Indici di posizione
Corso di STATISTICA
Prof. Roberta Siciliano
Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II
Professore supplente, Università della Basilicata
a.a. 2011/2012
Prof. Roberta Siciliano
Statistica
1
Obiettivi dell’unità didattica
• Definire i concetti di base sugli indici di
posizione
• Richiamare l’attenzione su alcune proprietà
della media aritmetica
Contenuti
– Moda
– Mediana
– Media aritmetica
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Statistica
2
1
La moda
Per distribuzioni di frequenze assolute
X
x1
x2
•
xi
•
xk
ni
n1
n2
•
ni
•
nk
n
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3
La moda
Per distribuzioni di frequenze relative
X
x1
x2
•
xi
•
xk
Fr. relative
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f1
f2
•
fi
•
fk
1
Statistica
4
2
La moda
X
Fr. assolute
Densità di
frequenza
x0—x1
x1—x2
•
xi-1—xi
•
xk-1—xk
n1
n2
•
ni
•
nk
d1
d2
•
di
•
dk
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Per distribuzioni in classi
Si parla in questo
caso di classe modale
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5
Pregi e difetti della moda
• Pregi
• Difetti
– Semplice da
individuare
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– Troppo influenzata da
singole osservazioni
– Non è monotona
– Per distribuzioni in
classi, va analizzata
l’ampiezza delle classi
e la uniformità della
distribuzione nelle
stesse
Statistica
6
3
La mediana
È la modalità osservata sull’unità statistica
che occupa la posizione centrale nella
distribuzione unitaria ordinata in senso non
decrescente.
Nel punto mediano la funzione di
ripartizione empirica è pari a 0.5
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7
La mediana per variabili discrete
⎧ X ( N 2) + X ( N 2) +1
⎪
2
Me = ⎨
X ⎛ N +1⎞
⎪
⎜
⎟
⎩
⎝ 2 ⎠
€
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N = pari
N = dispari
8
4
Esempio
1, 2, 3, 4, 5, 5
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9
Esempio
1, 2, 3, 4, 5
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5
La mediana per variabili discrete
Per distribuzioni di frequenza
X
Fr.
Relative
cumulate
x1
x2
•
xi
•
xk
F1
F2
•
Fi
•
Fk
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11
esempio
X
Fr. relative
Fr. relative
cumulate
1
3
5
6
0.2
0.1
0.4
0.3
1
0.2
0.3
0.7
1
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6
La mediana per variabili continue
X
x0—x1
x1—x2
•
xi-1—xi
•
xk-1—xk
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Fr.
Fr.
relative assolute
f1
F1
f2
F2
•
•
fi
Fi
•
•
fk
1
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13
( Me − x i*−1) : ( x i* − x i*−1) = (0.5 − Fi*−1) : (Fi* − Fi*−1)
€
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7
Medie secondo Chisini
f (x1, x 2 ,, x N ) = f (M, M,, M)
€
con
x(1) ≤ x( 2) ≤ ≤ M ≤ ≤ x( N −1) ≤ x( N )
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€
Media aritmetica
(semplice)
N
f (x1, x 2 ,, x N ) = ∑ x l
l =1
f (x1, x 2 ,, x N ) = f ( µ, µ,, µ)
N
€
N
N
l =1
x l = Nµ
Consideriamo come criterio
la somma degli elementi
€
€
∑
∑l =1 x l = ∑l =1 µ
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€
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8
media aritmetica (ponderata) per…
distribuzioni di frequenze assolute
Consideriamo una variabile X nella forma:
(x i ,n i )
i=1, 2,,K
…la media aritmetica sarà:
€
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Ogni xi ha un’influenza
dettata da ni
Statistica
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media aritmetica (ponderata) per…
distribuzioni di frequenze relative
Consideriamo una variabile X nella forma:
(x i , f i )
i=1,2,,K
…la media aritmetica sarà:
€
Ogni xi ha un’influenza
dettata da fi
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media aritmetica (semplice e ponderata) per…
distribuzioni in classi
Si considerano i valori centrali di ogni classe
…la media aritmetica sarà:
Si ipotizza uniformità nelle classi!!!!
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con alcuni esempi vediamo perché diciamo…
aritmetica
Dati i valori 1, 2 e 3, la media è
Dati i valori 1, 2, 3, 4 e 5, la media è
Progressioni
aritmetiche di
ragione 1 con n
dispari
La media in questo
caso è il VALORE
CENTRALE
della distribuzione
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10
con alcuni esempi vediamo perché diciamo…
aritmetica
Dati i valori 3, 8 e 13, la media è
Dati i valori 3, 8, 13, 18 e 23, la media è
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Progressioni
aritmetiche di
ragione 5 con n
dispari
La media in
questo caso è il
VALORE
CENTRALE
della
distribuzione
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1a Proprietà della media aritmetica
l’internalità o criterio di Cauchy
Consideriamo una variabile
X:
x(1) ≤ x( 2) ≤ ≤ x( N −1) ≤ x( N )
cioè:
€
Sommando per ciascun l abbiamo:
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11
∑ x( ) ≤ ∑ x( ) ≤ ∑ x( )
Nx( ) ≤ ∑ x( ) ≤ Nx( )
1
l
l
N
l
l
1
l
N
Dividendo tutto per N e
semplificando
l
Nx(1)
€
N
€
∑ x( )
l
l
≤
≤
N
Nx( N )
N
∑ x( )
l
x(1) ≤
€
l
≤ x( N )
N
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€
2a Proprietà della media aritmetica
la media come baricentro della distribuzione
Dire che la media è il baricentro della
distribuzione equivale a dire che:
∑ (x
l
l
− µ) = 0
dove
€
Sono gli scarti dalla media
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24
12
∑ (x − µ) =∑ x − ∑ µ =
= ∑ x − Nµ Esplicitando µ e semplificando
abbiamo:
∑x
∑ x −N N
l
l
l
€
€
l
l
l
l
l
€
l
l
l
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25
…graficamente abbiamo….
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Dove si
posizionerà la
media
aritmetica?
Statistica
La media
aritmetica è
il baricentro della
distribuzione
26
13
3a Proprietà della media aritmetica
linearità
Consideriamo una variabile X con media µX
e consideriamo la seguente combinazione lineare:
Y = α ± βX
Si può facilmente vedere che:
€
µY = α ± βµX
€
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27
€
dim.
Consideriamo:
X : x1, x 2 ,, x N
Y = α ± βX
Y : (α + βx ),(α + βx ),,(α + βx )
1
2
N
€
€
€
µY =
1
1
1
∑ (α + βx ) = ∑ α + ∑ βx ⇔
l
l
N
N
N
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28
€
14
dim. (cont.)
1
1
= Nα + β∑ (x ) =
l
N
N
=α+β
€
€
1
∑ x = α + βµX
l
N
C.V.D
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29
Ancora sulla 3a Proprietà della media aritmetica
linearità
Consideriamo una variabile X con media µX
e consideriamo la seguente combinazione lineare:
Y =α ± X
Si può facilmente vedere che:
€
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€
µY = α ± µX
Statistica
30
€
15
dim.
Nella dimostrazione precedente porre
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Ancora sulla 3a Proprietà della media aritmetica
linearità
Consideriamo una variabile X con media µX
e consideriamo la seguente combinazione lineare:
Y = βX
Si può facilmente vedere che:
€
µY = βµX
€
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32
€
16
dim.
Nella dimostrazione precedente porre
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4a Proprietà della media aritmetica
media della distribuzione delle medie parziali
Se stratifichiamo il collettivo di N unità statistiche secondo le
modalità distinte del carattere X, possiamo calcolare la media
parziale di Y in ciascun gruppo.
La media generale di Y è equivalente alla media della distribuzione
delle medie parziali di Y: µY |X =x ,n i+ i = 1,...,K
(
i
)
K
€
1
µY = ∑ µY |X =x i n i+
N i=1
con ∑ n i+ = N
i
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34
€
17
