton a Einstein, le leggi della Natura sono state viste sempre in
una prospettiva dinamica, come leggi deterministiche di evoluzione
3 Le interazioni forti rendono i nuclei atomici stabili a dispetto della forte repulsione elettrostatica tra i protoni carchi positivamente.
4 Questo teorema afferma che ogni teoria formale assiomatica o è incoerente o è in-completa,
nel senso che esistono infinite proposizioni la cui verità o falsità è indimo-strabile nell'ambito
della teoria stessa.
8
di un sistema, anche se è sempre stata ben chiara agli scienziati l'importanza delle leggi di conservazione, quali la conservazione dell'energia, della quantità di moto, ecc. e il loro stretto legame con le
proprietà di invarianza o di simmetria del sistema considerato. Le
leggi di Newton, ad esempio, fissano l'accelerazione di un corpo ad
un dato istante, il che permette di calcolare, noto lo stato del corpo
(cioè la sua posizione e velocità) in quel medesimo istante la sua
posizione e velocità (cioè il suo stato) ad un istante immediatamente successivo. La conoscenza delle leggi evolutive e dello stato oggi
permette di calcolare univocamente lo stato domani. È, questo, ciò
che chiamiamo determinismo. Durante l'evoluzione temporale di un
sistema meccanico, comunque, alcune quantità, come l'energia,
restano invariate. Nella visione newtoniana del mondo, l'esistenza di
quantità conservate era vista come mera conseguenza delle leggi
evolutive del moto. Questo è vero anche per le teorie della relatività ristretta e generale. A partire dagli anni '70, con la formulazione
delle cosiddette teorie di gauge5, che hanno portato verso la grande unificazione, le nozioni di invarianza e di simmetria hanno preso
via via il sopravvento sulla nozione di evoluzione, fino a diventare il
fondamento principale degli studi sulle particelle elementari e le
interazioni fondamentali della Natura. È evidente che più vincoli di
simmetria si impongono a una teoria, meno gradi di libertà restano
alla formulazione della teoria stessa. Estremizzando questo punto di
vista, alcuni scienziati hanno ipotizzato che la grande unificazione
delle interazioni fondamentali (gravitazione inclusa) possa essere
raggiunta nell'ambito di una teoria "supersimmetrica" come la
moderna teoria delle "superstringhe"6. Tale teoria dovrebbe racchiu5 Letteralmente gauge significa calibrazione. Le teorie di gauge esigono l'invarianza delle leggi
della Natura rispetto ai cambiamenti di gauge. Un semplice cambiamento di gauge è per esempio
quello di alterare (ricalibrare) le unità di misura di lunghezza e tempo in modo differente da punto
a punto nello spazio e al variare del tempo. La ricalibrazione può essere fatta in modo arbitrario
e le leggi della Natura non ne devono risentire.
6 Per una descrizione elementare del funzionamento delle teorie supersimmetriche si veda, ad
esempio, Green86, Bailin89.
9
dere tante di quelle simmetrie da renderla pressoché unica. Una
teoria di questo genere avrebbe raggiunto la massima compressione
possibile delle leggi della natura e, nel contempo, la massima semplicità. Anche se allo stato odierno le teorie del tutto sono più che
altro speculazioni, è innegabile che l'aver adottato il punto di vista
delle simmetrie piuttosto che quello precedente dell'evoluzione
deterministica ha prodotto risultati incoraggianti, verificati sperimentalmente, quali l'unificazione elettrodebole. È proprio la possibilità di concepire un piccolo insieme di leggi che governano le forze
fondamentali della Natura e che possano convergere, a loro volta, in
una singola legge unificata il cuore della percezione del mondo come
qualcosa di semplice (Fig. 1).
3.
Fig. 2. Rottura della simmetria. a) buca di potenziale singola; b) buca di
potenziale doppia.
La figura a sinistra mostra un corpo che si muove nella buca
di potenziale V1(x) = x2 + x4. La figura a destra mostra lo stesso
corpo che si muove nel potenziale V2(x) =- x2 + x4. I due potenziali
differiscono solo per il segno del termine in x2. La forza agente sul
IMPREDICIBILITA’ E CAOS
Come si giustifica, allora. l'evidente complessità e imprevedibilità dei fenomeni che osserviamo? Le sequenze del tipo b) non
hanno forse licenza di esistere in Natura? Il determinismo insito nelle
leggi naturali è sì o no compatibile con l'evidente impredicibilità di
molti eventi quotidiani? Il punto fondamentale che spesso sfugge
quando si affronta questo genere di problemi è che le simmetrie
delle leggi non implicano affatto la simmetria (e, quindi, la "semplicità") dei fenomeni che esse descrivono. È infatti possibile avere un
mondo che mostra strutture complicate e non simmetriche, ma che
tuttavia continui ad essere governato da leggi simmetriche. La simmetria presente nelle leggi viene rotta nei fenomeni. Per comprendere questo concetto si faccia riferimento alla Fig. 2.
10
corpo nei due casi è, come è noto, F1,2(x)=-dV1,2/dx. Quando il
corpo si trova nelle posizioni mostrate in figura dV/dx = 0 e la forza
si annulla. Le due posizioni sono quindi posizioni di equilibrio.
I potenziali V1(x) e V2(x) hanno la stessa simmetria speculare rispetto all'asse verticale mostrato nelle figure. Supponiamo ora di dare un
piccolo colpo al corpo mostrato in Fig. 2a. Il corpo inizierà ad oscillare intorno al minimo della curva di potenziale. Se non ci sono attriti o altri effetti dissipativi, il corpo continuerà le sue oscillazioni
indefinitamente in modo simmetrico rispetto all'asse di simmetria
del potenziale. La simmetria dell'equazione della dinamica che
governa il moto è rispecchiata nel moto stesso. Nel caso della doppia buca di potenziale, invece, un piccolo colpo fa sì che il corpo
cada in una delle due buche. Una volta caduto, il corpo inizia ad
oscillare attorno al nuovo minimo di potenziale per un tempo indefinito. Il moto non rispecchia più la simmetria assiale della legge che
l'ha generato e non potrà mai più rispecchiarla. Si dice, in tal caso,
che la simmetria della legge fisica è stata rotta. La rottura della sim11
metria, una volta avvenuta, è irreversibile. Il corpo in Fig. 2a è in
una posizione di equilibrio stabile, il corpo in Fig. 2b è in un punto
di equilibrio instabile. Quando un sistema fisico durante la sua evo-
che apparivano nei giochi d'azzardo. Pascal fu tra i primi a chiedersi se esistesse o no un "regolarità del caso" e a porsi problemi anche
pratici quali, ad esempio, come dividere le poste quando un gioco
luzione si trova in prossimità di una doppia buca di potenziale (o,
come si dice, di un punto di biforcazione) esso diviene instabile e
deve effettuare una scelta. Tale scelta avviene sotto l'azione di piccole perturbazioni casuali, per cui è impossibile sapere a priori verso
quale ramo della biforcazione il sistema evolverà. Se poi il sistema
d'azzardo viene interrotto. L'esperienza mostra che un processo
casuale o stocastico ha due caratteristiche principali: da un lato i
singoli eventi (ad esempio, il risultato del lancio di due dadi o l'estrazione di un numero al lotto) hanno un modo di presentarsi che è irregolare e imprevedibile; dall'altro, alla lunga, emerge qualche tipo di
incontra un numero molto grande di biforcazioni non sarà più possibile prevedere il suo comportamento a lungo termine. Si capisce così
che non solo la simmetria, ma anche il determinismo delle leggi fisi-
regolarità. Questa regolarità, che si osserva in un gran numero di
eventi ripetuti nelle medesime condizioni, permette di calcolare
opportuni valori medi, di assegnare opportune probabilità ai singoli
che viene perduto quando si osservano i fenomeni che da tali leggi
scaturiscono. I fenomeni sono complessi a dispetto della semplicità
eventi e di fare anche delle previsioni. La teoria matematica delle
probabilità è stata sviluppata dapprima da Pascal e Laplace e, in
delle leggi. Gli scienziati che studiano i fenomeni hanno la percezione di un mondo complesso. Della complessità si parlerà più avanti.
Qui accenneremo al caso limite dei sistemi il cui comportamento è
tempi più recenti, da Bayes e poi, in connessione con la teoria dell'informazione, da Shannon e, soprattutto, da Kolmogorov. Senza
entrare nei dettagli della teoria delle probabilità, basterà dire qui
del tutto imprevedibile, cioè casuale o, come si dice, stocastico.
che questa teoria trova il suo fondamento nella cosiddetta "legge
empirica del caso" o "legge dei grandi numeri". Questa "legge" afferma che se n è il numero di volte in cui l'evento scelto si è realizzato (ad esempio è venuto un doppio sei) su un numero N di tentativi
(di lanci dei due dadi), allora il limite
Eq. 3
Fig. 3. Simulazione di 26 (a sinistra) e 1717 (a destra) lanci di due dadi a
sei facce. Le barre rosse sono le frequenze n/N osservate.
Le barre azzurre sono le probabilità calcolate.
L'attenzione verso i fenomeni casuali comincia molto dopo
quella dedicata a scoprire le leggi deterministiche della Natura,
quando verso il '600 si cominciarono a notare certe strane regolarità
12
tende a un valore finito che chiamiamo "probabilità" dell' evento
considerato. Il calcolo delle probabilità insegna come manipolare
matematicamente le probabilità. L'Eq. 3 connette le probabilità calcolate per via teorica con le "frequenze" n/N misurate sperimentalmente. La legge dei grandi numeri ha un fondamento empirico. Il
lettore può verificarla di persona lanciando una coppia di dadi un
gran numero di volte oppure facendo girare la macro in Excel in
Appendice A. La Fig. 3 mostra l'istogramma dei risultati della macro
13
di simulazione di 26 e di 1717 lanci, rispettivamente. Come si vede
l'accordo tra frequenze (barre rosse) e le probabilità (barre azzurre)
migliora con l'aumentare del numero N di lanci. Il sette è il risultato più probabile.
Nell'ambito della fisica, la teoria delle probabilità ha assunto via via una sempre maggiore rilevanza. Infatti, l'esperienza
mostra che, al di là del determinismo delle leggi naturali, tutti i
fenomeni fisici sono accompagnati da un grado maggiore o minore di
impredicibilità, che chiameremo genericamente "rumore". L'origine
del rumore è, di solito, l'interazione del sistema considerato con il
mondo esterno che viene chiamato "il bagno termico". In altri casi,
l'origine del rumore è la "granularità" stessa del sistema che è formato da moltissimi individui (persone nel caso delle scienze statistiche
e demografiche, molecole ed atomi nel caso dei sistemi materiali).
Per meglio studiare le regolarità (leggi) soggiacenti ai fenomeni, gli
scienziati, nei loro esperimenti, pongono particolare cura nell'eliminare ogni fonte di "rumore". L'eliminazione totale del rumore è
impossibile, comunque, se non altro per la presenza del "rumore
quantistico"7. La fonte più comune di rumore è la cosiddetta "agitazione termica", che dipende dalla temperatura del sistema considerato8. Abbassare la temperatura è di solito la via maestra per diminuire il rumore. Fenomeni quantistici particolari come la superconduttività, la superfluidità e la condensazione di Bose-Einstein sono
osservabili solo a bassissima temperatura, in un ambiente, cioè, a
bassissimo rumore. Per questi motivi, lo studio del "rumore" o,
meglio, dei processi stocastici è uno dei capitoli più importanti della
fisica. Un modello meccanico di un processo stocastico è quello di un
moto a caso (moto dell'ubriaco). Un moto casuale di questo tipo si
osserva in pratica nel cosiddetto moto browniano.
7 Il rumore quantistico ha caratteristiche molto peculiari e obbedisce a regole diverse da quelle
postulate nella teoria delle probabilità.
8 La stretta connessione tra "rumore termico" e temperatura è dovuta a Boltzmann.
14
3.1
IL MOTO BROWNIANO
Per ironia della sorte, il moto browniano fu scoperto casualmente dal naturalista Robert Brown nel 1828. Osservando al microscopio alcuni granelli di polline sospesi in acqua, Brown notò che i
granelli si muovevano continuamente avanti e indietro come se fossero vivi9. In effetti, Brown li scambiò per microorganismi viventi. Il
fenomeno fu spiegato molto tempo dopo (1905) da Einstein, il quale
dimostrò che tale moto era dovuto ai continui urti delle molecole
dell'acqua sui granelli. Gli urti avvengono da tutti i lati, per cui il
loro effetto medio è zero. Talvolta, però, gli urti si combinano in
modo da produrre una forza sufficiente a spingere il granello da un
lato o dall'altro, da cui il moto "danzante" dei granelli osservato sperimentalmente. Il moto di una particella browniana genera sequenze casuali ad alta entropia K simili alle sequenze b) e b') considerate nel paragrafo 2. Il moto browniano, però, non è completamente
casuale come il risultato del lancio di un dado, ma presenta un certo
grado di correlazione, ovvero di determinismo. Nei moti deterministici, la posizione e velocità all'istante t determinano univocamente
la posizione e velocità all'istante immediatamente successivo t+dt.
Nel moto browniano, invece, la posizione a t determina la probabilità di avere un'altra posizione al tempo t+dt. Sebbene la posizione
x(t+dt) della particella al tempo t+dt sia casuale, la sua probabilità
dipende dalla posizione x(t) all'istante precedente t, che, quindi,
mantiene una certa influenza sul futuro. In particolare, la posizione
x(t+dt) deve essere necessariamente molto vicina alla posizione
x(t), perché la particella non può scomparire da un punto e riapparire istantaneamente in un punto distante.
9 Un filmato del moto Browniano di alcune goccioline di grasso nel latte può essere visto nel sito
http://www.pik-potsdam.de/~tillk/brown.html
15
La probabilità10 P(x(t+dt);x(I)) di trovare la particella in
x(t+dt) deve decrescere a zero molto rapidamente al crescere dello
spostamento Δx = x(t+dt)- x(t).
In effetti, nella teoria del moto browniano si assume una
distribuzione gaussiana P(x(t+dt);x(t))=P(Δ)=A exp(-Δ2/σ2), dove A
e σ sono costanti. La variabile casuale non è la posizione, bensì lo
spostamento Δ della particella; inoltre, l'evento più probabile è Δ =
0, cioè che la particella non si sposti affatto. Ma, dove appare, allora la "regolarità" del caso? Esitono leggi che governano il moto browniano? La risposta è sì. Il punto cruciale è che le leggi, ora, non si
riferiscono direttamente al moto della particella, che è impredicibile, ma all'evoluzione temporale della probabilità P(x,t) di trovare la
particella in x all'istante t. Infatti la legge che governa il moto brow-
sarà molto più alta di quella del moto del pianeta, ma un po' più
bassa di quella del lancio di un dado. Essendo comunque un processo stocastico, ci aspettiamo che l'entropia del moto browniano cresca man mano che esso evolve dalla posizione iniziale
(Santamato82). La crescita di entropia è sempre accompagnata da
dissipazione di energia, energia che nel caso del moto browniano è
ceduta al fluido circostante tramite le forze viscose. Esiste, infatti,
una stretta connessione tra dissipazione di energia e forze (o moti)
fluttuanti (teorema di fluttuazione-dissipazione): questa connessione è stata dimostrata da Einstein, che ha trovato la celebre relazione tra la viscosità del mezzo η, la costante di diffusione D e la temperatura assoluta T
niano è (D è la cosiddetta costante di diffusione)
Eq. 5
Eq. 4
conosciuta come l'equazione di Fokker-Planck o equazione
della diffusione. Questa equazione è deterministica, perché si può
dimostrare che la funzione P(x,t) è univocamente determinata dalla
funzione P(x,t0) arbitrariamente assegnata all'istante t0.
L'esempio del moto browniano mostra come possa esistere
una gradualità nel caos: la posizione x(t) di una particella browniana è un processo meno casuale del lancio di un dado o dell'estrazione di un numero al lotto, ma certamente più casuale dell'orbita di
un pianeta. L'entropia di Kolmogorov K associata al moto browniano
dove k = 1,38 10-16 erg/°K è la costante universale di
Boltzmann e r è il raggio della particella, che supponiamo sferica. La
Eq. 5 mostra che la costante di diffusione D e, quindi, il moto caotico browniano, è tanto più grande quanto più cresce la temperatura
e quanto più è piccola la particella in sospensione nel fluido.
Quest'ultimo fatto permette di comprendere come il moto browniano ostacoli il funzionamento di meccanismi e motori a livello nanometrico. Esistono comunque metodi molto astuti11 messi in opera sia
dall'intelligenza umana sia dalla stessa Natura per aggirare questo
problema e permettere il funzionamento dei cosiddetti motori molecolari (Sauvage01). I motori molecolari costituiscono uno dei più
interessanti campi di ricerca applicata della nostra epoca e sono alla
11 Il più comune di questi metodi è simile al meccanismo a ruota dentata che si trova in alcuni
10 Più esattamente, essendo x una variabile casuale continua, si dovrebbe parlare di densità (o
orologi che non necessitano di carica o di batteria: questo meccanismo converte il moto casuale
distribuzione) di probabilità.
(browniano) del braccio in un moto ordinato (motore) che mantiene carico l'orologio.
16
17
base di molti fenomeni sia fisici che biologici12. Purtroppo, discutere il loro funzionamento ci porterebbe troppo lontano dal filo principale del nostro discorso.
Il moto browniano ha avuto e continua ad avere un ruolo primario in molti settori della fisica e viene usato per trattare sistemi
che vanno dalle dimensioni degli atomi a quelle delle stelle. Infine,
occorre tener presente che l'evoluzione dei "sistemi complessi dissipativi", di cui si parlerà più avanti, è sempre innescata dal rumore di
fondo prodotto dall'onnipresente moto browniano dovuto all'interazione tra le diverse parti del sistema stesso o con l'ambiente circostante.
nica quantistica, una teoria inizialmente concepita per includere
pochi fenomeni abbastanza marginali, quali il problema del corpo
nero, dei calori specifici dei gas, dell'effetto fotoelettrico e degli
spettri di righe dei gas, che restavano inspiegati sulla base della
meccanica newtoniana e dell'elettromagnetismo maxwelliano. Ben
presto, però, la meccanica quantistica, con la sua estensione
all'elettrodinamica quantistica, mostrò una capacità di previsione di
un numero talmente grande di fenomeni atomici, nucleari e subnucleari, fin nei minimi dettagli, che oggi essa è una delle teorie più
accreditate e confermate della fisica, nonostante i seri problemi che
tale teoria presenta nei suoi fondamenti e nell'interpretazione fisica
del suo formalismo. Della meccanica quantistica si parlerà altrove in
questo libro. I soli aspetti della meccanica quantistica che esamineremo qui sono quelli concernenti la sua interpretazione statistica.
3.2
IL MOTO QUANTISTICO
La possibilità di processi casuali come il moto browniano,
non è in reale contrasto con l'idea che la Natura segua leggi deterministiche. Laplace, uno dei più grandi studiosi del calcolo delle probabilità, dichiarò che una Mente suprema avrebbe sempre conosciuto tutto il passato e tutto il futuro dell'universo, conoscendone lo
stato in un istante e che il fatto che gli uomini non potessero fare
altrettanto dipendeva da una sorta di ignoranza parziale. Secondo
questa visione, la teoria delle probabilità e la fisica statistica si giu-
Abbiamo già detto che lo stato dinamico di una particella
classica è determinato univocamente dalla sua posizione e velocità
e che le leggi della meccanica governano in modo deterministico
l'evoluzione temporale dello stato. Nella formulazione più semplice,
non relativistica, della meccanica quantistica, lo stato di una particella all'istante t è determinato da una funzione complessa ψ(x, t)
della sua posizione, chiamata funzione d'onda. L'evoluzione temporale dello stato è governata da una legge deterministica, che permette la determinazione univoca di ψ(x, t), noto lo stato ψ(x, t0)
all'istante iniziale t0. Questa legge è condensata nell'equazione di
Schrödinger, che qui riportiamo
stificano come mezzi per creare modelli matematici di fenomeni, di
per sé deterministici, ma conosciuti solo parzialmente. Il positivismo
deterministico, che pareva così evidente nell'Ottocento, fu messo in
seria crisi negli anni '20 del secolo scorso dall'avvento della mecca12 Un esempio è il motore biochimico molecolare che permette la contrazione dei muscoli.
18
Eq. 6
dove m è la massa della particella,
erg s è la costante di Planck (divisa 2 pi greco) e V(x) è il potenziale in cui si muove
19
la particella. Il potenziale V(x) potrebbe essere, ad esempio uno dei
due riportati in Fig. 2. Il punto cruciale è l'interpretazione fisica
della funzione d'onda ψ(x, t). L'interpretazione fino ad oggi più
accreditata è quella statistica, proposta da Born.
La cosiddetta "regola di Born", infatti, stabilisce che la quan-
ψ (x, t)*ψ(x, t), dove l'asterisco indica la coniugazione complessa, è proporzionale alla probabilità13 di
trovare la particella nella posizione x all'istante t. Secondo questa
interpretazione, tutto ciò che le leggi della fisica (Eq. 6) possono
tità reale e positiva P(x, t) =
prevedere è la probabilità che si realizzi l'evento di trovare la particella in x all'istante t. La posizione x della particella è forzatamente una variabile casuale e non può mai assumere un valore ben definito. Possiamo anche pensare che, invece di descrivere una singola
particella, la funzione d'onda descriva un insieme statistico di particelle (che, individualmente, possono assumere posizioni ben definite) preparate in modo identico. In ogni caso, la posizione di una singola particella non può essere prevista se non statisticamente ed è
quindi soggetta a una sorta di indeterminazione14. È da notare che
tutte le teorie di unificazione delle interazioni fondamentali citate
nel §2 si basano sulla meccanica quantistica e prevedono un'evoluzione deterministica per lo stato del sistema, ma probabilistica per
i valori delle grandezze fisiche osservabili sperimentalmente.
Apparentemente siamo in una situazione molto simile al
moto browniano. Il determinismo è stato trasferito dalle quantità
osservabili sperimentalmente, come la posizione della particella,
13 Anche qui, come nel moto browniano, sarebbe più corretto parlare di densità di probabilità.
14 Il celebre "principio d'indeterminazione" di Heisenberg deriva direttamente dall'Eq. 6. Se si
cerca di localizzare la particella stringendo il "pacchetto d'onda" P(x,t) = ψ(x, t)* ψ(x, t) attorno
ad un punto fissato x , la rapida salita e discesa dei fronti del profilo a campana di P(x,t) porta
0
a derivate spaziali molto grandi, per cui il primo termine sulla destra nell'Eq. 6 cresce indefinitamente, impedendo, di fatto, una perfetta localizzazione.
20
alla probabilità di realizzazione dei loro valori, che, singolarmente,
sono impredicibili. Ma è veramente possibile ricondurre la meccanica quantistica a una sorta di processo caotico? In effetti, ci sono stati
tentativi di riportare la meccanica quantistica nell'ambito di un
modello classico simile al moto browniano (Nelson67), ma senza
effettivo successo. Il motivo è che la meccanica quantistica, anche
nella sua formulazione più semplice, differisce in modo sostanziale
da un processo stocastico per due ragioni fondamentali impossibili
da eliminare. La prima è che la meccanica quantistica non prevede
traiettorie, ma solo posizioni casuali per la particella. In altre parole, mentre osservando il moto browniano di una particella classica
possiamo associare ad essa una sequenza di numeri casuali del tipo
delle sequenze b) e b') del §2, esattamente come faremmo, del
resto, per un pianeta, nel caso quantistico questo è impossibile per
principio. Sarebbe vano associare al moto "caotico" della particella
quantistica una qualche informazione o entropia K alla
Kolmogorov15. La seconda ragione è che ogni processo stocastico
produce, come visto, un aumento dell'entropia nel tempo con conseguente dissipazione d'energia. I processi stocastici sono processi
essenzialmente irreversibili, rispetto ai quali passato e futuro non
sono simmetrici. Questo è rispecchiato dal fatto che l'Eq. 4 cambia
se si inverte il segno del tempo; non gode, cioè, della simmetria d'invarianza rispetto al cambiamento del segno della freccia del tempo.
Viceversa, la meccanica quantistica è pur sempre una teoria "meccanica", che conserva l'energia e per la quale passato e futuro sono
indistinguibili. Infatti, se si cambia il segno di t nella Eq. 6, l'equazione si trasforma nella complessa coniugata, cioè ψ(x,-t) = ψ*(x, t),
lasciando invariata la probabilità P(x,t). Le equazioni della meccani15 È possibile, viceversa, associare dell'informazione (detta qu-bit) alla funzione d'onda ψ, perché essa obbedisce a una legge deterministica. La informazione quantistica ha assunto in tempi
recenti una notevole importanza, perché potrebbe aprire la strada a computer superveloci di
nuova concezione.
21
ca quantistica sono simmetriche rispetto al cambiamento del segno
della freccia del tempo16. Nel suo approccio stocastico alla meccanica quantistica, infatti, Nelson è stato costretto a considerare due
moti browniani sovrapposti e simmetrici, il primo normale e il secondo che procede dal futuro verso il passato. È evidente che l'intera
costruzione appare alquanto improbabile e bizzarra. In verità, fino
ad oggi, non si è trovata nessun’interpretazione fisica della meccanica quantistica più soddisfacente di quella, pur insoddisfacente,
basata sulla regola di Born.
il DNA è un codice in grado di organizzare la materia circostante in
modo tale da creare un organismo vivente? La stessa cosa si può dire
per la sequenza
4D 5A 90 00 03 00 00 00 04 00 00 00 FF FF 00 00 B8 00 00 00
00 00 00 00 40 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
C8 00 00 00 0E 1F BA 0E 00 B4 09 CD 21 B8 01 4C CD 21 54 68
69 73 20 70 72 6F 67 72 61 6D 20 63 61 6E 6E 6F 74 20 62 65
20 72 75 6E 20 69 6E 20 44 4F 53 20 6D 6F 64 65 2E 0D 0D 0A
24 00 00 00 00 00 00 00 EF 12 18 FB AB 73 76 A8 AB 73 76 A8
apparentemente sembra senza significato, ma, in realtà, è la
sequenza iniziale in cifre esadecimali del programma del PC con cui
questo articolo è stato scritto. La cosa che interessa qui non è tanto
4.
se la sequenza è più o meno ordinata, ma piuttosto il fatto che proprio quella sequenza, unita al resto del programma e inserita in un
ambiente appropriato (il PC), è in grado di produrre effetti osserva-
LA COMPLESSITÀ
Si consideri la seguente sequenza numerica
c)
023011003332…
A prima vista non sembra dire molto, eppure si tratta di una sequenza molto importante…infatti è un piccolo pezzo della sequenza del
nostro DNA, con 0,1,2,3 corrispondenti alle quattro basi adenina,
guanina, citosina, timina. Potremmo associare all'intera sequenza
del DNA umano un valore K dell'entropia di Kolmogorov. Come è
noto, la sequenza del DNA non è periodica, ma, d'altra parte, non è
nemmeno completamente casuale. Troveremo quindi un valore di K
abbastanza alto, ma minore della lunghezza dell'intera sequenza. Ma
il valore più o meno alto dell'informazione o dell'entropia K del DNA
è così rilevante? O non è, piuttosto, molto più rilevante il fatto che
16 In realtà, se si considerano particelle dotate di carica elettrica, l'invarianza delle equazioni è
preservata se, insieme al segno del tempo (T) si cambia simultaneamente il segno della carica (C).
Si dice che l'invarianza delle leggi quantistiche è per CT. Se si includono, poi, le interazioni deboli, l'invarianza si restringe a CPT, dove P, detta parità, corrisponde all'inversione simultanea delle
tre coordinate spaziali.
22
bili e, soprattutto, utili. Diremo che una sequenza di questo tipo è
complessa. L'aver dato un nome, però, non significa aver colto il
significato della parola "complessità" nell'accezione che ci interessa.
La sequenza del DNA così come la sequenza di cifre esadecimali di
un programma di computer acquistano rilevanza non per le singoli
parti che le compongono (nucleotidi in un caso, bit nell'altro), ma
per come queste parti si combinano tra loro in modo da produrre una
o più funzioni specifiche che agiscono sull'ambiente circostante.
Possiamo dire che, in questi casi, il tutto è molto più importante che
la semplice somma delle parti e che è proprio il tutto che segue,
eventualmente, comportamenti le cui leggi occorre comprendere e
studiare. Quando usiamo un editor di testo al PC, ci interessa conoscere le funzioni che può eseguire e la logica di tali funzioni.
Similmente, quando il fisiologo studia un essere vivente, ciò che
interessa sono le reazioni del soggetto agli stimoli ambientali e le
logiche che a tali reazioni soggiacciono. Queste logiche e queste rea23
zioni agli stimoli esterni sono le caratteristiche precipue dei sistemi
complessi e hanno ben poco in comune con le leggi fondamentali
della Natura. Per comprendere il comportamento dei sistemi com-
glio indifferenziato di materia (principalmente elettroni e neutrini
con le rispettive antiparticelle) e radiazione (fotoni) in perfetto
equilibrio termodinamico: in questo stato l'Universo è un sistema
plessi occorre un approccio olistico e non riduzionistico, occorre trovare le leggi che governano il tutto mentre le leggi elementari che
governano le singole parti assumono un ruolo secondario e, a volte,
assolutamente irrilevante.
molto simmetrico e, perciò, semplice. Via via che l'Universo, espandendosi, diminuisce la sua temperatura cominciano ad apparire i
protoni e i neutroni (1 secondo dal big bang) e, poi, successivamente, i primi atomi leggeri di elio (10 secondi dal big bang), poi di trizio, quindi di deuterio fino ad arrivare alla formazione dei nuclei
Abbiamo considerato due esempi di sistemi complessi, uno
atomici pesanti (circa tre minuti dal big bang) e alla completa annichilazione tra elettroni e positoni, tranne quella piccola quantità di
elettroni in eccesso (uno su un miliardo) necessaria a controbilancia-
tratto dalla biologia e uno tratto dalla cibernetica. Ma è altrettanto
facile trovare esempi tratti dal mondo fisico. Un cristallo, un pendolo e un pianeta sono esempi di sistemi molto ordinati (l'entropia K è
bassa), mentre un liquido o un gas sono sistemi molto disordinati
(l'entropia K è alta), ma nessuno dei due sistemi può dirsi complesso. Il comportamento di questi sistemi, infatti, può essere dedotto
conoscendo le leggi della meccanica nel primo caso e della fisica statistica nel secondo. Ma consideriamo, invece, un materiale super-
re la carica dei protoni. Dopo questi primi minuti, l'Universo continuerà ad espandersi, gli atomi, ormai stabili, cominceranno ad
aggregarsi per attrazione gravitazionale, fino a formare le galassie,
le stelle, i pianeti finché, "dopo altri 10 miliardi di anni, alcuni esseri viventi (in verità molto complessi) inizieranno a ricostruire questa
storia" (Weinberg77).
conduttore ad alta temperatura critica (Gough91). Materiali di questo genere non esistono in natura, né si formano per caso: la loro
proprietà interessante, la superconduttività, si basa su una miscela
molto particolare creata in condizioni particolari che non avrebbe
mai potuto manifestarsi nell'universo prima che sulla Terra si fosse
realizzata la miscela giusta nel 1987. Possiamo dire che la complessità che chiamiamo "superconduttività ad alta temperatura critica" è
basata su di un'altra complessità, che chiamiamo "intelligenza", che
Si può dire che la moderna scienza dei materiali basata sulle
nanotecnologie non sia altro che l'applicazione pratica della complessità. L'idea di fondo è che un'intelligente strutturazione dei
materiali a livello nanometrico, resa tecnologicamente possibile solo
di recente, può conferire ad essi caratteristiche molto diverse da
quelle associate alle singole molecole di cui sono costituiti. Al di là
della sfida tecnologica posta dalla realizzazione pratica delle nano-
ha agito come una sorta di catalizzatore per la sua creazione.
L'intelligenza, a sua volta, ha richiesto miliardi di anni di evoluzione
dal caotico brodo primordiale fino alla "semplice" complessità delle
prime cellule protozoiche e su su verso organismi sempre più differenziati e complessi. Anche l'Universo ha subito un simile processo
strutture, progettare le strutture stesse e prevedere le proprietà che
esse potranno conferire al materiale è una sfida anche intellettuale,
perché, come detto, gli effetti legati alla complessità generata dalla
strutturazione obbediscono a leggi non derivabili dalle leggi note
della fisica e ancora in gran parte da scoprire. L'evidenza sperimen-
evolutivo (Weinberg77). Un centesimo di secondo dopo il big bang ad
una temperatura di 100 miliardi di gradi Kelvin l'Universo è un miscu-
tale mostra, infatti, che i sistemi complessi esibiscono, nel loro comportamento d'insieme, regolarità che possono essere sintetizzate in
24
25
"leggi" , che tali leggi assumono spesso un carattere di "universalità",
nel senso che la successione di stati e di processi che hanno luogo in
alcune classi di sistemi complessi non dipendono dai dettagli del
sistema considerato e seguono leggi di scala ben definite17. La
determinazione di queste nuove "leggi" (che possiamo chiamare a
buon titolo olistiche) ha stimolato un'intensa attività teorica nell'ambito della struttura della materia, un'intensa attività sperimentale
nel campo delle nanotecnologie, lo sviluppo di tecniche di calcolo e
di simulazione numerica sempre più potenti e veloci e, infine, la
creazione di materiali e dispositivi di nuova concezione con grande
impatto anche in settori scientifici molto lontani, quali l'ingegneria,
la biologia, la medicina, ecc.
Laplace sulla Mente superiore in chiave ottusamente deterministica
e riduzionistica è superficiale. Già Poincaré, contemporaneo di
Laplace, fece notare subito che l'esistenza delle biforcazioni e della
instabilità poteva portare a quei comportamenti che oggi noi chiamiamo complessi. Solo negli ultimi 20-30 anni, con l'avvento dei
moderni sistemi di calcolo, è stato possibile introdurre la "matematica sperimentale". Il computer può essere programmato per simulare l'evoluzione di un sistema complicato, il cui comportamento a
lungo termine può essere studiato, modificato e ripetuto come in un
sofisticato gioco virtuale. Lo studio dei problemi semplici e affrontabili per via analitica è stato affiancato da quello di sistemi complessi in interazione con ambienti altrettanto complessi. Un esempio
è quello dei sistemi ecologici che evolvono nel loro ambiente per
Sembra quindi lecito speculare sull'esistenza di nuove "leggi"
o "principi" che governano l'esistenza e l'evoluzione della complessità, definita in qualche senso astratto (Lloyd88). Queste leggi potreb-
selezione naturale e che, nel far questo, modificano l'ambiente stesso in modo complicato. Va detto, comunque, che la stessa definizione di "complessità" è sfuggente e, finora, non si è trovato alcun
bero essere molto diverse dalle leggi del fisico delle particelle e non
essere basate sulla simmetria e l'invarianza, ma, piuttosto, su principi di logica e di elaborazione dell'informazione. Fino a tempi
modo soddisfacente di misurare quantitativamente il grado di complessità di un sistema (anche se ad ognuno è evidente che un mam-
recenti, i fisici hanno focalizzato la loro attenzione principalmente
sullo studio delle leggi fondamentali più che sulla complessità delle
conseguenze di quelle leggi. Questo non deve stupire: lo studio delle
conseguenze delle leggi (ovvero delle possibili soluzioni delle equazioni che esprimono quelle leggi) è un problema molto più difficile,
che richiede la disponibilità di computer molto potenti, dotati di una
grafica veloce ed interattiva. Non è una coincidenza che lo studio
della complessità e del caos che compaiono nelle soluzioni delle
equazioni è cresciuta enormemente con lo sviluppo di PC a basso
costo. Non bisogna però credere che i fisici non fossero consapevoli
di tale complessità anche in passato: la lettura delle parole di
17 L'individuazione teorica di questi caratteri di universalità richiede tecniche matematiche sofisticate quale l'uso del cosiddetto "gruppo di rinormalizzazione".
26
mifero è più complesso di un batterio). Nel caso dell'informatica,
una possibile via potrebbe essere quella di misurare non tanto il contenuto di informazione di una sequenza di bit, quanto piuttosto il
tempo di calcolo necessario per generare quella sequenza. Generare
una sequenza periodica o una sequenza casuale richiede un codice
molto breve e di rapida esecuzione. Generare il codice dell'editor di
testo usato per scrivere questo articolo è costato anni di lavoro di
diverse persone. Generare il genoma umano è costato miliardi di
anni di evoluzione e di selezione. Nonostante la difficoltà di una precisa definizione, è possibile definire alcune proprietà e alcuni comportamenti tipici che sono comuni a tutti i sistemi complessi. In
molti casi, come già detto, è possibile scrivere perfino leggi matematiche universali che governano questi sistemi. Di questo parleremo brevemente nell'ultima parte di questo articolo.
27
4.1
LE LEGGI DEI SISTEMI COMPLESSI
Perché un sistema fisico possa definirsi complesso è necessario che il tutto sia più che la semplice somma delle singole parti. Per
questo motivo, i sistemi complessi sono detti anche sistemi cooperativi. In fisica esistono sistemi complessi basati sulla meccanica classica e sistemi complessi basati sulla meccanica quantistica (la superconduttività ad alta Tc appartiene a quest'ultimo tipo di sistemi).
Nel seguito, accenneremo solo ai sistemi complessi basati sulla meccanica classica e, quindi, su equazioni di evoluzione deterministiche.
Inoltre, possiamo distinguere i sistemi complessi in sistemi dissipativi, in cui l'energia del sistema viene dissipata nell'interazione con un
"bagno termico" e in sistemi "hamiltoniani" in cui gli attriti e gli
effetti dissipativi sono trascurabili e l'energia si conserva. I sistemi
complessi sono
- multistabilità
- auto-organizzazione
- presenza di caos deterministico
4.1.1
MULTISTABILITÀ
La presenza di dissipazione, fa sì che il sistema tenda a fermarsi in uno stato di minima energia. Lo stato di energia minima
assoluta è lo stato di equilibrio termodinamico.
hamiltoniani osservabili in natura sono molto rari. Gli esempi più
importanti si riferiscono al moto dei pianeti18, la progettazione di
acceleratori di particelle, in cui deboli fasci di particelle cariche si
muovono in intensi campi magnetici e la fisica dei plasmi confinati
magneticamente, quali si riscontrano nei dispositivi per la fusione
nucleare. Sebbene questi esempi siano rilevanti, nel seguito considereremo solo i sistemi dissipativi.
Quali caratteristiche hanno i sistemi complessi? Dal punto di
vista costitutivo, tali sistemi sono caratterizzati da una forte nonlinearità e, spesso, da sistemi di controreazione (in inglese, feedback)
o incorporati nel sistema stesso o aggiunti esternamente. La nonlinearità e la controreazione servono a far interagire le diverse parti
del sistema in modo non semplicemente additivo, ma cooperativo.
Dal punto di vista dinamico, le principali caratteristiche dei sistemi
18 Un esempio è il moto irregolare di Iperone, una luna di Saturno.
28
Fig. 4. Curva di energia potenziale V(x) che mostra la metastabilità. Il punto
A è il punto di equilibrio termodinamico stabile. I punti B, C, B', C' sono punti
di equilibrio metastabile. Una fluttuazione abbastanza forte potrebbe far
cadere lo stato del sistema da C a B e, infine ad A. Nel punto A, l'energia
non può diminuire ulteriormente, per cui questo stato è stabile.
Se questo stato è unico come in Fig. 2a, il sistema va certamente all'equilibrio termodinamico. Lo stato di equilibrio termodinamico è sempre stabile e, di solito, ben ordinato e simmetrico. In presenza di altri minimi relativi dell'energia, però, il sistema potrebbe
collocarsi in uno di essi, fissandosi in uno stato metastabile (Fig. 4).
La metastabilità è dovuta al fatto che l'inevitabile rumore dovuto al
29
bagno termico (teorema di fluttuazione-dissipazione) potrebbe fornire al sistema una spinta sufficiente per uscire dal minimo di energia in cui ritrova e cadere successivamente in un altro minimo più
basso dell'energia. Anzi, in un tempo infinto questo certamente
accadrà e il sistema cambierà continuamente stato fino ad arrivare
all'equilibrio termodinamico, che è l'unico stato veramente stabile.
Azioni esterne, come campi applicati od altro, possono far transire
di nuovo il sistema in un suo stato metastabile. Questa proprietà è
detta "multistabilità". Le plastiche, ad esempio, sembrano solidi, ma
sono in realtà sistemi metastabili. Esse sono costituite da polimeri,
molecole formate da lunghe catene atomiche in forma di filamenti.
Lo stato di equilibrio termodinamico corrisponde a tutti questi filamenti allineati in un'unica direzione. Ma questo non succede mai:
infatti, durante il processo di polimerizzazione, i filamenti molecolari si aggrovigliano tra loro formando stati metastabili di minimo
relativo dell'energia. Nel tempo, il polimero cambia continuamente
stato (i filamenti tendono ad allinearsi) passando da un minimo relativo di energia all'altro. Ma i minimi sono talmente tanti e i tempi di
transizione sono così lunghi che questo processo richiede, in certi
casi, molti millenni. Il fenomeno è analogo a quanto ciascuno di noi
vede quotidianamente dietro il proprio PC. I fili che collegano il PC
alla stampante, al monitor e alle altre periferiche hanno un minimo
di energia gravitazionale quando poggiano tutti sul tavolo senza
sovrapporsi l'un l'altro. Eppure sappiamo bene che questi cavi sono
perennemente intrecciati e quanta fatica ci vuole per districarli. Il
motivo per cui i fili tendono ad intrecciarsi è che l'insieme degli stati
a fili intrecciati è molto più numeroso (tali stati intrecciati sono
molto più probabili) che l'insieme degli stati, di minima energia con
tutti i fili posti a contatto del tavolo. Poiché gli stati a fili intrecciati non corrispondono al minimo assoluto dell'energia gravitazionale,
essi sono stati di equilibrio metastabile. Se si facesse vibrare il tavolo con intensità sufficiente, i fili tenderebbero a cadere man mano
30
verso il tavolo fino a districarsi19. Questo principio è lo stesso che
usiamo quando agitiamo un sacco, poniamo, di noci per meglio assestarle. Nell'assestamento, le noci cadono mediamente verso il basso,
diminuendo la loro energia potenziale gravitazionale. Queste considerazioni, se rese quantitative, possono trovare utilissime applicazioni in molti problemi pratici, come, ad esempio, l'immagazzinamento di materiali granulari (grano, polveri, ecc.) e la loro separazione mediante opportune vibrazioni applicate al contenitore
(Fierro03). I dispositivi multistabili, inoltre, sono alla base di tutti i
sistemi di immagazzinamento dell'informazione. Non si deve pensare, però, che lo stato su cui un sistema dissipativo si porta debba
essere necessariamente uno stato di equilibrio in cui le proprietà del
sistema restino costanti nel tempo. Al contrario, il sistema complesso può evolvere verso uno stato stabile dinamico, detto moto di regime, che può essere periodico (si parla allora di ciclo limite) o aperiodico (si parla allora di caos deterministico). Del caos deterministico si parlerà più avanti in maggiore dettaglio. Un aspetto comune a
tutti i sistemi dissipativi è che lo stato stabile di equilibrio o metastabile di regime che essi raggiungono asintoticamente nel tempo
dipende molto poco dalle condizioni iniziali. Con linguaggio antropologico, possiamo dire che i sistemi dissipativi hanno "memoria corta",
nel senso che si dimenticano presto della sollecitazione esterna che
ha iniziato la loro evoluzione e si portano in uno stato stazionario o
dinamico fissato dal sistema stesso. Questo stato ha di solito caratteristiche di grande stabilità e di resistenza alle perturbazioni esterne. Ad esempio, un ecosistema mantiene un bilancio complessivo al
di là dell'impatto costante di estinzioni, variazioni di habitat, epidemie, calamità naturali, ecc. In linguaggio tecnico si dice che il regime raggiunto dal sistema costituisce un attrattore stabile, nel senso
che tutte le possibili traiettorie evolutive del sistema nelle vicinan19 A meno che, ovviamente, non ci siano impedimenti "topologici" come, ad esempio, l'esistenza
di nodi.
31
ze dell'attrattore stabile tendono asintoticamente verso l'attrattore
stesso. Le traiettorie, cioè le modalità con cui il sistema raggiunge
lo stato finale dipendono dalle condizioni iniziali e possono essere
ta come un processo di formazione di strutture sempre più complesse e differenziate sotto l'azione della selezione naturale e di altre
influenze ambientali. Il fatto che questi processi conducono a confi-
ogni volta diverse, ma lo stato finale è sempre il medesimo. Ad
esempio, tecniche ottiche sofisticate oggi disponibili permettono la
registrazione simultanea dello stato di attività di ogni singolo neurone che fa parte di un determinato circuito nervoso. Ebbene, studi
recenti hanno mostrato che il sistema nervoso lavora in modo molto
gurazioni stabili ordinate a partire dalle fluttuazioni interne al sistema è stato chiamato "ordine dal caos" e "ordine tramite le fluttuazioni" da Ilya Prigogone, premio Nobel per la chimica nel 1977).
meno deterministico di quanto si pensi (cioè della relazione univoca
tra stimolo e risposta) anche nel caso di riflessi molto semplici. Un
riflesso molto studiato in neurofisiologia è quello della retrazione
della branchia in seguito a stimoli tattili nell'invertebrato marino
Aplysia. Utilizzando stimoli ripetuti, è stato scoperto che ogni stimolo, anche se di intensità e durata uguale agli altri, porta all'attivazione di insiemi molto differenti di neuroni. Malgrado ciò, la risposta del circuito neuronico è sempre la stessa (contrazione della branchia) (Wu94). È questo un comportamento tipico dei sistemi complessi multistabili. Il sistema stesso sviluppa al suo interno meccanismi di controreazione (feedback) che stabilizzano lo stato finale. La
presenza di controreazione è un'altra caratteristica peculiare dei
sistemi complessi, che porta a fenomeni interessantissimi come l'au-
L'auto-organizzazione porta a maggiore ordine e, quindi, a
una diminuzione di entropia. Non c'è contraddizione con il secondo
principio della termodinamica, perché i sistemi auto-organizzanti
sono sempre sistemi aperti, in contatto con l'ambiente esterno.
Durante il processo di auto-organizzazione l'entropia dell'ambiente
cresce di più di quanto diminuisca quella del sistema. In molti casi,
i processi di auto-organizzazione possono essere considerati come
processi di rottura spontanea della simmetria: il sistema passa da
uno stato più simmetrico (meno ordinato) ad uno meno simmetrico
(più ordinato).
Il più classico degli esempi di auto-organizzazione è il fenomeno di Bénard, la formazione, cioè, di caratteristiche strutture a
forma di celle quando un fluido viene scaldato dall'alto (Fig. 5).
to-organizzazione.
4.1.2
AUTO-ORGANIZZAZIONE
Una proprietà estremamente interessante dei sistemi complessi è la possibilità di auto-organizzazione. Con questo termine
s'intende lo sviluppo spontaneo di nuove strutture ordinate. La transizione verso queste strutture, che possono essere anche molto stabili, avviene sotto l'azione delle fluttuazioni sia esterne che interne
al sistema dissipativo. L'evoluzione delle specie può essere concepi32
Fig. 5. Il fenomeno di Bénard.
33
Un altro esempio importante, sono le strutture che si osservano durante l'evoluzione di alcune reazioni chimiche autocatalitiche, che hanno grande rilevanza in biochimica. Queste reazioni
hanno la proprietà di produrre, tra i prodotti di reazione, i catalizzatori necessari per far procedere la reazione stessa. Si tratta di un
tipico esempio di controreazione positiva. Più la reazione accelera,
più catalizzatore si produce e la reazione va ancora più veloce. In
opportune condizioni, le reazioni autocatalitiche avanzano lungo
fronti d'onda, che assumono strutture particolari. Un esempio di un
fronte di reazione a forma di spirale è mostrato in Fig. 6. Per effetto dell'autocatalisi, le reazioni chimiche autocatalitiche avvengono a
velocità molto maggiore delle altre. Per questo motivo, si ritiene che
gli enzimi, ovvero i catalizzatori delle reazioni biochimiche, abbiano
avuto un ruolo determinante nello sviluppo delle forme viventi a
partire dal caos molecolare del brodo primordiale. Senza di essi,
infatti, si calcola che lo sviluppo della vita avrebbe richiesto molto
più tempo per evolversi di quanto effettivamente impiegato (qualche miliardo di anni).
deve credere che questo sia necessario per l'auto-organizzazione:
sistemi molto semplici possono auto-organizzarsi in opportune condizioni. Un esempio è la formazione spontanea di pattern regolari
nei sistemi ottici, un fenomeno che apre interessanti prospettive nel
campo dell'eleborazione tutt'ottica delle immagini e dell'informazione parallela. Il sistema è particolarmente semplice: supponiamo di
avere un materiale trasparente il cui indice di rifrazione n possa
cambiare proporzionalmente all'intensità I della luce che lo attraversa, secondo la legge
Eq. 7
dove n0 è l'indice di rifrazione del materiale in assenza di luce e n2
è una costante. Materiali di questo tipo sono detti otticamente nonlineari (l'intensità I è proporzionale al quadrato del campo elettrico
ottico) e sono, ad esempio, i cristalli fotorifrattivi e i cristalli liquidi. Ebbene, facendo passare un fascio di luce abbastanza intenso
attraverso il materiale e retroriflettendo con uno specchio la luce
verso la zona illuminata del campione, si osserva nel fascio retroriflesso la formazione spontanea di una caratteristica figura con simmetria esagonale, come mostrato in Fig. 7. Questo fenomeno mostra
come gli ingredienti minimali per avere auto-organizzzione siano i)
la nonlinearità (Eq. 7) e ii) la controreazione, fornita dallo specchio
retroriflettente.
Fig. 6. Il fronte a spirale di una reazione autocatalitica (Zykov04).
Il fenomeno di Bénard e le reazioni autocatalitiche si riferiscono a sistemi in cui si attuano meccanismi abbastanza complicati
quali i moti convettivi idrodinamici e le reazioni chimiche. Ma non si
34
Fig. 7. Pattern esagonale generato dalla retroriflessione di un fascio laser in
un film di cristallo liquido (Tamburrini93).
35
4.1.3
CAOS DETERMINISTICO
Come detto in precedenza, i sistemi complessi, durante la
loro evoluzione temporale possono incontrare molti punti di biforcazione (Fig. 2b). La scelta tra i rami evolutivi che partono da un punto
di biforcazione è innescata dal rumore browniano di fondo e, pertanto, è casuale. Si comprende quindi come, in assenza di forti meccanismi interni di stabilizzazione e in presenza di moltissimi punti di
biforcazione successivi, un sistema complesso possa evolvere verso
un regime caotico, caratterizzato da un comportamento imprevedibile. A tale comportamento si dà il nome di "caos deterministico".
L'ossimoro deriva dal fatto che il comportamento del sistema è
impredicibile malgrado il perfetto determinismo delle leggi che lo
governano. Occorre chiarire subito, che il caos non si riferisce al
modo, spesso imprevedibile, con cui il sistema si porta in uno stato
di regime (si veda l'esempio dell'Alypsia), quanto piuttosto alle
modalità impredicibili dell'evoluzione dinamica dello stesso stato di
regime. Come detto in precedenza, gli stati di regime verso cui
tende il sistema sono attrattori dinamici. Ebbene, può succedere,
che l'attrattore corrisponda non a uno stato stazionario, né a un
moto ripetitivo (ciclo limite), ma a uno stato caotico. In tal caso,
l'attrattore si dice "strano".
L'esistenza di attrattori strani è una peculiarità dei sistemi
complessi. Molti sistemi complessi hanno un numero grande di gradi
di libertà e richiedono la soluzione simultanea di un grande numero
di equazioni. Un esempio, è la turbolenza nella fluidodinamica. Non
crea stupore che sistemi di questo tipo portino a comportamenti
caotici e turbolenti. Ma non si deve credere che la complessità di un
sistema sia legata necessariamente all'esistenza di molti gradi di
libertà. È celebre il cosiddetto modello di Lorenz, descritto dalle
seguenti tre equazioni differenziali accoppiate
36
Eq. 8
Queste equazioni furono introdotte nel 1963 da Edward
Lorenz, un meteorologo, per descrivere in modo semplice i moti convettivi dell'atmosfera. Assegnate le condizioni iniziali a t=0, il moto
del sistema è univocamente determinato (determinismo). Le Eq. 8
possono essere risolte con semplicissime procedure numeriche in
grado di girare su un comune PC. Se però si traccia la traiettoria
seguita dal punto P di coordinate (x,y,z), si trova qualcosa di simile
a quanto mostrato in Fig. 8. A regime, la traiettoria del punto P si
avvolge intorno a due superfici a forma di ali di farfalla, saltando da
un'ala all'altra in modo irregolare. La traiettoria non si chiude mai su
se stessa, ma si avvolge su se stessa un numero infinito di volte. Se
si prova guardare la traiettoria con una lente d'ingrandimento, si
trova che ad ogni scala essa mostra la stessa specie di struttura intricata, sempre simile a se stessa.
Strutture con queste caratteristiche di autosimilarità sono
note in geometria col nome di frattali. L'attrattore di Lorentz riempie una zona di spazio che è più di una superficie e meno di un volume, e può essere caratterizzato da una dimensione frattale tra due
e tre. Il valore della dimensionalità dell'attrattore di Lorentz dipende dai valori dei parametri r, a, b, nelle Eq. 8. Nel caso della Fig. 8,
la dimensionalità frattale dell'attrattore è 2.05.
37
con una certa attendibilità solo a tempi brevi (uno-due giorni).
Previsioni del tempo a lungo termine sono in principio impossibili.
Che sistemi complicati come l'atmosfera e le sue turbolenze possano avere comportamenti complessi e anche caotici non desta molto
stupore. Ma la semplicità delle equazioni di Lorenz suggerisce che il
caos deterministico può essere osservato anche in sistemi molto
semplici21.
Fig. 8. Una traiettoria a regime della soluzione delle Eq. 8. La curva è stata
calcolata per r=28, a=10,b=8/3 e per le condizioni iniziali x = y =z =1. La
figura mostra soltanto il moto di regime del sistema e non la parte iniziale
della traiettoria.
Non si deve pensare che l'attrattore strano di Lorenz sia un
caso particolare: anzi, come già accennato in precedenza, uno dei
più importanti risultati dello sforzo di ricerca sui sistemi complessi
ha portato alla scoperta del carattere universale delle leggi che guidano la "via al caos"20. Queste leggi hanno un carattere di invarianza (o, se si preferisce, di simmetria) rispetto alle trasformazioni di
scala e sono quindi "semplici".
Il modello di Lorenz mostra, tra l'altro, che l'atmosfera è un
sistema intrinsecamente caotico e che è impossibile predire il suo
comportamento a lungo termine. Ma nello stesso tempo esso è anche
un modello deterministico e che quindi è possibile predirne il comportamento a breve termine. Questo è il motivo per cui, nonostante
l'enorme numero di dati oggi disponibili dai satelliti artificiali e
nonostante l'enorme potenza dei calcolatori impiegati per le simulazioni numeriche, le previsioni meteorologiche possono essere fatte
Fig. 9. Un esempio d'intermittenza. La figura mostra la velocità angolare
delle molecole di un film sottile di cristallo liquido sul quale viene fatto incidere un fascio laser polarizzato circolarmente e con sezione ellittica.
Questo tipo d'intermittenza è detto intermittenza on-off (Vella03).
La Fig. 9 mostra l'intermittenza caotica della velocità angolare di rotazione delle molecole di un cristallo liquido sotto l'azione
di un fascio di luce laser a sezione ellittica polarizzato circolarmente a incidenza normale (Vella03). In questo caso, il sistema si trova
per la maggior parte del tempo lungo un ciclo limite in cui esso ruota
a velocità angolare costante ω0, ma, di quando in quando, effettua
brevi escursioni intermittenti e imprevedibili, verso un attrattore
caotico. Un altro semplicissimo sistema che può mostrare moto caotico e che può essere costruito facilmente è il pendolo a molla o pen-
20 Le vie al caos più comuni sono due: il raddoppiamento di periodo in cui un moto periodico di
frequenza f genera una serie di sub-armoniche f/n e la cosiddetta “rottura di simmetria del toro”,
21 Si dimostra, che per raggiungere il caos deterministico un sistema autonomo di equazioni dif-
in cui un moto periodico di frequenza f genera una frequenza f' incommensurabile con f.
ferenziali del prim'ordine come le Eq. 8, deve avere almeno tre gradi di libertà.
38
39
dolo elastico. Si tratta di un corpo di massa m appeso ad una molla
elastica di massa trascurabile e libero di muoversi in tutte le direzioni. Questo sistema conserva l'energia meccanica ed è quindi un
esempio di sistema complesso non dissipativo. Per energia meccanica abbastanza bassa il moto del pendolo è regolare (Fig. 10a) , ma
diventa caotico ad alta energia (Fig. 10b)22.
grand'unificazione. Ma la complessità non è cosi semplice. Solo negli
ultimi trent'anni, grazie anche allo sviluppo delle nuove tecnologie
informatiche multimediali, l'attenzione dei fisici si è spostata verso
lo studio del complesso, al fine di spiegare la diversità, l'asimmetria
e l'irregolarità. Nonostante la relativa giovinezza di questo nuovo
campo d'indagine, i risultati sono stati notevoli e hanno aperto la
strada verso la comprensione delle "leggi" e "regolarità", spesso universali, che guidano i sistemi complessi, cooperativi e persino caotici. Questo nuovo sviluppo ha avuto, tra l'altro, il grande pregio di
mettere in contatto la comunità dei fisici, sia sperimentali che teorici, con discipline lontane dalla fisica più tradizionale quali l'informatica, la biologia, la zoologia, l'economia, le scienze sociali, aprendo nuove vie alla interdisciplinarietà. Lo sforzo verso la comprensio-
Fig. 10. Proiezione nel piano orizzontale del moto di un pendolo a molla. a)
a bassa energia la traiettoria è chiusa con la caratteristica forma di stella.
b) ad energia più alta la traiettoria evolve caoticamente ricoprendo il piano
orizzontale in modo frattale.
ne quantitativa delle leggi che governano i sistemi complessi deve
comunque considerarsi in una fase iniziale: è facilmente prevedibile
che nei prossimi anni questo sforzo di ricerca si estenderà ad altre
discipline, anche umanistiche, e produrrà nuove eccitanti scoperte.
RIFERIMENTI
5.
CONCLUSIONI
- Bailin D., Why Superstrings?, Contemporary Physics, vol. 30, 237
Questa breve escursione tra determinismo e caos ha mostrato il cambiamento avvenuto recentemente nelle percezioni scientifiche del mondo, che per un tempo lunghissimo hanno sottolineato
le sue regolarità al di là delle apparenze. Questa ricerca di semplicità e ordine, con l'assunto di leggi universali che connettono il passato al futuro, ha diretto la ricerca scientifica durante gli ultimi trecento anni, culminando nelle moderne teorie supersimmetriche di
40
(1989).
- Barrow J. D., Theories of Everithing: the quest for ultimate explanation, Oxford UP 1991 and Vintage pbk 1992.
- Chaitin G., Randomness in arithmetics, Scientific American, p. 80,
July 1980; Gödel Theorem and Information, Int. J. Th. Phys., 22, 941
(1982).
- Fierro A., Nicodemi M., Coniglio A., Edwards' approach to horizontal and vertical segregation in a mixture of hard spheres under gravity, J. Phys. Cond. Mat. 15, S1095 (2003).
41
- Gough J., Challenges if high-Tc, Physics World, p. 26, dec. 1991.
- Green M., Superstrings, Scientific American, p. 48, Sept. 1986.
6.
APPENDICE
- Lloyd S. e Pagels H., Complexity as thermodynamic depth, Annals
of Physics (N.Y.) 188, 186 (1988)
- Nelson E., Dynamical theories of Brownian motion, Princeton Univ.
Press, Princeton, 1967.
- Santamato E., Lavenda B. H., The Stochastic H-Theorem, J. Math.
Phys., 23, 2452 (1982).
- Sauvage J.P., ed., Molecular machines and motors, Springer, Berlin,
2001.
- Tamburrini M., Bonavita M., Wabnitz S., and Santamato E.,
Hexagonally-patterned beam filamentation in a thin liquid crystal
film with a single feed-back mirror, Opt. Lett., 18, 855 (1993).
- Vella A., Setaro A., Piccirillo B., and Santamato E., On-off intermittency in chaotic rotation induced in liquid crystals by competition
between spin and orbital angular momentum of light, Phys. Rev. E,
67, 051704 (2003).
- Weinberg S., I primi tre minuti, Arnoldo Mondatori ed., 1997
- Wu J. Y. et al., Consistency in nervous systems : trial-to-trial and
animal-to-animal variations in the responses to repeated applications of a sensory stimulus in Alypsia, J. Neurosci. 14, 1366 (1994).
- Zykov V. S. et al., Global Control of Spiral Wave Dynamics in an
Excitable Domain of Circular and Elliptical Shape, Phys. Rev. Lett.,
92, 018304 (2004).
La seguente macro di Excel simula i lanci successivi di due
dadi a sei facce e produce l'istogramma dei possibili risultati, da 2 a
12. Per avviare la macro, creare nell'editor di Visual Basic incorporato in Excel un modulo di nome Dices e un form di nome frmDices.
Nel form di nome frmDices aggiungere tre pulsanti di nome
cmdStart, cmdStop, cmdPause e una etichetta di nome lblStatus.
Copiare nel modulo Dices il seguente codice
Sub Dices()
If ActiveWorkbook Is Nothing Then Exit Sub
frmDices.Show
End Sub
Copiare nel form frmDices tutte le subroutine seguenti.
Dim fPause As Boolean
Dim fRun As Boolean
Dim fStop As Boolean
Private Sub UserForm_Initialize()
InitializeForm
End Sub
Private Sub cmdPause_Click()
lblStatus.Caption = "Lancio dadi interrotto"
cmdPause.Enabled = False
cmdStop.Enabled = False
cmdStart.Enabled = True
fRun = Not fRun
42
43
End Sub
Private Sub cmdStop_Click()
lblStatus.Caption = "Lancio dadi concluso"
cmdPause.Enabled = False
cmdStop.Enabled = False
cmdStart.Enabled = True
fRun = False
fStop = True
Cells.Clear
Cells(1, 1).Font.Bold = True
Cells(1, 3).Font.Bold = True
Cells(1, 4).Font.Bold = True
Cells(1, 5).Font.Bold = True
Cells(13, 4).Font.Bold = True
Cells(13, 5).Font.Bold = True
Cells(1, 1).HorizontalAlignment = xlRight
End Sub
Private Sub Throw()
Do
Cells(1, 3).HorizontalAlignment = xlCenter
Cells(1, 4).HorizontalAlignment = xlCenter
Cells(1, 5).HorizontalAlignment = xlCenter
' Genera un valore casuale compreso tra 1 e 6 per i due dadi.
Dice1 = Int((6 * Rnd) + 1)
Cells(13, 4).HorizontalAlignment = xlRight
Cells(1, 3) = "Evento"
Dice2 = Int((6 * Rnd) + 1)
' Somma i due valori
Result = Dice1 + Dice2
Cells(1, 4) = "Frequenza"
Cells(1, 5) = "Probabilità"
Cells(13, 4) = "Totale"
' incrementa i contatori nelle celle del foglio
Cells(Result, 1) = Cells(Result, 1) + 1
Cells(1, 1).Select
For n = 2 To 12
' incrementa il contatore totale nelle cella (1,1)
Cells(1, 1) = Cells(1, 1) + 1
For n = 2 To 12
' scrive gli eventi
Cells(n, 3) = n
Next n
' aggiorna le celle con la frquenza degli eventi
Cells(n, 4) = Cells(n, 1) / Cells(1, 1)
Next n
DoEvents
Loop While fRun
For n = 2 To 6
' scrive le probabilità
Cells(n, 5) = (n - 1) / 36
Cells(14 - n, 5) = (n - 1) / 36
Next n
End Sub
Private Sub cmdExit_Click()
fRun = False
Unload Me
Cells(7, 5) = 6 / 36
' mostra la probabilità totale (=1)
ptot = 0
For n = 2 To 12
End Sub
Private Sub InitializeForm()
ptot = ptot + CDbl(Cells(n, 5))
Next n
44
45
Cells(13, 5) = ptot
End Sub
Private Sub cmdStart_Click()
fisiche per la biomedicina, Fisica dei semiconduttori, Fisica
dell'Ambiente, Metodologie Nucleari Applicate, Elettronica. Il primo
anno è comune a tutti i curricula. In ogni caso i primi due anni sono
lblStatus.Caption = "Lancio dadi in corso"
cmdPause.Enabled = True
cmdStop.Enabled = True
cmdStart.Enabled = False
If fStop Then InitializeForm
dedicati ad acquisire le basi della fisica e la metodologia delle osservazioni sperimentali ed al terzo anno lo studente struttura il piano
di studi, nell'ambito del curriculum scelto, in funzione dei suoi obiettivi: entrare subito nel mondo del lavoro o continuare gli studi. In
particolare le attività didattiche del corso di laurea triennale in
fStop = False
fRun = True
Throw ' inizia il lancio dei dadi
Fisica si articolano in attività di base che introducono lo studente
alla Matematica e all'Informatica ed al loro uso in Fisica, attività
caratterizzanti che forniscono le adeguate conoscenze di meccanica,
End Sub
di termodinamica, elettromagnetismo classico, meccanica quantistica e di fisica moderna, dal subnucleare agli stati aggregati all'astro-
COME CONTINUANO GLI STUDI IN FISICA
LAUREA TRIENNALE IN FISICA
Il corso di Laurea triennale in Fisica intende fornire una preparazione che spazia da un ambito puramente conoscitivo, rivolto
allo studio teorico e sperimentale delle leggi fondamentali della
natura, ad ambiti di carattere tecnologico e applicativo. Esso prevede un curriculum a carattere generale e più curricula a carattere
tecnologico o applicativo. Il curriculum generale ha lo scopo di dare
una formazione in fisica sufficientemente approfondita per permettere il proseguimento degli studi nelle lauree specialistiche senza
debiti formativi o l'ingresso nel mondo del lavoro con una solida formazione di base e ulteriori conoscenze, a scelta dello studente, in
uno dei settori della Fisica: Astrofisico, Biofisico, Geofisico,
Cibernetico, Nucleare, Subnucleare, Struttura della Materia,
Teorico. I curricula tecnologici o applicativi riguardano: Tecniche
46
fisica, con un forte corredo metodologico di laboratorio (che costituisce una componente essenziale nella formazione del laureato in
Fisica) e di calcolo tale da poter essere utilizzato proficuamente in
un vasto campo di applicazioni, attività in ambiti affini alla fisica
che forniscono conoscenze e capacità in matematica, in fisica matematica, in chimica ed in applicazioni informatiche, adeguate ad operare in ambiti teorici, sperimentali ed applicativi della fisica classica e moderna, attività a libera scelta dello studente fra cui approfondimenti di lingua inglese ed informatica, attività correlate con la
produzione dell'elaborato finale, che include eventuale stage preparatorio. L'organizzazione didattica è articolata in due periodi didattici ("semestri") nell'anno accademico; tra il primo ed il secondo
periodo è inserita una interruzione di alcune settimane, in cui si
svolgono gli esami, per la verifica della preparazione raggiunta dagli
studenti negli insegnamenti svolti nel periodo. Una delle novità
introdotte dalla riforma universitaria è il credito formativo universitario (corrispondente a 25 ore di impegno per lo studente, comprensivo di lezioni, laboratorio, studio individuale). Ad ogni insegnamento o attività è assegnato un determinato numero di crediti e la lau47
rea triennale (il titolo di "dottore in Fisica") si consegue con l'acquisizione di 180 crediti in tre anni ed una prova finale che consiste
nella discussione di un elaborato su un'applicazione di metodi teorici e/o sperimenta-li ad un problema specifico. L'elaborato è anche
finalizzato all'acquisizione di abilità riguardanti la comunicazione, la
diffusione ed il reperimento delle informazioni scientifiche anche
con metodi bibliografici, informatici e telematici. Le prospettive
professionali dei laureati in fisica sono principalmente nel settore
industriale, in ambiti in cui è richiesta la capacità di costruire e trattare modelli di realtà complesse (elettronico, opto-elettronico,
informatico, ottico, biomedico, ecc.), negli Enti pubblici quali ospedali, nei laboratori di controllo, nelle strutture sanitarie in cui è
richiesta competenza sulle tecnologie per la diagnostica medica e
per la terapia medica, nei laboratori o strutture di controllo ambientale, in cui si applicano e si sviluppano metodologie fisiche per il
controllo degli impatti fisici sull'ambiente, nelle società di consulenza e servizi per aziende, tra cui, per esempio, banche e agenzie
finanziarie, in cui si utilizzano le capacità del laureato in fisica di
costruire modelli per la trattazione di realtà complesse, nel settore
della formazione (insegnamento, divulgazione e giornalismo scientifico) e nella ricerca scientifica presso Università ed Enti di ricerca.
Per i fisici l'apertura delle frontiere e l'unificazione europea, anche
della formazione universitaria, costituisce nuove opportunità e più
ampie opportunità di lavoro anche all'estero.
Dottorato di Ricerca (tre anni). La Laurea magistrale si consegue con
120 crediti. Il corso di Laurea magistrale in Fisica si articola in otto
differenti curricula: Fisica Subnucleare, Fisica della Materia, Fisica
Teorica, Fisica Nucleare, Fisica Biomedica, Geofisica, Elettronica,
Astrofisica ed il titolo di "Dottore Magistrale in Fisica" si consegue
dopo aver superato una prova finale che consiste nella discussione di
un elaborato scritto di tesi su un’applicazione originale di metodi
teorici o sperimentali ad un problema specifico di interesse per la
ricerca nei campi della Fisica e delle sue applicazioni. L'attività svolta nell'ambito della tesi potrà essere effettuata sia nell'interno delle
strutture universitarie, sia presso Enti di ricerca (fra cui l'INFN Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, il CNR-INFM - Istituto Nazionale
di Fisica della Materia, il CNISM - Consorzio Nazionale
Interuniversitario per le Scienze Fisiche della Materia, l’INAF Istituto Nazionale di Astrofisica, l'INGV Istituto Nazionale di Geofisica
e Vulcanologia, il CNR), centri di ricerca o laboratori nazionali ed
internazionali, in Italia o all'estero, aziende o enti esterni. I laureati magistrali potranno trovare impiego nella ricerca fondamentale ed
applicata presso Università ed Enti di ricerca ed in altre attività produttive e di pubblica utilità, quali, ad esempio, produzione e studio
delle proprietà di nuovi materiali, prevenzione e controllo dei rischi
ambientali, analisi nel campo dei beni culturali, analisi del rischio
sismico, progettazione di sistemi di rivelatori e di sensori, radioprotezione dell'uomo e dell'ambiente, controllo e rivelazione di fenomeni fisici nell'ambito della prevenzione, diagnosi e cura, modellizzazione matematica di fenomeni complessi.
LAUREA MAGISTRALE IN FISICA
Dopo la laurea triennale è possibile frequentare il corso di
Laurea magistrale in Fisica (due anni) che permette di raggiungere
una più spiccata specializzazione nei vari settori scientifici ed applicativi e consente, se si vuole continuare nella ricerca, l'accesso al
48
Siti Web e riferimenti utili
http://www.na.infn.it
http://www.na.infn.it/didattica/didattica.htm
49
Dato il lavoro che faccio, sono stati fondamentali.
- E' stato più importante che il corso di laurea abbia fornito una
INTERVISTA A
LORENZO MARRUCCI
forma mentis o competenze specifiche?
La forma mentis, non c'è dubbio. Le competenze specifiche che ho
acquisito nel corso di laurea sono state comunque molto utili, ma
credo che questo dipenda in grande misura dal particolare lavoro
che mi sono ritrovato a fare. La forma mentis che si acquisisce con
studi rigorosi e di qualità è invece utile per qualsiasi lavoro, nonché
per crescere come persona.
- Avrebbe gradito un curriculum di studi o un'impostazione diversa?
Come preparazione per il lavoro che faccio oggi, il curriculum di
- Che studi ha fatto ?
Dopo la maturità classica, avevo intenzione di studiare qualcosa che
avesse a che fare con l'intelligenza artificiale. Così mi sono iscritto
al corso di laurea in fisica di Napoli (dove c'era l'indirizzo di cibernetica). La fisica vera e propria mi è poi piaciuta tanto che non ho più
perseguito la mia intenzione originaria e ho scelto invece l'indirizzo
riguardante la struttura della materia. Mi sono laureato (nel 1989)
con una tesi in ottica non lineare. Successivamente ho anche preso
il dottorato di ricerca in fisica (nel 1993), sempre a Napoli, e ho
compiuto studi post-dottorali per due anni all'Università della
California di Berkeley, negli Stati Uniti.
- Che lavoro svolge ora?
Sono professore associato di fisica della materia all'Università
"Federico II" di Napoli.
studi con cui era organizzata la laurea tradizionale in fisica era
molto ben congegnato, anche se era anche molto impegnativo. Forse
l'unica cosa che gli mancava era una maggiore apertura a studi interdisciplinari che oggi sempre più spesso sono quelli che presentano le
migliori opportunità.
- Perché le è piaciuta la fisica?
La fisica fornisce potenti strumenti mentali e concettuali con cui
possiamo comprendere tanti aspetti della realtà che ci circonda. E
l'immagine della realtà che ci viene fornita, ad esempio, dalla fisica
quantistica o dalla teoria della relatività è affascinante, misteriosa
e, soprattutto, tutt'altro che scontata. Ma anche la fisica delle "cose
di tutti i giorni" è divertente: capire perché le cose fanno quello che
fanno, dal motivo per cui dopo la pioggia appare l'arcobaleno al funzionamento di un lettore di CD, è sempre entusiasmante.
- Che ruolo hanno avuto gli studi nella sua esperienza lavorativa?
50
51
pubblicato più di cento articoli, ho due brevetti, sono referee di tre
riviste internazionali, relatore di una decina di tesi di laurea in
Fisica, tutor di svariati borsisti (alcuni provenienti dall'estero),
INTERVISTA A
PASQUALE MORMILE
responsabile scientifico di una ventina di progetti di ricerca regionali, nazionali ed europei, sono stato più volte invitato a scuole e congressi internazionali. Nonostante tutto questo continuo ad essere
per il mio Ente "ricercatore di fascia iniziale". Ciò mi ha causato non
piccole delusioni professionali che tuttavia sono riuscito comunque a
colmare grazie ad un'idea progettuale che proposi qualche anno fa a
Sviluppo Italia che vedeva la nascita di una nuova società (PolyEur srl
di Benevento) produttrice di film plastici fotoselettivi per l'agricoltura. Tale idea fu subito premiata con un finanziamento, attraverso
la Legge 44, di circa 3.000.000 Euro.Oggi La PolyEur è una realtà produttiva, che dopo la delicata fase di start-up, è in forte crescita vendendo i propri prodotti su tutto il territorio nazionale, ed è già presente in Europa e in nord Africa. E' stata un'impresa non facile, ma
- Che studi ha fatto e che ruolo hanno avuto nella sua esperienza
lavorativa ?
non impossibile, soprattutto grazie alla determinazione, all'impegno
ed alla passione che ci ho messo.
Mi sono laureato in Fisica nel 1980 presso l'Università di Napoli
"Federico II". Da studente ho avuto due grandi privilegi: sono stato
allievo del Prof. Ettore Pancini (di cui ho seguito un ottimo corso di
- E' stato più importante che il corso di laurea abbia fornito una
forma mentis o competenze specifiche?
Ottica) e ho svolto la mia tesi di laurea con il Prof. Enrico
Santamato. Queste due esperienze sono state assolutamente determinanti ed hanno costituito due punti di forza che mi hanno spianato la strada come ricercatore al CNR, dove dal 1984 svolgo la mia
attività di ricerca.
L'uno e l'altro. E' stato molto importante proporsi sul mercato del
lavoro con competenze specifiche. Conoscere pochi argomenti, ma
bene, a volte può essere determinante. Per questo motivo ritengo
che il periodo della tesi di laurea sia fondamentale perché si acquisiscono competenze ed esperienze utili per il mercato del lavoro. È
- Quale attività svolge attualmente?
Sono ricercatore di fascia iniziale presso l'ICIB-CNR di Pozzuoli e mi
occupo da sempre di ottica applicata e di materiali otticamente atti-
chiaro però che un buon corso di formazione scolastica ed universitaria aiuta a crearsi una forma mentis capace di proporsi ovunque.
Ad essa bisogna però associare concretezza e capacità di scelta al
fine di orientare i propri studi verso chiare esigenze del mercato del
vi (cristalli liquidi, PDLC, polimeri e nanocompositi) per la realizzazione di dispositivi elettro-ottici. In oltre venti anni di carriera, ho
52
lavoro.
53
- Quali progetti ha per il futuro ?
Ho in cantiere per questo anno la nascita di due nuove società. La IR
Tec, società che offrirà tecnologia IR nei settori più svariati come
l'edilizia, l'agricoltura, i beni culturali, l'industria e la medicina e la
PolyBio, società che produrrà materiali biodegradabili per l'agricoltura unici al mondo. Sto per brevettare un sistema per la sterilizzazione dei terreni. Riguardo la mia attività di ricerca, ci siamo dotati finalmente di un'apparecchiatura (Electro Beam Lithography) che
ci consentirà di lavorare su scala nanometrica per realizzare dispositivi fotonici.
54