La gravità
quantistica
a Flatlandia
quantistica a
La gravità
fisica
Immaginiamo che lo spazio sia bidimensionale
anziché tridimensionale. Come funzionerebbe la forza
di gravità? Le sorprendenti risposte guidano
i fisici verso una teoria unificata della natura
Illustrazione di Kyle Bean
di Steven Carlip
Steven Carlip, fisico, ha studiato con Bryce DeWitt, uno dei fondatori della gravità quantistica.
È professore all’Università della California a Davis e membro dell’American Physical Society
nonché della sua controparte britannica, l’Institute of Physics.
L a g r av i tà c o m e l a v e d r e b b e « U n Q ua d r at o »
Come funziona la gravità in due dimensioni
Se prendiamo lo spazio tridimensionale e lo appiattiamo su due dimensioni,
non si ottiene solo una materia molto più sottile. La forza di gravità si comporterebbe infatti in modo diverso. Per i fisici, immaginare la gravità in due
Fin da quando esiste come scienza,
la fisica cerca l’unità nella natura.
Isaac Newton mostrò che la stessa forza che provoca la caduta di una mela mantiene anche i pianeti nelle loro orbite. James
Clerk Maxwell unì elettricità, magnetismo e luce in un’unica teoria
dell’elettromagnetismo; un secolo dopo i fisici aggiunsero la forza nucleare debole e formarono una teoria unificata «elettrodebole». Albert Einstein unì addirittura spazio e tempo in un unico continuo spazio-temporale.
Oggi il principale anello mancante in questa ricerca è l’unificazione tra gravità e meccanica quantistica. La teoria einsteiniana della gravità, cioè la teoria generale della relatività, descrive
la nascita dell’universo, le orbite dei pianeti e la caduta della mela di Newton. La meccanica quantistica descrive atomi e molecole,
elettroni e quark, le forze subatomiche fondamentali e molto altro.
Eppure nei casi in cui si potrebbero applicare entrambe le teorie –
ovvero nei casi in cui sia la gravità sia gli effetti quantistici sono
forti, come nei buchi neri – sembra che siano incompatibili. Tutti
gli sforzi dei fisici per unirle in una teoria quantistica della gravità sono falliti miseramente, dando risposte che non hanno senso o
non dandone affatto. Nonostante ottant’anni di lavoro da parte di
generazioni di fisici, tra cui una dozzina di premi Nobel, una teoria
quantistica della gravità rimane inafferrabile.
Poniamo a un fisico una domanda troppo difficile e la risposta
più frequente sarà: «Chiedimi qualcosa di più facile». La fisica avanza esaminando modelli semplificati che descrivono parti di una
realtà complessa. I ricercatori hanno considerato numerosi modelli
per la gravità quantistica, tra cui le approssimazioni valide nel caso
in cui la gravità sia debole o in situazioni speciali come i buchi neri.
L’approccio più insolito, forse, è quello in cui si ignora una dimensione spaziale e si calcola come funzionerebbe la gravità se il nostro universo avesse solo due dimensioni. (Tecnicamente, i fisici definiscono questa situazione come «(2+1)-dimensionale», riferendosi
a due dimensioni spaziali e una temporale.) I principi alla base della
forza di gravità in questo universo semplificato si potrebbero applicare anche al nostro universo tridimensionale, dandoci così gli indizi di cui abbiamo bisogno per l’unificazione.
L’idea di abbandonare una dimensione ha una storia illustre. Il
romanzo del 1884 di Edwin Abbott, Flatlandia. Storia fantastica
Onde nate morte
Secondo la relatività generale,
le variazioni del campo
gravitazionale si propagano
nello spazio sotto forma di onde
gravitazionali, che sono
irriducibilmente tridimensionali:
si propagano in una direzione e
deformano periodicamente gli
oggetti in altre due direzioni
perpendicolari (sequenza in
alto). Non possono propagarsi in
due dimensioni (in basso).
Senza onde, i fisici non riescono
a trovare il modo di quantizzare
la gravità.
a più dimensioni, segue le avventure di «Un Quadrato», uno degli
abitanti di un mondo bidimensionale popolato da triangoli, quadrati e altre figure geometriche. Anche se Abbott intendeva offrire
un commento satirico sulla società vittoriana – Flatlandia ha una
rigida gerarchia classista, con in fondo le donne a forma di segmento e al vertice una classe di sacerdoti di forma circolare – il libro alimentò anche un nuovo interesse verso la geometria in varie dimensioni e ancora oggi è popolare presso matematici e fisici.
Se si vuole cominciare a intuire come sia fatto un ambiente con un
numero maggiore di dimensioni si può cominciare immaginando
come apparirebbe il nostro mondo tridimensionale a Un Quadrato (si veda Giochi matematici, di Martin Gardner, in «Le Scienze»
n. 147, novembre 1980). Flatlandia ha anche ispirato i fisici a studiare materiali come il grafene, che si comportano come spazi bidimensionali (si veda Le meraviglie del grafene, di Andre K. Geim e
Philip Kim, in «Le Scienze» n. 478, giugno 2008).
I primi studi sulla gravità di Flatlandia, compiuti all’inizio degli anni sessanta, furono deludenti; in uno spazio bidimensionale i cambiamenti nel campo gravitazionale non potrebbero propagarsi. Alla fine degli anni ottanta, però, ci fu un ritorno di fiamma,
quando i ricercatori si resero conto che la gravità agisce in modi
inaspettati. Plasmerebbe ugualmente la forma complessiva dello
spazio e creerebbe addirittura i buchi neri. La gravità di Flatlandia
è un esempio istruttivo di pensiero laterale e ci permette di sottoporre alcune nostre idee speculative, come il cosiddetto «principio
olografico» e la comparsa del tempo dall’atemporalità, a rigorosi test matematici.
74 Le Scienze
Gestire il tempo
Si formano
i buchi neri
Quando noi fisici cerchiamo di sviluppare una teoria quantistica
di una forza prendiamo come punto di partenza la corrispondente teoria classica e ci lavoriamo su. Per la gravità, significa partire
dalla relatività generale. Ed è qui che cominciano i guai. La relatività generale include un complesso sistema di dieci equazioni che
arrivano ad avere migliaia di termini ciascuna. Non siamo in grado di risolvere queste equazioni nel caso più generale: quindi formularne la versione quantistica è un’impresa scoraggiante. Ma il
gravitazionali non si propagano,
quindi il problema della gravità
quantistica neppure si porrebbe.
In realtà i fisici hanno scoperto che
le cose non sono così banali. Le onde
potrebbero non incresparsi nello
spazio-tempo, ma l’universo può
cambiare forma. La risultante teoria
quantistica della gravità risolve vari
misteri dell’unificazione, come il
modo in cui il tempo emerge dalla
fisica senza tempo.
526 giugno 2012
Onda ipotetica
L’onda deformerebbe l’oggetto in una direzione proibita
Un oggetto dotato di massa
deforma lo spazio. In tre
dimensioni questa distorsione
provoca l’attrazione tra i due
oggetti secondo la legge della
gravitazione universale di
Newton. In due dimensioni un
oggetto dotato di massa
deforma lo spazio in forma
conica. La legge di Newton è
diversa: gli oggetti che passano
nelle vicinanze sono
ugualmente deviati lungo nuove
traiettorie, ma gli oggetti a
riposo rimangono tali.
Illustrazioni di Malcolm Godwin
dimensioni e chiedersi come vi
funzionerebbe la gravità.
All’inizio si aspettavano che la
gravità bidimensionale fosse banale.
Costretta in una dimensione in meno,
la gravità è così vincolata che le onde
Onda
gravitazionale
L’attrazione funziona
in modo diverso
In breve
Bloccati dalla difficoltà di unificare
meccanica quantistica e teoria della
relatività generale, i fisici si sono
dedicati a una versione semplificata
del problema: immaginare che il
nostro universo abbia solo due
dimensioni è stato un utile esercizio per capire come unificare la teoria einsteiniana della gravità (la relatività generale) e la meccanica quantistica, in
modo da creare una teoria quantistica della gravità.
In condizioni estreme la gravità
può causare fenomeni non
previsti dalla legge di Newton,
come i buchi neri, regioni di
spazio in cui gli oggetti possono
entrare senza più uscire. Una
scoperta sorprendente della
gravità bidimensionale è che
nello spazio 2D possono
esistere buchi neri, a condizione
che lo spazio contenga energia
oscura. Gli effetti quantistici
fanno sì che sia in 2D sia in 3D i
buchi neri emettano un bagliore,
come qualsiasi oggetto caldo.
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Orizzonte degli eventi
Singolarità
Le Scienze 75
L a g r av i tà qua n t is t i c a c o m e e f f e t t o o lis t i c o
mistero del perché la gravità quantistica sia così sfuggente è anco- accadendo. Charles Torre, della Utah State University, ha mostrato che una teoria quantistica della gravità non può avere osservara più profondo.
Secondo la gravità generale, la cosa che chiamiamo «gravità» bili puramente locali, cioè osservabili i cui valori dipendano da un
è in realtà una manifestazione della forma dello spazio e del tem- unico punto dello spazio-tempo. Così agli scienziati restano osserpo. La Terra non orbita attorno al Sole perché qualche forza la tira, vabili non locali, grandezze i cui valori dipendono da molti punti
ma perché si muove lungo la traiettoria più diretta possibile in uno contemporaneamente. In generale, non sappiamo nemmeno come
spazio-tempo deformato dalla massa del Sole. Unificare la mec- definire questi oggetti, e ancora meno usarli per descrivere il moncanica quantistica e la gravità significa riuscire a quantizzare la do che osserviamo.
Un terzo problema riguarda l’origine dell’universo. È apparso
struttura stessa dello spazio e del tempo.
Potrebbe non sembrare particolarmente impegnativo. Eppure dal nulla? Si è separato da un universo genitore? O ha fatto qualuno dei fondamenti della meccanica quantistica è il principio di cosa di completamente diverso? Ciascuna possibilità pone qualche
indeterminazione di Heisenberg, l’idea che le quantità fisiche sono difficoltà a una teoria quantistica della gravità. Un problema colleintrinsecamente «sfocate»: fluttuano in modo casuale e non han- gato è un concetto amato dagli scrittori di fantascienza: i wormhono valori ben determinati fino al momento in cui non sono osser- le, che formano scorciatoie tra punti dello spazio o addirittura del
vate o subiscono un processo equivalente. In una teoria quantisti- tempo. I fisici hanno preso seriamente in considerazione questa
ca della gravità, spazio e tempo fluttuano, scuotendo l’impalcatura idea (negli ultimi vent’anni hanno scritto più di 1000 articoli sui
su cui posa il resto della fisica. Senza uno spazio-tempo fisso come wormhole) senza risolvere la questione della possibile esistenza di
simili strutture.
sfondo, non sappiamo come descrivere le posiUn ultimo insieme di domande riguarda gli
zioni, le variazioni e le altre grandezze fondaL’universo
oggetti più misteriosi noti alla scienza: i bumentali della fisica. In parole povere, non sapè descritto
chi neri. Questi oggetti forniscono la migliore
piamo che cosa significhi uno spazio-tempo
finestra sulla natura ultima dello spazio e del
quantistico.
da un’unica
tempo. All’inizio degli anni settanta Stephen
Questi ostacoli generali alla concettualizzafunzione d’onda
Hawking mostrò che i buchi neri dovrebbero
zione di uno spazio-tempo quantizzato compaessere circondati da un bagliore in modo simiiono in vari modi specifici. Uno è il famigerato
quantistica che
le a braci di carbone, emettendo radiazioni con
«problema del tempo». Il tempo è fondamentale
include tutto il
il cosiddetto spettro di corpo nero. In qualsiaper la realtà che osserviamo. Quasi ogni teoria
si altro sistema fisico, la temperatura riflette il
fisica è in definitiva una descrizione del modo
tempo, passato,
dei suoi costituenti microscoin cui qualche parte dell’universo cambia nel
presente e futuro. comportamento
pici. Quando diciamo che una stanza è calda, in
tempo. Non sarebbe male, se noi fisici sapesrealtà intendiamo che le molecole dell’aria che
simo bene che cosa significa «tempo»: la verità
Ma come genera
si muovono in modo energico. Per un
imbarazzante è che non lo sappiamo.
il mondo dinamico contiene
buco nero le «molecole» devono essere definiPer Newton il tempo era assoluto: si trovava
che osserviamo?
te in termini di gravità quantistica. Non sono
fuori della natura, agiva sulla materia ma noi
letteralmente molecole, ma qualche tipo di sotnon potevamo agire su di esso. Le formulazioni abituali della meccanica quantistica accettano questa idea di un tostruttura microscopica sconosciuta, che un fisico chiamerebbe
tempo assoluto. La relatività, però, ha detronizzato il tempo asso- «gradi di libertà», suscettibile di cambiamento. Nessuno sa che coluto. Osservatori diversi in moto l’uno rispetto all’altro non hanno sa siano veramente.
la stessa opinione sullo scorrere del tempo e neppure sulla contemporaneità di due eventi. Un orologio, o qualsiasi altra cosa che va- Modello poco attraente
ria nel tempo, funziona più lentamente in un campo gravitazionaA prima vista, Flatlandia non sembra un posto promettente in
le forte. Il tempo non è più semplicemente un parametro esterno, cui cercare le soluzioni a questi problemi. La Flatlandia di Abbott
ma un partecipante attivo dell’universo. Ma se non c’è un orolo- aveva molte leggi, tra cui però non c’era una legge di gravità. Nel
gio ideale che si trova fuori dell’universo e che determina il ritmo 1963 il fisico polacco Andrzej Staruszkiewicz calcolò che forma
dei cambiamenti il passare del tempo deve emergere dalla struttu- potesse avere questa legge applicando la relatività generale. Scoprì
ra interna dell’universo (si veda Il tempo è un’illusione?, di Craig che a Flatlandia un oggetto dotato di massa deformerebbe lo spaCallender, in «Le Scienze» n. 504, agosto 2010). Ma in che modo? È zio bidimensionale che lo circonda fino a farne un cono, come uno
difficile capire anche solo da dove cominciare.
di quei cappelli da festa che si ottengono chiudendo un foglio di
Il problema del tempo ha un cugino meno famoso, il problema carta. La traiettoria di un oggetto piccolo che attraversi il vertice di
delle osservabili. La fisica è una scienza empirica; una teoria de- questo cono sarebbe deviata, proprio come nel nostro universo il
ve formulare previsioni verificabili per grandezze osservabili. Nella Sole deforma la traiettoria di una cometa. Nel 1984 Stanley Deser
fisica abituale, queste grandezze sono assegnate a posizioni speci- della Brandeis University, Roman Jackiw del Massachusetts Instifiche: il valore del campo elettrico «qui» o la probabilità di trovare tute of Technology e Gerard ’t Hooft dell’Università di Utrecht, nei
un elettrone «lì». Assegnamo a «qui» e «lì», come etichette, le coor- Paesi Bassi, calcolarono come si muoverebbero le particelle quandinate x, y e z, e le nostre teorie prevedono come le osservabili di- tistiche in uno spazio del genere.
pendono dai valori di queste coordinate.
Questa geometria sarebbe molto più semplice rispetto alla comSecondo Einstein, però, le coordinate spaziali sono etichette ar- plessa curvatura provocata dalla gravità nel nostro universo tribitrarie, create dagli esseri umani, e in realtà l’universo non se ne dimensionale. Flatlandia non avrebbe l’equivalente dell’attrazione
cura. Se non è possibile identificare oggettivamente un punto nel- newtoniana; l’intensità della forza, invece, dipenderebbe dalla velo spazio-tempo, non si può affermare di sapere che cosa vi stia locità degli oggetti, mentre due corpi in quiete non si attirerebbero
tra loro. Questa semplicità è interessante. Suggerisce che quantizzare la teoria di Staruszkiewicz sarebbe più facile che quantizzare
l’intera relatività generale in tre dimensioni. Purtroppo la teoria è
troppo semplice: non rimane niente da quantizzare. In un universo bidimensionale non c’è spazio per un elemento importante della
teoria di Einstein: le onde gravitazionali.
Consideriamo un caso più semplice, quello dell’elettromagnetismo. Il campo elettrico e il campo magnetico sono prodotti da cariche e correnti elettriche. Come ha mostrato Maxwell, però, questi
campi possono allontanarsi dalle loro sorgenti e muoversi liberamente sotto forma di onde luminose. Nella versione quantistica
della teoria di Maxwell le onde diventano fotoni, i quanti di luce.
I fotoni sono gli ingredienti fondamentali della teoria quantistica.
Allo stesso modo, i campi gravitazionali della relatività generale
possono separarsi dalla loro sorgente e diventare onde gravitazionali che si propagano liberamente: in genere i fisici ritengono che
una teoria quantistica della gravità contenga particelle che trasmettono la forza, i gravitoni.
Un’onda luminosa è polarizzata: il suo campo elettrico oscilla
in una direzione perpendicolare alla direzione del suo moto. Anche un’onda gravitazionale è polarizzata, ma in modo più complesso: il campo oscilla non in una ma in due direzioni perpendicolari alla direzione del moto (si veda il box a p. 75). Flatlandia
non ha spazio per questo tipo di comportamento. Una volta che la
direzione del moto è fissata, rimane una sola direzione perpendicolare. Le onde gravitazionali e le loro controparti quantistiche, i
gravitoni, non possono materialmente essere stipate in due dimensioni spaziali.
Nonostante occasionali risvegli di interesse, la scoperta di Staruszkiewicz non ebbe seguito. Poi, nel 1989, entrò in scena Edward
Witten, dell’Institute for Advanced Study di Princeton, in New Jersey. Da molti considerato il più grande fisico matematico viven-
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Le Scienze
526 giugno 2012
Come quantizzare la gravità in due dimensioni
La gravità bidimensionale ha dato ai fisici un nuovo punto di vista su che cosa sia la gravità. Non è necessariamente una forza che si propaga attraverso
lo spazio: anzi, in due dimensioni non si propaga affatto. La gravità è invece
ciò che provoca le variazioni della forma complessiva dello spazio.
I fisici hanno studiato un universo a forma di quadrato o di parallelogramma
che è stato arrotolato a formare un toro. Tori di dimensioni e forme diverse
corrispondono all’universo bidimensionale in momenti diversi. Ciò che accade in una qualsiasi piccola regione di spazio rispecchia le condizioni generali di tutto lo spazio; microcosmo e macrocosmo sono inestricabilmente collegati.
te, Witten ha lavorato su una classe speciale di campi in cui le onde non si propagano liberamente. Quando ha capito che la gravità
bidimensionale rientra in questa classe, ha aggiunto l’ingrediente
mancante fondamentale: la topologia.
Ciambellolandia
Witten fece notare che, anche se la gravità non può propagarsi in forma di onde, può ugualmente avere un effetto significativo sulla forma dello spazio. Questo effetto non emerge quando
Flatlandia è solo un piano, richiede una topologia più complicata. Quando una scultura di ghiaccio si scioglie, i dettagli cominciano a sparire, ma certe caratteristiche come i buchi tendono a durare. La topologia descrive queste caratteristiche. Due superfici hanno
la stessa topologia se è possibile deformare con continuità l’una
nell’altra senza tagliarla, strapparla o incollarla. Per esempio, una
semisfera e un disco hanno la stessa topologia: se si deforma la semisfera tirando verso l’esterno il suo bordo si ottiene un disco. Una
sfera ha una topologia diversa: per trasformarla in una semisfera o in un disco sarebbe necessario tagliarne via un pezzo. Un toro, cioè la superficie di una ciambella, ne ha un’altra ancora. La superficie di una tazzina ha la stessa topologia di un toro: il manico è
come un toro e il resto della tazzina si può appiattire senza tagli né
strappi. Di qui, la vecchia battuta da matematici per cui un topologo non riesce a distinguere la ciambella dalla tazza di caffè.
Anche se le ciambelle sembrano curve, quando ne consideriamo la geometria interna, anziché la forma come si osserva dall’esterno, le si può considerare piatte. Ciò che fa di un toro un toro è
il fatto che vi si può percorrere un giro completo in due diverse direzioni: passando per il buco oppure attorno al bordo. Questa caratteristica è familiare a chiunque abbia giocato con uno di quei
videogiochi degli anni ottanta, in cui il personaggio che esce dal
lato destro dello schermo vi rientra dal lato sinistro. Lo schermo
Le Scienze 77
A n a l o g h i s p e r i m e n ta li
Cambiare la top olo gia
Flatlandia nella realtà
Wormhole
e big bang
è piatto: obbedisce alle regole della geometria piana, come il fatto che le rette parallele non si incontrano mai. Eppure la topologia è toroidale.
Anzi, esiste una famiglia infinita di tori, tutti piatti ma diversi tra loro, ciascuno caratterizzato da un parametro detto modulo. In universo toroidale, la gravità fa evolvere nel tempo il modulo, partendo da una retta al momento del big bang e poi aprendosi
e assumendo una geometria sempre più quadrata via via che l’universo si espande (si veda il box a p. 77). Partendo dai risultati di Witten, ho mostrato che questo processo si può quantizzare, trasformando la teoria classica della gravità in una quantistica.
La gravità quantistica a Flatlandia non è una teoria dei gravitoni, ma dei tori che cambiano forma. Questa impostazione segna un
cambiamento rispetto all’immagine usuale di una teoria quantistica come teoria del piccolissimo. Anzi, la gravità quantistica in due
dimensioni è una teoria dell’intero universo visto come un singolo
oggetto. Questo punto di vista ci dà un modello sufficientemente
ricco da permetterci di esplorare alcuni problemi concettuali fondamentali della gravità quantistica.
Trovare il tempo
La gravità di Flatlandia dimostra che il tempo può emergere da
una realtà fondamentalmente priva di tempo. In una delle formulazioni della teoria, l’intero universo è descritto da un’unica funzione d’onda quantistica, simile all’ente matematico che i fisici usano
per descrivere particelle e atomi. Questa funzione d’onda non dipende dal tempo, perché include già tutto il tempo, passato, presente e futuro, confezionato tutto insieme. In qualche modo una funzione d’onda «senza tempo» provoca i cambiamenti che osserviamo
nel mondo. Il trucco consiste nel ricordare l’aforisma di Einstein per
cui il tempo è ciò che viene misurato da un orologio. Il tempo non
esiste esternamente all’universo: è determinato da un sottosistema
correlato con il resto dell’universo, proprio come un orologio da
parete è correlato con la rotazione terrestre.
Questa teoria offre molte diverse possibilità per l’orologio, e
la nostra scelta definisce che cosa intendiamo come «tempo». Un
Quadrato può definire il tempo usando le letture di orologi atomici in satelliti, come quelli usati per il GPS. Può etichettare il tempo
78 Le Scienze
Un apparato di laboratorio che ricalca Flatlandia, sviluppato da Igor I.
Smolyaninov dell’Università del Maryland e dai suoi colleghi, consiste
in una superficie metallica lungo cui si propagano onde elettromagnetiche. Questi analoghi bidimensionali della luce sono detti plasmoni superficiali. Una goccia di liquido li intrappola proprio come un buco nero
tridimensionale intrappola i fotoni; l’analogo dell’orizzonte degli eventi ha l’aspetto di un bordo bianco (in basso a destra). I teorici trovano la
gravità di Flatlandia utile come esercizio di riscaldamento per unificare
la fisica; allo stesso modo gli sperimentalisti ritengono che i sistemi bidimensionali avranno applicazioni pratiche in ottica.
Il toro scompare
nel nulla
con le curve che si estendono dal big bang, con la dimensione del
suo universo in espansione, o con l’entità dello spostamento verso
il rosso provocato da questa espansione. Una volta fatta una scelta, tutte le altre osservabili fisiche variano in funzione di questo
tempo. Il modulo dell’universo toroidale, per esempio, è correlato
con la sua grandezza e Un Quadrato lo percepisce come un universo che evolve nel tempo. La teoria, così, inizializza il tempo a partire da un universo privo di tempo.
Non sono idee nuove, ma la gravità quantistica a Ciambellolandia ci ha dato finalmente un contesto in cui verificare che il quadro complessivo non sia solo bello a vedersi, ma funzioni. Alcune definizioni di tempo hanno conseguenze affascinanti, come la
possibilità che lo spazio possa essere «pieghettato».
Quanto al problema delle osservabili, Ciambellolandia ci dà un
insieme di grandezze misurabili oggettivamente, e cioè i moduli.
La novità è che queste grandezze sono non locali: non hanno posizioni specifiche, descrivono la struttura dell’intero spazio. Qualsiasi cosa venga misurata da Un Quadrato è in definitiva qualcosa che fa le veci (un proxy) di queste grandezze non locali. Nel
2008 Catherine Meusburger, attualmente all’Università di Erlangen-Nürnberg, in Germania, ha mostrato le correlazioni tra questi
moduli ed effettive misure cosmologiche come i ritardi temporali e
gli spostamenti verso il rosso dei segnali luminosi. Io ho mostrato
le correlazioni con i moti degli oggetti.
La gravità di Flatlandia porta buone notizie per gli appassionati
dei wormhole: c’è almeno una delle formulazioni della teoria che
permette alla topologia dello spazio di cambiare. Un Quadrato potrebbe andare a letto stasera a Sferolandia e svegliarsi domani a
Ciambellolandia, il che, topologicamente, equivale a creare una
scorciatoia tra due punti lontani dell’universo. In alcune versioni
della teoria possiamo addirittura descrivere la creazione dell’universo dal nulla, la trasformazione topologica definitiva.
Al confine dello spazio
Visto che a Flatlandia la gravità è sottosviluppata, finora gli
esperti del campo (me compreso) ritenevano che i buchi neri bidimensionali fossero impossibili. Nel 1992 però tre fisici – Máximo
Bañados, attualmente alla Pontificia Universidad Católica de Chi-
526 giugno 2012
Goccia di glicerina
Pellicola d’oro
Prisma di vetro
Illuminazione
Da Surface plasmon toy-models of black holes and wormholes, di Igor I. Smolyaninov
e Christopher C. Davis, in «Physical Review B», Vol. 69, n. 20, 15 maggio 2004.
A differenza della teoria einsteiniana, in una teoria quantistica della gravità la topologia dell’universo
può cambiare, il che risolverebbe alcune vecchie domande sull’universo. Per esempio un toro con un buco potrebbe diventarne uno con due
buchi, il che equivarrebbe a creare
un wormhole, una scorciatoia da un
punto a un altro. I wormhole potrebbero essere usati come macchine
del tempo. Inoltre il cosmo potrebbe sparire improvvisamente o apparire dal nulla.
Il toro sviluppa
un secondo buco
le, a Santiago del Cile, e Claudio Bunster (all’epoca Claudio Teitelboim) e Jorge Zanelli, entrambi al Centro de Estudios Científicos di Valdivia, in Cile – hanno sconvolto il mondo, o per lo meno
il nostro angolino di mondo, mostrando che questa teoria permette i buchi neri, a condizione però che l’universo abbia un certo tipo di energia oscura.
Un cosiddetto buco nero BTZ somiglia molto a un vero buco
nero del nostro universo. Formato da materia che collassa sotto il proprio peso, è circondato da un orizzonte degli eventi, una
barriera unidirezionale da cui nulla può sfuggire. A un osservatore esterno l’orizzonte degli eventi sembra un confine dello spazio:
qualsiasi oggetto che attraversa l’orizzonte è separato da noi. Secondo i calcoli di Hawking, Un Quadrato lo dovrebbe vedere illuminarsi a una temperatura che dipende dalla sua massa e dal suo
momento angolare.
Questo risultato presenta un rompicapo. In mancanza di onde
gravitazionali o gravitoni, la gravità di Flatlandia dovrebbe essere
priva anche dei gradi di libertà gravitazionale che spiegherebbero
la temperatura del buco nero. Eppure riescono a intrufolarsi. Il motivo è che è lo stesso orizzonte degli eventi a fornire una struttura
aggiuntiva di cui uno spazio bidimensionale vuoto è privo. L’orizzonte esiste in una certa posizione; questo, matematicamente, arricchisce la teoria di partenza di grandezze aggiuntive. Le vibrazioni che fanno tremare l’orizzonte forniscono gradi di libertà. Il
risultato notevole è che riproducono i risultati di Hawking.
Dato che i gradi di libertà sono proprietà dell’orizzonte, in un
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certo senso si trovano al confine di Flatlandia. Sono quindi una
realizzazione concreta di un’affascinante ipotesi sulla natura della gravità quantistica, il principio olografico. Questo principio suggerisce che la dimensione possa essere un concetto intercambiabile. Come un ologramma cattura un’immagine tridimensionale su
una pellicola bidimensionale, molti fisici ipotizzano che la fisica di
un mondo d-dimensionale possa essere descritta da una teoria più
semplice in d – 1 dimensioni. Nella teoria delle stringhe – uno dei
tentativi più importanti di unificare relatività generale e meccanica quantistica – questa idea ha portato alla fine degli anni novanta a un nuovo approccio per la creazione di una teoria quantistica
della gravità (si veda L’illusione della gravità, di Juan Maldacena,
in «Le Scienze» n. 449, gennaio 2006).
La gravità di Flatlandia offre uno scenario semplificato in cui
testare questo approccio. Poco più di quattro anni fa, Witten e Alexander Maloney, adesso alla McGill University, hanno sorpreso di
nuovo il mondo della fisica suggerendo che le previsioni olografiche possano essere errate per la forma più semplice di gravità bidimensionale. Avevano scoperto che la teoria sembrava prevedere proprietà termiche impossibili per i buchi neri. Questo risultato
inatteso fa pensare che la gravità sia un fenomeno ancora più delicato di quanto sospettassimo: la reazione è stata un nuovo interesse relativo a Flatlandia. Forse la gravità non ha senso di per sé ma
deve lavorare in società con altri tipi di forze e di particelle. Forse la teoria di Einstein deve essere rivista. Forse dobbiamo trovare
un modo di reinserire qualche grado locale di libertà. Forse il principio olografico non vale sempre. Forse lo spazio, come il tempo,
non è un ingrediente fondamentale dell’universo. Qualunque sia
la risposta giusta, la gravità di Flatlandia ci ha indicato una strada
che altrimenti forse non avremmo preso.
Anche se non possiamo creare un vero buco nero bidimensionale, potremmo mettere alla prova sperimentalmente alcune previsioni del modello di Flatlandia. Vari laboratori in tutto il mondo
lavorano su analoghi bidimensionali dei buchi neri. Per esempio,
un fluido che scorre a velocità maggiore di quella del suono genera un orizzonte degli eventi sonico da cui non possono allontanarsi le onde sonore. Gli scienziati hanno anche costruito buchi neri bidimensionali usando onde elettromagnetiche confinate a una
superficie (si veda il box in questa pagina). Questi analoghi dovrebbero anche manifestare un bagliore quantistico, proprio come un buco nero.
La gravità quantistica a Flatlandia è iniziata come gioco: una situazione semplice in cui esplorare idee sulla gravità quantistica del
mondo reale. Sul tempo, sulle osservabili e sulla topologia ci ha già
dato lezioni preziose che si stanno applicando alla vera gravità tridimensionale. Il modello ci ha sorpreso per la sua ricchezza: il ruolo inaspettatamente importante della topologia, i suoi singolari buchi neri, le sue strane proprietà olografiche. Forse presto capiremo
come sia, per un quadrato, la vita in un mondo piatto.
n
per approfondire
Quantum Gravity in 2+1 Dimensions. Carlip S., Cambridge University Press, 1998.
Il Planiverso. Il computer e un mondo bidimensionale. Dewdney A.K., Bollati
Boringhieri, Torino, 2003.
Quantum Gravity in 2+1 Dimensions: The Case of a Closed Universe. Carlip S., in
«Living Reviews in Relativity», Vol. 8, 2005. www.livingreviews.org/lrr-2005-1.
La pagina web di Steven Carlip offre un glossario di gravità quantistica: http://snurl.
com/carlip.
Time Travel in Flatland? Schwarz P.: www.theory.caltech.edu/people/patricia/
lctoc.html.
Le Scienze 79
