Elettronica – Circuiti nel dominio del tempo
Valentino Liberali
Dipartimento di Fisica
Università degli Studi di Milano
[email protected]
Elettronica – Circuiti nel dominio del tempo – 14 aprile 2011
Valentino Liberali (UniMI)
Elettronica – Circuiti nel dominio del tempo – 14 aprile 2011
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Elettronica – Circuiti nel dominio del tempo – 14 aprile 2011
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Contenuto
1
Segnali nel dominio del tempo
2
Segnali analogici e segnali digitali
3
Segnali periodici: periodo e frequenza
4
Valor medio e valore efficace
5
Energia interna di un bipolo
6
Potenza istantanea
7
Capacità
8
Induttanza
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1
Programma – parte 3
3
Analisi di circuiti nel dominio del tempo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Segnali analogici e segnali digitali.
Segnali continui e segnali campionati.
Segnali periodici; periodo e frequenza.
Condensatore.
Induttore.
Energia immagazzinata.
Potenza istantanea e potenza media.
Analisi nel dominio del tempo.
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Segnali nel dominio del tempo
Una grandezza elettrica che varia nel tempo secondo una legge determinata
costituisce un segnale.
I segnali possono essere di tensione oppure di corrente, a seconda che la grandezza
elettrica che ci interessa sia una tensione o una corrente.
Per esprimere in modo esplicito la dipendenza dal tempo, scriviamo:
v (t) per un segnale di tensione
i(t) per un segnale di corrente
Talvolta la dipendenza dal tempo viene sottintesa; il carattere minuscolo indica
comunque che si tratta di una grandezza variabile nel tempo.
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Convenzioni tipografiche
tipo di carattere
Maiuscolo,
pedice Maiuscolo
minuscolo,
pedice Maiuscolo
minuscolo,
pedice minuscolo
significato
Valore in continua
(punto di lavoro)
Valore istantaneo
(funzione del tempo)
Segnale
(valore istantaneo – continua)
esempio
VB , IC
vB , iC
vb , ic
v
VB
vb(t)
vB(t)
0
t
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vB (t) = VB + vb (t)
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Segnali analogici e segnali digitali
Un segnale è analogico quando il suo contenuto di informazione varia con
continuità, potendo assumere un’infinità di valori possibili (entro un certo
intervallo).
Un segnale è digitale quando il suo contenuto di informazione varia in modo
discreto (cioè a passi), potendo assumere soltanto un numero finito di valori
possibili.
Il segnale digitale più semplice è il segnale binario, che può assumerre solo i valori
0 (zero) e 1 (uno), che in genere corrispondono ai valori “bassi” e “alti” di una
grandezza fisica variabile con continuità.
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Segnali continui e segnali campionati
Un segnale è continuo nel tempo quando il suo valore può cambiare in qualsiasi
istante.
Un segnale è campionato quando il suo valore cambia solo in istanti prestabiliti,
in sincronia con un segnale di temporizzazione (“clock”), e il valore viene
mantenuto costante fino al successivo evento di temporizzazione.
v
segnale continuo
segnale campionato
0
Ts
t
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Segnali periodici
Un segnale è periodico quando si ripete identicamente dopo un intervallo di
tempo T , detto periodo:
x(t + T ) = x(t), ∀t
L’inverso del periodo è la frequenza: f =
1
T
Dimensionalmente, la frequenza è l’inverso di un tempo e si misura in hertz (Hz).
Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità angolare ω dalla
relazione: ω = 2πf . La velocità angolare si misura in radianti al secondo (rad/s).
Poiché l’angolo giro è pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s.
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Esempi di segnali periodici (1/3)
v
VA
VA
2VA
0
t
T
Una sinusoide analiticamente può essere espressa come:
v (t) = VA sin 2πft
con f =
1
T
Il valore di picco dell’ampiezza è VA ; il valore picco-picco, cioè la differenza tra il
massimo e il minimo, è 2VA .
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Esempi di segnali periodici (2/3)
v
VA
0
T
t
Un esempio di onda quadra è costituito dal segnale di clock di un sistema digitale
sincrono.
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Esempi di segnali periodici (3/3)
v
VA
0
tr
t
T
tf
Nella realtà l’onda quadra ideale non esiste; un’approssimazione più adeguata del
segnale di clock di un sistema digitale sincrono è costituito dall’onda
trapezoidale, avente tempi di salita (tr , “rise time”) e di discesa (tf , “fall time”)
diversi da zero.
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Valor medio e valore efficace
Il valor medio Vm di un segnale periodico è:
1
Vm =
T
Z
T
v (t) dt
0
Il valore efficace o valore quadratico medio o valore rms (“root-mean-square”)
Vrms di un segnale periodico è:
s
Z
1 T
(v (t))2 dt
Vrms =
T 0
Il valore efficace ha questo nome perchè, se viene applicata una continua con
questo valore ai capi di una resistenza, si produce IN MEDIA la stessa dissipazione
di potenza del segnale variabile v (t) applicato alla stessa resistenza.
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Esercizi (I)
1. Calcolare il valore efficace di un segnale di tensione sinusoidale avente valore di
picco VA .
Soluzione: Applicando la definizione, si ha:
s
s
¶2
Z
Z µ
1 T
1 T
2πt
2
Vrms =
VA sin
(v (t)) dt =
dt =
T 0
T 0
T
s
s
¶
µ
Z T
Z
1 1
4πt
1
1 T 1
dt = VA
− cos
dt =
VA2
=
T 0
2 2
T
T 0 2
r
VA
1T
=√
= VA
T 2
2
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Esercizi (II)
2. Calcolare il valore di picco della tensione della rete elettrica, che ha un valore
efficace Vrms = 230 V.
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Leggi per grandezze variabili nel tempo
R
+
-
i(t)
v(t)
La legge di Ohm per grandezze variabili nel tempo è:
v (t) = Ri(t)
La corrente è legata alla carica elettrica dalla relazione:
i(t) =
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dq(t)
dt
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Energia interna di un bipolo
Esistono elementi circuitali il cui comportamento non dipende solo dal valore
istantaneo delle grandezze elettriche, ma anche dai valori assunti in precedenza.
Questi elementi circuitali hanno “memoria”, cioè mantengono al loro interno
un’informazione legata al loro funzionamento passato.
L’informazione è fisicamente immagazzinata sotto forma di energia variabile nel
tempo w (t).
L’energia assorbita da un bipolo all’istante t è:
Z t
p(t) dt =
w (t) =
−∞
t
=
Z
p(t) dt + w (0)
0
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Potenza istantanea
L’espressione della potenza assorbita da un bipolo qualsiasi è data dal prodotto
della tensione per la corrente. Esplicitando la dipendenza dal tempo:
p(t) = v (t)i(t)
Quando la potenza varia nel tempo, si parla di potenza istantanea.
La potenza istantanea p(t) può essere positiva o negativa:
è positiva quando aumenta l’energia immagazzinata nel bipolo,
è negativa quando l’energia immagazzinata diminuisce.
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Condensatore (1/6)
i(t)
+
v(t)
C
Il condensatore (in inglese: “capacitor”) è costituito da due superfici metalliche
parallele separate da un isolante. La carica immagazzinata è proporzionale alla
tensione applicata: q(t) = Cv (t).
La costante C è la capacità del condensatore, che si misura in farad (F): 1 F = 1
C/1V
Il farad è un’unità di misura molto grande; di solito si usano i suoi sottomultipli:
µF, nF, pF e fF.
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Capacità (2/6)
S
d
Per un condensatore a facce piane e parallele, aventi area S e distanza d, fra le
quali è interposto un materiale isolante con costante dielettrica ε, la capacità C è:
C=
εS
d
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Condensatore (3/6)
i(t)
+
v(t)
C
Dalle due equazioni q(t) = Cv (t) e i(t) =
i(t) = C
dq(t)
dt
si ottiene:
dv (t)
dt
Nel condensatore la corrente è proporzionale alla derivata della tensione.
Se la tensione è costante, la derivata è nulla e non passa corrente
−→ per la continua il condensatore si comporta come un circuito aperto.
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Condensatore (4/6)
Invertendo l’equazione i(t) = C dvdt(t)
si ricava che in un condensatore la tensione è proporzionale all’integrale della
corrente:
Z
1 t
i(t)dt + v (0)
v (t) =
C 0
La tensione v (0) (che matematicamente rappresenta la costante di integrazione) è
la condizione iniziale:
v (0) = v (t = 0)
In SPICE la condizione iniziale è specificata con il parametro IC (“initial
condition”).
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Condensatore (5/6)
L’energia immagazzinata in un condensatore è:
w (t) =
1
C (v (t))2
2
Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere:
w=
1 2
Cv
2
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Condensatore (6/6)
Si vede facilmente che derivando l’energia si ottiene la potenza istantanea:
p(t) =
dv (t)
dw (t)
= Cv (t)
dt
dt
L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita) quando il valore assoluto
della tensione ai capi del condensatore aumenta; l’energia diminuisce (e quindi la
potenza viene erogata) quando il valore assoluto della tensione ai capi del
condensatore diminuisce.
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Esercizio (III)
Un generatore di tensione sinusoidale di ampiezza VA = 1 V e frequenza
f = 1 kHz è collegato ad un condensatore di capacità C = 1 nF. Calcolare la
corrente nel condensatore.
Soluzione: L’espressione della tensione del generatore è:
v (t) = VA sin 2πft
La stessa tensione è applicata ai capi del consensatore. La corrente è data da:
i(t) = C
dv (t)
= 2πfCVA cos 2πft
dt
La corrente ha un andamento cosinusoidale, con ampiezza
IA = 2πfCVA = 6.28 µA e frequenza f = 1 kHz.
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Dispositivo: accelerometro (1/5)
L’accelerometro è un sensore che fornisce in uscita una tensione che dipende
dall’accelerazione a cui è sottoposto.
Appartiene alla categoria dei MEMS (= Micro-ElectroMechanichal Systems),
che sono dispositivi utilizzati per convertire grandezze fisiche in grandezze
elettriche e viceversa.
I MEMS possono essere costruiti su silicio, con processo di fabbricazione CMOS +
“micromachining” per creare cavità o strutture sospese.
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Dispositivo: accelerometro (2/5)
Vista 3D; in arancione la massa sospesa
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Dispositivo: accelerometro (3/5)
a
1
5
1
5
2
6
2
6
3
7
3
7
4
8
4
8
senza accelerazione
con accelerazione a
Elettrodi fissi in azzurro: A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8}
La massa inerziale sospesa, sottoposta ad accelerazione, deforma gli anelli e si
sposta.
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Dispositivo: accelerometro (4/5)
A
A
d
CA
d+x
d
CB
d-x
CA
CB
B
B
senza accelerazione
a=0
CA = CB = εS
d
con accelerazione a
ma = kx
εS
CA = d+x
εS
CB = d−x
Elettrodi fissi: A = {1, 3, 5, 7}; B = {2, 4, 6, 8}
k è la costante elastica della molla costituita dai due anelli.
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Dispositivo: accelerometro (5/5)
VA
VA
buffer
demod.
VB
Si applicano due tensioni alternate opposte ai terminali fissi e si demodula (con un
moltiplicatore) la tensione letta alla massa sospesa. Si ottiene una tensione che
dipende dallo spostamento x (e quindi dall’accelerazione a).
Per misurare un’accelerazione con direzione qualsiasi, occorrono tre accelerometri
disposti perpendicolarmente lungo le direzioni dei tre assi cartesiani ortogonali.
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Induttanza (1/6)
i(t)
+
v(t)
L
L’induttore (in inglese: “inductor”) è costituito da un filo avvolto a spirale
(solenoide).
All’interno dell’avvolgimento si ha un flusso magnetico Φ proporzionale alla
corrente nel filo: Φ(t) = Li(t). Il flusso magnetico Φ si misura in weber (Wb): 1
2
Wb = 1 mA·s·kg
2 .
La costante L è l’induttanza dell’induttore, che si misura in henry (H): 1 H = 1
Wb / 1 A
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Induttanza (2/6)
i(t)
+
v(t)
L
Una variazione nel tempo del flusso magnetico produce una differenza di
potenziale ai capi dell’induttore (legge di Faraday-Henry): v (t) = dΦ(t)
dt
Combinando le due equazioni: Φ(t) = Li(t) e v (t) = dΦ(t)
dt
si ottiene:
di(t)
v (t) = L
dt
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Induttanza (3/6)
i(t)
+
v(t)
L
di(t)
dt
La tensione è proporzionale alla derivata della corrente.
Se la corrente è costante, la derivata è nulla e non c’è tensione ai capi del bipolo
−→ per la continua l’induttore si comporta come un cortocircuito.
v (t) = L
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32 / 35
Induttanza (4/6)
Invertendo l’equazione v (t) = L di(t)
dt
si ricava che in un induttore la corrente è proporzionale all’integrale della tensione:
Z
1 t
v (t)dt + i(0)
i(t) =
L 0
La corrente i(0) (che matematicamente rappresenta la costante di integrazione) è
la condizione iniziale:
i(0) = i(t = 0)
In SPICE la condizione iniziale è specificata con il parametro IC (“initial
condition”) anche per l’induttanza.
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Induttanza (5/6)
L’energia immagazzinata in un induttore è:
1
L(i(t))2
2
w (t) =
Per semplicità, sottintendendo t, possiamo scrivere:
w=
1 2
Li
2
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Induttanza (6/6)
Derivando l’energia, si ottiene la potenza istantanea:
p(t) =
di(t)
dw (t)
= Li(t)
dt
dt
L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita) quando il valore assoluto
della corrente nell’induttanza aumenta; l’energia diminuisce (e quindi la potenza
viene erogata) quando il valore assoluto della corrente nell’induttanza diminuisce.
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