grandezze magnetiche

Dispense di fisica, a cura del prof. Chirizzi Marco
ITIS “Ettore Majorana” Seriate ( Bg )
Solenoide
GRANDEZZE MAGNETICHE
Prof. Chirizzi Marco
www.elettrone.altervista.org
[email protected]
PREMESSA
La presente dispensa ha come obiettivo quello di garantire agli allievi del
corso di Fisica del biennio, ad indirizzo tecnico professionale, una
adeguata preparazione in vista della prova strutturata, che si svolgerà
nel mese di giugno, in occasione degli esami di qualifica. Come si potrà
notare, gli argomenti in questione non sono stati trattati in modo
esaustivo, data la vastità del programma di fisica dell’elettromagnetismo.
Si invitano, pertanto, gli alunni ad approfondire le tematiche proposte,
mediante la consultazione di libri di testo.
Prof. Chirizzi Marco
1
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1.1 Campo magnetico prodotto da un conduttore rettilineo
Un conduttore rettilineo percorso da corrente elettrica d’intensità I , genera nello
spazio circostante un campo magnetico la cui intensità è definita mediante il vettore
r
induzione magnetica B ( vedi figura 1 ).
Figura 1. Filo conduttore rettilineo percorso da corrente
r
Il valore che B assume in un punto P a distanza r dal filo conduttore si calcola
come segue:
r
µ⋅I
B =
2⋅ π ⋅ r
( 1.1 )
Il vettore induzione magnetica si misura in Tesla ( T ).
Il fattore µ prende il nome di permeabilità magnetica del mezzo, si misura in
Hanry
metro
H 
  e il suo valore dipende dal tipo di mezzo entro cui si sviluppa il
m
campo magnetico. La permeabilità del vuoto risulta essere:
µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7
H
m
( 1.2 )
2
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Tutti i materiali non ferromagnetici, compresa l’aria e i gas, presentano una
permeabilità magnetica circa uguale a quella del vuoto.
r
Le linee di forza di B sono delle circonferenze che giacciono su piani perpendicolari
al conduttore e hanno il centro nel punto di intersezione tra il piano ed il conduttore
r
stesso. Il verso di B si determina applicando la regola della mano destra oppure
ricorrendo a quella della vite destrorsa, che consiste nell’immaginare di avvitare una
vite, il cui avanzamento deve coincidere con il verso della corrente: il verso delle
r
linee di forza di B coinciderà con quello della rotazione della vite.
1.2 Forza prodotta dal campo magnetico su un filo
conduttore percorso da corrente elettrica
Un filo conduttore percorso da corrente elettrica di intensità I , sottoposto ad un
r
campo magnetico uniforme di intensità B , perpendicolare al conduttore stesso, è
r
soggetto ad una forza magnetica F , la cui intensità dipende dalla lunghezza della
parte di conduttore interessata al campo magnetico, dalla intensità della corrente e
dalla intensità del campo stesso ( vedi figura 2 ).
Figura 2. Filo conduttore percorso da corrente in un
campo magnetico uniforme
3
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In formula si ha:
r
r
F = B ⋅ I ⋅l
( 1.3 )
La direzione della forza è perpendicolare sia al vettore campo magnetico che alla
r
corrente. Il verso di F si determina applicando la regola della mano sinistra: il verso
del vettore forza è individuato dal pollice della mano sinistra disposta lungo il
conduttore secondo il verso della corrente, con le linee del campo magnetico entranti
nel palmo della mano. Se le linee di forza del campo magnetico non risultano
perpendicolari al filo conduttore, il modulo del vettore forza magnetica si calcola
come segue:
r
r
F = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sen α
r
dove α è l’angolo che il vettore induzione magnetica B ( che ipotizziamo
uniforme) forma con il conduttore.
1.3 Campo magnetico prodotto da una spira circolare
L’induzione del campo magnetico prodotto da una spira circolare percorsa da
corrente ( vedi figura 3 ), varia punto per punto ed assume il massimo valore al
centro della spira stessa.
Figura 3. Spira circolare percorsa da
corrente
4
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r
L’intensità massima di B si calcola come segue:
r µ⋅I
B =
2⋅r
( 1.4 )
dove r è il raggio della spira, I è l’intensità della corrente e µ è la permeabilità del
mezzo. Le linee di forza del campo magnetico sono circonferenze disposte su piani
perpendicolari al conduttore, non più paralleli tra loro come nel caso del conduttore
rettilineo. Il verso delle linee di forza si determina ancora con la regola della mano
destra. Il campo magnetico risulta tanto più intenso quanto maggiore è l’intensità
r
della corrente che percorre la spira e quanto minore è il raggio r . Il valore di B è,
inoltre, tanto più elevato quanto maggiore è la permeabilità µ del mezzo entro cui si
genera il campo stesso.
1.4 Campo magnetico prodotto da un solenoide
Per ottenere un solenoide, basta avvolgere del filo conduttore su un supporto
cilindrico di materiale isolante. Se percorso da corrente, il solenoide genera, un
campo magnetico, che lo si può ritenere costante all’interno del solenoide stesso. Le
r
linee di forza di B sono quelle riportate in figura 4.
Figura 4. Solenoide rettilineo percorso da corrente
Il campo magnetico all’interno del solenoide si calcola come segue:
5
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r µ⋅N ⋅I
B =
l
( 1.5 )
dove µ , N , I , l , sono rispettivamente la permeabilità magnetica del mezzo, il numero
di spire, l’intensità della corrente e la lunghezza del solenoide. Osservando la figura 5
si nota che la configurazione del campo magnetico è simile a quella generata da un
magnete permanente. Il polo nord ( N ) del campo corrisponde alla estremità del
solenoide da cui escono le linee di forza, mentre il polo sud ( S ) corrisponde all’altra
estremità. Dato che il verso delle linee di forza dipende da quello della corrente,
invertendo il verso di percorrenza della corrente si invertono le polarità del campo
magnetico. Se il filo conduttore viene avvolto attorno a un supporto chiuso su se
stesso, di forma circolare, si ottiene il solenoide toroidale ( vedi figura 5 ).
Figura 5. Solenoide toroidale
Quest’ultimo, se percorso da corrente, genera un campo magnetico le cui linee di
forza sono confinate all’interno delle spire. In questo caso, le polarità del campo
magnetico non si possono individuare, a meno che non si realizzi una apertura, detta
traferro, le cui estremità costituiranno il polo N e il polo S. L’intensità del campo
magnetico all’interno del solenoide toroidale si calcola nel seguente modo:
r µ⋅N ⋅I
B =
2 ⋅π ⋅ r
( 1.6 )
dove r è il raggio medio del toroide.
6
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1.5 Forza magnetomotrice e forza magnetizzante
Consideriamo la formula
r µ⋅N ⋅I
B =
( intensità del campo magnetico generato
l
da un solenoide rettilineo ), già analizzata nel precedente paragrafo. La quantità
N ⋅ I definisce la forma magnetomotrice Fm , intesa come la grandezza che produce
la magnetizzazione di un circuito magnetico. Essa ammette come unità di misura
ampere × numero spire ≡ Asp ( si legge amperspire ).
Il rapporto
Fm
definisce, invece, la forza magnetizzante H ( si misura in Asp/m ),
l
cioè la forza magnetomotrice per unità di lunghezza delle linee di forza. La formula
da cui siamo partiti assume la seguente forma funzionale:
r µ ⋅ Fm
r
B =
=µ⋅ H
l
( 1.7 )
dove l rappresenta la lunghezza della linea di forza sulla quale agisce la forza
r
magnetomotrice. La forza magnetizzante H non dipende dal tipo di materiale entro
r
cui si genera il campo magnetico, a differenza del vettore induzione magnetica B ,
che dipende dalla permeabilità µ . L’espressione ( 1.7 ) è stata ricavata considerando
un caso particolare ( solenoide rettilineo percorso da corrente ), ma in realtà ha
validità generale e rappresenta il legame esistente tra il vettore induzione magnetica e
r
r
la forza magnetizzante. Il rapporto tra i moduli B ed H dipende solo dal tipo di
materiale entro il quale agisce il campo magnetico.
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1.6
Classificazione
dei
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materiali
in
base
alla
permeabilità magnetica
Si definisce permeabilità
magnetica relativa µ r il rapporto tra la permeabilità
assoluta del materiale e quella del vuoto. In formula si ha.
µr =
µ
( quantità adimensionale )
µ0
( 1.8 )
In base al valore di µ r , si possono classificare i materiali magnetici.
I materiali che posseggono permeabilità relativa molto minore dell’unità ( µ << µ 0 ),
detti materiali diamagnetici, presentano, a parità di forza magnetizzante, bassa
attitudine a farsi magnetizzare. Ciò implica che il campo magnetico generato nel
materiale è meno intenso di quello che si avrebbe nel vuoto. Hanno tale
comportamento l’acqua, l’argento e il rame.
I materiali che posseggono permeabilità relativa poco superiore all’unità ( µ > µ 0 ),
detti materiali paramagnetici, presentano, a parità di forza magnetizzante, più alta
attitudine a farsi magnetizzare rispetto ai materiali diamagnetici, ma si oppongono
comunque alla magnetizzazione. Ciò implica che il campo magnetico generato nel
materiale è poco più intenso di quello che si avrebbe nel vuoto. I materiali che si
comportano in questo modo sono, per esempio, l’alluminio, il platino e l’aria.
I materiali che posseggono permeabilità relativa molto superiore all’unità ( µ >> µ 0 ),
detti materiali ferromagnetici, presentano, a parità di forza magnetizzante, più alta
attitudine a farsi magnetizzare rispetto ai materiali diamagnetici, ma si oppongono
comunque alla magnetizzazione. Ciò implica che il campo magnetico generato nel
materiale è di gran lunga più intenso di quello che si avrebbe nel vuoto. Il ferro è il
materiale maggiormente utilizzato per ottenere induzioni magnetiche molto elevate,
r
con valori relativamente bassi di H . Superata la temperatura di Curie ( circa 770 0 C ),
i materiali ferromagnetici perdono l’attitudine a farsi magnetizzare comportandosi
come paramagnetici.
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1.7 Flusso magnetico
r
Si consideri un campo magnetico di induzione B costante, con linee di forza
rettilinee e parallele, che attraversano perpendicolarmente una superficie, come
illustrato in figura 6.
Figura 6. Flusso magnetico relativo a una superficie perpendicolare alle linee di flusso.
r
Si definisce flusso magnetico φ ( B ) relativo alla superficie considerata, il prodotto tra
r
l’intensità del vettore induzione magnetica B e l’area della superficie S
perpendicolare alle linee di forza del campo. In formula si ha:
r
r
φ ( B) = B ⋅ S
( 1.9 )
L’unità di misura del flusso magnetico è il weber: 1 Weber = 1 Tesla ×1m 2 . Il flusso
magnetico è una grandezza che indica il numero di linee di flusso che attraversano
la superficie disposta perpendicolarmente alla loro direzione.
Se la superficie considerata non è perpendicolare alle linee di forza del campo, il
flusso magnetico si calcola come segue:
9
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r
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r
φ ( B ) = B ⋅ S ⋅ sen α
( 1.10 )
r
dove α è l’angolo che la superficie forma col vettore induzione magnetica B ( vedi
figura 7 ).
Figura 7. Flusso magnetico relativo a una superficie non
perpendicolare alle linee di flusso
1.8 Definizione di riluttanza e permeanza
Si consideri un circuito magnetico di forma toroidale ( figura 5 ), composto da un
materiale di permeabilità
µ,
con sezione S costante, perpendicolare alle linee di
forza del campo magnetico, e lunghezza media
l . Si supponga che sul circuito stesso
sia avvolto un induttore di N spire percorso da una corrente di intensità I . Il flusso
magnetico che attraversa la sezione
S
si calcola come segue:
Φ = B⋅S = µ ⋅H ⋅S = µ ⋅
dove
Fm
⋅S
l
( 1.11 )
H ed Fm sono rispettivamente la forza magnetizzante e la forza
magnetomotrice. La quantità
µ ⋅ S prende il nome di permeanza, che denotiamo con
l
la lettera
Ρ,
e dipende dalle proprietà fisiche e geometriche del materiale. Essa si
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misura in Henry ( simbolo H ). Il reciproco della permeanza definisce la riluttanza,
ossia:
ℜ=
1
l
=
P µ⋅S
la cui unità di misura è H −1 .
Riassumendo:
Ρ=
ℜ=
µ ⋅S
( 1.12 )
l
1
l
=
P µ⋅S
( 1.13 )
Φ = B ⋅ S = Fm ⋅ Ρ
Φ = B⋅S =
Fm
ℜ
( 1.14 )
( 1.15 )
Le equazioni ( 1.14 ) e ( 1.15 ) esprimono la legge di Hopkinson.
La riluttanza indica l’opposizione del materiale a farsi magnetizzare: quando
maggiore è il suo valore tanto più il materiale si oppone alla magnetizzazione.
la sezione S costante, diminuisce il flusso
ℜ , supponendo
Φ e quindi anche il campo magnetico B
prodotto da una data forza magnetomotrice
Fm .
Osservando, infatti, la relazione ( 1.15 ) si nota che all’aumentare di
1.9 Definizione di induttanza
Un filo conduttore avvolto su un supporto magnetico, non necessariamente
ferromagnetico ( per esempio l’aria ), prende il nome di induttore o bobina elettrica.
L’induttore è un componente elettrico caratterizzato da un parametro, detto
induttanza, il cui valore lo si indica con la lettera
corrente di intensità
L . L’induttore, quando percorso da
I , genera al suo interno un campo magnetico le cui linee di forza
si concatenano con le spire dell’induttore, come quelle illustrate in figura 4.
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La relazione
ΦC = N ⋅ Φ
( 1.16 )
dove N e Φ sono rispettivamente il numero di spire e il flusso magnetico, definisce
il flusso concatenato.
Il rapporto
L=
ΦC
I
( 1.17 )
definisce l’induttanza della bobina elettrica. L’unità di misura è l’henry ( H ).
Applicando la legge di Hopkinson possiamo scrivere:
Φ C N ⋅ Φ N ⋅ Ρ ⋅ Fm N ⋅ P ⋅ N ⋅ I
N2
2
L=
=
=
=
= N ⋅P =
I
I
I
I
ℜ
Sostituendo l’espressione della permeanza si ha:
N2 ⋅µ ⋅S
L=
l
( 1.18 )
La ( 1.18 ) mostra che l’induttanza è costante se lo è la permeabilità magnetica del
materiale su cui è avvolto l’induttore. Notiamo, inoltre, che l’induttanza aumenta con
il numero di spire e con la sezione S, mentre diminuisce all’aumentare della
lunghezza
l della bobina.
L’induttanza complessiva di due o più induttori collegati in serie ( figura 8 ) si
calcola effettuando la somma delle induttanze:
Lserie = L1 + L 2 + ... + L n
( 1.19 )
Figura 8. Induttori collegati in serie.
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Figura 9. Induttori collegati in parallelo
L’induttanza complessiva di due o più induttori collegati in parallelo ( figura 9) si
calcola utilizzando la seguente relazione:
L parallelo =
1
1 1 1
1
+ + + ... +
L1 L2 L3
Ln
( 1.20 )
1.10 Energia del campo magnetico
Il grafico riportato in figura 10 rappresenta l’andamento lineare del flusso
ϕc
concatenato con le spire di un induttore avente induttanza L costante, in funzione
della corrente
i che percorre l’induttore stesso.
Figura 3. Andamento lineare del flusso concatenato in funzione della corrente magnetizzante.
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L’area del triangolo ABC rappresenta l’energia magnetica W immagazzinata
dall’induttore. Se la corrente
i
varia da zero al valore finale I , il flusso concatenato
varia da zero al valore finale Φ C = L ⋅ I e l’energia W si calcola come segue:
W=
AB × BC I ⋅ Φ C I ⋅ L ⋅ I 1
=
=
= ⋅ L ⋅ I 2 ( joule )
2
2
2
2
( 1.21 )
In definitiva, l’energia immagazzinata da una bobina dipende dall’induttanza L e dal
quadrato della corrente che la percorre.
Ricordando che Φ C = N ⋅ Φ ,
Fm = N ⋅ I , si possono ricavare altre due espressioni
utili per il calcolo dell’energia magnetica immagazzinata, ossia:
W=
ΦC ⋅ I N ⋅ Φ ⋅ I
=
2
2
⇒ W=
Φ ⋅ Fm
2
Φ ⋅ Fm ℜ ⋅ Φ ⋅ Φ
1 2
1 Φ2
W=
=
⇒ W = ⋅Φ ⋅ℜ = ⋅
2
2
2
2 Ρ
( 1.22 )
( 1.23 )
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