Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Banda di un segnale

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
2 - SEGNALI E SPETTRI
Prof. Mario Barbera
[parte 3]
1
Fondamenti di TLC - Prof. M. Barbera
Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
2 - Segnali e spettri [parte 3]
Banda di un segnale
„
Definizione di banda di un segnale:
„
BANDA ASSOLUTA di un segnale rigorosamente limitato in banda:
B = f 2 − f1
(
20 log10 1
)
„
BANDA A –3 dB:
B = f 2 − f1
2 = −3
„
 W ( f ) = 0 per f < f1 e f > f 2

 W ( f ) > 0 per f1 ≤ f ≤ f 2
dove
1

 W ( f ) < 2 max{W ( f ) } per f < f1 e f > f 2

1
W ( f ) ≥
max{W ( f ) } per f1 ≤ f ≤ f 2

2
dove
BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):
W( f )
B
f
2
1
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Banda di un segnale
„
Definizione di banda di un segnale:
„
BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda):
B = f 2 − f1
„
BANDA A –x dB:
B = f 2 − f1
„
 W ( f ) < x dB del max{W ( f ) } per f < f1 e f > f 2

 W ( f ) ≥ x dB del max{W ( f ) } per f1 ≤ f ≤ f 2
BANDA AL 99%:
B = f 2 − f1
dove f1 e f2 delimitano l’intervallo in cui viene a
trovarsi il 99% della potenza totale del segnale
3
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Sistemi lineari
„
Un sistema è:
„
„
lineare quando vale il principio di sovrapposizione degli effetti
stazionario se, per qualsiasi ingresso ritardato x(t-t0), l’uscita è
ritardata della stessa quantità, cioè y(t-t0). In altre parole la forma
della risposta del sistema non dipende dall’istante in cui viene
applicato l’ingresso.
4
2
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Risposta impulsiva
„
I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla
conoscenza della risposta impulsiva:
Se x(t ) = δ (t ) ⇒
„
Si può usare la risposta impulsiva per ricavare la
risposta del sistema a un qualunque ingresso:
y (t ) = ∫
+∞
x(τ )h(t − τ )dτ = ( x * h )(t )
−∞
„
y (t ) = h(t )
Risposta in frequenza:
Y( f ) = X ( f ) H( f )
H( f ) =
Y( f )
X(f )
Funzione di trasferimento
del sistema
5
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Misura della risposta impulsiva
Spettro della risposta a un segnale periodico
„
Si può utilizzare un segnale di prova sinusoidale, la cui
frequenza è fatta variare sulla banda di interesse
Ingresso
Uscita
x(t ) = A cos ω 0t
y (t ) = A H ( f 0 ) cos(ω 0 t + θ H ( f 0 ) )
MODULO
„
FASE
Spettro della risposta impulsiva ad un segnale periodico
Ingresso
X(f ) =
+∞
∑
n = −∞
cn δ ( f − n f 0 )
Uscita
Y( f ) =
+∞
∑
n = −∞
cn H (n f 0 )δ ( f − n f 0 )
per il teorema della linearità
6
3
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Relazione DSP ingresso - DSP uscita
Y( f ) = X ( f ) H( f )
 Y (f)2 

P y ( f ) ≡ lim T
T →∞
 T 
„
 X (f)2 
2
 = H ( f ) 2 ⋅ P x ( f )
P y ( f ) ≡ H ( f ) ⋅ lim T
T →∞
T


Quindi abbiamo:
DSP in uscita
Risposta in potenza
2
P y ( f ) = H ( f ) ⋅ Px ( f )
Gh ( f ) =
Py ( f )
Px ( f )
= H( f )
2
Guadagno di potenza
GdB = 10 log10
PY
= 10 log10
PX
∫
∫
+∞
-∞
+∞
-∞
P y ( f ) df
P x ( f ) df
7
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Filtro RC passa-basso
8
4
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Filtro RC passa-basso
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Filtro RC passa-basso
Gh ( f ) =
Py ( f )
Px ( f )
2
= H ( f ) (2-143)
10
5
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Filtro RC passa-basso
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Trasmissione senza distorsione
„
Canale di comunicazione ideale:
„
„
„
canale che non introduce distorsione
cioè, se il segnale all’uscita del canale è una versione ritardata
dell’ingresso
Condizioni equivalenti di assenza di distorsione:
 y (t ) = A x(t − Tˆd )


− j 2πfTˆd
Y ( f ) = A X ( f ) e

 H ( f ) = A e − j 2πfTˆd

non c’è distorsione di
H ( f ) = costante ampiezza
θ H ( f ) = −2πfTˆd
non c’è distorsione di fase
(fase lineare con la
frequenza)
12
6
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Distorsioni introdotte dal filtro RC passabasso
Risposta in ampiezza
H( f ) =
1
1 + ( f f0 )
2
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Distorsioni introdotte dal filtro RC passabasso
Risposta di fase
θ ( f ) = θ H ( f ) = − tan −1 ( f f 0 )
14
7
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Distorsioni introdotte dal filtro RC passabasso
θ
= −2πfTˆ
H( f )
Possiamo allora calcolare il ritardo di fase del filtro:
lim
f →0
Td ( f ) =
1
tan −1 ( f f 0 )
2πf
1
1
 f 
tan −1   =
2π f
 f 0  2π f0
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d
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Ulteriori considerazioni
„
„
„
„
Tuttavia, se il segnale in ingresso al filtro possiede componenti
frequenziali rilevanti solo in una banda di frequenza inferiore a
0.5f0
lo scarto nella risposta in ampiezza rispetto al caso di non
distorsione è inferiore a 0.5 dB
lo scarto nella risposta in fase rispetto al caso di non distorsione
è inferiore a 2.1°
il ritardo è pari a circa 1/(2πf0)
Es.: se f 0 = 1 kHz ⇒ ritardo = 0.16 ms
„
il filtro introduce una DISTORSIONE TRASCURABILE
16
8
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Periodicizzazione e
formule di somma di Poisson
„
„
Consideriamo un segnale aperiodico x(t)
Costruiamo il segnale periodico y(t) di periodo T0 secondo
la relazione di periodicizzazione
+∞
y(t ) =
∑
n = −∞
„
x(t − nT0 )
Sviluppiamo in serie di Fourier il segnale y(t):
+∞
1
y(t ) = ∑ Yk e j 2πkf 0t dove : f 0 =
T
0
k = −∞
1 T0 2
Yk = ∫
y (t )e − j 2πkf 0t dt
T0 −T0 2
per quanto dimostrato prima
Yk = f 0 X (k f 0 )
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Prima formula di somma di Poisson
y(t ) =
+∞
∑
n = −∞
+∞
∑
n = −∞
x(t − nT0 )
x(t − nT0 ) =
+∞
∑
k = −∞
y(t ) =
+∞
∑
k = −∞
f 0 X (k f 0 ) e j 2πkf 0t
Yk = f 0 X (k f 0 )
Yk e j 2πkf 0t
Prima formula di somma
di Poisson
Notiamo che:
Se campioniamo lo spettro di un segnale con periodo f0, otteniamo:
+∞
Wˆ ( f ) = W ( f ) ⋅ ∑ δ ( f − kf 0 )
k =−∞
La sua antitrasformata è:
+∞
+∞
+∞
wˆ (t ) = ∫ Wˆ ( f ) e j 2πft df = ∫ W ( f ) ⋅ ∑ δ ( f − kf 0 ) e j 2πft df =
−∞
=
−∞
∑ [W ( f ) e ]
+∞
k =−∞
j 2πft
f =kf0
=
+∞
k = −∞
∑ W (kf ) e
0
k =−∞
∑ ∫ (W ( f ) e )⋅ δ ( f − kf ) df
+∞
k =−∞
+∞
−∞
j 2πft
0
=
j 2πkf0t
18
9
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Prima formula di somma di Poisson
+∞
Dunque:
∑
n = −∞
ℑ
x(t )
x(t − nT0 ) = f 0
+∞
∑
k = −∞
X (k f 0 ) e j 2πkf 0t
X( f )
Campionando lo spettro
xˆ (t ) =
+∞
∑
k = −∞
ℑ−1
X (kf 0 ) e j 2πkf0t
Xˆ ( f ) = X ( f ) ⋅
∑ δ ( f − kf )
0
k = −∞
ℑ
1
f0
+∞
+∞
∑ x(t − nT )
0
n = −∞
Prima formula di somma di Poisson
Lo spettro di un segnale
replicato nel tempo è uguale al
campionamento dello spettro
del segnale stesso, moltiplicato
per f0
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Seconda formula di somma di Poisson
+∞
∑
n = −∞
x(t − nT0 ) =
+∞
∑
k = −∞
f 0 X (k f 0 ) e j 2πkf 0t
Prima formula di somma di Poisson
Applicando il teorema di dualità alla prima formula di Poisson:
+∞
∑
n = −∞
X (t − nT0 ) =
+∞
∑
k = −∞
f 0 x( −k f 0 ) e j 2πkf 0t =
+∞
∑
k = −∞
k → −k
+∞
1 +∞
⋅ ∑ X (t − n Ts ) = ∑ x(k Ts ) e − j 2π k Ts t
Ts n = −∞
k = −∞
+∞
∑
n = −∞
x (n Ts ) e − j 2πn Ts f =
1 +∞
⋅ ∑ X ( f − k Ts )
Ts k =−∞
f 0 x( k f 0 ) e − j 2πkf 0t
t→ f
k↔n
f 0 = 1 T0 → Ts
Seconda formula di
somma di Poisson
Lo spettro di una sequenza ottenuta per campionamento si ricava come
periodicizzazione della trasformata del segnale analogico di partenza con un
periodo di ripetizione pari alla frequenza di campionamento, per Ts
20
10
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Formule di somma di Poisson
REPLICA NEL TEMPO causa CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA
+∞
∑
n = −∞
x(t − nT0 ) =
+∞
∑
k = −∞
Prima formula di
somma di Poisson
f 0 X (k f 0 ) e j 2πkf 0t
CAMPIONAMENTO NEL TEMPO causa REPLICHE IN FREQUENZA
+∞
∑
n = −∞
x (n Ts ) e − j 2πn Ts f =
1 +∞
⋅ ∑ X ( f − k Ts )
Ts k =−∞
Seconda formula di
somma di Poisson
21
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Campionamento ideale di un segnale
„
Segnale campionamento ideale del segnale w(t):
wδ (t ) =
„
+∞
∑ w(n T ) ⋅ δ (t − n T )
n = −∞
s
s
Segnale ottenuto campionando
un segnale analogico con un
treno di impulsi delta di Dirac
Il campionamento ideale è schematizzabile come il
prodotto del segnale analogico per il treno di delta di Dirac
wδ (t ) = w(t ) ⋅
+∞
∑ δ (t − n T )
s
n = −∞
Segnale pettine: treno di impulsi di Dirac
~
δ T (t ) =
s
+∞
∑ δ (t − nT )
n = −∞
s
22
11
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Campionamento ideale di un segnale
wδ (t )
w(t )
w(t )
s
s
s
s
wδ (t )
s
23
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Spettro del segnale campionato con
campionamento ideale
Sviluppo in serie di Fourier del Pettine
wδ (t ) = w(t ) ⋅
+∞
+∞
n = −∞
s
wδ (t ) = w(t ) ⋅
„
+∞
∑ δ (t − n T ) ∑ δ (t − n T ) = ∑
s
n = −∞
+∞
∑
n = −∞
n = −∞
1 jnω s t
e
Ts
1 jnω s t
e
Ts
Calcoliamo la trasformata di Fourier:
[(
)]
 +∞
1
   +∞
  1
jnω t
Wδ ( f ) =  W ( f ) * ℑ ∑ e jnω s t  =  W ( f ) * ∑ ℑ e s =
   Ts
 n = −∞
 Ts
   n = −∞
1
 +∞
=  W ( f ) * ∑ δ ( f − nf s )
 Ts
 n = −∞
Wδ ( f ) =
1
Ts
+∞
∑ W ( f − nf )
n = −∞
s
Stesso risultato della seconda formula di Poisson
24
12
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Spettro del segnale campionato con
campionamento ideale
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Segnali a banda limitata
Definizione: un segnale è a banda rigorosamente limitata se:
„
W ( f ) = 0 per f ≥ B
dove B è la banda del segnale
Definizione: un segnale è a durata rigorosamente limitata
T se:
„
∃t 0 tale che : w(t ) = 0 per t ∉ [t 0 , t 0 + T ]
„
Teorema:
„
„
un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATA
un segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA
26
13
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Banda limitata in frequenza
Durata limitata nel tempo
„
Osserviamo che:
„
„
La Banda di un segnale si misura solo sulle frequenze
positive
La Durata di un segnale si misura su tutto l’asse
temporale
w(t )
−T 2
W( f )
T 2
t
−B
Segnale di durata T
f
B
Segnale di banda B
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Spettro del segnale campionato con
campionamento ideale
1
Wδ ( f ) =
+∞
Ts
∑ W ( f − nf )
s
n = −∞
Dunque lo spettro del segnale campionato idealmente è costituito da
repliche dello spettro di w(t), traslate in frequenza di k fs=k/Ts, e scalate
in ampiezza secondo il fattore 1/Ts
W( f )
1 Ts
fs
Wδ ( f )
fs
fs
fs
fs
Banda di guardia: BG=fs-2B
1 Ts
fs
Wδ ( f )
1 Ts
fs
fs
fs
Wδ ( f )
fs
fs
28
14
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Campionamento ed errore di aliasing
f s ≥ 2B
f s < 2B
Aliasing:
errore su una replica dello spettro
causato dalla presenza delle altre
repliche
Aliasing
29
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Campionamento ed errore di aliasing
„
Riassumendo:
„
„
„
„
„
lo spettro del segnale campionato è la ripetizione, ogni fs Hz, dello
spettro del segnale non campionato
il campionamento potrebbe essere utilizzato per traslare lo spettro
di un segnale attorno a un’armonica della frequenza di
campionamento
se fs ≥2B le repliche degli spettri non si sovrappongono; sarà così
possibile ricostruire il segnale a destinazione con un filtro
opportuno
se fs <2B il segnale è sottocampionato; si avrà una sovrapposizione
delle repliche, detta aliasing
l’aliasing può essere contenuto pre-filtrando il segnale originario
prima del campionamento, con un filtro anti-aliasing
30
15
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Campionamento ed errore di aliasing
Condizione di Nyquist
Se un segnale è a banda rigorosamente limitata, pari a B, il segnale
campionato non presenta aliasing [distorsione dovuta alla periodicizzazione
dello spettro] se:
f s ≥ 2B
dove:
f s = 1 Ts
31
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Teorema del campionamento
„
Teorema:
„
un segnale w(t) a banda rigorosamente limitata, B, può
essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni,
purchè la frequenza di campionamento sia
f s ≥ 2B
„
Condizione di Nyquist
Dimostrazione:
„
„
nel dominio della frequenza
nel dominio del tempo
32
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Teorema del campionamento
„
Ricostruzione nel dominio della frequenza:
„
il segnale analogico può essere esattamente ricostruito dalla sua
versione campionata, utilizzando un filtro passabasso ideale
(filtro interpolatore):
Wδ ( f )
Ts
fs
1 Ts
 f 
 f 
 = Ts ⋅ Π  
H r ( f ) = Ts ⋅ Π 
2B
 fs 
Wδ ( f )
fs
W( f )
Hr ( f )
fs
fs
W ( f ) = Wδ ( f ) ⋅ H r ( f )
fs
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Teorema del campionamento
„
Ricostruzione nel dominio del tempo:
Wδ ( f )
Abbiamo visto che:
wδ (t ) =
Hr ( f )
W( f )
 f 
 f 
 = Ts ⋅ Π 
H r ( f ) = Ts ⋅ Π 
2
B


 fs 
+∞
∑ w(n T ) ⋅ δ (t − n T )
n = −∞
s
s
 t
hr (t ) = sinc(2 B t ) = sinc
 Ts
w(t ) = (wδ * hr )(t ) =
+∞
∑
n = −∞
(segnale di ingresso: treno di impulsi)

 (risposta all’impulso del filtro passabasso ideale)

 t − nTs 

w(n Ts ) ⋅ sinc
 Ts 
Formula di
interpolazione
cardinale
34
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Interpolazione di una sequenza
„
Interpolazione di una sequenza:
„
ricostruzione di un segnale tempo-continuo a
partire da una sequenza
s
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Interpolazione di una sequenza
„
La ricostruzione di un segnale tempo-continuo a partire da una
sequenza viene realizzata tramite un interpolatore
wˆ (t ) =
+∞
∑
n = −∞
„
w[n] ⋅ p(t − nTs )
dove:
Trasformando ambo i membri otteniamo:
Wˆ ( f ) =
+∞
∑
+∞
n = −∞
w[n] ⋅ P( f ) e − j 2π n Ts f = P( f ) ∑ w[n] ⋅ e − j 2π nTs f
n = −∞
= P( f )
qualunque sia l’interpolatore
+∞
∑
n = −∞
w[n] = w(nTs )
x(n Ts ) e − j 2πnTs f =
1 +∞
⋅ ∑ X ( f − k Ts )
Ts k =−∞
1 +∞
⋅ ∑ W ( f − k Ts )
Ts k = −∞
Seconda formula di
somma di Poisson
36
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Interpolazione di una sequenza
s
Interpolazione a mantenimento
s
s
s
s
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s
s
s
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Interpolazione a mantenimento
„
Interpolazione a mantenimento (Sample & Hold):
 t − Ts 2 
p(t ) = Π 
 Impulso rettangolare
 Ts 
s
In questo caso il segnale ricostruito è una replica distorta del segnale
originale. Infatti:
  t − Ts 2 
P( f ) = ℑΠ
 = Ts sinc( fTs ) ⋅ e − jπfTs
  Ts 
1 +∞
Wˆ ( f ) = P( f ) ⋅ ∑ W ( f − k Ts )
Ts k = −∞
Wˆ ( f ) = sinc( f Ts ) ⋅ e − j π Ts f
+∞

k

s 
∑ W  f − T
k =−∞
38
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Interpolazione a mantenimento
„
Lo spettro del segnale ricostruito differisce
apprezzabilmente da quello del segnale
analogico di partenza in due aspetti
fondamentali:
„
„
il segnale interpolato non è limitato in banda
anche la replica principale dello spettro del segnale
ricostruito differisce dallo spettro del segnale di partenza
(distorsione di ampiezza)
Wˆ ( f ) = sinc( f Ts ) ⋅ e − jπ Ts f
+∞

k
 ⇒ sinc( f Ts ) ⋅ e − jπ Ts f W ( f )
s 
∑ W  f − T
k =−∞
−
Distorsione di
ampiezza
1
1
≤ f ≤
2Ts
2Ts
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Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
2 - Segnali e spettri [parte 3]
Interpolazione cardinale
„
Si deve allora scegliere l’impulso interpolante in modo che la
sua trasformata sia costante nell’intervallo [-1/2T, 1/2T] e nulla
al di fuori, cioè:
p(t ) = sinc(t Ts )
 f 
P( f ) = Ts Π 
 fs 
Replica principale
Infatti, in assenza di aliasing, otteniamo:
1 +∞


Wˆ ( f ) = P( f ) ⋅ ∑ W ( f − k Ts ) = T s Π  f  ⋅ 1
 f  T
Ts k = −∞
s
 s 
+∞
∑
k = −∞

k 
 ⇒ W
W  f −
T
s 

(f )
Con l’interpolazione cardinale è possibile ricostruire il segnale originale
da una sequenza, purchè sia stata ottenuta campionando con la
condizione di Nyquist
Assenza di
aliasing:
1. x(t) abbia banda limitata B;
2. sia stata rispettata la condizione di Nyquist
f s ≥ 2B
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Applicazione del teorema del
campionamento
„
„
È possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un
numero N finito di campioni del segnale
Supponiamo di voler riprodurre il segnale in figura in un
intervallo T0
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Applicazione del teorema del
campionamento
„
Indichiamo con: ϕ = sinc t − n Ts 
n
 Ts 
w(t ) =
w(t ) =
„
f s ≥ 2B
∑
n = n1
+∞
∑
n = −∞
„
n1 + N
anϕ n (t )
 t − nTs 

w(n Ts ) ⋅ sinc
 Ts 
È sufficiente memorizzare o trasmettere i pesi an per fornire una
rappresentazione del segnale
Il numero minimo di campioni necessari per ricostruire il segnale
su di un intervallo di lunghezza T0 secondi è:
N = T0 ⋅ f s = 2 B T0
Dimensionalità del segnale
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2 - Segnali e spettri [parte 3]
Teorema della dimensionalità
„
Teorema:
„
Un segnale reale può essere completamente specificato da:
N = 2 B T0
informazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo
di durata T0
„
„
Quindi, l’informazione che si DEVE trasportare per trasmettere un
segnale a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del
segnale e la durata dell’informazione stessa
Applicazioni:
„
se è dato un certo segnale e si vuole memorizzare un certo numero di campioni del
segnale su un file per poter poi ricostruire l’andamento in un intervallo T0 dobbiamo
salvare almeno N valori [calcolo del numero di campioni --> quantità di memoria]
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