Corso di Fisica - Quinta Liceo Scientifico

Corso di Fisica
Quinta Liceo Scientifico
Questo libro è stato interamente scritto a Pordenone da Francesco Saitta, Docente di Matematica e
Fisica, c.d.c A049.
Testo elaborato e prodotto con kile (http://kile.sourceforge.net/) e Latex (http://www.latex-project.org/),
Figure prodotte con Geogebra (http://www.geogebra.org/) o Gnuplot (http://www.gnuplot.info/),
Ultimo aggiornamento Agosto 2016.
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Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
ii
INDICE
Indice
0 Introduzione
1 Correnti elettriche
1.1 La resistenza elettrica . . . . . . . . . . . .
1.1.1 La prima legge di Ohm . . . . . . .
1.1.2 La seconda legge di Ohm . . . . . .
1.2 Generatori di tensione . . . . . . . . . . . .
1.3 Circuiti in corrente continua . . . . . . . . .
1.3.1 Resistenze in serie ed in parallelo . .
1.3.2 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . .
1.3.3 Strumenti di misura per le grandezze
1.3.4 Circuiti RC . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Energia e potenza elettrica . . . . . . . . .
1.5 Corrente elettrica in liquidi, gas e nel vuoto
1.5.1 Conduzione nei liquidi . . . . . . . .
1.5.2 Conduzione nei gas . . . . . . . . . .
1.5.3 Conduzione nel vuoto . . . . . . . .
1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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elettriche
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2 Il campo elettromagnetico
2.1 Legge di Faraday-Neumann-Lenz . . . . . . . . . . .
2.2 Autoinduzione ed induttanza . . . . . . . . . . . . .
2.3 Circuiti RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bilancio energetico di un circuito RL: energia
2.4 Alternatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Circuiti in corrente alternata . . . . . . . . . . . . .
2.6 Trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Maxwell’s equations and EM waves . . . . . . . . . .
2.7.1 Maxwell’s Equations: the missing term . . . .
2.7.2 Wave solutions . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Hertz’s Experiment . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 EM Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Electromagnetic Spectrum . . . . . . . . . . .
2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
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campo magnetico
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INDICE
3 Relatività Einsteiniana
3.1 L’etere e l’esperimento di Michelson e Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 La velocità limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Il limite galileiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 I postulati della relatività ristretta di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Cinematica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 La composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 La simultaneità, l’invariante cinematico, la geometria di Minkowsky e la causalità
3.4.3 La dilatazione degli intervalli di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 La contrazione delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Dinamica relativisitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Massa ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Invariante dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 La luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Cenni di relatività generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Inerzia e Gravità secondo Newton: principio di equivalenza debole . . . . . . .
3.6.2 Inerzia e Gravità secondo Einstein: principio di equivalenza forte . . . . . . . .
3.6.3 Caratteristiche qualitative della relatività generale . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Fisica quantistica
4.1 La luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Il problema del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 L’effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 L’effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Modelli atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 La materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 L’ipotesi di De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 La funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 L’equazione di Schroedinger e la soluzione per gli atomi: la tavola periodica
4.3.4 Il principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 L’intepretazione di Copenhagen e le riluttanze di Einstein . . . . . . . . . .
4.4 Il nucleo e la radioattività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Tipi di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Legge del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 La produzione di energia nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
CAPITOLO 0. INTRODUZIONE
Capitolo
0
Introduzione
Questo corso nasce dall’idea di consegnare agli studenti uno strumento di lavoro gratuito, snello e
flessibile. L’idea fondamentale è che queste note possano essere veicolo di uno studio dinamico, che
vengano sottolineate, integrate dagli appunti presi in classe o dagli approfondimenti personali, anche
modificate nel corso degli anni per renderle sempre più utili all’apprendimento della disciplina.
Le dispense sono pensate come inserite in un percorso di didattica collaborativa e multimediale:
• non vi si trovano schemi riassuntivi o formulari perché questi verranno chiesti agli studenti
durante il corso all’interno di una piattaforma multimediale o semplicemente negli appunti
personali;
• possono e devono essere affiancate ad una costante ricerca di fonti, materiali audio e video,
simulazioni digitali ed attività di laboratorio vere e proprie.
Gli esercizi, destinati a crescere in numero di anno in anno, non sono suddivisi nei paragrafi del
libro perché gli studenti siano stimolati a capire l’argomento specifico cui fanno riferimento, affinché
l’esercizio non diventi atto puramente meccanico e relativo ad una certa formula, ma abbia una forte
componente di discernimento e descrizione della realtà. Anche gli esercizi verranno supportati da una
serie di attività didattiche, esempi, compiti e test, forniti nella piattaforma digitale di classe.
Talvolta le costanti da utilizzare non sono esplicitate o presenti nel testo, cosı̀ da stimolare gli studenti
alla loro ricerca, con i canali preferiti.
Alcune parti del testo, cosı̀ come gli ultimi esercizi di ogni capitolo, sono in inglese; questo per
abituare gli studenti all’utilizzo della lingua veicolare della scienza al di fuori dell’insegnamento dedicato. In relazione al programma della classe redatto dal consiglio di classe ad inizio anno, alcune parti
di programma (tipicamente quelle già scritte in inglese) potranno essere affrontate con alcune lezioni
in lingua, in collaborazione con il/la docente di inglese.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
1
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Capitolo
1
Correnti elettriche
Il capitolo si concentra sulle correnti elettriche in un materiale conduttore costituito da un reticolo
cristallino formato dai nuclei degli atomi che lo compongono e gli elettroni condivisi dal reticolo
cristallino che sono liberi di muoversi lungo il materiale. Tale materiale è definito in chimica come
metallo; alcuni dei ragionamenti fatti qui possono applicarsi anche ai cosiddetti semiconduttori, che
possono avere una struttura leggermente diversa da quella metallica e che non tratteremo in questo
corso. Alla fine del capitolo affronteremo velocemente alcuni elementi della conduzione elettrica in
fluidi e nel vuoto, base del funzionamento delle nostre pile e di molti elementi tecnologici moderni.
1.1
La resistenza elettrica
Abbiamo studiato alla fine del capitolo sull’elettrostatica la definizione di corrente elettrica: ora
vogliamo capire cosa succede quando la corrente attraversa un materiale conduttore. L’idea di base
è la seguente: applicando una differenza di potenziale ai capi del conduttore generiamo un campo
elettrico interno al conduttore che diventa un conduttore fuori equilibrio; le cariche iniziano quindi a
muoversi all’interno del conduttore generando una corrente elettrica, come visto alla fine dello scorso
anno. Nel 1827 Georg Ohm (Erlangen 1789 - Monaco di Baviera 1854) nel suo importante trattato
fisico-matematico (Ohm, 1827, Die galvanische Kette mathematisch bearbeitet) mise in relazione la
differenza di potenziale ai capi di un conduttore e la corrente che circola all’interno del conduttore
stesso.
1.1.1
La prima legge di Ohm
Come mostrato in figura (1.1) la relazione che Ohm trovò nella maggior parte dei casi fu una relazione
di proporzionalità diretta, che diede origine alla definizione di resistenza elettrica R ed alla prima
legge di Ohm:
V = RI
(1.1.1)
Questa legge mette in evidenza la proporzionalità diretta tra la differenza di potenziale ai capi del
conduttore e la corrente che scorre all’interno del conduttore stesso. La costante di proporzionalità è
la grandezza fisica che chiamiamo resistenza e misuriamo in Ohm (Ω): è la grandezza che rappresenta
una sorta di inerzia elettrica, la caratteristica dei conduttori che si oppone al passaggio di corrente.
Conduttori per cui vale la legge di Ohm si chiamano conduttori Ohmici; come vedremo nel prossimo
paragrafo la resistenza di un conduttore dipende dalla geometria del conduttore e in piccola parte anche
dalla temperatura a cui si trova il conduttore stesso. La prima legge di Ohm si chiama anche legge
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
3
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.1: La proporzionalità diretta tra la differenza di potenziale V e l’intensità di corrente I.
macroscopica di Ohm perché mette in relazione quantità macroscopiche, cioè misurabili da strumenti
di misura che possano cogliere l’interezza del sistema e non le singole parti che lo compongono.
1.1.2
La seconda legge di Ohm
La seconda legge di Ohm invece vuole essere una legge microscopica, una legge cioè che riesca a
descrivere le singole parti del sistema, come la sua dipendenza dalla geometria del conduttore ad
esempio. La seconda legge non è altro che la riscrittura della prima legge in termini di campo elettrico
e densità di corrente anziché di differenza di potenziale e corrente, rispettivamente. Immaginiamo
quindi di avere un conduttore come in figura (1.2). Nel caso in figura quindi avremo:
I = JS,
Con J la densità di corrente introdotta lo scorso anno parlando di corrente elettrica, I la corrente che
attraversa il conduttore ed S l’area di base del cilindro,
V = El,
con E il campo elettrico interno al conduttore generato dalla differenza di potenziale V ed l l’altezza
del cilindro. Sostituendo queste relazione nell’equazione (1.1.1) possiamo scrivere:
El = RJS,
o anche in termini vettoriali:
~
J~ = σ E,
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
(1.1.2)
4
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.2: Conduttore cilindrico
ovvero l’espressione della legge microscopica di Ohm: il campo elettrico interno ad un conduttore
genera una densità di corrente direttamente proporzionale al campo elettrico che lo genera; la costante
di proporzionalità σ, data da:
l
σ=
,
SR
si chiama conduttività ed è una grandezza che dipende solo dal tipo di conduttore che si sta
utilizzando. Spesso si definisce anche la resistività (ρ) di un conduttore:
ρ=
1
SR
=
,
σ
l
La resistenza diventa cosı̀ una grandezza fisica
R=
l
ρ,
S
che dipende solo dalla natura del conduttore (ρ) e dalla sua geometria (l ed S). Noi abbiamo calcolato questa equazione nel caso matematicamente semplice di un conduttore cilindrico ma è possibile
generalizzare l’affermazione secondo cui la resistenza dipende solo dalla natura e dalla geometria del
conduttore: a seconda della forma ci saranno calcoli più o meno complessi da affrontare. Le resisitività
dei materiali si trovano facilmente in tabelle online o nei libri di testo consultabili nelle biblioteche.
L’unità di misura della resistività è Ωm, come si può facilmente ricavare facendo un’analisi dimensionale della formula che la definisce. Come accennato in precedenza esiste una dipendenza della resistività
dalla temperatura, più o meno accentuata a seconda del materiale preso in considerazione; in generale
possiamo dire che i conduttori metallici variano la propria resistività in funzione della temperatura
nel seguente modo:
ρ = ρ0 [1 + α(t − t0 )],
con ρ0 la resistività ad una certa temperatura di riferimento t0 (solitamente t0 = 20◦ C) ed α il
coefficiente termico che dipende da materiale e materiale. Non tutti i materiali variano la propria
resisitività in questo modo, nei cosiddetti superconduttori ad esempio, al di sotto di una certa
temperatura la resistività diventa zero.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
5
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
1.2
Generatori di tensione
Un generatore di tensione è uno strumento che, mantenendo ai suoi capi una differenza di potenziale costante indipendentemente dall’intensità di corrente, può essere collegato alle estremità di
un conduttore producendo in esso una corrente elettrica. In figura 1.3 il simbolo elettrotecnico di
un generatore di tensione. L’idea concreta è che questi strumenti siano degli oggetti che creano una
Figura 1.3: Generatore di tensione
differenza di potenziale spostando e mantenendo cariche positive da una parte del generatore (polo
positivo) e cariche negative dall’altra (polo negativo). Per convenzione, come espresso dalla figura, il
polo positivo è rappresentato con una stanghetta più lunga, mentre il polo negativo con una stanghetta
più corta.
Generatori reali: la resistenza interna
Nella realtà i generatori di tensione sono degli oggetti fatti da alcune parti isolanti ed alcune parti
conduttrici: in quanto tali le parti conduttrici sono dotate di resistenza; per lo stesso fatto di esistere
i generatori reali di tensione disperdono una certa quantità di energia erogando al circuito cui sono
collegati una differenza di potenziale ∆V minore della forza elettromotrice f em ovvero il lavoro
che il generatore ha fatto per generare la differenza di potenziale che lo caratterizza. Diremo che il
generatore è dotato di una certa Resistenza interna ri che possiamo calcolare secondo la legge di
Ohm, immaginando di chiudere il generatore su se stesso con un filo conduttore di bassissima resistenza
(facciamo cioè un cortocircuito):
f em = ∆V + ri I,
dove I è la corrente che circola nel cortocircuito. Possiamo immaginare un generatore reale rappresentato come in figura (1.4).
1.3
Circuiti in corrente continua
Definiamo come circuiti in corrente continua dei percorsi chiusi formati da elementi elettrotecnici quali
generatori di corrente, conduttori e condensatori. Come primo passaggio analizzeremo i circuiti più
semplici, ovvero quelli composti da soli generatori e conduttori; nell’ultimo punto di questo paragrafo
inseriremo anche i condensatori studiando quelli che si chiamano circuiti RC. In generale allora il
cicuito in corrente continua più semplice sarà descritto dalla figura (1.5):
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
6
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.4: Generatore reale di tensione
Figura 1.5: Circuito in CC (Corrente Continua)
1.3.1
Resistenze in serie ed in parallelo
Per poter descrivere un generico circuito in corrente continua senza condensatori dobbiamo essere
capaci di descrivere cosa succede nel momento in cui il circuito è formato da due o più conduttori
diversi (con diversa resistenza) o se ci sono diversi elementi resisitivi collegati dai conduttori. La figura
(1.6) descrive il cosiddetto collegamento in serie di due resistenze: due resistenze vengono collegate
tra loro da un solo conduttore comune. Immaginiamo ora di voler descrivere queste due resistenze
come un’unica resistenza che sia equivalente alle due resistenze R1 ed R2 della figura. Sicuramente
possiamo dire che la corrente I1 che attraversa la resistenza R1 è uguale alla corrente I2 che attraversa
R2 : non ci sono percorsi o principi per cui la corrente dovrebbe cambiare, anzi la conservazione della
carica elettrica ci impone che sia uguale. La corrente Ieq che dovrebbe scorrere attraverso questa
resistenza equivalente dovrà quindi essere
Ieq = I1 = I2 .
Il salto di tensione ai capi della resistenza equivalente invece dovrà essere la somma dei salti di tensione
ai capi delle due resistenze, quindi
Veq = V1 + V2 .
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
7
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.6: Resistenze in serie
Applicando a questa equazione la legge di Ohm otterremmo quindi:
Req Ieq = R1 I1 + R2 I2
che applicando il ragionamento precedente sulle correnti diventa:
Req I = R1 I + R2 I
cioè:
Req = R1 + R2
.
Nel caso invece di figura (1.7) le resistenze si dicono in paralleo: quando hanno in comune entrambi i
conduttori ai loro capi. In questo caso sarà il potenziale ai capi delle due resistenze ad essere uguale
ed uguale al potenziale ai capi della resistenza equivalente:
Veq = V1 = V2
mentre sarà la corrente a doversi dividere in parti fatte in modo tale che la corrente che attraversa la
resistenza equivalente sia uguale alla somma delle due correnti che attraversano R1 ed R2 :
Ieq = I1 + I2
in modo tale che
Veq
V1
V2
=
+
,
Req
R1 R2
ottenendo infine per resistenze in parallelo
1
1
1
=
+
Req
R1 R2
Come per il caso delle capacità queste regole si possono ampliare a più resistenze; è interessante
notare come le resistenze funzionino in modo opposto rispetto alle capacità: bisogna fare attenzione
a non confondere le due regole di somma.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
8
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.7: Resistenze in parallelo
1.3.2
Leggi di Kirchhoff
Un fisico tedesco, Gustav Robert Kirchhoff (Koenigsberg 1824 – Berlino 1887), nel suo primo
articolo scientifico (Kirchhoff, 1845) enunciò le sue famose leggi che regolano il funzionamento dei
circuiti elettrici. Come vedremo nelle applicazioni degli esercizi, quando siamo di fronte a circuiti
molto semplici possiamo risolverli (trovare tutte le caratteritiche degli elementi del circuito) usando
le regole per la somma in serie e parallaelo di resistenze, quando invece siamo di fronte a cicuiti più
complicati dobbiamo necessariamente passare attraverso le leggi di Kirchhoff:
1. Legge dei Nodi: la somma algebrica di tutte le correnti antranti o uscenti da un nodo del
circuito è nulla:
n
X
Ik = 0
k=1
2. Legge delle Maglie: la somma algebrica di tutti i salti di potenziale ai capi dei diversi elementi
di circuito lungo una qualsiasi maglia del circuito stesso è nulla:
n
X
∆Vk = 0
k=1
Le due leggi vanno spiegate definendo cosa siano i nodi e le maglie e definendo anche le convezioni che
si assumono solitamente per i segni da dare alle correnti ed alle differenze di potenziale. Definiremo
nodo di un circuito un qualsiasi punto del circuito in cui convergono tre o più conduttori. Definiremo
maglia di un circuito un qualsiasi percorso chiuso semplice (il percorso non passa due volte sullo
stesso punto del conduttore se non nel punto inziale e finale) all’interno del circuito. Definiamo anche
ramo del circuito una qualsiasi porzione di circuito compresa tra due nodi distinti. Per definire le
convenzioni che si danno ai segni di correnti e differenze di potenziale nel circuito bisogna dire che
la procedura di risoluzione di un circuito che vedremo a breve, prevede che vengano dati dei versi di
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
9
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
percorrenza arbitrari ad ogni maglia ed anche delle direzioni arbitrarie alle correnti lungo il circuito.
Immaginando quindi aver assegnato in modo arbitrario i versi alle correnti in ogni ramo del circuito
ed un verso arbitrario di percorrenza alle maglie le convenzioni dei segni per le correnti sono correnti
positive se entranti nel nodo, negative se uscenti dal nodo, mentre quelle per le differenze di tensione
sono quelle descritte dalla figura (1.8).
Figura 1.8: Convenzioni di segno nelle leggi di Kirchhoff. La freccia più grossa rappresenta il verso
della maglia, mentre quella più sottile il verso della corrente che attraversa la resistenza
La risoluzione di un circuito con le leggi di Kirchhoff
Immaginamo quindi ora di dover risolvere un circuito utilizzando le leggi di Kirchhoff. Consideriamo
ad esempio il circuito in figura (1.9) Innanzitutto dobbiamo dire che risolvere un circuito significa in
generale trovare i valori di tutte le correnti che attraversano i rami del circuito conoscendo i valori
delle tensioni dei generatori di tensione ed i valori delle resistenze nel circuito. Assumiamo quindi nel
nostro esempio i valori V1 = 10V , V2 = 20V , R1 = 5Ω, R2 = 10Ω, R3 = 8Ω. Per risolvere il sistema
dovremo seguire alcuni passaggi:
1. Identificare i nodi: nel nostro caso i nodi sono due, li indicheremo con A e B
2. Identificare le maglie: nel nostro caso le maglie sono tre: la maglia che da A torna in A
passando attraverso le resistenze R2 ed R3 e attraverso il generatore V2 , la maglia che da A
torna in A passando attraverso le resistenze R1 ed R3 e attraverso il generatore V1 , e la maglia
esterna che da A torna in A passando attraverso le resistenze R1 ed R2 e attraverso i generatori
V1 e V2
3. Assegnare le correnti: per ogni nodo assegnare in modo arbitrario le correnti. Naturalmente
la corrente può cambiare solo quando incontra un nodo, questo - nel nostro esempio - aiuta
nell’assgnazione delle correnti nel secondo nodo
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
10
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.9: Circuito in CC
4. Assegnare i versi alle maglie: per ogni maglia assegnare in modo arbitrario il verso. Le
maglie necessarie sono una in meno delle correnti incognite; nel nostro caso quindi sono due.
5. Scrivere le equazioni: sulla base delle convezioni che abbiamo visto in precedenza possiamo
scrivere tante equazioni quante correnti incognite e risolvere il sistema ottenuto per trovare le
correnti.
Figura 1.10: Circuito in CC con correnti e versi delle maglie
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
11
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Sulla base dei passi visti sopra possiamo ad esempio ottenere il circuito in figura (1.10), che corrisponde
al sistema di equazioni:


I1 + I2 − I3 = 0
(1.3.1)
−R3 I3 + V2 − R2 I2 = 0


+R3 I3 − V1 + R1 I1 = 0
Che possiamo risolvere in modo abbastanza semplice per sostituzione (o con il metodo che più ci
piace):






I1 + I2 − I3 = 0
I3 = I1 + I2
I3 = I1 + I2
−8I3 + 20 − 10I2 = 0
−8(I1 + I2 ) + 20 − 10I2 = 0
8I1 + 18I2 = 20






+8I3 − 10 + 5I1 = 0
+8(I1 + I2 ) − 10 + 5I1 = 0
8I2 + 13I1 = 10






I3 = I1 + I2
I3 = I1 + I2
I3 = I1 + I2
I1 = (10 − 9I2 )/4
I1 = (10 − 9I2 )/4
I1 = (10 − 9I2 )/4






8I2 + 13I1 = 10
8I2 + 13(10 − 9I2 )/4 = 10
32I2 + 130 − 117I2 = 40


I3 = 1.17
I1 = 0.11


I2 = 1, 06
Dove i risultati sono da intendersi in Ampere. Notiamo come un eventuale risultato negativo significherebbe solamente che la corrente i realtà si muove in verso opposto a quello segnato arbitrariamente
da noi all’inizio della procedura.
1.3.3
Strumenti di misura per le grandezze elettriche
Le categorie di strumenti di misura per le grandezze elettriche che studieremo sono due: gli Amperometri ed i Voltmetri. Questi sono strumenti di misura il cui funzionamento è regolato da principi
elettrici e magnetici nei cui dettagli non entreremo: il nostri interesse è legato solamente alle caratteristiche che questi oggetti devono avere affinché il loro funzionamento sia efficace. Le caratteristiche che
andiamo a studiare sono legate ad un fatto particolare, il tipo di grandezza che andiamo a misurare, e
ad un fatto generale, la richiesta di non interferenza tra sistema misurato e scienziato sperimentatore.
Ogni qual volta che facciamo una misura di una grandezza fisica non vogliamo che lo strumento di
misura interagisca (o meglio interferisca) con il sistema fisico; questa richiesta sperimentale è dovuta
alla visione sperimentale di Galileo Galilei, in cui lo scienziato osserva il sistema e raccoglie informazioni senza diventare parte di esso. Come vedremo in breve affrontanto i principi della meccanica
quantistica questa richiesta può essere soddisfatta in parte nella fisica classica, ma diventa impossibile
nella fisica quantistica, con tutte le conseguenze epistemologiche e fisiche che discuteremo.
Gli Amperometri sono strumenti che servono per misurare la corrente elettrica all’interno di un
circuito: essi dovranno essere attraversati dalla corrente che devono misurare, vanno quindi inseriti in
serie al circuito in questione. Per non interferire con il sistema dunque dovranno avere una resistenza
interna RA molto più piccola delle altre resistenze in gioco, in modo tale che il suo contributo alla
legge di Ohm sia trascurabile.
I Voltmetri sono strumenti che servono per misurare la differenza di potenziale ai capi di un certo
componente elettrico. Per fare questa misura il Voltmetro deve essere collegato in parallelo con il
componente in questione, e deve avere una resistenza interna RV molto più grande di quella del
componenente stesso, in modo tale che la corrente che passa attraverso il Voltmetro sia trascurabile
rispetto a quella che scorre nel circuito, minimizzando cosı̀ l’interferenza dello strumento con il circuito.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
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CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
La situazione è quindi schematizzata in figura (1.11), dove sono evidenziati anche i simboli tipici di
questi strumenti di misura.
Figura 1.11: Schema descrittivo del posizionamento e delle caratteristiche di Amperometri e Voltmetri
1.3.4
Circuiti RC
Fino a qui abbiamo studiato circuiti in cui sono presenti solamente resistenze. Vediamo in questo
paragrafo come risolvere circuiti in cui sono presenti sia resistenze che condensatori. Questo tipo
di circuiti RC con una resistenza ed un condensatore rappresentano anche lo schema per descrivere
il processo di carica e scarica di un condensatore: naturalmente poi con circuiti RC più complessi
potranno essere applicate le regole che abbiamo studiato per la composizione di resistenze e capacità.
Il sistema che vogliamo studiare è quindi quello di figura (1.12), dove abbiamo inserito un interruttore
per poter passare dalla situazione di carica del condensatore quando l’interruttore è chiuso ad una
situazione di scarica del condensatore sulla resistenza R quando l’interruttore è aperto.
Carica del condensatore
Il processo di carica del condensatore si ha quando l’interruttore è chiuso e permette alla batteria di
fare del lavoro per depositare carica sulle armature del condensatore. Immaginiamo quindi di avere
inizialmente il condensatore scarico, ovvero Q(t = 0) = 0, e di chiudere l’interruttore. Per la seconda
legge di Kirchhoff si avrà in ogni istante del processo di carica
V − RI(t) − Q(t)/C = 0,
(1.3.2)
dove V è la differenza di potenziale che la batteria mantiene costantemente ai suoi capi, R il valore
della resistenza, C il valore della capacità del condensatore, Q(t) la quantità di carica depositata
sulle armature del condensatore in funzione del tempo e I(t) la corrente che scorre nel conduttore
del circuito in funzione del tempo. Ricordando la definizione generale di corrente elettrica come la
derivata rispetto al tempo della funzione carica osserviamo come questa equazione sia un’equazione
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
13
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.12: Circuito RC; l’elemento T è una messa a terra: un collegamento con un oggetto a
potenziale zero (la terra), fatto in modo tale che quando l’interruttore viene chiuso la batteria viene
esclusa dal circuito e scarica a terra direttamente, il condensatore invece scarica a terra attraverso la
resistenza
differenziale, ovvero un’equazione in cui l’incognita compare come funzione e come derivata:
RQ0 (t) + Q(t)/C = V.
(1.3.3)
La risoluzione di questa equazione è rimandata ad un approfondimento quando nel programma di
matematica si saranno studiate le equazioni differenziali di primo grado, o per lo meno gli integrali.
Come si suol dire nei testi scientifici quindi, “dopo semplici calcoli che lasciamo al lettore” si ottiene la
seguente soluzione per la carica elettrica depositata sulle armature del condensatore e per la corrente
elettrica nel circuito:
(
t
Q(t) = CV (1 − e− τ ), τ = RC
(1.3.4)
t
I(t) = Q0 (t) = VR e− τ
La costante τ del circuito si chiama tempo caratteristico del circuito RC e rappresenta il tempo in cui
il condensatore si carica del 63%: la velocità di carica del condensatore dipende dunque solamente
dai valori di resistenza e capacità degli elementi del circuito stesso. Man mano che il condensatore si
carica la corrente nel circuito diminuisce fino ad avvicinarsi asintoticamente a zero quando la carica
sulle armature del condensatore raggiunge, anch’essa asintoticamente, il valore massimo previsto dalla
sua capacità e la differenza di potenziale ai suoi capi. La funzione della resistenza è quindi quella di
rallentare il processo di carica del condensatore. Le soluzioni dell’equazione di carica del circuito RC
corrispondono ai grafici di figura(1.13).
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
14
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.13: Carica di un circuito RC
Scarica del condensatore
Nel momento in cui poi si chiude l’interruttore l’equazione differenziale diventa:
RQ0 (t) + Q(t)/C = 0,
(1.3.5)
le cui soluzioni sono, immaginando che inizialmente ci sia una quantità Q0 di carica sulle armature
del condensatore:
(
t
Q(t) = Q0 e− τ , τ = RC
(1.3.6)
t
I(t) = Q0 (t) = I0 e− τ , I0 = Q0 /τ
dove τ definisce sempre il tempo caratteristico, ovvero la velocità di scarica del condensatore. In questo
caso il condensatore si scarica facendo passare la corrente attraverso la resistenza, che in qualche modo
rallenta il processo di scarica. Le soluzioni dell’equazione di scarica del circuito RC corrispondono ai
grafici di figura(1.14).
1.4
Energia e potenza elettrica
Ogni elemento di un circuito elettrico genera o consuma energia, correlata per definizione alla differenza
di potenziale generata o consumata dall’elemento di circuito stesso. Da un punto di vista qualitativo
possiamo dire che i generatori producono energia compiendo il lavoro necessario per mantenere ai loro
capi una certa differenza di potenziale, che i condensatori usano parte dell’energia fornita dai generatori
per incamerarla nel campo elettrico che si va a formare al loro interno e le resistenze dissipano parte
dell’energia fornita dai generatori per effetto Joule (gli urti microscopici tra i portatori di carica e la
struttura del conduttore).
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
15
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
Figura 1.14: Scarica di un circuito RC
Un generatore che mantiene una differenza di potenziale VG costante ai suoi capi produrrà un energia
pari a U = qVG per ogni carica q che riesce a spostare da un polo all’altro. Se questo generatore produce
una certa corrente I, ciò significa che la quantità di energia in un determinato intervallo di tempo ∆t
che questo generatore produce sarà
U = I∆tVG .
In termini di potenza possiamo dire che la potenza erogata da un certo generatore che mantiene ai
suoi capi una differenza di potenziale VG è data dalla relazione:
P = VG I.
Un condensatore come già visto lo scorso anno incamera una quantità di energia pari a U = QC VC /2
con QC la quantità di carica sulle sue armature e VC la differenza di potenziale tra le due armature
del condensatore; quindi la potenza assorbita dal condensatore è data dalla relazione
PC = VC I.
Un resistore che ha ai suoi capi una differenza di potenziale VR dissiperà una quantità di energia
pari a U = qVR che per la legge di Ohm diventa U = qRI e dunque dissipa una potenza pari a
P = VR I = RI 2 .
Notiamo come in questo caso la seconda legge di Kirchhoff per i circuiti non sia null’altro che la
conservazione dell’energia nel sistema fisico circuito elettrico:
VG − VR − VC = 0 ⇒ I∆tVG − I∆tVR − I∆tVC = 0
tutta l’energia fornita dai generatori deve essere utilizzata dall’insieme di condensatori e delle resistenze
del circuito, o incamerandola nel caso dei condensatori o disperdendola nel caso delle resistenze.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
16
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
1.5
Corrente elettrica in liquidi, gas e nel vuoto
Fino a questo punto lo studio di questo capitolo si è concentrato sui materiali conduttori; esistono
però dei fenomeni di conduzione in fluidi, liquidi e gas, che in linea generale sono considerati isolanti
ma che possono condurre elettricità in condizioni particolari. Lo studio della conduzione in liquidi e
gas è propria dell’elettrochimica, daremo qui solamente alcuni spunti di approfondimento.
1.5.1
Conduzione nei liquidi
La caratteristica generale - fatta eccezione del mercurio - dei liquidi di essere cattivi conduttori o
isolanti può venir alterata dalla presenza di acidi o sali sciolti in soluzione. In tal caso i legami
chimici che formano i sali o gli acidi si spezzano ed all’interno della soluzione si trovano ioni positivi e
negativi in ugual quantità. Tutte queste sostanze si chiamano elettroliti ed il fenomeno di passaggio
di corrente in questo tipo di soluzioni si chiama elettrolisi. L’applicazione più famosa ed importante
della conduzione elettrolitica in fisica è data dalla Pila di Volta, il cui funzionamento verrà studiato
mediante un’attività in classe.
1.5.2
Conduzione nei gas
Anche i gas, come i liquidi, in generale sono isolanti, ma possono diventare conduttori se ionizzati:
la ionizzazione di un gas è più complicata della ionizzazione di un acido o sale in soluzione, ma non
impossibile sotto l’effetto di agenti ionizzanti quali elevatissime differenze di potenziale generate da da
radiazioni ionizzanti o frequenti urti tra particelle come nel caso della creazione dei fulmini.
1.5.3
Conduzione nel vuoto
Riuscendo ad estrarre cariche da conduttori, tipicamente elettroni da un metallo, ed immersi in una
zona di vuoto in presenza di campo elettrico si possono osservare fenomeni di conduzione nel vuoto.
Esempi di utilizzo di queste tecniche sono i tubi catodici già studiati lo scorso anno con l’esperimento
di Thomson oppure i diodi e i triodi utilizzati in elettrotecnica. Per poter estrarre elettroni da un
metalli si possono utilizzare diverse tecniche, tutte legate al fornire energia ad un metallo sufficiente
affinché l’energia cinetica dell’elettrone sia maggiore dell’energia potenziale che lo tiene legato alla
struttura cristallina metallica; tale energia è chiamata lavoro di estrazione e può essere fornita
• scaldando il metallo attraverso effetto termoionico che emette termoelettroni come studiato
da Thomas Alva Edison (Milan, 1847 - West Orange, 1931) e brevettato nel 1883 (Edison,
1884)
• illuminando il metallo attraverso effetto fotoelettrico che emette fotoelettroni come studiato
da Heinrich Rudolf Hertz (Amburgo, 1857 - Bonn, 1894) nel suo lavoro del 1887 “On Electromagnetic Effects Produced by Electrical Disturbances in Insulators” e riportato in un libro
seguente (Hertz, 1893).
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
17
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
1.6
Esercizi
1. Tre resistenze in serie R1 = 2Ω, R2 = 5Ω, R3 = 10Ω sono alimentate da una batteria ∆V = 20V .
Quali sono le correnti che attraversano ogni singola resistenza? Se la resistenza R2 viene rimossa,
come cambia percentualmente la corrente totale nel circuito?
[I1 = I2 = I3 = 1, 2A; δI = 42%]
2. Si risolva il precedente esercizio nel caso in cui le resistenze siano in parallelo anziché in serie.
[I1 = 10A; I2 = 4A; I3 = 2A; δI = −25%]
3. Una lampadina ad incandescenza (che consideriamo come una resistenza) quando ha ai suoi capi
una tensione ∆V > 50V si rompe. Se collegata ad un impianto di casa (∆V = 220V) a che
resistenza deve essere collegata in serie per non rompersi?
[R > 1020Ω]
4. Un generatore comprato che dichiara una forza elettromotrice f em = 1000V viene messo in
cortocircuito misurando una corrente I = 2kA. Qual è la sua resistenza interna?
[Ri = 0, 5Ω]
5. Qual è la resistenza di un filo di rame non surriscaldato lungo l = 1m, di diametro d = 0, 6mm?
Come deve cambiare percentualmente il diametro per ottenere R = 1Ω?
[R = 0, 06Ω; δd = −75%]
6. Si trovi la resistenza equivalente di tre resistenze R in parallelo, messe in serie con una quarta
resistenza R.
[Req = 34 R]
7. Si trovi la resistenza equivalente del sistema in figura(1.15)
Figura 1.15: .
[Req = 3R]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
18
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
8. Si trovi la resistenza equivalente di un sistema formato da 4 resistenze identiche R: due resistenze
tra loro in parallelo sono in serie con una terza resistenza e tutto questo sistema è in parallelo
con la quarta resistenza.
[Req = 35 R]
9. Sapendo che la resistenza equivalente del sistema in figura (2.15) è Req = 2R, si trovi la resistenza X.
Figura 1.16: .
[X = 12 R]
10. Si risolva il circuito in figura (1.17).
Figura 1.17: V = 20V; R1 = 2kΩ; R2 = 4kΩ; R3 = 5kΩ; R4 = 1kΩ
[I1 = I4 = 3, 8mA; I2 = 2, 1mA; I3 = 1, 7mA; V1 = 7, 6V; V2 = V3 = 8, 6V; V4 = 3, 8V]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
19
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
11. Si dimostri che Req = 58 R in un sistema di 5 resistenze identiche R cosı̀ formato: due R tra loro
in serie sono messe in parallelo con la 3◦ . Questo sistema è in serie con la 4◦ , ed il tutto in
parallelo con la 5◦ .
12. Si risolva il circuito in figura (1.18).
Figura 1.18: V = 10V; R1 = 12mΩ; R2 = 2mΩ; R3 = 1mΩ
[I1 = 0, 79kA; I2 = 0, 26kA; I3 = 0, 52kA; V1 = 9, 5V; V2 = 0, 5V; V3 = 0, 5V]
13. Si risolva il circuito in figura (1.19).
Figura 1.19: V = 50mV; R1 = R3 = 20 µΩ; R2 = 5 µΩ; R4 = R5 = 10 µΩ
[I1 = I5 = 1, 35kA; I2 = I3 = 0, 38kA; I4 = 0, 96kA; V1 = 27mV; V2 = 1, 9mV; V3 = 7, 6mV;
V4 = 9, 6mV; V5 = 13, 5mV]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
20
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
14. Si risolva il circuito in figura (1.20).
Figura 1.20: VA = 20V; VB = 10V; R1 = 1 Ω; R2 = 5 Ω; R3 = 10 Ω; R4 = 2 Ω
[I1 = I4 = 0, 53A; I2 = 1, 68A; I3 = 1, 16A; V1 = 1, 16V; V2 = 2, 65V; V3 = 11, 6V; V4 = 1, 06V]
15. Si risolva il circuito in figura (1.21).
Figura 1.21: VA = 20V; VB = 10V; R1 = R2 = R3 = R4 = 5 Ω
[I1 = I4 = 0, 8A; I2 = I3 = 0, 4A; V1 = 4V; V2 = V3 = 2V; V4 = 4V]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
21
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
16. Si risolva il circuito in figura (1.22).
Figura 1.22: VA = 25V; VB = 12V; R1 = 5 kΩ; R2 = 10 kΩ; R3 = 5 kΩ
[I1 = 3, 96mA; I2 = 0, 52mA; I3 = 3, 44mA; V1 = 19, 8V; V2 = 5, 2V; V3 = 17, 2V]
17. Si risolva il circuito in figura (1.23).
Figura 1.23: VA = 12V; VB = 24V; VC = 48V; R1 = 2 kΩ; R2 = 10 kΩ; R3 = 1 kΩ, R4 = R5 = 5 kΩ
[I1 = I2 = 3, 13mA; I3 = 1, 52mA; I4 = I5 = 4, 64mA; V1 = 6, 26V; V2 = 31, 3V; V3 = 1, 52V;
V4 = V5 = 23, 2V]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
22
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
18. Si risolva il circuito in figura (1.24).
Figura 1.24: VA = 20V; VB = 50V; VC = 20V; R1 = 50 Ω; R2 = 10 Ω; R3 = 12 Ω; R4 = 5 Ω; R5 = 8
Ω
[I1 = I5 = 0, 69A; I2 = 3.02A; I3 = I4 = 2, 34A; V1 = 34, 5V; V2 = 30, 2V; V3 = 28, 1V;
V4 = 11, 7V; V5 = 5, 5V]
19. Si risolva il circuito in figura (1.25).
Figura 1.25: VA = 10V; VB = 20V; VC = 15V; R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 10 Ω
[I1 = I2 = I5 = 0, 5 A; I3 = 0, 5A; I4 = 1A; V1 = V2 = V3 = V5 = 5 V; V4 = 10 V]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
23
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
20. Si risolva il circuito in figura (1.26).
Figura 1.26: VA = 25V; VB = 30V; R1 = 2 Ω; R2 = 5 Ω; R3 = 1 Ω
[I1 = 10, 6A; I2 = 6, 8A; I3 = 3, 8A; V1 = 21, 2V, V2 = 34V; V3 = 3, 8V]
21. Una batteria da 50V alimenta due lampadine (resistenze) da 20Ω l’una. Si calcoli la potenza
erogata dalla batteria e consumata da ogni singola lampadina se le lampadine sono in serie od
in parallelo.
[in serie Ptot = 62, 5W P1 = P2 = 31, 25W; in parallelo Ptot = 250W P1 = P2 = 125W]
22. In una casa si accende un phon da 2,2 kW. Assumendo che la rete di casa fornisca una tensione
∆V = 220V, qual è la resistenza del phon? Che corrente circola al suo interno? Quanta energia
viene consumata dall’elettrodomestico in 20 ore di utilizzo?
[I = 10A; R = 22Ω; E = 160MJ]
23. Un circuito RC si scarica del 20% in 20 secondi. Qual è il suo tempo caratteristico τ ?
[τ = 89, 6s]
24. Un condensatore di capacità C = 200µF si scarica su una resistenza R = 20Ω. Qual è il tempo
caratteristico di scarica? In quanto tempo il condensatore si scarica dell’80%?
[τ = 4ms; t = 6, 4ms]
25. Per caricare all’80% un condensatore con una resistenza R = 80MΩ impiega t = 20s.Qual è la
capacità del condensatore?
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
24
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
[C = 0, 16µF]
26. Due condensatori identici in serie vengono scaricati su una resistenza R = 10Ω. Sapendo che i
due condensatori si scaricano del 25% in 10s si calcolino le due capacità.
[C = 7F]
27. In quanto tempo un circuito RC con τ = 10s carica la sua capacità del 60%?
[t = 9s]
28. Una capacità C = 200µF si scarica su una resistenza R = 20Ω. Se la tensione iniziale ai capi
della capacità era ∆V = 200V quanta energia avrà consumato la resistenza quando la capacità è
completamente scarica? Quanta potenza dissipa la resistenza all’istante iniziale? Ed all’istante
t = 1τ ?
[E = 4µJ; P (0) = 2kW; P (1τ ) = 270W]
29. Un condensatore è carico quando sulle sue armature ci sono 20C di carica. Assumiamo che
esso sia collegato ad una resistenza R = 20Ω e ad una batteria ∆V = 200V. Quanto tempo
impiegherà il sistema a caricare 15C di carica nel condensatore?
[t = 2, 8s]
30. Qual è la carica che si può mettere sulle armature di un condensatore che impiega 2τ a caricare
12C di carica sulle sue armature?
[Qmax = 88, 7C]
31. Three resistors (R1 = 2Ω, R2 = 3Ω, R3 = 1Ω) in parallel are connected in series with two
resistors (R4 = R5 = 5Ω) and the whole system is connected with a 12V battery. Find the
currents through each component.
[I1 = 0, 3A; I2 = 0, 2A; I3 = 0, 6A; I4 = I5 = 1, 1A]
32. Find the electric power produced by a battery 24V connected with 3 resistors R1 = R2 = R3 =
30Ω connected in parallel. What is the power used by each resistor?
[Ptot = 57, 6W; P1 = P2 = P3 = 19, 2W]
33. Find the internal resistance of a battery with electromotive force (f em) f em = 25V if the shortcircuit current is Ic = 5A.
[Ri = 5Ω]
34. A battery is connected with a resistor R = 10Ω giving a tension ∆V = 12V . Find the internal
resistance and the electromotive force (f em) if the short-circuit current is Ic = 3A.
[Ri = 6, 7Ω; f em = 20V]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
25
CAPITOLO 1. CORRENTI ELETTRICHE
35. An 80W lamp is connected to a chandelier in an italian house (∆V = 220V). Find the current
through the lamp and the resistance of the lamp.
[I = 0, 36A; R = 605Ω]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
26
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Capitolo
2
Il campo elettromagnetico
Fino a questo momento abbiamo studiato elettricità e magnetismo e la sintesi attuale di tutto ciò che
abbiamo studiato si può riassumere nelle seguenti equazioni:


φE = Q/0



φ = 0
B
(2.0.1)

CE = 0



C = µ I
0
B
Ovvero le attuali informazioni su campo elettrico e magnetico che abbiamo sono in sintesi:
• φE = Q/0 → le sorgenti più semplici di campo elettrico sono cariche elettriche puntiformi;
• φB = 0 → non esistono cariche magnetiche;
• CE = 0 → il campo elettrico è conservativo;
• CB = µ0 I → il campo magnetico non è conservativo ed è generato da correnti elettriche.
La domanda naturale che viene da farsi ad un fisico è: “Ma se le correnti elettriche generano campi
magnetici, non esiste nessun modo in cui un campo magnetico o una sua manifestazione possa generare
un campo elettrico?”.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
27
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
La prima parte di questo capitolo verterà sulla risposta a questa domanda. Mentre la seconda parte
sarà dedicata al completamento di quelle che sono chiamate Equazioni di Maxwell, che rappresentano la
sintesi dell’elettromagnetismo e lo studio del campo elettromagnetico nel suo insieme ed in particolare
nella sua manifestazione di onde elettromagnetiche.
2.1
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
Abbiamo già incontrato il fisico britannico Michael Faraday studiando l’elettrostatica e la magnetostatica; egli compı̀ moltissimi esperimenti e studi anche nel campo del collegamento tra campo magnetico
e campo elettrico, arrivando a scoprire, nel 1831 come raccontato in uno dei suoi diari di laboratorio
(Faraday, 1859) il fenomeno dell’induzione magnetica: un campo magnetico variabile nel tempo genera
un campo elettrico variabile nel tempo! Faraday comprese con i suoi esperimenti che una rapida variazione di flusso di campo magnetico all’interno di una spira o comunque di un conduttore che forma un
circuito chiuso genera una forza elettromotrice che chiamò indotta da campo magnetico. La relazione
matematica che esprime questo principio, conosciuta come legge di Faraday-Neumann-Lenz è la
seguente:
∆φB
f em = −
[= −φ0B ]
(2.1.1)
∆t
dove f em è la forza elettromotrice indotta sul conduttore che forma il percorso chiuso attraverso la
superificie del quale è calcolata la variazione di flusso di campo magnetico ∆φB /∆t (o più precisamente
φ0B quando la variazione è istantanea e non media). Il segno meno è dovuto al contributo del fisico
russo Heinrich Lenz (Dorpat, 1804 - Roma, 1865) il quale affermò che il verso della corrente causata
dalla fem indotta è tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso φB
che ha generato la fem stessa. Questa legge diventa una modifica alla terza equazione di Maxwell
nel momento in cui ci si rende conto che f em = CE ovvero che la forza elettromotrice indotta non è
altro che la circuitazione di campo elettrico lungo il circuito chiuso del conduttore: ecco allora come
si comprende meglio l’affermazione “campi magnetici variabili generano campi elettrici variabili”.
Andiamo a dimostrare allora l’uguaglianza tra cicuitazione e forza elettromotrice:
X
~ i · d~l,
CE =
E
i
~ lungo un percorso formato dai diversi elementi d~l;
la definizione di circuitazione del campo elettrico E
f em = L/q,
la definizione di forza elettromotrice come il lavoro fatto dalla forza elettrica per unità di carica;
X
X
X
~ i · d~l/q ⇒ f em =
~ i · d~l
f em = L/q ⇒ f em =
F~i · d~l/q ⇒ f em =
qE
E
i
i
i
Con questa semplice dimostrazione abbiamo completato anche la formulazione della terza equazione
di Maxwell:
CE = −φ0B
(2.1.2)
2.2
Autoinduzione ed induttanza
Ogni circuito elettrico, anche il più semplice immaginabile (formato da un generatore di tensione ed
una resistenza), manifesta effetti di induzione: nella fase iniziale di accesione del circuito infatti si
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
28
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
genera una variazione di flusso di campo magnetico attraverso il circuito, campo magnetico generato
dalla corrente stessa del circuito. Ecco allora che il circuito si autoinduce una corrente elettrica
contraria alla corrente elettrica prodotta dal generatore di corrente che mira ad opporsi alla variazione
di flusso di campo magnetico, come descritto dalla figura (2.1). Da un punto di vista quantitativo -
Figura 2.1: Autoinduzione in un circuito semplice. La linea continua rappresenta la corrente prodotta
dal generatore, quella tratteggiata la corrente autoindotta dal circuito stesso
considerando per generalità un solenoinde anziché un circuito formato da una sola spira - possiamo
scrivere:
f em = −N φ0B = −(BS)0 = −N SB 0 = −N S(nµo I) = −
N 2 µSI 0
µ0 N 2 S 0
=−
I
l
l
cioè la forza elettromotrice autoindotta da un solenoide percorso da corrente è direttamente proporzionale alla variazione di corrente nel solenoide stesso, ed il coefficiente di proporzionalità dipende solo
dalla geometria del solenoide stesso. Il coefficiente di autoinduzione prende il nome di induttanza L
(il simbolo in onore del fisico Lenz) e viene definito nel seguente modo:
L=
φB
,
I
(2.2.1)
si misura in Henry (H). Nel caso di solenoide lungo l con N spire ed area S l’induttanza diventa quindi:
L=
µ0 N 2 S
,
l
(2.2.2)
Si lascia come esercizio dimostrare che la definizione (2.2.1) è equivalente alla definizione geometrica
(2.2.2). Anche l’induttanza dunque, come la capacità e la resistenza, è una grandezza fisica che dipende
solo dalla geometria del conduttore; il caso geometricamente più semplice è quindi un solenoide ed il
simbolo per l’induttanza in un circuito sarà proprio quello di un solenoide, come in figura (2.2).
2.3
Circuiti RL
Un circuito RL in corrente continua è un circuito come in figura (2.3). Applicando come sempre la
seconda legge di kirchchhoff otteniamo:
V + f em − RI = 0,
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
(2.3.1)
29
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Figura 2.2: Simbolo dell’induttanza
dove f em rappresenta la forza elettromotrice indotta dall’induttanza che, essendo negativa, si comporta come fosse una batteria contraria al generatore di tensione V . Otteniamo dunque:
V − LI 0 − RI = 0,
(2.3.2)
un’equazione differenziale dello stesso tipo di quella risolvente il circuito RC, con significato fisico
diverso ma stessa struttura matematica. La soluzione di questa equazione è dunque:
I(t) =
V
(1 − e−t/τ ),
R
τ = L/R
(2.3.3)
Il processo fisico può essere interpretato nel seguente modo: la presenza dell’induttanza rallenta il
Figura 2.3: Circuito RL
raggiungimento della corrente prevista dalla prima legge di Ohm, ed il rallentamento è dovuto al
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
30
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
fatto che parte dell’energia fornita dal generatore è impiegata per “caricare” di campo magnetico
l’induttanza. Se pensiamo all’induttanza come un solenoide infatti immaginiamo che man mano che
la corrente aumenta raggiungendo asintoticamente il valore V /R il campo magnetico all’interno del
solenoide aumenta raggiungendo asintoticamente il valore B = µnI. Il termine dipendente dal tempo
dell’equazione risolutiva, V e−t/τ /R si chiama extracorrente di chiusura, e rappresenta il valore della
corrente autoindotta, che descresce con il tempo. Nel caso in cui si apra il circuito ed il generatore
non dia quindi più il suo apporto di tensione, l’equazione diventa:
− LI 0 − RI = 0,
(2.3.4)
e la soluzione
V −t/τ
e
, τ = L/R
(2.3.5)
R
In questo caso si parla invece di extracorrente di apertura: se non ci fosse l’induttanza la corrente
dovrebbe andare a zero istantaneamente secondo la legge di Ohm. Ricordiamo che un qualsiasi circuito
ha sempre e comunque una componente resistiva ed induttiva, solo per il fatto di esistere: quindi - a
parte i casi in cui decidiamo di trascurare qualche effetto - un generico circuito dovrà sempre tenere
conto almeno di una componente resistiva ed una induttiva.
I(t) =
2.3.1
Bilancio energetico di un circuito RL: energia del campo magnetico
Abbiamo detto che il lavoro fatto dal generatore dovrà essere in parte consumato dalla resistenza ed
in parte dall’induttanza nel processo di generazione del campo magnetico al suo interno. Per quanto
riguarda la parte induttiva avremo quindi la relazione differenziale:
1
dL = −dU = −qdV = qLI 0 = LII 0 dt = LIdI = d( LI 2 ),
2
(2.3.6)
da cui possiamo concludere che l’energia immagazzinata nell’induttanza è data da
1
UM = LI 2 ,
2
(2.3.7)
che possiamo interpretare come l’energia necessaria per generare il campo magnetico, una sorta di
energia magnetica quindi; ricordiamo che il campo magnetico non è un campo conservativo, per cui
non parleremo di energia potenziale magnetica ma di energia che accompagna il campo magnetico,
quindi proprio il lavoro che si è dovuto fare per generare il campo magnetico stesso. Analogamente
a quanto fatto per i condensatori e l’energia del campo elettrico cerchiamo ora di collegare questa
energia con il campo magnetico interno al solenoide per generalizzare la legge ottenuta all’energia
associabile ad un campo magnetico in generale:
1
UM = LI 2
2
iniziamo con il sostituire la definizione di induttanza come vista nell’equazione (2.2.2)
UM =
1 µ0 N 2 S 2
I
2
l
ricordando che il campo magnetico interno al solenoide è dato da B = nµ0 I possiamo scrivere ancora
UM =
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
1 µ0 N 2 S Bl 2
(
)
2
l
N µ0
31
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
e dunque
UM =
1 B2V
1 B 2 lS
=
2 µ0
2 µ0
con V il volume del solenoide. Come avevamo fatto per il campo elettrico otteniamo in questo caso
un’espressione per la densità di energia magnetica associata ad un certo campo magnetico B:
uM =
2.4
B2
2µ0
(2.3.8)
Alternatori
Un alternatore è un dispositivo che sfruttando energia cinetica genera tensione non in modo continuo
ma con un profilo alternato, tipicamente dato da una sinusoide:
V (t) = V0 sin (ωt + α0 )
In linea di principio è un oggetto che lavora in modo contrario al motore elettrico visto lo scorso anno:
il motore elettrico utilizza energia elettrica e genera movimento, l’alternatore genera energia elettrica
a partire da energia cinetica. Gli alternatori sono alla base del funzionamento della maggior parte di
centrali elettriche moderne, siano esse idroelettriche, a carbone o anche nucleari. Il funzionamento
generale di un alternatore può essere spiegato a partire da una spira di area S che ruota con velocità
angolare costante ω all’interno di un campo magnetico uniforme B, come nell’animazione (2.4). Dal
Figura 2.4: Schema di alternatore, con vista dal lato a sinistra e dall’alto a destra. Al momento non
ci preoccupiamo della sorgente di energia cinetica che fa muovere la spira, quella sarà la tipicità della
“centrale” che prodice energia: a manovella, carbone, idroelettrica, nucleare,...
punto di vista fisico è evidente come il flusso di campo magnetico attraverso la spira vari in modo
continuo e quindi in modo continuo si genera tensione nella spira e quindi corrente se la spira ha una
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
32
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
resistenza. Dal punto di vista quantitativo:
f em = −φ0B
= −(BS cos (α))0
= −BS(cos (ωt + α0 ))0
= −BSω sin (ωt + α0 )
Se la spira è dotata di una certa resistenza R la corrente che chiameremo alternata indotta sarà dunque
I(t) =
2.5
BSω
sin ((ωt + α0 ))
R
(2.4.1)
Circuiti in corrente alternata
Cosı̀ come abbiamo studiato i circuiti in corrente continua possiamo ora studiare i circuiti in corrente alternata; quelli cioè in cui il generatore non produce una tensione costante V ma una tensione dipendente dal tempo, in particolare considereremo una dipendenza sinusoidale dal tempo:
V (t) = V0 sin (ωt + α0 ), con α0 = 0 per semplicità. In generale un generatore di corrente alternata in un circuito sarà rappresentato dal simbolo in figura (2.5). Studieremo prima i circuiti re-
Figura 2.5: Generatore di tensione alternata
sistivi (generatore+resistenza), poi i circuiti capacitivi (generatore+capacità), quelli induttivi (generatore+induttanza) ed infine un accenno a come si possono risolvere i circuiti RLC i corrente
alternata.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
33
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Circuiti resistivi
I circuiti resistivi sono i più semplici da studiare; infatti se il generatore fornisce V (t) = V0 sin (ωt) la
corrente sarà semplicemente I(t) = V (t)/R, ovvero avremo
(
V (t) = V0 sin (ωt)
(2.5.1)
I(t) = I0 sin (ωt) I0 = V0 /R
In questo caso diremo che la corrente è in fase con la tensione: entrambe oscillano come la funzione
seno, varia solo il valore del picco, quando la tensione assume il valore massimo anche la corrente
lo assume, cosı̀ come quando la tensione si annulla anche la corrente si annulla. La situazione è
descritta in figura (2.6). Il valore medio della corrente che attraversa un circito di tal genere è nulla:
Figura 2.6: Circuito resisitivo in corrente alternata
intuitivamente possiamo dire che tanta corrente è positiva, tanta negativa, in ogni periodo che passa;
dal punto di vista matematico si può applicare il teorema della media1 :
RT
R 2π/ω
ω 0
I0 sin (ωt)dt
0 I(t)dt
=
=
= 0,
(2.5.2)
T
2π
dove è il valor medio della funzione I(t). Nonostante la corrente media sia nulla la resistenza
consuma continuamente un certo quantitativo di energia, e per quanto riguarda la potenza media
consumata in un periodo possiamo calcolarne il valore:
RT
RT
R 2π/ω
2
ω 0
RI02 sin2 (ωt)dt
RI02
0 P (t)dt
0 RI (t)dt
=
=
=
=
,
(2.5.3)
T
T
2π
2
In questi casi si usa introdurre la quantità corrente efficace
I0
Ief f = √
2
1
Teorema del calcolo integrale che si studia durante l’ultimo anno di liceo.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
34
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
in modo tale che la potenza possa essere scritta come
2
= RIef
f
la corrente efficace si può in definitiva definire come quella corrente che dovrebbe scorrere in un circuito
a corrente continua affinché il circuito stesso si comporti dal punto di vista elettrico come il circuito
√
a corrente alternata dato. Si definisce anche la tensione efficace in modo analogo, Vef f = V0 / 2.
Circuiti capacitivi
La risoluzione di un circuito capacitivo richiede la risoluzione di una derivata. Assumiamo sempre la
tensione fornita dal generatore come V (t) = V0 sin (ωt); per la definizione di capacità si ha infatti:
Q(t) = CV (t) = CV0 sin (ωt)
(2.5.4)
Data la definizione generale di corrente elettrica I(t) = Q0 (t):
I(t) = Q0 (t) = CV 0 (t) = CV0 ω cos (ωt),
(2.5.5)
per le proprietà delle funzioni goniomentriche scriveremo
I(t) = CV0 ω cos (ωt) = CV0 ω sin (ωt + π/2),
(2.5.6)
In questo modo possiamo vedere in modo chiaro la relazione tra la tensione alternata e la corrente che
essa genera nel caso di un circuito capacitivo; diremo che la corrente è in anticipo di fase rispetto
alla tensione: il valore della corrente assume un certo valore prima che lo assuma la tensione, come
mostrato in figura (2.8). Vista la relazione
Figura 2.7: Circuito capacitivo in corrente alternata
I0 = CV0 ω
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
35
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
definiremo XC = 1/ωC, in modo tale da poter scrivere
V0 = XC I0
come nel caso della legge di Ohm e chiameremo XC la reattanza capacitiva, cioè la proprietà legata
alla capacità che si oppone al passaggio di corrente, per lo meno per i valori di picco. Anche in questo
caso si definiscono i valori efficaci
√
Vef f = V0 / 2
e
√
Ief f = I0 / 2
. In questo caso la potenza media assorbita dalla capacità è zero cosı̀ come per la corrente, si ha
infatti:
RT
RT
R 2π/ω
ω 0
CV02 ω cos (ωt) sin (ωt)dt
0 P (t)dt
0 I(t)V (t)dt
=
=
=
= 0.
(2.5.7)
T
T
2π
Circuiti induttivi
La risoluzione di un circuito induttivo richiede la risoluzione di un’equazione differenziale. Assumiamo ancora la tensione fornita dal generatore come V (t) = V0 sin (ωt); per la definizione di forza
elettromotrice indotta da un’induttanza e la seconda legge di Kirchhoff si ha:
(
f em = −LI 0 (t)
(2.5.8)
V (t) + f em = 0
e dunque
Rt
0
V (t) = LI (t) ⇒ I(t) =
0
V (t)dt
,
L
(2.5.9)
che porta alla soluzione
−V0 cos (ωt)
;
(2.5.10)
ωL
come nel caso precedente possiamo esprimere la soluzione con la funzione seno sfruttando le proprietà
delle funzioni goniometriche:
I(t) =
I(t) =
−V0 cos (ωt)
V0 sin (ωt − π/2)
=
ωL
ωL
(2.5.11)
Nel caso induttivo allora diremo che la corrente è in ritardo di fase rispetto alla tensione: la corrente
assume un certo valore dopo che lo ha assunto la tensione, come mostrato in figura (2.8). Vista la
relazione
I0 = V0 /(ωL)
definiremo XL = ωL, in modo tale da poter scrivere
V0 = XL I0
come nel caso della legge di Ohm e chiameremo XL la reattanza induttiva, cioè la proprietà legata
all’induttanza che si oppone al passaggio di corrente, per lo meno per i valori di picco. Anche in questo
caso si definiscono i valori efficaci
√
Vef f = V0 / 2
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
36
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Figura 2.8: Circuito induttivo in corrente alternata
√
Ief f = I0 / 2.
Anche in questo caso la potenza media assorbita dalla capacità è zero cosı̀ come per la corrente, si ha
infatti:
RT
R 2π/ω 2
RT
(V0 /ωL) cos (ωt) sin (ωt)dt
ω 0
0 I(t)V (t)dt
0 P (t)dt
=
=
= 0.
(2.5.12)
=
T
T
2π
Circuiti RLC
Il circuito più complesso che studiamo è quello in cui sono presenti in serie tutte e tre le componenti
R, L e C alimentate da una tensione alternata V (t) = V0 sin (ωt). L’equazione che risolve questo tipo
situazione è data da:
Rt
I(t)dt
Q(t)
0
0
V0 sin (ωt) − LI (t) − RI(t) −
= 0 ⇒ V0 sin (ωt) − LI (t) − RI(t) − 0
= 0,
(2.5.13)
C
C
dove possiamo vedere compaiono sia la funzione incognita i(t), la sua derivata ed il suo integrale,
compreso un termine esterno, V0 sin (ωt). Quest’equazione rappresenta formalmente un oscillatore
armonico con termine di forzatura esterna ed un termine di smorzamento viscoso: qualitativamente
possiamo paragonare questo circuito ad un’altalena che si frena con l’attrito dell’aria e viene spinto in
modo armonico dall’esterno. Per capire almeno qualitativamente il funzionamento di questo circuito
possiamo usare - almeno parzialmente - il formalismo dei fasori: immaginiamo di conoscere la soluzione
i(t) del circuito, avremo allora che la tensione ai capi della resistenza ha valore di picco VR = RI0 ,
quella ai capi della capacità VC = XC I0 in ritardo di π/2 rispetto alla corrente e quella ai capi
dell’induttanza VL = XL I0 in anticipo di π/2 rispetto alla corrente. La descrizione di figura (2.9) ci
aiuta a comprendere l’origine geometrica della relazione
q
q
p
(2.5.14)
Vtot = (VC − V L)2 + VR2 = (XC I0 − XL I0 )2 + R2 I02 = (XC − XL )2 + R2 I0 .
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
37
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Figura 2.9: Fasori in un circuito RLC
Definiamo allora l’impedenza, cioè la reattanza totale
r
p
Z = (XC − XL )2 + R2 =
(
1
− ωL)2 + R2 .
ωC
(2.5.15)
Il circuito risulta essere un circuito risonante, un circuito che prevede una certa situazione in cui la
corrente è massima. Questo avviene quando l’impendenza è minima, il che avviene nel caso in cui:
1
1
− ωL = 0 ⇒ ω = √
.
ωC
LC
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
(2.5.16)
38
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
2.6
Trasformatori
Nella nostra vita di tutti i giorni nelle nostre case abbiamo a disposizione corrente elettrica che viene
fornita ad una tensione di V = 220V dalla rete elettrica nazionale; molti degli strumenti che utilizziamo
però, come i computer, i caricabatterie dei cellulari, le radio,... non funzionano a quella tensione, ma
necessitano una tensione differente, solitamente più bassa. Chiameremo trasformatore di tensione
un qualsiasi strumento in grado di cambiare la tensione di un certo conduttore da un certo valore
V1 ad un certo valore V2 . Il funzionamento schematico di un trasformatore può essere riassunto in
figura (2.10): immaginiamo un anello di un materiale ferromagnetico con due avvolgimenti in due sue
parti, che chiameremo primario e secondario. Il primario sarà il circuito che si trova ad una tensione
alternata V1 . L’idea di base del funzionamento è la mutua induzione tra il circuito primario ed il
circuito secondario, per opera della variazione di campo magnetico che si va a creare all’interno del
ferromagnete: il flusso di campo magnetico sia nel primario che nel secondario sarà oscillante, con la
stessa frequenza nelle due parti di circuito. Si avrà quindi che, chiamato φ il flusso concatenato con
Figura 2.10: Schema di un trasformatore di tensione
una singola spira (uguale in entrambi i circuiti):
dφB
dt
dφB
V2 = N2
dt
V1 = N1
da cui otteniamo
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
V1
V2
=
N1
N2
(2.6.1)
39
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Vediamo quindi come la tensione cambi dal primario al secondario in funzione del numero di spire che
avvolgono l’uno o l’altro tratto di circuito. Per capire come cambia la corrente invece che la tensione
tra il primario ed il secondario possiamo usare la definizione di induttanza:
N 1 φB
I1
N 2 φB
L2 =
I2
L1 =
da cui otteniamo, usando la relazione geometrica dell’induttanza (2.2.2) immaginando che lunghezza
e superficie dei due avvolgimenti siano uguali:
N1 I1 = N2 I2
(2.6.2)
Notiamo come mettendo a sistema le due equazioni (2.6.1) e (2.6.2) si ottenga V1 I1 = V2 I2 , ovvero la
potenza prodotta/utilizzata dal primario è uguale a quella prodotta/utilizzata dal secondario, ovvero
anche in questo caso l’energia si conserva!
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
40
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
2.7
2.7.1
Maxwell’s equations and EM waves
Maxwell’s Equations: the missing term
At this point of the story, we have arrived to the electromagnetic description as in equations (2.7.1);
we know that:
1. Electrical charges are sources of the electrostatic field;
2. there no exist magnetic charges: [at least] electric dipoles are sources of the magnetostatic field;
3. changing electric fields can be generated from changing magnetic fields;
4. magnetostatic fields can be generated from electric currents.


Φ~


 ΦE
~
B

C~


 E
CB~
= Q0
=0
dΦ
= − dtB~
= µ0 I
(2.7.1)
Maxwell noticed an asymetry in the way changing electric and magnetic fields are generated: he
thought that if a changing magnetic field can generate a changing electric fields also the contrary has
to be true: a changing electric field should generate a changing magnetic field. It seemed to Maxwell
that the last equation had not to be complete: he said that there should be a missing term. Maxwell
made the following argument to find the missing term: assume to have the situation described in
figure (2.11): a simple electrical circuit made by a voltage source and a capacitor.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
41
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Figura 2.11: Maxwell’s argument
As during the charge of an electrical circuit with an inductance (a solenoid inside the circuit) a changing
electric field generates round the inductance, also during the charge (or discharge) of the circuit in
figure (2.11) a changing magnetic field should be generated. The changing electric field generate the
so called displacement current is obtained as follows:
is = 0
dΦE~
dt
(2.7.2)
We can easily verify that the right side of the equation as the units of an electric current:
h dΦ i
~
0 E
=
dt
h d(q/ ) i
0
0
dt
h 1 dq i
= 0
0 dt
h dq i
=
dt
= [i]
=
Assuming this Maxwell’s argument the Maxwell’s equations become:

ΦE~ = Q



 Φ = 00
~
B
dΦB
~

C
~ = − dt

E


dΦ
CB~ = µ0 I + µ0 0 dtE~
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
(2.7.3)
42
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
and this is the definitive version of the equations. The set (2.7.3), toghether with the Lorentz force
summarize all our knowlege on the electromagnetism.
2.7.2
Wave solutions
Maxwell realized that if the equations were solved in the particular case without charges and currents:

ΦE~ = 0



 Φ~ = 0
B
(2.7.4)
dΦB
~
C

~ = − dt

E

dΦ

CB~ = µ0 0 dtE~
the solution was an oscillating solution: these electric and magnetic fields from a mathematical point
of view seemed to be waves. In particular they could even be armonic waves, that we studied during
last year of our physic course:
(
E(~r, t) = E0 cos(ωt − ~k · ~r + φ0 )
(2.7.5)
B(~r, t) = B0 cos(ωt − ~k · ~r + φ0 )
This solution of the Maxwell’s equation has been really important from a theoretical and technological
point of view: if these fields had a “wave side” there would have been found waves propagating in
vacuum, giving the possibility to send messages at distance using these waves. Since this theory was
confirmed experimentally few years later, as we are going to see in the next parapgraph, a new era for
communications was born!
2.7.3
Hertz’s Experiment
The Maxwell’s argument was a theoretical approach to the problem: nobody ever tried to find a magnetic field around a charging capacitor, the signal would have been too low, or saw an electromagnetic
wave... Maxwell published his theory in 1873 (Maxwell, 1873) and only in 1886 Heinrich Rudolf Hertz
verified the current displacement’s term and the existance of the electromagnetic waves with an experiment. In figure (2.12) we can see a sketch of the experimental device built up by Hertz to perform his
experiment. The source (S) is made by a voltage source connected with a Rumhmkorff ’s coil2 that
Figura 2.12: Hertz’s device
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
43
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
generates a strong electric field turning into a spark between the two sparking balls who propagates as
an electromagnetic wave to the detector (D). The propagating wave is detected by the detector (D)
since the strong changing magnetic field crossing the detector creates a strong electric field that again
turns itself into a spark in the detector. Hertz was able to see the spark on the detector conferming
the existance of the electromagnetic wave, and was also able to measure its speed that turned out to
be c, as predicted by the Maxwell’s theory.
2.7.4
EM Waves
Once verified the existance of Electromagnetic (EM) waves we can study their characteristics and in
particular two of them:
1. Speed and propagation
2. Production
3. Energy carried by an EM wave
Speed and propagation
The mathematical solution of the Maxwell’s equation gives many interesting hints on the nature of
the EM waves.
√
Speed of the EM waves The speed of the wave has to be 1/ µ0 0 . When substituting the values of
the two constants of the electricity and the magnetism we find one of the most important relationships
in physics:
1
c= √
(2.7.6)
µ0 0
where c is the speed of light. This discover of this relation has been a real breakthrough in the physics’s
hystory for two reasons:
• it links three independent constant of nature, it means that Galileo was right: nature has a
certain order and can be described in mathematical terms!
• light can be thought as an electromagnetic wave amd viceversa, an EM wave can be thought as
a particular kind of light
Propagation of EM waves EM waves propagates as in the figure at the beginning of the chapter:
the direction in which they propagate is perpendicultar to both the electric and the magnetic field,
and the two fiedls are also perpendicular each other. Furthermore, there is a relation between the
intensity of the electric fiels and the intensity of the magnetic field:
E = cB
(2.7.7)
2
A Rumhmkorff’s coil is a kind of electrical transformer used to produce a high voltage: it consists in an iron core
surrunded by a primary and a secondary wire; since the primary wire has less turns of wire than the secondary the voltage
on the secondary is higher than on the primary. This particular kind of transfomer is called after Heinrich Ruhmkorff,
a german instrument maker
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
44
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Energy carried by an EM wave During the study of the electrostatic field and magnetic field
that the density of energy connected with each of the fields are given by
1
uE~ = 0 E 2
2
(2.7.8)
1 2
B
2µ0
(2.7.9)
and
uB~ =
Now, if the fields are changing fields these equations are the density of energy in a given volume at a
given time. The total energy density of the EM wave is thus given by:
1
1
u(t) = 0 [E(t)]2 +
[B(t)]2
2
2µ0
(2.7.10)
using the (2.7.7) it can be obtained:
u = 0 [E(t)]2
(2.7.11)
or
u=
[B(t)]2
µ0
(2.7.12)
that are the expressions of the energy density of an EM wave in a given volume at a ginven time.
Production of EM waves
Once understood that EM fields could propagate as waves, carring energy and thus information, the
scientists wanted to answer the question: “How can we produce EM waves?” The answer to this
question was the beginning af the technological revolution we are still involved in: thanks to these
studies it was possible to build phones, radios,... to our nowadays inteneret connections, cellular
phones, tablets,... Looking at the Maxwell’s equations we can understand that we need to produce
EM fields rapidly changing in time. he simplest solution to make such a field is to build up an
oscillating circuit with a capacitor and an inductor, an LC circuit, as in fig (2.13). In such a circuit,
Figura 2.13: LC electric circuit
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
45
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
once charged the capacitor and disconnected the generator from the system, the equation of the net
is given by:
di(t)
q
L
+
=0
(2.7.13)
dt
C
where i(t) is the current in the circuit at a certain time t, q(t) the charge on the capacitor at the√same
time t. The solution of the equation (2.7.13) is the same of an armonic oscillator with ω = 1/ LC.
So, since the current is changing inside the capacitor and the inductor we can find a changing electric
field and a changing magnetic field respectively, both oscillating with the ν = ω/2π frequency. These
changing fields generate an EM wave with the same frequency of the circuit. Another solution is to
build an antenna, as in figure (2.14): the principle is the same, but the inductance and the capacity
are inside the whole conductor of the antenna. To receive these signals it will be enough to put in
Figura 2.14: Antenna
the wave’s path a circuit or an antenna with the same ω than the transmitter and by means of the
resonance principle studied during last year the receiver will start to oscillate with the same frequency
of the transmitter.
2.7.5
Electromagnetic Spectrum
The wavelenght (or the frequency) of the EM is the main characteristic that gives information on the
kind of wave. As for all the waves the frequency is related with the energy density carried by the wave:
the higher the frequency, the higher the energy density. In figure (2.7.5) we can see the so called EM
spectrum, i.e. the corrispondance between the wavelenght (or the frequency) and the kind of waves
that we already know from our everyday life. In particular we can see that the visible light, what we
usually simply call light, is nothing but a piece of the whole spectrum.
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46
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
47
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
2.8
Esercizi
1. Una spira quadrata di lato l = 2cm è immersa in un campo magnetico B che varia costantemente
ad una velocità di 4mT/s. Quanta tensione si genera per effetto Faraday nella spira?
[f em = −4mV]
2. Una spira di area A = 25cm2 ruota con una frequenza ν = 30Hz immersa in un campo magnetico
B = 20mT. Qual è la f em massima indotta nella spira?
[f em = 9, 4 × 10−5 V]
3. Il sistema in figura (2.15), una corsia di conduttore con una resistenza alla sua estremità ed
una barra conduttrice libera di muoversi senza attrito sulla corsia è caratterizzato da R = 12Ω
e B = 20mT. Con quale forza bisogna spingere la barretta affinché essa si muova con velocità
costante v = 10m/s?
Figura 2.15: .
[F = 1, 3 × 10−5 N]
4. Un sistema simile al sistema dell’esercizio precedente, ma posizionato in verticale, con la resistenza in alto e la barra conduttrice libera di scivolare verso il basso per l’effetto della gravità è
caratterizzato dalle seguenti grandezze fisiche: R = 12MΩ, l = 20cm, B = 20mT. Assumendo il
peso della barretta P = 25N si calcoli a quale velocità scenderà la barretta una volta raggiunto
l’equilibrio.
[v = 1, 9m/s]
5. Una spira di area S = 50cm2 è immessa in un campo magnetico variabile nel tempo dato da
B(t) = e−t cos (t) (campo magnetico in Tesla quando il tempo è misurato in secondi) perpendicolare ad essa. Si calcoli il valore massimo della forza elettromotrice generato sulla spira.
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48
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
[f em = 5 × 10−3 V]
6. Una spira con 200 spire di area S = 50cm2 è percorsa da una corrente I = 50mA. Si calcolino la
sua lunghezza e la sua induttanza se il campo magnetico al suo interno è B = 20mT.
[l = 2, 5 × 10−4 m; L = 1H]
7. Un solenoide formato da 500 spire di area S = 2cm2 e lungo 20cm è collegato ad una resistenza
R = 20Ω ed una batteria 20V. Quanto vale il tempo caratteristico di questo circuito? Quanto
tempo impiega il circuito per raggiungere una corrente l’80% della corrente di regime? Quanto
vale l’extracorrente di chiusura al t = 1µs?
[τ = 1, 6 × 10−5 s; t = 2, 6 × 10−5 s; I = 0, 9A]
8. Un sistema formato da un’induttanza L = 2H in serie con un resisitore R = 5Ω viene collegato
con una batteria. Se dopo 2s la corrente che circola nel circuito è I = 2mA, che tensione fornisce
la batteria al circuito?
[V = 2V]
9. Un circuito RL in corrente continua ha un tempo caratteristico τ = 2s. Sapendo che l’energia
massima immagazzinabile nel solenoide, quando alimentato da una batteria V = 20V è U = 100J
si calcolino i valori di L e di R.
[L=8H; R=4Ω]
10. Un solenoide L=3H è collegato in serie ad una resistenza R=12Ω ed alimentato da una batteria.
Quanto tempo impiega il circuito ad immagazzinare il 75% dell’energia immagazzinabile nel solenoide?
[t = 0, 5s]
11. Una spira di area S = 20cm2 ruota all’interno di un campo magnetico costante B = 10T inizialmente perpendicolare alla spira. Si calcoli la f em massima generata nella spira se la frequenza di
rotazione della spira è f = 50Hz. Si calcoli la resistenza della spira se la potenza massima è 20W.
[f emmax = 6, 28V; R = 1, 97Ω]
12. Un solenoide di 100 spire di area S = 2cm2 è collegato ad una resistenza e ad una batteria
∆V = 30V. All’interno del solenoide c’è una spira perpendicolare alla superficie delle spire del
solenoide di area S1 = 0, 2cm2 . Qual è la massima f em indotta nella spira interna nel tempo di
carica del solenoide?
[f emmax = 0, 03V]
13. Un solenoide viene caricato da una batteria ∆V = 40V con una resistenza R = 200Ω compiendo
un lavoro L = 200J. Qual è l’induttanza del solenoide?
[L = 10kH]
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49
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
14. Un circuito resistivo alternato è caratterizzato da una resistenza R = 20Ω. Qual è la tensione di
picco se la potenza media dissipata dalle resistenze è P = 25W?
[V0 = 32V]
15. Un circuito capacitivo alternato con reattanza capacitiva XC = 20Ω è collegato ad un generatore
di tensione massima 200V. Si calcoli la corrente efficace che scorre nel circuito.
[Ief f = 7, 1A]
16. Un solenoide formato da 100 spire di area 20cm2 e di lunghezza l = 120mm è collegato ad un
generatore da 200V alternato con frequenza 30Hz e fase zero. Quale reattanza induttiva caratterizza il circuito? Dopo quanto tempo la corrente raggiunge il valore efficace per la prima volta?
[XL = 0, 04Ω; t = 0, 012s]
17. Quale rapporto tra le spire deve avere un trasformatore per un portatile che si carica a 19V sulla
rete italiana?
[N2 /N1 = 11, 6]
18. Un alternatore è formato da una spira di area 12cm2 che ruota con una frequenza di 20Hz all’interno di un campo magnetico variabile secondo la forma B(t) = 2t + 3. Si calcoli la f em indotta
a t=1s sulla spira supponendo la superficie della spira inizialmente perpendicolare al campo.
[f em(1s) = −24 × 10−4 V]
19. Un circuito RL è caratterizzato da τ = 20s. Se l’energia immagazzinata massima nel solenoide
è UM = 300J e l’induttanza in scarica dopo 2s è percorsa da 10A, quanto valgono I0 , L ed R?
[I0 = 11, 1A; L = 4, 87H; R = 0, 24Ω]
20. Un circuito capacitivo alternato è alimentato da una batteria con tensione di picco 24V e frequenza 50Hz. Si trovi la capacità sapendo che al tempo t = 1, 7s la corrente nel circuito è pari
a -2A.
[C = 157µF]
21. Un circuito induttivo alternato è alimentato da una batteria con tensione efficace Vef f = 20V.
Si calcolino ω ∈ [0 π] ed L sapendo che la corrente efficace è di 3A e che al tempo t = 2s la
corrente vale 1A.
[ω = 0, 9rad/s; L = 7, 4H]
22. Un circuito RC oscillante è caratterizzato da R = 20MΩ, L = 2µF, V0 = 200V. Si calcoli
ω ∈ [−π/2 π/2] sapendo che al tempo 1s la corrente nel circuito è pari a 2µA e la carica sulle
armature è 5µC.
[ω = 0, 21rad/s]
23. Una spira di area 20cm2 è immersa in un campo magnetico variabile B( t) = 2te−t perpendicolare
alla spira. Si trovi il massimo valore della corrente indotta, sapendo che R = 2Ω.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
50
CAPITOLO 2. IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
[Imax = 0, 9mA]
24. Un solenoide di 200 spire lungo 50cm di induttanza 5H è immerso in un campo magnetico pa2
rallelo al suo asse variabile secondo la relazione B(t) = e−t . Si calcoli il massimo valore della
f em indotta sul solenoide.
[f emmax = 8, 5kV]
25. Un alternatore genera corrente a 220V di picco e frequenza 50Hz. Si calcoli il flusso di campo magnetico attraverso la spira dell’alternatore nel momento in cui la spira è perpendicolare al campo.
[φB = 0, 7Wb]
26. Find the maximum magnetic energy density carried by an EM wave generated by an electric
field Emax = 2kN/C.
[umax = 35µJ/m3 ]
27. An EM wave is generated by an electri field E(t) = 2 cos (3πt). Find the power of the wave at
t = 2, 1s.
[P (2, 1s) = −2, 5mW]
28. An oscillating LC circuit is characterized by L = 3H, C = 3µF. Find the oscillating frequency
of the circuit and the maximum value of the current in the circuit knowing that Q(t = 0) =
Qmax = 2µC.
[f = 53Hz; Imax = 0, 7mA]
29. An oscillating LC circuit is characterized by ω = 20rad/s. Find the maximum value of the
current in the circuit if Q(t = 0) = Qmax = 2µC.
[Imax = 40µA]
30. Find the maximum displacement current in a capacitor of a circuit with R ∼ 0Ω, V = 12 sin (20t)
and C = 2µF if the surface od the capacitor is S = 2cm2 .
[Is = 2, 3A]
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
51
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Capitolo
3
Relatività Einsteiniana
Nel nostro percorso di studio della fisica da Galileo a Maxwell abbiamo descritto la fisica classica
caratterizzata dalla cinematica, la dinamica, la gravitazione, la termodinamica, lo studio delle onde
meccaniche, della luce e dell’elettromagnetismo. Studiando queste teorie abbiamo via via evidenziato
alcuni elementi critici che restavano in sospeso nel corso degli anni. Alla fine del XIX secolo la fisica
è arrivata ad un crocevia fondamentale: le certezze della fisica classica Newtoniana e dell’arrivo della
nuova fisica dell’elettromagnetismo di Maxwell iniziano a vacillare per diversi motivi:
1. Non si trovano evidenze sperimentali dell’etere, la sostanza che deve essere in quiete assoluta e
giustificare il principio di relatività galileiana studiato nel terzo anno di corso;
2. La radiazione elettromagnetica è un’onda che si propaga apparentemente nel vuoto, ma ogni
onda meccanica si propaga in un mezzo: il suo mezzo di propagazione può dunque essere l’etere?
3. Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo!
4. Non si riesce a decidere tra modello corpuscolare ed ondulatorio per la luce;
5. Non si trova un modello funzionante per il mattone fondamentale dell’Universo: l’atomo;
6. Non si riesce a spiegare lo spettro di Corpo Nero.
I primi tre punti vengono presi in considerazione con la teoria della relatività di Einstein, mentre i secondi tre punti vengono presi in considerazione dalla nascente teoria della meccanica quantistica - nata
anch’essa da alcune intuzioni tra gli altri di Einstein. In questo e nel prossimo capitolo affronteremo gli
elementi principali di entrambe le teorie. La relatività Einsteiniana si sviluppa in due passaggi storici:
nel 19051 Einstein pubblica un articolo (Einstein, 1905b) in cui sviluppa la relatività ristretta (o
speciale) e nel 1916 pubblica l’articolo (Einstein, 1916) in cui sviluppa la relatività generale.
1
ricordato come l’annus mirabilis di Einstein in cui pubblicò 4 articoli che cambiarono il volto della fisica moderna
(Einstein, 1905b,a,d,c): rispettivamente la teoria della relatività ristretta, l’equivalenza tra massa ed energia, l’effetto
fotoelettrico ed il moto Browniano; Einstein prese il premio Nobel nel 1921 per la sua spiegazione dell’effetto fotoelettrico.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
53
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
3.1
L’etere e l’esperimento di Michelson e Morley
Abbiamo già visto che il problema dell’esistenza dell’etere nasce dalla richiesta dell’esistenza di un
sistema di riferimento in quiete assoluta per riuscire a giustificare il principio di relatività galileiana.
Con lo studio della luce e delle equazioni di Maxwell si iniziò ad immaginare che l’etere dovesse essere
il mezzo su cui si propagano le onde elettromagnetiche quando diciamo che si propagano nel vuoto.
Cosı̀, alla fine del XIX secolo il fisico statunitense Albert Abraham Michelson2 (Strzelno, 1852
- Pasadena, 1931) da solo prima ed assieme al suo collega Edward Morley (Newark, 1838 - West
Hartford, 1923) poi cercò di dimostrare l’esistenza dell’etere. L’intento degli esperimenti dei due fisici
statunitensi (Michelson, 1881; Michelson e Morley, 1887) era quello di osservare il cosiddetto vento
d’etere: se la terra si sta muovendo rispetto al sistema di riferimento assoluto deve essere possibile
evidenziare in qualche modo il suo movimento rispetto ad esso: visto che l’etere doveva essere una
sostanza che non interagisce in nessun modo meccanico con la materia l’unico modo per evidenziare
questo vento d’etere era attraverso esperimenti che utilizzano onde elettromagnetiche. Qualitativamente possiamo dire che Michelson e Morley cercarono di “mettere la mano fuori dall’automobile in
corsa per sentire lo spostamento d’aria” utilizzando un interferometro, descritto in figura (3.1) L’in-
Figura 3.1: Interferometro di Michelson
teferometro, visto dall’alto nella figura, è composto da uno specchio semiriflettente posto in O, due
specchi riflettenti posti in A e B con OA = OB ed un rilevatore posto in C. Un’onda elettromagnetica
che incida in O viene parzialmente riflessa verso A e parzialmente rifratta verso B; i due specchi pori
2
Premio Nobel per la fisica nel 1907 per i suoi esperimenti di ottica
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
54
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
riflettono nuovamente l’onda che torna in O dove la parte proveniente da B viene riflessa mentre la
parte proveniente da A rifratta in modo tale da ricomporre l’onda originale che verrà poi rilevata in
C. Ora, se immaginiamo che la terra si stia muovendo rispetto all’etere, la velocità della luce dovrebbe cambiare nelle due direzioni OA ed OB in relazione alla direzione del movimento della terra
rispetto all’etere generando quindi uno sfasamento delle onde nel momento in cui ritornano in O dopo
le riflessioni: il rilevatore in C dovrebbe quindi osservare delle frange di interferenza! Sicuramente se
l’etere esistesse la terra dovrebbe essere in movimento rispetto ad esso, visto che il suo movimento di
rotazione su se stessa ed intorno al sole è un movimento accelerato, e dunque assoluto: sicuramente
la terra non solo è un sistema in movimento, ma un sistema non inerziale. Michelson e Morley per
riuscire a fare l’esperimento nel modo più preciso possibile utilizzarono le seguenti accortezze:
• La sorgente di onde elettromagnetiche emetteva una luce monocromatica ad una certa lunghezza
d’onda λ;
• L’interferometro era montato su una lastra di granito, una base quadrata di lato l = 15cm e
spessore h = 5cm fatta galleggiare in una vasca di mercurio liquido, in modo che il tutto potesse
essere fatto ruotare attorno ad un perno (in asse con O), per poter cambiare la possibile direzione
del movimento della terra rispetto all’etere;
• Nella versione più precisa dell’esperimento il fascio di luce veniva fatto riflettere da un sistema
di specchi in modo tale che il braccio OA = OB diventasse lungo circa 11 metri, in modo da
rendere più visibile l’effetto di interferenza
Con l’assetto sperimentale descritto e le conoscenze della fisica dell’elettromagnetismo e la composizione delle velocità galileiana l’effetto di interferenza doveva essere apprezzabile dall’esperimento, e
al variare della rotazione dell’interferometro si sarebbero dovuto vedere delle precise variazioni della
figura di interferenza. L’esperimento fallı̀, nel senso che non vennero rilevate frange di interferenza nel
rilevatore, come se il tutto avvenisse nel sistema di riferimento dell’etere. Le possibili interpretazioni
dell’esito dell’esperimento furono:
1. La terra è solidale con l’etere: questo è escluso dal fatto che la terra accelera;
2. La terra trascina parzialmente l’etere cosı̀ come fa con l’aria: in questo caso dovrebbe essere
possibile rilevare l’etere con esperimento di meccanica classica, cosa che non si era riusciti a fare
nei precedenti due secoli;
3. Le equazioni di Maxwell sono sbagliate: inaccettabile per tutte le conferme sperimentali e
tecnologiche che si stavano producendo;
4. La luce non è un’onda: dibattito sempre aperto, ma nella visione corpuscolare della luce non si
spiega come mai essa diffranga ed interferisca;
5. L’etere non c’è o non è rilevabile nemmeno con esperimenti elettromagnetici e dunque la sua
eventuale esistenza non dovrebbe essere necessaria per spiegare i fenomeni fisici.
3.2
Le trasformazioni di Lorentz
Il fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz3 (Arnhem, 1853 - Haarlem, 1928), cercò di spiegare
l’esperimento di Michelson e Morley nell’ottica dell’esistenza dell’etere (Lorentz, 1892b,a) dando una
3
Premio Noberl per la fisica nel 1902 per la scoperta e spiegazione dell’effetto Zeeman
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
55
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
spiegazione diversa rispetto a quelle proposte in precedenza. Lorentz immaginò un meccanismo fisico
per cui il braccio dell’interferometro lungo la direzione dell’ipotizzato moto della terra si contraesse per
effetto delle variazioni di intensità delle forze intermolecolari agenti sui corpi in moto rispetto all’etere.
Grazie a questa contrazione delle lunghezze l’esperimento di Michelson e Morley risulterebbe non
definitivo rispetto all’esistenza dell’etere: il meccanismo fisico di contrazione macroscopica di oggetti
che viaggiano con una certa velocità rispetto all’etere non era però molto convincente dal punto di vista
teorico, per cui questa soluzione non ebbe molta risonanza nel contesto scientifico dell’epoca. Ciò che
fece invece risonanza ed ebbe conseguenze fu il formalismo utilizzato da Lorentz negli anni seguenti
per giustificare la contrazione delle lunghezze: l’utilizzo delle trasformazioni di Lorentz (3.2.1).
Queste trasformazioni rientrano all’interno di un gruppo di trasformazioni matematiche studiate tra
la fine dell’ottocento e l’inizio del novecento che prendono il nome dal fisico olandese per la rilevanza
dei suoi studi in merito.

0

x = γ(x − vx t)


y 0 = γ(y − v t)
y
(3.2.1)
0

z
=
γ(z
−
v
t)
z



t0 = γ(t − ~v·~r )
c2
La formulazione delle trasformazioni come nella formula (3.2.1) descrivono il cambiamento di coordinate tra un sistema di riferimento S caratterizzato dalle coordinate ~r = (x, y, z) per lo spazio e t per
il tempo ed il sistema S 0 caratterizzato da ~r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) per lo spazio e t0 per il tempo in movimento
con la velocità ~v = (vx , vy , vz ) rispetto al primo; c è la velocità della luce ed il parametro γ è chiamato
gamma di Lorentz ed è dato dalla formula
1
γ=q
1−
v2
c2
(3.2.2)
In genere noi consideremo sempre situazioni in cui il sistema S 0 si muove rispetto ad S solo lungo
l’asse x, per semplicità di calcoli; avremo in questo caso quindi:


x0 = γ(x − vt )



y 0 = y
(3.2.3)
0

z
=
z



t0 = γ(t − vx )
c2
Notiamo come per ottenere le trasformazioni inverse basti cambiare il segno della velocità ~v 4 : se infatti
S vede muoversi S 0 con una certa velocità verso destra, S 0 vedrà S muoversi con la stessa velocità
verso sinistra.

0

x = γ(x + vt )


y = y 0
(3.2.4)
0

z
=
z



t = γ(t0 + vx0 )
c2
Nel 1904 Lorentz dimostrò anche che le sue trasformazioni rendevano invarianti le equazioni di Maxwell
nel cambiamento di descrizione dal sistema S al sistema S 0 (Lorentz, 1899, 1904); lo scienziato olandese
continuava a credere che la sue trasformazioni fossero solo delle “soluzioni tecniche” al problema, in
particolare l’ultima equazione che definisce ciò che Lorentz chiamava tempo locale: fu Einstein nel 1905
come vedremo nel prossimo paragrafo che diede contenuto fisico alle trasformazioni ed alle osservazioni
che fece Lorentz.
4
se si ottinene l’inversa in modo algebrico si ottiene esattamente la stessa cosa
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
56
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
3.2.1
La velocità limite
Dal punto di vista matematico l’esistenza della γ di Lorentz, come funzione della velocità è garantita
solo se il modulo della velocità del sistema di riferimento S 0 rispetto ad S è minore della velocità della
luce c. Se andassimo infatti a studiare la funzione
1
γ(v) = q
1−
v2
c2
(3.2.5)
otterremmo il dominio D = {v ∈ R||v| < c} ed il corrispondente grafico (3.2.1) In una teoria fisica che
utilizza le trasformazioni di Lorentz quindi la velocità della luce rappresenterebbe un limite superiore
per le velocità cui possono muoversi sistemmi di riferimento inerziali.
3.2.2
Il limite galileiano
Se consideriamo velocità molto più piccole della velocità della luce, quali sono tutte le velocità dei fenomeni meccanici che abbiamo descritto prima di arrivare alla descrizione delle onde elettromagnetiche,
possiamo ragionevolmente approssimare
γ∼1
v/c ∼ 0
(3.2.6)
e notare come in questa approssimazione le trasformazioni di Lorentz diventano le trasformazioni di
Galileo.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
57
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
3.3
I postulati della relatività ristretta di Einstein
Nel 1905 quando pubblicò il suo articolo sulla relatività ristretta (Einstein, 1905b) Einstein fondò la
sua teoria su due postulati:
1. Le leggi della fisica devono essere invarianti per trasformazioni di coordinate tra
sistemi di riferimenti inerziali tra loro. In altre parole deve valere il principio di relatività
galileiana, anche per l’elettromagnetismo come per tutti i sistemi fisici. Einstein ribadisce ed
amplia il principio di Galileo, portando alla ridefinizione delle trasformazioni alla base di questo
principio: dalle trasformazioni di Galileo a quelle di Lorentz.
2. La velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento, a prescindere dal
loro stato di moto. Questo postulato apparentemente contrario alle esperienze quotidiane di
composizione delle velocità darà la corretta interpretazione dell’applicazione delle trasformazioni
di Lorentz, la spiegazione a posteriori dell’esperimento di Michelson e Morley e la struttura di
tutta la teoria della relatività.
3.4
Cinematica relativistica
Con cinematica relativistica intendiamo le conseguenze dei due postulati che si concretizzano nelle leggi
della cinematica della fisica classica, in particolare la legge di composizione delle velocità, i concetti di
spazio e tempo assoluti e la geometria dell’Universo stesso. É interessante notare come, se si cerca di
costruire un insieme di trasformazioni di coordinate da un sistema inerziale ad un altro, richiedendo la
costanza della velocità della luce e l’invarianza delle equazioni di Maxwell si ottengano esattamente le
trasformazioni di Lorentz: nel suo articolo sulla relatività ristretta infatti Einstein ricavò con queste
richieste le trasformazioni, non le assunse dal lavoro di Lorentz. I ragionamenti sulla cinematica sono
dunque, dal punto di vista matematico, le conseguenze dell’accettare come regola per la trasformazione
di coordinate il sistema di equazioni di Lorentz anziché quelle di Galileo, ricordando sempre che nel
limite di velocità basse tutto torna ad essere regolato dalle trasformazioni di Galileo e quindi dalla
fisica classica. Per capire il momento in cui gli effetti della relatività si fanno sentire, calcoliamo γ nel
caso della velocità del suono, uno dei fenomeni meccanici più veloci che conosciamo:
γ(343) = q
1−
1
3432
3000000002
=√
1
1
=
= 1, 000000000002
−12
0,
999999999998
1 − 3.9 × 10
(3.4.1)
decisamente un numero molto vicino ad uno per poter notare la differenza nelle trasformazioni di
Lorentz...
3.4.1
La composizione delle velocità
In terza, studiando la relatività galileiana abbiamo scritto come legge di composizione delle velocità:
~v = v~r + v~t
(3.4.2)
dove ~v è la velocità misurata dall’osservatore S, ~vr quella misurata dall’osservatore S 0 e v~t la velocità
del sistema S rispetto al sistema S 0 . Nelle convenzioni che abbiamo usato per scrivere le trasformazioni
di Lorentz questa equazione diventerà:
~u = u~0 + ~v
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
58
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
dove indicheremo con ~u la velocità misurata da un osservatore in S, ~u0 quella misurata da un osservatore
in S 0 e ~v la velocità del sistema di riferimento S 0 rispetto ad S 5 . Ora cercheremo di ricavare la relazione
corrispondente nel caso della relatività ristretta e commenteremo il risultato. Immaginiamo dunque
di osservare un punto materiale nei due diversi sistemi di riferimento: l’osservatore S misurerà una
velocità lungo x
x2 − x1
ux =
t2 − t1
0
mentre l’osservatore S
x0 − x01
u0x = 20
t2 − t01
Applichiamo ora le trasformazioni di Lorentz alla seconda equazione ed otteniamo:
x02 − x01
t02 − t01
γ(x2 − vt2 ) − γ(x1 − vt1 )
=
2
1
γ(t2 − vx
) − γ(t1 − vx
)
c2
c2
(x2 − vt2 ) − (x1 − vt1 )
=
2
1
(t2 − vx
) − (t1 − vx
)
c2
c2
(x2 − x1 ) − v(t2 − t1 )
=
(t2 − t1 ) − cv2 (x2 − x1 )
u0x =
−x1
(t2 − t1 )( xt22 −t
− v)
1
=
(t2 − t1 )(1 −
ux − v
=
x
1 − vu
c2
v x2 −x1
)
c2 t2 −t1
Analogamente per la direzione y della velocità:
u0y =
y20 − y10
t02 − t01
− y1
1
− γ(t1 − vx
)
c2
y2 − y1
=
vx2
1
γ[(t2 − c2 ) − (t1 − vx
)]
c2
y2 − y1
=
γ[(t2 − t1 ) − cv2 (x2 − x1 )]
=
γ(t2 −
=
y2
vx2
)
c2
−y1
(t2 − t1 ) yt22 −t
1
γ[(t2 − t1 )(1 −
uy
=
x
γ(1 − vu
)
c2
E quindi per z
u0z =
v x2 −x1
)]
c2 t2 −t1
uz
x
γ(1 − vu
)
c2
5
Scegliamo questa convenzione di nomi per le velocità perché è quella più utilizzata nei diversi testi e siti di fisica
quando si parla di relatività ristretta
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
59
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Le leggi di composizione delle velocità per la relatività ristretta sono dunque:

ux −v

u0 = 1−
vux


 x
c2
u
u0y = γ(1−yvux )
c2



uz
u0 =
vu
z
γ(1−
(3.4.3)
x)
c2
Come per le trasformazioni di Lorentz anche per la composizione delle velocità per ottenere le composizioni inverse basterà cambiare il segno della velocità ~v :

0 +v

ux = uz vu

0


1+ 2x

c

0
uy
uy =
(3.4.4)
vu0
γ(1+ 2x )

c


u0z
u =

 z
vu0x
γ(1+
c2
)
Il limite galileiano
Queste equazioni per la composizione delle velocità sono molto differenti rispetta quelle galileiane
(3.4.2), ma possiamo notare che quando le velocità in gioco sono molto più piccole di quella della
luce le equazioni sono ben approssimate dalle equazioni di Galileo, cosı̀ come per le trasformazioni di
Lorentz: γ infatti si approssima ad 1 ed i termini vux /c2 o vu0x /c2 sono approssimabili a 0. Questo
fatto è molto importante: la fisica della relatività ristretta non va in conflitto con la fisica
classica, anzi la fisica classica diventa un caso particolare della teoria della relatività
Einsteiniana, la sua approssimazione per velocità molto minori a quella della luce.
La costanza della velocità della luce
In una qualsiasi di queste equazioni, sostituendo al posto di v, oppure ux o u0x la velocità della luce c,
otteniamo sempre la velocità della luce (c o −c), confermando il postulato di Einstein sulla costanza
della velocità della luce e la struttura delle trasformazioni di Lorentz per cui essa è anche la velocità
limite nel nostro Universo. Ad esempio, consideriamo un raggio luminoso osservato dall’osservatore
S, l’osservatore S 0 , che si sta muovendo con velocità ~v rispetto ad S misurerà la velocità della luce:
ux − v
u0x =
x
1 − vu
c2
c−v
=
1 − vc
c2
c−v
=
1 − vc
c−v
= c−v
c
=c
e cosı̀ in tutti gli altri casi che possiamo immaginare di analizzare.
3.4.2
La simultaneità, l’invariante cinematico, la geometria di Minkowsky e la
causalità
Uno dei concetti che viene notevolmente modificato dalla teoria della relatività ristretta di Einstein
è il concetto di simultaneità: nella fisica classica se due eventi sono simultanei in un certo sistema
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
60
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
di riferimento S lo saranno anche in tutti i sistemi di riferimento inerziali rispetto ad S. Questa
richiesta è del tutto normale nel nostro modo di concepire la fisica, ma come vedremo nelle prossime
righe la realtà fisica non funziona cosı̀: la simultaneità degli eventi è un concetto relativo al sistema
di riferimento in cui sto descrivendo il fenomeno! La descrizione della relatività della simultaneità è
estremamente chiara con le parole dello stesso Einstein (Einstein, 1991):
“Le nostre considerazioni sono state finora svolte rispetto a un particolare corpo di riferimento, a
cui abbiamo dato il nome di ”banchina ferroviaria”. Supponiamo che un treno molto lungo viaggi
sulle rotaie con la velocità costante v e nella direzione indicata dalla figura (3.4.2). Le persone che
viaggiano su questo treno useranno vantaggiosamente il treno come corpo rigido di riferimento (sistema
di coordinate); esse considerano tutti gli eventi in riferimento al treno. Ogni evento, poi, che ha luogo
lungo la linea ferroviaria ha pure luogo in un determinato punto del treno. Anche la definizione di
simultaneità può venir data rispetto al treno nello stesso preciso modo in cui venne data rispetto
alla banchina. Ora però si presenta, come conseguenza naturale, la seguente domanda: Due eventi
(per esempio i due colpi di fulmine A e B) che sono simultanei rispetto alla ”banchina ferroviaria”
saranno tali anche rispetto al treno? Mostreremo subito che la risposta deve essere negativa. Allorché
Figura 3.2: Esperimento ideale di Einstein sulla relatività della simultaneità.
diciamo che i colpi di fulmine A e B sono simultanei rispetto alla banchina intendiamo: i raggi
di luce provenienti dai punti A e B dove cade il fulmine si incontrano l’uno con l’altro nel punto
medio M dell’intervallo AB della banchina. Ma gli eventi A e B corrispondono anche alle posizioni
A e B sul treno. Sia M’ il punto medio dell’intervallo AB sul treno in moto. Proprio quando si
verificano i bagliori del fulmine, questo punto M’ coincide naturalmente con il punto M, ma esso si
muove verso la destra del diagramma con la velocità v del treno. Se un osservatore seduto in treno
nella posizione M’ non possedesse questa velocità allora egli rimarrebbe permanentemente in M e i
raggi di luce emessi dai bagliori del fulmine A e B lo raggiungerebbero simultaneamente, vale a dire
s’incontrerebbero proprio dove egli è situato. Tuttavia nella realtà (considerata con riferimento alla
banchina ferroviaria), egli si muove rapidamente verso il raggio di luce che proviene da B, mentre
corre avanti al raggio di luce che proviene da A. Pertanto l’osservatore vedrà il raggio di luce emesso
da B prima di vedere quello emesso da A. Gli osservatori che assumono il treno come loro corpo di
riferimento debbono perciò giungere alla conclusione che il lampo di luce B ha avuto luogo prima del
lampo di luce A. Perveniamo cosı̀ al seguente importante risultato: gli eventi che sono simultanei
rispetto alla banchina non sono simultanei rispetto al treno e viceversa (relatività della simultaneità);
ogni corpo di riferimento (sistema di coordinate) ha il suo proprio tempo particolare: un’attribuzione di
tempo è fornita di significato solo quando ci venga detto a quale corpo di riferimento tale attribuzione si
riferisce. Orbene, prima dell’avvento della teoria della relatività, nella fisica si era sempre tacitamente
ammesso che le attribuzioni di avessero un significato assoluto, cioè fossero indipendenti dallo stato
di moto del corpo di riferimento. Abbiamo però visto or ora che tale ipotesi risulta incompatibile con
la più naturale definizione di simultaneità.”
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
61
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Se la simultaneità non è più un invariante cinematica della fisica viene allora da chiedersi cosa sia
invariante e quale geometria possa descrivere tale invariante: se spazio e tempo iniziano a “mescolarsi”
tra loro come sembrano suggerire le trasformazioni di Lorentz sembra inevitabile dover rinunciare allo
schema di Newton - avvallato poi dal punto di vista teorico e di principio da Kant - dell’Universo
come un palcoscenico di spazio euclideo nel quale scorre inesorabile ed immutabile il tempo assoluto
e lineare. Il cosiddetto invariante cinematico della relatività Einsteiniana è dato da
∆s2 = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 − c2 ∆t2
(3.4.5)
Proviamo a dimostrarlo, applicando le equazioni di Lorentz alla definizione di invariante cinematico:
(∆s)2 = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − c2 (∆t)2
= [γ(∆x0 + v∆t0 )]2 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − c2 [γ(∆t0 +
v∆x 2
)]
c2
0
v 2 (∆x0 )2
2 2 v∆x
−
2c
γ
∆t0
c4
c2
v 2 (∆x0 )2
= γ 2 (∆x0 )2 + γ 2 v 2 (∆t0 )2 + 2γ 2 v∆x0 ∆t0 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − c2 γ 2 (∆t0 )2 − γ 2
− 2γ 2 v∆x0 ∆t0
c2
v 2 (∆x0 )2
= γ 2 (∆x0 )2 + γ 2 v 2 (∆t0 )2 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − c2 γ 2 (∆t0 )2 − γ 2
c2
2
v
= (γ 2 − γ 2 2 )(∆x0 )2 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − (c2 γ 2 − γ 2 v 2 )(∆t0 )2
c
2
v
= γ 2 (1 − 2 )(∆x0 )2 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − γ 2 (c2 − v 2 )(∆t0 )2
c
= (∆x0 )2 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − c2 (∆t0 )2
= γ 2 (∆x0 )2 + γ 2 v 2 (∆t0 )2 + 2γ 2 v∆x0 ∆t0 + (∆y 0 )2 + (∆z 0 )2 − c2 γ 2 (∆t0 )2 − c2 γ 2
= (∆s0 )2
Dunque la quantità definita dall’equazione (3.4.5) non cambia al cambiare del sistema di riferimento
in cui viene misurata. (∆s)2 è l’equivalente concettuale dell’intervallo di tempo e della misura di una
lunghezza in fisica classica: nella descrizione data dalle trasformazioni di Galileo l’intervallo di tempo
in cui avviene un certo fenomeno, cosı̀ come la lunghezza di un righello, è una quantità invariante rispetto al sistema di riferimento in cui avviene la misura, a patto che siano sistemi inerziali. Per poter
fondare una teoria in cui le trasformazioni di riferimento sono le trasformazioni di Lorentz e in cui l’invariante della cinematica è (∆s)2 , Einstein ebbe la necessità di sostituire la geometria euclidea come
modello della realtà con una geometria che possa tornare ad essere euclidea nell’approssimazione di
velocità basse e mescoli spazio e tempo nella sua struttura. La geometria che descrive l’universo nella
teoria della relatività speciale è la geometria proposta dal matematico lituano Hermann Minkowsky (Aleksotas, 1864 - Gottinga, 1909), in cui l’elemento di misura fondamentale, l’equivalente della
distanza tra due punti è data proprio dalla quantità (3.4.5). La cosiddetta geometria di Minkowsky è una geometria non-euclidea quadridimensionale in cui l’elemento fondamentale è il cosiddetto
quadrivettore spazio-tempo dato da 3 dimensioni spaziali (x,y,z) ed una temporale t
~s = (x, y, z, t)
il cui modulo è dato da
|~s| = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = r2 − c2 t2 ,
con c la velocità della luce. Dunque la distanza tra due eventi nello spazio tempo di Minkowsky
s~1 = (x1 , y1 , z1 , t1 ), s~2 = (x2 , y2 , z2 , t2 ) è data da
~ = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − c2 (∆t)2 = (∆r)2 − c2 (∆t)2
|∆s|
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
62
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Se l’universo della relatività speciale è descritto da questa geometria è dunque evidente che due eventi
simultanei (∆t = 0) in un sistema non necessariamente saranno simultanei in un altro sistema di
riferimento, ma di sicuro la “distanza” quadridimensionale (∆s)2 sarà sempre la stessa. I quadrivettori
di Minkowsky si dividono in 3 tipologie:
• Quadrivettori tipo spazio: tutti i vettori ~s tali che |~s|2 > 0. Si chiamano in questo modo
perché la parte spaziale del quadrivettore ha modulo maggiore della parte temporale:
|~s|2 > 0 ⇒ r2 > c2 t2 ⇒ |r| > c|t|
• Quadrivettori tipo tempo: tutti i vettori ~s tali che |~s|2 < 0. Si chiamano in questo modo
perché la parte temporale del quadrivettore ha modulo maggiore della parte spaziale:
|~s|2 < 0 ⇒ r2 < c2 t2 ⇒ |r| < c|t|
• Quadrivettori tipo luce: tutti i vettori ~s tali che |~s|2 = 0. Si chiamano in questo modo perché
la parte temporale del quadrivettore ha modulo uguale alla parte spaziale:
|~s|2 = 0 ⇒ r2 = c2 t2 ⇒ |r| = c|t|
Figura 3.3: Spaziotempo di Minkowsky e coni di luce
Immaginando una sola dimensione spaziale la situazione dei quadrivettori è descritta dalla figura
(3.4.2), in cui si notano le differenze tra la zona di spaziotempo in cui giacciono i vettori tipo spazio,
tempo e luce; le figure definite dalla retta dei vettori di tipo luce nello spaziotempo di Minkowsky
sono note come coni di luce. Questo formalismo permette di comprendere l’importanza che la teoria
di Einstein dà alla luce e ad un concetto che prende nuova rilevanza in fisica dal 1905: la causalità.
Essendo la velocità della luce la velocità limite in natura due eventi possono essere in relazione tra loro
se un raggio di luce può congiungerli, e diremo che sono causalmente connessi. Questa connessione
può essere definita in base al tipo di quadrivettore distanza tra i due eventi; assumiamo di avere
due eventi s~1 = (x1 , y1 , z1 , t1 ) ed s~2 = (x2 , y2 , z2 , t2 ) la cui distanza è quindi un quadrivettore ∆~s =
s~2 − s~1 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 , t2 − t1 ) di modulo quadrato (∆s)2 = (∆r)2 − c2 (∆t)2 , potremo
avere 3 casi quindi:
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
63
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
• Se il vettore distanza è di tipo tempo, e giace dunque nella zona colorata del grafico (3.4.2),
significa che |∆r| < c|∆t| quindi la velocità media per congiungere i due eventi con un segnale è
minore della velocità della luce: i due eventi quindi possono essere in relazione causale, uno può
influenzare l’altro;
• Se il vettore distanza è di tipo spazio, e giace dunque nella zona bianca del grafico (3.4.2),
significa che |∆r| > c|∆t| quindi la velocità media per congiungere i due eventi con un segnale
è maggiore della velocità della luce: i due eventi quindi non possono essere in relazione causale,
uno non può influenzare l’altro;
• Se il vettore distanza è di tipo luce, e giace dunque su una delle bisettrici del grafico (3.4.2),
significa che |∆r| = c|∆t| quindi la velocità media per congiungere i due eventi con un segnale è
uguale alla velocità della luce: i due eventi quindi possono essere in relazione causale, uno può
influenzare l’altro, ma solo tramite un segnale luminoso.
I quadrivettori distanza tra due eventi che stanno dentro al cono di luce dunque sono in relazione
causale tra loro, quadrivettori distanza tra due eventi che invece non stanno dentro al cono di luce non
sono in relazione causale tra loro. Risulta evidente che due eventi che accadono nello stesso istante
non sono in relazione causale tra loro, non possono essere l’uno la causa dell’altro. Dai tempi in cui
abbiamo introdotto F~ = m~a stiamo mettendo in evidenza il ruolo che nella fisica hanno le relazioni
causa-effetto, senza però mai dare un “posto d’onore” a questa relazione: nel caso della relatività
ristretta la causalità diventa elemento intrinseco nella struttura stessa dello spaziotempo, grazie alla
definizione di Minkowsky di modulo di un quadrivettore. Troviamo un esempio di due eventi non
causalmente non connessi in figura (3.4.2).
Figura 3.4: Eventi causalmente non connessi: due eventi s~1 = (x1 , t1 ) e s~2 = (x2 , t2 ) generano una
distanza in nello spazio di Minkowsky (∆s)2 > 0, un segnale luminoso che parte da s~1 non può
raggiungere s~2 e dunque nessun segnale che parte da s~1 può raggiungere s~2 rendendo i due eventi
causalmente non connessi.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
64
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
3.4.3
La dilatazione degli intervalli di tempo
Nei prossimi due paragrafi andremo a studiare come cambiano le ampiezze degli intervalli rispettivamente di tempo e spazio quando un fenomeno viene descritto in due diversi sistemi di riferimento
inerziali. Iniziamo con gli intervalli di tempo. Immaginiamo di avere i soliti due sistemi di riferimento
Sxyz centrato in O ed Sx0 0 y0 z 0 centrato in O0 che si muove di velocità costante ~v = (v, 0, 0) rispetto
ad S. Un osservatore solidale con il sistema O0 misura la durata di un certo fenomeno che avviene
nel proprio sistema di riferimento in un punto x00 ed ottiene un certo valore ∆t0 . Quanto sarà durato
lo stesso fenomeno se osservato da un osservatore solidale con S? Per capirlo ci basta applicare le
trasformazioni di Lorentz ottenendo:
∆t = t2 − t1
vx00
vx00
0
)
−
γ(t
+
)
1
c2
c2
= γ(t02 − t01 )
= γ(t02 +
= γ∆t0
≥ ∆t0
Il tempo risulta dunque dilatato se misurato da un sistema di riferimento in moto rispetto al sistema
in cui avviene il fenomeno di cui si sta misurando la durata! Il tempo più basso misurabile è quello
nel sistema di riferimento in quiete (nel nostro esempio S 0 ) ed è chiamato tempo proprio.
3.4.4
La contrazione delle lunghezze
Anche la misura delle lunghezze è relativa al sistema di riferimento in cui si effettua la misurazione.
Immaginiamo di voler misurare la distanza tra due stazioni ferroviarie A e B: sia L la lunghezza della
distanza AB misurata nel sistema solidale con le rotaie, che chiameremo O. Immaginiamo ora che per
misurare questa distanza si faccia transitare un treno da A verso B con la velocità costante v, si misuri il
tempo impiegato ad andare da A a B e lo si moltiplichi per la velocità v. Come visto precedentemente il
tempo misurato dall’osservatore O0 , che si trova in un sistema di riferimento inerziale in moto rispetto
al sistema O è minore del tempo che l’osservatore O misura: ∆t = γ∆t0 , e dunque la lunghezza
misurata dall’osservatore in moto L0 è minore della lunghezza misurata dall’osservatore L, secondo la
relazione
1
L0 = L
γ
La misura maggiore è dunque quella effettuata nel sistema solidale (fermo) rispetto alla lunghezza da
misurare: chiameremo per questo tale lunghezza la lunghezza propria.
3.5
Dinamica relativisitica
Anche dal punto di vista della dinamica l’impostazione della relatività ristretta ha grosse conseguenze,
conscettuali e pratiche: se la velocità della luce è la velocità limite nel nostro universo significa che
p
il secondo principio della dinamica va modificato. F~ = d~
dt significa che applicando una certa forza
costante per un tempo sufficientemente lungo su un punto materiale di massa m questo supererà la
velocità della luce. Per evitare che questo accada Einstein propose che la quantità di moto rispondesse
alla seguente legge: p~ = γm~v , che spesso troviamo scritta come
p~ = γm0~v
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
(3.5.1)
65
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
spesso l’interpretazione che viene data è quella della massa relativistica che cambia a seconda della
velocità a cui si muove, partendo dalla massa a riposo m0 aumentando via via man mano che aumenta la velocità fino a tendere all’infinito quando la velocità tende alla velocità della luce, in modo
da impedirne il raggiungimento. Questa interpretazione, che pur noi e molti testi e siti utilizzano,
non è universalmente riconosciuta come valida dal punto di vista epistemologico: taluni preferiscono
pensare ad una varizione di quantità di moto, non della massa, nell’idea che le variabili elementari da
considerare siano spazio e quantità di moto e non spazio e velocità. In ogni caso per velocità molto
minori di quella della luce massa, quantità di moto e secondo principio della dinamica tornano ad avere i valori della meccanica classica, come deve essere. Nei prossimi paragrafi vedremo le conseguenze
di questa impostazione dal punto di vista dell’energia relativisitica, il principio di conservazione e la
famosa relazione E = mc2 .
3.5.1
Massa ed energia
Per riuscire a definire l’invariante relativistico in dinamica dobbiamo studiare più in dettaglio il secondo
principio della dinamica e la definizione di energia cinetica nel caso in cui consideriamo sistemi in cui
la massa può variare:
~
dEc = F~ · ds
~
dp
~
=
· ds
dt
~
dv
~ + ~v dm · ds
~
= m · ds
dt
dt
~ + ~v · ~v dm
= m~v · dv
~ + v 2 dm
= m~v · dv
che nel caso in cui si stia considerando una particella sotto il solo influsso della forza F~ , visto che la
velocità e la sua variazione sono vettori paralleli, diventa:
dEc = mvdv + v 2 dm
(3.5.2)
Per arrivare alla definizione di invariante relativistico e alla famosa relazione di Einstein sulla massaenergia consideremo la discussa definizione di massa relativistica che citavamo precedentemente:
m = γm0
(3.5.3)
da cui possiamo ottenere le seguenti relazioni:
m = γm0
m2 = γ 2 m20
1
2
m2 =
2 m0
1 − vc2
c2
m2
− v2 0
m2 c2 − m2 v 2 = m20 c2
m2 =
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
c2
66
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Questa relazione deve valere per ogni velocità, e dunque pensando di aumentare la velocità di una
piccola quantità dv e conseguentemente immaginando che la massa aumenti di una piccola quantità
dm avremo:
(m + dm)2 c2 − (m + dm)2 (v + dv)2 = m20 c2
(m2 + dm2 + 2mdm)c2 − (m2 + dm2 + 2mdm)(v 2 + dv 2 + 2vdv) = m20 c2
considerando dm e dv piccoli a maggior ragione saranno piccoli e quindi trascurabili i termini dm2 ,
dv 2 e dmdv, e dunque:
m2 c2 + 2mc2 dm − m2 v 2 − 2m2 vdv − 2mv 2 dm = m20 c2
a questo punto possiamo usare la relazione m2 c2 − m2 v 2 = m20 c2 per ottenere:
2mc2 dm − 2m2 vdv − 2mv 2 dm = 0
2m2 vdv + 2mv 2 dm = 2mc2 dm
mvdv + v 2 dm = c2 dm
e dunque, data la (3.5.2) si può concludere che
dEc = dmc2
Z Ecf
dEc
∆Ec =
Eci
Z mf
dmc2
=
mi
Z mf
2
=c
dm
mi
2
= c (mf − mi )
Se il punto materiale parte da fermo e raggiunge una certa velocità v a cui il punto materiale assume
una certa massa m otterremo la relazione
Ec = mc2 − m0 c2
(3.5.4)
che può essere letta nel seguente modo: l’energia cinetica di una particella si ottiene sottraendo alla sua
energia totale la sua energia a riposo, ed ecco come si è ottenuta la famosa espressione dell’energia
totale di una particella
E = mc2 ,
(3.5.5)
una della più famose formule della fisica, che esprime la corrispondenza tra massa ed energia, e la conseguente possibilità di trasformazione dell’una nell’altra, come avviene nelle trasformazioni chimiche
o nucleari.
3.5.2
Invariante dinamico
Dalle due equazioni (3.5.1) e (3.5.5) capiamo come anche in termini dinamici le quantità che si conservano nel caso della relatività di Einstein cambiano rispetto alla fisica classica, quantità di moto ed
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
67
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
energia meccanica cambiano se misurate da sistemi di rierimento diversi (inerziali tra loro). Come nel
caso della cinematica, anche in questo caso risulta invariante una combinazione delle due quantità:
E 2 − p2 c2 = m2 c4 − γ 2 m20 v 2 c2
= γ 2 m20 c4 − γ 2 m20 v 2 c2
= (γ 2 m20 c2 )(c2 − v 2 )
=
=
=
m20 c2
(c2 − v 2 )
2
1 − vc2
m20 c2 2
(c
c2 −v 2
c2
m20 c4
− v2)
la quantità m20 c4 non dipende certamente dal sistema di riferimento in cui la si guarda, è l’energia a
riposo della particella (un numero fissato) moltiplicata per il quadrato della velocità della luce. Dunque
la particolare combinazione di energia e quantità di moto E 2 − p2 c2 è l’invariante energia-quantità
di moto. Nel formalismo matematico della relatività ristretta si definisce nello spazio di Minkowsky
il quadrivettore energia-quantità di moto (~
pc; E) il cui modulo in questa particolare geometria non è
altro che l’invariante dinamico (cambiato di segno).
3.5.3
La luce
In relatività ristretta l’energia di un raggio di luce merita una riflessione particolare: dalla relazione
E = mc2 si ottiene un’indeterminazione, poiché avendo definito m = γm0 l’energia non è una quantità
definibile per v = c, per lo meno con tale relazione, cosı̀ come la quantità di moto non è definibile
tramite la (3.5.1). Per capire quindi che tipo di energia ha un raggio di luce dobbiamo analizzare
l’invariante dinamico ponendo m0 = 0:
E 2 − p2 c2 = 0
E 2 = p2 c2
E = pc
dove energia e quantità di moto di un raggio di luce sono in relazione tra loro; queste quantità furono
definite indipendentemente dalla relatività ristretta da Einstein in un articolo parallelo a quello della
relatività sempre nel 1905, come vedremo nel prossimo capitolo.
3.6
Cenni di relatività generale
Come già detto in precedenza, con un articolo del 1916 (Einstein, 1916) Einstein propose la sua teoria
della relatività generale, dove le idee sviluppate negli anni precedenti trovano pieno compimento
non richiedendo più la restrizione ai sistemi di riferimento inerziali. In questo capitolo daremo solo
qualche indicazione sulle idee principali di questa teoria, il cui sviluppo completo è dal punto di vista
fisico e matematico molto complesso. Il cuore concettuale della teoria della relatività generale sta nella
relazione tra inerzia e gravità.
3.6.1
Inerzia e Gravità secondo Newton: principio di equivalenza debole
Già Newton nel 1687 nella definizione 1 dei suoi “principia” (Newton, 1687) aveva colto l’importanza
della relazione tra inerzia e gravità, sostenendo che la massa intesa come inerzia e la massa intesa come
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
68
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
gravità devono avere la stessa intensità, come misurato da lui nel pendolo semplice: “Definizione I. La
quantità di materia è la misura della medesima, ricavata dal prodotto della sua densità per il volume.
[...] In seguito indicherò questa quantità indifferentemente con i nomi di corpo, o massa. Tale quantità
diviene nota attraverso il peso di ciascun corpo. Per mezzo di esperimenti molto accurati sui pendoli,
trovai che è proporzionale al peso, come in seguito mostrerò.6 ” In letteratura questa equivalenza
tra i valori della massa inerziale e massa gravitazionale prende il nome di principio di equivalenza
debole: in base alla fisica classica nessuno infatti può dire che la proprietà della materia sensibile
alla gravità (massa gravitazionale) e quella che si oppone al cambiamento dello stato di moto dei
corpi (massa inerziale) siano la stessa cosa. Newton misurando il periodo del pendolo semplice verifica
che il rapporto tra la massa gravitazionale e la massa inerziale deve essere 1: e nei nostri studi noi
abbiamo sempre assunto implicitamente mi = mg . Considerando le due masse il calcolo per il periodo
del pendolo semplice, fatto al terzo anno, si sviluppa come segue; la forza che genera il moto è la
componente del peso nella direzione tangente alla traiettoria:
s
P|| = −mg g sin α ∼ −mg gα = −mg g
l
che per il secondo principio della dinamica deve essere uguale alla massa (inerziale) per l’accelerazione:
s
−mg g = mi a
l
da cui otteniamo la relazione armonica
s r
mg g
l mi
s ⇒ T = 2π
a=−
mi l
g mg
A questo punto, visto che il periodo misurato corrisponde alla relazione
s
l
T = 2π
g
Newton conclude che mi = mg , per lo meno dal punto di vista delle intensità; egli infatti mantiene
concettualmente distinti i due tipi di masse.
3.6.2
Inerzia e Gravità secondo Einstein: principio di equivalenza forte
Nel 1916 Einstein dimostrò che inerzia e gravità sono due concetti indistinguibili, attraverso il famoso
esperimento ideale dell’ascensore, descritto in figura (3.6.1). L’osservatore, con un qualsiasi esperimento fisico all’interno dell’ascensore, non può distinguere la situazione A dalla situazione B: non si
può distinguere con esperimenti fisici un sistema di riferimento inerziale immerso in un campo gravitazionale da un sistema di riferimento in moto accelerato non immerso in un campo gravitazionale
e dunque non è distinguibile attraverso esperimenti fisici l’inerzia dalla gravità, il che corrisponde a
dire che queste due quantità esprimono lo stesso concetto fisico: questo è il contenuto concettuale del
principio di equivalenza forte. Questo principio pone le basi per la descrizione della relatività non
solamente in sistemi inerziali (ristretta) ma anche in quei sistemi dove agiscono forze gravitazionali
o non inerziali, e dunque assume un carattere generale, dove il postulato di relatività si modifica
ancora rispetto alla formulazione del 1905 diventando: tutte le leggi della fisica assumono la stessa
forma in qualsiasi sistema di riferimento vengano descritte. L’idea di base di Einstein è quella di
portarsi sempre in un sistema inerziale equivalente al sistema in cui ci troviamo e da lı̀ applicare la
relatività ristretta: ruolo importantissimo nella relatività generale hanno quindi i sistemi di coordinate
e le trasformazioni geometriche che portano da un sistema all’altro.
6
traduzione dal testo originale in latino
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
69
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
Figura 3.5: Esperimento ideale dell’ascensore
3.6.3
Caratteristiche qualitative della relatività generale
L’idea di fondo della relatività generale diventa dunque la seguente: posso sempre riuscire ad applicare
un cambio di sistema di riferimento per poter descrivere il fenomeno in un sistema inerziale equivalente
al sistema in cui mi trovo; la fisica della relatività generale diventa quindi una fisica delle coordinate
spazio temporali in cui si descrive il sistema, una fisica molto geometrica. E la geomentria a cui si
deve necessariamente fare riferimento è una geometria che ammetta la possibilità che lo spazio in
cui viviamo non sia euclideo. Non ci addentreremo nei dettagli di questa questione ma cerchiamo di
capire cosa significa con un esempio: un moto circolare uniforme può essere descritto come un moto
rettilineo uniforme in un sistema curvo, la cui forma è una circonferenza; se immaginiamo di non sapere
di essere su un pianeta immerso in un universo e ci viene detto di muoverci di moto rettilineo uniforme
all’infinito la traiettoria che andremmo a percorrere nello spazio tridimensionale dell’universo sarebbe
una specie di circonferenza. Ecco che allora l’universo non è più percepito come uno spazio euclideo
o pseudo-euclideo come nel caso della geometria di Minkowsky, ma uno spazio che può “piegarsi”
alla presenza di masse e sul quale la luce si propaga con velocità costante lungo i percorsi più brevi
che tecnicamente prendono il nome di curve geodetiche. Le principali conseguenze che sono poi state
verificate sperimentalmente (che discuteremo brevemente in classe) di questa teoria sono:
• precessione del perielio di Mercurio;
• la curvatura della luce in presenza di masse molto grandi e le lenti gravitazionali;
• esistenza delle onde gravitazionali.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
70
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
3.7
Esercizi
1. Un osservatore O0 si trova sopra ad un treno relativistico che viaggia a v = 23 × 106 m/s. Qual è
il fattore γ dell’osservatore? Se il treno passa davanti ad una stazione come cambia percentualmente la coordinata di O0 nel tempo per un osservatore solidale con la stazione rispetto al caso
non relativistico? (assumendo che le due origini di O ed O0 siano nello stesso punto dello spazio
quando t = 0s)
[γ = 1, 003; δx/x = 0, 3% ]
2. Un treno relativistico si sta muovendo di moto rettilineo uniforme con γ = 2 rispetto ad una
stazione. Un osservatore sul treno lascia cadere due palline ad una distanza d = 1, 5m l’una
dall’altra lungo la direzione del moto del treno. Un osservatore solidale con la stazione vedrà le
palline cadere nello stesso istante? Con che ritardo vedrà cadere la seconda pallina rispetto alla
prima?
[t2 − t1 = 8, 7ns]
3. Un osservatore in un treno in moto rettilineo uniforme v = 2 × 108 m/s rispetto ad un osservatore
O effettua un esperimento di caduta di grave. Nel punto in cui si trova (x0 = 0) lascia cadere un
oggetto da un’altezza y 0 = 2m. Che tempo di caduta misurerà l’osservatore O0 ? E l’osservatore
O?
[t0 = 6, 26s; t = 8, 38s]
4. La famosa galassia Sombrero ha una velocità di allontanamento dalla terra v ∼ 1024m/s. Un
ipotetico osservatore Sombrero di quanto vedrebbe allungarsi un secolo terrestre?
[∆t ∼ 3min]
5. Un osservatore O0 in moto rispetto ad O con γ = 1, 7 vede due fenomeni accadere simultaneamente. Se O vede i due fenomeni con un ritardo δt = 5µs, a che distanza spaziale si trovano i
due fenomeni per O? E per O0 ?
[∆x = 1850m; ∆x0 = 1080m]
6. Un tizio O0 su un treno che viaggia a v = 2 × 108 m/s lancia nel senso di marcia del treno un
elettrone alla velocità v1 = 9000km/s. A che velocità vedrà viaggiare l’elettrone un osservatore
O seduto sulla panchina della stazione dove il treno sta passando? Che differenza percentuale
c’è con la velocità che calcolerebbe O se fosse un fisico Galileiano?
[v2 = 2, 05 × 108 m/s; ∆v/v = 2%]
7. Un cannoncino elettronico fermo le laboratorio emette due elettroni che rispetto al cannoncino
si muovono in direzione opposta alla stessa velocità v = 0, 8c. Quale velocità di un elettrone
misurerebbe un osservatore solidale con l’altro elettrone?
[v = 98c]
8. Una particella elementare in moto con v = 0, 6c rispetto al laboratorio emette un elettrone. Dal
laboratorio misurano l’elettrone con una velocità v1 = 0, 5c che forma un angolo α = 30◦ con la
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
71
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
direzione del moto della particella elementare. Che velocità e che angolo forma con la direzione
della particella l’elettrone nel sistema della particella?
[v 0 = 0, 35c; α0 = −49, 6◦ ]
9. Il muone è una particella che da ferma ha una vita media misurata in laboratorio di 2,2µs. Se
un osservatore a terra vede un muone disintegrarsi in 3µs dalla sua produzione, con che velocità
viaggiava il muone nel sistema del laboratorio?
[v = 0, 68c]
10. Flash tiene in mano un righello che forma un angolo α = 45◦ con il pavimento. Tenendo fermo
il righello il supereroe inizia a correre fino ad arrivare alla velocità v = 0, 5c. Mentre si sta
muovendo passa davanti ad una panchina. Che angolo osserverà un tizio seduto sulla panchina?
[α0 = 49◦ ]
11. Per che velocità il fattore γ di Lorenzt si discosta per un millesimo dall’unità?
[v ∼ 13500km/s]
12. Pordenone ed Udine distano circa 50km. Un evento che avviene alle 12:50 a PN ed uno che
avviene alle 12:51 a UD sono causalmente connessi? Perché?
[Sı̀, ∆s2 = −3, 24 × 1020 m2 < 0]
13. Qual è il tempo minimo che può impiegare un email mandata da New York a raggiungere Roma?
[t ∼ 23µs]
14. Un atronave viaggia alla velocità v = 0, 4c. Il capitano della nave dice al pianeta X che arriveranno in 3min. Quanto tempo passerà per il controllore sul pianeta prima del loro arrivo?
[t = 3m16s]
15. Da un’astronave che si muove verso la terra a v = 0, 6c viene lanciato un oggetto verso la terra
a v1 = 0, 1c. Con quale velocità lo vedranno arrivare gli osservatori terrestri?
[v = 0, 66c]
16. Un protone inizialmente a risposo viene accelerato fino a viaggiare con la velocità costante
v = 2 × 108 m/s. Quanta energia cinetica ha guadagnato? Quale la differenza percentuale con il
calocolo non relativistico? Quanta quantità di moto ha a regime? Se la forza che ha impresso
tale quantità di moto era costante F = 3µN, per quanto tempo ha agito?
[Ec = 0, 32GeV; ∆E/E = 54%; p = 88TeV/c; t = 16ns]
17. A quale velocità una particella relativistica ha tanta energia cinetica quanta energia a riposo?
[v = 2, 6 × 108 m/s]
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72
CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
18. Il bosone di Higgs è la particella elementare teorizzata nel 1964 e rilevata per la prima volta nel
2012, al CERN di Ginevra. Essa ha massa a riposo stimata m0 = 125MeV/C2 . A che velocità
deve viaggiare un protone per avere la stessa energia di un bosone di Higgs a riposo?
[v = 0, 99997c]
19. Un elettrone è accelerato da fermo da una differenza di potenziale ∆V = 2 × 105 V.Quale energia
cinetica avrà l’elettrone dopo l’accelerazione?Quale quantità di moto? Quale velocità?
[Ec = 2 × 105 eV; p = 487, 5keV/c; v = 0, 69c]
20. Quando una paricella incontra la sua corrispondente antiparticella (una particella uguale in tutto
e per tutto tranne che per la carica elettrica che è opposta alla particella) esse si annichilano,
liberando energia ed altre particelle. Un elettrone ed un anti-elettrone (positrone) si annichilano
liberando un fotone: quale minima energia avrà il fotone liberato? E quanta corrispondente
quantità di moto?
[Eγ = 1MeV; pγ = 49, 2µm Kg/s]
21. Si calcoli l’energia cinetica di un neutrone che ha quantità di moto p = 7 × 10−19 kg m/s
[Ec = 55, 3MeV]
22. Un elettrone di quantità di moto 3 × 10−20 kg m/s è relativistico? Perché?
[Sı̀, γ = 110]
23. Quale differenza di potenziale elettrico serve per portare un elettrone da fermo a γ = 10?
[∆V = 4, 6MV]
24. Un nucleo di Deuterio si spezza nei suoi due componenti n e p. La erazione è esoenergetica o
endoenergetica? Quanta energia viene liberata/assorbita nella reazione?
[endoenergetica; ∆m = 2, 8MeV]
25. Quanta energia viene liberata per molecola nella sintesi dell’acqua: 2H2 + O2 → 2H2 O?
[∆E = −5, 6MeV]
26. At what speed does a clock move if it runs at a rate wich is 1/3 the rate of a clock at rest?
[v = 0, 94c]
27. The average lifetime of a π particle (π meson) in its own reference frame is τ = 26ns. What is
the average distance it travels before decaying as measured by an observer at rest with π and at
rest with the earth id it is moving at v = 0, 95c with respect to the earth?
[lE = 23, 7m; lπ = 7, 4m]
28. Find the energy needed to stop an electron moving at v = 0, 9c.
[E = 1, 2MeV]
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CAPITOLO 3. RELATIVITÀ EINSTEINIANA
29. Find the maximum speed of a proton inside the TeVatron in Illinois.
[v = 0, 9999996c]
30. Find the speed at which the energy of an electron reaches a tenth of the energy at rest of a proton.
[v = 0, 999990c]
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74
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Capitolo
4
Fisica quantistica
Come già descritto nell’introduzione al capitolo precedente, alcuni dei problemi della fisica classica
evidenziati tra la fine dell’ottocento e l’inizio del novecento furono risolti dalla teoria della relatività
di Einstein, mentre altri dalla teoria della meccanica quantistica, di cui studieremo la nascita ed i
principali tratti concettuali in questo capitolo. I problemi visti nel capitolo scorso e non risolti dalla
teoria della relatività sono dunque:
1. Non si riesce a decidere tra modello corpuscolare ed ondulatorio per la luce.
2. Non si trova un modello funzionante per il mattone fondamentale dell’Universo: l’atomo;
3. Non si riesce a spiegare lo spettro di Corpo Nero.
L’idea fondamentale dello sviluppo di questa teoria che spiega il comportamento del mondo microscopico è che molte grandezze fisiche non possono assumere tutti i valori dei numeri reali, ma solamente
un sottoinsieme discreto di R: questa assuzione porta ad una nuova e stravagante ipotesi per la quale
a livello microscopico la luce e le particelle non mostrano carattere corpuscolare od ondulatorio, ma
un dualismo tra queste due nature, concetto che approfondiremo nei prossimi paragrafi. La meccanica
quantistica si dimostrò essere una teoria potentissima nel prevedere l’esistenza di particelle elementari;
come mai nella storia della scienza fu una teoria che fece moltissime previsioni prima che l’evidenza
sperimentale le confermasse: l’esempio del famoso bosone di Higgs è solo uno degli ultimi esempi.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
75
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Al giorno d’oggi questa teoria è universalmente riconosciuta come la teoria per spiegare il mondo
microscopico, anche se restano una serie di problemi nella connessione di questa teoria con il mondo
macroscopico e con la teoria della relatività generale; entrambe le teorie nel loro regime di validità
sembrano non avere “falle”, ma siamo ancora alla ricerca della cosiddetta “teoria del tutto” che possa
descrivere la meccanica quantistica su piccole scale, la meccanica classica sulle scale ordinarie e la
relatività generale sulle scale più grandi.
4.1
4.1.1
La luce
Il problema del corpo nero
Durante il biennio abbiamo studiato il fenomeno dell’irraggiamento termico, osservando come sperimentalmente i corpi emettono calore sotto forma di radiazioni elettromagnetiche secondo la legge di
Stefan-Boltzmann:
Q = σST 4 ∆t
(4.1.1)
dove Q è il calore emesso, è la costante di emissività che cambia da corpo a corpo, σ = 5, 67 ×
10−8 W/m2 K4 è la costante di Stefan-Boltzmann, S la superficie del corpo, T la sua temperatura e
∆t il tempo in cui il calore Q viene emesso. Si definisce corpo nero un corpo che assorbe tutta la
radiazione che lo investe senza rifletterla e la riemette poi sotto forma di irraggiamento secondo la
formula (4.1.1), con = 1. Lo studio secondo le leggi della fisica classica dell’emissione di radiazione
da corpo nero, fatta principalmente dai due fisici britannici John William Strutt terzo barone
di Rayleigh1 (Langsford Grove 1842 - Witham 1919) e James Hopwood Jeans (Ormskirk, 1877 Dorking, 1946) e dal fisico tedesco Wilhelm Wien2 (Fischhausen, 1864 - Monaco di Baviera, 1928),
portò a due leggi, quella di Rayleigh-Jeans e quella di Wien che rappresentano assieme alla legge
di Stefan-Boltzmann l’interpretazione classica dello spettro di emissione di corpo nero. La legge di
Wien, anch’essa di natura sperimentale, osserva che
λ0 T = cost
(4.1.2)
dove T è la temperatura del corpo nero e λ0 la lunghezza d’onda alla quale si misura l’emissione
massima del corpo nero in questione. La legge di Rayleigh-Jeans, ottenuta teoricamente a partire
dalla fisica classica invece prevede che:
1
Rλ ∼ 4
λ
dove Rλ è la funzione radianza spettrale e rappresenta l’intensità di radiazione (l’energia emessa
nell’unità di tempo e di area della sorgente) in funzione della lunghezza d’onda della radiazione emessa:
per trovare l’intensità emessa in un certo intervallo di lunghezza d’onda [λ1 ; λ2 ] si dovrà quindi risolvere
l’integrale:
Z λ2
Q∆λ
I∆λ =
=
Rλ dλ
A∆t
λ1
ed in linea di principio dovrà valere, per essere coerente con la legge sperimentale (4.1.1):
Z +∞
I=
Rλ dλ = σT 4
0
La funzione cosı̀ trovata dai due fisici britannici ha un grosso problema teorico identificato come
catastrofe ultravioletta: l’energia emessa da un corpo nero quando si vanno a considerare tutte
1
2
premio nobel per la fisica nel 1904
premio nobel per la fisica nel 1911
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
76
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
le lunghezze d’onda, comprese le più piccole, tende all’infinito invece di tendere alla formula (4.1.1)!
La legge era vistosamente errata nella zona a basse lunghezze d’onda mentre risulta essere piuttosto
accurata per lunghezze d’onda grandi, come descritto dalla figura (4.1). Il fisico tedesco Max Planck
Figura 4.1: Legge di Rayleigh-Jeans ed andamento sperimentale della radianza spettrale di un corpo
nero ad una data temperatura
(Kiel, 1858 - Goettingen, 1947), premio nobel per la fisica nel 1918 proprio per la sua teoria del 1899 e
del 1901 (Planck, 1899, 1901), propose quella che oggi consideriamo la corretta interpretazione teorica
dello spettro di emissione del corpo nero. Planck, ammettendo che gli scambi di energia non potessero
avvenire in modo continuo ma solo come multipli interi di una certa quantità, scoprı̀ che la funzione
di radianza spettrale è in perfetto accordo con le curve sperimentali, per tutte le temperature di corpo
nero che erano state studiate.
4.1.2
L’effetto fotoelettrico
Un altro elemento che mise in crisi la fisica classica e portò ad un passo in avanti verso la costruzione
della teoria della meccanica quantistica fu la scoperta della produzione di fotoelettroni ovvero la
produzione di elettroni liberi ottenuta illuminando opportunamente un materiale conduttore. Già nel
1887 Hertz pubblicò una descrizione dettagliata dell’effetto fotoelettrico (Hertz, 1887), in cui il fisico
tedesco constatava il passaggio di corrente tra due conduttori qualora uno dei due venisse esposto
a luce ultravioletta. Nel corso degli anni successivi molti fisici studiarono l’effetto fotoelettrico, ma
in particolare il fisico tedesco Philipp Lenard3 (Pressburg, 1862 - Messelhausen, 1947) con la sua
pubblicazione dell’inizio del secolo scorso (Lenard, 1902) mise in evidenza le caratteristiche della
produzione di fotoelettroni e l’incapacità della teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell e della fisica
3
premio Nobel per la fisica nel 1905
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
77
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
classica di spiegarlo. Per studiare questo effetto il fisico tedesco utilizzò un apparato sperimentale come
in figura (4.2): L’idea di Lenard per studiare questo effetto fu la seguente: operando sul potenziomentro
Figura 4.2: Apparato di Lenard: La luce incide sulla piastra a destra che emette gli elettroni; la
corrente cosı̀ prodotta viene misurata dall’amperometro. La parte sperimentale di destra rappresenta
un potenziometro (e non un generatore con una resistenza): la parte fatta a zig zag rappresenta la
possibilità di variare la differenza di potenziale da applicare all’apparato, che può essere positiva (“in
favore” della corrente fotoelettroni) o negativa (“contro” la corrente dei fotoelettroni).
nella parte destra della figura, cambiando la differenza di potenziale fornita si può studiare l’andamento
della corrente generata dai fotoelettroni. La teoria classica della radiazione applicata a questo problema
prevedeva che:
1. I fotoelettroni vengono emessi a qualsiasi frequenza della radiazione incidente, pur di aspettare
il tempo necessario che la radiazione ceda agli elettroni l’energia necessaria per “liberarsi” dai
legami del metallo;
2. i fotolettroni vengono emessi dopo un certo tempo, a seconda della frequenza della radiazione
incidente;
3. l’energia dei fotoelettroni dipende dall’intensità della radiazione incidente e dal tempo di esposizione alla radiazione.
Ciò che scoprı̀ invece Lenard fu:
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
78
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
1. I fotoelettroni non vengono emessi a qualsiasi frequenza: indipendentemente dal tempo di esposizione alla radiazione, ogni materiale di cui è costituito l’apparato sperimentale nella sua parte
di emissione di elettroni ha una caratteristica frequenza di soglia fmin al di sotto della quale non
si riscontra emissione, al di sopra della quale si ha emissione;
2. quando avviene, la fotoemissione è immediata, gli elettroni non vengono emessi dopo un certo
intervallo di tempo ma non appena la radiazione incide sulla superificie;
3. cambiando l’energia della radiazione incidente non cambia il valore di potenziale negativo da
applicare per fermare il passaggio di corrente nell’apparato, l’energia dei fotoelettroni sembra
quindi non cambiare, come si può notare dalla figura (4.3);
Figura 4.3: La curva 1 e la curva 2 rappresentano l’andamento della corrente al variare del potenziale
applicato in due casi di diversa intensità di radiazione incidente, rispettivamente maggiore e minore.
Possiamo notare come il valore di soglia V0 non cambi, mentre cambia il valore di saturazione per
grandi valori di V .
Evidentemente la fisica classica non riesce a spiegare il fenomeno della produzione di fotoelettroni
studiata da Hertz prima e Lenard poi, ognuno dei tre punti che abbiamo messo i evidenza presenta
previsioni disattese e non spiegabili nel contesto della fisica dell’elettromagnetismo come descritto dalle
equazioni di Maxwell. La spiegazione di questo effetto venne proposta da Einstein (Einstein, 1905d):
ampliando l’idea di Planck di qualche anno prima Einstein propose che non solo gli scambi energetici
di fenomeni di irraggiamento dovessero avere carattere discreto e quantizzato, ma che la luce stessa
presentasse natura “ondulatoria discreta”. Einstein propose l’esistenza dei fotoni, quanti di luce o
pacchetti d’onda che compongono la luce: questi quanti di luce (γ) dovevano avere energia dettata
dalla relazione di Planck:
Eγ = hf
con h la costante di Plack e f la frequenza della radiazione incidente. Questi fotoni dovevano essere cosı̀
piccoli da non essere percepiti, o meglio da essere percepiti come un’onda continua, negli esperimenti
che coinvolgono sistemi di grandi dimensioni (ordinarie per noi esseri umani) ma si rendono evidenti
in esperimenti come quello dell’effetto fotoelettrico in cui diventa importante l’azione di ogni singolo
fotone. Infatti l’introduzione dei fotoni riesce a spiegare i tre elementi caratteristici dell’esperimento
cui non viene data ragione dalla fisica classica:
1. La frequenza fmin cui vengono emessi gli elettroni è dovuta al fatto che per essere emesso un
elettrone deve essere “colpito” da un fotone di energia pari almeno al lavoro di estrazione richiesto
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
79
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
per quel materiale; se un elettrone è colpito di seguito da due fotoni di energia minore del lavoro
di estrazione (caso in cui si aumenta l’intensità di una radiazione di energia minore) non riuscirà
ad essere emesso;
2. la fotoemmissione è immediata, avviene non appena un fotone di energia sufficiente “colpisce”
un elettrone;
3. L’energia cinetica massima di un fotoeletrone, equivalente al potenziale di arresto misurato
nell’esperimento di Lenard, dipende solo dall’energia dei fotoni incidenti, e quindi dalla loro frequenza, e non dall’intensità della radiazione (il numero di fotoni che compongono la radiazione);
dall’intensità può dipendere il numero di elettroni emessi e quindi il valore della corrente di
saturazione.
Einstein propose inoltre la seguente equazione per spiegare l’effetto fotoelettrico e le quantità misurate
da Lenard:
Ecmax = eV0 = hf − hfmin
(4.1.3)
Dove Ecmax è l’energia cinetica massima dei fotoelettroni, eV0 è l’energia di arresto ottenuta moltiplicando il potenziale d’arresto per la carica dell’elettrone, hf l’energia dei fotoni incidenti e hfmin il
lavoro di estrazione (l’energia necessaria per emettere un fotoelettrone da un determinato materiale).
Questa analisi come già detto fruttò ad Einstein il premio Nobel nel 1921.
4.1.3
L’effetto Compton
Questo effetto, studiato dal fisico statunitense Arthur Compton4 (Wooster, 1892 - Berkeley, 1962) e
descritto tra il 1922 ed il 1923 (Compton, 1922, 1923) è conosciuto come uno degli esperimenti che più
conferma la descrizione di Einstein della radiazione elettromagnetica, il dualismo onda-corpuscolo e
l’esistenza dei fotoni. Compton infatti dimostrò sperimentalmente che la diffusione di radiazione elettromagnetica nell’interazione con elettroni è descrivibile come un urto elastico tra una particella fotone
ed un elettrone: il fisico statuinitense fece diffondere un fascio di raggi X (radiazione elettromagnetica
con λ ∼ 7 × 10−11 m) su un bersaglio di grafite e notò come lo spettro diffuso non rispondesse alle
leggi dell’elettromagnetismo classico, ma potesse essere spiegato assumendo il risultato come la somma
di urti elastici tra i fotoni e gli elettroni della grafite come descritto dalla figura (4.4). La relazione
Figura 4.4: La diffusione di fotone γ quando incontra un elettrone e− trattato come un’urto
completamente elastico: l’effetto Compton.
4
premio Nobel per la fisica nel 1927
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
80
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
matematica verificata da Compton con il suo esperimento è ottenuta trattando il fenomeno come un
urto elastico studiato nel corso del terzo anno di liceo: imponendo la conservazione dell’energia totale
e della quantità di moto del sistema fotone-elettrone. Riportiamo qui il calcolo e commenteremo poi
il risultato:
(
Eγ + Ee− = Eγ0 + Ee0 −
p~γ + p~e−
= p~0 γ + p~0 e−
In questo calcolo dovremo tenere conto delle relazioni proposte da Einstein per l’energia e la quantità di
moto della radiazione luminosa nel contesto della relatività ristretta, Eγ = pγ c (con c la velocità della
luce), dell’effetto fotoelettrico, Eγ = hf = hc/λ, ed anche per le particelle Ee− = mc2 , Ee2− − p2e− c2 =
m20 c4 . Supponendo inoltre che l’elettrone sia inizialmente in quiete otteniamo
(
pγ c + m0 c2 = p0γ c + Ee0 −
p~γ
= p~0 γ + p~0 e−
Cerchiamo ora di ricostruire l’invariante dinamica della relatività ristretta per trovare una relazione
tra i parametri iniziali e quelli finali dei fotoni diffusi:
(
Ee0 − = p0γ c − pγ c − m0 c2
p~0 e− = p~0 γ − p~γ
(
Ee02−
= (p0γ c − pγ c − m0 c2 )2
|p~0 e− |2 = |p~0 γ − p~γ |2
(
2
2 2
2 4
0
2
0
3
3
Ee02− = p02
γ c + pγ c + m0 c − 2pγ pγ c − 2pγ m0 c + 2pγ m0 c
2
0
p02
= p02
γ + pγ − 2pγ pγ cos α
e−
2
2 4
A questo punto non resta che sostituire le due equazioni ottenute nella relazione Ee02− − p02
e− c = m0 c :
2
2 2
2 4
0
2
0
3
3
02 2
2 2
0
2
2 4
(p02
γ c + pγ c + m0 c − 2pγ pγ c − 2pγ m0 c + 2pγ m0 c ) − (pγ c + pγ c − 2pγ pγ cos αc ) = m0 c
−2p0γ pγ c2 − 2p0γ m0 c3 + 2pγ m0 c3 + 2p0γ pγ cos αc2 = 0
2m0 c3 (pγ − p0γ ) = 2p0γ pγ c2 (1 − cos α)
A questo punto possiamo sostituire alle quantità di moto del fotone prima e dopo la diffusione la
relazione proposta da Einstein pγ = hc/λ, ottenendo:
2m0 c3 (
h
h
hh
− ) = 2 0 c2 (1 − cos α)
λ λ0
λλ
h2 c2
λ0 − λ
)
=
2
(1 − cos α)
λλ0
λλ0
h
λ0 − λ =
(1 − cos α)
m0 c
Equazione che viene solitamente riscritta come
2m0 hc3 (
∆λ = λc (1 − cos α)
(4.1.4)
Dove ∆λ è la differenza di lunghezza d’onda tra il fotone incidente ed il fotone diffuso, e la costante
λc è conosciuta come lunghezza d’onda Compton e vale
λc =
h
6, 626 × 10−34 J · s
=
= 2, 43 × 10−12 m
m0 c
9, 1 × 10−31 kg 3 × 108 m/s
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
81
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
4.2
Modelli atomici
La nascita della meccanica quantistica è segnata anche dalla proposta teorica del modello per la
struttura dell’atomo, fatta dal fisico danese Niels Bohr5 (Copenhagen, 1885 - Copenhagen, 1962)
e perfezionata dal fisico tedesco Arnold Sommerfeld (Koenigsberg, 1868 - Monaco di Baviera,
1951). I primi anni del XX secolo furono densi di pensiero e di proposte sul funzionamento del mattone fondamentale della materia, scienziati del calibro di Ernest Rutherford6 (Brightwater, 1871
- Cambridge, 1937), Joseph John Thomson7 (Manchester, 1856 - Cambridge, 1940) e Johannes
Rydberg (Halmstad, 1854 - Lund, 1919) diedero vita ad uno dei dibattiti più interessanti nella storia
della fisica. Nei prossimi paragrafi daremo dettaglio dei principali modelli teorici, mentre qui approfondiamo le evidenze sperimentali studiate in quegli anni che i modelli teorici dovevano riuscire a
riprodurre. L’evidenza sperimentale più stringente studiata nel corso di quegli anni era data dall’analisi degli spettri in emissione ed in assorbimento degli atomi, tipicamente ottenuti dalle emissioni e gli
assorbimenti di gas a bassa pressione (idrogeno, elio, azoto, ...). Con spettro in emissione intendiamo la distribuzione in lunghezza d’onda (o frequenza) della radiazione emessa da una certa sorgente.
La luce che arriva da una stella ad esempio si distribuisce secondo tutte le lunghezze d’onda come
possiamo testare semplicemente anche da casa con un prisma ed osservando l’arcobaleno che si forma;
la luce emessa da lampade ad idrogeno o in generale con gas incandescenti a bassa pressione presenta
emissione sono ad alcune lunghezze d’onda, come mostrato in figura (4.5): si parla di spettri discreti
che identificano righe di emissione. Con spettro in assorbimento intendiamo la distribuzione in
Figura 4.5: Spettro continuo e discreto nella zona visibile; si nota l’emissione a tutte le lunghezze
d’onda nel caso continuo mentre si notano le righe discrete ad alcune specifiche lunghezze d’onda nel
caso discreto.
lunghezza d’onda (o frequenza) della radiazione assorbita da un certo oggetto quando attraversato da
radiazione elettromagnetica emesse da una certa sorgente. La luce che arriva da una stella ad esempio
viene assorbita su tutte le lunghezze d’onda quando incontra un oggetto solido; la luce assorbita da gas
rarefatti invece presenta assorbimento sono ad alcune lunghezze d’onda, come mostrato in figura (4.5):
si parla di spettri discreti che identificano righe di assorbimento. In particolare lo studio si concentrò
sull’atomo di idrogeno, quello che sembrava essere il più semplice tra tutti. Nei primi anni del secolo
scorso Rydberg propose una formula sperimentale per spiegare le lunghezze d’onda alle quali l’atomo
5
premio Nobel per la fisica nel 1922
premio Nobel per la chimica nel 1908
7
premio Nobel per la fisica nel 1906
6
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
82
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Figura 4.6: Spettro continuo e discreto nella zona visibile; si nota l’assorbimento a tutte le lunghezze
d’onda nel caso continuo mentre si notano le righe discrete ad alcune specifiche lunghezze d’onda nel
caso discreto.
di idrogeno emette ed assorbe la radiazione elettromagnetica:
1
1
1
=R 2 − 2
λ
n1 n2
(4.2.1)
dove R = 1, 097 × 107 m−1 è la costante di Rydberg per l’atomo di idrogeno, n1 ed n2 due numeri
interi positivi con n2 > n1 . Un modello soddisfacente per l’atomo (in particolare quello di idrogeno)
doveva quindi avere le seguenti caratteristiche:
1. essere un atomo stabile;
2. prevedere spettri in assorbimento ed emissione compatibili con la (4.2.1)
4.2.1
Modello di Thomson
Il primo modello proposto fu quello del fisico che qualche anno prima scoprı̀ l’elettrone (Thomson,
1904), che è ricordato come modello a panettone. Come da figura (4.7) questo modello prevede una
distribuzione di carica positiva all’interno della quale esistono dei corpuscoli negativi (gli elettroni)
sistemati su orbite stabili all’interno della distribuzione di carica positiva. Il modello di Thomson si
Figura 4.7: Il modello “a panettone” di Thomson.
dimostrava un modello di atomo stabile,ma non riusciva a prevedere tutte le linee spettrali osservate
e descritte dalla formula di Rydberg (4.2.1).
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
83
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
4.2.2
Modello di Rutherford
Il secondo modello proposto (Rutherford, 1911) nasce dall’osservazione del bombardamento di una
sottile lamina d’oro con raggi α (nuclei di elio), e dalla conseguente deflessione di queste particelle.
In particolare Rutherford osservò come la maggior parte delle particelle α non vengono deflesse o
vengono deflesse di molto poco, alcune particelle α però vengono deflesse ad angoli molto grandi, ed
addirittura respinte all’indietro. L’interpretazione di Rutherford fu la seguente: l’atomo deve avere una
struttura planetaria: un nucleo positivo concetrato in una zona molto piccola, con elettroni negativi
che orbitano attorno al nucleo grazie all’attrazione elettrica tra particelle negative e nucleo positivo,
come mostrato in figura (4.8). Questo modello aveva un grosso problema: non teneva conto del fatto
Figura 4.8: Il modello “planetario” di Rutherford.
che elettroni accelerati emettono radiazione perdendo energia, e dunque nella rotazione erano destinati
a cadere verso il nucleo; il modello di Rutherford non è dunque un modello che genera un atomo stabile,
ma fu di grande importanza per la comprensione della reale struttura dell’atomo aprendo la strada
alla corretta interpretazione di Bohr-Sommerfeld che descriveremo nel prossimo paragrafo.
4.2.3
Modello di Bohr
Niels Bohr ebbe l’idea, poi affinata da Sommerfeld (Bohr, 1913a,b; Sommerfeld, 1916), che diede vita
al modello che attualmente accettiamo per il funzionamento dell’atomo di idrogeno e per la struttura
dell’atomo in generale. Egli immaginò una struttura molto simile al modello di Rutherford in cui però,
per qualche motivo, che discuteremo più avanti, le orbite degli elettroni non potessero essere arbitrarie,
ma quantizzate anch’esse. Recuperò quindi l’idea di Planck prima ed Einstein poi che l’intima natura
della materia dovesse essere discreta e non continua: gli elettroni non sono liberi di orbitare attorno
al nucleo ma sono vincolati a determinate orbite. Secondo Bohr questa idea poteva essere compatibile
con gli spettri discreti di emissione ed assorbimento osservati: le emissioni e gli assorbimenti dovevano
coincidere con la differenza energetica tra le orbite possibili degli elettroni: Bohr cercò quindi di
impostare la sua teoria per vedere se questa portava ad ottenere la relazione di Rydberg (4.2.1) per
le emissioni e gli assorbimenti previsti. Innanzitutto Bohr doveva capire o ipotizzare quale dovesse
essere la grandezza fisica che essendo discreta vincolasse anche le orbite ad esserlo: egli era convinto
che tale grandezza fosse il momento angolare dell’elettrone, ed ipotizzo:
L=n
h
= n~
2π
(4.2.2)
il momento angolare dell’elettrone deve quindi essere un multiplo intero (n ∈ N) della costante di
Planck divisa per 2π, che in fisica teorica si definisce come “h tagliato (~)”. Si lascia come esercizio il
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
84
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
verificare che le unità di misura del momento angolare e della costante di Planck siano le medesime.
Vediamo ora come questo implichi la quantizzazione delle orbite, quindi delle energie del sistema e come
questa impostazione riesca a giustificare la relazione di Rydberg vista in precedenza. La definizione
di momento angolare di un punto materiale applicata al nostro caso è:
~ = ~r × ~q ⇒ L = me rv
L
(4.2.3)
dove me è la massa dell’elettrone, r la distanza tra elettrone e nucleo, v la velocità con cui l’elettrone
orbita attorno al nucleo. Dunque possiamo conclidere che
me rv = n~ ⇒ r =
n~
me v
(4.2.4)
Per calcolare la velocità dell’elettrone applichiamo l’equilibrio tra forza attrattiva tra elettrone e nucleo
(protone nel caso dell’atomo di idrogeno che stiamo considerando) e la forza centrifuga repulsiva:
me
v2
kq 2
kqe2
= 2e ⇒ v 2 =
r
r
me r
(4.2.5)
Sostituendo la (4.2.5) nella (4.2.4) otteniamo
r2 =
me rn2 ~2
n2 ~2
n2 ~2
2
⇒
r
=
⇒
r
=
m2e v 2
m2e kqe2
me kqe2
(4.2.6)
dove la quantità ~2 /(me kqe2 ) rappresenta la minima distanza (si dimostri che l’unità di misura è quella
corretta) dell’elettrone dal protone, è dunque il “quanto orbitale” per l’atomo di idrogeno: l’elettrone
non può stare su un’orbita qualsiasi ma solamente su un’orbita il cui raggio sia un multiplo intero di
r0 = ~2 /(me kqe2 ) il cui valore è:
r0 =
~2
(6, 626)2 × 10−68
=
= 5, 29 × 10−11 m
me kqe2
4π 2 × 9, 1 × 10−31 × 9 × 109 × (1, 6)2 × 10−38
(4.2.7)
ed è ricordato come raggio di Bohr e vale dunque
rn = n2 r0
(4.2.8)
A questa quantizzazione delle orbite corrisponde una quantizzazione dell’energia:
Etot = −
kqe2 1
kq 2 1
kq 2
kq 2 1 kqe2
1 kqe2
+ me v 2 = − e + me e = − e +
=−
r
2
r
2
me r
r
2 r
2 r
(4.2.9)
Che diventa, sostituendo la nostra orbita quantizzata:
En = −
1 kqe2
1 kq 2
E0
=− 2e =− 2
2 rn
2 n r0
n
(4.2.10)
dove E0 è l’energia dello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno:
E0 = −
1 me k 2 qe4
1 kqe2
= 21, 76 × 10−19 J ∼ 13, 6eV
=−
2 r0
2 ~2
(4.2.11)
Ora andiamo a vedere se questo modello è coerente con le osservazioni sperimentali di Rydberg; immaginiamo che l’elettrone dell’atomo di idrogeno si trovi nello stato n1 e che, a causa dell’assorbimento
di un fotone γ di lunghezza d’onda λ vada a posizionarsi nello stato n2 . Si dovrà avere:
E0 E0
1
1
Eγ = En2 − En1 = − 2 + 2 = E0 2 − 2
(4.2.12)
n2
n1
n1 n2
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
85
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Il che implica
Dove
1
1
1
1
hc
E0 1
−
hf =
= E0 2 − 2 ⇒ =
λ
λ
hc n21 n22
n1 n2
(4.2.13)
E0
21, 76 × 10−19
= 1, 15 × 107 m−1
=
hc
6, 26 × 10−34 × 3 × 108
(4.2.14)
che è un numero molto vicino alla costante che ottenne Ridberg! Il modello di Bohr dunque prevede
gli stessi spettri in assorbimento ed in emissione delle osservazioni fatte negli anni precedenti. L’interpretazione microscopica di queste emissioni discrete è dunque che gli elettroni non possono stare in
orbite qualsiasi ma in orbite con una determinata energia: l’emissione o l’assorbimento di fotoni da
parte dell’atomo deve quindi corrispondere al salto di energia tra l’orbita iniziale e quella finale dell’elettrone; fotoni la cui energia non corrisponde a nessun possibile salto di energia dell’atomo dunque
non possono venire assorbiti o emessi dall’atomo stesso.
4.3
4.3.1
La materia
L’ipotesi di De Broglie
Il fisico francese Louis de Broglie (Dieppe, 1892 - Louveciennes 1987)8 con la sua tesi di dottorato
(De Broglie, 1924) mise un mattone fondamentale per la compresione moderna della fisica quantistica
e la natura stessa della materia. L’idea di de Broglie era molto semplice anche se difficile da intuire ed
accettare: cosı̀ come la radiazione, come ampiamente visto nei paragrafi precedenti, assume una natura
sia ondulatoria che corpuscolare, non può essere lo stesso anche per la materia? E questo non può
giustificare in qualche modo il modello atomico di Bohr? Nella tesi di dottorato di de Broglie infatti
si proponeva la cosiddetta ipotesi di de Broglie: ad ogni particella di massa m si può associare una
lunghezza d’onda, chiamata lunghezza d’onda di de Broglie:
λ=
h
mv
(4.3.1)
che ricalca la relazione di Einstein per la quantità di moto di un fotone p = h/λ. Questa ipotesi
di de Broglie spiega il motivo per cui le orbite degli elettroni di Bohr devono esser quantizzate: se
gli elettroni hanno natura anche ondulatoria e questa natura si mostra quando orbitano attorno al
protone allora per essere su un’orbita stabile queste “onde di materia” devono essere onde stazionarie
attorno al nucleo, le loro lunghezze d’onda devono cioè essere divisori interi della circonferenza che
rappresenta l’orbita, se cosı̀ non fosse l’elettrone non riuscirebbe a “chiudersi su se stesso dopo un giro”
come spiegato in figura (4.9). Questo ragionamento funziona anche da un punto di vista quantitativo,
utilizzando la (4.9) nella condizione di stazionarietà:
nλ = 2πr ⇒ n
h
h
~
~2
= 2πr ⇒ r = n
=n
⇒ r 2 = n2 2 2
mv
2πmv
mv
m v
(4.3.2)
che se sostituita con la relazione di Bohr per la velocità (4.2.5) diventa
r 2 = n2
~2
m
2
2 kqe
mr
⇒ r = n2
~2
mkqe2
(4.3.3)
che non è altro se non la relazione (4.2.7) che definisce il raggio di Bohr. Il lavoro di de Broglie fu
il punto di partenza per lo sviluppo formale della meccanica quantistica, dove si parla di dualismo
8
premio nobel per la fisica nel 1929
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
86
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Figura 4.9: L’elettrone come onda di materia stazionaria. Le linee tratteggiate sono le orbite (circonferenze di raggio rn ): nel caso a sinistra si vede l’onda stazionaria (in questo caso la lunghezza d’onda
è un terzo della lunghezza della circonferenza) che “si chiude su se stessa” e rappresenta un’orbita stabile, nel caso a destra si vede l’onda non stazionaria che “non si chiude su se stessa” e non rappresenta
un’orbita stabile.
onda-corpuscolo per tutte le componenti dell’universo: sia i fotoni che le particelle elementari presentano una natura doppia, corpuscolare ed ondulatoria a seconda dei processi di interazione in cui
sono coinvolte.
4.3.2
La funzione d’onda
La rappresentazione della particella quantistica dove la natura ondulatoria e la natura corpscolare
convivono è data dalla cosiddetta funzione d’onda:
ψ(~r, t)
una funzione che dipende dallo spazio e dal tempo che quando è diversa da zero in una zona di
spazio-tempo molto estesa rappresenta un’onda, quando è diversa da zero in una zona molto piccola
o idealmente in un punto soltanto dello spazio tempo, rappresenta una particella localizzata, come
mostrato dalla figura (4.10). L’idea è quindi che una particella quantistica sia un’onda, ovvero sia
Figura 4.10: Funzione d’onda che rappresenta una particella quantistica non localizzata, secondo la
sua natura ondulatoria, a sinistra e funzione d’onda che rappresenta una particella quantistica più
localizzata della prima, in cui predomina la sua natura corpuscolare, a destra.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
87
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
ovunque nello spazio-tempo, ma che in determinate situazioni (che vedremo un po’ più nel dettaglio
nei prossimi paragrafi) possa “localizzarsi” cioè presentarsi in modo tale da far apparire la sua natura
corpuscolare. La funzione d’onda diventa l’elemento fondamentale della meccanica quantistica, ciò su
cui i fisici quantistici si concentrarono per darne spiegazione concettuale e formale e per studiarne le
caratteristiche.
4.3.3
L’equazione di Schroedinger e la soluzione per gli atomi: la tavola periodica
Il fisico austriaco Erwin Schroedinger (Vienna, 1887 - Vienna, 1961)9 fu colui che scrisse l’equazione di evoluzione della funzione d’onda (Schroendinger, 1926). Scroedinger trovò un’equazione, la
cosiddetta equazione di Scroedinger appunto che da una parte poteva trovare l’evoluzione della
funzione d’onda nel tempo a seconda dei campi di forze in cui la particella quantistica era immersa in un certo senso l’equivalente del secondo principio della dinamica per la meccanica quantistica - e
dall’altra poteva anche trovare le diverse configurazioni possibili delle grandezze quantizzate associate alla funzione d’onda. Se per esempio la funzione d’onda in questione è la funzione d’onda di un
elettrone e l’equazione quella che rappresenta i campi di forze di un atomo di idrogeno, attraverso la
risoluzione dell’equazione di Scroendinger si possono riscostruire i livelli energetici dell’atomo di Bohr,
ed anche i diversi livelli delle grandezze quantizzate dell’elettrone nel modello che nel frattempo Bohr
aveva modificato con l’aiuto di Sommerfeld come già fatto notare in precedenza. Questa particolare
soluzione dell’equazione di Scroedinger è molto importante ed interessante perché può essere presa come l’elemento che giustifica la costruzione della tavola periodica degli elementi cosı̀ come è conosciuta
al giorno d’oggi. Vediamone dunque le caratteristiche principali: la soluzione dell’equazione per un
elettrone in un campo di forze generato da un nucleo positivo mette in evidenza quattro quantizzazioni,
ad ognuna delle quali corrisponde un numero quantico:
1. il numero quantico principale n: è il numero già identificato da Bohr nel primo modello che
abbiamo studiato anche noi, e rappresenta l’energia del sistema nucleo-elettrone, e può assumere
qualsiasi valore naturale; il valore E dell’energia è legato al numero quantico n come segue:
E=
E1
n2
2. il numero quantico angolare l: è il numero quantico che identifica il modulo del momento
angolare dell’elettrone e può assumere tutti i valori interi da 0 ad n − 1. Questo numero nella
struttura atomica identifica gli orbitali s, p,... ed è l’elemento che definisce in modo sostanziale
la forma dell’orbitale; il valore L del modulo del momento angolare è legato al numero quantico
l come segue:
p
L = l(l + 1)~
3. il numero quantico magnetico ml : è il numero quantico che identifica la proiezione del
momento angolare lungo un asse (convezionalmente l’asse z) e può assumere tutti i valori interi
tra −l ed l; il valore Lz della proiezione del momento angolare lungo z è legato al numero
quantico ml come segue:
Lz = ml ~
4. il numero quantico di spin ms : è il numero quantico che identifica una proprietà, lo spin,
legata alla rotazione intrinseca della particella che può assumere valori diversi, interi o seminiteri,
a seconda della particella in questione. Per l’elettrone questo numero può assumere i valori +1/2
o −1/2.
9
premio nobel per la fisica nel 1933
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
88
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Accanto a questa soluzione e l’identificazione di tutti questi numeri il principio di esclusione di
Pauli permette lo studio della disposizione degli elettroni attorno al nucleo e la definizione degli
orbitali cosı̀ come è stata studiata anche nel corso di chimica. Il fisico austriaco Wolfgang Pauli
(Vienna, 1900 - Zurigo, 1958)10 formulò (Pauli, 1925) il famoso principio secondo cui due elettroni
non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico11 . In questo modo si riesce a dare un
ordine al riempimento degli orbitali ed una struttura agli atomi che poi genera la tavola periodica
moderna. Ad esempio allora l’elettrone che si trova nell’orbitale 2p2 con spin +1/2 ha energia data
da n = 2, momento angolare dato dal numero l = 1 , proiezione ml = 0 nulla lungo l’asse z e numero
quantico di spin ms = +1/2; tutti gli elettroni nell’orbitale con n = 2 hanno la stessa energia, tutti
gli elettroni con l = 1 hanno lo stesso momento angolare, ma differiranno per la sua proiezione lungo
l’asse z o per il numero di spin... Il profilo della funzione d’onda soluzione è il profilo che si è studiato
in chimica, ad esempio ψ(n = 2, l = 1) ha la classica forma allungata a differenza della forma sferica
di ψ(n = 2, l = 0).
4.3.4
Il principio di indeterminazione di Heisenberg
Werner Karl Heisenberg (Wuezburg, 1901 - Monaco di Baviera, 1976)12 fu uno dei più importanti
fisici che segnarono il passaggio dalle prime intuizioni sulla fisica quantistica alla sua formulazione più
generale che ancora oggi viene utilizzata. Il suo lavoro più famoso risale al 1924, (Heisenberg, 1925)
in cui il fisico tedesco enuncia il famoso principio di indeterminazione. Alla base di tale principio
sta la nuova idea di esperimento: in meccanica quantistica infatti, a differenza della fisica classica e
dell’idea Galileiana di esperimento, non ci può essere un esperimento in cui l’osservatore non iteragisce
in qualche modo con il fenomeno che sta misurando. Prendiamo ad esempio la misura della posizione
di una particella quantistica: la particella è un’onda e dunque “sparpagliata” in tutto lo spazio-tempo
fino al momento in cui si localizza in qualche punto dove viene misurata; la misura è dunque una
“distruzione” dello stato ondulatorio della particella quantistica costretta a decadere in uno dei possibili stati localizzati previsti dalla sua funzione d’onda. Heisenberg nell’articolo citato individua una
serie di grandezze fisiche chiama coniugate che hanno la seguente caratteristica: nella realizzazione
di un esperimento su una particella quantistica non si possono misurare contemporaneamente e con
sensibilità arbitraria due grandezze coniugate. Il principio di Heisenberg dunque pone un vincolo sulla
conscenza esatta di grandezze fisiche coniugate. In particolare le grandezze coniugate di una particella
quantistica più conosciute sono la posizione e la quantità di moto oppure l’energia ed il tempo; la
formulazione matematica del principo è la seguente:
~
2
~
σE σt ≥
2
σx σpx ≥
Dove σ è la deviazione standard calcolabile nell’esperimento. Il principio di indeterminazione mina
alla base la concezione meccanicistica del mondo che abbiamo studiato nel corso del quarto anno:
i meccanicisti (Laplace in particolare) affermavano di poter conoscere tutto il passato, presente e
futuro dell’universo a patto di conoscere tutte le posizioni e le velocità delle particelle dell’universo
in un certo istante: questo è vietato - o meglio è vietato saperlo con sensibilità arbitraria - in linea
di principio dalla meccanica quantistica! Di qui si apriranno i campi di indagine del cosiddetto caos
10
premio nobel per la fisica nel 1945
In realtà il principio si estende ai fermioni identici, tipi di particelle di cui fanno parte gli elettroni, ma per quanto
interessa a noi al momento possiamo enunciarlo solamente per gli elettroni
12
premio nobel per la fisica nel 1932
11
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
89
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
deterministico, che supera la concezione meccanicistica della realtà, salvaguardando quindi tutti gli
aspetti epistemologici di libero arbitrio che venivano messi in discussione dal meccanicismo.
4.3.5
L’intepretazione di Copenhagen e le riluttanze di Einstein
Lo sviluppo della meccanica quantistica tracciato in particolare dall’introduzione della funzione d’onda e dal principio di Heisenberg vide la sua massima espressione nel gruppo di fisici dell’università
di Copenhagen degli anni ’20-’30 le cui menti di spicco furono Bohr ed Heinsenberg. Questo gruppo
di scienziati formalizzò dal punto di vista matematico e concettuale tutta la meccanica quantistica
a partire dalle intuizioni che abbiamo visto di Einstein, Planck, De Broglie, Schroedinger e gli stessi
Bohr ed Heinsenberg. L’idea fondamentale su cui si basa questa formalizzazione è la seguente: la funzione d’onda rappresenta la massima informazione che possiamo avere su una particella
quantistica, e il suo modulo quadrato rappresenta la densità di probabilità di trovare la
particella in un volume di spazio-tempo. Si parla spesso per questa idea di interpretazione
probabilistica della meccanica quantistica; dal punto di vista matematico possiamo scrivere,
senza la pretesa della conoscenza formale degli integrali in più dimensioni:
Z
P (~r ∈ ∆V, t ∈ ∆t) =
|ψ(~r, t)|2 dV dt
(4.3.4)
∆V ∆t
Ovvero la probabilità che la particella rappresentata dalla funzione d’onda ψ(~r, t) si trovi nel volume
∆V nell’intervallo di tempo ∆t è data dall’integrale nel volume di spazio ∆V e di tempo ∆t del modulo
al quadrato della funzione d’onda. Da qui anche l’idea che una particella quantistica non si trova in
alcun posto in particolare fintanto che non viene misurata, nel qual caso allora la funzione d’onda
collassa in un punto e la particella si localizza; alla luce di questa interpretazione diventano più chiare
anche le affermazioni precedenti sul peso diverso da dare all’esperimento in fisica quantistica rispetto
alla fisica classica. Non tutti i fisici dell’epoca però accettarono di buon grado questa interpretazione,
e tra questi ci furono anche molti dei fondatori della teoria come Planck, de Broglie, Schroedinger
ed Einstein in particolare che non si rassegnò a questa interpretazione e cerchò in tutti i modi di
dimostrare che è un’interpretazione sbagliata. Einstein sosteneva che non fosse possibile che la natura
intrinseca dell’Universo fosse probabilistica; a lui sono attribuite le espressioni in questo senso “Dio
non gioca a dadi con l’Universo” o “Non posso credere che la luna non sia in un punto specifico del
cielo fino al momento in cui mi giro a guardarla”: Einstein era convinto che la meccanica quantistica
come studiata fino a quel momento fosse una teoria incompleta, che mancassero delle informazioni che
renderebbero la teoria determinata come la meccanica classica.13 Ci fu un periodo della fisica del ’900 in
cui Einstein e Scroedinger in particolare ponevano dei paradossi della meccanica quantistica a Bohr ed
Heinsenberg e questi rispondevano di volta in volta giustificando l’utilizzo della meccanica quantistica,
talvolta addirittura con l’utilizzo della teoria della relatività generale dello stesso Einstein. I due
paradossi più famosi proposti da Einstein e Schroedinger sono il cosiddetto paradosso EPR di EinsteinPodolsky-Rosen ed il paradosso del gatto di Schroedinger: noi descriveremo qui il secondo, in quanto
per comprendere il primo sarebbero necessari diversi approfodondimenti di meccanica quantistica e
matematica non previsti al livello dello studio di liceo.
13
E bisogna dire che esistono ancora gruppi di ricerca che vanno in questa direzione, che cercano di sviluppare le
cosiddette teorie quantistiche a variabili nascoste tentando di aggiungere delle variabili per trasformare la meccanica
quantistica da una teoria sostanzialmente probabilistica ad una teoria classicamente deterministica. Al momento però
l’interpretazione di Copenhagen è ancora quella più accreditata nel mondo scientifico.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
90
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Il paradosso del gatto di Schroedinger
Schroedinger, in un suo famoso articolo del 1935 (Schroendinger, 1935), proposte il famoso esperimento
ideale del gatto. Riportiamo qui la traduzione in inglese della descrizione dell’esperimento:
“One can even set up quite ridiculous cases. A cat is penned up in a steel chamber, along with the
following device (which must be secured against direct interference by the cat): in a Geiger counter
there is a tiny bit of radioactive substance, so small, that perhaps in the course of the hour one of the
atoms decays, but also, with equal probability, perhaps none; if it happens, the counter tube discharges
and through a relay releases a hammer which shatters a small flask of hydrocyanic acid. If one has
left this entire system to itself for an hour, one would say that the cat still lives if meanwhile no atom
has decayed. The psi-function of the entire system would express this by having in it the living and
dead cat (pardon the expression) mixed or smeared out in equal parts.(Trimmer, 1980)”
Schroedinger con questo esempio voleva mettere in evidenza quello che in realtà è uno dei problemi
più grossi della meccanica quantistica ancora oggi: il passaggio dal micromondo in cui vigono le
leggi della meccanica quantistica al macromondo in cui vigono le leggi della meccanica classica.14
La giustificazione dei fisici della scuola di Copenhagen si risolve nella distinzione tra macromondo e
micromondo: il gatto non è descrivibile nel contesto delle funzioni d’onda, anzi è lui stesso l’osservatore
del sistema microscopico che lo fa essere decaduto in uno stato determinato; distinzione che però resta
problematica e fumosa ed interessa ancora oggi molti gruppi di ricerca.
4.4
Il nucleo e la radioattività
I primi fenomeni di radioattività furono scoperti alla fine del XIX secolo, quando Atoine Henri
Bequerel (Parigi, 1852 - Le Croisic, 1908)15 nel 1896 scoprı̀ accidentalmente che dei sali di Uranio
emettevano radiazione senza bisogno di essere eccitati da raggi luminosi. Nello stesso periodo i coniugi
Maria Sklodowska conosciuta come Marie Curie (Varsavia, 1867 - Passy, 1934)16 e Pierre Curie
(Parigi 1859 - Parigi, 1906)17 scoprirono altri elementi che si comportavano come l’Uranio: il Torio, il
Polonio ed il Radio. Questi fenomeni però, per essere spiegati in modo soddisfacente da un punto di
vista concettuale e matematico ebbero bisogno degli studi che abbiamo visto portarono alla definizione
della struttura dell’atomo ed in particolare degli studi che riassumeremo qui sulla struttura del nucleo
degli atomi, veri responsabili della radioattività. Innanzitutto fissiamo qualche idea fondamentale:
1. il nucleo di un atomo è costituito da protoni (p) e neutroni (n) che vengono genericamente
chiamati nucleoni. I protoni sono le particelle elementari positive che hanno la stessa carica
degli elettroni qp = 1, 6 × 10−19 C e massa mp = 1, 6 × 10−27 kg. I neutroni sono le particelle
elementari neutre qn = 0C e massa mn = 1, 6 × 10−27 kg.
2. neutroni e protoni sono tenuti assieme nel nucleo dalla forza forte che bilancia la repulsione
elettrica tra i protoni.
3. Si identifica con N il numero di neutroni nel nucleo; si identifica con Z il numero atomico, il
numero di protoni nel nucleo; si identifica con A il numero di massa, il numero di nucleoni nel
nucleo. Vale quindi:
A=N +Z
14
Anche al giorno d’oggi questo è uno dei problemi più grossi: la ricerca di una teoria (talvolta chiamata anche teoria
del Tutto) che possa coniugare la meccanica quantistica, la fisica classica e la relatività generale. Il grosso problema sono
naturalmente i passaggi ed i meccanismi di congiungimento dei regimi microscopici e macroscopici
15
premio nobel per la fisica nel 1903
16
premio nobel per la fisica nel 1903 e per la chimica nel 1911
17
premio nobel per la fisica nel 1903
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
91
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
4. Con le convenzioni fatte precedentemente nella tavola periodica si identifica un elemento e le
caratteristiche del nucleo con:
A
ZX
5. Esistono atomi dello stesso elemento che hanno nel nucleo lo stesso numero di protoni ma un
numero diverso di neutroni. Questi atomi si definiscono come isotopi. Ad esempio l’idrogeno
esiste nella forma “idrogeno” (11 H) con il nucleo formato dal solo protone, nella forma “deuterio”
(21 H o 21 D) con il nucleo formato da un protone ed un neutrone, nella forma “trizio“ (31 H o 31 T )
con il nucleo formato da un protone e due neutroni.
6. La massa di un nucleo è minore della somma delle masse dei nucleoni. La differenza tra la massa
del nucleo e la somma delle masse dei nucleoni è detta differenza di massa e rappresenta
l’energia di legame del nucleo ovvero il lavoro che la forza forte ha compiuto per generare
il sistema legato ”nucleo” che può anche essere letto come l’energia liberata dalla forza forte nel
costituire il nucleo. Il bilancio di massa è dato dunque da:
MX = N mn + Zmp + ∆m
Mentre l’energia di legame è data da
∆E = ∆mc2
La radioattività in generale consiste nella realizzazione di reazioni nucleari esoenergetiche caratterizzate da emissione di radiazioni. La radioattività può essere naturale o artificiale: la prima corrisponde
alla tendenza dei sistemi naturali di evolvere verso stati sempre più stabili, la seconda è provocata
dall’uomo allo scopo di produrre energia. Per meglio capire i meccanismi principiali di radioattività
facciamo riferimento alla figura (4.11):
Il grafico mostra l’andamento dell’energia di legame per nucleone in funzione del numero di massa del
nucleo: questa energia rappresenta il lavoro che si deve fare dall’esterno per “strappare” un nucleone
dal nucleo, e rappresenta quindi la stabilità del nucleo stesso.
• nuclei con piccolo numero di massa hanno una piccola energia totale ed anche una piccola energia
per nucleone, e possono tendere ad “assemblearsi” tra loro per formare nuclei più stabili: è ciò
che succede ad esempio nei nuclei delle stelle ed è il procedimento che ha permesso la formazione
di elementi pesanti nell’universo. Tale modalità si chiama fusione nucleare.
• nuclei con alto numero di massa hanno un alta energia totale ma anche un alto numero di
nucleoni; in particolare per A & 100 il numero di neutroni aumenta molto per bilanciare la
repulsione sempre più forte tra i protoni del nucleo, e cosı̀ l’energia per nucleone tende a calare.
Questi nuclei molto pesanti tendono a “spezzarsi” molto facilmente per formare nuclei più leggeri
e più stabili. Tale modalità si chiama fissione nucleare.
4.4.1
Tipi di decadimento
Fin dai primi studi sulla radioattività si trovarono tre principali modalità di decadimento radioattivo
dei nuclei, ognuno dei quali era caratterizzato da una differente radiazione emessa dal nucleo dopo
essersi trasformato. I tre tipi di decamimento furono chiamati:
• decadimento α: la radiazione meno penetrante; tale radiazione viene assorbita da un sottile
foglio di carta.
• decadimento β: tale radiazione attraversa un sottile foglio di carta, ma viene assorbita da un
sottile strato di alluminio.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
92
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Figura 4.11: Energia di legame per nucleone e zone di radioattività
• decadimento γ: la radiazione più penetrante: tale radiazione attraversa sia la carta che l’alluminio, ma viene assorbita da uno strato di piombo.
Ogni nucleo instabile ha una certa modalità di decadimento possibile, che va a definire una certa
catena di decadimento: la più famosa in natura è quella dell’Uranio, che decade in diversi elementi
tramite i tre tipi di decadimento qui definiti fino a diventare Piombo.
Decadimento α
Il decadimento α consiste nella trasformazione del nucleo causato dall’emissione di una particella α,
ovvero un nucleo di elio (2 protoni e 2 neutroni). Da un punto di vista della trasformazione chimica
del nucleo si avrà:
A−4
A
4
(4.4.1)
Z X −→ Z−2 Y + 2 He
Questo tipo di decadimento avviene in modo spontaneo soprattutto in nuclei molto pesanti che si
trasformano in nuclei un po’ più stabili diminuendo il loro numero di massa e “risalendo” quindi la
curva del grafico (4.11).
Decadimento β
Il decadimento β è più complesso da spiegare rispetto al decadimento α: esso infatti si caratterizza
dall’emissione dal nucleo di un elettrone (e− ) o da un positrone (e+ ), particella del tutto identica
all’elettrone tranne che per la carica qe+ = +|qe− | e che non è presente nel nucleo... Il fisico italiano
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
93
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
Enrico Fermi (Roma, 1901 - Chicago, 1954)18 è stato lo scienziato che per primo ha studiato e
spiegato il decadimento β (Fermi, 1933, 1934a,b). Questo tipo di decadimento si spiega introducendo
una nuova forza nucleare, la forza debole che permette ai nucleoni di trasformarsi tra loro, neutroni
in protoni e viceversa, per portare il nucleo in stati più stabili riequilibrando la proporzione tra i due
diversi tipi di nucleoni. Senza entrare nel dettaglio scriveremo la trasformazione del decadimento β − :
n −→ p + e−
(4.4.2)
p −→ n + e+
(4.4.3)
e quella del decadimento β + :
Che in termini di decadimento dei nuclei si traduce come:
A
ZX
A
−→ Z+1
X + e−
(4.4.4)
A
ZX
A
−→ Z−1
X + e+
(4.4.5)
e come energetica
In realtà la teoria di Fermi prevede la produzione, oltre che della radiazione β (positiva o negativa),
anche quella di un nuovo tipo di particella neutra, chiamata neutrino (ν), fatto su cui però noi non ci
soffermeremo.
Decadimento γ
Il decadimento γ prevede l’emissione di raggi γ, radiazioni elettromagnetiche molto energetiche (λ <
10−11 ), da nuclei che si trovano in stati eccitati, solitamente causati dagli altri tipi di decadimento.
Dal punto di vista della trasformazione che subisce in nucleo si ha:
A
ZX
−→ A
ZX + γ
(4.4.6)
L’emissione è dunque puramente di radiazione, non di materia: per questo le radiazioni γ sono le più
penetranti.
4.4.2
Legge del decadimento radioattivo
La legge del decadimento radioattivo naturale deriva dall’osservazione sperimentale del fatto che atomi radioattivi hanno una certa probabilità costante (λ) di decadere per unità di tempo e quindi la
probabilità λ∆t che decada in un certo intervallo di tempo ∆t; ciò significa che:
N (t) − N (t + ∆t)
= λ∆t
N (t)
dove N (t) è il numero di nuclei ad un certo istante t e N (t) − N (t + ∆t) il numero di nuclei decaduti,
dunque il rapporto tra le due quantità rappresenta i casi favorevoli sui casi totali e dunque la probabilità
di decadimento dei nuclei. L’equazione può essere riscritta come:
N (t) − N (t + ∆t)
= λN (t)
∆t
l’equazione è valida per qualsiasi ∆t e dunque anche per il limite per ∆t che tende a zero, e dunque
− N 0 (t) = λN (t)
18
(4.4.7)
premio Nobel per la fisica nel 1938
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
94
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
l’equazione (4.4.7) è un’equazione differenziale del primo ordine che può essere semplicemente risolta
trovando:
N (t) = N0 e−λt
(4.4.8)
Dove N (t) è il numero di nuclei non decaduti al tempo t, N0 il numero di nuclei all’inizio (t = 0), λ
una costante che dipende dalla natura dell’elemento radioattivo in questione chiamata costante di
decadimento. L’equazione (4.4.7) definisce anche la cosiddetta attività radioattiva R = −N 0 (t)
che si misura in Bequerel (Bq) e rappresenta il numero di decadimenti che avvengono al secondo
per un certo materiale radioattivo. Particolare importanza nello studio della radioattività naturale
assume anche il tempo di dimezzamento T1/2 che rappresenta il tempo necessario affinché la metà
dei nuclei iniziali decada:
N (T1/2 ) = N0 e−λT1/2
N0
−λT1/2
2 = N0 e
−λT1/2
1
2 =e
ln ( 12 ) = −λT1/2
−λT1/2 = − ln (2)
T1/2 =
ln (2)
λ
Come si vedrà negli esercizi proposti, la legge del decadimento ed il tempo di dimezzamento vengono spesso utilizzato ad esempio nella datazione di reperti archeologici studiando il rapporto tra le
concntrazioni di isotopi di determinati elementi presenti nei reperti, tipicamente carbonio.
4.4.3
La produzione di energia nucleare
Le reazioni dei decadimenti nucleari descritte in questo capitolo sono reazioni esoenergetiche, reazioni
che producono energia. Fin dagli inizi del ’900 si cercò di capire come favorire ed accelerare queste
reazioni in laboratorio per poterle sfruttare nella produzione di energia. Negli anni trenta il gruppo di
fisici guidato da Enrico Fermi, fece moltissimi studi sulla fissione nucleare interpretando e definendo
per la prima volta il decadimento β come già detto ma anche realizzando le prime reazioni nucleari
con produzione di energia ottenute bombardando nuclei di Uranio con neutroni. Gli studi degli anni
seguenti portarono al raffinamento di queste tecniche fino alla realizzazione delle centrali nucleari ed
anche purtroppo alla produzione della bomba nucleare...
L’idea di fondo dell’utilizzo delle reazioni nucleari per la produzione di energia a servizio dell’uomo è
quella di riuscire a costruire una serie di reazioni esoenergetiche a catena “guidandole”, riuscendo cioè
a controllarle evitando che la produzione di energia aumenti esponenzialmente come invece avviene
nella costruzione di ordigni bellici. I reattori nucleari utilizzando le reazioni nucleari per produrre
energia che scalda del vapore il quale a sua volta fa muovere delle turbine collegate ad un alternatore.
I reattori possono sfruttare la fissione (i più comuni) o la fusione:
1. reattori a fissione: sono i reattori più diffusi e solitamente sfruttano la reazione di fissione
dell’Uranio. La reazione di base di questi reattori è
235
U + n → 236 U ∗ → X + Y + kn
dove 236 U ∗ è un nucleo composto instabile che subisce fissione nucleare producendo due nuclei
più leggeri X ed Y ed un certo numero k di neutroni. Gli elementi X ed Y sono tipicamente
nuclei con A ∈ (75, 150), ancora instabili che decadranno poi con il loro tempo di decadimento
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
95
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
in altri elementi. L’idea è quindi di utilizzare un gran numero di nuclei di 235 U , una volta innescata la reazione con un neutrone i neutroni emessi dalla prima reazione andranno ad innescare
altre reazioni e cosı̀ via... Gli elementi X ed Y prodotti dalle reazioni sono le cosiddette scorie
nucleari, elementi readioattivi residui nella produzione di energia. In natura l’Uranio si presenta
sotto i due isotopi 235 U ed 238 U in una proporzione di circa 1:140; il primo isotopo è fissile, il
secondo invece è stabile. Per produrre energia nei reattori l’Uranio viene “arricchito”, ovvero
il rapporto 235 U/ 238 U viene portato fino a 1:50, 1:20. Il controllo della reazione avviene attraverso l’isotopo non radioattivo che anche quando assorbe un neutrone non subisce fissione, ed
anche attraverso delle “barre di controllo” fatte da altri materiali che quando catturano neutroni
non reagiscono.19 . Il vantaggio dei reattori è la semplicità di innesco della reazione, il grande
svantaggio è sicuramente la produzione di scorie, oltre che al rischio di perdere il controllo delle
reazioni nucleari.
2. reattori a fusione: l’utilizzo della fusione nucleare per la produzione di energia non è ancora
perfezionato ma promette di essere il futuro dell’energia nucleare perché permetterebbe di
• produrre più energia rispetto ai reattori a fissione;
• utilizzare elementi più facilmente reperibili rispetto a quelli fissili;
• produrre molte meno scorie radioattive e scarsa probabilità di innesco di reazioni secondarie.
La reazione a cui più si guarda è la seguente:
2
H + 3 H → 4 He + n
Affinché però questa reazione avvenga i nuclei devono essere molto vicini tra loro, a distanze
ottenibili solamente quando questi atomi si trovano alle temperature simili a quella del sole
(dove appunto avvengono in modo naturale le fusioni naturali) T ∼ 107 K. La materia a quelle
temperature si trova completamente ionizzata in un miscuglio di nuclei ed elettroni liberi che
chiamiamo in linguaggio scientifico plasma. La difficoltà nella realizzazione di reattori a fusione
è quella di produrre questo plasma alle temperature di innesco delle reazioni di fusione e mantere
queste condizioni. Il rischio è quello che i reattori diventino vere e proprie “bombe ad idrogeno”
(l’utilizzo non controllato della produzione di energia di fusione è appunto questo...) perché a
tali energie il plasma è in grado di distruggere pressoché qualsiasi contenitore materiale in cui si
trovi. Ci sono al momento due possibili metodi di confinamento del plasma:
• confinamento magnetico: è la strategia principale studiata nei principali progetti pilota
di produzione di energia con reattori a fusione 20 ; l’idea è quella di confinare le particelle
cariche costituenti il plasma all’interno di una struttura toroidale attraverso un forte campo
magnetico, riscaldando il plasma atrraverso intensi campi elettromagnetici all’interno del
toroide.
• confinamento inerziale: si tratta di utilizzare intense radiazioni laser su sfere di combustibile fusibile per ottenere densità molto elevate in tempi molto ristretti, tali affinché
la stessa inerzia delle particelle faccia da confinamento delle stesse; i tempi dovrebbero
essere cosı̀ brevi da far concludere la fusione prima che le particelle del plasma riescano
ad allontanarsi significativamente dal luogo della reazione: un reattore di questo genere si
19
Non entriamo qui nel dettaglio della descrizione di un reattore nucleare, lasciando l’eventuale approfondimento alla
curiosità di oguno, ci soffermiamo solo alla descrizione generale e concettuale utile alla comprensione della produzione di
energia
20
https://www.euro-fusion.org/http://www.iter.org/
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
96
CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
configurerebbe come un enorme numero di bombe ad idrogeno in miniatura che espldono
in modo indipendente in un tempo ristrettissimo.
Francesco Saitta, Pordenone Agosto 2016
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CAPITOLO 4. FISICA QUANTISTICA
4.5
Esercizi
1. Un metallo è caratterizzato da un lavoro di estrazione L = 3, 2eV. Quale sarà il potenziale di
arresto se il metallo è illuminato con una radiazione X con fX = 5 × 1018 Hz?
[∆V0 = 21kV]
2. L’energia cinetica massima misurata in un esperimento di effetto fotoelettrico è Ec = 2eV. Con
che tipo di radiazione è stato illuminato il metallo se la sua frequenza di soglia è nel visibile,
f0 = 3 × 1014 Hz?
[f = 7, 8 × 1014 Hz]
3. Un metallo illuminato da una luce di frequenza f = 15 × 1019 Hz genera un potenziale d’arresto
∆V0 = 10000V. Quale sarà la lunghezza d’onda minima di un fotone incidente con cui si possono
generare fotoelettroni?
[λm = 2 × 10−12 m]
4. Un fotone incidente su un elettrone viene deviato all’indietro con angolo α = 180◦ . Di quanto
varia la sua lunghezza d’onda?
[∆λ = 4, 86 × 10−12 m]
5. Un fascio di fotoni X di λ = 0, 021nm colpisce un bersaglio di grafite, analogamente all’esperimento di Compton. Parte della radiazione diffusa viene rilevata ad α = π/4rad rispetto alla
direzione di incidenza. Qual è l’energia di un singolo fotone diffuso? Quale l’energia cinetica
acquisita dall’elettrone con cui il fotone ha urtato?
[E 0 = 57, 3keV; Ec = 1, 9keV]
6. Per che angolo si ha la massima energia di un fotone diffuso da un elettrone? E la minima?
[αM = 0rad; αm = πrad]
7. Interagendo con un elettrone libero, un fotone di frequenza f = 2 × 1022 Hz è diffuso con un
angolo α = 10◦ rispetto alla sua direzione iniziale. Qual è la frequenza del fotone diffuso? Quale
la sua energia? Quale l’energia cinetica dell’elettrone? Si può considerare l’elettrone come relativistico o classico? Quale l’angolo di emissione dell’elettrone rispetto alla direzione originale
del fotone?
[f 0 = 5, 78 × 1021 Hz; E 0 = 23, 9MeV; Ec = 58, 9MeV; γ ∼ 116; α ∼ 4◦ ]
8. Un fotone con λ = 1, 9µm viene assorbito da un atomo di idrogeno. L’elettrone da che livello
energetico partica ed in che livello energetico è arrivato?
[n1 = 3; n2 = 4]
9. Un atomo di idrogeno emette un fotone di lunghezza d’onda λ = 95, 12nm cadendo nel suo stato
fondamentale. In quale livello eccitato si trovava?
[n = 5]
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10. Quale energia ha un fotone emesso da un atomo di idrogeno in cui l’elettrone passa dali livello
eccitato n = 8 al livello eccitato n = 6? A che radiazione corrisponde?
[E = 0, 17eV; λ = 7317nm, infrarosso]
11. Che lunghezza d’onda si associa secondo De Broglie ad un elettrone che viaggia a v = 105 m/s?
[λ = 7, 3nm, (raggi X)]
12. La funzione d’onda di un elettrone in un certo istante di tempo in funzione della sua distanza x
dal centro di un rilevatore è data da
ψ(x) = √
A
A ∈ R+
1 + x2
Quanto vale A? Qual è la probabilità che l’elettrone venga misurato entro una distanza d = 1m
dal centro?
√
[A = 1/ π; P = 0, 5]
13. Quanti stati può avere un elettrone √
di un atomo di idrogeno nel livello energetico n = 4 con un
modulo di momento angolare L = 2 3~?
[# = 7]
14. Qual è il modulo del momento angolare di un elettrone che si trova in un orbitale d?
[L =
√
6~]
15. Si trovino i possibili stati energetici di un elettrone non relativistico libero di muoversi all’interno
di una scatola quadrata di spigolo L assumendo il suo moto lungo una direzione parallela ad uno
degli spigoli.
[Si tratti l’elettrone (e− ) come un’onda stazionaria nella scatola...]
[Ec = n2 h2 /(8mL2 )]
16. Sapendo che un elettrone si trova in una scatola di lato l = 20cm, si calcoli la minima indeterminazione calcolabile sulla sua quantità di moto.
[δpm = 495neV/c]
17. Sapendo che un elettrone in un certo atomo resta in uno stato eccitato per un tempo t ∼
7 × 10−12 s, qual è l’incertezza minima sull’energia dello stato in cui si trova?
[∆Em = 296µeV]
18. La datazione di reperti archeologici con gli isotopi del Carbonio è una delle tecniche più usate
dagli scienziati del campo. Il Carbonio infatti è un elemento tipico dei composti organici e si
trova in un rapporto pressoché costante nel suoi due isotopi 14 C e 12 C nonostante il 14 C sia un
isotopo radioattivo e per questo decada in un certo tempo. Il rapporto resta costante nei composti viventi in quanto il 14 C decade ma viene anche costantemente generato nell’atmosfera dai
raggi cosmici e di seguito assunto dai vegetali matenendo il rapporto isotopico dell’atmosfera. Si
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dati un reperto archeologico dal quale si sia prelevata una mole di Carbonio sapendo che in essa
si misura un’attività radioattiva di 14 C pari a 50 decadimenti al minuto. Si assuma come tempo
di dimezzamento del 14 C 5730 anni e come rapporto isotopico nell’atmosfera r = 1, 3 × 10−12 .
[t = 10600anni]
19. In quanto tempo il numero di atomi di un isotopo radioattivo con tempo di dimezzamento
T (1/2) = 2anni diventa 1/10 del numero iniziale?
[t ∼ 9mesi e mezzo]
20. Si stimi l’energia liberata dalla fissione dell’Uranio
235
U in due nuclei circa uguali.
[E ∼ 200MeV]
21. Utilizzando il risultato dell’esercizio precedente si trovi la potenza sviluppata da una centrale
nucleare che provoca la fissione di 1g di 235 U ogni giorno.
[P = 0, 95MW]
22. Quanta energia viene liberata in un ciclo completo dell’idrogeno, ciclo che avviene all’interno
delle stelle per la produzione di Elio?
[E = 27MeV]
23. Si trovi quanta energia viene liberata dalla reazione
2
H + 3 H → 4 He + n
[E = 17, 6MeV]
24. La prima reazione della serie dell’Uranio è il decadimento α dell’ Uranio-238 in Torio-234. Quanta energia viene liberata in questa reazione?
[E = 4, 2MeV]
25. La prima trasmutazione artificiale di un nucleo fu eseguita sperimentalmente da Rutherford nel
1919:
14
N + 4 He → 17 O + 1 H
Fu una reazione esoenergetica o endoenergetica? Quanta energia per singola reazione fu prodotta/utilizzata?
[endoenergetica, E = −1, 3MeV]
26. Find the threshold frequency of a certain metal if the maximum Kinetic energy of the photoelectron is Kmax = 2eV and the wavelenght of the incident radiation is λ = 200nm.
[fth = 1, 017 × 1015 Hz]
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27. Find the diffusion angle of an X-ray photon (λ = 10−11 m) after a collision with a free electron
if the wavelenght changed decreasing by 10%.
[α ∼ 54◦ ]
28. Find the wavelenght of an photon absorbed by an hydrogen atom if the electron is excited from
the ground state to n = 3.
[λ = 102, 7nm]
29. Find the energy released in the Sun when an Helium atom is produced by
4 1 H → 4 He + 2e+ + 2ν + 2γ
[e+ is the positron a particular particle called the anti-electron whose charateristics are the same
of the electron but the charge, that is the opposite, qe+ = −qe− = +1, 6 × 10−19 C]
[E = 24, 69MeV]
30. Find the radioactive activity R of a certain radioactive matter after 3T (1/2) if the initial activity
is 20 dec/min
[T (1/2) = 0, 04Bq]
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