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Indici di posizione Corso di STATISTICA Prof. Roberta Siciliano Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 2011/2012 Prof. Roberta Siciliano Statistica 1 Obiettivi dell’unità didattica • Definire i concetti di base sugli indici di posizione • Richiamare l’attenzione su alcune proprietà della media aritmetica Contenuti – Moda – Mediana – Media aritmetica Prof. Roberta Siciliano Statistica 2 1 La moda Per distribuzioni di frequenze assolute X x1 x2 • xi • xk ni n1 n2 • ni • nk n Prof. Roberta Siciliano Statistica 3 La moda Per distribuzioni di frequenze relative X x1 x2 • xi • xk Fr. relative Prof. Roberta Siciliano f1 f2 • fi • fk 1 Statistica 4 2 La moda X Fr. assolute Densità di frequenza x0—x1 x1—x2 • xi-1—xi • xk-1—xk n1 n2 • ni • nk d1 d2 • di • dk Prof. Roberta Siciliano Per distribuzioni in classi Si parla in questo caso di classe modale Statistica 5 Pregi e difetti della moda • Pregi • Difetti – Semplice da individuare Prof. Roberta Siciliano – Troppo influenzata da singole osservazioni – Non è monotona – Per distribuzioni in classi, va analizzata l’ampiezza delle classi e la uniformità della distribuzione nelle stesse Statistica 6 3 La mediana È la modalità osservata sull’unità statistica che occupa la posizione centrale nella distribuzione unitaria ordinata in senso non decrescente. Nel punto mediano la funzione di ripartizione empirica è pari a 0.5 Prof. Roberta Siciliano Statistica 7 La mediana per variabili discrete ⎧ X ( N 2) + X ( N 2) +1 ⎪ 2 Me = ⎨ X ⎛ N +1⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 2 ⎠ € Prof. Roberta Siciliano Statistica N = pari N = dispari 8 4 Esempio 1, 2, 3, 4, 5, 5 Prof. Roberta Siciliano Statistica 9 Esempio 1, 2, 3, 4, 5 Prof. Roberta Siciliano Statistica 10 5 La mediana per variabili discrete Per distribuzioni di frequenza X Fr. Relative cumulate x1 x2 • xi • xk F1 F2 • Fi • Fk Prof. Roberta Siciliano Statistica 11 esempio X Fr. relative Fr. relative cumulate 1 3 5 6 0.2 0.1 0.4 0.3 1 0.2 0.3 0.7 1 Prof. Roberta Siciliano Statistica 12 6 La mediana per variabili continue X x0—x1 x1—x2 • xi-1—xi • xk-1—xk Prof. Roberta Siciliano Fr. Fr. relative assolute f1 F1 f2 F2 • • fi Fi • • fk 1 Statistica 13 ( Me − x i*−1) : ( x i* − x i*−1) = (0.5 − Fi*−1) : (Fi* − Fi*−1) € Prof. Roberta Siciliano Statistica 14 7 Medie secondo Chisini f (x1, x 2 ,, x N ) = f (M, M,, M) € con x(1) ≤ x( 2) ≤ ≤ M ≤ ≤ x( N −1) ≤ x( N ) Prof. Roberta Siciliano Statistica 15 € Media aritmetica (semplice) N f (x1, x 2 ,, x N ) = ∑ x l l =1 f (x1, x 2 ,, x N ) = f ( µ, µ,, µ) N € N N l =1 x l = Nµ Consideriamo come criterio la somma degli elementi € € ∑ ∑l =1 x l = ∑l =1 µ Prof. Roberta Siciliano € Statistica 16 8 media aritmetica (ponderata) per… distribuzioni di frequenze assolute Consideriamo una variabile X nella forma: (x i ,n i ) i=1, 2,,K …la media aritmetica sarà: € Prof. Roberta Siciliano Ogni xi ha un’influenza dettata da ni Statistica 17 media aritmetica (ponderata) per… distribuzioni di frequenze relative Consideriamo una variabile X nella forma: (x i , f i ) i=1,2,,K …la media aritmetica sarà: € Ogni xi ha un’influenza dettata da fi Prof. Roberta Siciliano Statistica 18 9 media aritmetica (semplice e ponderata) per… distribuzioni in classi Si considerano i valori centrali di ogni classe …la media aritmetica sarà: Si ipotizza uniformità nelle classi!!!! Prof. Roberta Siciliano Statistica 19 con alcuni esempi vediamo perché diciamo… aritmetica Dati i valori 1, 2 e 3, la media è Dati i valori 1, 2, 3, 4 e 5, la media è Progressioni aritmetiche di ragione 1 con n dispari La media in questo caso è il VALORE CENTRALE della distribuzione Prof. Roberta Siciliano Statistica 20 10 con alcuni esempi vediamo perché diciamo… aritmetica Dati i valori 3, 8 e 13, la media è Dati i valori 3, 8, 13, 18 e 23, la media è Prof. Roberta Siciliano Statistica Progressioni aritmetiche di ragione 5 con n dispari La media in questo caso è il VALORE CENTRALE della distribuzione 21 1a Proprietà della media aritmetica l’internalità o criterio di Cauchy Consideriamo una variabile X: x(1) ≤ x( 2) ≤ ≤ x( N −1) ≤ x( N ) cioè: € Sommando per ciascun l abbiamo: Prof. Roberta Siciliano Statistica 22 11 ∑ x( ) ≤ ∑ x( ) ≤ ∑ x( ) Nx( ) ≤ ∑ x( ) ≤ Nx( ) 1 l l N l l 1 l N Dividendo tutto per N e semplificando l Nx(1) € N € ∑ x( ) l l ≤ ≤ N Nx( N ) N ∑ x( ) l x(1) ≤ € l ≤ x( N ) N Prof. Roberta Siciliano Statistica 23 € 2a Proprietà della media aritmetica la media come baricentro della distribuzione Dire che la media è il baricentro della distribuzione equivale a dire che: ∑ (x l l − µ) = 0 dove € Sono gli scarti dalla media Prof. Roberta Siciliano Statistica 24 12 ∑ (x − µ) =∑ x − ∑ µ = = ∑ x − Nµ Esplicitando µ e semplificando abbiamo: ∑x ∑ x −N N l l l € € l l l l l € l l l Prof. Roberta Siciliano Statistica 25 …graficamente abbiamo…. Prof. Roberta Siciliano Dove si posizionerà la media aritmetica? Statistica La media aritmetica è il baricentro della distribuzione 26 13 3a Proprietà della media aritmetica linearità Consideriamo una variabile X con media µX e consideriamo la seguente combinazione lineare: Y = α ± βX Si può facilmente vedere che: € µY = α ± βµX € Prof. Roberta Siciliano Statistica 27 € dim. Consideriamo: X : x1, x 2 ,, x N Y = α ± βX Y : (α + βx ),(α + βx ),,(α + βx ) 1 2 N € € € µY = 1 1 1 ∑ (α + βx ) = ∑ α + ∑ βx ⇔ l l N N N Prof. Roberta Siciliano Statistica 28 € 14 dim. (cont.) 1 1 = Nα + β∑ (x ) = l N N =α+β € € 1 ∑ x = α + βµX l N C.V.D Prof. Roberta Siciliano Statistica 29 Ancora sulla 3a Proprietà della media aritmetica linearità Consideriamo una variabile X con media µX e consideriamo la seguente combinazione lineare: Y =α ± X Si può facilmente vedere che: € Prof. Roberta Siciliano € µY = α ± µX Statistica 30 € 15 dim. Nella dimostrazione precedente porre Prof. Roberta Siciliano Statistica 31 Ancora sulla 3a Proprietà della media aritmetica linearità Consideriamo una variabile X con media µX e consideriamo la seguente combinazione lineare: Y = βX Si può facilmente vedere che: € µY = βµX € Prof. Roberta Siciliano Statistica 32 € 16 dim. Nella dimostrazione precedente porre Prof. Roberta Siciliano Statistica 33 4a Proprietà della media aritmetica media della distribuzione delle medie parziali Se stratifichiamo il collettivo di N unità statistiche secondo le modalità distinte del carattere X, possiamo calcolare la media parziale di Y in ciascun gruppo. La media generale di Y è equivalente alla media della distribuzione delle medie parziali di Y: µY |X =x ,n i+ i = 1,...,K ( i ) K € 1 µY = ∑ µY |X =x i n i+ N i=1 con ∑ n i+ = N i Prof. Roberta Siciliano Statistica 34 € 17
