Corso di Fisica 2 TERMOLOGIA

Corso di Fisica 2
TERMOLOGIA
Prof. Andrea Danani
DTI- Dipartimento Tecnologie Innovative
LaMFI- Laboratorio di Matematica e Fisica applicata
Galleria 2, 6928 Manno
Anno accademico 2010-2011
markright
SUPSI-DTI
2
Corso di Fisica 2
Prof. Andrea Danani
Indice
Indice
3
1 La temperatura
1.1 Equilibrio termico, termoscopio
1.2 I termometri . . . . . . . . . .
1.2.1 La scala centigrada . . .
1.2.2 La scala Fahrenheit . .
1.2.3 Tipi di termometri. . . .
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2 Dilatazioni termiche
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La dilatazione termica lineare nei solidi
2.2.1 La legge fenomenologica . . . . .
2.2.2 La legge esatta . . . . . . . . . .
2.3 La dilatazione termica superficiale . . .
2.4 Le dilatazioni cubiche nei solidi . . . . .
2.5 Le dilatazioni libere nei liquidi. . . . . .
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3 I fluidi
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Densità e pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 La pressione nei fluidi in equilibrio . . . . . .
3.2.2 Legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Misura della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 La pressione nei gas . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Barometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Manometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Principio di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Dimostrazione del principio di Pascal . . . . .
3.4.2 Il principio di Pascal e il martinetto idraulico
3.5 Il principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Studio del moto in un fluido perfetto . . . . . . . . .
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INDICE
3.7
4
3.6.1
3.6.2
3.6.3
Fluidi
3.7.1
3.7.2
Corpo totalmente immerso . . . . . . . . . .
Corpo parzialmente immerso . . . . . . . . .
Un esempio: il corpo poggiato sulla superficie
in movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equazione di continuità . . . . . . . . . . . .
Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
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del
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fluido
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4 Il gas ideale
4.1 Le relazioni fra pressione, volume e temperatura in un gas
4.2 Temperatura costante: la legge di Boyle . . . . . . . . . .
4.3 Pressione costante: la prima legge di Gay-Lussac . . . . .
4.4 Volume costante: la seconda legge di Gay-Lussac . . . . .
4.5 Il gas ideale e la temperatura assoluta . . . . . . . . . . .
4.6 L’equazione di stato del gas ideale . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Le leggi di Gay Lussac . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 L’equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Interpretazione molecolare della temperatura . . . . . . .
4.7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Pressione del gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Energia cinetica e energia interna . . . . . . . . . .
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5 Accenni di termodinamica
5.1 Il calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Il calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 La capacità termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lavoro di un gas e diagramma pV . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Bilancio energetico nelle trasformazioni principali . . . . . . . . . .
5.5.1 Trasformazione isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Trasformazione isocora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Trasformazione isobara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Trasformazione adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Variazione delle grandezze in una trasformazione reversibile
5.5.6 Calore specifico dei gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Il trasporto di calore
6.1 La conduzione . . . . . . . . .
6.1.1 La conduzione termica
6.1.2 La conduzione termica
6.2 La convezione . . . . . . . . .
6.3 L’irraggiamento termico . . .
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di una
di una
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sbarra
parete
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omogenea .
stratificata
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5
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
Teoria generale . . . . .
Il calore solare e l’effetto
Le emissioni . . . . . . .
Cambiamenti climatici .
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serra
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Capitolo 1
La temperatura
1.1
Equilibrio termico, termoscopio
La sensazione di caldo o freddo basata sulle nostre sensazioni viene precisata con il concetto di
stato termico o temperatura. Per darne una definizione operativa, si sfruttano due fenomeni:
• se due corpi a temperatura diversa sono messi in contatto tra loro, raggiungono la stessa
temperatura (equilibrio termico)
• all’aumentare della temperatura ogni corpo si dilata
Su questi due principi si basa il termoscopio, uno strumento che trasforma la misura
della temperatura in una misura di volume mettendo in evidenza la differenza tra la sua
temperatura e quella di un oggetto con cui è posto a contatto. Quando il livello del liquido
contenuto al suo interno sale (scende), significa che la temperatura dell’oggetto è maggiore
(minore) di quella che aveva in precedenza il termoscopio. Invece se il livello non cambia,
l’oggetto e il termoscopio si trovano alla stessa temperatura.
Come esempio scegliamo un bulbo cavo di vetro riempito di mercurio e collegato a un
capillare, immerso in acqua a due differenti temperatura.
Figura 1.1:
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1.2. I TERMOMETRI
8
Se immergiamo il bulbo nell’acqua calda in mezzo notiamo che il mercurio si dilata e
che il menisco raggiunge un livello più alto di quello raggiunto quando il bulbo è posto
nell’acqua fredda (vedi Fig.1.1 a sinistra). A poco a poco l’acqua all’interno del bicchiere si
raffredda, quella all’esterno si riscalda: i due livelli del menisco si avvicinano. Se attendiamo
sufficientemente a lungo il menisco tende allo stesso livello dentro e fuori del bicchiere (Fig. 1.1
a destra): diciamo allora che è stato raggiunto l’equilibrio termico. All’equilibrio termico
in entrambi i materiali a contatto cessano tutti i fenomeni termici, come la dilatazione, i
cambiamenti di stato (per esempio, dallo stato liquido a quello solido) ecc.
Se ripetiamo l’esperienza con le stesse quantità di liquido, ma entrambe inizialmente più
calde, il menisco, all’equilibrio termico, raggiunge un livello superiore. Si intuisce perciò
l’esistenza di una proprietà che all’equilibrio termico è comune tanto all’acqua nel bicchiere
quanto a quella esterna, caratterizzata dalla posizione del menisco.
Tale proprietà si chiama temperatura. Essa è l’indice dello stato termico del sistema.
Più esso è caldo e quindi più il menisco si trova in alto, maggiore, diciamo, è la temperatura.
1.2
1.2.1
I termometri
La scala centigrada
Per misurare la temperatura, cioè per esprimere questa grandezza con un numero, è necessario perfezionare il termoscopio aggiungendogli una scala termometrica. Essa consiste in
una temperatura di riferimento, costante e facilmente riproducibile, da assumere come temperatura zero, e in un’unità di misura. Un termoscopio munito di questa scala diventa un
termometro e possiamo dire che la temperatura è quella grandezza fisica che si misura
mediante un termometro. Essendo definita da un numero, la temperatura è una grandezza
scalare.
Come temperatura zero si è scelta inizialmente la temperatura del ghiaccio fondente,
quando la pressione è normale (760 mm/Hg). Per definire in modo operativo questo valore
zero si prende un termoscopio, per esempio a mercurio, e lo si immerge in un miscuglio di
acqua e ghiaccio. L’equilibrio termico definisce lo 0 in corrispondenza del livello a cui si è
fermato il mercurio. Poi, per fissare l’unità di misura delle temperature, si mette questo stesso
termoscopio nei vapori che si sprigionano dall’acqua bollente (sempre alla pressione di 760
mm/Hg) e si segna 100 (cento) in corrispondenza del nuovo livello raggiunto dal mercurio. Si
divide poi in 100 parti eguali la distanza lungo il cannello di vetro compresa tra i due punti fissi
(0 e 100) che corrispondono alla fusione del ghiaccio e all’ebollizione dell’acqua. Abbiamo cosı̀
fissato lo zero della scala delle temperature (temperatura del ghiaccio fondente) e il dislivello
unitario di temperatura (centesima parte del dislivello tra i due punti fissi), chiamato grado
Celsius ( ℃). La scala centigrada viene estesa al di sopra dei 100 ℃ e al di sotto di 0 ℃: le
temperature superiori a quella in cui fonde il ghiaccio sono espresse da numeri positivi, quelle
inferiori da numeri negativi.
Nel Sistema Internazionale la temperatura si misura in gradi Kelvin (K). Questa unità
di misura ha un valore uguale al grado Celsius, ma la temperatura del punto di fusione
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1.2. I TERMOMETRI
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del ghiaccio (0 ℃) corrisponde a 273, 15 K, mentre la temperatura del punto di ebollizione
dell’acqua (100 ℃) corrisponde a 373, 15 K. In seguito illustreremo per quale ragione è stata
introdotta questa nuova scala di temperatura.
1.2.2
La scala Fahrenheit
Fahrenheit è una scala di temperatura cosı̀ chiamata in onore del fisico tedesco Gabriel
Fahrenheit, che la propose nel 1724. E’ tutt’ora in uso negli Stati Uniti d’America e in alcuni
altri paesi anglosassoni.
In questa scala, il punto di congelamento dell’acqua è di 32 gradi Fahrenheit, mentre
il punto di ebollizione si trova a 212 gradi, suddividendo cosı̀ i due estremi in 180 gradi.
L’unità di questa scala, il grado Fahrenheit (o F) è 5/9 di un kelvin (e quindi anche di un
grado Celsius). Per trasformare i gradi Fahrenheit in gradi Celsius, la formula da usare è
quindi la seguente:
5
℃ = (o F − 32) .
9
(1.1)
Fahrenheit stabilı̀ che il punto zero della sua scala (0o F) doveva essere la temperatura alla
quale un’uguale mistura di ghiaccio e sale si scioglie (alcuni sostengono che prese la mistura
fissa dei due che produceva la temperatura più bassa). Fissò inoltre il punto di 96o F alla
temperatura del sangue, usando inizialmente del sangue di cavallo. La sua scala conteneva
originariamente solo 12 suddivisioni, ma in seguito divise ognuna di queste in 8, dando cosı̀
un totale di 96 suddivisioni. Osservò successivamente che l’acqua congelava a 32o F e bolliva
a 212o F.
La scala Fahrenheit risulta comoda per i bollettini meteorologici. Infatti, siccome l’unità
di misura è i 5/9 di un grado Celsius, se si vuole evitare di ricorrere alle cifre decimali, il valore
Fahrenheit è più preciso del valore Celsius. Inoltre, la temperatura dell’aria al suolo nella
maggior parte delle aree abitate del pianeta tende a rimanere tra 0o F e 100o F: perciò, la scala
Fahrenheit permette di indicare la temperatura con due sole cifre senza bisogno del segno.
Come curiosità , aggiungiamo inoltre che i congelatori sono normalmente impostati a −18 ℃
perché corrispondono a 0o F (pari a −17.78 ℃) e che la carta brucia a 451o F (232.78 ℃), da
cui il motivo del titolo del famoso romanzo di Ray Bradbury Fahrenheit 451.
1.2.3
Tipi di termometri.
Le proprietà fisiche sfruttate nella costruzione di termometri abbracciano diversi campi della
fisica. Proprietà termo-meccaniche vengono sfruttate nei termometri a mercurio, alcool,
toluolo, pentano, gas e nei termometri bimetallici; quelle termoelettriche nei termometri a
resistenza e a coppia termoelettrica; quelle termo-ottiche nei pirometri. Gli intervalli di
temperatura in cui generalmente sono impiegati alcuni tipi di termometro si possono leggere
dalla Tab.(1.1). Si usa spesso il mercurio come liquido termometrico perché consente di
misurare un intervallo di temperature piuttosto ampio. Il limite inferiore è costituito dalla
temperatura di fusione del mercurio (−38 ℃), al di sotto della quale la sostanza diventa solida,
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1.2. I TERMOMETRI
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quello superiore dalla sua temperatura di ebollizione (350 ℃). Per misurare temperature più
basse si usano l’alcol etilico, il pentano, il toluolo e altri liquidi. Il pentano, per esempio,
consente di misurare temperature fino a circa −200 ℃. Temperature basse si misurano anche
con termometri a effetto termoelettrico o a resistenza elettrica.
I requisiti di un termometro e cioè la sensibilità, la prontezza e la precisione potranno
essere discussi solo dopo avere trattato la calorimetria e la trasmissione del calore.
Tipo
termometri
termometri
termometri
termometri
termometri
termometri
termometri
termometri
pirometri a
Minima
-40
-50
-250
-200
-115
-90
-200
-250
300
a mercurio
bimetallici
a resistenza
a coppia termoelettrica
ad alcool
a toluolo
a pentano
a gas (poco usati)
infrarossi
Massima
750
1000
1250
2000
135
200
40
1000
> 2000
Tabella 1.1: Intervalli d’applicazione dei termometri (in ℃)
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Capitolo 2
Dilatazioni termiche
2.1
Introduzione
Elevando la temperatura molte sostanze solide, entro determinati limiti, si dilatano. Per
le sostanze omogenee isotrope (cioè che godono delle stesse proprietà in ogni punto ed
in tutte le direzioni) l’esperienza mostra che la dilatazione libera (cioè non ostacolata) di
ogni dimensione geometrica è direttamente proporzionale alla dimensione stessa. Un solido
scaldato omogeneamente rimane perciò simile a se stesso. Una piastra di metallo con un
foro ad esempio (3.8) mantiene inalterate le proprie proporzioni; la superficie del foro in
particolare aumenta e la sua presenza non influenza il cambiamento di volume del resto della
piastra.
Figura 2.1:
La dilatazione termica dei materiali crea seri inconvenienti in molte applicazioni tecnologiche. Per esempio, nella progettazione di macchinari, edifici, ponti occorre lasciare adeguati
spazi liberi tra i diversi componenti, affinché i materiali (soprattutto i metalli) possano dilatarsi, senza deformare la struttura. Al fenomeno della dilatazione termica è dovuto anche
il fatto che gli oggetti di vetro si rompono, se vengono riscaldati in modo non uniforme. Se,
per esempio si mette un bicchiere sulla fiamma del gas, il suo fondo si riscalda, e quindi si
dilata, più della parte superiore, ed il vetro si rompe; ma se, invece, si riscalda il bicchiere
gradualmente ed in modo uniforme, in un bagno di acqua, esso non si rompe perché tutte le
11
2.2. LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE NEI SOLIDI
12
sue parti si dilatano ugualmente. I vetri speciali, come il pyrex, usati per le pentole resistenti
al fuoco, sono caratterizzati da coefficienti di dilatazione termica minori di quello del vetro
comune.
Figura 2.2: Dilatazione termica: qualche effetto spiacevole
2.2
2.2.1
La dilatazione termica lineare nei solidi
La legge fenomenologica
Se il solido possiede una dimensione geometrica preponderante (ad es. un tubo, una trave
o una rotaia) è interessante studiarne il suo cambiamento con il mutare della temperatura.
Naturalmente il solido si dilata anche nelle due altre dimensioni, ma di regola questi allungamenti sono trascurabili. L’allungamento di tubi metallici si può misurare mediante un
dilatometro (2.3).
Riscaldando la sbarra metallica, la sua estremità libera si sposta e spinge un indice che
ruota su una scala graduata. Si può cosı̀ misurare come varia la lunghezza della sbarra
all’aumentare della temperatura.
Se facciamo un grafico dell’allungamento ∆` in funzione della temperatura ϑ a partire
dalla lunghezza iniziale `0 , corrispondente alla temperatura iniziale ϑ0 otteniamo, per un dato
materiale l’andamento lineare come in Fig. (2.4).
Dal grafico deduciamo che l’allungamento ∆` è proporzionale all’aumento di temperatura
∆ϑ. Simbolicamente scriviamo quindi
∆` ∼ ∆ϑ.
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(2.1)
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2.2. LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE NEI SOLIDI
13
Figura 2.3: L’allungamento di tubi metallici si può misurare mediante un dilatometro
Figura 2.4: Andamento lineare di ∆` in funzione di ∆ϑ
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2.2. LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE NEI SOLIDI
14
Ripetendo l’esperienza con un altro materiale otteniamo ancora un grafico analogo a quello
di Fig.2.4 ma con un’altra pendenza (vedi Fig.2.5).
Figura 2.5: Il materiale fa cambiare la pendenza del grafico ∆` = f (∆ϑ)
Tenendo conto che, da quanto visto prima, l’allungamento, a parità di materiale e di aumento di temperatura ∆ϑ, è anche proporzionale alla lunghezza iniziale `0 , possiamo scrivere
con la (2.1)
∆` = α`0 ∆ϑ,
(2.2)
dove il coefficiente di proporzionalità α viene detto coefficiente di dilatazione lineare
e dipende dal materiale considerato. La sua unità di misura può essere determinata dalla
relazione (2.2):
[∆`]
= ℃−1 ,
[α] =
[`0 ] · [∆ϑ]
dove le parentesi quadre indicano l’unità di misura della grandezza fisica fra esse racchiusa.
La formula (2.2) viene generalmente riscritta nella forma seguente:
`(ϑ) = `0 (1 + α∆ϑ)
(2.3)
dove `0 = `(ϑ0 ), e viene detta legge della dilatazione lineare. La legge (2.3) è una legge
fenomenologica e descrive accuratamente il fenomeno della dilatazione lineare solo in certi
intervalli di temperatura e per valori di α sufficientemente piccoli.
2.2.2
La legge esatta
La formula (2.2) si può riscrivere anche come:
∆`
= α∆ϑ,
`
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(2.4)
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2.2. LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE NEI SOLIDI
15
che indica che l’aumento percentuale della lunghezza è proporzionale all’aumento della temperatura. La formula lineare non tiene però conto del fatto che la lunghezza aumenta in
continuazione durante il riscaldamento. Come fare?
Per avere un’approssimazione migliore, dividiamo l’intervallo ∆ϑ in n intervalli di lunghezza τ = ∆ϑ/n, e applichiamo la legge della dilatazione per n volte consecutive. Al primo
allungamento, si ottiene:
⇒
∆`1 = `0 α τ
`1 = `0 (1 + ατ )
(2.5)
e generalizzando si ha che:
`n = `n−1 (1 + ατ ) = `n−2 (1 + ατ )2 = · · · = `0 (1 + ατ )n
(2.6)
Si dimostra in matematica che il limite di (1 + a/n)n per n → ∞ è uguale a ea dove
il numero e = 2.71828... è la base dei logaritmi naturali. Perciò , ponendo a = α∆ϑ e
∆ϑ = ϑ − ϑ0 , si ottiene:
`f (ϑ) = lim `n = `0 eα∆ϑ = `0 eα(ϑ−ϑ0 )
n→∞
(2.7)
Lo sviluppo in serie della funzione esponenziale in (2.7) fornisce 1 :
1
`f in (ϑ) = `0 (1 + α∆ϑ + (α∆ϑ)2 + . . . )
2
(2.8)
per cui se la grandezza α∆ϑ è inferiore a circa 10−2 , l’approssimazione lineare è sufficiente.
Si osserva quindi che se si compiono misure su intervalli di temperatura molto grandi (ad es.
500 ℃), la curva di dilatazione non è più una retta. Ciò accade in modo marcato per l’invar,
una lega metallica a bassissimo coefficiente di dilatazione (Fig.2.6).
Figura 2.6: Su intervalli di temperatura molto grandi, la curva di dilatazione non è più una
retta
In Fig.2.4 è riprodotta solo una piccola parte del grafico di Fig.2.6. Per questo motivo
in essa la curvatura non è percettibile ed il grafico risulta essere una retta. Per lo stesso
1 x
e = 1 + x + x2 /2 + x3 /6 + . . .
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2.3. LA DILATAZIONE TERMICA SUPERFICIALE
16
motivo le tabelle indicano spesso in che intervallo di temperatura è stato misurato α, se si
vuole utilizzare la formula lineare (2.3); il valore indicato è da interpretare allora quale valore
medio nell’intervallo di temperatura considerato. Nella tabella (2.1) sono riprodotti i valori
medi di α per alcuni materiali allo stato solido.
Materiale
(˚C−1 )
alluminio
ottone
rame
acciaio
calcestruzzo
supra-invar
polistirolo
PVC
vetro di Jena G20
23,8. 10−6
18,5. 10−6
16,5. 10−6
11,7. 10−6
12. 10−6
0,5. 10−6
75. 10−6
80. 10−6
4,8. 10−6
Tabella 2.1: Valori medi di α nell’intervallo di temperatura fra 0 e 100 ℃.
2.3
La dilatazione termica superficiale
Consideriamo una piastra metallica rettangolare (Fig.2.7) di dimensioni `0 e h0 alla temperatura ϑ0 . La sua superficie è A0 = `0 · h0 .
Figura 2.7: Dilatazione superficiale di una piastra
La nuova superficie A che si ottiene portando la piastra alla temperatura ϑ può essere
facilmente calcolata, tenendo presente che la dilatazione in un materiale isotropo e omogeneo
non dipende dalla direzione considerata. Le nuove dimensioni nelle due direzioni dopo la
dilatazione sono:
` = `0 + ∆` = `0 (1 + α∆ϑ)
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,
h = h0 + ∆h = h0 (1 + α∆ϑ) .
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(2.9)
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2.4. LE DILATAZIONI CUBICHE NEI SOLIDI
17
La nuova area della superficie diventa perciò
A = ` · h = `0 (1 + α∆ϑ) h0 (1 + α∆ϑ) = `0 h0 1 + 2α∆ϑ + α2 ∆ϑ2 ,
(2.10)
e quindi la variazione di superficie ∆A = A − A0 vale
∆A = αA0 ∆ϑ (2 + α∆ϑ) .
(2.11)
Con la legge esatta si ottiene invece:
A(ϑ) = ` · h = `0 eα∆ϑ · h0 eα∆ϑ = A0 e2α∆ϑ = A0 (1 + 2α∆ϑ + 2α2 ∆ϑ2 + . . . )
(2.12)
In precedenza avevamo già stimato l’ordine di grandezza del termine α∆ϑ, che valeva
grosso modo 10−3 per i metalli, considerando una variazione di temperatura di circa 102 o C.
Ne consegue che il secondo termine nelle parentesi delle due equazioni (2.11) e (2.12) è molto
più piccolo del primo e può essere trascurato. È quindi lecito scrivere
∆A = 2αA0 ∆ϑ
.
(2.13)
La formula (2.13) è analoga alla (2.2) per le dilatazioni lineari.
Il coefficiente di dilatazione superficiale è quindi il doppio di quello di dilatazione
lineare.
2.4
Le dilatazioni cubiche nei solidi
Per le dilatazioni cubiche dei solidi si ha analogamente alla (2.13)
∆V = 3αV0 ∆ϑ
,
(2.14)
dove V0 è il volume alla temperatura ϑ0 e ∆V l’aumento di volume.
Il coefficiente di dilatazione cubica è quindi il triplo di quello di dilatazione lineare.
Da quanto visto precedentemente l’ultima formula è applicabile anche al calcolo dell’aumento
del volume interno di un recipiente.
2.5
Le dilatazioni libere nei liquidi.
Come nei solidi vale in generale la legge
∆V = γV0 ∆ϑ
,
(2.15)
dove γ è il coefficiente di dilatazione dei liquidi (corrispondente quindi al 3 α dei
solidi) e V0 il volume iniziale. L’ordine di grandezza di γ è di 10−3 ...10−4 C −1 , perciò è più
grande di quello nei solidi (3α). Anche qui valgono considerazioni analoghe a quelle viste per
i solidi riguardo alla temperatura di riferimento di γ.
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2.5. LE DILATAZIONI LIBERE NEI LIQUIDI.
Materiale
(˚C−1 )
etere
alcool etilico
benzina
mercurio
olio d’oliva
glicerina
1,62. 10−3
1,10. 10−3
1,00. 10−3
0,181. 10−3
0,72. 10−3
0,53. 10−3
18
Tabella 2.2: Valori del coefficiente di dilatazione di alcuni liquidi in vicinanza di 20 o C.
Nella tabella (2.2) sono indicati i valori di γ per alcuni liquidi.
Fra i liquidi che non seguono la legge (2.15) l’eccezione più importante è data dall’acqua.
Al di sopra dei 4°C la densità dell’acqua diminuisce all’aumentare della temperatura, anche
se non in modo lineare (Fig.2.8a). Ciò che la distingue dagli altri liquidi è che nell’intervallo
tra 0 e 4 ℃ la sua densità diminuisce invece che aumentare. La densità massima dell’acqua
è a 4 ℃ dove il suo valore è 1, 000 g/cm3 (anche se misure più accurate danno come valore
massimo della densità dell’acqua 999, 973 kg/m3 a 3, 98 ℃ ); ad ogni altra temperatura la
densità dell’acqua è minore (Fig.2.8b).
Figura 2.8: Densità dell’acqua in funzione della temperatura. A destra uno zoom sui primi
dieci gradi.
I laghi gelano prima di tutto in superficie perchè in inverno lo strato d’acqua superficiale
si raffredda e, diventando più denso dello strato inferiore, scende sul fondo. Questo processo
continua finché la temperatura dell’intera massa d’acqua non ha raggiunto la temperatura
di 4 ℃: oltre questo punto il raffreddamento dello strato superficiale rende quest’ultimo
meno denso di quelli inferiori (appunto perché tra 0 e 4 ℃ la densità dell’acqua diminuisce
), perciò lo strato superficiale rimane fermo galleggiando sulla sommità del lago. Questo
strato superficiale finisce per congelare diventando una lastra solida di ghiaccio mentre il
resto dell’acqua del lago rimane a 4 ℃. Il ghiaccio formatosi impedisce la perdita di calore
del lago ed ogni altra perdita di calore causa soltanto un ispessimento della lastra senza
perturbare gli strati più profondi che rimangono alla temperatura costante di 4 ℃: le forme
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2.5. LE DILATAZIONI LIBERE NEI LIQUIDI.
19
di vita che popolano il fondo del lago possono quindi sopravvivere.
Dalla figura 2.9 si comprende benissimo che lo stesso numero di molecole d’acqua cristallizzate (ghiaccio) occupa uno spazio maggiore rispetto alla stessa quantità di molecole
d’acqua liquida, determinando l’anomalia nella densità .
Figura 2.9: Diversa disposizione delle molecole dell’acqua: (a) allo stato liquido, (b) allo stato
solido, cioè ghiaccio.
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2.5. LE DILATAZIONI LIBERE NEI LIQUIDI.
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Capitolo 3
I fluidi
3.1
Introduzione
Un fluido, a differenza di un solido, è una sostanza che può scorrere. I fluidi prendono
la forma dei contenitori nei quali sono confinati. Si comportano in questo modo poiché non
possono sopportare una forza tangenziale alla loro superficie anche se possono, come vedremo,
esercitare una forza nella direzione perpendicolare alla sua superficie. Alcuni materiali, come
la pece, impiegano molto tempo per assumere la forma del contenitore, ma alla fine lo fanno;
quindi vengono classificati tra i fluidi. In generale vengono chiamati fluidi senza distinzione
sia i liquidi che i gas, dove le interazioni intermolecolari sono limitate alle molecole vicine.
3.2
Densità e pressione
Per i corpi solidi, le grandezze fisiche adatte alla loro descrizione sono soprattutto la massa e
la forza. Con i fluidi, le proprietà più interessanti sono quelle che variano da punto a punto
nella sostanza estesa. Per questo motivo, è più utile parlare di densità e di pressione che di
massa e forza.
3.2.1
La pressione nei fluidi in equilibrio
L’esperienza mostra che un fluido (liquido o gas) contenuto in un recipiente spinge perpendicolarmente contro le pareti. Ciò può essere mostrato ad esempio applicando in un punto delle
pareti un cilindretto evacuato, provvisto di un pistone trattenuto da una molla (Fig. 3.1).
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
f
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
Figura 3.1:
21
3.2. DENSITÀ E PRESSIONE
22
L’accorciamento ∆x della molla è un indice della forza che il fluido esercita sulla superficie
del pistone e che è a sua volta uguale alla spinta della molla sul pistone. Per la legge di Hooke,
sappiamo che
F = k · ∆x,
(3.1)
dove k è la costante elastica della molla. Si definisce con pressione e si indica con p, il
rapporto fra il modulo della forza F esercitata sul pistone e l’area A della superficie dello
stesso. Quindi:
p=
F
.
A
(3.2)
Nel sistema internazionale si misura in pascal (indicato con Pa) e l’unità di misura ı̈¿½ quindi:
1 P a = 1 N/m2 .
Un’altra unità usata nel S.I. è il bar, che corrisponde a 10 N/cm2 , cioè a 105 Pa. La riga
seguente permette, se necessario, di passare dalle unità vecchie di pressione alle nuove del S.I:
1 bar = 105 Pa = 0.987 atm = 1.020 at = 750 Torr (mm Hg),
dove i simboli sopra riportati hanno il seguente significato:
at:
atm:
Torr :
cm H2 O:
atmosfera tecnica;
atmosfera fisica;
pressione alla base di una colonnina di mercurio alta 1 mm, alla
temperatura di 0.00 ℃;
pressione alla base di una colonnina di acqua alta 1 cm, alla
temperatura di 3.98 ℃.
Nota. Le unità SI legali in Svizzera per la pressione sono il Pa e il bar.
3.2.2
Legge di Stevino
Se si immerge un solido in un liquido, quest’ultimo esercita sulle facce del solido una pressione
analogamente a quanto visto per le pareti del recipiente (Fig.3.2a).
L’esperienza mostra che la pressione non dipende né dall’orientamento delle facce del
solido, né dalla forma del recipiente ma solo dalla profondità h (misurata a partire dalla
superficie libera del liquido), dal tipo di liquido considerato e dalla pressione esercitata sulla
superficie libera. In particolare la pressione nei punti A e B di figura (3.2a) è la stessa. Lo
stesso ragionamento vale ovviamente per la pressione esercitata sulle pareti del recipiente.
Per scoprire la relazione quantitativa fra le grandezze citate, immergiamo il nostro cilindretto
munito di pistone nel liquido badando che la superficie del pistone resti rivolta verso l’alto
(Fig.3.2b).
Si constata che l’aumento della forza esercitata sul pistone alla profondità h (rispetto a
quella che già esiste in superficie) è pari al peso della colonna di liquido che lo sovrasta. Il
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3.2. DENSITÀ E PRESSIONE
23
a
b
Figura 3.2: Legge di Stevino
peso si calcola a sua volta moltiplicando il valore locale del campo gravitazionale terrestre
g (in prossimità della superficie terrestre vale circa 9.8 N /kg) per la massa m di liquido
racchiusa nella colonna. Se A è l’area della sezione del pistone e % la densità del liquido (=
massa/volume), l’aumento di pressione ∆ p sul pistone è:
%ghA
= % g h.
(3.3)
A
L’aumento di pressione è dunque proporzionale alla profondità e alla densità del liquido.
In un lago, ad esempio, l’aumento di pressione che si ha calandosi alla profondità di 50 m
vale:
N
kg
∆p = 9.8
· 103 3 · 50 m = 4.9 · 105 P a = 4.9 bar .
kg
m
∆p =
Una semplice verifica che la pressione non dipende dalla quantità totale d’acqua presente
in un recipiente ma solamente dalla profondità h, si può ottenere con il seguente dispositivo
(Fig.3.3): la forza impressa sulla membrana di gomma che chiude il fondo dei due recipienti
di forma diversa, è la medesima (a parità di profondità h).
Come vedremo nel prossimo paragrafo, anche i gas esercitano una pressione sulle superfici
di altri corpi. Se sopra il nostro liquido abbiamo un gas (ad esempio l’aria in un recipiente
aperto), quest’ultimo premerà contro il liquido con una pressione p0 .
La pressione assoluta p alla profondità h è data quindi da:
p = p0 + ∆p = p0 + %gh.
(3.4)
nota anche come Legge di Stevino.
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3.3. MISURA DELLA PRESSIONE
24
h
Figura 3.3: La pressione esercitata dal fluido dipende solo dalla profondità e non dalla
quantità
ESEMPIO 3.1. Un nuotatore inesperto pensa che se un tubo respiratore lungo 20 cm funziona
bene, cosı̀ deve essere anche per uno lungo 6 metri. Se usasse un tubo cosı̀ lungo, perché sarebbe in
pericolo?
Soluzione: La pressione esterna esercitata sul nuotatore alla profondità di h = 6 m è data dall’equazione (3.4):
p = p0 + ρgh .
Senza tubo, il corpo si adatta a questa pressione e la pressione interna tende ad equilibrare quella
esterna. In particolare la pressione media del sangue aumenta e quella media dell’aria nei polmoni
raggiunge il valore p. Se il nuotatore respira con il tubo lungo 6 m, l’aria pressurizzata nei polmoni
comincerebbe a calare e a tendere a quella atmosferica p0 . Si crea quindi una differenza di pressione
pari a ∆p = p − p0 = 5.9 · 104 Pa. Questa differenza di pressione è sufficiente a sgonfiare i polmoni
e a spingere il sangue ancora pressurizzato nei polmoni stessi: un tale processo è noto con il nome di
schiacciamento polmonare.
3.3
3.3.1
Misura della pressione
La pressione nei gas
Per l’aria che circonda il globo terrestre, valgono considerazioni analoghe a quelle per la pressione di un liquido in un recipiente: in ogni punto esiste una pressione atmosferica indipendente
dalla direzione. Siccome però la densità dell’aria – come vedremo più avanti – dipende a sua
volta dalla pressione, in quanto l’aria è molto comprimibile, la formula (3.3) non è più valida.
L’andamento della pressione atmosferica p0 in funzione dell’altitudine z, per un’atmosfera
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3.3. MISURA DELLA PRESSIONE
25
isotermica, è mostrato in figura 3.3.1 ed è dato per i primi 7 km dalla formula seguente (errore
inferiore al 2.5 %):
p = p0 · e(−%0 gz/p0 ) ,
(3.5)
dove:
%0 =
p0 =
g=
densità dell’aria a 0 ℃ e alla pressione di 760 Torr
pressione standard a livello del mare
campo gravitazionale (livello mare, 45◦ di latitudine)
= 1.2929kg/m 3 ,
= 1.0132 · 105 Pa(= 760 Torr ),
= 9.80665 N /kg.
rappresentano le grandezze standard.
1
p (bar)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
z (km)
Una semplice verifica qualitativa dell’esistenza della pressione atmosferica si può ottenere
capovolgendo un bicchiere colmo d’acqua sul quale era stato appoggiato precedentemente un
foglio di carta. L’acqua resterà nel bicchiere grazie alla spinta dell’aria sul foglio di carta
(circa 10 N per ogni cm2 di superficie).
3.3.2
Barometri
Il barometro è lo strumento di misura per la pressione atmosferica. E’ usato per determinare
l’altitudine di un luogo e nell’ambito della meteorologia per rilevare dati utili per le previsioni
del tempo.
a) Barometro a mercurio
La figura (3.4) mostra un semplice barometro a mercurio che consiste in un lungo tubo di
vetro riempito di mercurio con l’estremità aperta immersa in una bacinella di mercurio. Lo
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3.3. MISURA DELLA PRESSIONE
26
Figura 3.4: (a) Un barometro a mercurio (b) Un altro barometro a mercurio. La distanza h
ı̈¿½ la stessa in entrambi i casi
spazio sopra la colonna di mercurio contiene solo vapore di mercurio, la cui pressione è cosı̀
piccola a temperature ordinarie, che può essere trascurata. Possiamo utilizzare l’equazione
(3.4) per trovare la pressione atmosferica p0 in termini di altezza h della colonna di mercurio.
Si ottiene:
p0 = ρgh
(3.6)
A una data pressione l’altezza h della colonna di mercurio non dipende in nessun modo dalla
sezione del tubo verticale. Il bizzarro barometro a mercurio di figura (3.4b) misura la stessa
pressione di quello di figura (3.4a); la sola cosa che conta è la distanza verticale h tra i livelli
di mercurio.
Il primo barometro a mercurio fu costruito da Evangelista Torricelli nel 1643. Questo
tipo di barometro è molto preciso ed accurato, ma è difficilmente trasportabile, ingombrante
e soffre dei pericoli di tossicità e inquinamento del mercurio.
L’equazione (3.6) mostra che, per una data pressione, l’altezza della colonna di mercurio
dipende dal valore di g nel luogo dove è posto il barometro e dalla densità del mercurio
che varia con la temperatura. Se non si hanno condizioni standard, bisogna operare piccole
correzioni prima di trasformare l’altezza del mercurio in valore di pressione.
b) Barometri aneroidi
Questo tipo di barometro offre una alternativa più pratica ed economica rispetto al barometro a mercurio, ma a scapito di accuratezza e precisione. L’elemento sensibile è costituito
da un cilindro appiattito in cui è stato praticato il vuoto. Le ampie basi sono corrugate in
modo da presentare una ampia escursione per effetto della pressione atmosferica agente su
di esse. Un sistema di leve ed ingranaggi trasmettono questo movimento ad un indice che
visualizza la pressione su una scala graduata.
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3.3. MISURA DELLA PRESSIONE
3.3.3
27
Manometri
Il manometro è uno strumento di misura della pressione dei fluidi. La corretta accezione del
lemma si riferisce a strumenti dedicati alla misura di pressioni maggiori dell’atmosferica; per
valori inferiori all’atmosferica il termine corretto è vacuometro (misuratore del vuoto).
Vi sono numerosi tipi di manometro adatti ad impieghi differenti. La maggior parte
di questi tipi in realtà misura una pressione relativa, ossia la differenza tra la pressione
atmosferica nel punto di misura e la pressione dell’ambiente di cui si desidera la misura.
Questi includono i manometri a U, a membrana, Bourdon.
a) Manometro ad U
Figura 3.5: Un manometro a tubo aperto, collegato in modo da misurare la pressione del gas
nel serbatoio di sinistra. Il braccio destro del tubo a U è aperto all’atmosfera
Sono costituiti da un tubo (di solito trasparente) curvato a U e riempito di un liquido
di densità nota. Un’estremità del tubo è lasciata aperta all’atmosfera, mentre l’altra è in
collegamento diretto con l’ambiente di misura. Il liquido contenuto nel tubo si sposterà verso
l’alto in uno dei due rami della U di un valore tale che la differenza di peso tra le due colonne
di liquido bilanci esattamente la pressione (o depressione) presente nell’ambiente di misura.
b) Manometri Bourdon
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3.4. PRINCIPIO DI PASCAL
28
Sono costituiti da un tubo solitamente di sezione
ovale e il cui asse è disposto lungo una circonferenza (ma può essere avvolto anche per più di 360o , e
quindi assumere forma di spirale), detto appunto
tubo Bourdon. Si era notato che un tubo di tale forma tende ad aumentare il proprio raggio di
curvatura all’aumentare della pressione interna al
tubo; la misurazione del raggio dà la misura del- .
la pressione. Nella pratica, il tubo è collegato ad
una estremità con un punto fisso, messo in connessione con l’ambiente di misura; l’altra estremità è
connessa ad un leverismo che ne amplifica lo spostamento, e lo traduce nel movimento circolare di
un indice lungo una scala graduata. I manometri
Bourdon costituiscono la stragrande maggioranza
dei misuratori di pressione oggi usati.
Molla Bourdon
c) Manometri a diaframma
Anche detti a membrana poiché l’elemento deformabile èuna membrana solitamente ondulata per
accrescerne la flessibilità. La membrana separa
l’ambiente di misura dall’esterno, e si gonfierà se la
pressione da misurare è maggiore di quella atmosferica, e viceversa. Il leverismo, non molto diverso .
da quello dei manometri Bourdon, amplifica questo rigonfiamento e lo trasmette ad un indice, come
per i manometri Bourdon. Vi sono molte varianti
del manometro a membrana, generalmente usate
come manometri differenziali.
Separatore a diaframma
d) Manometri piezoelettrici
Sfruttano la proprietà di alcuni materiali di modificare la propria conducibilità quando al materiale stesso viene applicata una forza esterna. Poiché (per alcuni materiali) la conducibilità
varia in modo proporzionale alla sollecitazione unitaria, un semplice Ponte di Wheatstone
può dare indicazione della pressione.
3.4
Principio di Pascal
Quando schiacciate un tubetto di dentifricio, state utilizzando il principio di Pascal. Questo
principio sta anche alla base della manovra di Heimlich usata nei primi soccorsi, con la
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3.4. PRINCIPIO DI PASCAL
29
quale un secco aumento di pressione applicato all’addome viene trasmesso alla gola, forzando
l’espulsione delle particelle di cibo dalla trachea.
Il principio fu per la prima volta formulato chiaramente da Blaise Pascal (al quale fu
intitolata l’unità di pressione) nel 1652:
“Un cambiamento di pressione applicato a un fluido confinato viene trasmesso
inalterato a ogni porzione di fluido e alle pareti del recipiente che lo contengono.”
3.4.1
Dimostrazione del principio di Pascal
Consideriamo il caso in cui il fluido è un liquido incomprimibile contenuto in un cilindro,
come in figura (3.6). Nel cilindro scorre un pistone sul quale è posto un contenitore riempito
di pallini di piombo. L’atmosfera, il contenitore e i pallini esercitano una pressione pext sul
pistone e quindi sul liquido. La pressione p in un qualsiasi punto del liquido è quindi
Figura 3.6: I pesi caricati sul pistone creano una pressione esterna pext in cima al liquido
incomprimibile. Se si aumenta pext , aggiungendo altri pesi, la pressione aumenta della stessa
quantità in tutti i punti del liquido.
Aggiungiamo ora un po’ di pallini di piombo per aumentare la pressione esterna pext di
una quantità ∆pext . Le quantità p, g e h nell’equazione (3.4) rimangono invariate, quindi il
cambiamento di pressione in P è
∆p = ∆pext
Questo cambiamento di pressione è indipendente da h quindi deve valere per tutti i punti
del liquido, come asserisce il principio di Pascal.
3.4.2
Il principio di Pascal e il martinetto idraulico
La figura (3.7) mostra come il principio di Pascal sia la base per il funzionamento del martinetto idraulico. Sia data una forza esterna di intensità Fi che agisce verso il basso sul
pistone sinistro (o di azionamento), la cui sezione è Ai . Un liquido incomprimibile messo nel
dispositivo esercita quindi una forza verso l’alto di intensità F0 sul pistone di destra (o di
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3.4. PRINCIPIO DI PASCAL
30
Figura 3.7: Un dispositivo idraulico utilizzato per amplificare la forza Fi . Il lavoro compiuto
dalla forza Fi , tuttavia, non è amplificato ed è lo stesso per le due forze nei due pistoni.
sollevamento), la cui area è A0 . Per mantenere il sistema in equilibrio, un peso esterno deve
esercitare una forza verso il basso di intensità F0 sul pistone di destra. La forza Fi applicata
a sinistra e la forza F0 esercitata dal peso sulla destra producono un cambiamento ∆p nella
pressione del liquido dato da
∆p =
Fi
F0
=
Ai
A0
⇒
F0 = Fi
A0
Ai
(3.7)
L’equazione (3.7) mostra che la forza F0 esercitata dal peso deve essere maggiore della
forza Fi se A0 > Ai , come nel caso della figura (3.7).
Se muoviamo il pistone di sinistra verso il basso di un tratto di , il pistone di destra si
muove verso l’alto di un tratto d0 in modo che venga mosso un ugual volume di liquido da
entrambi i pistoni. Quindi V = Ai di = A0 d0 , che può essere scritta come
d0 = di
Ai
A0
(3.8)
Questo mostra che, se A0 > Ai (come in figura 3.7), il pistone di destra si muove di un
tratto minore di quello di sinistra. Dalle equazioni (3.7) e (3.8) possiamo scrivere il lavoro
svolto dal pistone di destra come
L = F0 d0 = Fi di
(3.9)
che dimostra come il lavoro L svolto sul pistone di sinistra dalla forza applicata sia uguale al
lavoro L svolto dal pistone di destra nello spingere verso l’alto il carico posto sopra di esso.
Osserviamo qui che una data forza, esercitata per una certa distanza, può essere trasformata in una forza maggiore esercitata per una distanza più breve. Il prodotto della forza per
la distanza rimane invariato, cioè viene svolto lo stesso lavoro. Tuttavia, è spesso un grande
vantaggio poter esercitare una forza più grande. Molti di noi, per esempio, non sono in grado
di sollevare un’automobile, ma con l’ausilio del martinetto idraulico ciò è possibile a tutti,
anche se bisogna spingere giù il pistone molto di più di quanto la macchina salga. Con questo
dispositivo, il tratto di viene compiuto non in un solo colpo ma in una serie di piccoli tratti.
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3.5. IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
3.5
31
Il principio di Archimede
Un sottile palloncino di plastica pieno di acqua (in cui la massa della plastica è trascurabile),
se immerso completamente in acqua rimane evidentemente in equilibrio statico; non tende
cioè né a salire né ad affondare. Per il fatto che l’acqua nel palloncino ha un peso, dovrebbe
affondare. Il suo peso deve dunque essere bilanciato da una forza verso l’alto la cui intensità
è uguale al peso dell’acqua nell’involucro. Questa spinta di galleggiamento F~A verso l’alto
è esercitata sull’acqua nel palloncino dall’acqua che circonda l’involucro. Essa è dovuta al
fatto che la pressione aumenta nell’acqua all’aumentare della profondità e quindi la pressione
in prossimità del fondo del palloncino è maggiore della pressione in cima. Supponiamo per
semplicità che l’involucro abbia la forma di un parallelepipedo. Le forze orizzontali sull’involucro dovute alla pressione si annullano: rimangono solo le forze verticali.
Indicando con ρf la densità del fluido, con A l’area delle basi, con h l’altezza e con V = Ah
il volume del corpo immerso, con ρ la sua densità e con VS la parte di volume spostata, si
può scrivere che
F1
h1
FA = F1 − F2 = p1 · A − p2 · A
h2
= [(% · g · h1 + p0 ) − (% · g · h2 + p0 )] · A
= % · g · (h1 − h2 ) · A
=%·g·h·A=%·g·V =m·g
= peso dell’acqua nell’involucro.
F2
Se ora rimuoviamo il palloncino dall’acqua e riempiamo lo spazio vuoto con un altro corpo
delle stesse dimensioni, la stessa forza di galleggiamento – diretta verso l’alto – che prima
agiva sul palloncino riempito d’acqua, ora agisce sul corpo.
Tutto questo viene riassunto nel principio di Archimede:
“Un corpo immerso in un fluido, interamente o parzialmente, è soggetto a una
spinta verticale, dal basso verso l’alto, pari al peso del fluido occupato dal corpo
stesso.”
La verifica sperimentale può essere fatta con la bilancia rappresentata di fianco. Il dispositivo è costituito da una comune bilancia e da due cilindri appesi a uno dei piatti. Il
cilindro inferiore A è pieno, mentre quello superiore B è cavo e strutturato in modo che il suo
volume interno è uguale a quello del cilindro pieno. Dopo aver realizzato l’equilibrio in aria
mediante opportuni pesi sull’altro piatto, il cilindro inferiore viene completamente immerso
in un liquido. A causa della spinta di Archimede la bilancia non è più in equilibrio. Per
ristabilirlo occorre riempire esattamente la cavità del cilindro superiore con lo stesso liquido.
Ciò mostra che il corpo immerso riceve una spinta dal basso verso l’alto uguale al peso del
liquido aggiunto, ossia uguale al peso del liquido occupato dal cilindro pieno.
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3.5. IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
32
Figura 3.8:
Nota. Se sotto il bicchiere si pone una bilancia, quando il cilindro pieno viene immerso
nel bicchiere, la bilancia segna un aumento di peso corrispondente alla spinta di Archimede
(principio di azione e reazione).
Il principio di Archimede si può applicare a problemi di galleggiamento. Vi sono due
situazioni principali da distinguere:
a) Il corpo è totalmente immerso: VS = V
• se ρf < ρ, il corpo affonda
• se ρf = ρ, il corpo rimane in equilibrio nel fluido
b) Il corpo è parzialmente immerso
• ρf > ρ e il corpo galleggia
Figura 3.9: (a) L’acqua che circonda la cavità esercita forze sui confini della cavità; la risultante è una forza di galleggiamento verso l’alto che agisce su qualsiasi cosa riempia la
cavità. (b) Per una pietra dello stesso volume della cavità il peso è maggiore della forza di
galleggiamento. (c) Per un pezzo di legno dello stesso volume il peso è minore della forza di
galleggiamento.
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3.6. STUDIO DEL MOTO IN UN FLUIDO PERFETTO
33
Nel caso del galleggiamento, la spinta deve equilibrare il peso del corpo. Quindi la
condizione di equilibrio è data da:
ρf · VS · g = ρ · V · g
⇐⇒
ρ
VS
=
ρf
V
(3.10)
Il rapporto trovato è giusto solo se si può trascurare la spinta di Archimede sulla parte
del corpo “immersa” nell’aria. Altrimenti, la risposta corretta è la seguente:
mcorpo · g = %liquido · Vimmerso · g + %aria · (Vcorpo − Vimmerso ) · g
%corpo − %aria
Vimmerso
=
.
Vcorpo
%liquido − %aria
Nota. La densità dell’aria alle condizioni normali è di circa 1.3 kg/m3 , per cui se può essere
trascurata rispetto alla densità del corpo e del liquido, l’ultima relazione trovata si semplifica
diventando uguale alla prima risposta.
3.6
3.6.1
Studio del moto in un fluido perfetto
Corpo totalmente immerso
In questo caso, la forza risultante verso il basso sarà data dalla differenza fra il peso e la
spinta. Possiamo quindi scrivere l’equazione di Newton corrispondente:
X
Fi = P − S = mg − ρf V g = ma
(3.11)
i
Dato che mg = ρV g, semplificando, si ottiene un’accelerazione costante verso il basso data
da:
ρf
a = g(1 − )
(3.12)
ρ
Si tratta quindi di un moto uniformemente accelerato con l’accelerazione data dall’espressione
(3.12), per cui le equazioni di moto sono date da:
(
x(t) = x0 + v0 t + 21 at2
(3.13)
v(t) = v0 + at
dove x(t) rappresenta la profondità in funzione del tempo, x0 la profondità iniziale e v0
la velocità iniziale. Queste equazioni sono valide fintanto che il corpo rimane totalmente
immerso nel fluido.
ρ
Dalle equazioni (3.13) si può notare che se il fluido è molto rarefatto, limρf →0 ρf = 0 e quindi
a = g, cioè abbiamo una caduta libera. Se ρf > ρ, a < 0 e l’oggetto viene decelerato e
riportato in superficie poiché la spinta è maggiore del peso.
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3.6. STUDIO DEL MOTO IN UN FLUIDO PERFETTO
3.6.2
34
Corpo parzialmente immerso
In questo caso, la spinta non è più costante ma dipende dalla quantità di corpo immerso
nel fluido. Per semplificare la trattazione, tratteremo corpi che possiedono un’area di base
costante (ad esempio un cilindro o un parallelepipedo), in modo che il volume immerso sia
direttamente proporzionale all’altezza immersa. Nel caso più generale, la trattazione può
diventare molto pesante.
Supponiamo che il corpo abbia un’area di base Ab e un’altezza L. Troviamo le forze agenti
sul corpo se un parte x è immersa nel fluido. Per la forza peso Fp , otteniamo:
Fp = ρV g = ρAb Lg
(3.14)
rivolta verso il basso, mentre per la spinta S, si ottiene:
S = ρf Ab xg
(3.15)
rivolta verso l’alto, per cui l’equazione di Newton diventa Fp − S = mẍ da cui si ricava,
semplificando, l’equazione seguente:
ρLg − ρf xg = ρL ẍ
(3.16)
ossia
ρf g
x=g
ρL
Definendo una pulsazione ω tramite la relazione
ρf g
ω2 =
ρL
ẍ +
(3.17)
(3.18)
otteniamo l’equazione differenziale
ẍ + ω 2 x = g
(3.19)
che corrisponde a una oscillazione armonica, a parte il termine g a destra dell’equazione.
Quali implicazioni può avere questo termine sul movimento oscillatorio armonico che risulta dall’equazione differenziale ẍ + ω 2 x = 0 (detta omogenea)?
Si può mostrare che questo termine addizionale deriva esclusivamente dalla scelta di coordinate in cui l’equilibrio non è posto in x = 0, vale a dire nell’origine, bensi in un altro punto.
Infatti nella scelta precedente, x = 0 è stato scelto sulla superficie del fluido e quindi non può
assolutamente coincidere con una posizione di equilibrio. Sappiamo invece che l’equilibrio,
nel caso in cui ρ < ρf è dato da xeq = (ρ/ρf )L come si può dedurre dall’equazione (3.10).
Perciò possiamo chiederci se spostando l’origine in quel punto, nel nuovo sistema di coordinate, otteniamo l’equazione differenziale omogenea. A questo proposito, scegliamo una nuova
coordinata y(t) = x(t) − xeq in modo tale che y = 0 quando x = xeq . Questo implica che
x(t) = y(t) + xeq ,
ẍ = ÿ
(3.20)
per cui l’equazione (3.19) si trasforma in
ÿ + ω 2 (y + xeq ) = g
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(3.21)
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3.6. STUDIO DEL MOTO IN UN FLUIDO PERFETTO
35
Poiché ω 2 xeq = g (vedi eq (3.18)), otteniamo nella nuova coordinata y l’equazione differenziale
ÿ + ω 2 y = 0
(3.22)
che mostra che il moto del corpo è effettivamente un’oscillazione armonica attorno alla posizione di equilibrio data da xeq = (ρ/ρf )L. In questo caso, la forza di richiamo tipica di
questo moto viene svolta dalla spinta di Archimede dovuta al fluido.
La soluzione generale dell’equazione (3.19) è quindi data da:
(
x(t) − g/ω 2 = A sin ωt + B cos ωt,
v(t) = ẋ(t) = ωA cos ωt − ωB sin ωt
(3.23)
I coefficienti A e B sono da determinare in modo da soddisfare le condizioni iniziali x(0) = x0
(posizione iniziale) e v(0) = v0 (velocità iniziale). In genere, questi valori vengono forniti dal
problema e sostituendo nel sistema (3.23) t = 0, si può risolvere il sistema nelle incognite A
e B. Come nel caso precedente, le equazioni (3.23) sono valide solo nel caso in cui il corpo è
parzialmente immerso. Altrimenti, bisogna utilizzare le equazioni (3.13).
3.6.3
Un esempio: il corpo poggiato sulla superficie del fluido
La fase oscillatoria
In questa sezione vediamo di analizzare un caso con condizioni iniziali particolari: il corpo
poggiato sulla superficie del fluido. Questo implica che avremo
x(0) = x0 = 0
e v(0) = v0 = 0
(3.24)
come condizioni iniziali. Nell’istante in cui il corpo viene lasciato libero, inizia a sprofondare
e fino a quando x(t) ≤ L (corpo parzialmente immerso), vanno usate le equazioni (3.23).
Sostituendo i valori (3.24) in (3.23), si ottengono per i coefficienti A e B i seguenti valori:
A=−
g
ω2
,
B=0
Definendo con λ la quantità ρ/ρf , le equazioni di moto sono date da
(
x(t) = λL (1 − cos ωt)
√
ẋ(t) = λLg sin ωt
(3.25)
(3.26)
√
Il periodo dell’oscillazione è dato da T = 2π/ω = 2π λLg . Qual è la condizione per cui
queste equazioni sono valide per ogni istante successivo a t = 0? Sappiamo che esse sono
valide se x(t) rimane inferiore all’altezza L del corpo, altrimenti la spinta diventa costante e
non siamo più nel caso dell’oscillazione. Il massimo dell’oscillazione si ottiene quando t = T /2,
quindi
T
x( ) = λL(1 − cos ωT /2) = λL(1 − cos π) = 2λL
(3.27)
2
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3.6. STUDIO DEL MOTO IN UN FLUIDO PERFETTO
36
Esso sarà minore di L quando λ ≤ 1/2. Perciò , solo se la densità del corpo è meno della
metà di quella del fluido, il movimento si limiterà ad una oscillazione attorno al punto di
equilibrio.
Che cosa capita quando λ > 1/2 ? In questo caso, il corpo si ritrova totalmente immerso
prima di aver terminato la sua mezza oscillazione. In quell’istante, pur continuando la sua
discesa grazie alla velocità acquisita, la spinta diventa costante e ritorniamo in una situazione
di moto uniformemente accelerato, con l’accelerazione fornita dall’equazione (3.12). A questo
punto ci troviamo davanti a due possibilità :
a) ρ < ρf cioè λ < 1 =⇒ a < 0: il corpo verrà frenato fino all’arresto, per poi risalire in
superficie
b) ρ > ρf cioè λ > 1 =⇒ a > 0: il corpo affonderà senza più risalire
La fase uniformemente accelerata
In entrambi i casi citati in precedenza vanno risolte le equazioni (3.13) ponendo x(0) = L e
v0 = v0 dove v0 va calcolata con le equazioni relative all’oscillazione nell’istante in cui x = L.
Dobbiamo avere
x(t̃) = λL(1 − cos ω t̃) = L =⇒ cos ω t̃ = 1 − 1/λ
(3.28)
Questa è la relazione che definisce l’istante t̃ nel quale il corpo è completamente immerso. La
velocità in quell’istante è quindi:
p
p
p
v(t̃) = λLg sin ω t̃ = λLg 1 − cos2 ωt
(3.29)
e sostituendo l’espressione (3.28) si ottiene
r
v(t̃) =
gL
(2λ − 1).
λ
(3.30)
Come si può vedere, per λ = 1/2, v = 0 e per λ < 1/2 non esiste una soluzione. Infatti in
questo caso abbiamo visto che il corpo rimane in un regime oscillatorio e non è mai totalmente
immerso.
Per λ > 1/2 possiamo trovare quanto tempo impiega il corpo a fermarsi dall’istante t̃ e a
quale profondità . Usando la relazione ∆v = a∆t, otteniamo:
q
s gL
−
∆v
λ
L
1
λ (2λ − 1)
∆t =
=
=
2−
(3.31)
a
1−λ g
λ
g(1 − λ1 )
Lo spazio massimo compiuto si può ottenere dalla relazione a∆x = v 2 − v02 , per cui
!
λ − 12
∆x = 2L
.
1−λ
(3.32)
a cui naturalmente va aggiunto L per ottenere la profondità effettiva. Analizzando questo
risultato, si nota che per λ = 1/2 si ottiene ∆x = 0 e per λ = 1, si ottiene ∆x → ∞, che
indica un non ritorno in superficie come è stato appunto discusso in precedenza.
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
3.7
37
Fluidi in movimento
Il movimento dei fluidi reali è complicato e ancora non del tutto conosciuto. Discutiamo
invece il movimento di un fluido ideale, che è più semplice da descrivere matematicamente.
Nonostante i risultati ottenuti in questo modo non siano completamente in accordo con il
comportamento dei fluidi reali, saranno sufficientemente utili per una prima descrizione. Qui
di seguito elenchiamo le quattro caratteristiche che deve avere un fluido ideale:
Figura 3.10: A un certo punto il flusso dei gas caldi che salgono da una sigaretta cambia da
stazionario a turbolento.
1. Moto laminare Nel moto laminare la velocità del fluido in ogni punto fissato non
cambia nel tempo, né in direzione, né in intensità. Il lento flusso dell’acqua al centro di
un tranquillo ruscello è laminare; mentre non lo è quello delle rapide di un torrente. La
figura (3.10), che mostra il fumo di una sigaretta, illustra la transizione da flusso laminare a flusso non laminare, o turbolento. La velocità delle particelle di fumo aumenta
con l’altezza e, a certe velocità critiche, il flusso cambia il suo regime da laminare a
turbolento.
2. Fluido incomprimibile Assumiamo, come già abbiamo fatto con i fluidi a riposo, che
il nostro fluido ideale sia incomprimibile. Cioè che la sua densità abbia valore costante.
3. Flusso non viscoso Detto in parole povere, la viscosità di un fluido è la misura di
quanto un fluido si oppone allo scorrimento. Per esempio il miele denso si oppone
maggiormente allo scorrimento dell’acqua, e quindi si dice che il miele è più viscoso
dell’acqua. La viscosità è l’analogo dell’attrito nei solidi. Entrambi sono processi nei
quali l’energia cinetica di oggetti in movimento viene trasformata in energia termica.
In assenza di attrito un corpo potrebbe scivolare per inerzia a velocità costante lungo
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
38
una superficie orizzontale. Allo stesso modo, un oggetto che si muova in un fluido non
viscoso non dovrebbe essere soggetto ad alcuna forza frenante, cioè, a nessuna forza di
resistenza dovuta alla viscosità. Lord Rayleigh affermò che, in un fluido ideale, non
potrebbe funzionare l’elica di una barca ma, d’altra parte, una barca (una volta in
movimento) non avrebbe bisogno di un’elica!
4. Flusso irrotazionale Anche se questo concetto non ci interesserà più in seguito,
assumiamo che il fluido sia irrotazionale. Per verificare questa proprietà, facciamo
muovere un piccolo granello di polvere in un fluido. In un fluido irrotazionale questo
corpo di prova non ruoterebbe intorno all’asse del suo centro di massa, anche se dovesse
muoversi lungo un cammino circolare. Con vaga analogia, il movimento della ruota
panoramica è rotazionale; mentre quello dei suoi passeggeri è irrotazionale.
3.7.1
Equazione di continuità
Figura 3.11: II flusso stazionario di un fluido intorno a un cilindro messo in evidenza da un
tracciante colorato.
La figura (3.11) mostra le linee di flusso evidenziate da un colorante immesso in un fluido
in movimento. Una linea di flusso è il cammino tracciato da un minuscolo elemento, che
potremmo chiamare una “particella”, di fluido.
Quando la particella di fluido si muove, la sua velocità può cambiare, sia in direzione
sia in intensità. Come mostra la figura (3.12a), la sua velocità in ogni punto sarà sempre
tangente alle linee di flusso in quel punto. Le linee di flusso non si intersecano mai poiché,
se questo avvenisse, una particella di fluido che arrivasse all’intersezione dovrebbe assumere
due differenti velocità contemporaneamente, e ciò è impossibile.
In flussi come quello della figura (3.11), possiamo isolare un tubo di flusso delimitato dalle
linee di flusso. Questo tubo si comporta come una conduttura, poiché ogni particella di fluido
che vi entra non può più uscire attraverso le pareti; infatti se succedesse le linee di flusso si
intersecherebbero.
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
39
Figura 3.12: (a) Una particella di fluido P disegna una linea di flusso quando si muove. La
velocità della particella è tangente alla linea di flusso in ogni punto. (b) Un tubo di flusso è
definito dalle linee di flusso che lo delimitano. Il flusso del fluido deve essere uguale in tutte
le sezioni del tubo di flusso.
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
40
La figura (3.12a) mostra due sezioni, di area A1 e A2 lungo un sottile tubo di flusso.
Poniamoci a osservare il fluido in B che si muove con velocità v1 per un piccolo intervallo di
tempo ∆t. Durante questo intervallo, una particella di fluido percorrerà una piccola distanza
v1 ∆t e un volume ∆V di fluido, dato da
∆V = A1 v1 ∆t
(3.33)
transiterà attraverso l’area A1 .
Figura 3.13: Quando un canale, come il tubo in figura, si restringe, le linee di flusso si
avvicinano, mettendo in evidenza un aumento di velocità del fluido. La freccia mostra la
direzione del flusso.
Il fluido è incomprimibile e non può essere creato o distrutto. Quindi nello stesso intervallo
di tempo lo stesso volume di fluido deve passare dal punto C, più oltre nel tubo di flusso. Se
la velocità qui è v2 , significa che
∆V = A1 v1 ∆t = A2 v2 ∆t
(3.34)
A1 v 1 = A2 v 2 .
(3.35)
ossia
Quindi lungo il tubo di flusso troviamo che
R = Av = cost
(3.36)
dove R, che nel sistema SI si misura in metri cubi al secondo, è la portata volumica.
L’equazione (3.36) è chiamata equazione di continuità per un fluido in movimento. Ci
dice che il flusso è più veloce nella sezione più stretta del tubo di flusso, dove le linee di flusso
sono più vicine tra loro, come in figura (3.36).
L’equazione (3.36) è una formulazione della legge di conservazione della massa, utile in
meccanica dei fluidi. Infatti, se moltiplichiamo R per la densità o massa volumica (costante)
del fluido, otteniamo la quantità Avρ che rappresenta la portata massica, misurata nel
sistema SI in kilogrammi al secondo. L’equazione (3.36) effettivamente ci dice che, in figura
(3.12b), la massa che transita ogni secondo attraverso B è uguale alla massa che passa ogni
secondo nel punto C.
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
41
ESEMPIO 3.2. La figura sotto mostra come il flusso d’acqua che esce da un rubinetto si restringe
mentre cade. L’area di sezione A0 è di 1.2 cm2 , e A è 0.35 cm2 . I due livelli sono separati da una
distanza verticale h = 45 mm. Qual è il flusso dell’acqua che esce dal rubinetto?
Soluzione: Dall’equazione di continuità (eq. 3.36) si ha
A0 v0 = Av
dove v0 e v sono le velocità dell’acqua ai corrispondenti livelli. Poiché l’acqua cade liberamente
con l’accelerazione di gravità g, sappiamo dal teorema del lavoro che:
v 2 = v02 + 2gh
Risolvendo rispetto a v0 le due precedenti equazioni, si ottiene
s
v0 =
2ghA2
= 0.286 m/s
A20 − A2
La portata volumica R è quindi
R = A0 v0 = 34 cm3 /s
3.7.2
Equazione di Bernoulli
La figura (3.14) rappresenta un tubo di flusso (o anche un tubo reale) attraverso il quale
fluisce un fluido ideale in regime laminare. In un intervallo di tempo ∆t supponiamo che un
volume di fluido ∆V colorato più scuro nella figura (3.14a), entri dall’estremità di sinistra
e un identico volume esca dall’estremità destra (o di uscita). Il volume uscente deve essere
uguale a quello entrante poiché il fluido è incomprimibile, con una densità costante ρ
Siano y1 , v1 e p1 l’altezza, la velocità e la pressione del fluido quando entra dall’estremità
sinistra e y2 , v2 e p2 le corrispondenti quantità per il fluido che esce dall’estremità destra.
Applicando la legge di conservazione dell’energia al fluido si dimostra che queste quantità
sono legate da
1
1
p1 + ρv12 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2 .
2
2
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(3.37)
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
42
Figura 3.14: Un fluido scorre in un tubo a regime laminare su una lunghezza d. Durante
l’intervallo di tempo ∆t la quantità di fluido scuro in figura (a) si sposta dall’estremità di
ingresso all’estremità di uscita come mostrato in (b).
Possiamo riscrivere quest’equazione come
1
p + ρv 2 + ρgy = costante.
(3.38)
2
Le equazioni (3.37) e (3.38) sono forme equivalenti dell’equazione di Bernoulli, dal
nome di Daniel Bernoulli, la cui intuizione nel 1738 portò poi a questa equazione 1 .
Come l’equazione di continuità (Eq.3.36), l’equazione di Bernoulli non è un nuovo principio, ma semplicemente la riformulazione di un principio familiare (la conservazione dell’energia meccanica) in una forma più adatta alla meccanica dei fluidi.
Se si pone costante l’altezza (y = 0 per esempio) in modo che il fluido non cambi altezza
mentre scorre, l’equazione (3.37) diviene
1
1
p1 + ρv12 = p2 + ρv22 .
(3.39)
2
2
Quindi, se lungo una linea di flusso, aumenta la velocità di un fluido, deve diminuire la
sua pressione e viceversa.
In altri termini, dove le linee di flusso sono vicine fra loro (cioè dove la velocità è
abbastanza grande), la pressione è piuttosto bassa, e viceversa.
Il legame tra un cambiamento di velocità e un cambiamento di pressione diviene chiaro
se si pensa a una particella di fluido. Quando una particella si avvicina a una strettoia,
1
Per fluidi irrotazionali (quelli che noi consideriamo), la costante nell’equazione 15-17 ha lo stesso valore
per tutti i punti dentro il tubo di flusso
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
43
la maggior pressione a monte la accelera fino a farle raggiungere una grande velocità nella
strettoia. Quando si avvicina a una sezione più ampia, la maggior pressione che trova davanti
a sé la rallenta facendole diminuire la velocità.
L’equazione di Bernoulli è rigorosamente soddisfatta solo per un fluido ideale. Se sono
presenti forze viscose, intervengono fenomeni che coinvolgono conversioni in energia termica.
La sua dimostrazione verrà lasciata come esercizio in classe.
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3.7. FLUIDI IN MOVIMENTO
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44
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Capitolo 4
Il gas ideale
4.1
Le relazioni fra pressione, volume e temperatura in un gas
Nei capitoli precedenti abbiamo studiato le dilatazioni libere dei solidi e dei liquidi in funzione
della temperatura senza badare all’influsso della pressione atmosferica. Infatti variazioni di
pressione dell’ordine di grandezza di 1 bar influenzano tali dilatazioni in modo trascurabile.
1 I gas invece sono molto comprimibili, per cui il volume iniziale varia notevolmente con
la pressione. D’altra parte, mantenendo costante il volume, la pressione aumenta con la
temperatura. Infine, se si vuole mantenere la pressione invariata e aumentare la temperatura,
occorre aumentare anche il volume.
Perciò per descrivere le proprietà dei gas, abbiamo bisogno di tre grandezze fisiche: il
volume, la pressione e la temperatura, che vengono definiti come i parametri di stato. Lo
stato di un gas è quindi caratterizzato da un determinato valore dei suoi tre parametri di
stato: si dice che la terna di valori (P, V, T ) definisce lo stato termodinamico del gas. Una
trasformazione termodinamica è il passaggio da uno stato a un altro, in cui almeno due dei
tre parametri di stato cambiano.
Per capire che relazione esiste tra di loro studiamo come si comporta un gas quando
teniamo fissa una di queste grandezze e lasciamo variare il valore di un’altra. Osserviamo
allora come cambia il valore della terza grandezza.
4.2
Temperatura costante: la legge di Boyle
Mantenendo costante la temperatura, il volume di una data massa di gas è inversamente
proporzionale alla pressione. È questo il contenuto della legge di Boyle.2 Se con P si indica
la pressione del gas e con V il suo volume, la legge di Boyle si esprime con la formula:
P · V = costante
1
(4.1)
Per i solidi: ∆V = V0 (3 · α · ∆θ − κ · ∆p) dove κ è il coefficiente di compressibilità.
Analogamente per i liquidi: ∆V = V0 (γ · ∆θ − κ · ∆p).
2
Robert Boyle (1627-1691), fisico scozzese. Studiò le proprietà dei gas e perfezionò la pompa pneumatica
45
4.2. TEMPERATURA COSTANTE: LA LEGGE DI BOYLE
46
quando la temperatura T rimane fissa.
Per verificare sperimentalmente questa legge, si può mettere il gas in un recipiente che è
chiuso in alto da un pistone mobile a tenuta (Fig.4.1). Per mantenere costante la temperatura
del gas immergiamo il recipiente in una grossa bacinella d’acqua e per variare la pressione
cambiamo il numero dei pesetti appoggiati sopra il pistone. Osserviamo allora che quando
aumentiamo la pressione, aggiungendo dei pesetti, il volume diminuisce.
Dopo un po’ di tempo il gas e l’acqua raggiungono l’equilibrio termico, cioè si trovano
alla stessa temperatura.
Figura 4.1: Legge di Boyle. Il recipiente è immerso in una grossa bacinella d’acqua che serve
per mantenere stabile la temperatura del gas.
Il gas, mentre passa dallo stato A allo stato B, subisce una trasformazione isoterma,
cioè una trasformazione a temperatura costante. Nel corso della trasformazione misurando
il volume V (la posizione del pistone) e la pressione P (dalla massa dei pesetti), è possibile
costruire un grafico P − V nel quale sull’asse orizzontale è riportato il volume e sull’asse
verticale la pressione (Fig.4.2). La curva che risulta e che rappresenta la legge pV = costante,
è un ramo di iperbole equilatera che rappresenta una relazione di proporzionalità inversa. Va
detto però che la legge di Boyle non vale per qualsiasi valore della pressione: il comportamento
di un gas molto compresso si discosta da tale legge.
In pratica, per la verifica sperimentale della legge di Boyle si preferisce usare il dispositivo
illustrato nella figura 3.4. Dopo aver chiuso il rubinetto A, il volume V di gas è sottoposto
alla pressione atmosferica. A questo punto si raddoppia la pressione aggiungendo mercurio
nel tubo di sinistra fino a un dislivello di 76 cm: si nota che il volume del gas si dimezza.
Se aggiungiamo mercurio fino a 152 mm di dislivello, triplicando cosı̀ la pressione iniziale, il
volume del gas si riduce a un terzo di quello originale.
La verifica sperimentale si deve condurre mantenendo costante la temperatura dell’aria
contenuta nel tubo.
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4.2. TEMPERATURA COSTANTE: LA LEGGE DI BOYLE
47
Figura 4.2: Grafico che rappresenta la legge di Boyle in un diagramma P V . La curva, che è un
ramo di iperbole equilatera, visualizza la relazione di proporzionalità inversa tra la pressione
e il volume.
Figura 4.3: Verifica sperimentale della legge di Boyle
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4.3. PRESSIONE COSTANTE: LA PRIMA LEGGE DI GAY-LUSSAC
4.3
48
Pressione costante: la prima legge di Gay-Lussac
Consideriamo ora un altro tipo di trasformazione, mantenendo costante la pressione e variando la temperatura, detta trasformazione isobara. In questo caso, i gas aumentano di volume
al crescere della temperatura seguendo la stessa legge di dilatazione dei solidi e dei liquidi:
Vϑ = V0 (1 + αϑ) ,
a
(4.2)
dove V0 e Vϑ sono rispettivamente il volume di una determinata quantità di gas a 0o C e
Questa legge di dilatazione si chiama anche prima legge di Gay-Lussac 1 .
ϑo C.
Essa vale per tutti i gas a condizione che siano rarefatti (cioè a bassa densità ) e lontani
dalle condizioni di liquefazione. Mentre per i solido e i liquidi il coefficiente di dilatazione
varia a seconda delle sostanze, l’esperienza mostra che α è lo stesso per tutti i gas:
α=
1 o −1
C
273, 15
(4.3)
Per realizzare una trasformazione del gas a pressione costante lasciamo inalterato il numero di pesetti appoggiati sul pistone (Fig.4.4). Aumentiamo la temperatura scaldando l’acqua
nella bacinella che contiene il recipiente di gas. Osserviamo allora che il gas si dilata e occupa
un volume sempre più grande.
Questa trasformazione può essere rappresentata in un grafico nel quale sull’asse orizzontale
è riportata la temperatura e sull’asse verticale il volume (Fig.4.4). La curva è una retta perché
la variazione di volume è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura.
Figura 4.4: Prima legge di Gay-Lussac. A pressione costante se si aumenta la temperatura del
gas, il suo volume cresce in modo che la variazione di volume sia direttamente proporzionale
all’incremento di temperatura. La curva che rappresenta la prima legge di Gay-Lussac in un
diagramma V T è una retta che tocca l’asse delle temperature nel punto t = −273o C.
1
Louis Joseph Gay-Lussac (1778-1850), chimico francese
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4.4. VOLUME COSTANTE: LA SECONDA LEGGE DI GAY-LUSSAC
4.4
49
Volume costante: la seconda legge di Gay-Lussac
Vediamo infine che cosa succede quando manteniamo costante il volume. Se aumentiamo la
temperatura del gas (scaldando l’acqua dentro la bacinella), il volume tende ad aumentare
(Fig.4.5). Per evitare che questo accada dobbiamo aggiungere dei pesetti sopra il pistone.
Allora, tenendo fisso il volume, quando aumenta la temperatura aumenta anche la pressione. Una trasformazione di questo tipo si chiama isometrica, cioè trasformazione a volume
costante.
Figura 4.5: Seconda legge di Gay-Lussac. A volume costante se si aumenta la temperatura del
gas, il suo volume cresce in modo che la variazione di volume sia direttamente proporzionale
all’incremento di temperatura. La curva che rappresenta la prima legge di Gay-Lussac in un
diagramma P T è una retta
L’esperienza mostra che la relazione tra la temperatura e la pressione è espressa dalla
seconda legge di Gay-Lussac:
Pϑ = P0 (1 + αϑ) ,
(4.4)
dove V0 e Vϑ sono rispettivamente la pressione del gas a 0o C e a ϑo C. La costante α ha
lo stesso valore che nella prima legge ed è quindi uguale per tutti i gas.
4.5
Il gas ideale e la temperatura assoluta
Le tre leggi che sono appena state enunciate descrivono in modo corretto le proprietà di tutti
i gas se sono soddisfatte due condizioni:
1. il gas preso in esame è piuttosto rarefatto;
2. la sua temperatura è molto maggiore di quella alla quale esso si liquefa.
In caso contrario vi possono essere delle deviazioni consistenti. Un gas che obbedisce
esattamente a queste leggi si chiama gas ideale o gas perfetto. Nella realtà il gas perfetto
non esiste, ma è utile immaginare che esista per usarlo come termine di confronto, rispetto
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4.6. L’EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE
50
al quale si valutano le proprietà dei gas reali. In altri termini, un gas perfetto è un modello
di riferimento.
La legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac possono essere sintetizzate in un’unica
relazione, chiamata equazione di stato del gas perfetto. Essa stabilisce un legame tra i tre
parametri di stato PVT.
Per ricavare l’equazione di stato è comodo scrivere in modo un po’ diverso la prima legge
di Gay-Lussac. L’intersezione della retta V = V0 (1 + αϑ) con l’asse delle temperature avviene
quando:
1 + αϑ̄ = 0
(4.5)
da cui troviamo
1
' −273o C .
(4.6)
α
Operiamo quindi una traslazione della scala che utilizziamo per misurare le temperature,
in modo che la nuova scala, i cui valori saranno indicati con il simbolo T , abbia l’origine
(T = 0) nel punto che corrisponde alla temperatura Celsius ϑ = −1/α.
Le temperature espresse nella nuova scala si ottengono da quelle in gradi Celsius sommando a queste ultime 1/α:
ϑ̄ = −
1
' ϑ + 273, 15o C ,
(4.7)
α
dove T e ϑ indicano rispettivamente le temperature espresse nella nuova scala e quelle in
gradi Celsius. La temperatura T che abbiamo ora definito si chiama temperatura assoluta;
la temperatura T = 0 è chiamata zero assoluto. Si tratta della scala termometrica adottata
dal Sistema Internazionale. Come abbiamo anticipato nel paragrafo 1.2, la sua unità di
misura è il kelvin (K) e la scala viene chiamata scala Kelvin. Il valore della temperatura in
Kelvin che corrisponde alla temperatura Celsius ϑ = 0 si indica con T0 ed è pari a T0 = 273
K.
Quindi la costante di dilatazione cubica del gas perfetto si può esprimere anche come
T =ϑ+
α=
4.6
4.6.1
1
T0
(4.8)
L’equazione di stato del gas ideale
Le leggi di Gay Lussac
Nella nuova scala, le due leggi di Gay-Lussac assumono una forma più semplici di quelle viste
in (4.2) e (4.4). Infatti:
1 + αϑ = 1 +
T − T0
T
ϑ
=1+
=
.
T0
T0
T0
(4.9)
La prima legge di Gay-Lussac, espressa nella temperatura assoluta, diventa quindi:
V = V0 (1 + αϑ) = V0
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T
.
T0
(4.10)
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4.6. L’EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE
51
Quindi, quando la pressione è costante, V e T sono proporzionali:
V
V0
=
T
T0
(4.11)
Analogamente, per la seconda legge di Gay-Lussac, quando il volume è costante, si ottiene:
P
P0
=
T
T0
(4.12)
Come si può notare, nella scala Kelvin, le leggi di Gay-Lussac si esprimono tramite
relazioni di proporzionalità diretta.
4.6.2
L’equazione di stato
Ricaviamo ora l’equazione di stato del gas perfetto. Consideriamo una massa di gas che si
trova alla temperatura T0 = 273 K (cioè a 0o C) ed è sottoposta alla pressione P0 . In queste
condizioni essa occupa un volume che chiamiamo V0 . Sottoponiamo la massa di gas a due
trasformazioni successive.
1. Facciamo passare la pressione dal valore P0 al valore P1 , mantenendo il gas alla temperatura costante T0 (trasformazione isoterma). Per la legge di Boyle il nuovo volume V00
è diverso da quello iniziale. Otteniamo:
V00 =
V 0 P0
P1
(4.13)
2. Cambiamo la temperatura, facendola passare da T0 a un nuovo valore che indichiamo
con T1 , mantenendo il gas alla pressione costante P1 (trasformazione isobara). Per la
prima legge di Gay-Lussac (4.11) il nuovo volume V1 è:
V1 =
V00
T1
T0
(4.14)
Sostituendo al posto di V00 l’espressione (4.13), otteniamo:
V1 =
V 0 P0
T1 .
P1 T0
(4.15)
Riordinando i due membri dell’equazione, si ha
PV
P0 V 0
=
T
T0
(4.16)
dove l’espressione tra parentesi è un numero che dipende soltanto dalla quantità di gas
che abbiamo preso in considerazione. Infatti il fattore
P0 V0
T0
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(4.17)
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4.6. L’EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE
52
è direttamente proporzionale al volume V0 del gas, misurato alla temperatura T0 e alla
pressione P0 . Ma la pressione P0 e la temperatura T0 sono fissate, per cui V0 stesso non può
che essere proporzionale al numero n di moli del gas. Ricordiamo che il numero di moli n è
dato dal rapporto fra il numero N di molecole e il numero di Avogadro NA :
NA = 6.02 · 1023 particelle/mole.
Quindi, ogni mole contiene lo stesso numero di particelle (atomi o molecole) pari al numero
di Avogadro.
Allora tutto il fattore (4.17) è direttamente proporzionale a n e possiamo scrivere
PV
= nR
T
(4.18)
R = 8, 3143J/molK
(4.19)
dove
è una costante di proporzionalità che si chiama costante dei gas ideali.
Otteniamo quindi l’equazione di stato del gas perfetto:
pV = nRT
(4.20)
L’equazione di stato stabilisce una relazione tra la pressione P , la temperatura T e il
volume V di una determinata quantità n di moli di gas perfetto. Essa afferma, in sostanza,
che il prodotto della pressione per il volume è direttamente proporzionale alla temperatura
assoluta.
Per i gas reali che non soddisfano le condizioni ideali l’equazione di stato che abbiamo
ricavato non è valida, quindi non vale neanche la legge di Avogadro. In questo bisogna
introdurre una nuova equazione, la legge di Van der Waals, che non tratteremo però in
questo corso.
L’equazione di stato del gas perfetto implica la legge di Avogadro, secondo la quale, in
condizioni normali, una mole di un gas qualsiasi occupa sempre un volume di 22, 4 litri.
Infatti,
V =
n·R·T
1 mole · 8.31 (N · m)/(mole · K) · 273.2 K
=
= 22.4 dm 3 .
p
1.013 · 105 N/m2
Terminiamo il paragrafo con un paio di definizioni tratte dalla legge federale sulla metrologia
del 1997.
• Massa atomica (art.58)
L’unità utilizzata in fisica atomica per definire la massa delle particelle è l’unità di
massa atomica (u). L’unità di massa atomica è uguale a 1/12 della massa di un atomo
di nuclide 12 C.
1
1u =
massa 12 C = 1.6605655 · 10−27 kg.
12
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4.6. L’EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE
53
• Quantità di materia (art.55)
L’unità SI di base della quantità di materia è la mole (mol). La mole è la quantità
di materia di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi
in 0.012 kg di carbonio 12. Quando si usa la mole le entità elementari devono essere specificate e possono essere atomi, molecole, elettroni, ioni, altre particelle oppure
raggruppamenti specificati di tali particelle.
(mole: quantità in grammi di una sostanza che numericamente corrisponde alla massa
atomica o molecolare)
1 mole di H2
1 mole di O2
1 mole di CO2
1 mole di aria(70% N2 + 30% O2 )
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⇒ ∼ 2g
⇒ ∼ 32 g
⇒ ∼ 44 g
⇒ ∼ 29 g
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4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA
4.7
4.7.1
54
Interpretazione molecolare della temperatura
Introduzione
In questo paragrafo, faremo una breve introduzione alla teoria cinetica dei gas, sviluppata da
James Clerk Maxwell e da Ludwig Boltzmann.
Ludwig Boltzmann
James Maxwell
Lo scopo di questa teoria è quello di descrivere in maniera esauriente proprietà di gas,
considerati come sistemi composti di un grande numero di molecole. Per una descrizione
completa di un tale sistema, bisognerebbe risolvere le equazioni di moto di tutte le molecole
sottoposte alle forze considerate, problema matematico irrisolvibile anche per i computer più
moderni, trattandosi di un sistema a ∼ 1023 − 1025 equazioni.
Il numero enorme di molecole rende sı̀ inutile lo studio del moto di ogni singola molecola
ma permette di limitarsi ai valori medi di grandezze che ne caratterizzano il moto: velocità
media, energia media, ecc. La teoria cinetica si basa sull’assunzione di alcune ipotesi:
• Il volume occupato dalle molecole è trascurabile rispetto al volume occupato dal gas.
• Le molecole si muovono velocemente in linea retta e in modo casuale.
• Le molecole non si attraggono o respingono.
• Le molecole urtano elasticamente le pareti del recipiente o le altre molecole
• La pressione è dovuta agli urti delle molecole sulle pareti del contenitore.
Come si può notare, le ipotesi precedenti descrivono il comportamento dei gas ideali, visti
nel paragrafo precedente.
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4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA
4.7.2
55
Pressione del gas
La pressione è spiegata dalla teoria cinetica come conseguenza delle forze esercitate dalle
collisioni delle molecole del gas con le pareti del recipiente. Le leggi della meccanica ci
permettono di trovare la pressione dovuta a tutte le molecole. Per ottenerla, bisogna calcolare
la rapidità di variazione della quantità di moto delle particelle che è uguale alla forza esercitata
dalle pareti sulle molecole. Per la terze legge di Newton, questa forza è uguale a quella che
le molecole fanno sulla parete e dividendo per l’area della parete, si ottiene finalmente la
pressione.
Supponiamo che le N molecole di massa m che compongono il gas siano contenute in un parallelepipedo
di volume V e che il gas si trovi all’equilibrio. Vogliamo calcolare la forza esercitata da queste molecole
sulla parete perpendicolare all’asse x, di area A. Come si vede dalla figura a fianco, l’unica componente
della velocità che varia durante l’urto è la componente lungo l’asse x, mentre i moduli restano uguali, dato
che l’urto è elastico. Allora avremo:
0
0
0
mvx = −mvx mvy = mvy ; mvz = mvz
(4.21)
∆px = −mvx − mvx = −2mvx
(4.22)
quindi:
Possiamo ora stimare la forza media che la parete
esercita sulla molecola. Una particella collide con la
parete in media una volta ogni 2L/vx unità di tempo
(deve fare un’andata e ritorno), dove L è la lunghezza
del contenitore nella direzione x. La forza risultante
esercitata è quindi:
F =
∆px
.
∆t
(4.23)
La pressione esercitata dal gas si ottiene dividendo F per l’area A e per il terzo principio
della dinamica cambiando il segno. Perciò :
p=−
F
−2mvx
mvx2
=−
=
A
V
A 2L
v
(4.24)
x
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4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA
56
La pressione totale esercitata dal gas sulla parete è quindi la somma di tutte le pressioni
esercitate dalle molecole:
N
mX
p=
(vx )2i
(4.25)
V
i=1
Definiamo il valore quadratico medio della velocità lungo x, come media del quadrato delle
velocità lungo la direzione x per tutte le N molecole:
N
1 X 2
vix
N
vx2 =
(4.26)
i=1
La pressione lungo la direzione x è allora:
p=
N
mvx2
V
(4.27)
N è il numero di particelle pari a N = n · NA , e poiché per definizione m · NA = M dove M
è la massa molare, possiamo riscrivere la pressione come:
p=
n · M · vx2
V
(4.28)
Per ipotesi il gas ha distribuzione uniforme quindi per le velocità medie, sussiste la relazione:
1
vx2 = vy2 = vz2 = v 2
3
(4.29)
Definiamo la velocità quadratica media vq come:
vq2 = v 2
(4.30)
abbiamo per la pressione:
p=
M · n · vq2
3V
(4.31)
L’Eq.(4.31)) mette in relazione la velocità delle molecole con la pressione che esse esercitano sul recipiente. Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti: pV = nRT , possiamo
estrapolare una stima della velocità quadratica media:
vq2 =
3RT
M
(4.32)
Da quest’ultima si deduce che la velocità delle molecole è direttamente proporzionale alla
temperatura e dipende ovviamente dalla massa molare delle molecole.
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4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA
4.7.3
57
Energia cinetica e energia interna
L’energia cinetica media di una molecola del gas è data da:
N
1 X1
Ec =
mv 2
N
2 i
(4.33)
i=1
Usando le relazioni (4.30) e (4.32), si ottiene:
1
1 3RT
Ec = m · vq2 = m
.
2
2
M
Ricordando che M/m = NA e che R/NA = k, si ha:
Ec =
3
3RT
= kT
2NA
2
,
(4.34)
(4.35)
cioè la temperatura è una misura dell’energia cinetica media delle molecole. Questa formula, come quella precedente per la pressione, mette in relazione una grandezza microscopica
come l’energia cinetica delle particelle di gas e una grandezza macroscopica come la loro
temperatura.
L’espressione (4.35) è però valida solo per molecole assimilate a un punto che possono
compiere solo un moto di traslazione. In fisica statistica, si può dimostrare che l’energia
cinetica media di un sistema di molecole in equilibrio termico si divide equamente fra tutti
i gradi di libertà, e ogni grado di libertà possiede un’energia pari a kT /2. Ad esempio un
molecola biatomica possiede cinque gradi di libertà: oltre ai tre di traslazione del centro di
massa, ne possiede due per gli angoli di rotazione del suo asse. Questo teorema dovuto a
Boltzmann prende il nome di legge di equipartizione e l’equazione (4.35) assume la forma
seguente:
f
kT ,
(4.36)
2
dove f è il numero di gradi libertà delle molecole che compongono il gas. Se il gas contiene
N molecole, si definisce come energia interna U la grandezza:
Ec =
U=
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f
f
N kT = nRT
2
2
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,
(4.37)
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4.7. INTERPRETAZIONE MOLECOLARE DELLA TEMPERATURA
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Capitolo 5
Accenni di termodinamica
5.1
5.1.1
Il calore
Il calore specifico
In una scatola di polistirolo contenente una massa m1 d’acqua fredda alla temperatura iniziale
T1 , poniamo un recipiente di vetro con pareti sottili riempito con una massa m2 di alcool alla
temperatura T2 e leggiamo la temperatura finale T del sistema, dopo aver atteso l’equilibrio
termico. (Fig. 5.1).
m1t1
m2t2
t
Figura 5.1:
Si osserva che la temperatura finale T è data dalla relazione:
m1 (T − T1 ) = 0.57 · m2 (T2 − T ) .
(5.1)
In generale, quando si pongono in contatto termico due sostanze qualunque, vale la
relazione:
m1 c1 (T − T1 ) = m2 c2 (T2 − T ),
(5.2)
dove c1 e c2 sono due costanti che dipendono dalle sostanze considerate (ad esempio, se
poniamo c = 1 per l’acqua, per l’alcool c vale 0.57).
59
5.1. IL CALORE
60
Supponiamo che il riscaldamento della sostanza fredda sia dovuto all’acquisto di qualcosa,
che la sostanza più calda le cede. A questa nuova grandezza diamo inoltre il nome di calore
e le associamo il simbolo Q. In altre parole, il calore è trasferimento di energia tra due corpi
inizialmente a temperature diverse ed è quindi energia in transito.
A tal proposito osserviamo che nella relazione (5.2) compaiono nel termine di sinistra
solo grandezze fisiche relative alla sostanza 1, in quello di destra solo grandezze relative alla
sostanza 2. Questo fatto ci suggerisce di prendere il prodotto m1 c1 (T − T1 ) quale misura del
calore acquistato dalla sostanza 1 ed il prodotto c2 m2 (T2 − T ) quale misura del calore ceduto
dalla 2.
Quindi il calore ceduto o acquistato da un corpo risulta essere proporzionale alla massa e
alla variazione di temperatura subita dalla medesima e la relazione (5.2) diventa allora la
traduzione matematica dell’ipotesi:
|calore ceduto da una sostanza| = |calore acquistato dall’altra|.
Quale unità di misura del calore si può scegliere indifferentemente la quantità di calore necessaria ad aumentare (o diminuire) di 1 ℃ la temperatura di 1 g d’acqua o di un’altra sostanza.
Siccome però a dipendenza della sostanza tale quantità generalmente cambia, si è convenuto
di riferirsi sempre all’acqua. L’unità di misura cosı̀ definita è stata chiamata caloria (cal). La
relazione matematica, che esprime il calore ceduto o acquistato da una sostanza qualsiasi,
diventa in generale:
Q = m c ∆T ;
(5.3)
dove
m
∆T
= massa del corpo,
= differenza fra la temperatura finale e quellainiziale di m
e la grandezza c è una caratteristica di ogni sostanza. Essa viene chiamata calore specifico
della sostanza ed esprime quanto calore deve acquistare (o cedere) una massa unitaria per
riscaldarsi (o raffreddarsi) di un’unità di temperatura. Siccome abbiamo introdotto un’unità
di misura per il calore, automaticamente anche il calore specifico non è più rappresentato da
un numero puro ma assume l’unità di misura cal/(g · ℃). Quindi nel caso dell’acqua il calore
specifico deve valere 1cal/g · ℃.
In generale, essendo il calore una forma di energia, si usa il joule come unità di misura.
Fra joule e caloria, vale la relazione seguente:
1 cal = 4.19 J.
(5.4)
Nel S.I. il calore specifico dell’acqua diventa perciò 4.19·103 J/(kg · K).
Si osservi che il calore definito dalla 5.3 può essere sia positivo, se acquistato, sia negativo,
se ceduto, mentre nella 5.2 compaiono solo termini positivi in quanto si eguagliano i valori
assoluti delle quantità di calore. Usando la definizione 5.3 possiamo riscrivere la 5.2 nel modo
seguente:
m1 c1 (T − T1 ) + m2 c2 (T − T2 ) = 0,
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5.1. IL CALORE
61
da cui si ricava:
Q1 + Q2 = 0.
Si tratta di un’equazione di bilancio termico, che esprime la conservazione dell’energia in un sistema isolato termicamente con l’esterno. Tale equazione è facilmente
generalizzabile ad un sistema composto da più di due corpi. In tal caso si ha:
n
X
Qi = Q1 + Q2 + · · · + Qn = 0.
(5.5)
i=1
I termini da Q1 a Qn possono assumere sia valore positivo che negativo in accordo con la
definizione di calore data dalla 5.3. Il vantaggio di scrivere l’equazione di bilancio termico in
questo modo sta nel fatto di non dover conoscere a priori quali siano i corpi che acquistano
e quali siano quelli che perdono calore.
Dalla tabella 5.1 si nota che il calore specifico di una sostanza allo stato liquido può essere
assai diverso da quello della stessa sostanza allo stato solido. Inoltre i gas mostrano calori
specifici differenti a dipendenza del fatto che il riscaldamento avvenga a pressione o a volume
costante. Infine è interessante rilevare che l’acqua ha un calore specifico fra i più alti.
5.1.2
La capacità termica
Talvolta è utile usare il concetto di capacità termica (simbolo C), soprattutto quando si è in
presenza di oggetti composti da materiali diversi (ad esempio un termometro, un calorimetro,
ecc.). Essa è definita dalla relazione
C = m1 c1 + m2 c2 + · · · + mn cn
(5.6)
ed esprime la quantità di calore necessaria per produrre un riscaldamento unitario dell’oggetto. Il calore acquistato o ceduto da un oggetto può quindi essere calcolato mediante la
capacità termica ed il cambiamento di temperatura:
Q = m1 c1 ∆T + m2 c2 ∆T + · · · + mn cn ∆T
= (m1 c1 + m2 c2 + · · · + mn cn )∆T
(5.7)
= C · ∆T.
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5.2. EQUILIBRIO TERMODINAMICO
62
cal/(g· ℃)
kJ/(kg·K)
alluminio
0.214
0.896
rame
0.092
0.383
ottone
0.092
0.380
ferro
0.108
0.452
ghisa
0.129
0.540
0.20−0.25
0.84−1.05
polistirolo
0.35
1.46
vetro di Jena G20
0.191
0.800
ghiaccio
0.50
2.05
acqua
1.00
4.19
mercurio
0.033
0.139
alcool etilico
0.57
2.43
aria
0.240
1.005
p costante
aria
0.171
0.717
V costante
idrogeno
3.420
14.32
p costante
idrogeno
2.431
10.18
V costante
calcestruzzo
Tabella 5.1: Calori specifici di alcune sostanze
5.2
Equilibrio termodinamico
Abbiamo visto che è teoricamente impossibile determinare il legame fra i movimenti molecolari e le proprietà delle sostanze. Alcune di queste possono però essere studiate limitandosi a
grandezze macroscopiche che caratterizzano la sostanza nel suo insieme, come ad esempio la
temperatura e la pressione.
Per studiare le proprietà della materia legate alle agitazioni termiche delle particelle, si
usano inoltre leggi generali sempre valide indipendenti dalla natura dei movimenti molecolari.
Queste leggi riguardano l’energia, le sue variazioni e le grandezze che vi sono associate. Il
ramo della fisica che si occupa di questo studio è la termodinamica.
Un interesse particolare acquista la trasformazione di energia meccanica in calore e viceversa, tramite cosiddette macchine termiche. In questo paragrafo ci limiteremo alla termodinamica dell’equilibrio. Un sistema si trova in equilibrio termodinamico se le grandezze
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5.3. PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
63
macroscopiche che definiscono il suo stato non variano ma si limitano a fluttuare attorno al
loro valore medio.
Lo stato d’equilibrio è lo stato verso il quale tende ogni sistema molecolare in assenza di
forze esterne. Stabilito l’equilibrio, il sistema non ritorna più allo stato iniziale. Al contrario
dei movimenti meccanici, i fenomeni molecolari sono quindi irreversibili. Questo fatto apparentemente contradditorio si spiega con il grandissimo numero di particelle nel sistema e il
completo disordine del loro moto. Si può in verita chiarire in modo abbastanza semplice che
il processo reversibile spontaneo è possibile, ma altamente improbabile.
5.3
Primo principio della termodinamica
In ogni sistema è contenuta una certa quantità di energia, in varie forme, che viene perciò
definita energia interna del sistema. In un gas questa energia è essenzialmente l’energia
cinetica totale delle molecole in movimento. Esistono due modi per modificare l’energia
interna di un corpo: fornendo calore o compiendo un lavoro sul sistema. Sappiamo che
l’energia interna del gas dipende dalla sua temperatura, infatti maggiore è questa e più
velocemente le molecole del gas si muovono. Quando forniamo calore ad un gas vediamo
che la sua temperatura aumenta, quindi aumenta anche la sua energia interna. Allo stesso
modo se comprimiamo il gas, facendo quindi lavoro sul sistema, aumentiamo la sua energia
interna. Da qui nasce il primo principio della termodinamica, che non è altro se non una
generalizzazione del principio di conservazione dell’energia:
Il lavoro realizzato da un sistema è uguale alla differenza fra la quantità di calore ricevuta
e la sua variazione di energia interna
Chiamiamo L il lavoro e U l’energia interna, si
può allora scrivere:
L↑ = Q↓ − ∆U , ossia
∆U = Q↓ − L↑ . (5.8)
Qui useremo la convenzione in cui la freccia su
(↑) indica grandezza fornita dal sistema all’esterno, freccia giù (↓), grandezza fornita dall’esterno
al sistema, come indicato nella figura a fianco.
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5.4. LAVORO DI UN GAS E DIAGRAMMA PV
5.4
64
Lavoro di un gas e diagramma pV
Un gas in espansione fornisce un lavoro meccanico. Analogamente, per comprimerlo, bisogna
fornire lavoro dall’esterno. Supponiamo che il gas sia contenuto in un recipiente chiuso da un
pistone mobile a tenuta perfetta e non soggetto a attriti (vedi Fig.5.2).
Figura 5.2: Gas racchiuso in un cilindro isolato termicamente e munito di un pistone mobile
Se il pistone viene spostato di una lunghezza dz da una forza F fornita dall’esterno, si ha
che:
dL = F dz = p A dz = p dV
(5.9)
Dato che durante l’espansione (o la compressione), la pressione può variare, per calcolare
il lavoro per una variazione di volume qualsiasi (∆V = V2 − V1 ), bisognerà conoscere la
pressione in funzione del volume. Abbiamo visto nel capitolo precedente che lo stato di un
gas è determinato dalle tre variabili di stato P, V, T legate fra loro dall’equazione di stato
P V = nRT . È consuetudine in termodinamica rappresentare questi stati in un cosiddetto
grafico P − V dove a ogni punto (V, P ) è associata una temperatura T (e quindi un’energia
interna U ).
Perciò, dalla (5.9), per calcolare il lavoro totale, bisogna calcolare l’area sotto il grafico di
p in funzione di V , vale a dire l’integrale di p(V ):
Z
V2
L=
p(V ) dV
(5.10)
V1
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5.5. BILANCIO ENERGETICO NELLE TRASFORMAZIONI PRINCIPALI
65
Figura 5.3: Il lavoro L è l’area sotto il grafico P(V)
5.5
Bilancio energetico nelle trasformazioni principali
Vogliamo ora analizzare nuovamente le tre trasformazioni (Boyle e Gay-Lussac) considerate in
precedenza alla luce di questo principio ed aggiungerne un’altra, la trasformazione adiabatica.
In particolare, verrà fatto un bilancio energetico nelle suddette trasformazioni da uno stato
(P1 , V1 , T1 ) a uno stato (P2 , V2 , T2 ).
5.5.1
Trasformazione isoterma
In questo caso la temperatura del gas non varia e quindi nemmeno la sua energia interna.
Perciò, dato che ∆U = 0, Q↓ = L↑ , tutto il calore fornito al gas si converte in lavoro. Con
l’equazione di stato, abbiamo che
p(V ) =
nRT
V
(5.11)
e usando la (5.10), si ha
Q↓ = L↑ =
Z
V2
V1
5.5.2
nRT
V2
dV = nRT ln
V
V1
(5.12)
Trasformazione isocora
In questa trasformazione il volume resta costante, quindi il gas non può compiere nessun
lavoro. Perciò, dato che L↑ = 0, Q↓ = ∆U , tutto il calore che viene fornito al gas va a variare
la sua energia interna e quindi la sua temperatura. Viceversa se il sistema cede calore, la sua
energia interna diminuisce e quindi il gas si raffredda. Si ha quindi che:
Q↓ = ∆U = ncV (T2 − T1 )
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(5.13)
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5.5. BILANCIO ENERGETICO NELLE TRASFORMAZIONI PRINCIPALI
5.5.3
66
Trasformazione isobara
In questa trasformazione non vi è nessuna grandezza che si conservi: infatti il sistema compie
o subisce lavoro, assorbe o cede calore e quindi la sua energia interna e la sua temperatura
variano. In questo caso, dato che la pressione rimane costante, il lavoro è semplicemente dato
dal prodotto tra la variazione di volume e la pressione P = P1 = P2 , vale a dire:
L↑ = P ∆V = P1 (V2 − V1 ) = nR(T2 − T1 ) .
(5.14)
Il primo principio fornisce quindi che:
Q↓ = ∆U + L↑ = ncV ∆T + nR∆T = ncP ∆T
(5.15)
dove la grandezza cP = cV + R è il calore specifico a pressione costante.
5.5.4
Trasformazione adiabatica
Se il sistema è termodinamicamente isolato dall’ambiente, ossia se non vi sono scambi di
calore con l’esterno, si parla di trasformazione adiabatica (Q↓ = 0). In questo caso tutto il
lavoro compiuto dal gas va a discapito della sua energia interna, per cui:
L↑ = −∆U = ncV (T1 − T2 ).
(5.16)
Si può dimostrare (vedi esercizi) che esistono le seguenti relazioni fra i parametri nella
trasformazione adiabatica:
• pV γ = cost
• T V γ−1 = cost
• T γ P 1−γ = cost
dove γ = cP /cV .
5.5.5
Variazione delle grandezze in una trasformazione reversibile
La tabella seguente riassume i bilanci energetici nelle quattro trasformazioni viste nei paragrafi precedenti.
Trasformazione
Q
L
∆U
isocora
ncv ∆T
0
ncv ∆T
isobara
ncp ∆T
nR∆T
ncv ∆T
isoterma
L
nRT ln(V2 /V1 )
0
adiabatica
0
−ncv ∆T
ncv ∆T
Tabella 5.2: I valori di Q, L, ∆U nelle quattro trasformazioni
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5.5. BILANCIO ENERGETICO NELLE TRASFORMAZIONI PRINCIPALI
67
In questo paragrafo, vogliamo analizzare le trasformazioni viste nei in precedenza passando
da uno stato C a uno stato B, come illustrato in Fig.5.4, mostrando esplicitamente che essendo
gli stati iniziali e finali identici in tutte le trasformazioni, la variazione di energia interna è
nulla. A tale scopo, calcoliamo i valori Q, L e ∆U per tutte le trasformazioni indicate nella
Fig.5.4. Si ottengono cosı̀ i valori riportati nella tabella (5.3)
Figura 5.4: Rappresentazione delle quattro trasformazioni principali passando dallo stato C
allo stato B
Trasformazione
Q
L
∆U
isocora
A→B
-9019
0
-9019
isobara
C→A
+15019
+6000
+9019
isoterma
C→B
+4160
+4160
0
adiabatica
C→F
0
+3323
-3323
isocora
F →B
+3323
0
+3323
Tabella 5.3: I valori di Q, L, ∆U (in Joule) nelle diverse trasformazioni per passare dallo stato
C allo stato B
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5.5. BILANCIO ENERGETICO NELLE TRASFORMAZIONI PRINCIPALI
68
Per le trasformazioni globali che conducono da C a B, si ottiene quindi:
• Trasformazione C → A → B:
Q
= 6000 J
L
= 6000 J
∆U
=
0
• Trasformazione C → B:
Q
= 4160 J
L
= 4160 J
∆U
=
0
• Trasformazione C → F → B:
Q
= 3323 J
L
= 3323 J
∆U
=
0
Come si può vedere, la variazione di energia interna è sempre uguale, qualunque sia la
trasformazione mediante la quale si realizza il passaggio da C a B. In verità, è persino nulla,
perché i due stati sono sulla medesima isoterma. Non è cosı̀ invece per il calore e il lavoro,
che dipendono strettamente dalle trasformazioni intermedie.
Si dice che l’energia interna è una funzione di stato. Un funzione di stato è una funzione
la cui variazione dipende solo dagli stati iniziale e finale del sistema, e non da come si passa
da uno all’altro.
5.5.6
Calore specifico dei gas ideali
Abbiamo visto nel paragrafo (5.1.1) il concetto di calore specifico. In termodinamica, con i
gas, viene spesso usato il calore molare, riferito cioè a una mole di sostanza. Come si può
dedurre dalle equazioni (4.37) e (5.13), il calore specifico molare a volume costante cV per un
gas ideale monoatomico è dato da:
cV =
∆U
3
= R.
∆T
2
(5.17)
Di conseguenza, dalla (5.15), si deduce che cp = 5R/2 e γ = 5/3. Per un gas biatomico dove
i gradi di libertà sono cinque (f = 5), cV = 5R/2, cp = 7R/2 e γ = 7/5.
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Capitolo 6
Il trasporto di calore
6.1
6.1.1
La conduzione
La conduzione termica di una sbarra omogenea
Una sbarra di metallo collega un bagno alla temperatura T1 con uno alla temperatura T2
(Fig. 6.1).
t1u
t1u
t1u
t1
t1u
t2
x
Figura 6.1: Conduzione termica lungo una sbarra di metallo
Le due temperature sono regolate mediante l’afflusso e deflusso d’acqua. Ci interessiamo
qui all’andamento della temperatura in funzione della posizione x nella sbarra, quando quest’ultima è isolata termicamente lungo tutta la sua lunghezza: scambi di calore sono quindi
possibili solo fra le estremità. La misura delle temperatura nella sbarra avviene mediante
dei termometri equidistanti tra di loro. Prima d’iniziare l’esperienza le temperature dei due
bagni e della sbarra sono uguali, si ha cioè l’equilibrio termico. Se innalziamo bruscamente la
temperatura T1 avendo cura di mantenere T2 invariata, si osservano allora in istanti di tempo
successivi le distribuzioni di temperatura di Fig. 6.2.
69
6.1. LA CONDUZIONE
70
situazione iniziale
θ1
dopo variazione di temperatura
temperatura θ
piu tardi
dopo molto tempo
θ2
posizione x
Figura 6.2: Distribuzioni della temperatura lungo la sbarra
Dopo tanto tempo si ha quindi una distribuzione lineare della temperatura in funzione di
x che non varia più: si dice che si è raggiunto il regime stazionario (la situazione precedente
si chiama regime transitorio). Per mantenerlo occorre scaldare continuamente il bagno di
sinistra e raffreddare quello di destra: del calore sfugge continuamente attraverso la sbarra.
Si dice perciò che essa conduce il calore.
Se il bagno di sinistra è pure isolato termicamente verso l’esterno ed è totalmente riempito,
possiamo determinare la quantità di calore che occorre fornire in un dato tempo, misurando
la massa m1 d’acqua che circola in quel tempo e la sua diminuzione di temperatura T1,e −T1,u :
Qfornito = cacqua m1 (T1,e − T1,u ).
(6.1)
Analogamente, il calore che si asporta dal bagno di destra si può determinare con la relazione:
Qasportato = cacqua m2 (T2,u − T2,e ),
(6.2)
dove m2 è la quantità d’acqua di raffreddamento che circola nell’intervallo di tempo scelto.
L’esperienza mostra che nel caso stazionario vale:
Qfornito = Qasportato ,
cioè il calore scorre nella sbarra senza accumularsi: se esiste un afflusso di calore a sinistra occorre un deflusso identico a destra. Chiamiamo flusso di calore Φ il calore fornito o asportato
in un dato intervallo di tempo ∆t diviso per tale tempo. Quindi definiamo:
Φ=
Qfornito
Qasportato
=
.
∆t
∆t
(6.3)
Esaminiamo ora da quali grandezze dipende Φ e in che modo. Se si modifica ad esempio
una delle temperature Ti (i = 1, 2) e si attende il nuovo stato stazionario, l’esperienza mostra
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6.1. LA CONDUZIONE
71
che
Φ ∼ (T1 − T2 );
(6.4)
cioè che il flusso di calore dipende in modo direttamente proporzionale solo dalla differenza
di temperatura fra le due estremità della sbarra.
Modificando invece la lunghezza d della sbarra si trova, a parità di temperature e di sezione:
Φ∼
1
.
d
(6.5)
Il flusso di calore deve essere inoltre direttamente proporzionale all’area A della sezione, come
conferma anche l’esperienza:
Φ ∼ A.
(6.6)
Infine il flusso di calore dipende dal materiale di cui è costituita la sbarra. Le tre relazioni
(6.4), (6.5) e (6.6) si possono riassumere in:
Φ=λ
(T1 − T2 )
A
d
(legge di Fourier),
(6.7)
dove λ è il coefficiente di conducibilità termica (o semplicemente conduttività termica). Esso
dipende dal materiale e rappresenta la quantità di calore (in J o kcal) che attraversa nell’unità
di tempo un elemento di lunghezza (in m) e sezione (in m2 ) unitarie, quando la differenza di
temperatura fra le estremità è anch’essa unitaria (in K o in ℃). Un’unità di misura possibile
kcal
J
W
per λ è la m·h·
℃ , ma nel S.I si adopera il m·s·k = m·k .
Il simbolo W(= J/s) sta per watt. Come abbiamo già visto, tale unità di misura viene
usata per grandezze fisiche quali la potenza P (meccanica, termica o elettrica), ma anche per
il flusso di calore Φ, che rappresenta energia per unità di tempo.
Nella Tabella 6.1 sono riportati valori di λ per diversi materiali. Si può notare che λ
è alto per i metalli ma dipende molto dal loro grado di purezza. I liquidi e soprattutto i
gas in quiete hanno invece delle conduttività termiche molto basse. I materiali isolanti quali
il polistirolo, il poliuretano e la lana minerale devono il loro potere isolante alla presenza
d’aria (o d’anidride carbonica nel caso del poliuretano), che è racchiusa in spazi ristretti per
impedirne il movimento. A seconda delle dimensioni di tali spazi, e quindi della densità del
materiale, si modifica l’incidenza relativa dei tre effetti (conduzione, convezione e irraggiamento) responsabili del trasporto di calore in un isolante termico. Nel caso del polistirolo
esiste una densità ottimale in cui la somma dei tre effetti è minima (Fig. 6.3).
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6.1. LA CONDUZIONE
72
0℃
20 ℃
100 ℃
500 ℃
argento
428
428
420
390
rame
395
395
390
360
oro
312
312
312
294
alluminio
239
239
237
220
zinco
113
112
110
ottone (70% Cu/ 30% Zn)
110
112
128
ferro
82
80
72
piombo
35
35
34
acciaio (18% Cr/ 8% Ni)
14.2
14.5
15.7
21
porcellana
1.40
1.42
1.45
1.70
vetro al quarzo
1.35
1.36
1.42
2.10
vetro di Jena G20
1.17
mercurio
8.2
44
acqua ferma
0.552
0.598
0.682
idrogeno
0.173
0.182
0.222
0.384
elio
0.142
0.148
0.171
0.300
ossigeno
0.0244
0.0255
0.0307
0.060
azoto
0.0242
0.0255
0.0307
0.056
aria
0.0242
0.0256
0.0312
0.057
anidride carbonica
0.0143
0.0158
0.0213
0.056
Materiali impiegati nell’edilizia:
calcestruzzo armato
1.8
vetro per finestra
0.81
mattoni
0.37−0.44
sughero (in lastre)
0.042
lana di vetro (< 60 kg/m3 )
0.040
polistirolo estruso ( > 25 kg/m3 )
0.036
Tabella 6.1: Conduttività termica di alcune sostanze in W/m K, alla pressione di 1 atm
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6.1. LA CONDUZIONE
73
0.04
0.038
0.036
λ
0.034
0.032
0.03
0.028
0.026
0
20
40
60
80
100
120
densità
Figura 6.3: Conduttività termica del polistirolo in funzione della densità
6.1.2
La conduzione termica di una parete stratificata
Studiamo ora la conduzione del calore attraverso una parete costituita da due strati adiacenti
(figura 6.4) con conduttività termiche l1 e l2 differenti, nel caso del regime stazionario.
t1
p
ts
t2
0000000
1111111
1111
0000
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
l1
l2
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
d1
p
d2
Figura 6.4:
Siccome la temperatura non varia nel tempo, il flusso di calore attraverso qualsiasi sezione
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6.1. LA CONDUZIONE
74
verticale sarà lo stesso. Ogni strato si comporta come una sbarra omogenea e quindi possiamo
applicare la legge di Fourier due volte:
Φ = λ1
(T1 − Ts )
(Ts − T2 )
A = λ2
A,
d1
d2
(6.8)
dove Ts è la temperatura sulla superficie di separazione. Inoltre la distribuzione della temperatura in ogni strato sarà lineare (Fig. 6.5).
t
t1
ts
t2
x
d1
d2
Figura 6.5:
Per il calcolo seguente è comodo introdurre la trasmissione termica Λ di uno strato, definita
secondo:
λ
Λ= ,
(6.9)
d
la quale rappresenta il flusso di calore attraverso una superficie unitaria (1 m2 ) quando la
differenza di temperatura fra le due estremità di una parete omogenea di spessore d è anch’essa
unitaria (1 K). La sua unità di misura sarà pertanto nel S.I. il W/(m2 · K).
Dalla (6.8) segue con Λ1 = λ1 /d1 e Λ2 = λ/ d2 :
Λ1 (T1 − Ts ) = Λ2 (Ts − T2 ),
da cui
Ts =
Λ1 T1 + Λ2 T2
;
Λ1 + Λ 2
(6.10)
e risostituendo ad esempio nella prima parte della (6.8) si ha per il flusso di calore:
Λ1 T1 + Λ2 T2
Φ = Λ1 T1 −
A
Λ1 + Λ 2
Λ1 Λ2
=
(T1 − T2 )A.
Λ1 + Λ 2
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(6.11)
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6.2. LA CONVEZIONE
75
Introducendo la trasmissione termica Λp della parete, definita con
Λp =
Λ1 Λ2
,
Λ1 + Λ2
(6.12)
si ha infine:
Φ = Λp (T1 − T2 )A.
(6.13)
La relazione (6.13) ci dice che il flusso di calore è proporzionale a (T1 − T2 ) e ad A, come
nel caso della sbarra o di una singola parete omogenea, e che i due strati si comportano
come un’unica parete la cui trasmissione termica è data dalla (6.12). Con quest’ultima si può
verificare facilmente che Λp è sempre più piccolo di Λ1 e Λ2 . Infatti se si calcola dalla (6.12)
la cosiddetta resistenza termica di una parete
Rp =
1
1
1
=
+
,
Λtot
Λ1 Λ2
(6.14)
si vede che l’aggiunta di 1/Λ2 fa aumentare il valore di 1/Λ1 e quindi diminuire quello di Λp .
Generalizzando i risultati ottenuti si può verificare che per una parete costituita da n strati
vale ancora la (6.13), dove però la resistenza alla conduzione termica è da calcolarsi secondo
la formula:
1
1
1
1
Rp =
=
+
+ ··· +
.
(6.15)
Λp
Λ1 Λ2
Λn
La resistenza termica rappresenta la differenza di temperatura ∆T fra le estremità di una
parete (semplice o composta) affinché il flusso di calore attraverso una sezione unitaria (1 m2 )
sia anch’esso unitario (1 W ). La sua unità di misura risulta pertanto essere nel S.I. il (K ·
m2 )/W .
6.2
La convezione
I fluidi hanno una conducibilità termica molto bassa. Se il calore si propagasse al loro interno
solo per conduzione, ci vorrebbero persino ore per riscaldare in modo uniforme una pentola
d’acqua con un fornello. Ma nei fluidi, interviene anche un altro processo, la convezione, che
rende molto più rapida la propagazione del calore.
Mettendo un recipiente pieno di acqua su una fiamma (Fig.6.6), lo strato di acqua a
contatto con il fondo si riscalda per primo. L’aumento di temperatura dilata l’acqua in
quella zona e diminuendo la sua densità , per il principio di Archimede, essa sale verso la
superficie. Nel frattempo, sul fondo del recipiente scende dall’alto acqua più fredda che
subendo lo stesso processo, si riscalda e sale. Si producono cosi delle correnti convettive che
la rimescolano continuamente.
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6.2. LA CONVEZIONE
76
Figura 6.6: Convezione e conduzione riscaldando un pentolino
Queste correnti non si creano invece se si riscalda lo strato superiore di acqua, e il trasporto
di calore avviene per sola conduzione, come si potrebbe notare ponendo dei termometri a
diverse profondità (vedi Fig.6.6 a destra). In generale quindi, la propagazione di calore
avviene per convezione quando vi sono differenze di densità all’interno del fluido (dovute
alla differenza di temperatura) che generano correnti che trasportano il calore all’interno
del fluido. Per questo motivo, non può esserci convezione in un solido dato che le molecole
possono muoversi solo intorno alla loro posizione di equilibrio.
Consideriamo un fluido, per esempio aria, in contatto termico con una parete. Se la
temperatura dell’aria è superiore (o inferiore) a quella superficiale della parete, si ha un
flusso di calore dall’aria verso la parete (o viceversa). Lungo lo strato d’aria in immediata
vicinanza della superficie della parete si osserva una caduta di temperatura, il cui andamento
è riportato in Fig. 6.7.
t
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
t1
t2
x
Figura 6.7:
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6.2. LA CONVEZIONE
77
Si nota inoltre che la distribuzione di temperatura non è lineare per cui la trasmissione del
calore non può essere descritta dalla sola legge della conduzione. Quest’ultima infatti è valida
a rigore solo per l’aria immobile mentre l’esperienza insegna che lo strato d’aria in prossimità
della superficie della parete è in movimento (Fig. 6.8). Del calore viene quindi trasportato con
l’aria stessa cioè per convezione. Se il moto è generato unicamente da differenze di densità
dovute a loro volta a temperature diverse all’interno della massa d’aria, si parla di convezione
libera, se invece è generato da un fattore esterno, come un ventilatore o una pompa, si parla
di convezione forzata.
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000t2
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
t1
Figura 6.8:
L’effetto combinato della conduzione e della convezione può essere descritto matematicamente da una legge analoga a quella di Fourier se si introduce un coefficiente idoneo e
chiamato coefficiente di trasmissione termica superficiale . Si ha cioè
0
Φ = α(T1 − T1 )A,
(6.16)
0
dove T1 è la temperatura del fluido e T1 quella superficiale della parete. Il coefficiente α dipende dalla levigatezza della parete e dal movimento del fluido, che a sua volta è influenzato
0
dalla differenza di temperatura (T1 − T1 ) nonché dalla forma e dalle dimensioni della parete.
Il calcolo di α è di solito impossibile o per lo meno molto complicato e impreciso per cui in
generale si introducono nella (6.16) dei valori sperimentali di α. Nella Fig. 6.9 sono riportati
degli ordini di grandezza del coefficiente α.
Occorre sempre tenere presente che, a differenza della legge di Fourier, la (6.16) non rappresenta neppure approssimativamente una relazione di linearità fra flusso Φ e differenza di
temperatura ∆T .
Se una parete separa due fluidi, come avviene per esempio nel caso di un muro (ariamuratura-aria) o di un corpo riscaldante (acqua-metallo-aria), si osservano dei fenomeni
convettivi sui due lati della parete (Fig. 6.10).
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6.2. LA CONVEZIONE
78
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
aria
4...10
acqua
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
100...1000
piastra
Figura 6.9: Ordini di grandezza di α in W/m2 K per situazioni di convezione termica
naturale.
a1
t
L
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
a2
p
t1
t11
t21
t2
x
Figura 6.10:
I due strati d’aria contribuiscono dunque all’isolamento termico e perciò dobbiamo tenerne
conto, se vogliamo calcolare il flusso termico Φ utilizzando le temperature T1 e T2 . Data
l’analogia fra la (6.13) e la (6.16), si definisce un coefficiente totale di trasmissione termica –
indicato con k:
1
1
1
1
=
+
+
,
(6.17)
k
α1 Λp α2
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6.2. LA CONVEZIONE
79
dove α1 e α2 sono i coefficienti di trasmissione termica superficiale dell’aria sui due lati della
parete. L’inverso di k viene chiamato resistenza termica totale della parete. Per il flusso di
calore si può dunque scrivere:
Φ = k(T1 − T2 )A.
(6.18)
Tutto quanto è stato trattato in questo capitolo riguarda esclusivamente l’apporto di
calore per conduzione e per convezione e non tiene conto del fatto che l’energia si può anche
trasmettere per irraggiamento. Un corpo può infatti essere riscaldato a distanza cioè senza
contatto materiale con il corpo riscaldante: è il caso del Sole, i cui raggi riscaldano la Terra
anche se tra i due corpi c’ è il vuoto. Nel caso particolare di una parete l’irraggiamento può
modificare le temperature superficiali, per cui la (6.16) e la (6.18) non valgono più. Resta
invece valida la (6.13), dove T1 e T2 sono le temperature delle due superfici.
ESEMPIO 6.1. Scambiatore di calore
Si consideri una piastra quadrata di rame dello spessore d = 3 mm e di lato ` = 50 cm, che
separa dell’acqua calda (in basso) alla temperatura T1 = 65.3 ℃ da acqua fredda (in alto) alla
temperatura T2 = 10.7 ℃ (figura 6.11).
t2
t21
P
acqua
11111111111111
00000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000000000
rame11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
d
acqua
t11
t1
Figura 6.11:
Con un’analisi di fluidodinamica si può mostrare che il moto dell’acqua sia sopra che
sotto la piastra è turbolento anche per una situazione di convezione libera: i coefficienti di
trasmissione termica superficiale valgono approssimativamente α1 = 7.2 · 102 W/(m2 · K) per
l’acqua calda e α2 = 4.5 · 102 W/(m2 · K) per l’acqua fredda.
Anche in questo esempio interessa conoscere il flusso termico Φ per unità di superficie e le
0
0
temperature superficiali T1 e T2 in regime stazionario. Il coefficiente di trasmissione termica
totale k si calcola seconda la 6.17:
k −1 = α1−1 +
d
W
+ α2−1 ⇒ k = 273 2
.
λ
m ·K
Il flusso areico Φ/A può essere espresso in vari modi:
λ
Φ
0
0
0
0
= k(T1 − T2 ) = α1 (T1 − T1 ) = (T1 − T2 ) = α2 (T2 − T2 ).
A
d
Dalle equazioni sopra riportate si ricavano tutte le temperature incognite.
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6.2. LA CONVEZIONE
80
ESEMPIO 6.2. Parete di mattoni non intonacata ma con isolamento termico
ai
m
l
ae
m
12
12
10
No
strato
d
(m)
λ
(W/m K)
α
(W/m2 K)
∆θ/∆Ttot
(%)
∆θ
℃
(i)
aria interna
−
−
8.0
3.5
0.7
1
mattoni interni
0.12
0.6
5.0
5.7
1.1
2
lana minerale
0.12
0.04
0.3
84.9
17.0
3
mattoni esterni
0.10
0.6
6.0
4.7
1 (∗)
(e)
aria esterna
−
−
23.0
1.2
0.2
100
20.0
θ
℃
20.0
19.3
18.2
1.2
0.2
0.0
0.34
(*) valore preciso a due cifre significative:
k=0.28 W/(m2 K)
0.94 ℃
25
20
temperatura
temperatura (´C)
15
10
5
0
-5
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
distanza (cm)
distanza
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
6.3
6.3.1
81
L’irraggiamento termico
Teoria generale
L’irraggiamento è una forma di trasmissione dell’energia che, al contrario della conduzione
e della convezione, non prevede contatto diretto tra gli scambiatori, e non necessita di un
mezzo per propagarsi. Inoltre, è un fenomeno che si presenta ad ogni temperatura e interessa
ogni aggregato materiale, non importa se solido, liquido o gassoso.
Come vedremo tra poco, la quantità di calore emessa da un corpo per irraggiamento è
proporzionale a T 4 , cioè alla quarta potenza della sua temperatura: perciò a basse temperature l’irraggiamento è responsabile di una frazione trascurabile del flusso di calore rispetto
alla convezione e alla conduzione, ma al crescere della temperatura la sua importanza aumenta rapidamente fino a diventare il principale artefice della trasmissione del calore per
temperature medio-alte.
Fisicamente l’irraggiamento consiste nell’emissione di onde elettromagnetiche generate
dagli atomi e molecole eccitati dall’agitazione termica, che si diseccitano emettendo fotoni di
lunghezza d’onda proporzionale alla loro temperatura. Queste radiazioni trasportano energia
e quando investono e vengono assorbite, provocano un aumento dell’energia delle molecole
e di conseguenza un aumento di temperatura. Bisogna notare che nell’irraggiamento, non
vi è trasporto di calore ma di energia elettromagnetica. Il calore viene prodotto quando la
radiazione viene assorbita dal corpo.
Sperimentalmente si osserva che la potenza raggiante P in watt emessa da un corpo
dipende dalla temperatura assoluta T della sua superficie secondo la relazione:
P = eAσT 4
Legge di Stefan-Boltzmann,
(6.19)
dove A è l’area, e è un numero compreso tra 0 e 1 chiamato emissività (o emettanza) del
corpo, mentre σ rappresenta la costante di Stefan-Boltzmann e vale:
σ = 5.6705119 · 10−8 W/(m2 · K 4 ).
punti di misura
2000
P (mW)
1500
∼ T4
1000
500
0
0
100 200 300 400 500 600 700 800
T (K)
Figura 6.12: Potenza termica irradiata da un corpo nero
Questo risultato fu trovato empiricamente da Josef Stefan nel 1879 e dedotta teoricamente
cinque anni dopo da Ludwig Boltzmann, da cui il nome della legge.
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
82
Si consideri un corpo caldo posto in un ambiente a temperatura più bassa. Il corpo emette
più radiazione di quanta ne assorba e quindi, si raffredda mentre l’ambiente esterno assorbe
radiazione dal corpo e sı̀ riscalda; a regime, il corpo e l’ambiente esterno raggiungono ia stessa
temperatura o sono in equilibrio termico. A questo punto il corpo assorbe tanta energia
quanta ne emette. Perciò, il coefficiente di assorbimento a deve essere uguale all’emissività e.
La potenza totale irraggiata da un corpo a temperatura T posto in un ambiente a temperatura
T0 può essere espressa nella forma
Ptot = eσA(T 4 − T04 )
(6.20)
Un corpo che assorba tutta la radiazione che incide su di esso ha l’emissività e = 1 ed
è chiamato corpo nero. Materiali come il velluto nero o il nerofumo sono molto vicini a un
corpo nero ideale, ma la migliore realizzazione pratica di un corpo nero ideale consiste in un
piccolo foro praticato in una cavità (Fig.6.13).
Figura 6.13: Una superficie chiusa molto scura, dotata di una piccola apertura costituisce un
corpo nero pressoché perfetto
La radiazione incidente sul buco ha poche probabilità di venire riflessa indietro fuori dal
buco, perché viene assorbita dalle pareti della cavità. Il concetto di corpo nero ideale è
importante perché le caratteristiche della radiazione da esso emessa possono essere calcolate
teoricamente
A temperature ordinarie (sotto circa 600 ℃), la radiazione termica emessa da un corpo
non è visibile; per la maggior parte è concentrata nella gamma degli infrarossi, vale a dire a
lunghezze d’onda molto maggiori di quelle della luce visibile (la luce è radiazione elettromagnetica con lunghezza d’onda compresa tra 400 nm e 700 nm). Se il corpo viene riscaldato,
la quantità di energia emessa aumenta e l’energia irraggiata si estende a lunghezze d’onda
sempre più corte. A temperature sopra i 600 ℃, i corpi cominciano ad emettere luce visibile,
dapprima rossa (temperatura del cosiddetto calor rosso, circa 700 ℃) poi sempre più bianca
(temperatura del calor bianco, circa 1200 ℃): man mano che la temperatura aumenta, la
frequenza della luce emessa aumenta fino al bianco-azzurrino, per poi passare ai raggi ultravioletti, e ai raggi X nel caso di plasmi stellari a temperature dell’ordine di milioni di
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
83
gradi. La figura 13.10 rappresenta la potenza irraggiata da un corpo nero ı̀n funzione della
lunghezza d’onda per diverse temperature. La lunghezza d’onda alla quale la potenza è massima è inversamente proporzionale alla temperatura; questo risultato è noto come legge dello
spostamento di Wien. Si è trovato che questa lunghezza d’onda vale
La quantità di energia che un corpo assorbe quando è colpito da radiazioni elettromagnetiche dipende molto dallo stato della sua superficie. È minima se la superficie è chiara e lucida,
mentre è massima se essa è nera. È questa la ragione per cui d’estate si preferisce vestire
con abiti chiari. Ci sono materiali, come il vetro e alcune plastiche, che sono trasparenti alle
radiazioni visibili, mentre sono opachi per le radiazioni infrarosse. Essi vengono sfruttati ad
esempio nella costruzione delle serre (Fig.6.14). Consentono il passaggio verso l’interno della
luce solare, ma tendono a intrappolare le radiazioni infrarosse emesse dagli oggetti dentro la
serra, ostacolandone l’uscita. In questo modo si crea un equilibrio, per cui la temperatura
all’interno della serra si mantiene più alta di quella esterna. L’anidride carbonica (CO2 )
che si trova nell’atmosfera ha un comportamento simile a quello del vetro. E’ trasparente
alla radiazione luminosa proveniente dal Sole, ma tende a impedire alla radiazione infrarossa
emessa dalla Terra di disperdersi nello spazio. E’ questo l’effetto serra.
Figura 6.14: Le pareti della serra sono trasparenti alla luce visibile ma parzialmente opache
agli infrarossi emessi dai corpi all’interno della serra
L’aumento della concentrazione dell’anidride carbonica, provocato soprattutto dalla deforestazione e dai processi di combustione dovuti alle attività umane, ha l’effetto di innalzare
la temperatura della superficie della Terra.
6.3.2
Il calore solare e l’effetto serra
Non tutta l’energia che il Sole ci invia giunge fino alla superficie della Terra. Al suolo ne
arriva quasi la metà. Il resto è assorbito dall’atmosfera, oppure viene assorbito e riflesso dalle
nubi.
Appena fuori dall’atmosfera, l’intensità della radiazione solare è pari a circa 1370 W/m2 .
Questo valore si chiama costante solare. La quantità di energia che arriva ogni secondo sulla
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
84
Terra è uguale al prodotto della costante solare per l’area di un disco che ha raggio eguale a
quello della Terra (6370 km), per cui la potenza solare intercettata dalla Terra è di circa 170
miliardi di megawatt.
Di questi 1.7 · 1011 MW che giungono dal Sole, un 40% sono riflessi e in parte assorbiti
dalle nubi che coprono circa la metà della superficie terrestre. Altri 0.25 · 1011 MW (∼ 15%)
sono assorbiti dall’aria prima di giungere al suolo. I restanti 0.75 · 1011 MW (∼ 45%) arrivano
sulla superficie della Terra. Servono per fare riscaldare la crosta terrestre, per far evaporare
le acque, per mantenere i venti e le correnti marine. Una piccola parte, infine, e assorbita
dalle piante.
Questa energia che ogni secondo investe la Terra tenderebbe a riscaldarla, cioè a fare
aumentare la sua temperatura. Ma la Terra, a sua volta, irraggia ogni secondo nello spazio
una quantità di energia eguale a quella che assorbe. Essa resta cosı̀ in equilibrio termico a
una temperatura che varia in modo apprezzabile soltanto su tempi molto lunghi.
L’effetto serra è essenziale per il mantenimento di questo equilı̀brio. Senza l’anidride
carbonica (che già era contenuta nell’atmosfera ben prima dell’avvento dell’uomo), la temperatura della Terra sarebbe di circa −20 ℃ e la vita non potrebbe sussistere. La temperatura
media dell’atmosfera e pari a 15 ℃ proprio per l’effetto serra dovuto all’anidride carbonico
e ad altri gas. Gli scienziati prevedono che a causa dell’aumento dell’effetto, serra dovuto
tra l’altro alla produzione di anidride carbonica, nei prossimi cinquant’anni la temperatura
media mondiale si innalzerà. I processi atmosferici sono molto complicati e non del tutto noti,
quantificare questo aumento non è facile. Modelli meteorologici danno risultati che variano
do qualche decimo di grado fino a molti gradi per i prossimi 50 anni.
6.3.3
Le emissioni
Dall’inizio della Rivoluzione Industriale, la concentrazione atmosferica dell’anidride carbonica
è aumentata del 30% circa, la concentrazione del gas metano è più che raddoppiata e la
concentrazione dell’ossido di azoto (N2O) è cresciuta del 15%.
Nei paesi più sviluppati, i combustibili fossili utilizzati per le auto e i camion, per il
riscaldamento negli edifici e per l’alimentazione delle numerose centrali energetiche sono responsabili in misura del 95% delle emissioni dell’anidride carbonica, del 20% di quelle del
metano e del 15% per quanto riguarda l’ossido di azoto. L’aumento dello sfruttamento agricolo, le varie produzioni industriali e le attività minerarie contribuiscono ulteriormente per
una buona fetta alle emissioni in atmosfera. Anche la deforestazione contribuisce ad aumentare la concentrazione di anidride carbonica nell’aria, infatti le piante sono in grado di
ridurre la presenza di CO2 nell’aria attraverso il processo fotosintetico. Il danno è ancora più
evidente se si pensa che nel corso degli incendi intenzionali che colpiscono ogni anno le foreste
tropicali, viene emessa una qualità totale di anidride carbonica paragonabile a quella delle
emissioni dell’intera Europa. Da notare che la respirazione dei vegetali e la decomposizione
della materia organica rilasciano una quantità di CO2 nell’aria dieci volte superiore a quella
rilasciata dalle attività umane, ma queste emissioni sono state comunque bilanciate nel corso
dei secoli fino alla rivoluzione industriale tramite la fotosintesi e l’assorbimento operato dagli
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
85
oceani.
Se le emissioni globali di CO2 fossero mantenute come in questi ultimi anni, le concentrazioni
atmosferiche raggiungerebbero i 500 ppm per la fine di questo secolo, un valore che è quasi
il doppio di quello pre-industriale (280 ppm).Il problema viene ulteriormente complicato dal
fatto che molti gas serra possono rimanere nell’atmosfera anche per decine o centinaia di
anni, cosı̀ il loro effetto può protrarsi per lungo tempo.
Due anni dopo la Conferenza delle Nazioni Unite per la Convenzione sui cambiamenti climatici di Berlino si è svolto a Kyoto in Giappone dal 1 all’11 dicembre 1997 il vertice sul clima.
Il protocollo di Kyoto impegna i paesi industrializzati e quelli ad economia in transizione (i
paesi dell’est europeo) a ridurre complessivamente del 5% nel periodo 2008-2012 le principali
emissioni antropogeniche dei gas capaci di alterare il naturale effetto serra (questi Stati sono
attualmente responsabili di oltre il 70% delle emissioni). I sei gas serra presi in considerazione
sono: l’anidride carbonica, il metano, l’ossido di azoto (N2O), gli idrofluorocarburi (HFC), i
perfluorocarburi (PFC) e l’esafluoruro di zolfo (SF6). Il vapor d’acqua non è stato considerato in quanto le emissioni di origine antropogenica sono estremamente piccole se paragonate
a quelle enormi di origine naturale. Per i Paesi in via di sviluppo il Protocollo di Kyoto non
prevede alcun obiettivo di riduzione. In queste regioni la crescita delle emissioni di anidride
carbonica e degli altri gas serra sta avvenendo ad un ritmo che è circa triplo ( +25% nel
periodo 1990-1995) di quello dei Paesi sviluppati (+8% nello stesso periodo).
La stima delle future emissioni diventa cosı̀ estremamente difficile perché dipende dai vari
trend demografici, economici, tecnologici e dagli sviluppo politici ed istituzionali di tutti i
paesi del pianeta. In ogni caso, senza delle misure più restrittive volte alla limitazione delle
emissioni, la concentrazione atmosferica dei gas serra continuerà ad aumentare.
6.3.4
Cambiamenti climatici
Il clima del nostro pianeta è dinamico e si sta ancora modificando da quando la Terra si è
formata. Negli ultimi milioni di anni il clima della Terra ha subito ripetute oscillazioni tra
periodi di glaciazione e caldi periodi interglaciali. Una registrazione di 400’000 anni di temperature è conservata nella coltre glaciale antartica, che, a eccezione delle frange costiere, si
è sottratta al disgelo anche nei periodi interglaciali più caldi. Questa registrazione suggerisce
che l’attuale periodo interglaciale (l’Olocene), iniziato da circa 12’000 anni, sia prossimo alla
fine. Le millenarie oscillazioni climatiche naturali sono associate a lente variazioni dell’orbita
terrestre indotte dalla gravità di altri pianeti, soprattutto Giove e Saturno (a causa della loro
grande massa) e Venere (a causa della sua vicinanza).
Queste perturbazioni influenzano pochissimo l’energia solare media annua che arriva sulla
Terra, ma alterano la distribuzione geografica e stagionale dell’energia solare in arrivo (insolazione) fino al 20%. Le variazioni di insolazione, sul lungo periodo, condizionano l’accumulo
e lo scioglimento dei ghiacci ma anche l’assunzione e il rilascio di anidride carbonica e di
metano da parte delle piante, del suolo e degli oceani. La composizione dell’atmosfera dei
periodi di glaciazione è nota con precisione grazie alle bolle d’aria intrappolate durante la
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
86
formazione delle coltri glaciali dell’Antartide e della Groenlandia, nonché di molti ghiacciai
di alta quota.
Dall’analisi di questi dati si deduce che le variazioni dell’orbita terrestre inducono il cambiamento climatico, ma operano alterando le proprietà dell’atmosfera e della superficie.
Oggi però, queste proprietà dell’atmosfera sono più influenzate dalle conseguenze dell’azione
dell’uomo che dalle variazioni orbitali del pianeta. Vi sono infatti molte evidenze scientifiche
che fanno presupporre che i cambiamenti climatici attuali stiano eccedendo quelli che ci si
potrebbe aspettare a seguito di cause naturali.
L’aumento della concentrazione dei gas serra in atmosfera sta causando un corrispondente
incremento della temperatura globale della Terra. La temperatura media globale superficiale
è aumentata di circa 0.75 ℃ dalla fine dell’Ottocento. La parte più consistente del riscaldamento (circa 0.5 ℃) si è però verificato dopo il 1950. Anche il 70% dell’incremento dei
gas serra risale alla seconda metà del ventesimo secolo. Si ritiene che la temperatura media
globale superficiale possa aumentare di 0.6 − 2.5 ℃ nei prossimi 15 anni e di 1.4 − 5.8 ℃ nel
secolo in corso, pur con significative variazioni regionali.
Al momento, l’incremento risulta maggiore per quanto riguarda le temperature minime
che stanno aumentando ad una velocità che è doppia di quelle massime. Il riscaldamento
è maggiore nelle aree urbane sia a causa dei cambiamenti che si sono verificate nelle coperture dei terreni che per il consumo di energia che avviene nelle aree densamente sviluppate
(fenomeno conosciuto come isole di calore).
L’aumento delle temperature comporta degli inevitabili effetti a livello meteorologico.
Con l’incremento della temperature vi è un conseguente aumento dell’evaporazione, per cui
si ritiene che, a livello globale, l’inasprimento dell’effetto serra porterà ad una crescita delle
precipitazioni e ad una maggiore frequenza delle tempeste di forte intensità.
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
87
Non è ancora chiara la variazione che avranno i climi regionali, ma si ritiene che per il maggior
calore vi sarà una riduzione dell’umidità in varie regioni delle zone tropicali che andranno
incontro a frequenti siccità.
Un’ipotesi è stata formulata sulle future condizioni climatiche in Europa. Alcuni ricercatori ritengono che lo scioglimento dei ghiacci artici, dovuto al riscaldamento globale, provocherà
un potenziamento delle correnti oceaniche provenienti dall’Artico. Queste causeranno la deviazione della Corrente del Golfo del Messico che attualmente lambisce le coste dell’Europa
occidentale. Per capire l’effetto che ha questa corrente sul clima europeo basta pensare che a
dicembre in Normandia la temperatura si aggira attorno a 0 ℃ mentre in Canada, alla stessa
latitudine si raggiungono spesso i −30 ℃. Il venir meno dell’effetto riscaldante della Corrente
del Golfo potrebbe paradossalmente condurre l’Europa verso una nuova glaciazione, in un
periodo in cui la maggior parte della Terra va incontro ad un riscaldamento.
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6.3. L’IRRAGGIAMENTO TERMICO
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Appendice A
Problemi
Serie 1: Dilatazione termica
Serie 2: Statica dei fluidi
Serie 3: Pressione
Serie 4: Fluidi in moto
Serie 5: Gas perfetti
Serie 6: Teoria cinetica dei gas
Serie 7: Termodinamica
Serie 8: Calorimetria
Serie 9: Conduzione
Serie 10: Irraggiamento
89
90
SERIE 1: DILATAZIONE TERMICA
1. Nella scala di temperature chiamata scala Gaga (O G), un aumento di un grado Gaga
corrisponde a un aumento di tre gradi Fahrenheit, e il suo punto zero corrisponde allo
temperatura di 200o K. A quanto corrisponde, in gradi Celsius, la temperatura di 180o G?
2. Due sbarre, A e B, dello stesso materiale si trovano a 20o C. La lunghezza iniziale di A
è il doppio di quella di B. A viene scaldata fino a 40o , B fino a 80o C. Che cosa succede?
A subiscono lo stesso allungamento
B A si allunga di più di B
C B si allunga di più di A
D non si può dire, dipende dalla lunghezza delle sbarre
3. Una sbarra è composta per il 46.6 % della sua lunghezza di ferro: la parte rimanente è
di un materiale sconosciuto. Si sa che la sbarra si dilata come una sbarra di ottone della
stessa lunghezza, per qualsiasi variazione di temperatura. Determinare il coefficiente di
dilatazione del materiale sconosciuto.
[24 · 10−6 ℃−1 ]
4. Una stanga di vetro (αv = 3.2 · 10−6 ℃−1 ) e un regolo di ottone graduato a 0.0 ℃ sono
lunghi 1000.00 mm. Che lunghezza avrà la stanga di vetro misurata con il regolo di
ottone se entrambi sono portati a 100.0 ℃ ?
[998.47 mm]
5. T è un tubo fisso nel punto A. Dall’altra parte appoggia su un tondino fisso S di diametro
2.0 mm. Dal punto A al punto d’appoggio ci sono 93.5 cm. Il tubo ha la temperatura
di 17.0 ℃. Se nel tubo si fa passare vapore acqueo (98.0 ℃) l’indice legato al tondino
ruota di 50.0◦ .
Calcolare il coefficiente di dilatazione del tubo.
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[1, 15 · 10−6 ℃−1 ]
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6. Alla temperatura di 20.0 ℃ un tubo di alluminio ha il diametro esterno di 12.00 cm,
mentre un anello di acciaio ha il diametro interno di 12.05 cm.
A che temperatura devono essere riscaldati entrambi affinché l’anello non scorra più sul
tubo? [366 ℃]
7. Un lingotto d’oro (αoro = 14.3 · 10−6 ℃−1 ) ha la massa di 25 Kg; la sua densità, alla
temperatura di 20.0 ℃, è di 19.29 Kg/dm 3 .
Calcolare la variazione relativa della sua densità se si porta il lingotto a 40.0 ℃. [−0.86 %]
8. Un serbatoio (α = 12.0 · 10−6 ℃−1 ) di un’auto ha la capienza di 55.0 dm 3 .
temperatura di 15.2 ℃ esso è pieno al 99.0 %.
Calcolare fino a che temperatura può riscaldarsi prima di traboccare.
Alla
[25.7 ℃]
9. A 20.0 ℃ la densità del mercurio vale 13.5460 · 103 kg/m 3 e il coefficiente di dilatazione
γ vale 0.1819 · 10−3 ℃−1 .
Calcolare la densità del mercurio a 0 ℃.
[13.59 · 103 kg/m 3 ]
10. Una palla di rame (α = 16, 5 · 10−6 C −1 ) del volume di 100 cm3 e munita di un foro
è piena di una sostanza simile alla glicerina. Sapendo che, se la temperatura passa
da 20o C a 60o C, fuoriescono 1, 78 cm3 di tale sostanza, determinare il coefficiente di
dilatazione γ.
11. Considera due litri di etanolo (γ = 1.12 · 10−3 C −1 ) che vengono riscaldati di 50o C.
Calcola il volume finale dopo la dilatazione nei seguenti tre modi:
a) Considerando un intervallo unico di 50o C
b) Dividendo l’intervallo in cinque intervalli di 10o C
c) Calcolando il valore senza approssimazioni
12. Un idraulico deve infilare un tubo di sezione 320 cm3 in un foro diametro pari a 20 cm
ricavato su una lastra di ferro. Poiché la sezione del foro è minore di quella del tubo,
deve riscaldare la lastra che si trova a una temperatura di 20o C . A quale temperatura
l’idraulico deve portare la lastra per poter infilare il tubo nel foro?
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SERIE 2: STATICA DEI FLUIDI
1. La parte di un eisberg che sporge dall’acqua ha più o meno la forma di un parallelepipedo
di dimensioni 500 x 80 x 50 metri. Quanto vale il volume sommerso se la densità del
ghiaccio e quella dell’acqua sono in rapporto 9:10?
[1.8 · 107 m 3 ]
2. Un blocco di legno galleggia sull’acqua con 3/5 del suo volume ancora emersi (cioè fuori
dalla superficie). In olio rimangono immersi i 5/9 del suo volume. Calcolare le densità
del legno e dell’olio.
[ρlegno = 2/5, ρolio = 18/25]
3. Un cubo di legno che galleggia nell’acqua sostiene una massa di 200 gr. Togliendo
questa massa, il cubo si alza di 2 cm. Determinare il lato del cubo.
[l = 10 cm]
4. Un corpo possiede una massa di 10 kg mentre in un liquido con densità ρ = 0, 8 essa
risulta essere di 6 kg. Qual è la densità del corpo?
[ρ = 2]
5. Per mantenere un blocco di legno totalmente immerso in acqua e successivamente in
olio, sono necessarie forze verso il basso rispettivamente di 206 N e 68,6 N. Se il volume
del blocco è di 85 dm3 , quanto vale la densità dell’olio?
[ρ = 0.84]
6. Quante persone di 70 kg possono stare su una zattera a base quadrata di sughero
(ρ = 0, 25 kg/dm3 ) di lato 250 cm e altezza 35 cm immersa in acqua salata (ρ = 1, 03
kg/dm3 )?
[n = 25]
7. Un recipiente colmo d’acqua è posto su una bilancia come in figura. La bilancia è in
equilibrio.
Che massa occorre sul piatto a destra per mantenere l’equilibrio se nel recipiente si
mette:
a) 10 cm 3 di ottone (ρ = 8.4 · 103 kg/m 3 );
[74 g]
b) un pezzo di legno (ρ = 0.7 · 103 kg/m 3 ) di volume 10 cm 3 ?
[0 g]
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8. Per mezzo di una molla, si tiene immerso in olio con densità ρ = 0, 8 kg/dm3 un cubo di
alluminio di densità ρ = 2, 7 kg/dm3 con un lato di 5 cm. Se la molla ha una costante
elastica k = 120 N/m, di quanto si allunga?
[∆l = 1.94 cm]
9. Un tappo di sughero ha una massa di 0, 5 g. Un pezzo di piombo pesato in acqua
risulta avere una massa apparente di 8, 6 gr. Se si attacca il tappo di sughero al pezzo
di piombo, tutti e due insieme pesano 7, 1 gr in acqua. Qual è la densità del sughero?
10. Una recipiente sferico cavo di densità relativa ρ = 2, 9 sta galleggiando in acqua. Il
suo raggio è di 15 cm, mentre lo spessore è di 3 mm. Quanti decilitri (dl) di mercurio
(ρ = 13, 5) posso versare nel recipiente senza che esso affondi?
11. Una boa a base quadrata con altezza 10 cm e densità relativa ρ = 0.57 sta galleggiando
in acqua salata (ρ = 1, 03).
a) In una situazione di galleggiamento (in assenza di oscillazioni) quanti centimetri
rimangono a galla?
b) Quanto è grande il lato della base se aggiungendo un peso di 1200 grammi, l’acqua
sommerge totalmente la boa?
c) Se si mantiene la boa completamente immersa a una profondità di 7 metri, quanto
tempo impiega a riaffiorare?
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SERIE 3: PRESSIONE
1. Su una bilancia sono posti due recipienti di massa uguale e di base 1.0 dm 2 . In entrambi
si versa 1.0 litro di acqua.
a) Calcolare la forza che l’acqua esercita sulla base dei recipienti.
[45.08N ; 9.80N ]
b) Malgrado la risposta a), come mai la bilancia rimane in equilibrio?
c) Che forza esercita l’acqua sulla superficie superiore A del recipiente?
[35.28 N]
2. Il ramo di sinistra di un tubo ad U viene immerso in un bicchiere contenente acqua,
l’altro in un bicchiere contenente petrolio (ρpetrolio = 0.85kg/dm 3 ). L’acqua ed il petrolio vengono fatti salire nei due rami aspirando attraverso il rubinetto un po’ d’aria
e poi chiudendolo. Si misurano allora i seguenti valori:
h1 = 1.06 cm, h2 = 12.4 cm, pamb = 990 mbar .
Determinare:
a) l’altezza h
[14.6 cm]
b) la pressione dell’aria racchiusa nel tubo.
[978 mbar ]
3. Un sollevatore idraulico (con olio: ρolio = 0.92 kg/dm 3 ) è costituito da un cilindro di
diametro 20.0 cm. Auto, piattaforma e pistone hanno la massa di 1800 kg e sono tenuti
in equilibrio da un piccolo pistone, la cui sezione vale 0.50 cm 2 (h1 = 75 cm, h2 =
100 cm). Determinare la massa minima del pistone piccolo.
[2.9 kg]
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4. Un emisfero di raggio 10 cm, in cui è stato fatto il vuoto, è attaccato a una parete
verticale liscia. Se la pressione atmosferica vale 1.0 bar , calcolare la forza orizzontale
minima necessaria per staccarlo dalla parete.
[3142 N ]
(Chi non conosce il calcolo integrale può trasformare in una sommatoria e scrivere un
programmino sulla calcolatrice.)
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SERIE 4: FLUIDI IN MOTO
1. Il sangue scorre in un’aorta avente il raggio di 1 cm alla velocità di 30 cm/s. Qual è la
portata in litri/minuto
[5.65 l/min]
2. In un tubo scorre acqua con la velocità di 4 m/s per effetto di una pressione di 200 kPa.
Il tubo si restringe alla metà del diametro iniziale. Qual è la pressione nella parte più
stretta del tubo?
[80 kPa]
3. In un tubo di 3 cm di diametro scorre acqua con la velocità di 0.65 m/s; il tubo termina
con una strozzatura che ha il diametro 3 mm.
a) Con che velocità passa l’acqua attraverso la strozzatura?
b) Se all’estremità del tubo c’è una pompa e all’altra estremità la strozzatura, entrambe
alla stessa quota, e la pressione alla strozzatura è quella atmosferica, quanto deve
essere la pressione nella pompa?
[(a) 65 m/s; (b) 2213 kPa]
4. Quando spirano venti molto veloci, la pressione atmosferica all’interno di una casa può
far esplodere il tetto a causa della riduzione della pressione esterna. Si calcoli la forza
che si esercita su un tetto quadrato di 15 metri di lato se la velocità del vento sul tetto
è 30 m/s
[1.31 · 105 N]
5. Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre con velocità v. Se tale fluido è
acqua e il liquido manometrico contenuto nel tubo è mercurio (ρ = 13.7), determinare
la velocità del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico è h = 14
mm.
[1.93 m/s]
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SERIE 5: GAS PERFETTI
1. Se si mantiene costante la temperatura di un gas e si raddoppia la pressione, che cosa
succede alla densità ? Motivare la risposta.
A rimane costante
B raddoppia
C dimezza
D dipende dalla quantità di gas presente
2. Un contenitore rigido contiene aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di
27O C. Viene scaldato finché la pressione dell’aria raddoppia. Quale temperatura ha
raggiunto?
A 573O C
B 327O C
C 300O C
D 54O C
3. In un recipiente cilindrico di 6,0 cm di raggio interno, chiuso da un pistone libero di
muoversi con attriti trascurabili, sono contenuti 2,4 litri di azoto. L’asse del cilindro
è verticale e il pistone si trova sopra il gas (massa del pistone: 12 gr). La pressione
atmosferica è di 980 mbar. Il sistema si trova inizialmente alla temperatura di 20O C.
Il peso del pistone viene trascurato.
a) Quante moli sono contenute nel recipiente?
[n = 0.0966]
b) Di quanto si deve innalzare la temperatura del gas per far salire il pistone di 6,0
cm?
[T2 = 375.8o K]
4. Una bottiglia di 20 litri contiene aria compressa alla pressione di 100 bar e alla temperatura di 20, 0 ℃. Si lascia uscire dell’aria finché la pressione nella bombola scende a
65 bar .
Che volume occupa l’aria uscita alle condizioni normali (1, 013 bar , 0 ℃)?
[644 dm 3 ]
5. In una scatola di volume 2, 00 dm 3 , munita di un piccolo foro verso l’esterno, è contenuta
dell’aria alla temperatura di 10, 0 ℃ e alla densità di 1, 24 kg/m 3 . Calcolare:
a) la densità dell’aria a 25, 0 ℃ e alla stessa pressione ambiente;
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[1, 18 kg/m 3 ]
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b) di quanto varia la massa d’aria nella scatola se essa viene riscaldata fino a 25, 0 ℃.
[−125 mg]
6. Un cilindro di vetro provvisto di pistone mobile è immerso in una bacinella di mercurio.
Il cilindro racchiude una colonna d’aria di altezza h = 20, 0 cm; il livello del mercurio
al suo interno è lo stesso di quello all’esterno. Si innalza ora il pistone di a = 5, 0 cm.
La pressione esterna è di 975 mbar .
Di quanto si sposta il livello del mercurio all’interno del cilindro?
(trascurare l’abbassamento di livello nella bacinella)
[3, 9 cm]
7. Un pistone mobile, senza attrito, divide in due parti di lunghezza l1 e l2 un cilindretto
di vetro di sezione A. Inizialmente si ha la stessa temperatura θ0 dappertutto. La
temperatura dell’aria a sinistra viene poi portata al valore θ1 .
Calcolare algebricamente di quanto si sposta il pistone.
8. Un recipiente di volume 6,0 litri contiene O2 (massa molecolare 32 uma) alla pressione
di 950 mbar e alla temperatura di 15, 0 ℃. Si applica una pompa che fa diminuire la
pressione fino a 100 mbar , mentre la temperatura rimane costante.
Si chiede la massa di ossigeno estratta.
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[6, 8 g]
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SERIE 6: TEORIA CINETICA DEI GAS
1. Se dell’elio e dell’ossigeno si trovano alla stessa temperatura, quale delle seguenti
affermazioni è corretta? Motivare la risposta.
A hanno uguali velocità medie ma energie cinetiche medie diverse
B hanno uguali energie cinetiche medie ma velocità medie diverse
C hanno uguali energie cinetiche medie e uguali velocità medie
D hanno energie cinetiche medie e velocità medie diverse
2. Calcola la velocità quadratica media delle molecole in 10 grammi di gas di ammoniaca
(NH3 ) a 20O C.
3. Se si riscalda un gas raddoppiando la velocità quadratica media delle sue molecole, di
quale fattore si modifica la temperatura? Motivare la risposta.
A 4
B 2
C 1/2
D
√
2
4. Un gas è contenuto in un recipiente rigido. Che cosa succede se la temperatura aumenta
da 10O C a 20O C?
A la velocità media delle molecole raddoppia
B l’energia cinetica media raddoppia
C La pressione raddoppia
D la velocità media aumenta di un fattore
√
2
E nessuna delle risposte precedenti è corretta
5. Una quantità di gas alla pressione di 10 kPa e alla temperatura di 12O C è riscaldato a
volume costante fino alla temperatura di 85O C.
a) Quanto vale la pressione finale?
b) Determina il volume se la quantità corrisponde a 2 moli
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6. Un recipiente di volume V = 20 litri contiene dell’ SO2 alla temperatura di 20O C e alla
pressione di 2 · 105 Pa. Si riscalda il sistema in modo tale da raddoppiare la velocità
quadratica media delle molecole? (c(SO2 ) = 0, 39 J/gr K, M=64)
a) Quanto valgono la temperatura e la pressione finale?
b) Quanto calore bisogna fornire per questa operazione?
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SERIE 7: TERMODINAMICA
1. In una compressione isobara, l’energia interna del sistema:
A aumenta
B diminuisce
C rimane costante
D non ci sono dati sufficienti per rispondere
2. In una dilatazione adiabatica, l’energia interna del sistema:
A aumenta
B diminuisce
C rimane costante
D non ci sono dati sufficienti per rispondere
3. Un gas si trova in uno stato di equilibrio termodinamico in un recipiente chiuso da un
pistone scorrevole senza attriti. Dopo qualche tempo si nota che sono aumentati i valori
del volume e della temperatura, mentre la pressione è rimasta costante. Quale, tra i
seguenti fatti può essersi verificato?
A il recipiente è stato messo su una fonte di calore
B è stato tolto del peso dal pistone
C il recipiente è stato messo su una fonte di calore ed è stato aggiunto del peso sul
pistone
D il recipiente è stato messo su una fonte di calore e sono stati tolti dei pesi dal
pistone
4. La relazione:
Lavoro = (Pressione) x (Variazione di Volume)
che permette di calcolare il lavoro fatto da un gas in una trasformazione termodinamica
si può applicare
A alle trasformazioni isotermiche
B alle trasformazioni isobariche
C alle trasformazioni infinitesime di volume
D a tutte le trasformazioni
E solo alle trasformazione cicliche
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5. Un cilindro di sezione Ab = 200cm2 contiene un pistone mobile P situato inizialmente
a uguale distanza (d = 15 cm) dalle due estremità del recipiente.In ognuno dei due
sottovolumi V1 e V2 si introduce la stessa quantità di azoto N2 alla stessa pressione
(P1 = P2 = 760 mm Hg) e alla stessa temperatura (T1 = T2 = 300 K).
a) Calcola il numero di moli di azoto presente in ognuno dei due sottovolumi
b) Mantenendo fisso il pistone nella sua posizione, si innalza la temperatura del gas
contenuto nel sottovolume V1 di 100 K. In seguito, mantenendo le nuove temperature costanti (la temperatura in V2 non cambia), si lascia libero il pistone. Calcola
di quanto si sposta il pistone quando si raggiunge l’equilibrio.
6. In un cilindro con pistone sono contenute 0,08 moli di azoto N2 . Il gas subisce delle
trasformazioni che lo portano dallo stato 1 (con P = 300 kPa, V = 0, 4 dm3 ) allo stato
2 (con P = 200 kPa, V = 1, 2 dm3 ). Determina
a) la variazione complessiva di energia interna
b) Il lavoro compiuto
7. Un gas è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone mobile, la cui superficie è di
2 dm2 . L’altezza del cilindro è di 60 cm e sul pistone, che pesa 1,6 kg, poggiano 4 pesini
di 800 grammi ciascuno.
a) Di quanto si abbassa il pistone se vengono aggiunti altri due pesini uguali e la
temperatura del gas è mantenuta costante da un termostato.
b) Se il gas è dato da 0, 02 moli di azoto (N2 ), quanto valgono le velocità delle molecole
prima e dopo l’aggiunta dei pesi?
8. In un recipiente cilindrico di 8,0 cm di raggio interno, chiuso da un pistone libero di
muoversi con attriti trascurabili, sono contenuti 1,8 litri di ossigeno. L’asse del cilindro
è verticale e il pistone si trova sopra il gas (il peso del pistone viene trascurata). La
pressione atmosferica supposta costante è di 0, 95 · 105 Pa, mentre il sistema si trova
inizialmente alla temperatura di 26O C. (O2 : M = 32 gr/mole)
a) A quale velocità si muovono le molecole di ossigeno prima del riscaldamento?
b) Quante moli sono contenute nel recipiente?
c) Di quanto si deve innalzare la temperatura del gas per far salire il pistone di 4,0
cm?
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9. In un cilindro a stantuffo isolato termicamente, ci sono 0,1 moli di ossigeno (O2 ) alla
temperatura di 80o C. Se il pistone si solleva aumentando il suo volume da uno a due
litri, determina la pressione e la temperatura finale del gas dopo l’espansione. Quanto
lavoro è stato compiuto?
10. Un cilindro rigido contiene un pistone fluttuante senza attriti. Inizialmente il cilindro
è diviso in due parti uguali dal pistone e ciascuna delle due parti contiene 1 mole dello
stesso gas ideale monoatomico a 2o C. Un riscaldamento a resistenza elettrica installato
nella porzione A del cilindro viene messo in funzione somministrando energia in modo
che temperatura della porzione A salga lentamente fino a 167o C. Supponendo che la
quantità di calore acquistata dal recipiente e dal pistone sia trascurabile, e che quindi
durante il riscaldamento, la porzione B sia isolata, calcolare la quantità di calore fornita
al sistema dalla resistenza elettrica
[Q=2513 J].
Durante il riscaldamento, la porzione B è isolata poichè non riceve calore dal recipiente
e dal pistone
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SERIE 8: CALORIMETRIA
1. Per determinare il calore specifico del rame, 82 g di Cu vengono riscaldati fino a 98, 0 ℃
e poi messi in un calorimetro (C = 40 J/℃) contenente 146 g di acqua a 15.4 ℃. La
temperatura di equilibrio vale 19.2 ℃.
Calcolate il calore specifico del rame.
[0.37 J/(g · K)]
2. Si vogliono preparare 150 litri di acqua a 37 ℃ per fare un bagno. L’ acqua calda del
boiler è a 70 ℃ mentre quella fredda delle tubature è a 14 ℃.
Trascurando tutte le perdite:
a) quanta acqua del boiler si deve consumare?
[62 litri]
b) sapendo che l’energia elettrica per scaldare l’acqua del boiler costa 0.15 CHF /kWh
(1 kWh = 3.6 · 106 J) e che 1 m3 di acqua costa 1.00 CHF , calcolare il costo del bagno.
[0.75 CHF ]
3. Quanto è lungo un filo di acciaio di sezione 4.00 mm 2 che si allunga dello 0.1 % assorbendo 1300 J di calore? (Dati: c = 0.50J/(g · K), ρ = 7.6 g/cm 3 , α = 11.7 · 10−6 ℃−1 )
[100 cm]
4. Si consideri un cilindro di alluminio di raggio 3.00 cm e di altezza 4.01 cm, annerito su
una faccia e ben isolato termicamente dalle altre parti. Se si espone la faccia annerita
alla luce del sole si osserva un riscaldamento del cilindro, il cui andamento nel tempo è
riportato nella figura.
a) Sapendo che la densità dell’alluminio è di 2.7 kg/dm 3 , calcolare qual è l’energia
solare che arriva per unità di tempo e di superficie su una superficie orientata come
quella annerita del cilindro dall’alluminio. Si ammetta per semplicità che tutta l’energia
incidente sulla faccia annerita venga assorbita.
[1078 W/m2 ]
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5. Il mercurio ha la densità di 13.6 g/cm 3 e il calore specifico di 0.14 J/(g · K) ; il vetro
ha la densità di 2.5 g/cm 3 e il calore specifico di 0.75 J/(g · K).
a) Mostrare che ci vuole circa la stessa quantità di calore per aumentare di 1 K la
temperatura di 1 cm 3 di Hg e di 1 cm 3 di vetro.
b) Un normale termometro a mercurio ( diametro 8 mm) si trova immerso per 9.0 cm
in acqua alla temperatura di 73.6 ℃. Si porta ora il termometro in 85 g di acqua
alla temperatura di 14.5 ℃ contenuta in un calorimetro (C = 45 J/℃), avendo cura
che la parte immersa sia pure di 9.0 cm. Calcolare la temperatura che si leggerà sul
termometro all’equilibrio.
[15.7 ℃]
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SERIE 9: CONDUZIONE
1. Sia data una sbarra cilindrica di alluminio (λ = 220W/(m·K)), ben isolata lateralmente,
lunga 15.0 cm. L’estremità di sinistra viene mantenuta a 60.3 ℃ facendo circolare 0.12
litri di acqua al secondo (vedi disegno sulle dispense). Tra la temperatura d’entrata
e quella d’uscita dell’acqua si misura una differenza di 0.20 K. L’estremità di destra
viene mantenuta a 10.0 ℃.
a) Calcolare il flusso di calore che attraversa la sbarra.
[100.6 W ]
b) Calcolare il diametro della sbarra.
[4.2 cm]
c) Se a destra la temperatura è mantenuta costante facendo circolare 1.08 m3 d’acqua all’ora, che differenza di temperatura si misura tra l’entrata e l’uscita dell’acqua?
[0.08 K, 30.1 ℃]
d) Calcolare la temperatura della sbarra a 9.0 cm dall’estremità di sinistra.
2. Due sbarre, una di rame (384 W/(m · K)) e l’altra di un materiale sconosciuto, sono
poste a contatto termico (lateralmente sono isolate). Mentre una viene riscaldata ad
un’estremità, l’altra viene raffreddata all’estremità opposta. In regime stazionario si
leggono le seguenti temperature:
θ1 = 29.4 ℃,
θ2 = 28.0 ℃,
θ3 = 23.7 ℃.
a) Disegnare l’andamento della temperatura θ(x) nelle due sbarre.
b) Calcolare il coefficiente di conducibilità termica del materiale sconosciuto. [112 W/(m·
K)]
3. Un boiler elettrico di forma cilindrica (altezza 1.12 m e diametro esterno 50 cm) ha una
capienza di 100 litri ed un coefficiente di trasmissione termica totale k delle pareti di
0.50 W m−2 K −1 . Il coefficiente di trasmissione termica superficiale fra la superficie del
boiler e l’aria ambiente vale 8.0 W m−2 K −1 . La temperatura dell’aria ambiente è di
20.0 ℃ mentre quella iniziale dell’acqua nel boiler di 66.0 ℃.
a) Calcolare il tempo minimo necessario affinché l’acqua si raffreddi di 2, 0 ℃.
b) Calcolare la temperatura superficiale iniziale del boiler.
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[4.8 ore; 22.9 ℃]
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SERIE 10: IRRAGGIAMENTO
1. Il flusso d’ energia raggiante proveniente dal sole che arriva sulla terra per unità di
superficie è di circa 1400 W/m2 .
a) Sapendo che la distanza fra la Terra ed il Sole è di 1.5 · 1011 m e che il raggio del
Sole vale 7.03 · 108 m, calcolare la temperatura della superficie del Sole. (Ammettiamo
che il Sole si comporti come un corpo nero).
[5800 K]
b) Se tutta l’energia proveniente dal Sole fosse assorbita dalla Terra (assimilata ad un
corpo nero), valutare la sua temperatura superficiale media a partire da un’equazione di
bilancio termico fra radiazione solare incidente e radiazione termica emessa dalla Terra.
(raggio della Terra = 6378 km).
[7 ℃]
2. Una piastra elettrica (diametro 20.0 cm) viene alimentata con una potenza di 1000 W .
La temperatura di tutto l’ambiente circostante sia di 20.0 ℃ ed il fattore d’emittenza
di tutte le superfici (compresa quella della piastra) sia di 0.90. Si ammetta inoltre che
le perdite di calore avvengano anche per convezione ma solo dalla superficie superiore
(coefficiente di trasmissione termica superficiale α = 20 W m−2 K −1 ).
Calcolare la temperatura massima che raggiungerà la piastra in regime stazionario.
[540 ℃]
3. Si consideri un vetro doppio. Esso è costituito da due lastre di vetro separate da aria.
Si sa che il coefficiente di trasmissione termica superficiale fra l’aria e ciascuna delle due
lastre vale:
α = 2.6 W m−2 K −1.25 · (θsuperficie − θaria )0.25 ,
dove θsuperficie rappresenta la temperatura superficiale interna di ogni lastra.
Le due temperature superficiali interne siano di 15.0 ℃ e 5.0 ℃.
Calcolare:
a) il flusso di calore areico (Φ/A) trasmesso per conduzione e convezione da una superficie all’altra.
[19
−2
Wm ]
b) il flusso d’energia areico trasmesso per irraggiamento ammettendo che i fattori
d’emittenza delle due superfici siano uguali e valgano 0.90.
[42 W m−2 ]
c) idem come b), ma con una delle superfici dotata di un fattore d’emittenza di 0.20
(per ottenerlo si ricopre la superficie di un sottile strato metallico).
[10 W m −2 ]
4. Una cellula di Moll viene puntata verso una superficie di ferro lucidato. L’involucro
della cellula rimane sempre alla temperatura ambiente di 21.5 ℃ mentre la temperatura
del ferro viene portata da 260 ℃ a 540 ℃.
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Di quanto aumenta in percentuale il flusso netto d’energia raggiante scambiato fra la
cellula e la superficie?
[850 %]
Nota. Il flusso netto d’energia raggiante fra due piccole superfici piane parallele A1 e
A2 vale:
φ=
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1
A1 A2
e1 e2 σ 2 (T14 − T24 )
π
r
dove r è la distanza fra le superfici.
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