Teoria della Misurazione

Teoria della Misurazione
1. Distinzione tra processi sperimentali in funzione del tipo di confronto effettuato
Il Processo Sperimentale consiste nel confronto diretto tra un sistema incognito (un sistema
descritto da un fenomeno o parametro di interesse detto misurando, o un sistema da esso
influenzato) ed uno o più sistemi di riferimento ad esso omogenei, detti Sistemi Campione, a cui è
associato per definizione un valore noto. Il concetto di omogeneità riguarda il fenomeno con cui si
manifesta il sistema incognito, che, per poter effettuare il confronto, deve essere dello stessa natura
dei fenomeni con cui si manifestano i Sistemi Campione. Il confronto è quindi una trasformazione a
due ingressi, il sistema incognito e il Sistema Campione, ai quali viene associato in modo univoco
un simbolo, che riassume l'informazione ottenuta. Dalla scelta delle grandezze di riferimento e dal
tipo di confronto, che può essere più o meno sofisticato, dipende la quantità di informazione
prodotta dalla misurazione. Di seguito si individuano, ordinate per livelli crescenti
dell'informazione da essi fornita, quattro possibili tipologie di confronto, che danno origine
rispettivamente alle cosiddette scale nominali, ordinali, a intervalli, e a rapporto. Le tipologie sono
anche inclusive, nel senso che tipologie di misurazione più sofisticate sono sottoclassi di quelle
meno sofisticate. Ad esempio, una scala ordinale è anche nominale, mentre il viceversa non è
necessariamente vero. In altri termini, ciascun procedimento è più specializzato del precedente, nel
senso che ha delle proprietà aggiuntive che ne aumentano l'informazione fornita. Per ciascuno dei
procedimenti di confronto descritti verrà anche indicato quali trasformazioni possono essere
applicate ai risultati del confronto senza avere perdita di informazione.
Scale Nominali
La Scala Nominale si ottiene quando il processo di confronto consiste in una Classificazione, cioè
quando il confronto consente di decidere se la manifestazione del sistema incognito è indistinguibile
o meno da quella di uno dei Sistemi Campione Xi, a ciascuno dei quali è associato biunivocamente
un simbolo caratteristico yi. L'uscita del confronto è pertanto il simbolo associato al Sistema
Campione risultato indistinguibile dal sistema incognito. Una grandezza a cui può essere associata
una Scala Nominale è detta “selettiva”. L'informazione ottenuta è di tipo qualitativo, riducendosi in
effetti alla determinazione della classe di appartenenza del sistema incognito, cioè alla appartenenza
o meno del sistema incognito all'insieme dei sistemi indistinguibili da un dato Sistema Campione.
Di conseguenza, benché sia a volte associata per convenzione ai simboli ottenuti una qualche unità
di misura, operazioni algebriche effettuate sui risultati della misurazione non hanno alcun
significato. La scelta dei Sistemi Campione e del tipo di confronto è arbitraria, e possono introdurre
incertezze nella classificazione ed errori di collocamento. In particolare, è possibile che i limiti che
dividono le classi di appartenenza non siano chiaramente definiti, oppure che il sistema incognito
presenti delle sfumature che ne rendono difficile la collocazione. A tale riguardo, un esempio è la
classificazione di un oggetto in base al colore, effettuata per ispezione visiva. Innanzi tutto, la
distinzione tra colori non è di per sé netta (si pensi al giallo, al rosso, e all'arancione). Inoltre,
essendo la percezione del colore soggettiva, lo stesso oggetto potrebbe essere classificato
diversamente da operatori differenti.
Di conseguenza, definendo lo Spazio Campione S come l'insieme delle possibili manifestazioni del
sistema incognito, un processo di Classificazione è ben costruito se valgono le seguenti proprietà:
(P1) Le classi di appartenenza non hanno a due a due intersezioni comuni.
(P2) L'unione U delle classi di appartenenza coincide con lo Spazio Campione S .
(P3) Il criterio di confronto deve consentire di associare intersoggettivamente un dato sistema
incognito ad una ed una sola delle classi di appartenenza.
Le prime due proprietà richiedono che le classi di appartenenza derivate dalla selezione dei Sistemi
Campione costituiscano una partizione dello Spazio Campione, e sono critiche per la consistenza
del processo di classificazione. Infatti, se per assurdo non valesse la proprietà P1, un sistema
incognito la cui manifestazione che cadesse nell'intersezione tra due classi di appartenenza sarebbe
indistinguibile dai due Sistemi Campione corrispondenti, e quindi non vi potrebbe essere associato
univocamente un simbolo. Similmente, se non sussistesse la proprietà P2, un sistema incognito la
cui manifestazione appartenesse all'insieme {S-U} non potrebbe essere associato a nessuno dei
Sistemi Campione, per cui non potrebbe esservi associato nessuno dei simboli disponibili. Il livello
di soddisfacimento della proprietà P3 influenza invece la possibilità di avere errori di collocazione.
Tornando all'esempio dei colori, un approccio più rigoroso potrebbe essere quello di definire i colori
in base alle bande di frequenza corrispondenti nello spettro visibile (P1 e P2), effettuando i
confronti con un sistema di misurazione automatico (P3).
Per quanto riguarda le trasformazioni applicabili ad una grandezza selettiva, queste ultime
consistono in una mappatura da un insieme discreto di simboli ad un altro insieme discreto di
simboli. La preservazione dell'informazione è garantita se la trasformazione è biunivoca, cioè
invertibile. Supponiamo infatti che una trasformazione f() associ i risultati y della misurazione a un
insieme di simboli z, e che non essendo biunivoca, a due simboli ym e yn corrisponda lo stesso
simbolo zk, e che una certa misurazione abbia avuto come risultato il simbolo ym. Un osservatore che
disponesse solamente della associazione al sistema incognito del simbolo zk e non conoscesse a
priori il risultato intermedio ym non avrebbe modo di stabilire quale tra ym e yn ha prodotto zk . Di
conseguenza, l'osservatore dovrebbe concludere che il sistema incognito potrebbe essere
indistinguibile dal Sistema Campione Xm oppure dal Sistema Campione Xn, cioè che il misurando
appartiene all'unione delle relative classi di appartenenza. Poiché la conoscenza della associazione
al sistema incognito del simbolo ym consentirebbe di concludere che il sistema misurando è
indistinguibile dal solo Sistema Campione Xm, ne segue che l'informazione associata ai simboli z è
meno circostanziata di quella associata ai simboli y, cioè che la trasformazione non biunivoca f() ha
ridotto l'informazione disponibile.
Scale Ordinali
La Scala Ordinale si ottiene come caso particolare di una Scala Nominale, in cui alle grandezze di
riferimento, cioè all'insieme Y dei simboli {y1,...,yN} che caratterizzano i Sistemi Campione (P4) è
associata una relazione d'ordine del tipo y1<y2<...<yN, in virtù della quale si può affermare che un
misurando sia maggiore, minore, o equivalente a un altro, o ad una grandezza di riferimento. Il
processo di confronto, il cui risultato è una classe ordinata di appartenenza, è detto Processo di
Ordinamento, e le grandezze a cui viene applicato sono dette “Ordinali”. Si osservi che le grandezze
selettive forniscono informazione puramente qualitativa, le grandezze ordinali danno una
informazione di tipo quantitativo, anche se non riconducibile a valori numerici. Per conservare
l'informazione, le trasformazioni applicate al misurando, oltre ad essere invertibili come per la scala
nominale, devono preservare la proprietà P4, cioè la presenza di una relazione d'ordine. Di
conseguenza, una trasformazione che preserva l'informazione deve essere monotona crescente.
Esempio di grandezza ordinale è la durezza di un materiale, che appartiene a una classe di durezza
se scalfisce i materiali di riferimento con grado di durezza inferiore ed è scalfito dai materiali di
riferimento con grado di durezza superiore. Infine, benché sia possibile associare simboli numerici
ai livelli di una scala ordinale, non ha senso effettuare operazioni algebriche su questi ultimi.
Scale ordinali continue (o a intervalli)
Le scale a intervalli si ottengono quando, alle proprietà tipiche di una scala ordinale, si aggiunge
anche (P5) la possibilità di esprimere la distanza tra il misurando e una grandezza di riferimento,
mediante una legge di interpolazione. Di conseguenza, è possibile posizionare il misurando
all'interni di un intervallo tra due grandezze di riferimento. Esempi tipici di scala a intervalli sono le
scale di temperatura Celsius e Fahrenheit, in cui il valore di misura esprime la distanza tra “punto
fisso” di un materiale (Es: punto di congelamento dell'acqua per la scala Celsius), assunto come
zero della scala, con una unità di misura definita come frazione delle temperature associate allo
stato assunto come zero ed un altro “punto fisso” del materiale (Es: punto di ebollizione dell'acqua).
Una grandezza per la quale è possibile definire una scala a rapporto è detta “strumentale” o “di
stato”. Per conservare l'informazione associata ad una grandezza strumentale, una eventuale
trasformazione deve preservare la proprietà (P5), cioè la capacità di misurare la distanza da una
grandezza di riferimento. Di conseguenza, le trasformazioni devono essere “conformi”, cioè del tipo
y=αx+β. Sono infatti conformi le trasformazioni che consentono di passare da una temperatura
Celsius ad una temperatura Fahrenheit e viceversa, Tf = (9/5)*Tc+32 e Tc = (5/9)*(Tf-32) . Si
osservi che la scelta dello zero in una scala ordinale continua è arbitraria, e non corrisponde
all'assenza della manifestazione del fenomeno. Infatti, la temperatura di un materiale è una
manifestazione dell'energia cinetica media delle particelle che lo compongono, che non si annulla
né per lo zero della scala Celsius né per lo zero della scala Fahrenheit. Di conseguenza, una
grandezza strumentale non esprime il rapporto tra la manifestazione del misurando e la
manifestazione dell'unità di misura (ad esempio, trasformando due temperature Celsius di 20 e 10
gradi non ottengo due temperature Fahrenheit una la metà dell'altra, e viceversa), per cui non ha
senso effettuare operazioni algebriche tra i risultati di di grandezze strumentali.
Scale a Rapporto
In una scala a rapporto, alle proprietà di una scala ordinale continua si aggiunge quella (P6) che allo
zero della scala corrisponda l'assenza della manifestazione del fenomeno che la misura rappresenta.
In tal caso, la scelta dello zero non è più arbitraria, e ai risultati di misura possono essere applicate
operazioni algebriche (+,-,*,/). Una grandezza per la quale è possibile stabilire una scala a rapporto
è detta razionale, e le sue misure esprimono il rapporto tra la manifestazione del fenomeno e la
manifestazione dell'Unità di misura. Inoltre, il Processo Conoscitivo empirico che porta a misurare
una grandezza razionale è detto “Misurazione in senso stretto”. Un esempio di grandezza razionale
è la temperatura assoluta (scala Kelvin), il cui zero, detto zero assoluto, corrisponde alla totale
assenza di energia cinetica delle particelle che compongono un corpo. Per preservare l'informazione
associata ad una grandezza razionale, una trasformazione deve preservare la proprietà P6, per cui
essere una trasformazione lineare, cioè del tipo y=αx.
Si osservi che una grandezza razionale è un caso particolare di grandezza strumentale, che è un caso
particolare di grandezza ordinale, che è a sua volta un caso particolare di una grandezza selettiva.
Similmente, una trasformazione lineare è un caso particolare di trasformazione conforme, che è un
caso particolare di trasformazione monotona, che è a sua volta un caso particolare di trasformazione
biunivoca.