IL MOTO DEI CORPI
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LA CINEMATICA E LE SUE GRANDEZZE
La CINEMATICA è quella parte della fisica meccanica che studia il moto dei corpi; ricordiamo che
nelle scienze fisiche un “corpo” è qualsiasi oggetto composto di materia, e “moto” è sinonimo di
movimento; la cinematica studia il moto dei corpi senza indagare sulle cause che lo generano,
oggetto invece di studio della dinamica.
Dal momento che si fa uso di grandezze quantificabili e di rappresentazioni grafiche, occorre
qualche chiarimento preliminare sullo studio del moto dei corpi.
GRANDEZZE COSTANTI E VARIABILI
Alcune (poche) delle grandezze che utilizziamo sono delle costanti, ovvero hanno un valore che non
cambia mai; come detto, sono molto poche, ad esempio (a meno di considerare tempi lunghissimi
rispetto alla scala di tempi umani), l’altezza di una montagna o l’altitudine di una località rispetto al
livello del mare, ma anche la velocità della luce o del suono o altre costanti che appaiono nelle
formule fisiche.
Al contrario la stragrande maggioranza delle grandezze che prenderemo in considerazione sono
variabili ovvero il loro valore non è fisso ma cambia; non solo ma in molti casi queste grandezze
variano “a coppie”, ovvero una delle due varia in forma dipendente dal variare di un’altra, o, come
si dice in matematica, una delle due varia in funzione dell’altra; ad esempio, in cinematica, lo
spazio percorso varia in funzione del tempo impiegato a percorrerlo, ovvero, al passare del tempo,
varia la posizione del corpo in movimento rispetto ad un punto fissato come origine.
RELATIVITA’ DEL MOTO E SISTEMA DI RIFERIMENTO
Un aspetto molto importante del moto dei corpi è che un corpo sembra muoversi diversamente a
seconda del “punto di vista” da cui lo osserviamo; un aereo sembra muoversi perfettamente in linea
retta ma se potessimo osservarlo da uno shuttle in orbita intorno alla terra lo vedremmo percorrere
un arco di circonferenza; mentre viaggiamo su un treno dal nostro punto di vista siamo fermi ma il
conducente di un auto ferma al passaggio a livello ci vedrà sfrecciare, di sfuggita dal finestrino, alla
stessa velocità del treno; quando in stazione c’è un altro treno fermo accanto al nostro e lo vediamo
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“muoversi all’indietro”, per un attimo abbiamo il dubbio se sia davvero ripartito nel senso di marcia
contrario al nostro, o se invece è il nostro treno ad essersi rimesso in moto; possiamo sciogliere i
nostri dubbi fissando la stazione al nostro fianco, ovvero un qualcosa che rispetto a noi sia “fisso” o
“fermo”.
I termini vanno messi tra virgolette in quanto in realtà, anche se non siamo in movimento,
partecipiamo dei moti di rotazione e rivoluzione della Terra, e dunque, per un ipotetico osservatore
che ci vedesse da una stella lontana, non saremmo assolutamente fermi!
Di conseguenza, per studiare correttamente il moto di un corpo, occorre osservarlo da un punto di
vista che possa considerarsi sufficientemente “fermo”rispetto all’oggetto in movimento.
Per rappresentare le grandezze che variano nel moto si fa uso delle coordinate cartesiane, uno dei
sistemi più adatti a rappresentare l’andamento di coppie di grandezze variabili una in funzione
dell’altra.
LA TRAIETTORIA
In Cinematica, spesso si schematizza un corpo esteso in movimento riducendolo all’immagine di un
punto, detto punto materiale in cui si considera concentrata la massa del corpo che stiamo
studiando.
Tale punto non è un punto geometrico in quanto ha delle proprietà (come la massa) che non
appartengono al punto geometrico.
Un corpo, visualizzato come punto in materiale, in movimento, come detto, occupa posizioni
diverse al passare del tempo; se immaginiamo di tracciare una linea che unisce tra loro tutte le
posizioni del punto materiale nei vari istanti in cui si sta muovendo, questa linea (immaginaria) che
otteniamo è detta traiettoria.
In base alla traiettoria i moti si distinguono in moto rettilineo (quando la traiettoria è una linea
retta) o moto curvilineo quando la traiettoria è una curva.
Sul moto rettilineo si dirà di più nelle prossime pagine, perché pur non essendo il più comune, è
molto più semplice da studiare.
Tra i moti curvilinei sono degni di nota il moto circolare (quello compiuto, ad esempio, da un punto
sul bordo di un cd posto in rotazione nel lettore), e il moto ellittico (per ora diciamo che l’ellisse
somiglia ad una circonferenza “allungata” da un lato, quello dei pianeti intorno al Sole).
Il moto di un “proiettile”, ovvero di qualsiasi oggetto lanciato verso l’alto e poi lasciato cadere (da
un gesso tirato ad un pallone calciato) segue invece una traiettoria costituita da un’altra curva
“notevole” in matematica, che si chiama parabola.
SPAZIO E TEMPO
Per spazio (s) si intende la distanza percorsa dal corpo in movimento rispetto ad un punto fisso,
detto origine, da cui si fa partire il moto del corpo; le sue unità di misura sono unità di lunghezza (le
più usate sono il metro, m o il Kilometro, Km).
Un altro importante descrittore del moto è il tempo (t), in quanto, oltre allo spazio percorso dal
corpo, è importante conoscere quanto tempo ha impiegato a percorrerlo; le unità di misura utilizzate
per il tempo sono ore (h), minuti (m) e secondi (s); occorre ricordare che il sistema di misura dei
tempi non è decimale ma sessagesimale (su base 60) e quindi un’ora corrisponde a 60 minuti e a
3600 (60*60) secondi.
Per la misura del tempo si utilizzano i cronometri; quelli da laboratorio hanno una sensibilità pari al
decimo di secondo.
LA VELOCITA’
Combinando insieme le misure di spazio e di tempo si ottiene un’altra importante grandezza che
descrive il moto dei corpi, derivata dalle altre due; questa grandezza è detta velocità (v) e quantifica
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la variazione della posizione del corpo nel tempo; si ottiene come rapporto tra lo spazio percorso e
il tempo impiegato dal corpo a percorrerlo; in formule: v = s/t; la sua unità di misura è quella di
un’unità di lunghezza divisa per un’unità di tempo; il contachilometri di un automobile (tachìmetro)
riporta la velocità espressa in Km/h (Kilometri orari) ma, in fisica, si utilizza di più un’altra unità,
ovvero il m/s (metro al secondo); la stessa velocità ha un valore numerico diverso a seconda
dell’unità in cui viene espressa, dal momento che 1 Km = 1000 m mentre per il tempo 1 h = 3600 s;
vale dunque la seguente equivalenza: v (Km/h) = v (m/s) * 3,6 e vale l’equivalenza inversa v (m/s)
= v (Km/h) : 3,6.
La velocità di un corpo in moto può essere costante o variabile nel corso del movimento stesso; il
moto a velocità costante si chiama moto uniforme; in caso contrario si parla di moto vario.
Approfondimento: il moto armonico
Oltre a quelli descritti sopra, esiste un altro tipo di moto, a cui è giusto accennare: il moto armonico.
E’ quello caratteristico di un oggetto che, nel suo movimento, compie delle oscillazioni attorno ad una
posizione fissa; è il caso del moto del pendolo (costituito da una massa sospesa a un filo libera di
oscillare lungo un piano), o quello di una massa attaccata ad una molla, che, una volta lasciata libera,
fa compiere alla molla delle oscillazioni attorno alla posizione di riposo.
Si tratta di un moto dalla descrizione matematica molto complessa, in cui la velocità varia ad ogni
istante (pari a 0 nelle posizioni estreme e massima quando il corpo passa per la posizione centrale di
equilibrio).
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IL MOTO RETTILINEO UNIFORME
Il moto di un corpo si dice rettilineo quando la sua traiettoria è una linea retta, ed uniforme quando
la velocità è costante, ovvero non varia; si tratta di un tipo di moto molto raro da vedere, ma è il più
semplice da studiare, in quanto, a velocità costante, un corpo che si muove di questo tipo di moto
percorre spazi uguali in tempi uguali.
La legge oraria del moto rettilineo uniforme, ovvero la funzione che esprime come varia lo spazio
percorso in funzione del tempo impiegato a percorrerlo è la seguente: s = v*t; pertanto, fissato il
valore della velocità del corpo di cui stiamo studiando il moto, e fissati dei valori a piacere per i vari
intervalli di tempo (variabile indipendente), per determinare le corrispondenti distanze percorse
basterà moltiplicare i valori del tempo per la velocità (costante su tutto il percorso).
Andando ad inserire i valori ottenuti sul piano cartesiano, vediamo che i punti corrispondenti alle
coppie di coordinate sono perfettamente allineati, per cui il grafico della legge oraria del moto
rettilineo uniforme è una semiretta passante per l’origine degli assi.
Una funzione con un grafico del genere in matematica è chiamata funzione di proporzionalità
diretta, ovvero, per ogni coppia di valori che assumono le variabili, il loro rapporto (in questo caso
rapresentato dalla velocità) è costante.
Qui sotto è possibile vedere, su uno stesso piano spazio-tempo, i grafici del moto corrispondenti a
tre valori diversi di velocità, rispettivamente di 2 m/s, 1 m/s e 0.5 m/s.
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Come si può vedere confrontando le tre semirette, la velocità, sul grafico, corrisponde alla pendenza
della semiretta che rappresenta la funzione; maggiore è il valore della velocità e maggiore è la
pendenza della semiretta, che sarà quindi più “ripida” e vicina all’asse delle ordinate (degli spazi);
per valori più bassi della velocità, la semiretta invece “scende” verso l’asse dei tempi e la sua
pendenza è più “dolce”.
Il caso limite del corpo che si muove a velocità = 0 corrisponde, sul piano cartesiano, ad una
semiretta completamente orizzontale, ovvero coincidente con l’asse delle ascisse (dei tempi).
Potremmo a questo punto chiederci se ha significato fisico l’altra possibile situazione estrema,
ovvero del moto di un corpo rappresentato da una semiretta perfettamente verticale, ovvero
coincidente con l’asse delle ordinate.
La risposta è no, in quanto ciò corrisponderebbe ad un corpo che si muove con velocità infinita, il
che fisicamente è un’assurdità dal momento che esiste un limite superiore alla velocità, dato dalla
velocità della luce, che nessun corpo in movimento può superare.
Questo è un valore molto alto (in m/s è pari a 3 seguito da otto zeri) ma non è infinito; sulla terra la
luce sembra arrivare in maniera istantanea; ma la luce del sole (distante da noi 150 milioni di
chilometri) impiega 8 minuti per arrivare a noi, e quella della stella a noi più vicina (escluso il sole)
impiega, per arrivare fino a noi, più di 4 anni.
Di questi aspetti, e delle loro implicazioni sui tempi e l’osservazione del cielo, si riparlerà nella
sezione dedicata all’astronomia.
Approfondimento: la velocità del suono
Il suono, in assenza di ostacoli, si trasmette in linea retta; necessita sempre di un mezzo materiale (nel
vuoto non si possono udire suoni) e, a differenza della luce, la sua velocità aumenta all’aumentare della
densità del mezzo (in acqua si trasmette più velocemente che nell’aria); la velocità del suono nell’aria è
pari a circa 340 m/s; spesso si utilizza un’altra unità di misura che si chiama Mach; così la velocità del
suono si dice essere pari a Mach 1; questa è un’unità utilizzata molto da chi fa un lavoro in cui si occupa di
aerei: quando un velivolo raggiunge la velocità di Mach 1, da terra sentiamo il tipico boato (l’aereo ha
“infranto la barriera del suono”) dovuto alla compressione delle onde sonore che l’aereo genera davanti a
sé; si considerano supersonici gli aerei che viaggiano a una velocità di Mach 5 (ovvero 5 volte la velocità
del suono in aria) ma, ultimamente, sono stati realizzati velivoli che viaggiano fino a Mach 11 (11 volte la
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velocità del suono).
IL MOTO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
L’ACCELERAZIONE
Quando siamo in presenza di un tipo di moto in cui la velocità non è costante, ma varia, occorre
introdurre per descriverlo una nuova grandezza che quantifica di quanto varia la velocità al passare
del tempo; questa grandezza si chiama accelerazione e si definisce, appunto, come la variazione
della velocità nel tempo, e si calcola come rapporto tra la variazione di velocità osservata e
l’intervallo di tempo trascorso.
Quanto all’unità di misura per questa nuova grandezza, è quella di una velocità divisa per un tempo;
dato che la velocità si esprime in m/s e il tempo in s, l’unità di misura dell’accelerazione sarà il
m/s^2 (che si legge “metro al secondo quadrato”); un valore di accelerazione (simbolo a) di 1 m/s^2
significa che la velocità del corpo, per ogni secondo che passa, aumenta di 1 m/s; per cui, se il corpo
parte da fermo (v iniziale = 0), dopo 1 s la sua velocità sarà di 1 m/s, dopo due secondi sarà di 2 m/s
e così via.
Esercizio svolto: Un corpo, con una velocità iniziale di 10 m/s, raggiunge in 5 secondi la velocità di
40 m/s; calcola la sua accelerazione.
SVOLGIMENTO: Dato che l’accelerazione è definita come variazione di velocità (nel nostro caso
40 m/s – 10 m/s = 30 m/s) diviso l’intervallo di tempo (5 s); per cui sarà a = (30 m/s):5s = 6 m/s^2.
Il moto uniformemente accelerato
E’ di norma molto difficile studiare un moto in cui la velocità cambia ad ogni istante in maniera
irregolare, per cui tra tutti i tipi di moto vario quello che si prende in esame è il cosiddetto moto
uniformemente accelerato, in cui la velocità cambia ad ogni istante, ma l’accelerazione è costante,
per cui la velocità varia, col passare del tempo, in maniera regolare.
In un moto del genere, è importante studiare non solo la legge oraria (spazio percorso in funzione
del tempo impiegato) ma anche la relazione che lega velocità e tempo.
In questo caso, in cui l’accelerazione è costante, la velocità è direttamente proporzionale al tempo
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trascorso, e le variazioni di velocità sono uguali in intervalli di tempo uguali.
La relazione che lega tempo e velocità è v = a*t (velocità = accelerazione *tempo).
Con una serie di passaggi matematici, e a partire dalla precedente relazione velocità tempo, si arriva
alla legge oraria del moto uniformemente accelerato, che è la seguente: s = (a * t^2)/2
vediamo, in questo caso, che lo spazio non è direttamente proporzionale al tempo, ma al tempo
elevato alla seconda potenza; di conseguenza, stavolta il corpo non percorre spazi uguali in tempi
uguali ma, al trascorrere del tempo, aumenta lo spazio percorso tra i singoli intervalli di tempo.
Quindi, mentre esiste una relazione lineare tra velocità e tempo (il grafico sarà una semiretta
passante per l’origine), il grafico cartesiano dela legge oraria per questo tipo di moto sarà quello
tipico delle funzioni in cui una variabile è pari a un valore costante moltiplicato per l’altra variabile
elevata al quadrato, ovvero sarà rappresentata da un arco di parabola.
Le seguenti immagini mostrano i grafici velocità/tempo e spazio/tempo per una accelerazione pari a
9.8 m/s^2 (clicca per ingrandire).
Il valore di 9.8 dato all’accelerazione nell’esempio proposto non è casuale; si tratta di quella
corrispondente al moto di caduta libera dei corpi; se lasciamo cadere un corpo da una certa altezza,
cade al suolo muovendosi in linea retta con moto uniformemente accelerato ed accelerazione pari a
9.8 m/s^2; questo valore, valido sul pianeta Terra, è chiamato accelerazione di gravità, e si indica
con la lettera g minuscola (al posto della generica a di accelerazione); ogni corpo celeste ha un
diverso valore di g, che dipende dalla sua massa e dalle sue dimensioni (sulla Luna è g = 1.6
m/s^2).
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Approfondimento n.1 :i “gravi” di Galileo, il piano inclinato e il tubo di Newton
Potrebbe sorprenderci il fatto che l’accelerazione di gravità sia costante, e che la legge oraria del
moto di caduta libera ci dica che un corpo, di qualunque massa e dimensioni, lasciato cadere da una
certa altezza, tocchi terra nel medesimo tempo sia che si tratti di una piuma, sia che si tratti di un
pianoforte o di un masso pesante.
Galileo Galilei realizzò (almeno così si dice) realizzò un esperimento divenuto leggendario durante cui
gettò, da una delle finestre della Torre di Pisa, due “gravi” (oggetti pesanti) e verificò che toccavano
terra nello stesso momento; più realisticamente, determinò l’accelerazione di gravità realizzando
esperimenti col piano inclinato, in modo da studiare il moto di caduta libera dopo averlo rallentato a
sufficienza per poterlo misurare con il suo rudimentale orologio ad acqua (ricordiamo che visse e
operò nel ’600); per questi ed altri esperimenti Galileo è considerato uno dei pionieri della moderna
fisica sperimentale.
In realtà, due oggetti di massa molto diversa non toccheranno terra nello stesso momento, perché
una piuma risentirà della resistenza dell’aria molto più di un oggetto pesante, e toccherà terra molto
dopo; la legge del moto di caduta libera si verifica perfettamente solo nel vuoto, ed esiste un
apparecchiatura in grado di crearlo; questa consiste in un tubo di plastica, in fondo a cui si trovano
delle palline metalliche e delle piume; ad esso è collegato una pompa che espelle l’aria dal tubo
creando il voto; una volta creato il vuoto, se rovesciamo il tubo, vediamo che le palline di metallo e le
piume cadono fino all’estremità opposta davvero nello stesso tempo.
Approfondimento n.2: Spostamento, velocità e accelerazione sono vettori
Finora abbiamo parlato genericamente di distanza percorsa ma, se ci riflettiamo, quando diciamo “Ho
percorso 100 m”, in realtà abbiamo detto ben poco, ed è necessario aggiungere delle altre
informazioni; innanzitutto occorre specificare in quale direzione ci siamo spostati, ovvero la retta
lungo cui ci siamo mossi (ad esempio in direzione nord-sud o est-ovest); una volta specificata la
direzione, occorre considerare il fatto che una singola direzione può essere percorsa in due versi
opposti (ad esempio da Nord verso Sud o viceversa da Sud verso Nord); per cui per indicare una
grandezza come lo spostamento non basta indicare il suo valore numerico (detto modulo o intensità)
ma si devono specificare anche la direzione e il verso dello spostamento.
Grandezze di questo tipo, che hanno anche una direzione e un verso sono dette grandezze vettoriali.
Le grandezze che non hanno direzione e verso (come il tempo) sono invece dette grandezze scalari;
dal momento che la velocità è data dallo spostamento diviso per il tempo, anche la velocità è una
grandezza vettoriale, con direzione e verso uguali a quelli dello spostamento; e dato che
l’accelerazione è data dalla velocità divisa per il tempo, è anch’essa una grandezza vettoriale.
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ESERCIZI SUL MOTO
Problema n.1: Durante un temporale (prova INVALSI 2013)
La velocità del suono nell’aria è di 340 m/s, molto inferiore a quella della luce; durante un
temporale, un fulmine si scarica a terra. Mario vede il lampo e dopo 3 secondi sente il tuono. a) a
che distanza da Mario, all’incirca, si è scaricato il fulmine? b) Dopo quanto tempo Mario avrebbe
sentito il tuono se il fulmine si fosse scaricato a una distanza di 1,7 Km da lui? (possiamo supporre,
per le distanze a cui siamo abituati sulla Terra, che la luce del lampo arrivi istantaneamente).
Svolgimento: come si è detto, da Terra possiamo supporre che la luce arrivi istantaneamente; a
seguito di ciò, essendo la velocità del suono decisamente inferiore a quella della luce, il tuono arriva
“in ritardo” rispetto al lampo; dall’entità di tale ritardo è possibile dedurre la distanza, da noi, a cui è
caduto il fulmine.
Per rispondere a entrambe le domande applichiamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme,
utilizzando la velocità del suono.
Per cui, se il ritardo del tuono è di 3 secondi, il rumore ha dovuto percorrere, alla velocità di 340
Km/s, una distanza pari a (essendo s = v*t) 3 s * 340 m/s = 1020 m; per cui, un ritardo del tuono di
soli 3 secondi significa che il fulmine si è scaricato ad oltre 1 Km di distanza da dove noi siamo.
Per rispondere alla domanda b utilizziamo la formula inversa (tempo = spazio/velocità); con i dati
che abbiamo: tempo (ovvero ritardo del tuono) = 1700 m/340 (m/s) = 5 secondi; se un fulmine cade
a 1,7 Km da noi, sentiremo il rombo del tuono circa 5 secondi dopo aver visto la luce del lampo.
Problema n.2: Moto vario
Un corpo in movimento percorre una distanza di 300 m in 5 s; successivamente si ferma per 10 s, ed
infine percorre gli ultimi 150 m in 15 s. Determina la velocità del corpo in ciascuno dei tratti, e la
velocità media sull’intero percorso.
Svolgimento: Il grafico corrispondente a questo tipo di moto (moto vario divisibile in tratti di moto
rettilineo uniforme) è il seguente:
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Come detto il moto del corpo in esame può essere suddiviso in tre tratti (OA, AB e BC) di moto
uniforme, studiabili separatamente; poiché in ciascun tratto il corpo si muove di moto rettilineo
uniforme, è possibile calcolare la velocità con la semplice formula v = s/t; così nel tratto OA
(maggiore pendenza = maggiore velocità), risulterà v = 300m/5 s = 60 m/s.
Il tratto AB è rappresentato, sul grafico, da un segmento orizzontale, il che significa che per 10 s il
corpo non ha percorso alcuna distanza, è rimasto fermo; come infatti sappiamo, i tratti orizzontali
sul grafico spazio/tempo corrispondono a intervalli di tempo in cui il corpo non si muove; la
velocità del corpo nel tratto AB è, pertanto, pari a 0; il tratto finale, BC, corrisponde ad uno spazio
di 150 m percorso in 15 s; la corrispondente velocità sarà quindi pari a 150 m/15 s = 10 m/s.
Quanto alla velocità media, si determina approssimando l’intero grafico con un unico tratto
rettilineo (linea nera sottile in figura) che unisce il punto di partenza con quello d’arrivo del moto;
la velocità sarà, graficamente, la pendenza di quest’ultima linea e si calcolerà dividendo la
lunghezza dell’intero percorso (300 + 150 = 450 m) per il tempo complessivo impiegato a
percorrerlo, compreso quello in cui il corpo non si è mosso (ovvero 5+10+15 = 30 s); pertanto sarà
velocità media (vm) = 450 m/30 s = 15 m/s
Problema n.3: un corpo in caduta libera
Un corpo viene lasciato cadere da un’altezza di 100 m dal suolo; determina a) dopo quanto tempo il
corpo tocca terra e b) la velocità assunta dal corpo immediatamente prima di arrivare al suolo.
Svolgimento: per risolvere questo problema occorre considerare le seguenti formule: la n.1 è la
legge oraria del moto di caduta libera, e la n.2 è la sua inversa, che ci dà il tempo di caduta
conoscendo l’altezza da cui facciamo cadere il corpo:
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Utilizzando la formula n.2, sostituendo i valori s = 100 m, e g = 9.8 m/s^2, otteniamo per il tempo
di caduta il valore (approssimato ai centesimi) pari a 4.51 s; dunque un corpo lasciato cadere da
un’altezza di 100 m, impiega appena quattro secondi e mezzo per toccare terra; quanto alla velocità
l’istante prima di toccare terra, utilizziamo la relazione v = a*t, sostituendo i valori a = g = 9.8
m/s^2, e t = 4.51 s (il tempo di caduta calcolato prima), e otteniamo un valore di velocità pari a
circa 44.27 m/s.
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