RICHIAMI DI FLUIDODINAMICA

MECCANICA dei FLUIDI
Fluidi : liquidi e gas , i primi hanno volume proprio, ma non forma propria , mentre i secondi né
volume né forma propria
Pressione = forza / superficie (N / m2 = Pa (pascal) => 1 bar = 105 Pa (= circa a press. atm)
Legge di Stevino = la pressione cui è sottoposto un corpo immerso in un fluido statico è = gh
Legge di Pascal = in un fluido ideale la pressione in ogni punto è indipendente dall’orientamento
della sup. su cui sta il punto
Principio di Archimede = un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto
pari al peso del fluido spostato (es. nave )
RICHIAMI DI FLUIDODINAMICA
L‘equazione di continuità:
Concetti fondamentali di fluidodinamica considerando un sistema aperto :
se si esamina il moto di un fluido in un condotto, in cui sia la sezione 1 di ingresso del fluido e la
sezione 2 la sezione di uscita.
2
Una delle grandezze fisiche importanti da studiare è la portata in massa indicata con M•, cioè
quanto fluido (in kg) passa nel condotto nell‘unità di tempo. Poiché si considera una massa
nell‘unità di tempo, l‘unità di misura sarà: kg/s
Si fa anzitutto l‘ipotesi che il moto del fluido sia stazionario, indipendente dal tempo.
In tal caso la massa di fluido che si trova tra le due sezioni considerate del condotto rimane
costante: non si hanno cioè né accumuli né fughe di fluido, ma la quantità di fluido che entra è
uguale a quella che esce.
All‘interno del condotto il fluido scorre sempre nella stessa direzione.
Per il principio detto di conservazione della massa:
M1 = M2
dove M1 è la portata in massa nella sezione 1 e M2 è la portata in massa nella sezione 2. M1 e M2,
poiché equivalenti, possono essere sostituite da una generica portata in massa M:
M=ρAw
Dove:
ρ è la densità del fluido espressa in kg/m3 (massa per unità di volume);
A è l‘area della sezione espressa in m2;
w è la velocità media del fluido espressa in m/s.
L‘area della sezione di un condotto circolare risulta essere:
D
A= π D2 / 4
dove D indica il diametro interno del tubo, poiché l‘area dove passa il fluido è quella interna.
La densità ρ può, a seconda dei casi, essere variabile o invariabile. Per l‘acqua la densità è
praticamente invariabile, perché cambia di molto poco nelle diverse condizioni fisiche. Può, perciò,
essere considerata:
ρ = 1000 kg/m3
La densità dell‘aria è, al contrario, molto variabile e nelle condizioni standard pari a circa 1,2 ,
quindi la densità dell’acqua è quasi 1000 volte quella dell’aria.
Essendo costante, nelle due sezioni, la portata in massa, le due quantità che possono variare sono la
densità ρ e la velocità w.
L’ equazione di continuità è più comunemente conosciuta con il nome di equazione di
conservazione della massa.
W1
W2
Poiché la portata in massa resta costante, si avrà:
ρ1 A1 w1 = ρ2 A2 w2
per l‘acqua la densità ρ può essere considerata costante, quindi si ottiene:
w2 = w1 A1 / A2
Dove w2 è la velocità media nella sezione 2 espressa in m/s, w1 è la velocità media nella sezione 1
espressa in m/s, A1 è l‘area della sezione 1 e A2 è l‘area della sezione 2 espresse in m2.
L‘equazione del bilancio energetico : E2 − E1=Q− L
Dove E2 è l‘energia nella sezione 2 nell‘unità di tempo, E1 è l‘energia nella sezione 1 nell‘unità di
tempo, Q è la potenza termica e L è la potenza meccanica. Tutte queste grandezze sono misurate in
J/s.
Si indica con Q la potenza termica scambiata lungo il contorno del sistema e con L la potenza
meccanica, per convenzione si considera il lavoro positivo se è compiuto dal sistema verso
l‘esterno, negativo dall‘esterno sul sistema, invece, sempre per convenzione, il calore positivo se è
acquistato dal sistema, negativo se è ceduto dal sistema.
L‘energia E nella sezione 1 e nella sezione 2 è presente sotto tre forme diverse:
-energia cinetica: data dal fatto che il fluido si muove con una certa velocità w;
-energia potenziale: data dal fatto che il fluido si trova ad un‘altezza z rispetto al livello del mare;
- entalpia specifica.
Si può così scrivere per unità di massa:
-energia cinetica specifica : Ec = ½ w2 α (J/kg) dove w è la velocità media espressa in m/s ed α è un
numero puro che dipende dal tipo di moto del fluido,
-energia potenziale specifica: Epot = g z (J/kg) dove g è l‘accelerazione di gravità espressa in m/s2
e z è l‘altezza del fluido rispetto al livello del mare espressa in m.
-entalpia specifica: h = cp ΔT (J/kg), dove cp è il calore specifico misurato in J/kg K e T è la
temperatura misurata in K,
da cui H = m cp ΔT.
Queste grandezze vanno poi moltiplicate per la portata in massa, si ottiene così:
l‘equazione del bilancio energetico riferita alla massa totale:
M•[ 1/2 w2 α + g z + cp T)2 − (1/2 w2 α − g z − cp T)1 ] =Q − L
dove sono presenti tutti i suddetti tipi di energia.
Prima si è scritto il bilancio dell‘energia nella sua forma termica, mentre nel corso della
fluidodinamica tecnica è più utile utilizzare la forma meccanica.
Nella forma meccanica si considera solo l‘energia meccanica; in essa compare la perdita di carico,
cioè i fenomeni dissipativi dovuti al fatto che il fluido è di carattere viscoso.
Si Considerano allora anche le perdite di carico.
M•[ (w22 − w21) / 2 + g (z2 − z1) + (p2 − p1) / ρ] = − L− RM (W)
dove M è la portata in massa misurata in kg/s, w sono le velocità medie del fluido in m/s,
g è l‘accelerazione di gravità misurata in m/s2, z2 è l‘altezza del fluido nella sezione 2 rispetto al
livello del mare misurata in m, z1 è l‘altezza del fluido nella sezione 1 rispetto al livello del mare
misurata in m, p2 e p1 sono le pressioni del fluido nelle sezioni 2 ed 1 misurate in Pa , ρ è la
densità del fluido misurata in kg/m3, L• è la potenza meccanica misurata in J/s, R è l‘energia che si
dissipa misurata in J.
Inoltre:
(w22 − w12) / 2 rappresenta la variazione di energia cinetica;
g (z2 − z1) rappresenta la variazione di energia potenziale;
(p2 − p1) / ρ rappresenta la variazione dell‘energia di pressione.
La potenza termica Q• è scomparsa: il salto di entalpia è stato sostituito da (p2 − p1) / ρ.
In presenza di fluido viscoso una parte di energia meccanica si dissipa in calore, poiché si deve
considerare anche questo calore, si aggiunge − R che indica, appunto, l‘energia che si dissipa. R è
chiamata perdita di carico“.
Il carico è una grandezza fisica espressa in metri che rappresenta il battente idraulico.
Se si dividono tutti i termini dell‘equazione del bilancio energetico per g, si ottiene:
[ (w22 − w12) / 2 g + (z2 − z1) + (p2 − p1) / ρ g ] = − L• /M• g − CR (m)
Il significato fisico è che tutti i termini dell‘equazione hanno come unità di misura i metri.
La quantità w2 / 2 g è chiamata carico cinetico e rappresenta la quota massima raggiunta dal fluido
lanciato verticalmente verso l‘alto con velocità di modulo w.
Il termine z è chiamato carico geodetico e rappresenta l‘altezza del fluido rispetto al livello del
mare, mentre la quantità p / ρ g è chiamata carico piezometrico, essa rappresenta l‘altezza che deve
avere una colonna del fluido in questione per esercitare alla base la pressione p.
− L• /M• g è il carico della pompa.
Ad esempio:
1 bar = 10 m DI COLONNA D’ACQUA= 100.000 Pa
Anche il termine R può essere espresso in metri. Questo giustifica l‘utilizzo della definizione —
perdita di carico“. CR è qui definito carico perso.
Al posto di L• dobbiamo scrivere:
Δp M• / ρ cioè da una differenza di pressione, Δp. Essa, perciò, dipende dalla pompa utilizzata.
SI Può Scrivere, quindi, correttamente la seguente equazione:
M•[ (w22 − w12) / 2 + g (z2 − z1) + (p2 − p1) / ρ +R ] = Δp M• / ρ (W)
-dall‘equazione meccanica si trova:
R=( Σβi+ ξ L / D ) w2 / 2
dove Σβi rappresentano le perdite di carico concentrate e ξ L / D le perdite di carico distribuite.
β e ξ sono i coefficienti adimensionali che determinano le perdite di carico concentrate e distribuite.
Le perdite di carico concentrate medie si trovano nella seguente tabella:
Per quanto riguarda le perdite di carico distribuite, il valore di ξ è funzione di due numeri puri: 1) la
scabrezza relativa: ε /D dove ε è la scabrezza del condotto, cioè l‘altezza media della rugosità del
tubo e D è il diametro del condotto; 2) il numero di Reynolds: Re = w D / ν = ρ wD/ µ dove ν
rappresenta la viscosità cinematica dei fluidi e µ rappresenta la viscosità dinamica. Perciò:
ξ = f(Re,ε / D) Esistono tabelle, come le seguenti, che elencano alcuni valori della viscosità
dinamica e cinematica dell‘acqua e dell‘aria al variare della temperatura.
D = 4 A / per , esempio : per un canale rettangolare 200 X 500 mm = 4 (0,2 X 0,5) m si ha :
4 (0,2 X 0,5) / 2 (0,2 + 0,5) = 0,4 / 1,4 = circa 0,285 m = 285 mm
Una volta calcolato il numero di Reynolds si presentano due casi:
1) Re < 2100
Il moto del fluido è di tipo laminare e quindi:
ξ = 64 / Re
2) Re > 4300
Il moto del fluido è turbolento e quindi per calcolare ξ si utilizza il diagramma di
Moody, diagramma di tipo sperimentale: cioè, creato in laboratorio tramite un numero elevato di
esperimenti. Esso è strutturato nel seguente modo:
-in ascissa presenta il numero di Reynolds, Re;
-sul lato sinistro presenta il coefficiente di attrito, ξ;
-sul lato destro presenta la scabrezza relativa, ε / D.
Inoltre questo grafico è diviso in tre fasce verticali:
-per Re < 2100 il fluido si muove di moto laminare e perciò:
ξ = 64 / Re
quindi non è necessario utilizzare il grafico;
-per 2100 < Re < 4300 troviamo una fascia verticale chiamata zona di
transizione, in cui il moto del fluido non è ben definito; -per Re > 4300 il moto del fluido è
turbolento e il valore di ξ sulla sinistra si ricava dal grafico conoscendo il valore di Re e ε / D. Per
valori di Reynolds elevati ξ può essere considerata dipendente solo dal valore della scabrezza
relativa, ε / D. Ê quindi possibile ricavare il valore di ξ conoscendo semplicemente il valore di ε / D.