Liceo Scientifico Statale “Gregorio Ricci Curbastro” di Lugo (RA)
A.I.F. (Associazione per l'Insegnamento della Fisica) sezione di Lugo
Francesco Dalla Valle
Francesco Giacomoni
Enzo Cortesi
Nuovi percorsi sperimentali
nell’insegnamento della meccanica
Materiale per i docenti elaborato in occasione del corso omonimo tenuto presso il
Liceo nel 2005.
Corso realizzato grazie al contributo di Romagna Acque Società delle Fonti S.p.A.
Materiale gratuito distribuito secondo le regole del GPL (Licenza Pubblica Generica) con diritto di copia
(copyleft), intesa a garantire la libertà di condividere e modificare il free software. E’ quindi possibile
modificare e ridistribuire il materiale purchè sempre gratuitamente (con indicazione delle modifiche e
dell’autore). Gli autori gradirebbero essere informati delle modifiche e/o aggiunte apportate.
1
INDICE
1-
Relazioni tra le grandezze ................................................................................................ 5
1.1
Assi cartesiani .................................................................................................................5
1.2
La proporzionalità diretta e la linearità...........................................................................5
1.3
La proporzionalità inversa ..............................................................................................8
1.4
La proporzionalità diretta delle potenze di due variabili. ...............................................8
1.5
Altre relazioni (seno, coseno, log, lg e potenze di a e di e,...) ........................................9
2-
La misura delle grandezze................................................................................................ 9
2.1
Le grandezze omogenee ed il loro confronto..................................................................9
2.2
La misura delle grandezze. ...........................................................................................10
2.3
L’operazione del misurare. ...........................................................................................11
2.4
Altre considerazioni (rapporti tra grandezze e rapporti tra le loro misure). .................14
3-
La forza .......................................................................................................................... 14
3.1
La nostra idea di forza...................................................................................................14
3.2
La legge di Hooke.........................................................................................................15
3.3
La misura delle forze. ...................................................................................................17
3.4
Carattere vettoriale della forza......................................................................................17
3.5
Introduzione di un simbolo rappresentativo dell’intensità, della direzione e del verso di
una forza........................................................................................................................19
3.6
I vettori..........................................................................................................................23
4-
Il moto ............................................................................................................................ 25
4.1
Il moto di un corpo........................................................................................................25
4.2
La legge oraria del moto. ..............................................................................................27
4.3
Marcatempo con testina Ink-Jet HP 51629G ................................................................28
4.4
Moto determinato da forze variabili. ............................................................................30
4.5
Moto determinato da una forza costante agente su un corpo inizialmente in quiete ....33
Primo gruppo di prove: stesso corpo M0 e forze differenti. ........................................33
4.6
Moto determinato da una forza costante agente su un corpo già in moto nella direzione
della forza......................................................................................................................41
4.7
Moto in assenza di forze. La velocità ...........................................................................47
4.8
Continuazione dell’elaborazione dei dati relativi agli esperimenti eseguiti nel
paragrafo 4.6. ................................................................................................................52
4.9
Riesame del moto relativo all’esperimento a) del paragrafo 4.5. L’accelerazione ed il
moto uniformemente accelerato....................................................................................54
4.10 Relazione tra l’accelerazione a e la forza di intensità costante f. ................................61
4.11 Moto in assenza di forze. ..............................................................................................63
4.12 Il principio di inerzia (il primo principio della dinamica) ............................................63
2
4.13 La massa inerziale.........................................................................................................65
4.14 Il Newton come unità di misura della forza..................................................................68
4.15 Il secondo principio della dinamica ..............................................................................68
4.16 Caratteristiche della velocità.........................................................................................69
4.17 Lo spostamento e le sue caratteristiche.........................................................................70
4.18 Carattere vettoriale dello spostamento..........................................................................71
4.19 Carattere vettoriale della velocità .................................................................................72
4.20 L’accelerazione è una grandezza a carattere vettoriale.................................................73
4.21 Ancora sul secondo principio della dinamica ...............................................................75
4.22 Moto oscillatorio armonico semplice............................................................................75
4.23 Moto circolare uniforme ...............................................................................................80
4.24 Ancora sul moto oscillatorio armonico semplice..........................................................82
4.25 Il moto oscillatorio armonico semplice ed il secondo principio della dinamica...........84
4.26 La massa gravitazionale................................................................................................90
4.27 La massa e l’inerzia. .....................................................................................................92
4.28 Il campo gravitazionale terrestre...................................................................................93
4.29 Il moto di un corpo in caduta libera verticale. ..............................................................96
4.30 L’energia ed il lavoro..................................................................................................101
4.31 Ancora sull’energia e sul lavoro. ................................................................................103
4.32 Lavoro eseguito da una forza variabile.......................................................................106
4.33 Ancora sul campo gravitazionale terrestre..................................................................112
4.34 Campi di forze conservativi. .......................................................................................118
4.35 Differenza di potenziale tra due punti del campo gravitazionale. ..............................122
Appendice 1...................................................................................................................125
Complementi al par 4.5 .................................................................................................125
Appendice 2...................................................................................................................131
Esperimento b). .........................................................................................................131
Esperimento c)...........................................................................................................134
Esperimento d) ..........................................................................................................137
Esperimento e)...........................................................................................................140
Appendice 3...................................................................................................................143
Esperimento β) ..........................................................................................................143
Esperimento γ)...........................................................................................................145
Esperimento δ)...........................................................................................................148
3
Alcune considerazioni preliminari
La natura, nel continuo vicendevole mutarsi e susseguirsi dei suoi eventi, ha sempre suscitato
stupore, curiosità e desiderio di comprendere i principi che governano l’evolversi dei suoi
fenomeni. Perciò la sua esplorazione è stata, progressivamente, più attenta e penetrante, con la
conseguente graduale estensione della conoscenza di molte sue regolarità.
Però, la sua conoscenza si è rapidamente dilatata ed intensamente approfondita soltanto quando
si è capito che era essenziale individuare, nei suoi fenomeni e nella loro evoluzione, le grandezze in
grado di descriverli, per misurarle e determinarne la relazione matematica con cui sono legate. E,
contemporaneamente, si è giunti a riconoscere che:
•
la relazione (legge fisica) tra le grandezze che descrivono un fenomeno, determinata in un
qualsiasi luogo, vale in un qualunque altro luogo dell’universo (principio dell’omogeneità
e dell’isotropia dello spazio)1;
•
lo scorrere del tempo è il medesimo in un qualsiasi punto dell’universo (principio
dell’omogeneità del tempo)1.
La relazione tra le grandezze, che descrivono un fenomeno, riveste, dunque, una fondamentale
importanza e la sua determinazione, che, sempre, richiede tempo e lavoro, viene facilitata se si
possiede già una buona conoscenza di alcune relazioni matematiche esprimenti il legame fra
grandezze variabili.
Qui di seguito vengono illustrate quelle relazioni che più frequentemente si incontrano.
Siano x, y, u, z, … i valori delle misure delle grandezze che entrano in gioco in un qualsiasi
generico fenomeno studiato. Si tratta di individuare le relazioni che ne descrivono il legame.
Precisamente si tratta (quasi sempre) di esprimere il valore assunto da una grandezza mediante
opportune operazioni eseguite sui valori delle misure delle rimanenti. In simboli, ciò si esprime
scrivendo y = f(x, z, u, …) e si legge: la variabile y è funzione delle variabili x, z, u, … .
In parecchi casi, però, si incontrano relazioni che riguardano il legame esistente tra due sole
variabili x e y. In simboli, riguardano funzioni del tipo y = f(x). Perciò, ci si limiterà ad illustrare
soltanto alcune funzioni di questo ultimo tipo, precisando che, per il loro studio, si farà ricorso,
prevalentemente, alla loro rappresentazione cartesiana.
1
Ciò naturalmente è vero nella fisica classica: è opportuno iniziare lo studio della meccanica senza fare alcun
riferimento alla relatività einteiniana
4
1- Relazioni tra le grandezze
1.1
Assi cartesiani
E’ noto che tra i numeri reali e i punti di una retta orientata, in cui sia stata fissata l’origine O e,
convenzionalmente, la distanza costante tra due punti rappresentativi di due numeri interi
consecutivi, si può stabilire una corrispondenza biunivoca.
Quando su una retta si è stabilita una tale corrispondenza, si dice che si è stabilito un sistema di
coordinate ascisse.
Un sistema di assi cartesiani ortogonali è costituito da due rette orientate perpendicolari fra
loro, con l’origine O in comune, in ognuna delle quali si è stabilita una corrispondenza biunivoca tra
i suoi punti e i numeri reali (la distanza fra due punti rappresentativi di due numeri interi
consecutivi in ognuna delle due rette può essere differente, ma molto spesso è uguale).
Le due rette, denominate asse delle ascisse (x), ed asse delle ordinate (y), individuano un piano,
che per brevità viene denominato piano cartesiano.
Sia P un punto generico del piano cartesiano (Figura 1).
Si mandino per il punto P le parallele ai due assi y e x: esse
incontrano rispettivamente l’asse x nel punto A e l’asse y nel
punto B. Il numero (xP), che sull’asse delle x corrisponde al
punto A, viene chiamato ascissa del punto P, e il numero (yP),
che sull’asse delle y corrisponde al punto B, viene chiamato
ordinata del punto P.
Ne risulta che la coppia ordinata di numeri (xP; yP) è
Figura 1
individuata in maniera univoca dal punto P e viceversa che la
coppia ordinata di numeri (xP; yP) individua, in maniera univoca, il punto P.
Il punto P è, come si è detto un punto qualsiasi del piano, perciò, in generale, si può affermare
che è sempre possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra un qualsiasi punto del piano e una
coppia ordinata di numeri reali (x; y) il primo dei quali é il valore dell’ascissa e il secondo quello
dell’ordinata del punto.
Quanto si è detto per il piano si estende facilmente allo spazio: basta prendere tre rette orientate,
con l’origine in comune e perpendicolari tra loro, su ognuna delle quali sia stato stabilito un sistema
di coordinate ascisse. Un punto P dello spazio resta individuato da una terna ordinata di numeri (x;
y; z), rispettivamente ascissa, ordinata e altezza del punto P (la terna di rette viene denominata terna
cartesiana).
1.2
La proporzionalità diretta e la linearità
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali, quando le loro misure y ed x soddisfano la
relazione:
5
y
=m
x
(con m = costante)
(1)
cioè, quando si ha:
y = mx
(2)
La relazione di proporzionalità diretta viene detta anche relazione lineare, in quanto la
rappresentazione grafica della (2), in un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali come quello di Figura 2, è una retta che
passa per l’origine.
Appare subito chiaro che tale retta (passante per l’origine)
forma con l’asse delle ascisse un angolo variabile al variare di
m. Inoltre, appare subito che, indicando con α l’ampiezza di
tale angolo, risulta:
m = tg α =
y
x
Figura 2
(m, per definizione, viene chiamato coefficiente angolare della retta)
La nozione di linearità è più generale della relazione espressa dalla (1) e dalla (2). Infatti, si
dice che tra due grandezze intercorre una relazione lineare, quando i valori delle loro misure, x e y,
riportati in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, appartengono ad una retta (Figura 3)
In generale, la relazione algebrica, che, in tal caso, lega tra loro le misure, x e y, delle due
grandezze, è del tipo:
y = mx+q
(3)
[dove m (= costante) ha significato analogo a quello che ha nella (1) e nella (2), e q (= costante)
è l’ordinata del punto di ascissa x = 0 (ordinata
all’origine)]
Si noti che, quando è q = 0, la (3) diviene la (2).
E’ anche bene osservare che la relazione di
linearità esprime sempre una proporzionalità diretta,
non più tra le misure delle grandezze, x e y, ma tra le
stesse misure con l’aggiunta o la sottrazione di
opportune costanti. Cioè, indicate, con a e b, le
costanti, se la relazione tra y ± a ed x ± b è di
Figura 3
6
linearità, si ha:
y±a
=m
x±b
(con m = costante).
La relazione di linearità, espressa nella forma (3), sta ad indicare che ( y – q ) è proporzionale
ad x. Infatti riportando in un sistema di assi cartesiani ortogonali, in ascisse i valori della x ed in
ordinate quelli di (y – q), si ottiene come grafico una retta che passa per l’origine.
Assai spesso la relazione di linearità si presenta nella forma (così detta implicita) :
ax + by + c = 0
(4)
(dove a, b, c sono costanti note e x, y sono variabili)
Tale relazione è evidentemente lineare in quanto esplicitandola assume la forma (3):
y= −
(dove −
a
c
x−
b
b
a
c
è il coefficiente angolare della retta e − è l’ordinata all’origine).
b
b
Poiché ogni polinomio di primo grado in x e y può essere espresso in una forma analoga alla (4)
si può concludere che ogni polinomio di primo grado in x e y esprime una relazione lineare tra la x e
la y.
Nota. – E’ interessante rilevare che nel caso in cui in un diagramma cartesiano (x, y) il grafico,
rappresentativo della legge che lega tra loro la x e la
y, sia una retta (Figura 4), il coefficiente angolare m
di quella retta può essere determinato mediante le
coordinate di due punti distinti A (x1;y1), B (x2;y2)
della retta stessa. Precisamente m è uguale al
rapporto tra la differenza delle ordinate ∆y = y2-y1 e
la differenza delle corrispondenti ascisse ∆x = x2-x1
dei due punti.
In altre parole (Figura 4) il coefficiente angolare
m è il rapporto fra i due cateti BC = ∆y e AC = ∆x
Figura 4
del triangolo rettangolo ABC (dove C è il punto di coordinate (x2;y1)) avente l’angolo BÂC = α . Si
ha, cioè, m = tg α =
∆y
.
∆x
7
1.3
La proporzionalità inversa
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali, quando le
loro misure, x e y, soddisfano la relazione:
x y = a (con a = costante)
Figura 5
(5)
I valori di x e di y, che soddisfano alla (5), riportati in un sistema
di coordinate cartesiane ortogonali, individuano punti appartenenti ad
un’iperbole equilatera avente
per asintoti gli assi del sistema
(Figura 5).
Il modo più semplice per
riconoscere se i valori delle misure, x e y, di due grandezze
soddisfano alla relazione (5), è quello di determinare la
1
relazione esistente tra i valori di y e quelli di . Se tali valori,
x
riportati in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali,
individuano punti appartenenti ad una retta (Figura 6), la
relazione tra la x e la y è la (5).
1.4
Figura 6
La proporzionalità diretta delle potenze di due variabili.
Siano y e x la misura di due grandezze. Si dice che la potenza emmesima (m) della prima è
proporzionale alla potenza ennesima (n) della seconda, quando tra le loro misure intercorre la
relazione:
ym
=a
xn
(con a = costante)
(6)
Infatti, se, in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si riportano, in ascisse, i valori di
n
x ed, in ordinate, i corrispondenti valori di y m , i punti, in tal modo ottenuti, appartengono ad una
retta (Figura 7).
E’ assai importante ed è utile sapere che vale anche il
ragionamento inverso: se, in un sistema di assi cartesiani
ortogonali, si riportano in ascisse i valori di x n ed in
ordinate i corrispondenti valori di y m , e se i punti ottenuti
appartengono ad una retta, la relazione che lega y ad x è la
(6).
Si vede assai bene che la (6), per m = 1, e per n = 1
ed n = − 1 , diviene, rispettivamente, la (1) e la (5). Essa
[la (6)], quindi, rappresenta il caso più generale della proporzionalità.
Figura 7
8
Osservazione. - Nei fenomeni fisici più comunemente studiati, le relazioni tra le grandezze, che
più frequentemente si incontrano, sono quelle, in cui l’esponente (m) della y assume i valori 1; 2 e
1 1
l’esponente (n) della x assume i valori 1; − 1 ; 2; − 2 ; ; − ; 3 [i valori, 2 per la m e 3 per la n,
2 2
capitano assai di rado (terza legge di Keplero)].
Nel caso in cui siano m = 1 ed n = − 2 , si dice che vale la legge dell’inverso del quadrato.
1.5
Altre relazioni (seno, coseno, log, lg e potenze di a e di e,...)
Altre relazioni che si incontrano nello studio dei fenomeni naturali sono:
y
y
y
y
=
=
=
=
sen x
cos x
log x
lg x
y = ax
y = ex
…
2- La misura delle grandezze2.
2.1
Le grandezze omogenee ed il loro confronto.
Nella normale esperienza quotidiana, si incontrano continuamente grandezze riconosciute
intuitivamente di specie differente. E’, quindi, abbastanza spontaneo il saper riconoscere, tra un
insieme di grandezze, quelle che sono della stessa specie (grandezze omogenee): la lunghezza, il
peso, la velocità, il volume, il tempo, … .
Inoltre, sempre, è la normale esperienza quotidiana che fornisce la capacità di capire che solo le
grandezze omogenee possono essere confrontate tra loro: tutti sanno, ad esempio, che non ha senso
confrontare la velocità di un treno con l’altezza di una torre.
L’introduzione del concetto di misura si basa e deriva, proprio, dal confronto di grandezze
omogenee. Per capirne il significato, è sufficiente ragionare su un esempio, ed il ragionamento fatto
ed il risultato ottenuto si estendono, poi, assai facilmente, a tutte le altre grandezze.
2
Per l’elaborazione dei dati e gli errori sulle misure si fa riferimento ai testi specifici. Ad esempio, il tema è assai
ben sviluppato nel testo: ”Introduzione all’analisi degli errori” – Taylor – Ed. Zanichelli.
9
Si prenda, allora, in considerazione la lunghezza, ed, in particolare, si considerino le lunghezze
di due aste, a proposito delle quali nasce abbastanza spontaneo l’interesse a porsi le seguenti tre
domande:
1. Qual è delle due aste quella più lunga?
2. Di quanto la maggiore è più lunga dell’altra?
3. Quante volte la maggiore è più lunga dell’altra?
Le risposte soddisfacenti alle tre domanda si ottengono facilmente nel seguente modo, pratico,
sperimentale.
1. Si pongono le due aste in posizione verticale e si accostano, facendo in modo che le
loro estremità inferiori poggino sul piano orizzontale. L’osservazione delle loro
estremità superiori mostra quale delle due aste è la più lunga, e, nel caso in cui le
estremità superiori coincidano, mostra che le due aste hanno uguale lunghezza.
2. Si opera come nel caso precedente, e, qualora risulti che le due aste non abbiano uguale
lunghezza, in corrispondenza dell’estremità superiore dell’asta più corta, si traccia
sull’altra (la più lunga) un segno. La lunghezza del tratto di quest’ultima, compreso tra
il segno e la sua estremità superiore, è la differenza delle lunghezze delle due aste.
3. Si opera come nel caso precedente, poi si solleva
l’estremità inferiore dell’asta più corta fino a farla
coincidere con il segno tracciato sull’altra asta. Su
quest’ultima, in corrispondenza dell’estremità superiore
dell’asta più corta, si traccia un nuovo segno. Si
risolleva l’asta più corta e si ripete l’operazione
descritta. E così via, si ripete ancora l’operazione fino a
quando l’estremità superiore dell’asta più corta va a
coincidere o supera quella dell’asta più lunga (Figura 8).
Nel caso in cui le estremità superiori risultino
coincidenti (l’altro caso verrà preso in considerazione
più avanti), il numero di volte (n), che l’asta più corta è
Figura 8
stata riportata, costituisce la risposta alla terza domanda.
Il predetto numero n viene denominato rapporto tra le lunghezze delle due aste.
2.2
La misura delle grandezze.
E’ evidente che l’operazione, descritta per rispondere alla domanda 3), può essere ripetuta per
la lunghezza di una qualsiasi altra asta confrontata con quella di una precisa conveniente asta
prescelta. Quando, eseguita una tale operazione sulla lunghezza di una qualunque asta, si è trovato
che, rispetto alla lunghezza dell’asta prescelta, il rapporto è n, si dice che n è la misura della sua
lunghezza rispetto a quella di quest’ultima asta, che viene denominata unità di misura (u). In sintesi,
ciò si esprime dicendo che la misura della lunghezza dell’asta è nu. Quindi, rispetto all’unità di
misura prescelta, u, ogni asta ha una propria misura della sua lunghezza: au, bu, cu, … .
10
Va sottolineato che la lunghezza dell’asta, adottata come unità di misura (u), è stata scelta in
modo del tutto arbitrario: non esistono aste aventi particolari qualità naturali per essere preferite ad
altre; e neppure è necessario che l’unità di misura sia quella di un’asta: può essere quella di una
corda, di un palo, di un filo, di uno spigolo, ecc... . Di solito, infatti, la misurazione di una
lunghezza viene effettuata con appositi strumenti agevolmente trasportabili e facilmente
maneggevoli: un nastro, una fune, una serie di stecche connesse tra loro e snodabili, ecc... .
L’arbitrarietà della scelta dell’unità di misura si manifesta chiaramente, osservando che, nella
lunga storia dell’uomo, ogni comunità aveva adottato una propria unità di misura per ogni tipo di
grandezza: per le lunghezze, per i pesi, per le aree, per i volumi, ecc.
E’ noto, però, che, nei rapporti tra le varie comunità, l’uso di unità di misura differenti era fonte
di inconvenienti e di difficoltà. Perciò, quando i rapporti e gli scambi tra i popoli divennero più
intensi e più frequenti, emerse, per renderli più agevoli e convenienti, la necessità di utilizzare una
stessa unità di misura. Le basi per l’adozione di una stessa unità di misura furono gettate nel 1791,
in Francia, durante la rivoluzione, con l’introduzione del sistema metrico decimale.
L’unità di misura della lunghezza, attualmente, in uso in quasi tutti i paesi, è il metro (m). Essa
fu introdotta, nel 1791 in Francia insieme con l’unità di misura della massa, il chilogrammo (kg),
con l’unità di misura del tempo, il secondo (s), con l’unità di misura della capacità, il litro (l), ecc...,
quando fu introdotto il sistema metrico decimale.
Di tali unità di misura, nel 1793 furono costruiti i campioni, che, fin dall’ora si trovano e sono
conservati nel “Museo dei Pesi e delle Misure” di Sèvres (presso Parigi): ad essi si fa riferimento
per la costruzione degli strumenti di misura ora comunemente in uso.
Ritornando all’esempio della lunghezza delle aste, essendo α , β , γ , …, i numeri che
esprimono i rapporti tra ogni asta ed il metro, la misura, in m, di ogni asta, risulta, nell’ordine:
α m, β m, γ m, … .
2.3
L’operazione del misurare.
Riconsiderando la risposta operativa data alla domanda 3), postaci nel paragrafo 2.1,
l’esperienza insegna che (sempre facendo riferimento all’esempio delle lunghezze), fatta coincidere
nel miglior modo possibile una estremità dello strumento che ha per lunghezza l’unità di misura (il
m) con un’estremità della grandezza da misurare, assai raramente, al termine dell’operazione della
misurazione, l’altra estremità dello strumento va a coincidere con l’altra estremità della lunghezza
da misurare. Per porre a ciò un qualche rimedio, si è riconosciuto utile suddividere l’unità di misura
in parti uguali, rendendo, in tal modo, un po’ più facile (cioè più probabile) la possibilità che un
segno (una tacca), indicante una delle parti della suddivisione, vada a coincidere con l’estremità
della lunghezza da misurare.
Nella pratica, quindi, gli strumenti di misura contengono l’unità di misura già suddivisa in parti
uguali. Precisamente, in analogia con il sistema di numerazione decimale, lo strumento contiene
l’unità di misura già suddivisa in dieci parti uguali, ed ogni parte ottenuta in altre dieci parti, e così
11
via le suddivisioni proseguono fin dove è possibile e fin quando si ritiene utile. Per quanto riguarda
la lunghezza, il metro, m, è suddiviso in dieci decimetri (dm), il dm in dieci centimetri (cm), il cm
in dieci millimetri (mm) e solo con particolari strumenti si riescono ad introdurre suddivisioni più
piccole (calibro, palmer, ecc...)
In generale, anche se i metri comunemente usati portano le suddivisioni in mm (e solo in
qualche raro caso di 0,5 mm), capita assai di rado che l’estremità della lunghezza da misurare vada
a coincidere con una tacca della suddivisione.
Tutti, comunque, in quest’ultimo caso, sono in grado di riconoscere che la misura della
lunghezza misurata, risulta compresa tra due tacche vicine. Quanto più è grande il numero di
suddivisioni dell’unità di misura in parti uguali, cioè quanto più le due tacche sono vicine, tanto più
la valutazione della misura risulta migliore. Con ciò, ci si potrebbe anche chiedere: come mai non si
aumenta il numero delle suddivisioni dell’unità di misura, per ottenere una misura ancora migliore?
Ma la semplice osservazione degli strumenti mostra che una domanda del genere è del tutto inutile
porsela, in quanto si vede immediatamente che esiste un limite inferiore alla distanza tra due tacche:
al di sotto di tale limite non sono più possibili, né convenienti, ulteriori suddivisioni: anche le
tacche hanno uno spessore.
Spesso, invece, stando
sempre nell’esempio delle
lunghezze, si può fare una
valutazione della frazione
di lunghezza compresa tra
due tacche vicine.
Figura 9
Ad esempio nella Figura 9 la freccia a che si trova tra le due tacche 0 e 1, distanti tra loro 1 cm,
si può stimare che si trovi nella posizione di 0,3 ~ 0,4 cm, e non è possibile fare una stima migliore.
Nel caso invece della freccia b, che si trova fra le tacche indicanti 1,6 e 1,7 cm, la sua posizione può
essere stimata in 1,63 ~ 1,64 cm, ed evidentemente non si può fare una stima migliore.
Operando tal modo, la misura eseguita presenta un’incertezza, esprimibile in frazione della
distanza di due tacche vicine. Ad esempio nel caso della Figura 9 la posizione della freccia a,
valutata con la dovuta cautela, presenta un’incertezza di 0,2 cm, mentre la posizione della freccia b
presenta un’incertezza di 0,02 cm.
Anche nel caso in cui si valuti che l’estremità della lunghezza da misurare coincida con una
tacca, la misura presenta un’incertezza: infatti capita spesso che per un osservatore vi sia la piena
coincidenza e per un altro non vi sia (anche per lo stesso osservatore, che ripeta la misura la
coincidenza può risultare più incerta).
In ogni caso, la misura di una lunghezza resta sempre determinata con una incertezza, che,
generalmente, risulta inferiore a metà della distanza di due tacche vicine.
La misura di una lunghezza, in metri, è, in generale, espressa da un numero decimale, con
indicata la sua incertezza. Ad esempio, se la misura di una lunghezza è di 93,74 cm con una
incertezza di 0,2 mm, si scrive (93,74 ± 0,02) cm. Quest’ultima scrittura sta a significare che le cifre
9, 3, 7, sono state lette sullo strumento senza incertezze, (cioè sono certe) e che l’ultima cifra, 4, è
stata stimata. Quanto è stato detto consegue dal fatto che, se la misura è stata eseguita con uno
12
strumento lungo un metro, recante anche le suddivisioni in mm, le cifre 9, 4, 7 , che sono state lette
direttamente sullo strumento, sono certe, mentre l’ultima cifra, 4, che è stata determinata dalla
nostra capacità di valutare la frazione di lunghezza compresa tra due tacche, presenta un’incertezza,
valutata dall’operatore, di 0,2 mm, incertezza che, da un qualche altro operatore, potrebbe essere
diversamente valutata (al massimo, però, potrebbe raggiungere il valore di 0,5 mm, uguale alla metà
della distanza tra due tacche vicine).
Spesso, la misura di una lunghezza si esprime anche con un numero senza l’indicazione
dell’incertezza dove l’ultima cifra a destra è la cifra stimata con la convenzione che l’incertezza
sulla misura debba intendersi uguale alla metà dell’intervallo avente per etremi due tacche vicine
(operando in questo modo si dice che si dà la misura usando le cifre significative). Nell’esempio di
prima, la misura della lunghezza, espressa mediante le cifre significative, è di 93,74 cm, e sta a
significare che è di (93,74 ± 0,05) cm. Quando si intende esprimere la misura di una lunghezza
mediante le cifre significative, con un’incertezza corrispondente al valore di mezza tacca, la
valutazione, va limitata ai valori corrispondenti ad una tacca o alla meta di un intervallo tra due
tacche. Ad esempio la scrittura più conveniente della precedente misura espressa con le cifre
significative è 93,75 cm. intendendo con ciò che tale misura è (93,75 ± 0,05) cm. Invece, nel caso in
cui la misura fosse stata di (93,72 ± 0,02) cm, la sua espressione mediante le cifre significative
sarebbe stata 93,70 intendendo con ciò che tale misura è (93,70 ± 0,05) cm.
Questo modo di operare si ispira al criterio prudenziale comunemente adottato di fornire misure
con un’incertezza mai sottostimata.3
In qualche caso, la misura espressa mediante le cifre significative, può dar luogo ad ambiguità.
Ad esempio, se la distanza fra due località è di 32,0 km, essendo tre le cifre significative
l’incertezza, deve intendersi, come si è detto in precedenza, di 0,5 km ( lo zero è la cifra stimata).
Se, però, la stessa distanza venisse espressa in metri, si dovrebbe scrivere che è di 32000 m. Una
tale scrittura, però, indurrebbe a pensare che le cifre significative sarebbero cinque anziché tre, e,
quindi, che soltanto l’ultimo zero sarebbe la cifra stimata e cioè che l’incertezza sarebbe soltanto di
cinque metri.
Per evitare tali ambiguità, la misura delle grandezze viene espressa ricorrendo all’uso delle
potenze del 10. In tal modo, la precedente distanza, espressa in km, è 3,20·10 km, ed, espressa in m,
è 3,20·104 m. Quindi, in tal modo, le cifre significative restano invariate, qualunque sia l’unità in cui
la misura della distanza venga scritta.
Anche per esprimere una misura, nella forma in cui è esplicitata la sua incertezza, si ricorre
all’uso delle potenze del 10. Ad esempio,la lunghezza considerata in precedenza, di 93,74 cm con
l’incertezza di 0,2 mm, già scritta nella forma (93,74 ± 0,02) cm, utilizzando le potenze del dieci si
3
E’ importante sottolineare che, anche nel caso in cui si valuti che l’estremità della lunghezza da misurare coincida
con una tacca, la misura presenta come è già stato detto un’incertezza e si esprime nella stessa maniera del caso in cui
non ci sia coincidenza con una tacca. Ad esempio, se l’estremo della grandezza da misurare fosse stato stimato
coincidente con la tacca esprimente 93,7 cm anziché compreso fra la tacca 93,7 cm e 93,8 cm, la misura sarebbe stata
(93,70 ± 0,02) cm; e usando solo le cifre significative sarebbe stata 93,70 cm con l’intesa che l’incertezza è di 0,05
cm.
13
scrive (9,374 ± 0,002)10 cm, oppure si scrive (9,374 ± 0,002) 10 −1 m, oppure si scrive
(9,374 ± 0,002) 10 2 mm, ecc... .
L’uso delle potenze del 10 per esprimere una misura è assai conveniente anche per effettuare,
nell’elaborazione dei dati, la valutazione dell’ordine di grandezza dei risultati.
Va aggiunto, infine, che tutto quanto è stato detto a proposito della lunghezza è estensibile a
qualsiasi altra grandezza.
2.4
Altre considerazioni (rapporti tra grandezze e rapporti tra le loro misure).
Siano note le misure di due grandezze omogenee. A proposito di esse è possibile porsi le
seguenti tre domande, del tutto analoghe a quelle già poste nel par. 2.1.
1. Quale delle due grandezze è quella più grande?
2. Di quanto quella maggiore è più grande dell’altra?
3. Quante volte quella maggiore è più grande dell’altra?
Le risposte alle tre domande, ora, si possono dare, utilizzando le loro misure.
1. Per stabilire quale delle due grandezze è la maggiore, basta il confronto tra i due numeri che
esprimono la loro misura.
2. Per determinare di quanto la grandezza maggiore è più grande dell’altra, basta sottrarre dal
numero, che esprime la misura della maggiore, il numero, che esprime la misura dell’altra, ed il
risultato della sottrazione, che, in questo caso4, si chiama differenza, è la risposta alla domanda.
3. Per determinare quante volte la grandezza maggiore è più grande dell’altra, basta dividere il
numero, che esprime la misura della maggiore, per il numero, che esprime la misura dell’altra, ed il
risultato della divisione, che, in questo caso, si chiama rapporto, è la risposta alla domanda. 5
3- La forza
3.1
La nostra idea di forza.
Si tratta di prendere piena consapevolezza dell’idea di forza di cui operativamente tutti siamo in
possesso: l’idea di forza infatti fa parte delle conoscenze derivanti dalle esperienze dell’operare
nella quotidianità. Si tratta, allora, di prenderne coscienza e rendere quantitativo un concetto, che
abbiamo in forma qualitativa, utilizzando opportuni strumenti.
4
Il risultato della sottrazione si chiama o resto o differenza, dove o è esclusivo (aut).
5
Il risultato della divisione si chiama o quoziente o rapporto, dove o è esclusivo (aut): è quoziente quando si
ripartisce, rapporto quando si confrontano due grandezze omogenee.
14
Può servire allo scopo un insieme di molle, non precompresse, uguali tra loro (di lunghezza l0),
che per comodità verranno indicate con i simboli: a, b, c, d,….
Il percorso sperimentale può essere il seguente.
Su un piano orizzontale, si aggancia, ad esempio, un estremo della molla a ad un perno (Figura
10). Con una mano applicata all’altro estremo si tira la molla: la molla si allunga. Tirando di più la
molla si allunga di più, tirando di meno l’allungamento è minore. Mantenendo la trazione costante
l’allungamento resta costante. Annullando la trazione, la molla ritorna alla lunghezza l0. Quando si
eseguono le operazioni descritte, comunemente si dice che col braccio viene esercitata una forza.
Alla luce di quest’ultima affermazione, si riconsideri la molla a con un estremo agganciato al perno
ed allungata di ∆l mediante la trazione costante esercitata da una mano, cioè mediante una forza
costante. Se, come si è già detto, con la mano viene esercitata una forza maggiore, l’allungamento
risulta maggiore, e se con la mano viene esercitata una forza minore l’allungamento risulta minore.
E’ evidente che ciò può avvenire se, e solo se, in ogni caso, la molla esercita una forza uguale a
quella esercitata dalla mano, nella stessa direzione, ma di verso opposto.
Si riconsideri la molla a allungata di ∆l mediante la
forza esercitata da una mano. Si sostituisca la mano con
un’altra molla del citato insieme di molle disponibili, ad
esempio, con la molla b. Si tiri quest’ultima in modo che
l’allungamento della molla a sia ancora ∆l. E’ chiaro che in
tali condizioni la molla b esercita la stessa forza che
esercitava la mano. E’ chiaro inoltre che per esercitare tale
forza la molla b ha subito un determinato allungamento,
quello che le consente di esercitare una forza identica a
quella che esercitava la mano: si è resa in tal modo
oggettiva la forza esercitata della mano.
a
l0
a
∆l
l0
b
l0
∆l ∆l
Figura 10
3.2
La legge di Hooke
Nelle condizioni descritte nell’ultima parte del paragrafo precedente, viene misurato
l’allungamento subito della molla b (che come si è detto appartiene al gruppo di molle, a cui
appartiene anche la molla a, uguali tra loro) e si trova che è ancora ∆l (uguale, cioè, a quello subito
dalla molla a).
Si hanno in tal modo a disposizione due molle (la a e la b) , ognuna delle quali, subendo lo
stesso allungamento ∆l , esercita la stessa forza che esercitava la mano.
Si ripete l’ultima prova sperimentale utilizzando la molla c anziché la molla b e si ritrova che
quando la molla a ha subito l’allungamento ∆l, anche la molla c ha subito lo stesso allungamento
∆l.
Ora, alle estremità di un piccolo giogo, con il centro agganciato al perno precedente, viene
agganciato un estremo di ognuna delle due molle a e b. L’altra estremità di ognuna di esse viene
agganciata agli estremi di un analogo piccolo giogo (Figura 11). Al centro di quest’ultimo viene
15
agganciata la molla c, e ad essa viene applicata una forza in modo che subisca l’allungamento ∆l,
uguale a quello subìto in precedenza dalle molle a e b (si
a
ricordi che la molla c allungata di ∆l esercita una forza
c
uguale a quella che ognuna delle molle a e b esercita
quando ha subìto lo stesso allungamento). Il risultato è
b
che queste ultime due molle si allungano, ed il loro
l0
l0
1
∆l. Applicando, invece, all’altra
allungamento è
2
a
c
estremità della molla c una forza tale da provocare nelle
due molle a e b un allungamento ∆l, la molla c stessa
risulta allungata di 2∆l.
Dai risultati delle esperienze descritte, emerge che, ad
un allungamento doppio corrisponde una forza doppia e
ad un allungamento metà una forza dimezzata.
Con analoghi esperimenti si trova che ad un
b
l0
∆l ∆l
2
l0
Figura 11
1
∆l corrisponde una forza un
3
terzo, e così via… . In generale, allora, si ha che la forza esercitata da una qualunque delle molle
dell’insieme di molle a, b, c,…(come si è già detto, tutte uguali tra loro) è direttamente
proporzionale all’allungamento subito. In simboli, se con F si indica la forza, essendo ∆l
l’allungamento, si ha:
allungamento 3∆l corrisponde una forza tripla, ad un allungamento
F
=k
∆l
(con k = costante)
a
m
Si esegue ora il seguente esperimento, utilizzando,
insieme con una delle precedenti molle a, b, c… , una
molla differente, m, non precompressa. Si aggancia un’
l0
l1
estremità di quest’ultima al perno e all’altra estremità si
aggancia, ad esempio, la molla a. Si applica a
m
a
quest’ultima una forza che ne determina l’allungamento
∆l (Figura 12). La molla m subisce un allungamento ∆l1
(diverso da ∆l). Se alla molla a viene applicata una
∆l1 ∆ l
forza che ne determini l’allungamento 2∆l la molla m
Figura 12
subisce un allungamento 2∆l1 , e così via … . Si
constata, quindi, che anche la molla m esercita una forza
che è direttamente proporzionale all’allungamento da essa subito. Con analoghi esperimenti, si può
vedere che tutte le molle, non precompresse, hanno un analogo comportamento, ossia molle
differenti6 soggette alla stessa forza si allungano in maniera differente, ma in ogni caso, una
qualunque molla esercita una forza che è direttamente proporzionale all’allungamento da essa
6
E’ importante, quindi, tenere ben presente che due molle devono intendersi tra loro differenti se, e solo se,
subiscono allungamenti differenti quando sono sottoposte alla stessa forza. In generale, perciò, non basta che la loro
forma sia differente per poter affermare che si tratti di molle differenti.
16
subito. Dunque, si può affermare che, per ogni molla non precompressa, la relazione, che lega la
forza F al corrispondente allungamento x, è:
F
= k (con k = costante, in generale, diversa da molla a molla)
x
Questa relazione, di solito, viene indicata col nome di legge di Hooke, e k, che è una costante
caratteristica di ogni molla, di solito, viene chiamata costante elastica della molla.
3.3
La misura delle forze.
Come avviene per tutte le grandezze, anche per le forze si può introdurre un’unità di misura. A
questo scopo si può scegliere una molla a cui attribuire la caratteristica di molla campione, e
stabilire che essa esercita la forza unitaria quando subisce un determinato allungamento. Ad
esempio, si può scegliere la molla a, precedentemente utilizzata, come molla campione e stabilire
che l’unità di misura sia la forza che essa esercita quando si allunga di 1 cm. Ammettendo che la
molla campione sia proprio la molla a e che l’unità di misura della forza sia proprio quella che essa
esercita quando subisce l’allungamento di 1 cm, e convenendo di chiamare tale unità di misura col
nome UF (Unità di Forza), da ora in poi, ogni forza può essere misurata in UF, cioè, per quanto è
stato detto nei paragrafi precedenti, è evidente che tutte le forze possono essere misurate in multipli
e sottomultipli di UF. Inoltre, e per conseguenza, la costante k, caratteristica di ogni molla, viene
UF
.
misurata in
m
3.4
Carattere vettoriale della forza
In precedenza, quando si è quantitativamente definito il concetto di forza e se ne sono trovate
alcune proprietà, si è sempre operato con forze agenti nella stessa direzione, ma, pur non avendone
mai fatto cenno in maniera esplicita, già allora si era intuito che non è sufficiente conoscere la
misura dell’intensità di una forza per possederne la completa conoscenza.
Infatti, più volte, durante le precedenti descrizioni di esperimenti, oltre all’intensità di una
forza, si è sempre fatto riferimento alla direzione e al verso nei quali essa agiva.
Perciò, ora, se, per essere più precisi, si presta maggior attenzione, si riconosce con facilità che
anche la direzione e il verso sono attributi fondamentali di una forza.
In altre parole, si riconosce che una forza risulta completamente nota, cioè se ne riconoscono
del tutto gli effetti che può procurare, quando di essa si conoscono l’intensità, la direzione e il verso,
lungo i quali essa agisce.
Introdotti questi concetti, sorge subito il problema di studiare quali siano gli effetti determinati
da più forze agenti, insieme, in direzioni e versi qualsiasi, cioè sorge il problema di riuscire a
determinare l’effetto prodotto da tutte le forze nel loro insieme.
Anche in questo caso la risoluzione del problema verrà data per via sperimentale.
17
E’ conveniente procedere con gradualità, iniziando con il ricercare la maniera di determinare
l’effetto prodotto da due forze non parallele o come comunemente si dice di determinarne la
somma. Questo è un caso particolare di un problema più generale che viene denominato:
composizione di più forze o, come di solito si dice: somma di più forze qualsiasi.
Si abbiano a disposizione più molle, ad esempio, le molle a, b, c, d, e,..., (uguali tra loro)
utilizzate negli esperimenti descritti nel par. 3.1, delle quali, ora, è nota la costante elastica
UF
.
(comune) K, misurata in
m
Le due molle, a e b, siano, rispettivamente, fissate con una delle loro estremità ai perni A e B,
ed, in condizioni di riposo, le altre loro estremità si trovino nei punti M ed N, appartenenti alla
stessa retta, t (Figura 13a)).
a)
b)
A
a
M
N
b
B
E N
M L=E
b
B
L
A
a
x
A
a
C
L
α
α
d
d)
a
M L=E
x1
Poiché le due molle sono uguali e sono disposte
lungo la stessa retta, risultano ugualmente allungate di un
segmento ME = NE = x, ed agiscono una sull’altra, in
versi opposti, con una forza, Fa = Fb , di intensità
F = Kx UF.
t
Si elimini, poi, la molla b. La molla a ritorna nelle
condizioni di riposo con una estremità ancora fissata al
perno A e l’altra estremità libera, che si ritrova a
coincidere con il punto M situato sulla retta t.
C
α
α
x x
1
Si tendano le due molle fino a congiungerle, una
all’altra, nel punto E (Figura 13b)).
t
D
c
A
t
x
c
c)
t
Si considerino, ora, le due molle c e d disposte in
modo che una delle loro rispettive estremità risulti fissata
D
ai due perni mobili C e D, sistemati in modo che le due
Figura 13
rette, CL e DL (con L è stata indicata l’estremità libera
della molla a, appartenente alla retta t ed ora coincidente con M quando la molla a è a riposo),
formino, con la retta t, due angoli uguali, α.
d
Le due estremità libere delle due molle c e d, in condizioni di riposo, vengano agganciate
all’estremità L della molla a (Figura 13c)).
Si spostino i perni C e D in modo che l’estremità L della molla a si muova lungo la retta t.
Si noti che, affinché ciò si verifichi, è sufficiente che le rette CL e DL formino sempre, con la
retta t, due angoli uguali tra loro, pur eventualmente di ampiezza comune variabile, durante
l’esecuzione dell’operazione.
Si noti, inoltre, che, quando l’estremità L è giunta a sovrapporsi al punto E (Figura 13d)), la
molla a, avendo subito un allungamento, x, identico a quello subito nel caso illustrato in Figura
13b), esercita di nuovo la stessa forza Fa , di intensità F = Kx (UF). Si noti, quindi, che le molle c e
d, insieme, esercitano una forza equivalente, in intensità direzione e verso, a quella che, nel caso
illustrato dalla Figura 13b), esercitava da sola la molla b, ora allontanata.
18
Si noti, inoltre, che, in tale situazione, ciascuna delle due molle c e d, subisce un identico
allungamento, x1 , e che tale allungamento varia al variare dell’angolo α. Ma è importante notare,
1
infine, che in ogni caso si ha: x1 ≥ 2 x , e quindi che ciascuna delle molle c e d esercita una forza di
intensità
F1 = K· x1 , tale che 2 F1 = 2K· x1 ≥ F = K·x, dove il segno di uguale (=) vale soltanto
quando α = 0.
3.5
Introduzione di un simbolo rappresentativo dell’intensità, della direzione e del
verso di una forza.
Per determinare la relazione che intercorre tra le forze F ed F1 , conviene introdurre un simbolo
capace di rappresentare, in maniera sintetica, tutti gli attributi importanti (intensità, direzione e
verso) di una forza.
Da tempo, il simbolo usato per rappresentare una forza è costituito da un segmento con una
freccia ad un estremo. (Figura 14). Con tale simbolo si
F4
riesce assai bene a rappresentare:
- l’intensità della forza, espressa dalla lunghezza del
segmento: basta che sia stato prestabilito il segmento
corrispondente all’unità di forza (UF) (Figura 14));
- la direzione nella quale la forza agisce, individuata
dalla retta alla quale appartiene il segmento o da una
qualsiasi retta ad essa parallela;
- il verso nel quale la forza agisce, indicato dalla freccia
orientante il segmento.
F2
F1
F3
1 UF
1N
Figura 14
Ad esempio, in Figura 14, la forza F1 ha l’intensità di 4 UF e la forza F2 ha l’intensità di 6 UF;
le forze F1 ed F3 hanno la stessa direzione, intensità uguali, ma versi opposti; le forze F1 ed F4
hanno intensità diversa, ma direzione e versi uguali.
Per fornire un esempio di applicazione di quanto è stato detto, si riprenda in considerazione
l’esperimento descritto nel paragrafo precedente ed illustrato in Figura 13d), ricordando che tale
figura rappresenta una situazione riferentesi ad un generico angolo α . Se ne considerino alcuni
casi riferentesi ad angoli particolari. Si eseguano le corrispondenti prove sperimentali e si
rappresentino le forze in gioco mediante segmenti costruiti secondo i criteri poco più sopra stabiliti,
cioè mediante segmenti in grado di rappresentarne l’intensità la direzione e il verso.
19
1)- α = 60° (Figura 15)
Dalla prova sperimentale eseguita, risulta che l’allungamento, x1 , subito da ciascuna delle due
molle c e d è identico all’allungamento, x, subito dalla molla a, cioè risulta che l’intensità delle tre
forze, Fa , Fc , Fd , esercitate rispettivamente dalle tre molle a, c, d, sono uguali tra loro.
Poiché in tale stato, il punto E resta fermo, è
chiaro che le due forze Fc ed Fd , insieme,
risultano equivalenti (cioè producono effetti
uguali) alla forza Fb , che la molla b esercitava,
prima di essere allontanata [(Figura 13b)].
Fc
E
Fa
α =60 F b
α =60
In Figura 15, la situazione è illustrata
mediante segmenti che rappresentano le forze
secondo i criteri poco più sopra stabiliti. Tale
figura mostra che il segmento rappresentativo
della citata forza Fb , disegnato con tratteggio, è
>
1 UF
Fd
unità di
misura
forze
Figura 15
la diagonale minore del rombo, avente i lati
uguali ai segmenti rappresentativi delle forze Fc ed Fd .
2)-
α = 45°
(Figura 16) .
Fc
Dalla prova sperimentale eseguita, risulta
che l’allungamento, x1 , subito da ognuna delle
Fa
α = 45
due molle c e d è uguale a 0,71x (dove x è
l’allungamento subito dalla molla a), cioè
risulta che è Fc = Fd = 0,71 Fa .
Poiché in tale stato, il punto E resta fermo,
è chiaro che le due forze Fc ed Fd , insieme,
α = 45
E
Fb
>
Fd
Figura 16
risultano equivalenti (cioè producono effetti uguali) alla forza Fb , che la molla b esercitava, prima
di essere allontanata [(Figura 13b)].
In Figura 16, la situazione è illustrata mediante segmenti che rappresentano le forze secondo i
criteri poco più sopra stabiliti. Tale figura mostra che il segmento rappresentativo della citata forza
Fb , disegnato con tratteggio, è una diagonale del quadrato, avente i lati uguali ai segmenti
rappresentativi delle forze Fc ed Fd .
20
3)- α = 30° (Figura 17).
Dalla prova sperimentale eseguita, risulta
che l’allungamento, x1 , subito da ognuna delle
due molle c e d è uguale a 0,58x (dove x è
l’allungamento subito dalla molla a), cioè risulta
che è Fc = Fd = 0,58 Fa .
Fc
Fa
E
α = 30
α = 30
Fb
F
d
Figura 17
Poiché in tale stato, il punto E resta fermo, è chiaro che le due forze Fc ed Fd , insieme,
risultano equivalenti (cioè producono effetti uguali) alla forza Fb , che la molla b esercitava, prima
di essere allontanata [(Figura 13b)].
In Figura 17, la situazione è illustrata mediante segmenti che rappresentano le forze secondo i
criteri poco più sopra stabiliti. Tale figura mostra che il segmento rappresentativo della citata forza
Fb , disegnato con tratteggio, è la diagonale maggiore del rombo, avente i lati uguali ai segmenti
rappresentativi delle forze Fc ed Fd .
Gli esempi fatti si possono ritenere sufficienti per rendere lecito affermare che,
nell’esperimento illustrato in Figura 13d), qualunque sia il valore assunto dall’ampiezza dell’angolo
α, i segmenti che rappresentano le due forze Fc ed Fd sono i lati di un rombo, la cui diagonale,
appartenente alla retta a cui appartiene il segmento rappresentativo della forza Fa , considerata
orientata in senso opposto a tale forza, rappresenta, in tutti
i suoi attributi, la forza Fb , cioè rappresenta la somma
delle due forze Fc ed Fd .
a)
A
Si riprenda in considerazione la situazione
sperimentale rappresentata dalla Figura 13b). Si
sostituisca la molla b con altre due molle diverse tra loro,
ma indicate ancora con le lettere c e d, entrambe collegate
all’estremità L della molla a (L coincide con M quando la
b)
molla a è a riposo). Le due molle si tendano in maniera
diversa, ma in modo tale che l’estremità L della molla a
coincida ancora con E [Figura 18a)], cioè in modo tale che
la molla a risulti di nuovo allungata di un segmento x.
C
c
L=E
x1
M
a
x
α
β
x2
d
D
Fc
Fa
E’ chiaro che, in tale situazione, le forze esercitate
Figura 18
dalle due molle c e d, insieme, risultano equivalenti (cioè
producono effetti uguali) alla forza che esercitava la molla b, da esse sostituita.
α
E
Fb
>
β
F
d
La Figura 18b), nella quale le forze sono state rappresentate dai segmenti orientati costruiti
secondo le convenzioni prima stabilite, illustra la situazione descritta e raffigurata in Figura 18a).
21
Dalla figura emerge, in maniera evidente, che la forza Fb , equivalente, come si è già detto, alla
forza che esercitano insieme le due forze Fc ed Fd , risulta espressa, in intensità, direzione e verso
(opposto a quello della forza Fa ), dalla diagonale (appartenente alla retta alla quale appartiene la
forza Fa ) del parallelogramma avente per lati i segmenti rappresentativi delle forze Fc ed Fd .
Cc
c
a)
A
a
b)
M L=E
α
x1
x x
β
F
c
F
a
α
E
>
β
2
d
F
b
F
d
D
Figura 19
Si ripetano le operazioni precedenti, disponendo le molle c e d in maniera diversa da quella
raffigurata in Figura 18, ma sempre in modo tale che l’estremità L della molla a vada a coincidere
con E. Si ritrova (si vedano gli esempi illustrati nelle Figura 19 e Figura 20) che, in ogni caso, il
segmento orientato rappresentativo della forza Fb , equivalente alle due forze Fc ed Fd (cioè in
grado di sostituire le due forze Fc ed Fd insieme), risulta sempre coincidente con la diagonale
(appartenente alla retta a cui appartiene la forza Fa ) del parallelogramma avente per lati le due
forze Fc ed Fd stesse.
C
a)
ΑA
b)
c
a
M L=E α
x2
Fa
β
x x1
d
F
c
α
E
D
F
b
>
β
F
d
Figura 20
Si può, dunque, concludere che la forza risultante di due forze date (cioè equivalente alle due
forze date), rappresentate, in base alla convenzione stabilita, mediante segmenti orientati, è, in ogni
caso, espressa, in intensità, direzione e verso, dalla diagonale del parallelogramma avente per lati i
22
segmenti rappresentativi delle due forze date: i segmenti orientati rappresentativi delle forze
vengono chiamati vettori e la forza, in genere, si dice che è una grandezza a carattere vettoriale.
Nota. - Esistono altre grandezze che sono completamente definite soltanto quando di esse sono
note la intensità la direzione e il verso. Tra queste, quelle che si addizionano come si è appena visto
che avviene per le forze, sono grandezze che per definizione vengono denominate a carattere
vettoriale. Più avanti si incontreranno altre grandezze aventi tale carattere, cioè rappresentabili
mediante vettori. E’ questo il motivo per cui nel paragrafo seguente viene affrontato un primo
studio dei vettori.
3.6
I vettori.
Le grandezze dotate di intensità direzione e verso, rappresentabili, in base alla convenzione
stabilita, mediante segmenti orientati, e tali da sommarsi secondo la regola del parallelogramma,
vengono chiamate grandezze vettoriali, ed i segmenti
orientati che le rappresentano vengono chiamati vettori.
b
c
e
d
a
Il simbolo, con cui, di solito, viene indicato un vettore, è
costituito da una lettera dell’alfabeto soprassegnata con una
piccola freccia.
I vettori raffigurati in Figura 21 possono, dunque, essere
r r r r v r
indicati con i simboli a , b , c , d , e , f .
Figura 21
r r
Dati i due vettori a e b , qualunque sia la loro intensità,
la loro direzione e il loro verso, è sempre possibile
r
determinare il vettore, c , ad essi equivalente, cioè il
a
r
r
r
vettore, c = a + b , somma dei due vettori assegnati,
α
c
mediante la regola del parallelogramma (Figura 22).
β
f
b
a
Figura 22
r
r
Due vettori a e b sono uguali quando hanno la
stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso.
r r
r
r
r
r
a
In Figura 23, i vettori a , a1 , a2 , a3 , a 4 , a5 , ... ecc.
2
a1
a3
a4
a5
sono tutti uguali tra di loro, avendo la stessa lunghezza
(intensità), lo stesso verso e la stessa direzione (tutti
appartengono, infatti, a rette parallele, cioè a rette aventi la stessa
direzione).
Figura 23
23
Da ciò segue che si può eseguire la somma di due vettori anche se la loro origine non è
coincidente nello stesso punto.
r r
a
In Figura 24 sono indicati i due vettori a e b , dei quali
a
si vuole determinare la somma.
Le rette a e b, alle quali appartengono rispettivamente i
due vettori, si incontrano nel punto M.
a1
M
c
b
b1
Sulla retta a, con origine in M, si considera il vettore,
r
r
a1 , uguale al vettore a , e sulla retta b, con origine in M, si
Figura 24
r
r
considera il vettore, b1 , uguale al vettore b .
r r
r r
r
r
La somma dei due vettori, a1 + b1 = c , è la somma dei due vettori a + b = c .
b
Per determinare la somma di più vettori dati, basta determinare il vettore somma di due di essi e
a quest’ultimo sommare un altro dei vettori dati. Al vettore risultante, poi, si somma uno dei vettori
rimasti, e così via si procede con lo stesso criterio fino a quando tutti i vettori dati non siano entrati
in gioco, uno per volta e una volta soltanto. L’ultimo vettore ottenuto in tal modo risulta la somma
di tutti i vettori dati.
r
Da quanto precede, infine, segue che qualunque vettore a può considerarsi (Figura 25) come
r r
r r
r r
somma di infinite coppie di vettori a1 ' , a1 ' ' ; a2 ' , a2 ' ' ; a3 ' , a3 ' ' ... ecc.
a1'
a1'
a
a1''
a1'
a
a1''
a
a1''
Figura 25
Ogni coppia di vettori, la cui somma risulta uguale al vettore dato, è costituita da due vettori
che, per definizione, vengono denominati componenti del vettore dato nelle direzioni delle rette
alle quali essi appartengono (nella maggior parte dei casi vengono usate componenti appartenenti a
rette perpendicolari fra di loro).
24
4- Il moto
4.1
Il moto di un corpo
Si dice che un corpo si muove se, con lo scorrere del tempo, cambia la sua posizione rispetto ad
altri corpi. A questi ultimi viene attribuito il ruolo ed il nome di sistema di riferimento rispetto al
quale esso si muove.
La posizione del corpo è individuata quando si conoscono, in modo univoco, cioè senza
ambiguità, le sue distanze dai corpi (ne bastano tre non allineati) che costituiscono il sistema di
riferimento. Per misurare le distanze occorre un metro, per misurare il tempo occorre un orologio.
Studiare il moto di un corpo significa trovare il modo di conoscere la sua posizione istante per
istante (ovviamente, rispetto al sistema di riferimento prescelto), cioè significa determinare la
relazione che lega la sua posizione allo scorrere del tempo.
Il moto del corpo può essere studiato rispetto ad un qualunque sistema di riferimento, ma lo
studio viene molto semplificato scegliendo un opportuno sistema di riferimento. Di solito, la scelta
più conveniente, è una terna cartesiana con gli assi ortogonali (x,y,z) opportunamente scelti e
opportunamente orientati.
Per semplificare ulteriormente il lavoro, conviene, per il momento, limitarsi a studiare il moto
di corpi che possano essere considerati puntiformi.
Ad esempio, il sistema di riferimento più conveniente per studiare il moto di un corpo M
(considerato come si è detto puntiforme) in moto lungo una retta r, è quello della retta stessa,
opportunamente orientata, sulla quale sia stato scelto un punto O come origine7. La misura della
distanza del corpo M dal punto O (coordinata ascissa), in corrispondenza dei vari istanti di tempo t,
ne descrive il moto.
Se il corpo M si muove in un piano α, il riferimento più conveniente è costituito da un
opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali appartenente a quel piano.
Si consideri ora il seguente esempio.
Una persona si trova seduta tranquillamente su di un treno ed osserva una borsa posta sul
portabagagli che gli sta di fronte. La borsa rispetto alla persona seduta (persona che può essere
considerata come origine di una terna cartesiana di riferimento) non cambia le sue coordinate col
trascorrere del tempo (quindi è ferma). Un’altra persona si trova immobile sulla banchina di una
stazione. La stessa borsa, se la persona sulla banchina (persona che può essere considerata come
origine di un’altra terna cartesiana di riferimento) vede il treno muoversi, si muove, in quanto
cambia le sue coordinate col trascorrere del tempo; se la persona invece vede il treno fermo, la
borsa non cambia le sue coordinate, quindi è ferma.
7
Il punto O potrebbe esser scelto anche non appartenente alla retta, ma ciò evidentemente ne renderebbe più
complicato lo studio.
25
Allora, ci si può chiedere: “la borsa è ferma o si muove?”. La domanda, che è naturale porsi, in
sé non ha, per quanto è stato detto, un vero significato. Infatti la borsa nel sistema di riferimento che
ha l’origine nell’osservatore seduto sul treno, non cambiando le sue coordinate al variare del tempo,
è ferma, mentre nel sistema di riferimento che ha origine nell’osservatore sulla banchina, se il treno
è visto dall’osservatore stesso muoversi, cambiando le sue coordinate al variare del tempo, è in
moto, se, invece, il treno è visto fermo, non cambiando le sue coordinate al variare del tempo, è
ferma. Dunque la borsa è ferma o si muove a seconda del riferimento prescelto ( a seconda di chi la
sta osservando). Ciò si esprime dicendo che il moto è relativo al sistema di riferimento8.
Continuando nell’esempio fatto si consideri ora il sistema di riferimento avente l’origine nella
persona sulla banchina, e si immagini che la persona stessa, ad un certo istante, veda la borsa in un
punto A. Se il treno è visto in moto, e la ferrovia è rettilinea, la stessa persona, dopo il tempo t, vede
la borsa in un altro punto B. Dunque la persona sulla banchina ha visto la borsa descrivere,
nell’intervallo di tempo t, (essendo, come si è già detto, la ferrovia rettilinea) il segmento di retta
AB.
Invece, nel sistema di riferimento avente per origine la persona seduta sul treno, nello stesso
intervallo di tempo t, la borsa resta ferma nello stesso punto.
La linea descritta da un corpo nel suo moto, osservato in un determinato sistema di riferimento,
viene denominata traiettoria, e,nel primo caso, è il segmento AB e, nel secondo, è un punto.
Quindi la traiettoria, che è, come si è detto, la linea descritta dal corpo nel suo moto rispetto ad
un determinato sistema di riferimento, è relativa al sistema di riferimento.
Osservazione.
Continuando nell’esempio fatto, se sul portabagagli fossero state sistemate due borse ed i due
osservatori avessero misurato la loro distanza (ciascuno nel proprio sistema di riferimento e nello
stesso istante), trovandone lo stesso valore, dopo il tempo t, misurando di nuovo la loro distanza,
sia, nel caso in cui il treno sia fermo rispetto all’osservatore sulla panchina, sia nel caso in cui il
treno sia in moto, sempre rispetto allo stesso osservatore, troverebbero che la distanza non ha subito
variazioni.
Il risultato è generale e mostra che, mentre il moto di un corpo e la sua traiettoria sono relativi
al sistema di riferimento, la distanza di due corpi (di due punti) non cambia al cambiare del sistema
di riferimento. Ciò si esprime dicendo che la distanza di due punti è un invariante al variare del
sistema di riferimento.
8
Di norma si dice che il Sole è fermo e la Terra si muove. Da quanto è stato detto, nel sistema di
riferimento terrestre, in cui ci si trova, un osservatore è fermo e vede il Sole che si muove! Nel sistema di
riferimento terrestre non si può dunque dire che il Sole sta fermo e che la Terra si muove!! In particolare la
frase “moto apparente del Sole e degli astri” è molto fuorviante in quanto starebbe ad indicare che esistono dei
moti che “sembrano ma non sono”, affermando indirettamente che esistono moti assoluti.
26
4.2
La legge oraria del moto.
Si è già detto che studiare il moto di un corpo significa conoscere la sua posizione istante per
istante, ovviamente rispetto al sistema di riferimento prescelto, cioè significa determinare la
relazione che lega, in quel sistema di riferimento, la sua posizione allo scorrere del tempo.
Si definisce legge oraria del moto la relazione che stabilisce il legame tra il valore assunto dalle
tre coordinate e quello assunto dal tempo, oppure la relazione che intercorre tra il trascorrere del
tempo ed il corrispondente “spazio” percorso dal corpo sulla traiettoria relativa al sistema di
riferimento prescelto.
Di solito, il moto di un corpo si studia eseguendo l’elaborazione dei dati sperimentali per
determinarne la velocità e l’accelerazione che lo caratterizzano, da cui con opportuni ragionamenti
si perviene alla legge oraria del moto.
Si è constatato, invece, che, almeno in alcuni casi semplici, risulta più conveniente e più facile
seguire il percorso inverso, cioè un percorso che preveda l’elaborazione dei dati sperimentali
direttamente indirizzata alla ricerca ed alla determinazione della legge oraria del moto: un tal modo
di procedere è più vantaggioso sia perchè, così facendo la velocità e l’accelerazione emergono in
maniera evidente come grandezze importanti caratteristiche del moto, sia e soprattutto perchè il
passare direttamente dai dati sperimentali alla legge del moto limita enormemente l’influenza della
propagazione degli errori sui risultati
Tutto il lavoro, che qui di seguito viene descritto, tutto eseguito basandosi su una diffusa attività
sperimentale, mostra che questa scelta è veramente vantaggiosa, ed illustra in concreto questo modo
di procedere.
Il sistema di riferimento al quale sono stati riferiti i moti studiati è quello del laboratorio
Il materiale occorrente è:
corpi (carrelli sempre considerati puntiformi e non soggetti ad alcun vincolo);
strisce di carta e scotch;
forze (esercitate da molle, elastici od altri strumenti adatti a seconda dei casi);
metro;
marcatempo.
Prima della descrizione degli esperimenti eseguiti, è opportuno fornire qualche informazione
sul funzionamento e sull’utilizzazione del marcatempo. Esso è dotato di una punta scrivente che a
intervalli uguali di tempo (0,01 s) segna, su una striscia di carta che scorre sotto di essa, un punto.
In tal modo sono noti, a partire dall’origine del moto da studiare, la posizione del corpo a cui è
collegata la striscia e il relativo tempo impiegato per giungere in quella posizione, cioè è noto lo
spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Il marcatempo è evidentemente di grande utilità
per lo studio sperimentale del moto.
Nel paragrafo seguente è descritto qualche dettaglio del marcatempo e le modalità del suo
funzionamento.
27
4.3
Marcatempo con testina Ink-Jet HP 51629G
A proposito del marcatempo, vi è da dire che, all’inizio degli anni sessanta, quando il Ministero
della Pubblica Istruzione istituì i corsi pilota di fisica con l’adozione del metodo del P.S.S.C. e si
diffuse la convinzione che il laboratorio potesse essere vantaggiosamente utilizzato anche
ricorrendo abbondantemente ad una strumentazione rudimentale e grezza, ottenuta con l’uso
intelligente di materiale di recupero o di basso costo, il marcatempo in uso era uno strumento avente
proprio tali requisiti.
Esso, infatti, era stato ricavato da un campanello elettrico opportunamente adattato, ma
consentiva (allora) e consente (ora) di svolgere in modo egregio, una funzione didattica di indubbio
valore.
Quando, negli anni seguenti, nei laboratori di fisica si estese gradualmente l’uso di
apparecchiature funzionanti in modo molto raffinato, come, ad esempio, le rotaie a cuscino d’aria,
mediante le quali gli attriti vengono quasi del tutto annullati, si sentì l’esigenza di apportare un
miglioramento alle caratteristiche del marcatempo, rendendone, in particolare, più regolare la
scansione degli intervalli di tempo e riducendone al minimo possibile i disturbi da esso provocati
sul moto dei corpi in istudio.
Come è noto i primi, e più comuni, “marcatempo”, simili a quello citato del P.S.S.C., registrano
su una striscia di carta, collegata al corpo in movimento, le varie posizioni occupate ad intervalli
uguali di tempo. Una punta situata all’estremo libero di una lamina vibrante con periodo costante,
batte su una carta-carbone posta sopra una striscia di carta in movimento.
Ogni punto, registrato in tal modo, sulla striscia di carta, indica la posizione istantanea del
corpo in movimento.
Quando il moto del corpo avviene con una velocità non
trascurabile, la striscia, durante il brevissimo intervallo di tempo (mai
nullo), nel quale Ia punta preme su di essa, percorre un breve spazio,
nel quale, perciò, si manifestano ovvie cause di attrito, bastevoli per
procurare un sia pur lieve disturbo al moto studiato. L’influenza di tale
disturbo sarà tanto più marcata ed osservabile, quanto più, a parità di
altre condizioni, il moto del corpo avviene con attriti decisamente
ridotti.
Ora esistono parecchi “marcatempo” studiati proprio per evitare,
nel maggior grado possibile, i disturbi predetti.
Figura 26
Anche il “marcatempo”, che qui viene descritto, è stato progettato
e costruito con gli stessi scopi: il suo ritmo è molto regolare ed i suoi
attriti sono estremamente limitati, pur funzionando basandosi,
sostanzialmente, sullo stesso principio del giá citato “marcatempo” del
P.S.S.C.
Ora, sono in uso anche altre strumentazioni che consentono assai
28
bene lo studio sperimentale del moto di un corpo, senza influenzarne il suo andamento: si tratta di
apparecchiature elettroniche connesse direttamente a computer. Esse, mediante l’emissione e la
ricezione di ultrasuoni od onde elettromagnetiche (raggi infrarossi) riescono ad individuare in modo
egregio la posizione occupata dal corpo e il corrispondente tempo.
Dal punto di vista didattico, però, proprio perchè consente agli allievi la diretta raccolta dei dati,
è conveniente studiare il moto di un corpo ricorrendo all’uso del marcatempo.
Il marcatempo utilizzato per eseguire gli esperimenti descritti nel seguito, è stato costruito
usando un temporizzatore che fornisce i tempi desiderati ed una testina a getto d’inchiostro per
tracciare su una striscia di carta delle sottili righe (o “punti”) ad intervalli uguali di tempo.
La testina HP 51629G ha 48 ugelli a cui fanno capo 48 contatti divisi in 4 gruppi, ogni gruppo
ha un contatto comune indicati dalle frecce (Figura 26), a cui sono collegati 4 gruppi di 11 o 13
resistenze (ognuna del valore di 38 Ω) che surriscaldandosi producono le bolle di gas che
determinano lo spruzzo di goccioline d’inchiostro attraverso i corrispondenti ugelli. Questi ultimi
sono disposti su due file distanti tra loro circa 1 mm, ma è necessario utilizzarne solo una.
Per produrre una gocciolina occorre applicare una tensione di 18-25 V per un tempo di circa
5 µs ad ognuna delle predette resistenze che si trovano in prossimità degli ugelli. Se si alimentano
contemporaneamente le 11 o 13 resistenze di un gruppo verranno emesse 11 o 13 goccioline
allineate. Il getto si mantiene direttivo per diversi millimetri, ma conviene mantenere
un’intercapedine di circa 1 mm tra la testina e la base su cui scorre la carta.
Il circuito elettronico per produrre 100 impulsi al secondo è diviso in due parti, il generatore di
onde quadre a 100 Hz il quale attraverso un condensatore ed una resistenza produce degli impulsi
strettissimi di circa 5 µs che rendono conduttore il MOSFet finale (un JRF530). Per alimentare un
gruppo di ugelli occorre stagnare un filo ad un punto che in figura 26 è indicato dalle frecce (e
colorato in rosso) e l’altro filo agli altri punti dello stesso gruppo (non necessariamente a tutti).
L’alimentazione è doppia perché il generatore di frequenza non sopporta oltre i 15 V, un
trasformatore da 18 V può alimentare il circuito che contiene un 7812 che riduce e stabilizza
l’alimentazione dell’NE555 così che la frequenza sarà più stabile. L’assorbimento è minimo (pochi
mA).
La taratura della frequenza va fatta con l’aiuto di un frequenzimetro e regolando il trimmer per
una frequenza di 100,00 Hz. La stabilità della frequenza è molto buona soprattutto se si usano
resistenze da 1% di tolleranza dove sono indicate nello schema del circuito di Figura 27.
29
Figura 27
Se si aggiunge un commutatore e delle opportune resistenze (R1, R2) tra i piedini 7 e 8
dell’NE555 è possibile avere un marcatempo a frequenze diverse (per es. 10 e 100 Hz). Se invece
si aggiunge un divisore x10 ed un altro finale collegato ad un altro gruppo di ugelli sullo stesso lato,
ogni 10 impulsi la riga tracciata sarà più lunga.
Figura 28
La testina è stata montata sopra un supporto di alluminio coi bordi arrotondati (Figura 28). In
tal modo si può registrare sulla striscia di carta anche il moto di un corpo che cade: la testina può
essere utilizzata sia verticale che orizzontale purché l’inchiostro arrivi sopra il livello degli ugelli.
Al predetto supporto è stato fissato un pezzo di plexiglass con uno scasso rettangolare in cui la
parte bassa della testina HP si inserisce con precisione.
4.4
Moto determinato da forze variabili.
Dall’esperienza quotidiana, è noto a tutti che una forza applicata ad un corpo, fermo e privo di
vincoli, ne determina il movimento nella direzione e nel verso in cui la forza agisce, ed è noto anche
30
che una forza, applicata ad un corpo non in quiete, nella stessa direzione del moto, determina una
variazione dello stato di moto del corpo stesso.
Se al corpo, a marcatempo in funzione, vengono applicate forze variabili, ma tutte nella stessa
direzione (evidentemente la direzione della striscia di carta) e nello stesso verso (Figura 29), sulla
striscia
Figura 29
di carta risultano segnati i punti che indicano le posizioni occupate dal corpo nei vari istanti. Tenuto
conto che l’intervallo di tempo (0,01 s), che intercorre tra due punti consecutivi segnati sulla striscia
dal marcatempo è costante, basta allora misurare la distanza (in metri) dei singoli punti da quello
iniziale per conoscere lo spazio percorso dal corpo in un determinato tempo. Prendendo come
sistema di riferimento la retta sulla quale il corpo si muove, considerata orientata nel senso del moto
e con l’origine nel punto corrispondente al tempo t = 0, vengono raccolti i dati e si riportano in una
tabella. I valori trovati del tempo e quelli degli spazi corrispondenti costituiscono la relazione
esprimente empiricamente il legame esistente tra lo spazio s (in m) e il tempo t (in s). Tale legame
risulta più facilmente comprensibile dal diagramma che si ottiene riportando i dati che compaiono
nella tabella in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali: in ascisse i tempi ed in ordinate i
corrispondenti spazi. La posizione dei punti sul diagramma suggerisce l’andamento della linea che
meglio approssima la relazione che lega lo spazio al tempo (attenzione: quella linea non è la
traiettoria!).
Nei casi più semplici si riesce ad esprimere tale relazione anche in forma algebrica, ma in
generale la determinazione della relazione algebrica presenta notevoli difficoltà. Ciò non vuol dire
che la relazione non esista: esiste ed è utilizzabile anche se non è espressa in forma algebrica: è
utilizzabile anche se è espressa soltanto in forma grafica o tabulare.
A mo’ di esempio è stata eseguita una prova sperimentale con una forza variabile agente su un
corpo. I dati ricavati sono stati riportati nelle prime due colonne della Tabella 1 e con essi si è
costruito il grafico di Figura 30. La distribuzione dei punti sul grafico fornisce, come si vede, una
buona illustrazione di come è stato l’andamento del moto e la curva che li approssima meglio
consente di conoscere, per ogni valore di t, il corrispondente spazio s percorso.
31
Tabella 1
s
m
0,0000
0,0050
0,0120
0,0235
0,0400
0,0650
0,0965
0,1305
0,1640
0,1980
0,2325
0,2640
0,2960
0,3280
0,3605
0,3950
0,4365
0,4825
0,5385
0,6060
0,6865
0,7785
0,8775
2,30
2,40
2,50
0,9810
1,0915
1,1910
1,40
1,20
s (m)
t
s
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
t (s)
3,0
Figura 30
32
4.5
Moto determinato da una forza costante agente su un corpo inizialmente in
quiete
Anche nelle prove seguenti, gli esperimenti e la raccolta dei dati ottenuti verranno eseguiti
utilizzando le modalità appena descritte nel precedente paragrafo.
L’esperimento descritto nel paragrafo precedente, che costituisce il caso più generale, è stato
realizzato usando forze variabili. Esso è il più frequente nella quotidianità, ma, essendo troppe le
grandezze variabili che entrano in gioco, non è, di certo, il più adatto a fornire gli elementi per
comprendere facilmente e in profondità le relazioni che le legano tra loro tali grandezze. Come al
solito, per capirne di più, è conveniente semplificare eseguendo dapprima esperimenti con forze
costanti, differenti tra loro, agenti su uno stesso corpo, e successivamente utilizzando una medesima
forza agente su corpi diversi.
E’ ispirandosi a tale principio, che sta alla base della metodologia capace di attribuire valenza
generale ai risultati ottenuti, che sono state eseguite alcune prove sperimentali sia applicando forze
costanti9, tra loro differenti, allo stesso corpo, sia applicando la stessa forza a corpi differenti.
Qui ne vengono riportate tre del primo tipo e tre del secondo.
Si tratta di tre prove, indicate con i simboli a), b), c), eseguite applicando le forze f0 = 1,4 (UF),
f1 = 2,4 (UF), f2 = 4,2 (UF), allo stesso corpo, M0, e di tre prove, indicate con i simboli b), d), e),
eseguite applicando la stessa forza f1 = 2,4 (UF) ai tre corpi M0, M1 ed M2 [la prova b) è comune ai
due gruppi di prove].
In particolare, per rendere più facilmente seguibile il percorso logico lungo il quale si
sviluppano i concetti, soltanto la prova a) viene ampiamente descritta nei dati, nella loro
elaborazione e nei risultati. Mentre delle prove b), c), d), e) ci si è limitati a riportare sinteticamente
solo i risultati: in Appendice 2 sono riportati i dati sperimentali ed una sintesi, con tabelle e
diagrammi, della loro elaborazione, eseguita secondo le modalità seguite nella prova a).
Primo gruppo di prove: stesso corpo M0 e forze differenti.
Esperimento a)
La prima di tali prove sperimentali è stata realizzata su una retta, immobile rispetto al sistema
del laboratorio, applicando al corpo M0, in quiete e privo di vincoli, la forza costante f0 = 1,4 (UF).
La retta, pensata orientata nello stesso verso del moto e con l’origine, O, nel punto in cui il
corpo si trova nell’istante t = 0, è stato il sistema di riferimento in cui si sono raccolti i dati riportati
nelle prime due colonne della Sezione I della
Tabella 2, e rispetto al quale si è effettuato lo
studio del moto.
9
Non è facile realizzare forze costanti. Buoni risultati si sono ottenuti utilizzando i moderni guinzagli per i cani la
cui lunghezza del filo è variabile e regolabile. Essi consentono di realizzare forze praticamente costanti anche quando la
lunghezza del filo subisce lievi allungamenti.
33
Tabella 2
Sezione I
Sezione II
t
s
s/t
(s/t)/t=s/t
s
m
m/s
m/s
0,00
0,0000
0,05
0,0005
0,10
0,15
2
2
t
2
0,000
--
s
--
2
0,010
0,20
--
0,0015
0,015
0,15
0,01
0,0025
0,017
0,11
0,02
0,20
0,0045
0,023
0,11
0,04
0,25
0,0070
0,028
0,11
0,06
0,30
0,0095
0,032
0,11
0,09
0,35
0,0120
0,034
0,10
0,12
0,40
0,0170
0,043
0,11
0,16
0,10
0,45
0,0220
0,049
0,11
0,20
0,50
0,0275
0,055
0,11
0,25
0,00
0,00
s (m)
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,0335
0,061
0,11
0,30
0,60
0,0400
0,067
0,11
0,36
0,65
0,0470
0,072
0,11
0,42
0,70
0,0550
0,079
0,49
0,75
0,0635
0,085
0,11
0,11
0,80
0,0730
0,091
0,11
0,64
0,85
0,0825
0,097
0,11
0,72
0,90
0,0930
0,103
0,11
0,81
0,95
0,1040
0,109
0,12
0,90
1,00
0,1155
0,116
0,12
1,00
1,05
0,1280
0,122
0,12
0,150
1,10
0,1405
0,128
0,12
1,10
1,21
1,15
0,1540
0,134
0,12
1,32
0,100
1,20
0,1680
0,140
0,12
1,44
1,25
0,1820
0,146
0,12
0,050
1,30
0,1970
0,152
0,12
1,56
1,69
1,35
0,2125
0,157
0,12
1,82
1,40
0,2285
0,163
0,12
1,96
0,000
0,00
1,45
0,2450
0,169
0,12
2,10
1,50
0,2630
0,175
0,12
2,25
1,55
0,2790
0,180
0,12
2,40
1,60
0,2970
0,186
0,12
2,56
1,65
0,3160
0,192
0,12
2,72
1,70
0,3350
0,197
0,12
2,89
1,75
0,3550
0,203
0,12
3,06
1,80
0,3750
0,208
0,12
3,24
1,85
0,3955
0,214
0,12
3,42
1,90
0,4170
0,219
0,12
3,61
1,95
0,4390
0,225
0,12
3,80
2,00
0,4620
0,231
0,12
4,00
2,05
0,4835
0,236
0,12
4,20
2,10
0,5070
0,241
0,11
4,41
2,15
0,5300
0,247
0,11
4,62
2,20
0,5550
0,252
0,11
4,84
1,00
1,50
2,00
2,50
t (s)
0,55
Figura 31
s/t (m/s)
0,56
0,50
0,300
0,250
B (1,95; 0,225)
0,200
α
A (0,90; 0,103)
C (1,95; 0,103)
α
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
t (s)
Figura 32
Determinazione del coefficiente angolare della retta.
Essendo A e B due punti della retta si costruisce il
triangolo rettangolo ACB, i cui cateti sono:
BC = (0,225 - 0,103) m/s = 0,122 m/s,
AC = (1,95 - 0,90) s = 1,05 s.
Posto poi BÂC = α , il coefficiente angolare è:
A0 = tgα =
BC 0,122 m/s
=
= 0,12 m/s2
AC
1,05 s
34
Il confronto dei dati scritti nelle prime due colonne della sezione I della tabella rivela
immediatamente che il legame esistente tra lo spazio ed il tempo è espresso da una relazione diretta:
lo spazio s cresce col crescere del tempo t.
È partendo da questa prima informazione che si può avviare la ricerca della determinazione
della legge oraria del moto. Un procedimento che si può seguire è il seguente.
Si costruisce dapprima il sistema di assi cartesiani ortogonali (t, s) di Figura 31, con i dati
figuranti nelle prime due colonne della
Tabella 2. La curva che approssima meglio i punti, in
s
tal modo ottenuti, non è una linea retta (s non è direttamente proporzionale a t: il quoziente
non
t
è costante), ma é una linea concava verso l’alto, che fornisce però una notevole informazione: s
cresce più rapidamente di t.
Il passo successivo che si può fare, pur nella consapevolezza che, come si è appena visto, tra s e
t non intercorre una proporzionalità diretta, è quello di costruire la terza colonna della sezione I
s
della tabella, riportando in essa i quozienti, , degli spazi, s, percorsi e dei corrispondenti tempi, t.
t
Il confronto dei valori che compaiono in quest’ultima colonna con i corrispondenti valori di t
s
che compaiono nella prima, mostra che anche tra
e t intercorre una relazione diretta, per la cui
t
s
determinazione si costruisce il nuovo sistema di coordinate cartesiane ortogonali (t, ), di Figura
t
32, nelle cui ascisse sono stati riportati i valori del tempo, t (prima colonna) e nelle cui ordinate
s
sono stati riportati i corrispondenti quozienti, , (terza colonna).
t
Risulta subito evidente che la linea che interpreta meglio i punti ottenuti è una linea retta che
s
passa per l’origine. Risulta, perciò, che la relazione intercorrente tra
e t è una proporzionalità
t
s/t
, della retta stessa.
diretta la cui costante di proporzionalità, A0, è il coefficiente angolare,
t
s/t
= A0, da cui si ricava che l’ordinata di un qualsiasi punto di ascissa
Dunque, vale l’eguaglianza
t
t della predetta retta è:
s
= A0 t
t
Ciò basta per poter dire che, nel sistema di coordinate cartesiane di Figura 33 (che è stata
costruita con gli stessi dati di Figura 32), in corrispondenza di un qualsiasi valore dell’ascissa t, il
s
rettangolo avente un vertice sulla retta nel punto di ordinata
= A0 t ed il vertice opposto
t
nell’origine degli assi ha la “Area” che vale:
35
s
= t A0 t = s
t
“Area” = t
cioè ha la “Area” che esprime la misura dello spazio s percorso dal corpo nel tempo t. Ne segue,
allora, che la legge oraria del moto è:
s/t (m/s)
s = A0 ⋅ t 2 (con A0 costante, che, nel caso particolare in esame, vale 0,12 m/s2)
0,300
0,250
0,200
C (0; 0,169)
B (1,45; 0,169)
0,150
0,100
0,050
A (1,45; 0)
0,000
O 0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
t (s)
Φιγυρα 33
Il seguente esempio può bastare per
fornire un’utile verifica di quanto è
stato detto. Nel diagramma di Figura
33 si consideri il rettangolo avente per
base il tempo t = 1,45 s e per altezza
s
m
= 0,169 . La sua “Area”,
t
s
esprimente
lo
spazio,
è
m
s = 1,45 s 0,169 = 0,245 m. Ebbene,
s
nella Tabella 2, in corrispondenza del
tempo t = 1,45 s (letto nella prima
colonna), nella seconda colonna si
legge proprio che lo spazio percorso dal
corpo è proprio s = 0,245 m.
Allo stesso risultato si può giungere anche operando soltanto sulla tabella. Basta, avendo già
costruito la terza colonna della sezione I, in cui compaiono i quozienti s/t (non costanti, ma in
relazione diretta con t), costruire la sezione II della Tabella stessa, costituita da due colonne, nella
s/t
s
= 2 (è il
prima delle quali si riportano, in corrispondenza di ogni valore di t, i quozienti
t
t
procedimento normalmente seguito per indagare se tra s/t e t intercorra una relazione di
proporzionalità diretta).
I valori che compaiono in essa risultano, con evidenza, costanti (uguali a 0,12 m/s2), perciò
risulta subito che tra s e t2 intercorre una proporzionalità diretta. Per conseguenza, proprio come si
s/t
s
= 2 = A0 (con A0 costante). Si ritrova quindi l’equazione oraria del
era già trovato, risulta:
t
t
moto:
s = A0 ⋅ t 2
(A0 = 0,12
m
, costante)
s2
Di solito, però, operando sulla tabella, appena dopo aver constatato che i valori di s/t della terza
colonna della Sezione I non sono costanti, il procedimento più usato è quello di costruire una nuova
36
colonna contenente, in corrispondenza di ogni valore di t (prima colonna), i quadrati dei tempi, t2, e,
s
subito dopo, costruire una ulteriore colonna contenente i corrispondenti quozienti, 2 .
t
Nel caso in esame, per seguire quest’ultimo procedimento, è stato sufficiente costruire la
seconda colonna della Sezione II della tabella con i valori di t2, in quanto l’ulteriore colonna
s
contenente i quozienti 2 esisteva già: è la prima della Sezione II, la quale, come si è già visto,
t
s
mostra che 2 = A0 costante.
t
Osservazione 1. Un altro modo di
procedere, più direttamente rapido per
giungere alla legge del moto, è quello di
costruire, immediatamente dopo aver
s
non sono
constatato che i quozienti
t
costanti, la colonna con i valori di t 2 (è la
seconda colonna della sezione II della
Tabella) e di riportare tali valori nell’asse
delle ascisse di un sistema di assi
cartesiani ortogonali (Figura 34), nell’asse
delle cui ordinate siano poi riportati i
corrispondenti valori di s (seconda
colonna della Sezione I della Tabella).
0,60
s (m)
0,50
B (4,00; 0,4620)
0,40
0,30
0,20
α
0,10
A (1,10; 0,1280)
C (4,00; 0,1280)
0,00
0
1
2
3
4
5
2
2
6
t (s )
Figura 34
Determinazione del coefficiente angolare della
retta.
I punti così ottenuti sono distribuiti in Essendo A e B due punti della retta si costruisce il
modo da indicare, assai bene, che la curva triangolo rettangolo ACB, i cui cateti sono:
BC = (0,4620 - 0,1280) m = 0,3340 m,
a cui essi appartengono è una retta che
AC = (4,00 - 1,10) s2 = 2,90 s2.
passa per l’origine ed avente per
Posto poi BÂC = α , il coefficiente angolare è:
s
coefficiente angolare 2 , che vale 0,12
t
BC 0,3340 m
A0 = tgα =
=
= 0,12 m/s2
2
m
AC
2,90 s
, costante, proprio identico al valore di
2
s
A0, già trovato nei precedenti procedimenti descritti. Si ritrova, dunque, che la legge oraria del moto
è:
s = A0 ⋅ t 2 (con A0 = 0,12
m
, costante)
s2
Quest’ultimo procedimento, inoltre, offrendo l’occasione di poter porre a confronto i
diagrammi delle Figura 32 e Figura 34, fornisce un buon pretesto per sottolineare l’importanza di
prestare la massima attenzione alla lettura dei diagrammi.
37
Il fatto che nei due citati diagrammi le rette che rappresentano meglio i punti, abbiano il
medesimo coefficiente angolare A0, può, infatti, trarre in inganno, in quanto può indurre a
considerarli identici, mentre, invece, sono totalmente differenti, pur essendo vero che da ognuno di
essi si può determinare lo spazio percorso dal corpo nel tempo t: nel primo, come si è già visto, lo
spazio è espresso da una “Area”, e nel secondo, invece, è espresso dall’ordinata del punto di ascissa
t2 .
Con quanto è stato detto, si è voluto sottolineare il fatto che la lettura dei diagrammi può, a
volte, presentare qualche malinteso: non è raro, ad esempio, che il diagramma (t, s), rappresentativo
della legge oraria del moto, venga confuso o scambiato con la traiettoria.
Esperimento b)
Moto determinato da una forza costante di intensità f1= 2,4 (UF), applicata allo stesso corpo M0,
inizialmente in quiete rispetto al sistema di riferimento costituito dalla retta lungo la quale avviene
il moto, orientata nello stesso senso del moto e con l’origine O nel punto occupato dal corpo
nell’istante t = 0.
I dati ottenuti e la loro elaborazione (riportati, come si è già detto, in Appendice 2) hanno
fornito la legge oraria del moto, espressa dalla seguente relazione:
s = A1 ⋅ t 2
(con A1 = 0,21
m
, costante)
s2
Esperimento c)
Moto determinato da una forza costante di intensità f2= 4,2 (UF), applicata allo stesso corpo M0,
inizialmente in quiete rispetto al sistema di riferimento costituito dalla retta lungo la quale avviene
il moto, orientata nello stesso senso del moto e con l’origine O nel punto occupato dal corpo
nell’istante t = 0.
I dati ottenuti e la loro elaborazione (riportati, come si è già detto, in Appendice 2) hanno fornito la
legge oraria del moto espressa dalla seguente relazione:
s = A2 ⋅ t 2
(con A2= 0,36
m
, costante)
s2
Nota 1 – Conseguenze e prime indicazioni tratte dal primo gruppo di prove.
Le tre prove sperimentali, eseguite, hanno mostrato che ognuna delle tre forze, rispettivamente,
di intensità f0, f1 e f2, differenti tra loro, applicata allo stesso corpo M0, determina un moto
caratterizzato dal fatto che la relazione tra lo spazio percorso, s, ed il tempo impiegato a percorrerlo,
t, è:
s
= A (con A costante per ogni forza, ma differente da forza a forza)
t2
38
Si può, dunque, affermare che, nella retta scelta come sistema di riferimento, in quiete nel
sistema di riferimento del laboratorio, la legge oraria del moto con cui il corpo M0 (con partenza da
fermo) si muove, quando su di esso agisce una forza costante, è:
s = A ⋅ t 2 (con A costante per ogni forza, ma diverso da forza a forza)
(7)
E’, quindi, del tutto logico ammettere che tra le costanti A0, A1, A2, trovate negli esperimenti
descritti, e le corrispondenti forze, di intensità, f0, f1, f2, intercorra una precisa relazione e che tale
relazione meriti di essere conosciuta. Per il momento, però, la sua ricerca viene rimandata e ci si
limita a scrivere soltanto il seguente Specchietto 1.
Specchietto 1
Forza agente
Costante(s/t2)
(UF)
(m/s2)
M0
f0 = 1,4
A0 = 0,12
M0
f1 = 2,4
A1 = 0,21
M0
f2 = 4,2
A2 = 0,36
Corpo usato
Secondo gruppo di prove: stessa forza di intensità f1 e corpi differenti.
Come si è già detto, anche i dati sperimentali, ottenuti nei seguenti esperimenti, ed una sintesi
della loro elaborazione, si trovano in Appendice 2. Qui di seguito vengono riportati soltanto i
risultati.
Esprimento d)
Moto determinato dalla forza costante di intensità f1 = 2,4 (UF), applicata al corpo M1 (diverso
da M0), inizialmente in quiete rispetto al sistema di riferimento costituito dalla retta lungo la quale
avviene il moto, orientata nello stesso senso del moto e con l’origine O nel punto occupato dal
corpo nell’istante t = 0.
I dati ottenuti e la loro elaborazione hanno fornito la legge oraria del moto espressa dalla seguente
relazione:
s = A3 ⋅ t 2
(con A3= 0,47
m
, costante)
s2
Esperimento e)
39
Moto determinato dalla forza costante di intensità f1 = 2,4 (UF), applicata al corpo M2 (diverso
da M0 e da M1), inizialmente in quiete rispetto al sistema di riferimento costituito dalla retta lungo la
quale avviene il moto, orientata nello stesso senso del moto e con l’origine O nel punto occupato dal
corpo nell’istante t = 0.
I dati ottenuti e la loro elaborazione hanno fornito la legge oraria del moto espressa dalla seguente
relazione:
s = A4 ⋅ t 2
(con A4= 0,16
m
, costante)
s2
Nota 2- Conseguenze e prime indicazioni tratte dal secondo gruppo di prove.
Le ultime due prove sperimentali e), d) e la precedente prova b), eseguite, agendo sempre con
la forza della stessa intensità f1, sui tre corpi M0, M1, M2, differenti tra loro, hanno mostrato che il
s
quoziente 2 è costante per ogni corpo, ma è diverso da corpo a corpo.
t
Si può, dunque, affermare che, nel sistema di riferimento della retta sulla quale avviene il moto,
orientata nel senso del moto e con l’origine nel punto in cui il corpo si trova inizialmente fermo
nell’istante t = 0 (retta in quiete rispetto al sistema del laboratorio), la legge oraria del moto di corpi
differenti sottoposti alla stessa forza di intensità costante è:
s = A ⋅ t 2 (con A costante per ogni corpo, ma diverso da corpo a corpo)
E’, quindi, del tutto logico ammettere che tra le costanti A1, A3, A4, trovate negli esperimenti
descritti e i corrispondenti corpi, M0, M1, M2, intercorra una precisa relazione e che tale relazione
meriti di essere conosciuta. Per il momento, però, la sua ricerca viene rimandata e ci si limita
soltanto alla compilazione del seguente Specchietto 2.
Specchietto 2
Forza agente
Costante(s/t2)
(UF)
(m/s2)
M0
f1 = 2,4
A1 = 0,21
M1
f1 = 2,4
A3 = 0,47
M2
f1 = 2,4
A4 = 0,16
Corpo usato
Osservazione 2.- Una attenta ed opportuna lettura dei contenuti riferentisi alle cinque prove
sperimentali descritte, consente di riconoscere (come si può arguire anche dalle due precedenti
Note) che lo studio del moto di un corpo (inizialmente in quiete, e privo di vincoli), determinato da
una forza di intensità costante agente su di esso, non deve ancora ritenersi esaurito, in quanto sono
40
emersi chiari segni rivelanti l’esistenza di uno stretto legame tra il moto di un corpo e la forza che lo
determina. È un legame che certamente merita di essere conosciuto, ma per il momento, la sua
ricerca viene rimandata. Qui, tutto ciò che di certo si può dire, in base ai ragionamenti fatti, è
soltanto che la legge oraria del moto è:
s = A⋅ t 2
(7)
(con A costante, ma variabile al variare della forza e al variare del corpo).
NOTA- In Appendice 1 viene indicato un modo per giungere alla legge oraria del moto (nella
1
forma classicamente nota: s = at 2 ), più rapido ed parzialmente alternativo a quello che da qui
2
in avanti viene seguito.
4.6
Moto determinato da una forza costante agente su un corpo già in moto nella
direzione della forza.
Per proseguire l’indagine intrapresa, nello studio del moto di un corpo soggetto ad una forza
costante, viene abbastanza spontaneo ricercare quale sia la legge oraria del moto di un corpo,
inizialmente non in quiete rispetto al sistema di riferimento in cui si opera (che è, quello stesso
scelto per lo studio dei casi precedenti). Si tratta di studiare il moto di un corpo, inizialmente già in
movimento su una retta del piano orizzontale, al quale, a partire da un certo istante in poi, viene
applicata una forza di intensità costante avente la stessa direzione lungo la quale il corpo si sta
muovendo.
Come al solito, il procedimento più efficace dal punto di vista didattico, per eseguire una tale
indagine, è quello sperimentale.
La comprensione dei risultati si rivela più spedita e più facile se gli esperimenti vengono
eseguiti utilizzando uno dei corpi e due delle forze usati nelle prove precedenti. Infatti, ìl confronto,
in tal modo possibile, delle leggi orarie di questi ultimi moti con quelle ottenute nelle corrispondenti
prove già descritte, agevola, di certo, l’acquisizione più chiara e più profonda dei concetti.
Il materiale utilizzato nelle prove sperimentali è, perciò, quello stesso usato in precedenza Ad
esso va aggiunta soltanto una piccola rampa, per mezzo della quale si possono ottenere le medesime
condizioni iniziali del moto del corpo sul piano orizzontale. Basta che il corpo stesso, in ogni prova,
venga lasciato libero di discendere dallo stesso punto della rampa.
Sono state eseguite alcune prove, applicando allo stesso corpo, in uguali o differenti condizioni
di moto sul piano orizzontale, forze costanti tra loro uguali o differenti.
Qui, di queste prove, ne vengono riportate solo quattro, e vengono indicate con i simboli α),β)
γ), e δ): due [la α) e la δ)] sono state eseguite applicando al corpo M0, nelle stesse condizioni di
moto sul piano orizzontale, la forza di intensità costante f0, la prima in senso concorde e la seconda
in senso discorde con quello del moto; una [la γ)] è stata eseguita applicando al corpo M0 nelle
medesime condizioni iniziali di moto dei due casi precedenti, la forza di intensità costante f1
41
(diversa da f0); ed una [la β)] è stata eseguita, applicando al corpo M0 in condizioni iniziali di moto
differenti da quelle precedenti, la forza di intensità costante f0.
Inoltre, sempre per rendere più agevolmente seguibile il percorso logico lungo il quale si
sviluppano i concetti, soltanto la prova α) viene ampiamente descritta nei dati, nella loro
elaborazione e nei risultati, mentre delle prove β) γ), e δ) (i cui dati ed una sintesi con tabelle e
diagrammi della loro elaborazione, eseguita secondo le modalità seguite nella prova α), sono
descritte in Appendice 3 ci si è limitati a riportare sinteticamente solo i risultati.
L’elaborazione dei dati, per rendere ancora più agevole la comprensione dei concetti, è stata
eseguita in due tempi. Nel primo, si sono individuate le proprietà fondamentali che caratterizzano il
moto; nel secondo dalle proprietà trovate si è giunti alla determinazione definitiva della legge oraria
del moto.
Esperimento α)
s (m)
Nel primo di tali esperimenti, il corpo M0, già in moto, nel piano orizzontale, su una retta,
immobile rispetto al sistema del laboratorio, è stato sottoposto all’azione della forza, di intensità
f0=1,4 (UF), avente la stessa direzione e lo stesso verso del moto. La retta, orientata nello stesso
senso del moto e con l’origine dello spazio nel punto corrispondente al tempo t = 0 in cui la forza ha
iniziato ad agire, costituisce il sistema di riferimento rispetto al quale si sono raccolti i dati e si è
studiato il moto. I dati raccolti sono stati riportati nelle prime due colonne della Sezione I della
Tabella 3. Si è poi completata la
Sezione I della tabella con la terza
1,40
colonna, in cui sono stati riportati i
1,20
1,00
valori di s/t. Sono stati, inoltre, costruiti
0,80
i diagrammi (t, s) di Figura 35 e (t, s/t)
0,60
di Figura 36.
E’ importante tenere presente, come
del resto si è appena detto, che i dati
relativi al tempo ed allo spazio riportati
nelle predette prime due colonne, sono
stati misurati a partire dall’istante in cui
la forza ha iniziato ad agire sul corpo,
quando il corpo stesso era già in moto
sul piano orizzontale.
0,40
0,20
0,00
0,00
0,50
1,00
t (s)
1,50
Figura 35
42
Sezione I
t
s
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
s
Sezione II
s
t
m
m/s
0,0000
0,0365
0,0735
0,1110
0,1485
0,1870
0,2260
0,2655
0,3060
0,3470
0,3885
0,4310
0,4735
0,5170
0,5610
0,6050
0,6495
0,6960
0,7425
0,7880
0,8355
0,8825
0,9300
0,9785
1,0260
1,0750
-0,730
0,735
0,740
0,743
0,748
0,753
0,759
0,765
0,771
0,777
0,784
0,789
0,795
0,801
0,807
0,812
0,819
0,825
0,829
0,836
0,840
0,845
0,851
0,855
0,860
s ⎛s⎞
−⎜ ⎟
t ⎝ t ⎠0
t
2
m/s
-0,20
0,15
0,13
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,11
0,12
0,12
0,12
0,12
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
s/t (m/s)
Tabella 3
1
B (1,05; 0,84)
0,9
0,8
α
0,7
C (1,05; 0,753)
A (0,30; 0,753)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
t (s)
Figura 36
Determinazione del coefficiente angolare della retta.
Essendo A e B due punti della retta si costruisce il
triangolo rettangolo ACB, i cui cateti sono:
BC = (0,840-0,753) m = 0,087 m,
AC = (1,05-0,30) s2 = 0,75 s2.
Posto poi BÂC = α , il coefficiente angolare è:
0,087 m
A0 = tgα = BC =
= 0,12 m/s2
2
AC
0,753 s
L’elaborazione dei dati, eseguita con le stesse modalità seguite nel precedente esperimento a),
ha messo in evidenza quanto segue.
La retta che meglio approssima i dati sperimentali nel diagramma (t, s/t) ha lo stesso
coefficiente angolare A0 = 0,12 m/s2 della retta ottenuta nel corrispondente esperimento
eseguito con lo stesso corpo, M0, inizialmente in quiete, e la stessa forza, di intensità f0,
[prova sperimentale a) del precedente paragrafo 4.5]. La differenza tra le due rette sta
nel fatto che, nel precedente citato esperimento la retta passa per l’origine, mentre in
quest’ultimo stacca sull’asse delle ordinate un preciso determinato segmento (ordinata
all’origine), il cui valore, corrispondente al tempo t = 0 s, per comodità, viene indicato
s
col simbolo ( )0. Nella prova eseguita, tenendo presente che il coefficiente angolare A0
t
s
= tg α = 0,12 m/s2, si trova che è ( )0 = 0,72 m/s.
t
43
Anche in questa prova, come è avvenuto nel corrispondente esperimento a) del
paragrafo 4.5, eseguito con la stessa forza e con lo stesso corpo, inizialmente in quiete,
la “Area” del rettangolo avente per base l’ascissa t e per altezza la corrispondente
ordinata s/t, è la misura dello spazio percorso nel tempo t (Figura 37). Sulla seconda
colonna della
Tabella 3, è facile controllare che, in corrispondenza del tempo t (letto
sulla prima colonna), lo
1
spazio percorso è proprio
0,9
A (0; 0,829)
quello fornito dalla “Area”.
s/t (m/s)
0,8
B (0,95; 0,829)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
C (0,95; 0)
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
t (s)
Figura 37
Spazio s = “Area” rettangolo = t
s
t
Nel caso particolare del rettangolo OABC,
essendo t = 0,95 s ed
s = “Area” = t
s
= 0,829 m/s, risulta:
t
s
= 0,95 s · 0,829 m/s = 0,79 m
t
44
s
, esprime, in m, lo spazio percorso, s, risulta
t
costituito da due rettangoli, aventi la stessa base, t, ed aventi, rispettivamente, per
s
s
s
altezza l’ordinata all’origine, ( )0, e la differenza, [
- ( )0], tra l’ordinata
t
t
t
corrispondente al tempo
t
e
l’ordinata
1
all’origine.
0,9
(0,95; 0,829)
Il predetto rettangolo, la cui “Area”, s = t
s/t (m/s)
Tenuto, allora, conto
che, come si è detto, il
coefficiente
angolare
della retta di Figura 36 è
A0, e, quindi che la
s
s
differenza [ - ( )0] è
t
t
s
s
[
- ( )0] = A0 t,
t
t
risulta:
B
C (0; 0,829)
0,8
0,7
E (0,95; 0,72)
D (0; 0,72)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
O 0
A (0,95; 0)
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
t (s)
Figura 38
s = “Area” (OABC) = “Area” (OAED)+ “Area” (DEBC)
Nel caso particolare, essendo: OA = 0,95 s
AE = OD = 0,72 m/s
BE = CD= (0,828-0,72) m/s = 0,11 m/s
s = 0,95 s · 0,72 m/s + 0,95 s · 0,11 m/s = 0,68 m + 0,10 m =
0,78 m
“Area” = t
s
s
s
s
s
s
= s = t ( )0 + t [ - ( )0] = t ( )0 + t A0 t = t ( )0 + A0 t2.
t
t
t
t
t
t
In altre parole la legge oraria del moto è:
s
s = t ( )0 + A0 t2
t
45
Esperimento β)
Moto determinato dalla forza costante f0 = 1,4 (UF) applicata al corpo M0 in condizioni iniziali
di moto (sul piano orizzontale) differenti da quelle della precedente prova α) (il corpo è stato
lasciato libero di discendere da un punto differente della rampa) e nello stesso senso del moto.
I dati ottenuti e la loro elaborazione (riportati come si è già detto in Appendice 3) hanno fornito
la seguente relazione:
s
s = t ( )0,1 + A0 t2
t
s
) relativo a questa prova
t
s
(analogo a quello di Figura 36 relativo alla prova α) il valore dell’espressione ( )0,1, indicante
t
l’ordinata all’origine della retta che meglio interpreta l’andamento dei punti sperimentali, è
s
differente da quello [( )0] relativo alla precedente prova α. Il coefficiente angolare A0, invece, ha lo
t
stesso valore.
Come si può vedere, andando in Appendice 3, nel diagramma (t,
Precisamente, si ha :
A0 = 0,12
m
, costante ed uguale ai valori ottenuti nelle prove a) ed α);
s2
m
s
s
m
( )0,1 = 0,59 , differente da quello, ( )0 = 0,73 , ottenuto nella prova α).
s
t
s
t
Esperimento γ)
Moto determinato dalla forza costante di intensità f1 = 2,4 (UF), applicata al corpo M0, in
condizioni di moto (sul piano orizzontale) identiche a quelle della precedente prova α) (il
corpo è stato lasciato libero di discendere dallo stesso punto della rampa) e nello stesso senso
del moto.
I dati ottenuti e la loro elaborazione (riportati come si è già detto in Appendice 3) hanno
fornito la legge oraria del moto espressa dalla seguente relazione:
s
s = t ( )0 + A1 t2
t
[dove:
A1 = 0,21
m
, costante ed uguale ai valori ottenuti nella prova b);
s2
m
s
( )0 = 0,70 , uguale a quello ottenuto nella prova α)].
t
s
46
Esperimento δ)
Moto determinato dalla forza costante, di intensità f0 = 1,4 (UF), applicata al corpo M0 in
condizioni iniziali di moto (sul piano orizzontale) uguali a quelle della precedente prova α) (il corpo
è stato lasciato libero di discendere dallo stesso punto della rampa) ma nel senso contrario a quello
del moto.
I dati ottenuti e la loro elaborazione (riportati come si è già detto in Appendice 3) hanno fornito
la legge oraria del moto espressa dalla seguente relazione:
s
s = t ( )0 - A0 t2
t
[dove:
-A0 = - 0,12
m
, costante ed uguale, in valore assoluto, ai valori ottenuti nelle prove a), α) e; β)
s2
s
m
( )0 = 0,72 , uguale a quello ottenuto nelle prove α) e. γ)].
t
s
4.7
Moto in assenza di forze. La velocità
I risultati ottenuti e le considerazioni, descritti nel paragrafo precedente, hanno mostrato
chiaramente che, quando ad un corpo, in identiche condizioni di moto sul piano orizzontale,
vengono applicate forze differenti, le rette che ne descrivono il moto nei diagrammi cartesiani
ortogonali (t, s/t) dopo l’applicazione della forza (Figure 36, 37, 38 e figure in Appendice 3), hanno
la stessa ordinata all’origine. Hanno invece mostrato che, se al corpo, in condizioni di moto
differenti sul piano orizzontale, viene applicata la stessa forza, le rette, che compaiono nei
diagrammi cartesiani ortogonali (t, s/t), descriventi il moto dopo l’applicazione della forza (Figure
relative all’esperimento β in Appendice 3), hanno differenti ordinate all’origine.
Ciò induce, in modo del tutto spontaneo e logico, ad ammettere che il valore dell’ordinata
all’origine delle rette, che compaiono nei predetti diagrammi, sia strettamente legato soltanto alle
condizioni del moto del corpo sul piano orizzontale nell’istante in cui le forze hanno iniziato ad
agire; anzi, induce a pensare che il valore dell’ordinata all’origine esprima la misura di una
“qualità”, di un attributo specifico del moto con cui il corpo stava muovendosi sul piano orizzontale
nell’istante in cui la forza ha iniziato ad agire.
Viene allora del tutto naturale, per conoscere meglio tale “qualità” (tale attributo), decidere di
effettuare una ulteriore prova sperimentale, eseguita con lo stesso corpo M0, che, nell’istante t = 0 s,
si trovi sul piano orizzontale in condizioni iniziali di moto uguali a quelle in cui si trovava negli
esperimenti α), γ) e δ), ma non sottoposto all’azione di alcuna forza.
E’ stato, perciò, eseguito il seguente esperimento.
Il corpo M0, collegato con la striscia passante nella fessura del marcatempo e a marcatempo in
funzione, è stato lasciato libero di discendere dallo stesso punto della rampa dal quale era stato
lasciato discendere nei precedenti esperimenti α), γ) e δ), ed è stato lasciato libero di muoversi sul
47
piano orizzontale senza l’applicazione di alcuna forza. Sulla striscia, poi, si è fissato, come origine
dello spazio, un punto, riferentesi ad una posizione occupata dal corpo in moto sul piano
orizzontale, e come origine del tempo l’istante in cui il corpo si trovava in quello stesso punto. A
partire da tale punto, si sono eseguite le misure del tempo e dello spazio ed i loro valori sono stati
riportati nelle prime due colonne della Sezione I della
Tabella 4 e si sono costruiti i diagrammi
(t, s) di Figura 39 e (t, s/t) di Figura 40
Tabella 4
0,35
s
s/t
s
m
m/s
0,00
0,0000
--
0,05
0,0355
0,71
0,10
0,0700
0,70
0,15
0,1060
0,71
0,20
0,1405
0,70
0,25
0,1750
0,70
0,30
0,2090
0,70
0,35
0,2430
0,69
0,40
0,2770
0,69
0,45
0,3105
0,69
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,20
0,30
0,40
0,50
t (s)
Figura 39
s/t (m/s)
t
s (m)
Sezione I
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,10
0,40
0,50
t (s)
Figura 40
L’elaborazione dei dati ha fornito i seguenti importanti risultati.
La retta che meglio approssima i dati sperimentali nel diagramma (t, s/t) è parallela
all’asse dei tempi e stacca un’ordinata all’origine uguale a quella staccata dalle rette
interpretative dei punti rappresentativi dei dati sperimentali nei precedenti esperimenti
α), γ) e δ). Nei diagrammi (t, s/t), l’ordinata all’origine delle rette interpretative dei dati
sperimentali di quest’ultima prova e delle precedenti α), γ) e δ) non dipende dalle
eventuali forze agenti sul corpo, ma dipende soltanto dalle condizioni di moto
nell’istante in cui le forze hanno iniziato ad agire. Questo risultato è del tutto generale:
la prova sperimentale β) mostra, infatti, che, se le condizioni di moto, nel momento in
cui la forza ha iniziato ad agire, sono differenti, l’ordinata all’origine è differente.
Anche in questo caso, come nelle precedenti prove α), β) e γ), la “Area” del rettangolo,
avente per base l’ascissa t e per altezza la corrispondente ordinata s/t, è, come si può
48
anche controllare agevolmente sulla seconda colonna della Tabella 4, la misura dello
spazio percorso nel tempo t. Inoltre, sempre in quest’ultimo caso, si vede che, in
corrispondenza ad intervalli uguali di tempo, ∆t, comunque presi, i rettangoli aventi per
base ∆t e per altezza la corrispondente ordinata (che è la stessa per tutti i valori di t),
hanno, come ovvio, “Area” uguale. In altre parole si vede che, in intervalli di tempi
uguali, il corpo percorre spazi uguali. Quindi si vede che il corpo percorre spazi uguali
anche in intervalli di tempo uguali a quello prescelto come unità di misura del tempo.
In un qualsiasi moto rettilineo, in cui, come in quello di quest’ultimo esperimento, vengono
percorsi spazi uguali in tempi uguali (qualunque sia la loro durata), lo spazio percorso nell’unità di
tempo viene, per definizione, chiamato velocità. In pratica la velocità, normalmente indicata con il
simbolo v, viene determinata, essendo ∆s lo spazio percorso nell’intervallo di tempo ∆t
∆s
(arbitrariamente scelto), mediante il quoziente
, cioè risulta:
∆t
v=
∆s
∆t
(8)
La velocità è come si vede, una grandezza derivata e la sua unità di misura, nel Sistema
Internazionale (SI), in cui lo spazio si misura in metri (m) e il tempo in secondi (s), è il metro al
m
secondo ( ).
s
Nel caso particolare di quest’ultimo esperimento, essendo il valore della velocità, v, lo stesso in
ogni istante, è lo stesso anche nell’istante t = 0, ed, in tale istante, il suo valore, letto nel diagramma
m
(t, s/t) Figura 40, è il valore dell’ordinata all’origine, cioè è 0,70 ( ).
s
Il moto in cui in ogni istante la velocità è la stessa, come quello appena studiato, viene
denominato per definizione moto rettilineo e uniforme e la legge oraria di tale moto è
evidentemente:
s = vt
(9)
E’ abbastanza facile riconoscere che alla legge oraria del moto si perviene anche ed in maniera
più diretta e più rapida attraverso lo studio del diagramma (t, s) di Figura 39. .
Infatti, esso mostra, immediatamente, che i punti rappresentativi del legame esistente tra s e t
stanno su una retta, quindi, mostra che s è direttamente proporzionale a t. Risulta, allora, che il
s
quoziente
(il coefficiente angolare della retta) è costante per un qualsiasi valore di t, e che, per
t
quanto poco fa è stato detto, il valore di tale costante è la velocità v.
49
Dunque, è
s
= v, da cui segue che la legge oraria del moto è:
t
s = vt
(9)
Anche qui è bene osservare che, essendo v costante per un qualsiasi valore di t, quindi, in ogni
istante, anche nell’istante iniziale, t = 0, la velocità è v.
Nel caso particolare di quest’ultimo esperimento è: v =
s
0,21m
m
= 0,70
=
s
0,30s
t
Osservazione.- Seguendo una via del tutto sperimentale (cioè la via ritenuta, tra tutte, quella
più convincente) si è giunti a riconoscere l’esistenza del moto uniforme come il moto di un corpo
non soggetto a forze, e, per conseguenza, si è giunti all’introduzione della grandezza velocità e del
concetto di velocità all’istante.
Alle stesse conoscenze, però, si può giungere anche attraverso un percorso basato sulla logica
di un ragionamento impostato sui risultati ottenuti nell’elaborazione dei dati degli esperimenti α),
β), γ) e δ), descritti nel paragrafo precedente; impostato in particolare sui diagrammi (t, s/t) relativi
agli esperimenti α), γ) e δ), nei quali, le rette interpretative dell’andamento del moto di un corpo,
determinato da forze differenti, inizialmente nello stesso stato di moto sul piano orizzontale,
s
staccano la stessa ordinata all’origine, ( )0.
t
Infatti sugli stessi diagrammi si vede bene che i coefficienti angolari, A, di tali rette variano al
variare della forza. Anzi, per essere più precisi (e ciò potrebbe essere confermato con ulteriori
analoghi esperimenti), rivelano che, nel caso in cui la forza sia concorde con il moto, i coefficienti
angolati sono positivi e diminuiscono al diminuire della forza, e, nel caso in cui la forza abbia il
verso contrario a quello del moto, i coefficienti angolari sono negativi e decrescono al crescere
dell’intensità della forza.
50
Α1
Α2
σ/τ
Α3
(
{
A1> A2 >A3 > … > 0
A6 < A5 < A4 < … < 0
Α4
s
)0
t
Α5
Α6
Ο
τ
Figura 41
La Figura 41, che illustra assai bene quanto è stato detto, mostra con chiarezza che, nel caso in
cui sul corpo non agisca alcuna forza, il coefficiente angolare, non potendo essere né positivo, né
negativo, è nullo
Ciò significa che, per tutta la durata del moto, per un qualsiasi valore di t (cioè in ogni istante),
s
l’ordinata del corrispondente punto sulla retta è sempre ( )0.
t
Per conseguenza, significa che, ad intervalli uguali di tempo, ∆t, corrispondono rettangoli,
s
aventi per base ∆t e per altezza la comune ordinata ( )0, i quali hanno le “aree” uguali, che
t
s
rappresentano gli spazi uguali ∆s percorsi in tali intervalli di tempo. In altre parole, si ha ∆t ( )0 =
t
∆s.
s
∆s
= ( )0, che rappresenta lo spazio percorso nell’unità di tempo, è
∆t
t
costante. Esso costituisce una grandezza caratteristica del moto la quale viene denominata velocità,
v.
Perciò il quoziente
Si può, allora, dire che, in assenza di forze il moto di un corpo, in ogni istante, mantiene
costante la sua velocità, quindi mantiene tale velocità anche nell’istante t = 0 s.
51
4.8
Continuazione dell’elaborazione dei dati relativi agli esperimenti eseguiti nel
paragrafo 4.6.
Tenendo presente quanto è stato detto a proposito della velocità nell’istante t = 0 (ordinata
all’origine Figura 40) del paragrafo precedente, viene spontaneo riesaminare i diagrammi (t, s/t) di
Figura 36 e quelli in Appendice 3, relativi alle prove sperimentali α), δ) e γ) descritte nel paragrafo
4.6. Questi ultimi tre diagrammi hanno ordinate all’origine identiche a quella letta sul citato
diagramma di Figura 40 del paragrafo precedente e si riferiscono a tre esperimenti in cui il corpo,
nell’istante t = 0, si trovava, sul piano orizzontale, nelle stesse condizioni di moto. E’ quindi
naturalmente logico che il significato da attribuire alle tre identiche ordinate all’origine dei tre
diagrammi (di Figura 36 e di quelli in Appendice 3) sia quello stesso attribuitogli a proposito
dell’esperimento descritto nel paragrafo precedente (diagramma di Figura 40): il corpo in
m
quell’istante è dotato della velocità v = (0,71 ± 0,02) .
s
Di differente tra il moto rettilineo uniforme descritto nel paragrafo precedente, e i moti studiati
negli esperimenti α), δ) e γ), vi è che, nel primo, la velocità è costante in ogni istante, cioè per ogni
valore di t, per tutta la durata del moto, e, negli altri, α), δ) e γ), invece, la velocità ha quel valore
soltanto nell’istante t = 0. Essa, perciò, per definizione, viene riconosciuta come la velocità
nell’istante t = 0.
Dunque, nei quattro esperimenti, α), δ) e γ) ed in quello descritto nel paragrafo precedente, il
corpo, nell’istante t = 0, ha la stessa velocità istantanea, ma negli esperimenti α), δ) e γ) il corpo
possiede tale velocità soltanto in tale istante, che è quello in cui ha iniziato ad agire la forza. La
velocità posseduta dal corpo all’istante t = 0, viene di solito denominata velocità all’istante iniziale
e viene indicata col simbolo v0.
Si è già visto che, nei diagrammi (t, s/t), riferentisi alle prove sperimentali α) e γ), i rettangoli,
le cui “aree” forniscono lo spazio percorso nel medesimo tempo t, sono costituiti:
- da un identico rettangolo (che viene indicato col simbolo R0 - Figura 38 e Figure in Appendice
3-) avente per base t e per altezza la comune velocità istantanea, v0, al tempo t = 0, cioè avente
la “Area” s = v0t;
- e, nel caso dell’esperimento α da un rettangolo (che viene indicato con R – Figura 38 e Figure
in Appendice 3-) avente per base t e per altezza:
•
nel caso dell’esperimento α), A0t, cioè avente la “Area” tA0t = A0t2;
•
nel caso dell’esperimento γ, A1t cioè avente la “Area” t A1t = A1t2
Poiché le costanti A0 ed A1 dipendono dai valori delle forze utilizzate, le “aree” dei rettangoli R,
e quindi gli spazi percorsi derivanti dall’intervento delle due forze, sono differenti.
Si sottolinea, invece, che la “Area” del rettangolo R0, e quindi il corrispondente spazio
percorso, resta identico nei due moti, ed è identico a quello percorso dal corpo, nel medesimo
intervallo di tempo t, nell’esperimento descritto nel precedente paragrafo 4.7, eseguito in assenza di
forze. Infatti nel diagramma di Figura 40, il rettangolo la cui “Area”, esprimente lo spazio percorso
dal corpo nel medesimo tempo t é R0.
52
Come conseguenza di quanto è stato detto, risulta che le relazioni, esprimenti lo spazio s in
funzione del tempo t e riferentisi, rispettivamente, agli esperimenti α), β), γ) e δ), divengono le
seguenti:
s
s = t ( )0 + A0 t2 = v0t + A0t2
t
s
s = t ( )0,1 + A0 t2 = v01t + A0t2
t
s
s = t ( )0 + A1 t2= v0t + A1t2
t
s
s = t ( )0 - A0 t2= v0t - A0t2
t
In generale si conclude che se una forza, costante, viene applicata ad un corpo in moto con la
velocità nella stessa direzione della forza, la legge del moto, a partire dall’istante in cui la forza è
stata applicata, è:
s = v0t ± At2
(10)
(con A costante, il cui valore dipende dalla forza e dal corpo)
E nel caso in cui v0 = 0 (Paragrafo 4.5) la legge del moto, ovviamente, diviene:
s = At2
(7)
53
4.9
Riesame del moto relativo all’esperimento a) del paragrafo 4.5. L’accelerazione
ed il moto uniformemente accelerato.
Si riesamini il moto relativo all’esperimento a) descritto nel paragrafo 4.5, i cui dati compaiono
nella Tabella 2 che qui, per comodità viene riscritta.
Tabella 2
s
s/t
(s/t)/t=s/t
2
2
2
0,50
t
s (m)
t
0,60
Sezione II
2
s
m
m/s
m/s
s
0,00
0,0000
0,000
--
--
0,05
0,0005
0,010
0,20
--
0,10
0,0015
0,015
0,15
0,01
0,15
0,0025
0,017
0,11
0,02
0,20
0,0045
0,023
0,11
0,04
0,25
0,0070
0,028
0,11
0,06
0,30
0,0095
0,032
0,11
0,09
0,35
0,0120
0,034
0,10
0,12
0,40
0,0170
0,043
0,11
0,16
0,45
0,0220
0,049
0,11
0,50
0,0275
0,055
0,11
0,20
0,25
0,55
0,0335
0,061
0,11
0,30
0,60
0,0400
0,067
0,11
0,36
0,65
0,0470
0,072
0,11
0,42
0,70
0,0550
0,079
0,11
0,49
0,75
0,0635
0,085
0,11
0,56
0,80
0,0730
0,091
0,11
0,64
0,85
0,0825
0,097
0,11
0,72
0,90
0,0930
0,103
0,11
0,81
0,95
0,1040
0,109
0,12
0,90
1,00
0,1155
0,116
0,12
1,00
1,05
0,1280
0,122
0,12
1,10
1,10
0,1405
0,128
0,12
1,21
1,15
0,1540
0,134
0,12
1,32
1,20
0,1680
0,140
0,12
1,44
1,25
0,1820
0,146
0,12
1,30
0,1970
0,152
0,12
1,56
1,69
1,35
0,2125
0,157
0,12
1,82
1,40
0,2285
0,163
0,12
1,96
1,45
0,2450
0,169
0,12
2,10
1,50
0,2630
0,175
0,12
2,25
1,55
0,2790
0,180
0,12
2,40
1,60
0,2970
0,186
0,12
2,56
1,65
0,3160
0,192
0,12
2,72
1,70
0,3350
0,197
0,12
2,89
1,75
0,3550
0,203
0,12
3,06
1,80
0,3750
0,208
0,12
3,24
1,85
0,3955
0,214
0,12
3,42
1,90
0,4170
0,219
0,12
3,61
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
t (s)
Figura 42
s/t (m/s)
Sezione I
0,300
0,250
B (1,95; 0,225)
0,200
0,150
α
0,100
A (0,90; 0,103)
C (1,95; 0,103)
0,050
0,000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
t (s)
Figura 43
α
Determinazione del coefficiente angolare della retta.
Essendo A e B due punti della retta si costruisce il triangolo rettangolo
ACB, i cui cateti sono: BC = (0,225 - 0,103) m/s = 0,122 m/s,
AC = (1,95 - 0,90) s = 1,05 s.
Posto poi
A0 = tg
=
BÂC = α , il coefficiente angolare è:
BC
AC
=
0,122 m/s
2
= 0,12 m/s
1,05 s
54
1,95
0,4390
0,225
0,12
3,80
2,00
0,4620
0,231
0,12
4,00
2,05
0,4835
0,236
0,12
4,20
2,10
0,5070
0,241
0,11
4,41
2,15
0,5300
0,247
0,11
4,62
2,20
0,5550
0,252
0,11
4,84
Esso è stato realizzato applicando al corpo M0, in quiete (nel sistema di riferimento del
laboratorio) fin dall’istante iniziale t = 0, la forza f0, costante. Sulla striscia di carta, recante i punti
che descrivono il moto, l’istante t = 0 coincide con il primo punto nel quale il corpo si trovava,
inizialmente, in quiete.
A proposito della striscia relativa a tale moto, è evidente che, in un qualsiasi altro punto diverso
da quello iniziale, il corpo durante la prova sperimentale, si trovava in uno stato di moto e quindi si
trovava dotato di una ben determinata velocità, v.
Stabilito che tale velocità avrebbe potuto essere stata raggiunta in un modo diverso da quello
del moto determinato dalla forza f0, nulla vieta di poterla considerare come la velocità iniziale di un
moto del tutto analogo ai moti α), β), γ), e δ), descritti nel paragrafo 4.6.
Per constatare che è proprio così, si può procedere nel modo seguente.
Si sceglie sulla striscia di carta un punto qualsiasi diverso da quello corrispondente al tempo t =
0 e lo si considera il punto nel quale il corpo inizia il suo moto già dotato di una determinata
velocità. A partire da tale punto, in cui al tempo ed allo spazio si attribuiscono, rispettivamente, i
valori t = 0 s e s = 0 m, si prendono i dati e si riportano in una tabella: nella prima colonna il tempo
t e nella seconda lo spazio s. Si costruisce poi, la terza colonna contenente i valori dei quozienti s/t,
e, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, si riportano, in ascisse i tempi t ed in ordinate i
corrispondenti valori di s/t.
Sul diagramma, che in tal modo si ottiene, appare subito che i punti rappresentativi delle coppie
di valori t ed s/t appartengono ad una linea retta, la cui ordinata all’origine non è nulla. Si ottiene ,
in altre parole, un diagramma del tutto analogo a quelli relativi ai moti descritti nel paragrafo 4.6
[esperimenti α), β), γ), e δ)].
La lettura del diagramma ottenuto, tenendo presente quanto è stato detto a proposito dei citati
esperimenti del paragrafo 4.6, consente di affermare che il corpo, al tempo t = 0, era dotato di una
m
, dal valore dell’ordinata all’origine della retta
velocità istantanea iniziale, v0, espressa in
s
(diagramma del moto).
L’operazione e il procedimento descritti sono stati effettivamente eseguiti, partendo da vari
punti della striscia relativa al predetto esperimento a) del paragrafo 4.5. Precisamente dai punti che
corrispondono ai tempi t1 = 0,45 s, t2 = 0,70 s, t3 = 0,90 s, t4 = 1,15 s, a cui corrispondono
rispettivamente le tabelle 5, 6, 7, 8 con i relativi diagrammi 42, 43, 44, 45.
55
s
è privo di significato, nelle
t
tabelle, e, quindi, nei corrispondenti diagrammi non compaiono (e non possono comparire) i valori
s
di per t = 0.
t
Va soltanto tenuto presente che dal fatto che per t = 0 il quoziente
s
per t = 0, si ottengono perciò trovando le intersezioni delle rette, a cui
t
appartengono i segmenti costruiti con i punti sperimentali, con l’asse delle ordinate. Operando in tal
s
s
modo si ottengono, in corrispondenza di t = 0 i valori di , che vengono indicati col simbolo ( )0.
t
t
I valori di
Tabella 5
(Nota.- Il tempo iniziale t = 0 del
moto i cui dati compaiono in questa
Tabella, è il tempo t = 0,45 s del
moto i cui dati compaiono nella
Tabella 2)
Tabella 6
s
s/t
s
m
m/s
0,00
0
--
0,05
0,0055
0,110
0,10
0,0115
0,115
0,15
0,0180
0,120
0,20
0,0250
0,125
0,25
0,0330
0,132
0,30
0,0415
0,138
0,35
0,0510
0,146
0,40
0,0605
0,151
0,45
0,0710
0,158
0,50
0,0820
0,164
0,55
0,0935
0,170
0,60
0,1060
0,177
0,65
0,1185
0,182
0,70
0,1320
0,189
0,75
0,1460
0,195
0,80
0,1600
0,200
0,85
0,1750
0,206
0,90
0,1905
0,212
0,95
0,2065
0,217
1,00
0,2230
0,223
1,05
0,2410
0,230
1,10
0,2570
0,234
1,15
0,2750
0,239
1,20
0,2940
0,245
1,25
0,3130
0,250
1,30
0,3330
0,256
1,35
0,3530
0,261
1,40
0,3735
0,267
0,350
s/t
t
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
t
Φιγυρα 44
La velocità iniziale del moto i cui dati figurano nella Tabella
5 (ordinata all’origine della retta che interpreta meglio i dati
sperimentali) è 0,105 m/s ed evidentemente è la velocità
all’istante t=0,45 s del moto i cui dati compaiono nella
Tabella 2.
56
1,45
0,3950
0,272
1,50
0,4170
0,278
1,55
0,4400
0,284
1,60
0,4615
0,288
1,65
0,4850
0,294
1,70
0,5080
0,299
1,75
0,5330
0,305
Tabella 7
(Nota.- Il tempo iniziale t = 0 del
moto i cui dati compaiono in questa
Tabella, è il tempo t = 0,70 s del
moto i cui dati compaiono nella
Tabella 2)
s/t
Tabella 8
t
s
s/t
s
m
m/s
0,00
0,0000
--
0,05
0,0085
0,170
0,10
0,0180
0,15
0,0275
0,180
0,183
0,20
0,0380
0,190
0,25
0,0490
0,196
0,30
0,0605
0,202
0,35
0,0730
0,209
0,40
0,0855
0,214
0,45
0,0990
0,220
0,50
0,1130
0,226
0,55
0,1270
0,231
0,60
0,1420
0,237
0,65
0,1575
0,242
0,70
0,1735
0,248
0,75
0,1900
0,253
0,80
0,2080
0,260
0,85
0,2240
0,264
0,90
0,2420
0,269
0,95
0,2610
0,275
1,00
0,2800
0,280
1,05
0,3000
0,286
1,10
0,3200
0,291
1,15
0,3405
0,296
1,20
0,3620
0,302
1,25
0,3840
0,307
1,30
0,4070
0,313
1,35
0,4285
0,317
1,40
0,4520
0,323
1,45
0,4750
0,328
1,50
0,5000
0,333
0,400
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
t
Φιγυρα 45
La velocità iniziale del moto i cui dati figurano nella
Tabella 6 (ordinata all’origine della retta che interpreta
meglio i dati sperimentali) è 0,169 m/s ed
evidentemente è la velocità all’istante t=0,70 s del
moto i cui dati compaiono nella Tabella 2.
57
Tabella 9
(Nota.- Il tempo iniziale t = 0 del
moto i cui dati compaiono in questa
Tabella, è il tempo t = 0,90 s del
moto i cui dati compaiono nella
Tabella 2)
Tabella 10
s
s/t
0,400
s/t
t
s
m
m/s
0,00
0,0000
--
0,05
0,0110
0,220
0,300
0,10
0,0225
0,225
0,250
0,15
0,0350
0,233
0,20
0,0475
0,238
0,25
0,0610
0,244
0,30
0,0750
0,250
0,35
0,0890
0,254
0,40
0,1040
0,260
0,45
0,1195
0,266
0,50
0,1355
0,271
0,55
0,1520
0,276
0,60
0,1700
0,65
0,1860
0,283
0,286
0,70
0,2040
0,75
0,2230
0,80
0,2420
0,303
0,85
0,2620
0,308
0,90
0,2820
0,313
0,95
0,3025
0,318
1,00
0,3240
0,324
1,05
0,3460
0,330
1,10
0,3690
0,335
1,15
0,3905
0,340
1,20
0,4140
0,345
1,25
0,4370
0,350
1,30
0,4620
0,355
0,291
0,297
0,350
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
t
1,40
Φιγυρα
Figura4746
La velocità
del del
moto
i cui idati
nella Tabella
La
velocitàiniziale
iniziale
moto
cuifigurano
dati figurano
nella
6
(ordinata
all’origine
della
retta
che
interpreta
meglio
i dati
Tabella 6 (ordinata all’origine della retta che interpreta
sperimentali) è 0,217 m/s ed evidentemente è la velocità
meglio i dati sperimentali) è 0,217 m/s ed
all’istante t=0,90 s del moto i cui dati compaiono nella
evidentemente
è la velocità all’istante t=0,90 s del
Tabella 2.
moto i cui dati compaiono nella Tabella 2.
58
Tabella 11
(Nota.- Il tempo iniziale t = 0 del
moto i cui dati compaiono in questa
Tabella, è il tempo t = 1,15 s del
moto i cui dati compaiono nella
Tabella 2)
Tabella 12
s/t
s
s
m
m/s
0,00
0,0000
--
0,05
0,0140
0,10
0,0280
0,280
0,280
0,15
0,0430
0,287
0,20
0,0585
0,293
0,250
0,25
0,0745
0,298
0,200
0,30
0,0910
0,303
0,35
0,1090
0,311
0,150
0,40
0,1250
0,313
0,100
0,45
0,1430
0,318
0,50
0,1620
0,324
0,55
0,1810
0,329
0,60
0,2010
0,335
0,65
0,2210
0,70
0,2415
0,340
0,345
s/t
t
0,450
0,400
0,350
0,300
0,050
0,000
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
t
1,20
Φιγυρα 48
0,351
0,75
0,2630
0,80
0,2850
0,356
0,85
0,3080
0,362
0,90
0,3295
0,366
0,95
0,3530
0,372
1,00
0,3760
0,376
1,05
0,4010
0,382
La velocità iniziale del moto i cui dati figurano nella
Tabella 6 (ordinata all’origine della retta che interpreta
meglio i dati sperimentali) è 0,272 m/s ed
evidentemente è la velocità all’istante t=1,15 s del
moto i cui dati compaiono nella Tabella 2.
Le ordinate all’origine delle rette rappresentative dei moti esaminati, aventi il loro inizio (t = 0 e
s =0) nei punti corrispondenti ai tempi t1 =0,45, t2 =0,75, t3 =0,90, t4 =1,15 letti sulla citata striscia
descrivente il moto dell’esperimento a) del paragrafo 4.5, essendo rispettivamente la misura delle
loro velocità istantanee iniziali, sono, evidentemente, le velocità istantanee possedute dal corpo
negli istanti t1 =0,45, t2 =0,75, t3 =0,90, t4 =1,15 nel moto esaminato nell’esperimento a) del
paragrafo 4.5.
Ciò che è stato fatto relativamente ai punti predetti, può essere ripetuto per un qualsiasi altro
punto della striscia. Perciò risulta che, in corrispondenza di ogni punto della striscia, il corpo
possiede una propria velocità istantanea ed un modo per trovarne sperimentalmente il valore, senza
notevoli incertezze (errori), è proprio quello testè descritto.
Si può, allora, continuare l’indagine sul moto del corpo descritto nell’esperimento a) del
paragrafo 4.5 nel modo seguente.
59
Si costruisce la Tabella 9 contenente nella prima colonna i tempi riferentisi ai punti della
striscia corrispondenti ai punti iniziali dei moti poco fa descritti e contenente nella seconda colonna
le relative velocità istantanee v. Si costruisce poi il diagramma cartesiano (t, v) di Figura 49
Su tale diagramma appare
subito evidente che i punti,
che rappresentano le coppie di
valori (t, v), appartengono ad
una retta che passa per
l’origine. Allora, appare del
tutto chiaro che, la velocità
all’istante, v, è proporzionale al tempo, t, cioè
appare chiaro che, per un qualsiasi valore di t,
l’ordinata del corrispondente punto sulla retta è
il valore della velocità istantanea posseduta dal
corpo in quell’istante.
t
s
0,00
0,45
0,70
0,90
1,15
v
m/s
0
0,105
0,169
0,217
0,272
v (m/s)
Tabella 13
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
0,5
1
t (s)
1,5
Figura 49
Un semplice confronto di quest’ultimo diagramma con quello (t, s/t) di Figura 32 del paragrafo
4.5, mostra che, in corrispondenza di uno stesso valore di t, l’ordinata (cioè la velocità v) letta nel
diagramma (t, v) è il doppio di quella letta sul diagramma (t, s/t). Ne segue che, poiché la retta che
compare in quest’ultimo diagramma ha il coefficiente angolare A0, il coefficiente angolare della
retta sul diagramma (t, v) è uguale a 2 A0.
Il diagramma (t, v) di Figura 49 mostra che la velocità istantanea posseduta dal corpo M0
sottoposto all’azione continua della forza di intensità costante, f0, è diversa da istante ad istante, ma,
come si è già detto, mostra che i valori da essa assunti sono direttamente proporzionali ai
corrispondenti tempi. Ciò significa che, se al tempo t1 corrisponde sulla retta la velocità v1 e al
tempo t2 ( con t2 > t1) corrisponde sulla retta la velocità v2, il quoziente tra la variazione subita dalla
velocità, ∆ v = v2 – v1, e l’intervallo di tempo, ∆ t = t2 - t1, in cui è avvenuta tale variazione,
v −v
∆v
risulta:
= 2 1 = 2 A0, qualunque sia la durata dell’intervallo di tempo ∆ t = t2 - t1.
∆t
t 2 − t1
Per definizione, il moto di un corpo si dice accelerato quando la sua velocità, v, varia al variare
∆v
, che esprime l’entità della variazione della velocità in funzione del
del tempo, t, ed il quoziente
∆t
tempo, viene denominato accelerazione. Essa, che è, evidentemente, suscettibile di essere misurata,
è una grandezza fisica, una grandezza fisica derivata.
Di solito, l’accelerazione, si indica con il simbolo a e la sua misura, nel Sistema Internazionale
m
m
, e quella del tempo il s, è il
/s (il metro al
delle misure (SI), essendo quella della velocità il
s
s
m
secondo per ogni secondo) ed in breve è il 2 .
s
Dunque si ha:
60
a=
∆v m
( )
∆t s 2
(11)
In generale, in un moto accelerato l’accelerazione è variabile al variare del tempo. Esistono,
però, moti accelerati, come quello analizzato dell’esperimento a) e come tutti gli altri, descritti nei
paragrafi 4.5 e 4.6, eseguiti con una forza costante, nei quali l’accelerazione, a, non varia al variare
del tempo. Un moto di tal genere viene denominato moto uniformemente accelerato.
Tenuto, allora, conto che in ognuno dei moti descritti nei paragrafi 4.5 e 4.6, l’accelerazione è
legata al coefficiente angolare A della retta, che compare nel rispettivo diagramma (t, s/t), dalla
relazione a = 2 A, la legge del moto uniformemente accelerato che, nel paragrafo 4.8 era stata scritta
nella forma s = v0t ± A t2, ora assume la forma:
s = v0 t ±
1
a t2
2
(12)
Essa, nel caso particolare in cui sia v0 = 0 (Paragrafo 4.5), ovviamente diviene:
s=
1
a t2
2
(13)
4.10 Relazione tra l’accelerazione a e la forza di intensità f.
Nell’osservazione 2, che compare nel paragrafo 4.5, mentre si è affermato che la legge del
moto di un corpo soggetto ad una forza costante è espressa dalla relazione s = A t2 (relazione che,
1
ora, si può scrivere s = at2) si è messo in evidenza la chiara e logica esistenza di un legame tra
2
l’intensità della forza, f, ed il valore della costante A (coefficiente angolare delle rette dei diagrammi
(t, s/t) relativi agli esperimenti fino ad allora eseguiti). Nella stessa osservazione, però, dopo aver
costruito lo Specchietto 1 contenente le intensità delle tre forze f0, f1 ed f2 agenti sullo stesso corpo
m0 ed i valori delle corrispondenti costanti A0, A1 e A2 la ricerca del legame tra le intensità delle
forze e le corrispondenti costanti era stata rimandata.
Ora, è giunto il momento di intraprendere la ricerca di tale legame. Allo scopo, qui di seguito,
per comodità, è stato riprodotto quello specchietto completato con l’aggiunta di due colonne, nella
prima delle quali sono stati riportati i valori delle accelerazioni a = 2 A, e, dopo aver constatato che
tra i dati che compaiono nella seconda e nella quarta colonna (esprimenti, rispettivamente, i valori
delle forze agenti sullo stesso corpo M0 e le corrispondenti accelerazioni dei moti da esse
determinati) intercorre una relazione diretta (le accelerazioni crescono al crescere dell’intensità
f
della forza), nella seconda (l’ultima dello specchietto) sono stati riportati i quozienti
a
(normalmente è la prima operazione che si fa sempre per ricercare se tra le due grandezze intercorra
una proporzionalità diretta).
61
Specchietto 3
Forza agente
(UF)
A
a=2A
f/a
(m/s2)
(m/s2)
(UF s2)/m
M0
f0 = 1,4
A0 = 0,12
a0 = 0,24
5,8
M0
f1 = 2,4
A1 = 0,21
a1 = 0,42
5,7
M0
f2 = 4,2
A2 = 0,36
a2 = 0,72
5,8
Corpo usato
I quozienti trovati figuranti nell’ultima colonna risultano, con evidenza, costanti. Perciò risulta
manifesto che le accelerazioni, subite da un corpo, sono direttamente proporzionali alle forze che le
determinano.
Anche la Nota 2 nel paragrafo 4.5, riferentesi alle prove sperimentali b), d) ed e), termina con
lo Specchietto 2 contenente le costanti (i coefficienti angolai A1, A3 ed A4) che compaiono nelle
relazioni che descrivono i moti provocati dalla stessa forza, di intensità costante, f1, quando agisce
sui corpi differenti M0, M1 ed M2.
Anche in questo caso, per comodità, lo specchietto viene qui riprodotto e completato con
l’aggiunta di due colonne, nella prima delle quali sono stati riportati i valori delle accelerazioni
a1 = 2 A1, a3 = 2 A3 e a4 = 2 A4, e nella seconda delle quali (l’ultima dello specchietto) sono stati
f
riportati i quozienti .
a
Specchietto 4
Corpo usato
Accelerazione a
A
f/a
Forza agente
(UF)
(m/s )
(m/s )
(UF s2)/m
M0
f1 = 2,4
A1 = 0,21
a1 = 0,42
5,7
M1
f1 = 2,4
A3 = 0,47
a3 = 0,94
2,6
M2
f1 = 2,4
A4 = 0,16
a4 = 0,32
7,5
2
2
La quarta colonna dello specchietto evidenzia subito che le accelerazioni, provocate dalla stessa
forza di intensità costante, f1, quando agisce sui corpi diversi M0, M1 ed M2, sono differenti, e la
quinta colonna, come ovvia conseguenza, mostra che per ognuno dei corpi il quoziente f/a è
differente.
Senza ripetere, per gli altri due corpi, prove sperimentali analoghe a quelle eseguite con il corpo
M0, negli esperimenti a), b), e c) del paragrafo 4.5, per quanto è stato trovato nella lettura dello
specchietto precedente, a proposito della relazione esistente tra la forza e l’accelerazione, è logico
62
ammettere che anche i corpi M1 ed M2, sollecitati a muoversi da forze (di intensità costante, f)
differenti, subiscano accelerazioni, a, differenti, ma tali che per ognuno di essi risulti:
⎛f⎞
⎜ ⎟ = k1
⎝ a ⎠1
e
⎛f⎞
⎜ ⎟ = k2
⎝ a ⎠2
(con k1 e k2 costanti)
Da tutto ciò, discende chiaramente che ogni corpo, oltre alle sue qualità comunemente note
(come ad esempio il colore, l’odore, il peso, la scabrosità, la forma, ecc…), possiede una ulteriore
f
, denotante che, almeno nel
specifica qualità: quella espressa dalla costanza del quoziente
a
sistema di riferimento del laboratorio in cui sono stati eseguiti gli esperimenti, tra la forza agente su
di esso e l’accelerazione del moto che ne consegue esiste una relazione di proporzionalità diretta.
4.11 Moto in assenza di forze.
Se si fa un’analisi, appena un po’ attenta, di tutte le prove sperimentali finora eseguite, emerge
chiaramente che:
I)
un corpo, in quiete e senza vincoli su un piano orizzontale nel sistema di riferimento
del laboratorio e non soggetto ad alcuna forza, resta in quiete (esperimenti a), b), c),
d), e) del paragrafo 4.5)
II)
un corpo, se si trova in moto lungo una retta giacente su un piano orizzontale nel
sistema di riferimento del laboratorio e se su di esso inizia ad agire una forza nella
stessa direzione e nello stesso verso del moto, aumenta la sua velocità (esperimenti
α), β), γ) del paragrafo 4.6). Se, invece, la forza agisce nella stessa direzione ma nel
verso contrario a quello del moto, la sua velocità diminuisce (esperimento δ) del
paragrafo 4.6)
III)
un corpo, in moto lungo una retta giacente su un piano orizzontale nel sistema di
riferimento del laboratorio e non soggetto ad alcuna forza, non cambia la sua
velocità (esperimento descritto nel paragrafo 4.7).
In sintesi, emerge, quindi, che un corpo, se non è soggetto ad alcuna forza, mantiene
costantemente, rispetto al sistema di riferimento del laboratorio, il suo stato di moto: se è fermo
resta fermo, e, se è in moto, lungo una retta giacente sul piano orizzontale, la sua velocità resta
costante.
4.12 Il principio di inerzia (il primo principio della dinamica)
E’ abbastanza logico e naturale riconoscere che tutto quanto è stato detto a proposito del
sistema di riferimento del laboratorio si può estendere ad un qualsiasi altro sistema di riferimento in
quiete rispetto ad esso: tutti gli esperimenti descritti nei paragrafi 4.5, 4.6, 4.7 se venissero ripetuti
in uno qualsiasi dei sistemi di riferimento predetti, darebbero gli stessi risultati: non vi sono ragioni
63
razionali che permettano di ritenere che il sistema del laboratorio sia un sistema di riferimento
privilegiato.
Si riconsideri, ora, l’esperimento mentale descritto nel paragrafo 4.1, riferentesi, come allora, ad
un treno in moto su un binario rettilineo, e supponendo che la sua velocità sia costante, rispetto al
sistema di riferimento connesso con l’osservatore fermo sulla banchina della stazione (e quindi
anche fermo rispetto al sistema di riferimento del laboratorio, ed anche ad un qualsiasi altro sistema
in quiete rispetto ad esso).
Si pensi che l’osservatore sul treno sia in possesso delle stesse apparecchiature con le quali
sono stati eseguiti gli esperimenti nel sistema di riferimento del laboratorio, e che, nel sistema di
riferimento del vagone, esegua esperimenti del tutto analoghi a quelli descritti nei paragrafi 4.5, 4.6
e 4.7 e che ne elabori i dati con le stesse modalità.
Poiché rispetto al sistema di riferimento del vagone, l’osservatore è fermo ed esegue operazioni
del tutto uguali a quelle che sono state eseguite nel sistema di riferimento del laboratorio, non esiste
ragione logica e plausibile per poter sostenere che si ottengano risultati differenti.
Quindi, appare ragionevolmente corretto affermare che un corpo (non soggetto a forze), in
moto rettilineo uniforme nel sistema di riferimento del vagone, sia in moto rettilineo uniforme
anche rispetto ad un qualsiasi altro sistema di riferimento in quiete rispetto a quello del laboratorio.
Vale, dunque, la seguente generalizzazione: un corpo in moto rettilineo uniforme, rispetto ad un
sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a quello del laboratorio, oppure rispetto
ad un qualsiasi altro sistema di riferimento in quiete rispetto a quello del laboratorio, si muove di
moto rettilineo uniforme. Ciò che può cambiare, cambiando il sistema di riferimento, nel moto dello
stesso corpo è il valore costante della velocità, che può essere diverso da sistema a sistema. Ad
esempio, il moto del corpo (il carrellino), nell’esperimento eseguito nel sistema di riferimento del
laboratorio e descritto nel paragrafo 4.7, se viene pensato riferito ad un sistema di riferimento con
l’origine sul carrellino e solidale con esso, risulta un moto con la velocità costantemente nulla.
I sistemi di riferimento aventi tali caratteristiche vengono denominati sistemi di riferimento
inerziali.
In questo, e nel paragrafo precedente, si è parlato di moto rettilineo uniforme in assenza di
forze e negli esperimenti descritti nei paragrafi 4.5 ed 4.6 si è visto ciò che succede ad un corpo
quando su di esso agisce una forza. Ora è utile prendere in considerazione anche ciò che accade ad
un corpo, quando è soggetto a più forze la cui somma sia uguale a zero (cioè a più forze in
equilibrio). Di questo caso non si è mai parlato in maniera esplicita. E’ quindi necessario e
conveniente parlarne per rendere esplicito ciò che tacitamente e logicamente si è ammesso: un
corpo soggetto a forze equilibrate (cioè aventi per somma una forza nulla) si comporta come se non
fosse soggetto ad alcuna forza.
Concludendo, si può affermare che vale il seguente principio, il primo principio della
dinamica ( o principio di inerzia):
64
“In un sistema di riferimento inerziale, ogni corpo in moto su una retta, non soggetto a forze
o soggetto a forze in equilibrio tra loro (cioè con la risultante uguale a zero), mantiene costante
la sua velocità”
Sono moltissimi gli esempi di moto, che si incontrano nell’esperienza di vita quotidiana,
riconducibili a tale principio: sono tutti quelli in cui un corpo, in un sistema di riferimento inerziale
(per esempio, in prima approssimazione, uno qualunque dei sistemi solidali con un punto fisso della
Terra), si muove con velocità costante.
Uno di tali esempi può essere il seguente.
Si consideri una persona in moto su una bicicletta, in una giornata senza vento, su una strada
rettilinea e orizzontale. Tutti sanno che, se la persona cessa di pedalare, anche se sembra che su di
essa non agisca alcuna forza, il suo moto rallenta gradualmente fino a fermarsi dopo aver percorso
un cammino più o meno lungo dipendente dalla velocità posseduta nel momento in cui la persona
stessa ha cessato di pedalare e, a parità di velocità, dalle condizioni più o meno “buone” del manto
stradale.
Tutti sanno, inoltre, giustificare il fenomeno individuando, nell’attrito dei pneumatici con la
strada e nella resistenza dell’aria, la causa che ha fermato il ciclista.
Allora, l’attrito e la resistenza dell’aria se sono capaci di rallentare il moto del ciclista,
provocano, sostanzialmente, lo stesso effetto di una forza agente in senso contrario a quello del
moto del ciclista stesso.
L’attrito e la resistenza dell’aria hanno, dunque, un effetto del tutto analogo a quello di una
forza contraria al verso del moto, cioè si può dire che sono una forza agente sul corpo in senso
contrario al suo moto (esperimento δ) del paragrafo 4.6).
Basta, allora, che il ciclista, pedalando, applichi alla bicicletta una forza di intensità uguale, ma
con il verso contrario a quella esercitata dall’attrito e dalla resistenza dell’aria, perché le forze
agenti su di esso siano in equilibrio, cioè siano con la risultante nulla, e, quindi, perchè il suo moto
avvenga con la velocità costante.
4.13 La massa inerziale
I ragionamenti fin qui fatti (tutti sostenuti da adeguate prove sperimentali) sono stati
fondamentali per giungere alle conoscenze delle proprietà del moto di un corpo, quando il moto è
rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Gli stessi ragionamenti, sostenuti dalle stesse prove sperimentali, consentono (ed è bene
esplicitarlo anche se in qualche modo si poteva considerare già noto pensando all’esperimento
mentale descritto nel paragrafo precedente), di poter affermare che, se, in due sistemi di riferimento
inerziali distinti, si studiano analoghi fenomeni di natura meccanica (cioè relativi a moti, forze,
velocità, accelerazioni, ecc.), si trova che la legge (la relazione che lega tra loro le grandezze che
entrano in gioco nell’evoluzione del fenomeno) è la stessa. In altre parole, consentono di affermare
che, se lo stesso fenomeno meccanico, viene studiato da due osservatori, situati in due sistemi di
riferimento inerziali distinti, pur risultando, per ognuno dei due osservatori, le misure delle
65
grandezze che lo caratterizzano, in generale differenti, ognuno di essi trova che la legge
dell’evolversi di quel fenomeno è la stessa.
Sulla base di tutto ciò, si può, dunque, affermare che quanto è stato trovato (e descritto nel
paragrafo 4.10 primo e secondo specchietto), operando nel sistema di riferimento del laboratorio, a
f
, che lega tra loro l’intensità della forza, f, e l’intensità
proposito della costanza relazione
a
f
dell’accelerazione, a, da essa determinata agendo su un corpo, vale anche (cioè
ha lo stesso
a
valore costante) in un qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale.
f
, che per un qualsiasi corpo è costante ed ha uno specifico valore, qualunque sia
a
la forza agente su di esso e qualunque sia il sistema di riferimento inerziale in cui è stata
determinata, è, dunque, un attributo peculiare di quel corpo (specchietti del paragrafo 4.10). A tale
relazione, tenendo presente quanto è stato detto nel paragrafo precedente, ora, può essere assegnato
un preciso significato fisico.
La relazione
Infatti, dopo aver riconosciuto nel principio di inerzia la capacità posseduta da un corpo di
resistere al cambiamento della sua velocità, basta una semplice rilettura del contenuto del secondo
specchietto del paragrafo 4.10 per accorgersi che, con la constatazione che corpi differenti soggetti
alla stessa forza subiscono accelerazioni differenti, la resistenza opposta al cambiamento della
velocità non è uguale per tutti i corpi.
In particolare, basta una rilettura un po’ più attenta per accorgersi che il valore della resistenza,
opposta da corpi diversi al cambiamento della loro velocità, è riconoscibile dalla accelerazione da
essi subita quando sono soggetti alla stessa forza f. Perciò si riconosce anche dai valori assunti dalla
f
costante , che per ognuno ne costituisce, come si è già detto, un attributo specifico. Nasce, allora,
a
f
in modo abbastanza naturale e logico, la scelta di attribuire proprio alla costante
il ruolo di
a
esprimere la misura della resistenza opposta da un corpo alla variazione della sua velocità, cioè di
esprimere la misura della sua inerzia.
Anzi, in più, risulta fondatamente logico attribuire ad essa il ruolo più significativo di costituire
la definizione operativa di una nuova grandezza, caratterizzante un corpo nei suoi stati di quiete e di
moto; una nuova grandezza, a cui è stato attribuito il nome di massa inerziale, denotata
normalmente con il simbolo mi.
L’attribuzione fatta trova una sostanziale validazione, implicitamente nelle prove sperimentali
precedentemente descritte, ed, esplicitamante la trova nelle seguenti prove facilmente realizzabili e
qui di seguito descritte.
Siano M1 e M2 due corpi, situati su un piano orizzontale di un sistema di riferimento inerziale e
sia f l’intensità costante di una forza data.
66
Se i due corpi possono muoversi su un piano orizzontale, senza attrito e senza vincoli, la forza,
applicata prima all’uno poi all’altro, ne determina un moto, rispettivamente, con le accelerazioni a1
f
f
ed a2, per cui risulta che la loro massa inerziale è, nell’ordine, mi,1 =
ed mi,2 =
.
a1
a2
Se poi si uniscono i due corpi in modo da formare un unico corpo M3 ed ad esso viene applicata
la stessa forza, il moto che ne risulta è un moto accelerato con accelerazione a3. Per conseguenza, si
f
ottiene un corpo avente la massa inerziale che è
= mi,3.
a3
Ciò che di importante, questo esperimento mette in evidenza, è che mi,3 è la somma delle masse
inerziali mi,1 ed mi,2 cioè è che vale la relazione:
mi,1 + mi,2 = mi,3
La sua importanza sta nel fatto che indica in modo chiaro che la massa inerziale è proprio una
grandezza, e che, come tutte le grandezze, è suscettibile di essere misurata.
Ciò apparirebbe ancora più chiaro se i citati esperimenti fossero stati eseguiti con due corpi
identici, aventi, quindi, la massa inerziale mi. Infatti dalla loro unione si sarebbe ottenuto un corpo
con la massa inerziale 2 mi. Se poi gli esperimenti fossero stati eseguiti con tre corpi identici di
massa mi, si sarebbe trovato che il corpo ottenuto dalla loro unione avrebbe avuto la massa inerziale
3 mi, e così via ... .
Esistono, dunque, tutte le condizioni necessarie e sufficienti per poter procedere
all’introduzione dell’unità di misura della grandezza massa inerziale.
Va subito osservato, però, che, per prima cosa, è necessario stabilire se sia conveniente
considerare la massa inerziale una grandezza derivata o una grandezza fondamentale.
f
= mi, che la definisce, nel primo caso (cioè se fosse
a
considerata derivata) si vedrebbe immediatamente che l’unità di misura sarebbe l’(UF s2)/m, già
adottata nel paragrafo 4.10 e la forza risulterebbe una grandezza fondamentale con la sua unità di
misura già stabilita, l’UF (paragrafo 3.3); nel secondo caso (cioè se fosse considerata grandezza
fondamentale), invece, l’operazione da farsi è quella stessa già fatta per introdurre l’unità di misura
del tempo e dello spazio: si deve cioè scegliere in maniera arbitraria (in quanto la natura non offre
indicazioni preferenziali) un corpo alla cui massa inerziale attribuire il ruolo specifico di unità di
misura, in tal caso però è la forza che risulta una grandezza derivata.
Infatti, tenendo presente la relazione
La scelta degli studiosi è stata la seconda: essi hanno riconosciuto più conveniente attribuire
alla massa inerziale il ruolo di grandezza fondamentale, sia per la grande importanza da essa
rivestita nel moto dei corpi, sia per la facilità di poterne costruire e riprodurre agevolmente
campioni conservabili inalterati nel tempo.
Nel corso del tempo le unità di massa inerziale adottate sono state parecchie. Quella
attualmente in uso nel Sistema Internazionale delle Misure (SI) è la massa inerziale di un dm3 di
acqua distillata alla temperatura di 4 °C. Essa fu introdotta in Francia nel 1791 e di essa si conserva
un campione fin dal 1793, nel “Museo dei Pesi e delle Misure” di Sévres presso Parigi. Essa nel SI
67
viene denominata chilogrammo inerziale e viene denotata col simbolo kgi (il tentativo di alcuni
studiosi di denominarla Bes non ha avuto successo).
4.14 Il Newton come unità di misura della forza
La scelta fatta di dare alla massa inerziale il ruolo di grandezza fondamentale ha messo, come si
è già detto, la grandezza forza nella condizione di essere considerata una grandezza derivata.
Conseguentemente, come tale, è emersa la necessità di ridefinirne l’unità di misura. Tenendo,
allora, presente che la relazione esistente tra la massa inerziale, mi, di un corpo e la accelerazione, a,
f
provocata dalla forza di intensità costante, f, agente su di esso, è
= mi, e tenendo presente che
a
m
l’unità di misura della massa inerziale è il kgi e l’unità di misura della accelerazione è il 2 , l’unità
s
di misura della forza è la forza che, agendo su un corpo avente la massa inerziale di 1 kgi, gli
m
m
imprime la accelerazione di 1 2 , cioè l’unità di misura della forza è il Kgi 2 . A tale unità di
s
s
misura della forza è stato dato il nome di Newton ed è stata denotata col simbolo N. Dunque si ha:
m
N = Kgi 2 e la relazione che la definisce è: f = mi a.
s
4.15 Il secondo principio della dinamica
La relazione:
f = mi a
(14)
esprimente, come si è visto, il legame esistente tra la massa inerziale, mi, di un corpo, che sottoposto
all’azione della forza, di intensità costante, f, subisce l’accelerazione, a, nella direzione in cui agisce
la forza, è vera in tutti i sistemi di riferimento inerziali ed ha un ruolo fondamentale nello studio del
moto [è ovvio che, se f è la risultante (in intensità, direzione e verso) di più forze, aventi anche
direzione e versi differenti ed agenti contemporaneamente su un corpo di massa inerziale mi,
l’accelerazione a, a cui il corpo stesso è soggetto, è nella stessa direzione e nello stesso verso della
risultante, di intensità f, ed è tale per cui vale ancora la (14)]. La (14) ha, dunque, una validità
generale, e, come tale, è stata elevata a principio: il secondo principio della dinamica.
A proposito di tale principio, essendo, come si è detto più volte, la massa inerziale, mi, un
attributo specifico di ogni corpo (cioè indipendente dalla forza che agisce su di esso), si può subito
notare che, se un corpo non è sottoposto all’azione di alcuna forza, l’accelerazione che subisce è
nulla (se è fermo, resta fermo, e, se è in moto si muove di moto rettilineo uniforme). Risulta,
dunque, con chiarezza, che il primo principio della dinamica (il principio di inerzia) può essere
considerato come un caso particolare del secondo: in assenza di forze (o in presenza di forze con
risultante nulla), in un sistema di riferimento inerziale, un corpo mantiene costante il suo moto
rettilineo uniforme (e se è fermo resta fermo).
68
Sempre a proposito della massa inerziale, mi, di un corpo, si può aggiungere (anche se
implicitamente ciò poteva essere già noto) che il suo valore non cambia qualunque siano la
direzione e il verso della forza che ne determina l’accelerazione e qualunque siano la direzione e il
verso nei quali il corpo si sta muovendo in un sistema inerziale o in qualsiasi punto in cui si trovi in
quiete. In altre parole, la massa inerziale, mi, di un corpo è una grandezza indipendente dalla
direzione e dal verso del suo moto. Essa, quindi, non essendo dotata né di direzione né di verso, non
è una grandezza a carattere vettoriale.
La massa inerziale di un corpo, appartiene, quindi, al gruppo di grandezze che sono
indipendenti dalla direzione e dal verso, a cui, come si è già visto, appartengono anche la lunghezza,
il volume, il tempo, … . Ad esse viene dato il nome di grandezze scalari.
4.16 Caratteristiche della velocità.
La velocità appartiene, invece, alle grandezze a carattere vettoriale, ma il suo carattere
vettoriale spesso viene percepito non senza qualche difficoltà: in molti casi , infatti, la velocità
appare del tutto nota quando ne sia nota la sua intensità (i km/h, i m/s, ...).
Per comprendere a fondo il concetto di velocità nei suoi attributi fondamentali, più che basarsi
su considerazioni di carattere teorico, è conveniente fare riferimento ad alcuni esempi, anche solo
pensati, ma che hanno qualche attinenza con esperimenti facilmente eseguibili.
Si può proprio iniziare col porsi il seguente problema: “un aereo parte dall’aeroporto di Villa S.
Martino alla velocità costante di 100 km/h. Dopo aver viaggiato per 4 ore dove si trova l’aereo?”.
Se la domanda fosse stata: ”dopo aver viaggiato per 4 ore, quanto spazio ha percorso l’aereo?”
La risposta giusta sarebbe stata facile ed immediata: lo spazio percorso sarebbe stato: s = 100
km
⋅ 4h = 400 km. Ma la domanda è: “dopo quattro ore di viaggio dove si trova l’aereo (cioè in
h
quale punto)?”.
Basta un qualche momento di riflessione per capire che non è possibile rispondere a tale
domanda: i dati forniti nel testo sono insufficienti. Il problema, è stato posto in questi termini,
volutamente, indefiniti per indurre ad una più profonda riflessione che, tuttalpiù può concludersi col
riconoscere che l’unica cosa che si può dire è che, se l’aereo ha viaggiato in linea retta per quattro
ore, si trova in un punto della circonferenza con centro in Villa S. Martino e raggio 400 km; se,
invece, non ha viaggiato in linea retta, si trova in punto all’interno della circonferenza di raggio 400
km e centro in Villa S. Martino.
In un secondo tempo il problema può essere posto in una forma un po’ più definita. Per esempio
nel seguente modo: ”un aereo parte dall’aeroporto di Villa S. Martino alla velocità costante di 100
km/h lungo la direzione del meridiano del luogo. Dopo aver viaggiato per 4 ore dove (in quale
punto) si trova l’aereo?”.
Anche proposto in tale forma, ancora volutamente non priva di ambiguità, il problema suscita
nuove riflessioni che inducono a riconoscere che l’aereo, alla fine del viaggio, potrebbe trovarsi a
400 km a Nord di Villa San Martino oppure a 400 km a Sud.
69
Si capirà, allora, che il problema è completamente definito soltanto quando viene proposto, ad
esempio, nella seguente forma: ”un aereo parte dall’aeroporto di Villa S. Martino, lungo la
direzione del meridiano alla velocità costante di 100 km/h e con il verso da Sud verso Nord. Dopo
aver viaggiato per 4 ore dove (in quale punto) si trova l’aereo?”.
La risposta in tal caso è del tutto univoca: l’aereo si trova nel punto situato sul meridiano che
passa per Villa S. Martino alla distanza di 400 km verso Nord.
La domanda posta in questo modo e la relativa risposta mostrano assai bene che la velocità è
una grandezza completamente definita, soltanto quando di essa sono noti l’intensità, la direzione e il
verso.
Un segmento recante una freccia ad un estremo può costituire un buon simbolo per
rappresentare in modo sintetico la velocità in tutti i suoi attributi. La retta a cui esso appartiene ne
indica la direzione, la freccia ne indica il verso e la lunghezza ne indica l’intensità (la lunghezza
viene scelta proporzionale all’intensità).
Ciò però non basta per poter dire che la velocità è una grandezza a carattere vettoriale.
4.17 Lo spostamento e le sue caratteristiche.
Si riprenda in considerazione il problema nell’ultima formulazione in cui è stato proposto nel
paragrafo precedente. La relativa univoca risposta ha mostrato che esiste un preciso punto di
partenza dell’aereo che, per comodità, viene indicato con A, e che è del tutto determinato il punto in
cui l’aereo si trova dopo quattro ore di viaggio, punto che, sempre per comodità, viene indicato con
B. Il segmento congiungente il punto di partenza A con il punto d’arrivo B, con una freccia che ne
indica il verso, esprime in modo completo le caratteristiche del percorso compiuto dall’aereo. Esso
sinteticamente si può rappresentare mediante un segmento avente la lunghezza proporzionale alla
distanza di B da A, appartenente ad una retta parallela ad AB ed avente lo stesso verso da A a B
(verso indicato come al solito con una freccia).
Si può subito osservare che l’aereo, se si fosse mosso lungo il meridiano da A a B, con una
velocità diversa da quella precedente, ad esempio se avesse viaggiato con la velocità di 200 km/h, si
sarebbe trovato in B dopo due ore, anziché dopo quattro ore, ma il cammino percorso sarebbe stato
il medesimo. Quindi è interessante notare, anche se ciò può sembrare superfluo, che l’aereo,
indipendentemente dalla velocità e perciò dal tempo impiegato a percorrere il segmento AB, prima
di iniziare il suo moto si trovava in A e alla fine si trova in B. Ma ciò non è tutto: è evidente che
l’aereo avrebbe potuto trovarsi inizialmente in A e alla fine in B anche percorrendo traiettorie
differenti ed impiegando tempi molto differenti tra loro. Ad esempio, per esagerare, l’aereo
potrebbe essere stato caricato su di un autotreno a Villa S. Martino (punto A) e trasportato seguendo
le strade, che certamente non seguono il meridiano, fino al punto B. Anche in questo caso l’aereo,
sarebbe partito da A e sarebbe giunto in B.
Tutto ciò che resta immutato nei predetti moti è soltanto che inizialmente l’aereo si trovava in A
e alla fine si trova in B.
70
Quanto è stato detto è sinteticamente espresso dalla frase: l’aereo ha subito uno spostamento da
A a B.
E’ evidente che quanto è stato detto a proposito dell’aereo si estende a qualsiasi corpo. In ogni
caso, quando siano noti il punto di partenza e quello di arrivo, è perfettamente noto lo spostamento
subito dal corpo. Esso è espresso dal segmento che unisce il punto di partenza A a quello d’arrivo
B, avente il verso dal punto di partenza al punto d’arrivo, ed avente per lunghezza la distanza tra il
punto di partenza e quello di arrivo. In generale per spostamento si intende il segmento AB
orientato. E’ chiaro, allora, che lo spostamento di un corpo può essere rappresentato da un segmento
avente la stessa direzione della retta a cui appartiene AB, la lunghezza proporzionale a quella di AB
e lo stesso verso, da A a B.
Ciò però non basta per poter dire che lo spostamento è una grandezza a carattere vettoriale.
4.18 Carattere vettoriale dello spostamento.
Si ritorni all’esempio del moto dell’aereo, descritto nel par.4.16, e si supponga che l’aereo, che
era partito da A e giunto in B, riprenda il volo muovendosi da B verso est, alla stessa velocità di 100
km/h, e si supponga che il viaggio abbia la durata di tre ore. Sia C il punto dove l’aereo giunge dopo
le tre ore di viaggio. Ci si può chiedere: “qual è lo spostamento dell’aereo, rispetto al punto di
partenza A, ora che si trova nel punto C?”
In base a quanto si è stabilito nel paragrafo precedente, tale spostamento è il segmento AC
orientato da A verso C, e quindi, è rappresentabile con un segmento che ha la stessa direzione della
retta AC, ha il verso da A verso C e l’intensità proporzionale alla distanza, d, tra A e C. Con gli
stessi criteri possono essere rappresentati gli spostamenti da A a B e da B a C, mediante i due
segmenti, perpendicolari tra loro, AB e BC (opportunamente orientati e di opportuna lunghezza).
Poiché i tre punti A, B, C, estremi dei predetti segmenti, sono i vertici di un triangolo rettangolo
(Figura 45), la lunghezza dei cui cateti è AB = 400 km e BC = 300 km,
parallelo
risulta che la lunghezza della sua ipotenusa (la distanza di C da A) è: B
C
Lo spostamento AC (indicante il punto A in cui l’aereo si trovava
inizialmente ed il punto C in cui l’aereo si trova alla fine del suo
percorso) è la diagonale del rettangolo i cui lati sono lo spostamento AB
(da A a B) e lo spostamento BC (da B a C) Figura 50.
meridiano
AC = 4002 + 3002 km = 500 km.
Il fatto che lo spostamento AC, risultante dallo spostamento AB e da
quello successivo BC, sia la diagonale del rettangolo (parallelogramma)
avente per lati AB e BC, mostra che (almeno in questo caso particolare)
gli spostamenti si compongono secondo la regola con cui si compongono
i vettori.
A
Figura 50
Con altri esempi, si può mostrare che ciò vale in generale, cioè vale anche quando i due
successivi spostamenti non sono tra loro perpendicolari.
Dunque, risulta che lo spostamento è una grandezza a carattere vettoriale.
71
4.19 Carattere vettoriale della velocità
Alla conclusione del par 4.16 si è detto che gli attributi della velocità, allora individuati, non
sono sufficienti per poter dire che la velocità è una grandezza a carattere vettoriale. Per poterlo
affermare è necessario, in più, riuscire a dimostrare che, se un corpo è soggetto
contemporaneamente a due velocità con direzione e verso differenti, si muove con una velocità
determinabile mediante la legge con cui si compongono i vettori.
Si riconsideri, allora, il problema posto nel citato paragrafo nella forma definitiva, cioè nel caso
in cui la risposta è univoca e se ne modifichino soltanto le condizioni in cui si trova l’aria, allora
tacitamente supposta priva di movimento. In altre parole si consideri il problema riproposto, ad
esempio, nella seguente forma: “un aereo parte dall’aeroporto di Villa S. Martino, alla velocità
costante di 120 km/h lungo la direzione del meridiano e con il verso da Sud verso Nord, in una
giornata in cui spira un vento avente la velocità di 50 km/h da Ovest verso Est. Dopo aver viaggiato
per 3 ore dove si trova l’aereo?”.
L’aereo, supponendo che si muova come nel caso precedente (cioè come se l’aria fosse ferma)
mantenendo costante la sua direzione da Sud verso Nord, per il fatto che l’aria, nella quale esso si
muove, si sta spostando da Ovest verso Est con una velocità costante di 50 km/h, dopo un’ora, ad
esempio, non si trova nel punto del meridiano situato a 120 km a Nord di Villa S. Martino, ma si
trova sul parallelo passante per il predetto punto ad Est e alla distanza da esso di 50 Km.
d = AC =
3602 + 1502 km = 390 km.
B
spost.lungo il parallelo
C
spost. lungo il meridiano
Tale comportamento si verifica per tutta la durata del viaggio
Figura 51. Quindi, dopo tre ore l’aereo, che, se l’aria fosse stata
ferma si sarebbe trovato sul meridiano di Villa S. Martino nel punto
B situato a Nord alla distanza di 360 km (120 km/h ⋅ 3h ), si trova,
invece, nel punto C, sul parallelo passante per B spostato verso Est
di 150 km (50 km/h ⋅ 3h ), rispetto al punto B. Quindi, ha viaggiato
lungo la retta AC ed ha percorso il segmento AC di lunghezza d.
Tale lunghezza è facilmente calcolabile tenendo conto che i tre
punti A, B, C sono i vertici di un triangolo rettangolo i cui cateti
sono AB = 360 km e BC = 150 km. Infatti, si ha
A
Figura 51
Poiché la distanza, tra A e C, di 390 km, è stata percorsa in 3
ore nelle condizioni di vento descritte, l’aereo per trovarsi nello
stesso punto C dopo tre ore, senza vento, avrebbe dovuto viaggiare, lungo la retta AC, da A verso
C, alla velocità di (390 km : 3 h) = 130 km/h.
L’aereo, dunque (viaggiando per tre ore verso Nord, ma con il vento che spirava verso Est), per
percorrere il segmento AC ha mantenuto, per tutta la durata del viaggio, rispetto al sistema di
riferimento terrestre, una velocità, nella direzione e nel verso da A verso C, di 130 km/h costante.
Vale a dire, in ogni istante del suo moto, la velocità dell’aereo, nel sistema di riferimento terrestre, è
stata il risultato di due velocità contemporanee, di quella propria dell’aereo, di 120 km/h verso
72
Nord, e di quella dell’aria di 50 km/h verso Est. In definitiva nel sistema di riferimento terrestre, la
velocità con cui l’aereo si è mosso è proprio di intensità v = 120 2 + 50 2 km/h = 130 km/h.
Ciò mostra che le velocità si sommano, seguendo la stessa legge con cui si sommano i vettori.
Quindi mostra che la velocità è una grandezza che, essendo dotata di intensità, direzione e verso e
sommandosi con le stesse modalità con cui si sommano i vettori, ha carattere vettoriale. E’, quindi,
esprimibile, in tutti i suoi attributi, mediante un vettore.
4.20 L’accelerazione è una grandezza a carattere vettoriale.
Nei paragrafi precedenti, si è fatto un ampio studio del moto rettilineo dei corpi, determinato da
una forza, di intensità costante, agente su di essi nella stessa direzione del moto. Solo nel paragrafo
4.12, nel quale si è introdotto il principio di Inerzia e se ne è affermata la validità anche nel caso in
cui su un corpo agiscano più forze in condizione di equilibrio (cioè con la risultante nulla), si è fatto
qualche accenno a più forze (anche con direzioni differenti), non in equilibrio tra loro, agenti
contemporaneamente su uno stesso corpo, ma non è stato sviluppato lo studio per capire quale sia
l’effetto determinato dalla loro singola azione sul moto del corpo.
Ora, invece, è il momento opportuno per effettuare tale studio, e, allo scopo, si possono, ad
esempio, prendere in considerazione i seguenti esperimenti mentali.
Si pensi che un vagone di massa inerziale mi si trovi su un binario ferroviario rettilineo
(potrebbe anche essere un vagone di una ferrovia giocattolo) e lo si pensi soggetto ad una forza di
intensità f, costante, avente la direzione del binario (si pensi anche che l’attrito sia trascurabile).
Il vagone, per l’azione della forza, si muove subendo l’accelerazione di intensità a, diretta come
la forza di intensità f e con il verso concorde con quello della forza. E, siccome la relazione che lega
tra loro l’intensità, f, della forza con quella dell’accelerazione, a, è (par. 4.13) f = mi a,
f
l’accelerazione a, avente l’intensità,
, è una grandezza dotata di intensità. e di direzione e verso
mi
(quelli della forza).
Si pensi, poi, che la stessa forza d’intensità f venga applicata al vagone, ma in direzione
perpendicolare al binario. Essa, ovviamente, non provoca alcun movimento (a meno che non abbia
un’intensità tale da ribaltare il vagone).
Visti questi due casi (che si possono considerare estremi), si pensi ad un caso intermedio, cioè
si pensi che la stessa forza, d’intensità f, agisca in direzione obliqua rispetto al binario. Anche in tal
caso il vagone viene messo in moto, ma con un’accelerazione a1 minore di a. Infatti la forza, di
intensità f, si può scomporre nelle due componenti tra loro ortogonali, una parallela al binario, di
intensità f1, ed una perpendicolare, di intensità f2,.
E’ evidente che è soltanto la componente di intensità f1 (minore di f) che provoca il moto (la
componente di intensità f2, che è perpendicolare al binario, non può, come si è già visto, provocare
alcun moto) e provoca un moto accelerato con accelerazione avente la direzione ed il verso della
componente di intensità f1 e soddisfacente alla relazione f1 = mi a1 (secondo principio della dinamica
73
par. 4.13). In altre parole, il vagone subisce un’accelerazione avente direzione e verso concordi con
f
quelli della componente di intensità f1 della forza ed avente l’intensità che vale a1 = 1 .
mi
Si può dunque dire che l’accelerazione è una grandezza dotata di intensità, direzione e verso: la
direzione e il verso sono quello della forza che la determina.
Si pensi, ora, ad un corpo avente la massa inerziale mi, identica a quella del vagone e posto su
un piano orizzontale, e si pensi che su tale piano esso possa muoversi privo di vincoli e senza
attrito.
r
r
Si immagini, inoltre, che su di esso agiscano contemporaneamente due forze f1 ed f 2 e che tali
r
r
forze siano del tutto identiche alle componenti, f1 ed f 2 , in cui si era scomposta, nel precedente
r
caso, la forza f che allora agiva in direzione obliqua rispetto al binario. In altre parole, si immagini
r
r
r
che le forze f1 ed f 2 siano, in intensità, direzione e verso, identiche alle componenti della forza f ,
nella stessa direzione del binario e in direzione perpendicolare ad esso.
r
La forza, f1 che agisce nella direzione del binario, anche senza il binario e da sola (cioè senza
r
la presenza della forza f 2 ) determinerebbe un moto del corpo con l’accelerazione di intensità a1 =
f1
con la direzione e con il verso identici a quelli provocati nel caso precedente dalla componente
mi
r
della forza f nella direzione del binario di intensità f1.
r
r
La forza f 2 , da sola (cioè senza la presenza della forza f1 e senza il binario), determinerebbe
un moto del corpo con un’accelerazione avente l’intensità a2 =
f2
, la direzione normale a quella
mi
r
del binario ed il verso della forza f 2 .
r
r
Quando, invece, le due forze f1 ed f 2 agiscono contemporaneamente, il corpo si muove come
r
r
r
se fosse soggetto alla sola forza f , che è la risultante delle due forze f1 ed f 2 , subendo
r
f
e la direzione ed il verso identici a quelli della forza f .
un’accelerazione avente l’intensità a =
mi
Ma, poiché, è:
r
r r
f = f1 + f 2
e, quindi, è anche:
r
r
r
f1
f2
f
=
+
mi
mi
mi
(15)
risulta che le accelerazioni, essendo come si è gia visto dotate di intensità, direzione e verso, si
sommano con le stesse modalità con cui si sommano le forze e, quindi, con cui si sommano i vettori
(il primo membro e i due termini al secondo membro della (15) sono accelerazioni).
Dunque, l’accelerazione è una grandezza a carattere vettoriale e la (15) si può scrivere
74
r r r
a = a1 + a 2
(16)
4.21 Ancora sul secondo principio della dinamica
Il secondo principio della dinamica è stato enunciato, nel par 4.15, nella forma espressa dalla
(14).
Ora, sulla base del fatto che la massa inerziale, mi, di un corpo è una grandezza scalare e che
r
l’accelerazione, a , è una grandezza a carattere vettoriale avente la stessa direzione e lo stesso verso
r
della forza, f , che la determina, il secondo principio della dinamica si può enunciare, in una
r
maniera più generale, affermando che un corpo, soggetto ad una forza f , subisce, nella stessa
r
direzione e nello stesso verso della forza, un’accelerazione a di intensità proporzionale all’intensità
della forza stessa e che la costante di proporzionalità è la sua massa inerziale mi. In sintesi la
relazione più generale che esprime il secondo principio della dinamica è:
r
r
f = mi a
(17)
Va aggiunto a ciò che, se un corpo, di massa inerziale mi è, contemporaneamente soggetto a più
r r
r
forze f1 , f 2 , f 3 ,
, ognuna di tali forze provoca nella sua direzione e nel suo verso,
r
r
r r r
r r
l’accelerazione a1 , a2 , a3 , … , tale da soddisfare, nell’ordine, la relazione f1 = mi a1 , f 2 = mi a2 ,
r
r
r
r
f 3 = mi a3 ,… . Inoltre, se f è la risultante delle predette forze, l’accelerazione complessiva a , a
cui il corpo è soggetto, è la risultante delle predette accelerazioni; inoltre ha la direzione e il verso
r
di f e soddisfa alla relazione (17).
Per conseguenza, poiché anche la velocità ha carattere vettoriale e poiché un corpo non
soggetto a forze (o soggetto a forze con risultante uguale a zero) non subisce accelerazione, risulta
che il primo principio (il principio di Inerzia) è proprio un caso particolare del secondo anche
quando quest’ultimo è espresso nella sua forma più generale mediante la (17).
Il primo principio, allora, può essere enunciato nella seguente forma: “ogni corpo, non
soggetto a forze (o soggetto a forze con risultante nulla), mantiene costante la sua velocità”.
4.22 Moto oscillatorio armonico semplice.
B
A
O
Figura 52
Due molle (non precompresse) uguali,
agganciate con una delle loro estremità a
due perni A e B sporgenti da un piano
orizzontale
(Figura
52),
vengono
ugualmente tese ed agganciate con l’altra
loro estremità ad un corpo posto sul piano.
In tali condizioni, le forze, esercitate
sul corpo dalle due molle, sono uguali e
75
contrarie. Perciò il corpo rimane fermo nel punto O al centro del segmento AB.
Si supponga che il corpo possa muoversi sul piano orizzontale con attrito trascurabile. Se esso
viene spostato dal punto O in un altro punto D del
B
A
segmento AB (Figura 53) e lo si lascia libero di
muoversi, la forza variabile, esercitata dal sistema delle
due molle, la quale è di natura elastica con una precisa e
D O
determinata costante elastica10 k, lo sposta verso il
Figura 53
centro O del segmento AB.
In un caso concreto di un esperimento, eseguito per
determinare la costante elastica, k1, del sistema delle due molle i dati ottenuti sono riportati nel
seguente specchietto:
Specchietto 5
f (N)
x (m)
0,30
0,064
4,7
Valore medio
0,60
0,130
4,8
0,40
0,087
4,5
⎛N⎞
k1 = 4,7 ⎜ ⎟
⎝m⎠
k1 =
f
⎛N⎞
=⎜ ⎟
x
⎝m⎠
La costante elastica del sistema delle due molle, come si vede dalle ultime due colonne dello
N
specchietto è k1 = 4,7 .
m
Tutti sanno che il corpo lasciato libero di muoversi sotto l’azione della predetta forza accelera
verso O, raggiunge O, ma non si ferma in O, anzi procede oltre, e rallenta fino a fermarsi, per un
istante, e riprende a muoversi verso O, raggiunge di nuovo O e procede oltre fino al punto D, ecc. .
In altre parole, tutti sanno che il corpo oscilla intorno al punto O.
Il moto descritto è molto diffuso in natura, perciò merita di essere attentamente studiato.
Si può iniziare col porsi le seguenti domande: “Quant’è la durata di un’oscillazione
completa11?” e “Qual è la relazione intercorrente tra la durata di ogni oscillazione”.
Come al solito, le risposte è bene darle per via sperimentale.
10
La costante elastica k del sistema si determina sperimentalmente spostando il corpo dal centro O di segmenti
aventi, ad esempio, le lunghezze x1, x2, x3, …, differenti e per ognuno di tali segmenti si misurano, con una molla tarata
in N, le corrispondenti intensità delle forze f1, f2, f3, …, esercitate dal sistema delle due molle verso il centro O. Il
risultato che si trova è:
f
f1
f
= 2 = 3 = ... = k (con k costante)
x1 x 2 x3
11
Nel caso descritto, ad esempio, un’oscillazione completa è costituita dall’intero spazio che il corpo, partito da
D, ha percorso quando è ritornato in D.
76
Utilizzando un cronometro, si misurano i tempi impiegati dal corpo a compiere, ad esempio,
dapprima 5 oscillazioni complete, poi 10 oscillazioni complete, poi 15 oscillazioni complete, ecc. .
Nel caso concreto dell’esperimento eseguito con il sistema di molle aventi la costante elastica
N
(vedi specchietto), il tempo impiegato per compiere 5 oscillazioni complete è stato t1 =
k1 = 4,7
m
8,0 s, per compierne 10 è stato t2 = 16,0 s, per compierne 15 è stato t3 = 24,1 s e per compierne 20 è
stato 32,1 s.
Si è, quindi, trovato che il tempo impiegato a compiere ogni oscillazione completa è stato:
T=
8,0
5
s=
16,0
10
s=
24,1
15
s=
32,1
20
s = 1,60 s
In generale, quindi, si trova che, se il tempo per compiere 5 oscillazioni è t, quello per compiere
10 oscillazioni è 2t, quello per compiere 15 oscillazioni è 3t, ecc. Risulta, allora, che tutte le
t
2t
3t
oscillazioni hanno la stessa durata e che la durata di ognuna è T =
=
=
= ... .
5
10
15
Il tempo T viene, per definizione, denominato periodo; il moto descritto, che appartiene
all’insieme di moti denominati periodici, perché si ripetono ad intervalli di tempo uguali, viene , per
definizione, denominato moto oscillatorio armonico semplice; e, nel caso concreto dell’esperimento
eseguito, in cui le oscillazioni hanno avuto inizio nel punto D, il segmento OD (Figura 54) viene
denominato ampiezza dell’oscillazione.
Sempre ricorrendo all’esperienza, si trova un’altra importante proprietà del moto oscillatorio
armonico semplice: il periodo T non varia al variare dell’ampiezza dell’oscillazione, se la forza
elastica di richiamo verso il centro O rimane la stessa (cioè k rimane la stessa). Mentre, invece, il
periodo varia se cambia la forza di richiamo (cioè se varia la costante elastica k del sistema di
molle), oppure varia, se con la stessa forza di richiamo, in generale, varia il corpo che oscilla ( non è
però escluso che corpi differenti oscillino con lo stesso periodo).
Il moto oscillatorio armonico
semplice è, dunque, un moto rettilineo
e periodico, determinato da una forza
elastica di richiamo verso un punto O.
marcatempo
Lo studio sperimentale del moto
Figura 54
oscillatorio armonico semplice può
essere continuato per approfondirne la
conoscenza anche nei dettagli nel modo seguente.
B
A
D
O
Sistemate le due molle agganciate ai due perni A e B ed al corpo nel centro O del segmento
AB, si sposta il corpo stesso in un punto D del segmento AB, ed ad esso viene connessa una
striscia di carta che può scorrere nella fessura del marcatempo (Figura 54). Si misura il
segmento OD e se ne indica il valore con r. Nel caso dell’esperimento concretamente
eseguito, la misura è risultata r = 0,093m.
A marcatempo in funzione, il corpo, lasciato libero di muoversi, inizia la prima oscillazione
trascinando con se la striscia di carta fino al punto in cui si ferma, dopo aver percorso una
77
mezza oscillazione. in tal modo, sulla striscia i punti segnati dal marcatempo indicano le
posizioni occupate dal corpo ad intervalli uguali di tempo (0,01 s) relativi alla prima mezza
oscillazione.
Si incolla la striscia su un adeguato foglio di carta e con il compasso puntato nel centro O
della mezza oscillazione si descrive una circonferenza avente il diametro DE = 2r cioè
uguale all’intero percorso di una mezza oscillazione (Figura 55).
Si contano i punti della striscia e, se n è il loro
numero, il periodo T di oscillazione del moto
studiato è T = 2 (n – 1) 0,01 s. Nel caso
dell’esperimento concretamente eseguito è n = 81,
perciò il periodo è T = 2 (81 – 1) 0,01 s = 1,60 s.
L’intero insieme dei punti della striscia viene, poi,
Figura 55
convenientemente suddiviso in gruppi uguali ai
quali corrispondono intervalli uguali di tempo, ∆t.
Per i punti estremi di ognuno di tali gruppi, si mandano (Figura 55) le perpendicolari al
diametro DE della circonferenza (cioè le perpendicolari alla retta sulla quale giacciono i
punti della striscia). Tali perpendicolari incontrano la circonferenza in punti che risultano,
con una buona evidenza, gli estremi di archi uguali.
Ciò è assai importante in quanto, se si pensa ad un corpo puntiforme in moto sulla
circonferenza con una velocità di intensità tale da percorrere ognuno dei predetti archi
nell’intervallo di tempo ∆t, quel corpo si muove sulla circonferenza con una velocità di
1
intensità costante ed impiega il tempo T a percorrere mezza circonferenza. Quindi, a
2
percorrere l’intera circonferenza, impiega il tempo T uguale al periodo di oscillazione del
moto armonico semplice registrato sulla striscia. (Un moto circolare che avvenga con tali
modalità viene denominato moto circolare uniforme).
L’intensità costante della velocità con cui il corpo si muoverebbe sulla circonferenza, allora,
2π r 2π ⋅ 0,093
m
2πr
èv=
, e, nel caso concreto eseguito è risultata v =
=
= 0,37
1,6
1,6
T
s
Se, come di solito si preferisce fare, gli angoli vengono misurati in radianti, il quoziente
2π
, che rappresenta l’angolo descritto (spazzato) dal raggio della circonferenza nell’unità
T
di tempo, viene denominato velocità angolare e comunemente viene indicato con il simbolo
2π
). Nel caso dell’esperimento concretamente eseguito, la velocità angolare è
ω (ω =
T
2π
= 3,93 s-1.
risultata ω =
1,6
2π
, consente, quando è noto il raggio r, di
T
determinare la lunghezza dell’arco di circonferenza, ωr, percorso dal corpo nell’unità di
La conoscenza della velocità angolare, ω =
78
2π
r, con cui il corpo si
T
muove sulla circonferenza. Perciò consente di determinare la lunghezza, s = ωr∆t = v∆t,
dell’arco compreso tra due punti, estremi di uno qualunque degli archi, intersezioni della
circonferenza con le perpendicolari al suo diametro DE. In generale, quindi, consente la
determinazione della lunghezza, S = ω r t = vt, di un qualsiasi arco percorso dal corpo nel
tempo t (si noti che α = ω t è l’angolo al centro, espresso in radianti, corrispondente all’arco
S)
tempo, cioè di determinare il modulo della velocità, v = ω r =
Si pensi, ora, che il moto del corpo sulla circonferenza
avvenga nel senso antiorario e con l’origine degli archi nel
F
punto E.
Si ammetta, inoltre, che sulla retta DE si sia scelto un
sistema di coordinate ascisse con l’origine in O e con il
E
verso positivo da O verso E. Il punto P, posizione
O
P
occupata dal corpo in moto oscillatorio armonico sul
diametro DE, in tale sistema di coordinate ascisse, in un
certo istante, resta, allora, perfettamente individuato dalla
sua ascissa x (funzione di t). Inoltre, nota l’ascissa x del
Figura 56
punto P, e noto anche, in intensità, direzione e verso, lo
r
spostamento x del corpo rispetto all’origine O, ed è nota
r
r
la forza f = - k x che determina il moto (il segno – sta ad indicare che la forza agisce
sempre in senso contrario allo spostamento).
Si immagini, poi, che, nell’istante in cui il corpo, in moto sulla circonferenza, si trova in E,
anche quello in moto oscillatorio armonico si trovi nello stesso punto (E) e si pensi che la
misura del tempo abbia inizio in quello stesso istante. Allora, dopo il tempo t, mentre il
corpo in moto sulla circonferenza si trova nel punto F, estremo dell’arco con origine in E,
avente la lunghezza S = ω r t = vt , il corpo, in moto oscillatorio armonico, si troverà (Figura
56) nel punto P di ascissa x, dopo aver percorso il segmento EP di lunghezza S’= r – x.
Ma, essendo la retta PF, per quanto è stato detto in precedenza perpendicolare al diametro
DE ed essendo perciò il triangolo OPF, rettangolo in P, risulta:
OP = x = OF cos(E Ô F) = rcosωt.
Risulta, quindi, che il corpo, in moto oscillatorio armonico, nel tempo t, ha percorso il
cammino:
S’ = r – rcosωt = r(1- cosωt).
Risulta anche che la posizione occupata dal corpo è espressa dalla relazione:
x = rcosωt.
(18)
che è, dunque, l’equazione oraria del moto oscillatorio armonico.
79
4.23 Moto circolare uniforme
Esiste, lo si è appena visto, una stretta relazione tra il moto oscillatorio armonico semplice ed il
moto circolare uniforme.
E’, perciò, opportuno effettuare uno studio abbastanza completo di quest’ultimo, in quanto i
risultati che si otterranno potranno contribuire al raggiungimento di una conoscenza più completa
delle caratteristiche del moto armonico.
Si è già notato che il moto circolare uniforme è il moto di un corpo puntiforme che, su una
traiettoria circolare, percorre, in tempi uguali, archi uguali, cioè si è notato che un tale moto
possiede la velocità che si mantiene costante in intensità, ma, certamente, non si mantiene costante
nella direzione.
Dunque, in un moto circolare uniforme, la velocità varia continuamente. Perciò un tale moto è
ottenibile soltanto se sul corpo in movimento agisce una forza (in assenza di forze la velocità si
mantiene costante in intensità, direzione e verso: principio di inerzia).
Sorge, a questo proposito, spontanea la domanda: “Il corpo a quale forza deve essere sottoposto
e con quale velocità deve muoversi perché il suo moto risulti un moto circolare uniforme?”.
Va subito detto che un corpo, su una traiettoria non rettilinea possiede in ogni punto una
velocità istantanea dotata di tutti gli attributi che la caratterizzano (intensità, direzione e verso), e
che l’esperienza insegna che tale velocità è quella con cui il corpo si muoverebbe di moto rettilineo
e uniforme lungo la tangente, se, in ognuno di tali punti e nel corrispondente istante, la forza
cessasse di agire.
Dunque, anche nel moto circolare uniforme, il corpo in ogni punto possiede una velocità,
avente la stessa direzione della tangente alla circonferenza in quel punto ed avente l’intensità
costante.
Il fatto che l’intensità della velocità sia in ogni punto la stessa, sta ad indicare che nessuna forza
sta agendo nella direzione della tangente, perchè, in caso contrario l’intensità varierebbe. Allora,
l’effetto della forza che agisce è soltanto quello di determinare una variazione della direzione della
velocità. Ne segue che, nel moto circolare uniforme la forza deve, in ogni punto, agire
perpendicolarmente alla velocità (alla tangente), deve cioè agire nella stessa direzione del raggio e
con il verso che va dal punto, in cui il corpo si trova in quell’istante, al centro O. Inoltre, segue che
l’intensità della forza deve mantenersi costante, perchè, in caso contrario, in intervalli uguali di
tempo produrrebbe variazioni della direzione della velocità differenti e la traiettoria non sarebbe più
una circonferenza.
Dunque, si può affermare che, per mantenere un corpo in moto circolare uniforme, è necessario
applicargli una forza di intensità costante, avente, in ogni istante, la direzione della retta a cui
appartiene il raggio ed avente il verso dal corpo verso il centro. Un tale tipo di forza viene
denominata forza centripeta.
Ciò, però, non basta, la risposta alla domanda potrà essere completata soltanto quando si sarà
determinata la relazione che deve intercorrere tra la intensità della forza e quella della velocità che il
corpo deve possedere per poter muoversi di moto circolare uniforme.
80
Per la determinazione di tale relazione, una strada abbastanza semplice che si può percorrere è
la seguente.
La circonferenza di centro O e raggio r di [Figura 57 a)] sia la traiettoria percorsa da un corpo
puntiforme in moto circolare uniforme di periodo T, e, quindi con l’intensità della velocità costante
2π
2π
che vale v =
(ed evidentemente è anche
r e con la velocità angolare costante che è ω =
T
T
v
ω = ).
r
V
a)
Su tale circonferenza vengono scelti a
piacere alcuni punti, ed in ognuno di essi si
r
tracciano i vettori v , rappresentativi della
velocità istantanea in tutti i suoi attributi
(intensità, direzione e verso) posseduta dal
corpo.
Si riproducono tutti i predetti vettori (le
predette velocità) con l’origine in comune O’.
Appare immediatamente chiaro che l’altro
loro estremo descrive una circonferenza di
centro O’ e di raggio v (Figura 57b))
2
V3
b)
V1
V3
O
V4
V2 V1
O'
V6
V5
V4
V6
V5
Figura 57
Quel che è importante notare è che l’intera circonferenza di Figura 57b) viene descritta nello
stesso tempo T impiegato dal corpo a percorrere l’intera circonferenza di Figura 57a.
r
Ciò significa che la variazione subita dalla direzione della velocità v nell’intero periodo T è di
un angolo di ampiezza 2π, e, quindi, che l’angolo, che esprime la variazione della direzione della
2π
. In altre parole l’intensità dell’accelerazione ac (accelerazione
velocità nell’unità di tempo, è
T
r
centripeta), che ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza f , che la genera, ha l’intensità
che vale:
ac =
2π
v = ωv
T
e, siccome l’intensità della velocità è, come si è visto, v =
2π
r = ωr, risulta :
T
2π 2π
ω 2r2
v2
2
ac =
r=ω r=
=
r
r
T T
(19)
Nel moto circolare uniforme, perciò, la forza di intensità costante, f , diretta verso il centro,
determina un’accelerazione avente la sua stessa direzione e il suo stesso verso ed avente l’intensità,
ac , espressa dalla (19).
2π
, è importante sia perchè essa moltiplicata per r
T
fornisce la lunghezza dell’arco percorso dal corpo nell’unità di tempo, cioè fornisce l’intensità della
La conoscenza della velocità angolare, ω =
81
2π
r, con cui il corpo si muove sulla circonferenza, sia perchè moltiplicata per t
T
2π
fornisce il valore dell’angolo, α = ωt =
t, formato da due raggi che uniscono gli estremi di un
T
arco percorso dal corpo, in moto sulla circonferenza, nel tempo t.
velocità, v = ωr =
L’importanza risulta chiara se, ad esempio, si stabilisce, come si è già fatto nel paragrafo
precedente, che il corpo si muova sulla circonferenza nel senso antiorario e si ammetta che il moto
abbia inizio nell’estremo E del diametro (Figura 53). Esso, allora, dopo il tempo t, si troverà nel
2π
punto F della circonferenza estremo dell’arco EF, avente la lunghezza s = vt =
rt = ωrt.
T
Nello stesso tempo t, il corpo, che si muove di moto oscillatorio armonico semplice sul
diametro DE, supposto che il suo moto abbia avuto inizio nel punto E nello stesso istante in cui è
iniziato il moto circolare uniforme, si troverà nel punto P, che, per quanto si è visto in precedenza
(Figura 53), si trova sulla retta PF perpendicolare al diametro DE. Risulta dunque:
OP = OF cos(F Ô E) =OF cosωt
Non è difficile, perciò, riconoscere, come si è già fatto nel paragrafo precedente, che, nel
sistema di coordinate ascisse, con origine in O sulla retta DE orientata da O verso E, la posizione
occupata, nell’istante t, dal corpo in moto oscillatorio armonico (determinato dalla forza elastica che
lo tira verso il centro O) è:
x = r cos
4.24 Ancora sul
semplice.
moto
2π
t = r cosωt
T
oscillatorio
(18)
armonico
G
Si riconsideri la Figura 56 e si ricordino tutte le
caratteristiche dei due moti (quello circolare uniforme e quello
oscillatorio armonico semplice) ai quali essa si riferisce.
Alla luce di quanto è stato detto nel paragrafo precedente,
la figura può essere completata così come si vede in Figura 58
nella quale il segmento FG, orientato da F verso G, è il vettore
r
v c , velocità posseduta nell’istante in cui il corpo, in moto
circolare uniforme, si trova nel punto F, ed il corrispondente
corpo, in moto oscillatorio armonico semplice, si trova nel
punto P, con P ed F appartenenti ad una retta normale al
diametro DE.
F
H
I
O
L
P
E
Figura 58
Nella stessa figura, il segmento FH, orientato da F verso H ed il segmento HG, orientato da H
r
r
verso G, sono, rispettivamente, le componenti v x nella direzione della retta DE, e v y , nella
r
direzione normale alla retta DE, del vettore v c .
82
Poiché, come si è già notato, F e P stanno, in ogni istante, su una retta normale a DE, la
r
velocità, v , posseduta, nel punto P, dal corpo in moto oscillatorio armonico semplice sul diametro
r
r
DE, non può che essere la componente v x della velocità v c nel punto F.
Allora, se la velocità angolare con cui il corpo si muove sulla circonferenza è ω, l’angolo F Ô E,
dopo il tempo t, è F Ô E = ωt.
Ma, essendo gli angoli F Ô E ed F Ĝ H uguali, cioè essendo l’angolo F Ĝ H = ωt, per cui in
r
modulo è v x = vc senωt, risulta che l’intensità della velocità, v , del corpo in moto oscillatorio
armonico semplice, nell’istante in cui si trova nel punto P, è:
v = v x = vc senωt = ωr senωt
(20)
Nella stessa figura, il segmento FI, appartenente alla retta OF, orientato da F verso I è il vettore
r
a c , accelerazione centripeta posseduta dal corpo, in moto circolare uniforme, nel punto F. Sempre
nella stessa figura, il segmento LI orientato da L verso I, ed il segmento FL,orientato da F verso L,
r
r
sono rispettivamente la componente a x , nella direzione della retta DE, ed a y , nella direzione
r
normale alla retta DE, dell’accelerazione centripeta a c .
r
Tenuto, allora, conto che il punto L appartiene alla retta FP, normale a DE, la componente a x
r
dell’accelerazione centripeta è l’accelerazione istantanea a , nel punto P, del corpo in moto
oscillatorio armonico semplice sul diametro DE. Perciò, essendo gli angoli F Ô P ed F Î L uguali, ed
r
r
essendo F Ô P = ωt, l’intensità dell’accelerazione, a , uguale a quella di a x , risulta:
a = ax = ac cosωt.
r
Quindi, tenendo conto della (19), l’intensità dell’accelerazione a risulta:
a = ω2 r cosωt.
Inoltre, se si tiene presente la (18), risulta che in ogni punto del moto oscillatorio armonico
semplice, l’intensità, a , dell’accelerazione e la distanza, x , dal centro O, sono legate tra loro dalla
relazione:
a = ω2x
(21)
In altre parole, nel moto oscillatorio armonico semplice, l’intensità dell’accelerazione subita dal
corpo che oscilla, è proporzionale alla sua distanza x dal punto O (centro dell’oscillazione).
r
r
Va aggiunto anche che l’accelerazione a e il corrispondente spostamento, x , del corpo dal
centro O, sono due vettori aventi la stessa direzione, ma, in ogni punto del segmento OE, il primo
ha il verso opposto a quello positivo del sistema di coordinate ascisse ed il secondo ha il verso
83
concorde a quello del sistema di coordinate ascisse, mentre in ogni punto del segmento DO i loro
orientamenti si invertono.
r
r
In altre parole, va aggiunto che i due vettori a ed x appartengono alla stessa retta, ma i loro
versi sono discordanti in ogni punto dell’intera oscillazione. Ciò si sintetizza, tenendo conto della
(21), nella relazione (legge del moto armonico):
r
r
a = - ω2 x
(22)
2π
, che interviene nelle relazioni che legano tra loro le grandezze che
T
caratterizzano il moto oscillatorio armonico semplice, viene denominata pulsazione.
La grandezza ω =
Nella prova sperimentale concretamente eseguita, i cui dati sono annotati nel par. 4.22, il
N
periodo di oscillazione è stato T = 1,6 s e la costante elastica del sistema di molle é stata k = 4,7 .
m
Perciò:
- la relazione tra l’intensità, a, dell’accelerazione e la distanza, x, del corpo dal centro O è:
2
⎛ 2π ⎞
-2
a= ⎜
⎟ x = 15,4 (s ) x
1
,
6
s
⎝
⎠
(23)
- l’intensità, f, della forza elastica del sistema delle due molle, agente sul corpo quando si trova
alla distanza, x, dal centro O della forza stessa, è:
⎛N⎞
f = kx = 4,7 ⎜ ⎟ x
⎝m⎠
(24)
4.25 Il moto oscillatorio armonico semplice ed il secondo principio della dinamica.
Nel par. 4.22, a proposito del periodo, T, di oscillazione di un corpo, soggetto ad una forza di
richiamo di tipo elastico, si era già annunciato che esso (periodo) resta invariato al variare
dell’ampiezza dell’oscillazione. Esso, però, varia, se varia (in generale) il corpo, pur restando
invariata la costante elastica, k, e varia, se varia la costante elastica, k, pur restando invariato il
corpo.
Ormai stabilito che la legge del moto oscillatorio armonico semplice è la (22), sorgono allora
spontanee le due domande.
a)
“In che modo varia il periodo di oscillazione (e quindi la pulsazione) di un moto
oscillatorio armonico semplice, se si cambia la costante elastica, k, ma il corpo
oscillante resta lo stesso?”
b)
“In che modo varia il periodo di oscillazione (quindi la pulsazione) di un moto
oscillatorio armonico semplice, se non varia la costante elastica, k, ma si cambia il
corpo oscillante?”.
84
Procedendo con la metodologia adottata in precedenza, le risposte vengono date per via
sperimentale.
Risposta alla domanda a).
Si esegue un esperimento del tutto analogo a quello descritto nel par. 4.22, sostituendo soltanto
il sistema delle due molle con un altro sistema, senza variare il corpo a cui le molle sono applicate.
Si misura il periodo di oscillazione T mediante un cronometro. Alcune misure eseguite hanno
fornito i valori riportati nel seguente specchietto:
Specchietto 6
n°oscill.
t (s)
T1 (s)
5
11,4
2,28
10
22,9
2,29
20
45,8
2,29
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪ Valore medio T1 = 2,29 s
⎬
⎪
⎪⎭
Quindi, tenendo presente la (21), che lega l’intensità dell’accelerazione, a, all’ascissa, x, della
posizione occupata dal corpo, risulta, indipendentemente dal tempo:
2
⎛ 2π ⎞
-2
a1 = ω1 x = ⎜
⎟ x = 7,5 (s ) x
⎝ 2,29s ⎠
2
(25)
Si misura, poi, la costante elastica del sistema delle due molle, mediante una molla tarata in N
e, naturalmente, un metro. Alcune misure eseguite hanno fornito i valori riportati nel seguente
specchietto:
Specchietto 7
f (N)
x (m)
0,30
0,132
2,3
0,20
0,086
2,3
0,40
0,174
2,3
k1 =
f
⎛N⎞
=⎜ ⎟
x
⎝m⎠
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪ Valore medio k1 = 2,3 ⎛⎜ N ⎞⎟
⎬
⎝m⎠
⎪
⎪⎭
Quindi, la forza esercitata dal nuovo sistema delle due molle è legata ad x, ascissa della
posizione occupata dal corpo, dalla relazione:
⎛N⎞
f1 = k1 x = 2,3 ⎜ ⎟ x
⎝m⎠
(26)
85
Il confronto della (25) e della (26) con le corrispondenti (23) e (24), relative alla prova
precedente, mostra che, variando il sistema delle due molle agenti sul corpo, variano sia la costante
elastica della forza sia la pulsazione del corrispondente moto oscillatorio armonico semplice.
E’, però, assai importante osservare che dividendo membro a membro la (24) per la (23) si
ottiene:
N
4,7
k
f
m = 0,31 kgi
= 2 =
15,4
s -2
a
ω
e dividendo membro a membro la (26) con la (25), si ottiene :
N
2,3
k1
f1
m = 0,30 kg .
= 2 =
i
-2
a1
7,5
s
ω1
Si ottiene, dunque, che i quozienti
f
f
e 1 sono uguali, indipendentemente, dal tempo e dalla
a
a1
posizione occupata dal corpo.
Ciò significa che un corpo, anche se soggetto all’azione di una forza variabile (come quella che
determina il moto oscillatorio armonico semplice), in ogni istante, subisce un’accelerazione tale che
f
il quoziente
è una costante.
a
Risposta alla domanda b).
Si esegue un nuovo esperimento del tutto analogo a quello descritto nel par. 4.22, ma
sostituendo soltanto il corpo di allora con un altro corpo e lasciando invariato il sistema delle due
molle.
Come nel caso della risposta alla domanda a), si misura il periodo di oscillazione mediante un
cronometro. Alcune misure eseguite hanno fornito i valori riportati nel seguente specchietto:
Specchietto 8
n°oscill.
t (s)
T2 (s)
5
6,82
1,36
10
13,5
1,35
15
22,3
1,35
20
27,0
1,35
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪
⎬ Valore medio T2 = 1,35 s
⎪
⎪⎭
Quindi, tenendo presente la (21), che lega l’accelerazione, a2, all’ascissa, x, della posizione
occupata dal corpo, risulta, indipendentemente dal tempo:
86
2
⎛ 2π ⎞
⎟⎟ x = 21,7 (s-2) x
a2 = ω2 x = ⎜⎜
⎝ 1,35 s ⎠
2
(27)
Poiché il sistema delle due molle è quello stesso descritto nel par. 4.22, la costante elastica è già
⎛N⎞
nota: è k = 4,7 ⎜ ⎟ .
⎝m⎠
Si osserva, allora, confrontando la (27) con la (23), che, cambiando il corpo, ma lasciando
invariato il sistema delle due molle, varia il periodo, quindi varia la pulsazione ω.
A questo punto è utile ed interessante continuare l’indagine, eseguendo un ulteriore
esperimento utilizzando un sistema di due molle differente per mettere in oscillazione lo stesso
corpo (cioè il corpo usato nell’esperimento appena descritto).
Con un cronometro si è trovato il periodo, T, di oscillazione, misurando il tempo, t, impiegato
dal corpo a compiere un certo numero di oscillazioni. I valori trovati sono riportati nel seguente
specchietto:
Specchietto 9
n° oscill.
t (s)
T2 (s)
10
19,3
1,93
15
29,0
1,93
20
38,5
1,93
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪ Valore medio T3 = 1,93 s
⎬
⎪
⎪⎭
Quindi, tenendo presente la (21), che lega l’intensità, a3, dell’accelerazione alla distanza, x, del
corpo dal centro O, risulta, indipendentemente dal tempo:
2
⎛ 2π ⎞
⎟⎟ x = 10,6 (s-2) x
a3 = ω3 x = ⎜⎜
1
,
93
s
⎝
⎠
2
(28)
Si è, poi, misurata la costante elastica del sistema delle due molle, mediante una molla, tarata in
N, ed un metro. Alcune misure eseguite sono riportate nel seguente specchietto:
Specchietto 10
f (N)
x (m)
0,097
0,044
2,2
0,195
0,088
2,2
0,294
0,133
2,2
k3 =
f
⎛N⎞
=⎜ ⎟
x
⎝m⎠
Valore medio
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪
⎬ k3 = 2,2
⎪
⎪⎭
⎛N⎞
⎜ ⎟
⎝m⎠
87
Come si vede, facendo oscillare lo stesso corpo con un sistema delle due molle differente,
cambiano sia la costante elastica sia il periodo di oscillazione (e quindi anche la pulsazione).
Sulla base dei dati ottenuti dalle misure, la forza, f3, esercitata dal nuovo sistema delle due
molle, è legata alla distanza, x, del corpo dal centro di forza dalla relazione:
⎛N⎞
f3 = k3 x = 2,2 ⎜ ⎟ x
⎝m⎠
(29)
E, dividendo, membro a membro, la (29) per la (28), si ottiene:
f2
k
= 22
a2
ω2
N
m = 0,21 kgi
=
10,6 s -2
2,2
e, dividendo membro a membro la relazione f2 = k2 x, che esprime la forza che ha messo in
oscillazione lo stesso corpo nell’esperimento precedente, per la (27), si ottiene:
N
4,7
f3
k3
m = 0,22 kgi
= 2 =
21,7s -2
a3
ω3
Il risultato è assai interessante in quanto si è trovato che, indipendentemente dalla distanza del
f
f
corpo dal centro O e dal tempo, vale l’uguaglianza 2 = 3 . Tale uguaglianza mostra che le
a2
a3
accelerazioni subite dallo stesso corpo, soggetto a forze variabili, sono in ogni istante proporzionali
f
alle forze e che il quoziente
è lo stesso qualunque sia la forza.
a
Quest’ultimo risultato, insieme con quello ottenuto rispondendo alla precedente domanda a),
consentono di poter affermare che quanto era stato stabilito nel par. 4.21, a proposito di una forza
costante, vale anche se la forza è variabile. Vale a dire, consente di affermare che, in ogni istante,
v
r
un corpo, qualunque sia la natura della forza f che lo sollecita, subisce un’accelerazione a avente
v
f
la stessa direzione e lo stesso verso di f e tale per cui tra le loro intensità si ha :
= costante. A
a
tale costante, che costituisce un attributo specifico del corpo e che ne misura l’inerzia, è stato dato,
come si è già visto nel citato par. 4.21, il nome di massa inerziale, mi, del corpo.
Tutto ciò costituisce quindi una prova della valenza generale del secondo principio della
dinamica.
88
Ritornando al moto oscillatorio armonico semplice, da quanto si è trovato, si ricava facilmente
f
f
k
che, siccome vale la relazione
= mi, cioè vale la relazione mi =
= 2 è possibile conoscere il
a
a ω
periodo di oscillazione, T, di un corpo di massa mi, quando è nota la costante elastica, k, della forza
2
k
⎛ 2π ⎞
che lo fa oscillare. Infatti dalla relazione mi = 2 , si ha ω = ⎜
⎟ = , da cui si ricava:
ω
⎝ T ⎠ mi
k
T = 2π
mi
k
2
(30).
Merita inoltre una buona attenzione anche il seguente esperimento, pur trattandosi soltanto di
una prova che riconferma quanto è già stato stabilito nel par. 4.13.
L’esperimento è del tutto analogo a quelli già descritti.
Può essere usato un qualsiasi sistema di due molle uguali, ma come corpo oscillante il corpo
costituito dall’unione dei due corpi, già utilizzati negli esperimenti precedenti, aventi le masse
inerziali mi,1 = 0,31 kgi ed mi,2 = 0,21 kgi.
Una prova è stata eseguita utilizzando il sistema delle due molle già usato nell’esperimento
descritto nel par. 4.22.
Si è trovato il periodo di oscillazione T mediante un cronometro, con il quale si sono misurati i
tempi impiegati per compiere un certo numero di oscillazioni. Alcune misure eseguite hanno fornito
i valori riportati nel seguente specchietto:
Specchietto 11
n°oscill.
t (s)
T (s)
5
10,5
2,10
10
20,9
2,09
20
41,9
2,10
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
⎫
⎪
⎪
⎬ Valore medio
⎪
⎪⎭
2π
quindi ω =
=
T
ed ω2 = 8,9 s-2.
T=2,10. s,
2π
2,10s
= 2,99 s-1,
La costante elastica del sistema delle due molle è già nota (par 4.22). Essa é k = 4,7
N
.
m
Perciò si è in possesso dei dati che servono per determinare la massa inerziale del corpo
costituito dall’unione dei due corpi. Utilizzando allora tali dati si ottiene:
89
N
k
m = 0,53 kgi.
mi = 2 =
8,9 s-2
ω
4,7
Il risultato è che la massa inerziale mi del corpo, unione dei due corpi, è uguale alla somma
delle masse inerziali di ognuno dei due corpi che lo formano. Infatti:
0,31 kgi + 0,21 kgi = 0,52 kgi
Cioè il risultato è:
mi,1 + mi,2 = mi
E’ questa, come è già stato detto nel par. 4.13, la proprietà che ha reso possibile riconoscere alla
massa inerziale il carattere di grandezza fisica e di introdurne l’unita di misura.
4.26 La massa gravitazionale.
Tutti sanno, e può sembrare inutile dirlo in quanto l’esperienza quotidiana di tutta la nostra vita
lo manifesta in modo inequivocabile, che un corpo, situato in un qualsiasi punto dello spazio in cui
solitamente viviamo, “sente” una forza che lo “spinge” verticalmente verso il basso, e che, se è
libero di muoversi e non esistono vincoli che glielo impediscano scende lungo la verticale. Sanno
anche che la forza che lo “spinge” verso il basso esiste
anche quando qualche ostacolo gli impedisce di
muoversi. Sanno, inoltre, che la forza che “spinge” i
vari corpi verso il basso è, in generale, differente da
corpo a corpo.
E’ abbastanza naturale che l’uomo, fin
dall’antichità, abbia cercato la maniera di confrontare
Figura 59
le forze con le quali due corpi vengono “spinti” verso
il basso; e fin da tempi molto remoti ha scoperto che
lo strumento che consente un’agevole ed accurata esecuzione di tale confronto è la bilancia a bracci
uguali e a due piatti (Figura 59).
E’ stato subito chiaro a tutti, infatti, che se su un piatto della bilancia è posto un corpo e
sull’altro piatto viene posto un altro corpo, e se dopo tale operazione la bilancia resta in equilibrio i
due corpi sono spinti verso il basso da forze uguali. Che le due forze sono uguali lo si può verificare
scambiando tra loro i corpi posti sui due piatti e girando la bilancia di un angolo piatto, cioè, in
modo tale che alla fine della rotazione un piatto venga a trovarsi nella stessa posizione in cui prima
si trovava l’altro, constatando che dopo tali operazioni resta ancora in equilibrio.
La forza con cui un corpo viene “spinto” verso il basso, viene, comunemente, denominata peso
del corpo.
La bilancia è perciò uno strumento che mette a confronto i pesi di due o più corpi. Essa cioè
permette di stabilire che i pesi di due corpi sono uguali, qualunque sia il valore di tali pesi. Infatti,
se la bilancia è in equilibrio qui, lo è anche in ogni altro luogo.
90
Un esperimento difficile da realizzare, perchè richiede bilance adeguatamente sensibili è il
seguente (Figura 60 a).
Per eseguirlo occorre una bilancia, che, a differenza di quelle solite, abbia agganciati con due
fili al di sotto dei due piatti altri due piatti uguali (Figura 60 a).
a)
b)
c)
Figura 60
Se su ciascuno dei due piatti superiori vengono posti due corpi tali che la bilancia risulti in
equilibrio e se uno dei due corpi viene spostato dal piatto in cui è situato al corrispondente piatto
che sta sotto di esso, si trova che la bilancia non è più in equilibrio: si squilibra in modo che il suo
giogo si abbassa dalla parte del corpo che è stato spostato (Figura 60 b). Se poi si sposta anche
l’altro corpo dal piatto superiore al piatto sottostante si ritrova che la bilancia ritorna in equilibrio
(Figura 60 c).
Si trova, quindi, che lo stesso corpo viene “spinto” verso il basso, cioè pesa, in modo differente
a seconda del luogo in cui si trova: è chiaro che ciò conferma che la bilancia confronta i pesi di due
corpi in uno stesso luogo, ma non ne fornisce la misura.
La bilancia mette, dunque, a confronto una proprietà posseduta da tutti i corpi, quella di
“sentire” l’esistenza, nei luoghi in cui vengono posti, di un “qualcosa”, che si manifesta con una
forza che li “spinge” verso il basso.
Per indicare che un corpo possiede tale proprietà, si dice che esso è dotato di una massa, mentre
per indicare il “qualcosa”, che esiste nei punti dello spazio, capace di determinare la forza che
“spinge” i corpi verso il basso, si usa dire che, il quei punti esiste un campo gravitazionale.
Allora, se sui due piatti di una bilancia sono stati posti due corpi e la bilancia risulta in
equilibrio, si dice che i due corpi hanno la stessa massa.
Si eseguono, ora, i seguenti esperimenti:
1) Sui due piatti della bilancia vengono posti due corpi, a e b, tali per cui la bilancia si trova
in equilibrio e, successivamente, tolti i due corpi a e b, sui due piatti vengono posti altri due
corpi , c e d, tali per cui la bilancia si ritrova in equilibrio.
Si pongono, poi, su un piatto della bilancia i corpi a e c, e sull’altro i corpi b e d, alla fine di
tale operazione si ritrova che la bilancia è in equilibrio.
91
Il risultato ottenuto consente di affermare che se con m1 viene indicata la massa uguale dei
due corpi a e b, e con m2 la massa uguale dei due corpi c e d, la massa, m, dell’unione dei
due corpi a e c, e quella dell’unione dei due corpi b e d, è:
m = m1 + m2.
2) – Sui due piatti di una bilancia vengono posti due corpi tali per cui la bilancia risulta in
equilibrio. Essi quindi hanno la stessa massa che viene indicata con il simbolo m.
Si riuniscono i due corpi su un unico piatto e sull’altro viene posto un corpo, ad esempio
della sabbia in quantità tale da riportare la bilancia in equilibrio.
In base a quanto è stato detto, si constata che la massa di quest’ultimo corpo (della sabbia) è
uguale al doppio di quella di ognuno dei due corpi precedenti: quest’ultimo corpo (la
sabbia), ha, allora, una massa che è 2 m.
Sono quindi questi risultati che rendono possibile attribuire alla massa la caratteristica di
grandezza fisica e di introdurne un’unità di misura. Tale unità di misura, come si è visto più volte in
altri casi, può venir scelta a piacere: ad esempio come unità di misura si potrebbe scegliere la massa
di un mattone, di un sasso, di un tavolo, ecc. . E’ chiaro, però, che con una tale scelta sarebbe
scomodo comunicare con altri su temi che implicassero le misure di masse, è conveniente quindi,
come del resto è stato fatto, mettersi d’accordo per scegliere un’unità di misura comune.
4.27 La massa e l’inerzia.
Si è visto che ogni corpo è dotato di due attributi specifici propri: la massa (la proprietà di
“sentire”, mediante una forza che lo “spinge” verso il basso, la presenza del campo gravitazionale
esistente nei punti in cui viene posto) e l’inezia (la resistenza che esso oppone al cambiamento della
sua velocità).
Della massa e dell’inerzia sono state riconosciute le caratteristiche che le fanno assurgere al
ruolo di grandezze fisiche.
Viene abbastanza naturale, allora, l’idea di ricercare quali siano le masse di due corpi i quali
possiedono la stessa inerzia.
La ricerca è facile da farsi: basta porre sui due piatti di una bilancia due corpi aventi la
medesima inerzia.
L’esperimento è stato fatto e si è trovato che, ponendo sui due piatti di una bilancia due corpi
aventi la stessa inerzia, cioè la stessa massa inerziale mi, la bilancia è risultata in equilibrio, vale a
dire si è trovato che i due corpi hanno anche la stessa massa. Altre prove eseguite hanno fornito lo
stesso risultato.
Si può. dunque, affermare che due corpi che hanno la stessa inerzia hanno anche la stessa
massa.
92
Quindi si può affermare che l’inerzia di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa.
In altre parole, se con mi viene indicata l’inerzia di un corpo, misurata nell’unità di misura scelta per
misurare l’inerzia, e con m viene indicata la massa dello stesso corpo, nell’unità di misura scelta per
misurare la massa, risulta:
mi
=k
m
(k = costante, avente le dimensioni di
unità di inerzia
)
unità di massa
E’ facile vedere che il valore della costante k dipende soltanto dalle unità di misura scelte per
ognuna delle due grandezze.
L’unità di misura dell’inerzia è già stata scelta (par. 4.13): è quella di un dm3 di acqua distillata
alla temperatura di 4 °C, della quale un campione esiste nel museo dei Pesi e delle Misure di Sévres
presso Parigi.
Ebbene, i fisici hanno scelto l’unita di misura della massa in modo tale che risulti k = 1, cioè
hanno scelto come unità di massa quella di un dm3 di acqua distillata alla temperatura di 4 °C:
hanno scelto la massa del campione depositato nel museo dei Pesi e delle Misure di Sévres. A tale
unità di massa è stato dato il nome di chilogrammo (kg).
4.28 Il campo gravitazionale terrestre
A questo punto viene abbastanza spontaneo cercare di misurare la forza con cui un corpo,
avente la massa m, è “spinto” verticalmente verso il basso, quando si trova in un qualsiasi punto
dello spazio nel quale solitamente viviamo (ma sarebbe interessante misurarlo anche in un qualsiasi
punto di un qualunque altro campo gravitazionale). Ovvero, viene spontaneo cercare quant’è il peso
di un corpo nei predetti punti in cui, come si è già
detto, esiste un campo gravitazionale. Il campo
gravitazionale esiste in ogni luogo della Terra ed ha
a)
la caratteristica di determinare sui corpi una forza
diretta perpendicolarmente verso la superficie della
Terra stessa. E’ perciò che, essendo ragionevole
ammettere che esista una stretta relazione che leghi
la sua presenza a quella della Terra, ad esso è stato
dato il nome più significativo e specifico di campo
b)
gravitazionale terrestre.
La ricerca non presenta difficoltà: è sufficiente
disporre di una molla tarata in N e di alcuni corpi di
cui sia nota la massa in kg ed eseguire i seguenti
esperimenti.
Si fissa un estremo della molla ad un gancio e,
dopo aver appeso all’altro estremo il corpo, se ne
misura l’allungamento subìto. In tal modo risulta
nota la forza (il peso) in N che ”spinge” il corpo
verso il basso.
60°
piano inclinato
c)
60° 30°
Figura 61
93
Sono state eseguite alcune prove con corpi differenti di massa m1 = 0,480 kg, m2 = 0,701 kg,
m3 = 0,991 kg, e si è trovato che le corrispondenti forze (i pesi) sono state f1 = 4,7 N, f2 = 6,9 N,
f3 = 9,7 N.
Appare subito chiaro che, con il cambiare della massa del corpo, cambia la forza (il peso) con
cui il corpo stesso viene “spinto” verso il basso. Anzi si vede subito che al crescere della massa,
cresce il peso cioè che tra la forza e la massa intercorre una relazione diretta.
Per determinare tale relazione si può iniziare con il fare i quozienti
f
f1 f 2
,
, 3 . I quozienti
m1 m2 m3
sono stati eseguiti e si è trovato:
f1
N
= 4,7 N = 9.8
;
m1
kg
0,480kg
f2
N
6,9 N
= 9.8
=
;
0,701kg
m2
kg
f3
N
9,7 N
= 9.8
.
=
m3 0,991kg
kg
L’uguaglianza di tali quozienti consente di affermare che la forza (il peso) di un corpo è
direttamente proporzionale alla sua massa. Ciò significa che, un qualunque corpo, di massa m, posto
in qualsiasi punto del campo gravitazionale terrestre, “sente” una forza di intensità f, che lo
“spinge” verso il basso, tale per cui si ha:
f
m
=γ
(31)
(con γ costante, che vale 9,8
N
)
kg
Si esegue, poi, il seguente ulteriore esperimento.
Uno dei precedenti corpi, ad esempio, quello di massa m1 = 0,480 kg, viene appeso alla stessa
molla e si ripete la prova già descritta (Figura 61a). Poi lo stesso corpo, appeso alla stessa molla è
stato costretto a scendere lungo un piano inclinato formante, ad esempio, con la verticale un angolo
di 60° (Figura 61 b).
In tali condizioni la molla ha subìto un allungamento minore di quello precedente, cioè è
occorsa una forza minore per mantenere il corpo fermo in equilibrio. La misura del suo
allungamento ha fornito il valore di tale forza, che è stato f60° = 2,4 N.
Si è eseguito anche il quoziente
f 60°
e si è trovato:
m1
γ60° =
f 60°
N
2,4 N
= 5,0 .
=
0,480kg
m1
kg
Si è ripetuta la prova con il piano inclinato di 30° rispetto alla verticale, ma disposto in modo
che sia di 90° l’angolo che esso, nella nuova posizione, forma con la posizione in cui era situato
precedentemente (Figura 61c). Il risultato è stato che l’intensità della forza f30° è stata f30° = 4,0 N ed
f
il quoziente 30° è stato:
m1
γ30° =
f 30°
N
4,0 N
.
= 8,3
=
0,480kg
m1
kg
94
r
r
Le due forze f 60° ed f 30° sono due vettori (di cui sono noti l’intensità, la direzione ed il verso).
v
Perciò, esse possono essere considerate le componenti ortogonali di una forza risultante, f
(evidentemente diretta verticalmente verso il basso), la cui intensità è legata ad esse dalla relazione:
f 2 = (f60°)2 + (f30°)2 = (2,4)2 + (4,0)2 = 22 N2
v
Si consideri ora la forza f1 (Figura 61a) essa è un vettore di cui è nota l’intensità f1 = 4,7 N, la
direzione verticale ed il verso (verso il basso). Confrontando il valore di f 2 con il quadrato del
r
r
v
modulo della forza f1 ( f12 = 4,72 N2 = 22,1 N2), si constata che è f12 = f 2 Quindi f 60° ed f 30° sono le
v
componenti ortogonali di f1 e si ha:
r
r
r
r
f 30° + f 60° = f ≡ f1
(32)
Considerato che da quest’ultima dividendo entrambi i membri per m1 si ottiene:
r
r
r
f
f 60°
f 30°
+
=
m1
m1
m1
r
r
f 60°
f 30°
è uguale a γ60° = 5,0, che il modulo
è uguale a
Cioè (si ricordi che il modulo di
m1
m1
r
f
⎛N⎞
γ30° = 8,3 e che il modulo di
è uguale a γ = 9,8 ⎜⎜ ⎟⎟ ), si ottiene:
m1
⎝ kg ⎠
r
r
r
γ 60° + γ 30° = γ
Si ottiene, dunque, che anche la costante γ ha carattere vettoriale.
Di importante vi è da sottolineare che, come si è già visto, l’intensità, la direzione ed il verso di
γ , in uno stesso punto, sono gli stessi qualunque sia la massa, m, del corpo utilizzato per eseguire
r
gli esperimenti. In pratica, sono gli stessi anche in qualsiasi altro punto di ogni luogo in cui
solitamente si opera, pur osservando che, da quel che emerge dall’esperimento eseguito con una
r
strumentazione adeguatamente sensibile come quella di Figura 60, in effetti, l’intensità di γ ,
subisce debolissime variazioni con l’altezza: nei punti più vicini alla superficie terrestre è
lievemente maggiore (la variazione del peso di una massa m varia di circa un milionesimo del suo
valore per una differenza di altezza di tre metri).
r
E’, dunque, assai importante riconoscere che γ non dipende assolutamente ne dal corpo ne
dalla forza con cui si è eseguito l’esperimento.
Esso perciò deve essere considerato totalmente legato soltanto al “qualcosa” che esiste nei punti
dello spazio in cui vengono eseguiti gli esperimenti, ed, in più, deve essere considerato il parametro
che ne esplicita le caratteristiche essenziali e ne esprime la qualità e la misura.
95
4.29 Il moto di un corpo in caduta libera verticale.
Da quanto è stato trovato a proposito del campo gravitazionale terrestre, si sa che un corpo di
massa m, situato in un qualsiasi punto dello spazio in cui solitamente si vive, viene “spinto”
r
verticalmente verso il basso dalla forza f di intensità f = γ m.
Si sa, inoltre, che tale forza è “costante” in ogni punto della verticale passante per il punto in cui
il corpo si trova inizialmente.
Nasce, allora, abbastanza naturale il proposito di studiare il moto del corpo, quando, lasciato
libero di muoversi, non trova ostacoli che gli impediscano di cadere lungo la verticale.
La realizzazione sperimentale di tale studio non presenta difficoltà. Si tratta di eseguire una
prova del tutto analoga a quelle eseguite nei paragrafi 4.5 e 4.6, cioè, come allora, si tratta di
studiare il moto di un corpo sollecitato a muoversi da una forza costante, una forza che in quegli
esperimenti era stata ottenuta con qualche difficoltà mediante un guinzaglio per cani
opportunamente teso, mentre ora, in questo esperimento, è la natura che ci offre una forza costante.
Al corpo, tenuto fermo nel punto iniziale, ad esempio, con una mano, viene agganciata una
striscia di carta che può scorrere nella fessura di un marcatempo, opportunamente sistemato al di
sopra di esso (corpo).
A marcatempo in funzione, si libera il corpo, che sotto l’azione della forza di intensità costante,
f = γ m, discende e le sue posizioni, ad intervalli uguali di tempo (0,01 s), risultano registrate dai
punti che il marcatempo segna sulla striscia.
Si misura la distanza di ogni punto dal punto iniziale ed insieme con i corrispondenti tempi si
riportano in una tabella.
Sono state eseguite alcune prove utilizzando corpi di masse differenti lasciati discendere dalla
stessa altezza, e corpi della stessa massa lasciati discendere da altezze differenti.
I valori dei tempi, t, e dei corrispondenti spazi percorsi, x, ottenuti in tre prove eseguite con
corpi di massa m1=1,044 kg, m2=1,565 kg, m3=1,044 kg, sono stati riportati nelle prime tre colonne
delle tre Tabelle seguenti (10, 11, 12).
Tabella 14
Sezione I
m
h
t
x
kg
m
s
m
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1,044 1,187 0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0
0,011
0,044
0,105
0,189
0,297
0,426
0,581
0,759
0,962
1,187
Sezione II
x
t2
m
s2
4,9
4,8
4,9
4,9
5,0
4,9
4,9
4,9
4,9
4,8
vx = g t
m
s
0,46
0,94
1,43
1,91
2,39
2,88
3,37
3,86
4,34
4,83
vx
x
1
s
42,5
21,2
13,6
10,1
8,05
6,76
5,80
5,08
4,52
4,07
2
x
Sezione III
v
x
m
s2
m2
s2
19,5
20,0
19,3
19,3
19,2
19,5
19,5
19,6
19,6
19,7
0,2
0,9
2,0
3,6
5,7
8,3
11,3
14,9
18,9
23,4
v x2
valore medio di
1
mi v x2
2
γm(h-x)
1
mi v x2 + γm(h − x)
2
m2
s2
Nm
Nm
12,0
11,7
11,1
10,2
9,1
7,8
6,2
4,4
2,3
0,0
12,1
12,2
12,1
12,1
12,1
12,1
12,1
12,1
12,2
12,2
kg
v x2
x
0,1
0,5
1,1
1,9
3,0
4,3
5,9
7,8
9,9
12,2
= (19,5 ± 0.2 )
m
s2
96
Tabella 15
Sezione I
m
kg
1,565
h
t
x
m
s
m
1,23
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0
0,013
0,050
0,112
0,199
0,309
0,444
0,603
0,787
0,996
1,227
Sezione II
x
t2
m
s2
5,0
5,0
5,0
5,0
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
vx = g t
m
s
0,49
0,98
1,46
1,95
2,44
2,93
3,42
3,90
4,39
4,88
2
x
vx
x
1
s
39,05
19,52
13,07
9,84
7,90
6,60
5,67
4,96
4,41
3,98
Sezione III
1
mi v x2
2
v
x
m
s2
m2
s2
19,1
19,1
19,1
19,2
19,3
19,3
19,4
19,4
19,4
19,4
0,2
1,0
2,1
3,8
6,0
8,6
11,7
15,2
19,3
23,8
v x2
valore medio di
v x2
x
γm(h-x)
1
mi v x2 + γm(h − x)
2
m2
kg 2
s
Nm
Nm
0,2
0,7
1,7
3,0
4,7
6,7
9,1
11,9
15,1
18,6
18,6
18,1
17,1
15,8
14,1
12,0
9,6
6,7
3,5
0,0
18,8
18,8
18,8
18,8
18,7
18,7
18,7
18,7
18,6
18,6
m
s2
= (19,3 ± 0.1)
Tabella 16
Sezione I
m
kg
1,044
h
t
x
m
s
m
1,48
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0
0,012
0,050
0,111
0,197
0,307
0,441
0,600
0,783
0,990
1,221
1,478
Sezione II
x
t2
m
s2
4,7
5,0
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
4,9
vx = g t
m
s
0,49
0,98
1,46
1,95
2,44
2,93
3,42
3,90
4,39
4,88
5,37
vx
x
1
s
41,36
19,52
13,19
9,93
7,96
6,64
5,70
4,99
4,44
4,00
3,63
Sezione III
v
x
m
s2
v x2
1
mi v x2
2
m2
s2
20,2
19,1
19,3
19,4
19,4
19,5
19,5
19,5
19,5
19,5
19,5
0,2
1,0
2,1
3,8
6,0
8,6
11,7
15,2
19,3
23,8
28,8
2
x
valore medio di
v x2
x
γm(h-x)
1
mi v x2 + γm(h − x)
2
m2
kg 2
s
Nm
Nm
0,1
0,5
1,1
2,0
3,1
4,5
6,1
8,0
10,1
12,4
15,0
15,0
14,6
14,0
13,1
12,0
10,6
9,0
7,1
5,0
2,6
0,0
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
15,1
= (19,5 ± 0.2 )
m
s2
L’elaborazione dei dati viene eseguita con le stesse modalità seguite nell’elaborazione dei dati
negli esperimenti descritti nei paragrafi 4.5 e 4.6, ma con il vantaggio della conoscenza dei risultati
x
allora ottenuti. E’ stata, perciò, subito costruita la quinta colonna della Sezione I con i quozienti 2 .
t
97
La evidente costanza dei valori di tali quozienti, C = 4,9
m
, in tutte tre le prove, consente,
s2
immediatamente, di scrivere l’equazione oraria del moto:
x = Ct2
(C = 4,9
m
, costante).
s2
Altre prove sperimentali eseguite hanno fornito un risultato identico: il valore del quoziente
è stato, in ogni prova, C = 4,9
x
t2
m
.
s2
Quindi, avvalendosi dei risultati ottenuti negli esperimenti descritti nei paragrafi 4.5 e 4.6, e
tenendo presente quanto è stato detto nel paragrafo 4.9 a proposito dell’accelerazione del moto
determinato da una forza costante, risulta che il moto verticale in caduta libera di un qualsiasi corpo
m
m
è un moto accelerato con l’accelerazione che vale 2C = 2 ⋅ 4,9 2 = 9,8 2 , che resta invariata con
s
s
il cambiare del corpo.
Questa accelerazione, che è sempre la stessa qualunque sia la massa m del corpo (cioè
qualunque sia l’intensità della forza f = γ m che lo “spinge” verso il basso), di solito, viene indicata
con il simbolo g e viene denominata accelerazione di gravità. Si ha, dunque:
g = 2C = 9,8
m
s2
e l’equazione oraria del moto di un qualsiasi corpo in caduta libera verticale é:
h=
1 2
gt
2
(33)
Una prima ovvia conseguenza che si trae da questo risultato (del resto già riscontrabile nelle
prime due colonne nelle tabelle n° 11, 12 riportanti i dati relativi alla due prove eseguite con corpi
di masse differenti lasciate discendere dalla stessa altezza) è che (è bene ripeterlo), essendo
l’accelerazione g uguale (la stessa) per tutti i corpi, qualunque sia la loro massa, tutti i corpi, che
cadono dalla stessa altezza, h, liberamente con moto verticale, impiegano lo stesso tempo, t, per
giungere al piano orizzontale di riferimento.
Da ciò segue che tutti i corpi (qualunque sia la loro massa), quando cadono verticalmente e
liberamente dalla stessa altezza, h, raggiungono il piano orizzontale di riferimento con la stessa
velocità (g è la stessa e t è lo stesso):
v = gt
(34)
Un altro aspetto che balza subito agli occhi ed appare anche come una circostanza particolare
strana e perciò stimolante la continuazione dell’indagine sul moto dei corpi in caduta libera
98
verticale, è l’uguaglianza del numero che esprime il valore di γ, in
accelerazione g, in
N
, con quello della
kg
m
, comune a tutti i corpi indipendentemente dalla loro massa.
s2
E’ proprio seguendo tale stimolazione che lo studio del moto viene proseguito avvalendosi dei
dati che compaiono nelle tabelle n° 11, 12, 13.
Viene costruita una quarta colonna contenente, in corrispondenza ad ogni valore del tempo, t,
segnato nella prima colonna, i valori delle rispettive velocità v = gt. Si confrontano i valori che
compaiono in questa nuova colonna con quelli dei corrispondenti spazi, x, (segnati nella seconda
colonna), percorsi dal corpo in discesa. Appare chiaro che tra gli spazi x e le corrispondenti velocità
vx intercorre una relazione diretta. Si tratta di determinarla: si può procedere sia per via tabellare sia
per via grafica:
per via tabellare. Si costruisce la prima colonna della Sezione II delle tabelle, riportando in
v
essa i valori dei quozienti x , tra i valori delle velocità vx e quelli dei corrispondenti spazi x
x
percorsi dai corpi. Essi sono decrescenti al crescere di x: vx cresce più lentamente di x.
2
v
Si costruisce, perciò, una nuova colonna (la seconda della sezione II) con i quozienti x . Il
x
2
loro valore è, evidentemente, costante: vx è proporzionale ad x.
Ma ciò che è ancor più importante è che quel valore costante (cioè la costante di
m
proporzionalità) vale 2g =19,6 2 . In altre parole, è che risulta:
s
2
vx
= 2g
x
per via grafica. In un sistema di assi cartesiani ortogonali si riportano, in ascisse, i valori, x,
degli spazi percorsi (quarta colonna della Sezione I delle tabelle) ed, in ordinate, le
corrispondenti velocità, vx (sesta colonna della Sezione I delle tabelle) (Figure 61, 62, 63).
6
6
vx
vx
(35)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
Figura 63
0,5
1
x
1,5
0
0
0,5
1
1,5
x
Figura 62
La linea che interpreta meglio i punti ottenuti indica che vx cresce più lentamente di x.
99
Si costruisce, perciò, una nuova colonna (la terza della Sezione II di ogni tabella) contenente
i valori di vx2 e, in un nuovo sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si riportano, in
ascisse, i valori di x, e, in ordinate, quelli di vx2
6
vx
Figure 64, 65, 66.
5
La linea che interpreta meglio la distribuzione
dei punti in ognuno di tali diagrammi è una retta
passante per l’origine ed avente per coefficiente
20
1
si
2
vx
= 2g.
x
15
0
0
0,5
1
1,5
x
Figura 64
La prima osservazione che si può fare a proposito di questo
risultato è che, quando è x= h, risulta :
10
5
v2 = 2gh
0
0,5
1
cioè si ritrova che
tutti
i
corpi,
Figura 65
qualunque sia la loro
massa, quando cadono liberamente e verticalmente dalla
stessa altezza h raggiungono la stessa velocità finale, v.
x
(36)
1,5
25
2
0
vx
vx
2
25
3
2
2
m
v
ordinata
= x =19,6 2 = 2g.
angolare
ascissa
x
s
Dunque
ritrova:
4
20
15
10
5
vx
2
Va anche detto che a quest’ultima relazione (e quindi
anche a quella precedente) si poteva giungere direttamente
per via algebrica,
30
ricavando t dalla (34)
25
e sostituendolo nella
20
(33).
15
0
0
0,5
1
1,5
x
Figura 66
Si è preferito la strada seguita perché è più direttamente
sperimentale, e, forse anche didatticamente più efficace.
10
5
0
0
0,5
1
x
1,5
E’, però, interessante proseguire lo studio nel modo
seguente.
Essendo g l’intensità dell’accelerazione, costante, con cui
Figura 67
un qualsiasi corpo si muove in caduta libera verticale ed
essendo f = γ m l’intensità costante della forza che la determina, e, quindi, essendo per il secondo
f
(mi è la massa inerziale, nota, del corpo), la relazione (35) può
principio della dinamica g =
mi
assumere la forma:
100
2
vx
f
=2
x
mi
da cui si ha:
1
mivx2 = fx
2
(37)
dalla quale, quando è x = h, si ottiene:
1
miv2 = fh
2
Quest’ultima relazione, sapendo che il corpo, come si è detto, ha la massa(gravitazionale) m e
quindi che è soggetto alla forza di intensità f = γm, assume la forma:
1
miv2 = γmh
2
(38)
4.30 L’energia ed il lavoro.
L’uguaglianza trovata afferma che l’espressione γmh = fh, riferentesi al corpo di massa m
situato inizialmente in un punto dello spazio avente l’altezza h rispetto al piano orizzontale di
1
riferimento, è uguale all’espressione miv2, dove v è la velocità posseduta dal corpo nell’istante in
2
cui giunge al piano orizzontale di riferimento.
L’interesse di quanto è stato detto appare palese, se lavorando ancora nelle tabelle 10, 11, 12 si
costruisce una terza sezione contenente tre colonne, in ciascuna delle quali in corrispondenza di
1
ogni valore di x (quarta colonna della Sezione I), si riportano, rispettivamente, i valori di mivx2, i
2
1
valori di γm (h – x) ed i valori di mivx2 + γm (h – x).
2
Si nota immediatamente che i valori che compaiono nell’ultima colonna sono costantemente
1
uguali a γmh. Essi mostrano che la somma di
mivx2 [dipendente soltanto dalla velocità vx
2
posseduta dal corpo nel punto sulla verticale all’altezza (h – x)] e di γm (h – x) [dipendente soltanto
dall’altezza del corpo, (h – x)] è un invariante del moto, che si può sintetizzare nella relazione:
γmh =
1
1
miv2 = mivx2 + γm (h – x)
2
2
(39)
E’ un’invariante, che, per la sua fondamentale importanza, è stato elevato al ruolo di grandezza
fisica, con l’attribuzione del nome di energia meccanica.
1
mivx2 e γm (h – x), che compaiono
2
nella relazione (39), al primo, che dipende soltanto dalla velocità vx è stato dato il nome di energia
E per distinguere il significato concettuale dei due termini
101
cinetica (di movimento), ed al secondo, che dipende soltanto dall’altezza (h – x), è stato dato il
nome di energia potenziale gravitazionale.
Quindi prima di iniziare la discesa l’energia posseduta dal corpo era tutta energia potenziale
gravitazionale γmh = fh, ed al termine della discesa, nell’istante in cui stava per toccare il piano
1
orizzontale di riferimento, l’energia posseduta dal corpo era tutta cinetica miv2.
2
Il nome di energia potenziale dato al termine γmh potrebbe anche confondere le idee. Infatti
potrebbe far pensare che si tratti di “qualcosa” che il corpo in certe condizioni non possiede, mentre
in altre ne è in possesso. Il termine γmh, invece, esprime sempre l’energia posseduta dal corpo di
massa m quando si trova all’altezza h, rispetto al piano orizzontale di riferimento: con la locuzione
usata deve intendersi, perciò, che, se esiste un qualsiasi ostacolo che impedisca al corpo, soggetto
alla forza f = γm, di mettersi in moto, il corpo stesso è in possesso, rispetto al piano orzzontale di
riferimento, dell’energia γmh = fh, e la mantiene, costantemente finchè l’ostacolo non viene
rimosso.
Quando l’ostacolo viene rimosso, il corpo, sottoposto alla forza costante f = γm, inizia il suo
moto in discesa verticale e, mentre la sua altezza diminuisce, la sua velocità, che, all’inizio, era
nulla, aumenta.
Ad esempio, il corpo, quando ha percorso il cammino x, raggiungendo la velocità vx, ed essendo
giunto (rispetto al piano orizzontale di riferimento) all’altezza (h – x), sarà in possesso dell’energia
1
cinetica mivx2 e dell’energia potenziale γm(h – x), in quantità tali che, proprio come vuole la (39),
2
risulti soddisfatta la relazione:
γmh = fh =
1
mivx2 + γm(h – x)
2
da cui si ha:
γmh =
1
mivx2 + γmh - γmx
2
cioè si ha:
γmx = fx =
1
mivx2
2
(40)
Il primo termine, che rappresenta l’energia potenziale perduta dal corpo (uguale all’energia
cinetica acquisita) è, come si vede, il prodotto dell’intensità (γm = f) della forza agente sul corpo per
la lunghezza x del cammino percorso dal corpo stesso nella direzione e nel verso della forza. Cioè è
r
r
il prodotto della forza f per lo spostamento x da essa determinato.
La forza agiva anche quando il corpo era impedito di muoversi. La forza continua ad agire sul
corpo (allo stesso modo) anche quando ne determina il movimento.
Nel primo caso, la forza, pur agendo sul corpo, non ne modifica l’energia potenziale
gravitazionale, γmh = fh. Nel secondo, invece, la forza, pur continuando ad agire sul corpo allo
stesso modo, ne determina una diminuzione (γmx = fx) della sua energia potenziale, che si ritrova
102
1
mivx2. Dunque, la forza, quando determina movimento,
2
determina una trasformazione di energia. Quando ciò avviene, si dice che la forza lavora e la
quantità di energia trasformata, fx = γmx, viene denominata, per definizione, lavoro.
r
Passando dal caso particolare analizzato al caso generale, si dice che una forza, f , lavora,
r
quando, determina nella direzione e nel verso in cui agisce uno spostamento, x , trasformando la
quantità di energia f x.
r
r
La quantità di energia f x, trasformata dalla forza, f , quando sposta di, x , il corpo, su cui
tutta sottoforma di energia cinetica,
agisce, nella sua direzione e nel suo verso, viene denominata, per definizione, lavoro, L, cioè si ha:
L=fx
(41)
Il lavoro, essendo sostanzialmente un semplice trasferimento di energia è, omogeneo con
l’energia. E l’unità di misura della quantità di energia trasformata è, quella di una forza, avente
l’intensità di un Newton, N, che determina lo spostamento di un metro, m, nella sua direzione e nel
suo verso. A tale unità di misura è stato dato il nome di Joule, J.
E’ evidente, per quanto è stato detto, che l’unità di misura dell’energia è il Joule, J.e che il
lavoro si misura in Joule.
4.31 Ancora sull’energia e sul lavoro.
Per prima cosa, è bene riconoscere che l’energia potenziale gravitazionale, γmh, posseduta da
un corpo di massa m, dipende dal piano orizzontale di riferimento.
Un esempio aiuta a capirlo meglio.
Si immagini di trovarsi ad operare in una stanza in cui esiste un tavolo avente l’altezza h1 =
0,80 m, e si consideri un corpo, avente la massa m = 1 kg, situato all’altezza h0 = 3 m rispetto al
pavimento, e, quindi, all’altezza h2 = 2,2 m rispetto al piano del tavolo: se il piano orizzontale di
N
riferimento è il pavimento, il corpo possiede l’energia potenziale γmh0 = 9,8
⋅ 1 kg ⋅ 3m = 29,5 J,
kg
se, invece, il piano di riferimento è quello del tavolo, possiede l’energia potenziale γmh2 = 9,8
N
⋅1
kg
kg ⋅ 2,2m = 21,6 J.
Se poi lo stesso corpo si trova sul tavolo (h = 0), rispetto al piano orizzontale del tavolo la sua
energia potenziale gravitazionale è γmh = γm0 = 0 J, mentre rispetto al piano del pavimento è γmh1
N
= 9,8
⋅ 1 kg ⋅ 0,80m = 7,8 J.
kg
Se, inoltre, il corpo si trovasse all’altezza h3 = 0,50 m rispetto al piano del pavimento
N
possiederebbe, rispetto a quest’ultimo, l’energia potenziale γmh3 = 9,8
⋅ 1 kg ⋅ 0,50m = 4,9 J,
kg
mentre, se si considera come piano di riferimento orizzontale il piano del tavolo, rispetto al quale il
103
corpo possiede l’altezza h4 = 0,50 m – 0,80 m = - 0,30 m, la sua energia potenziale gravitazionale
N
sarebbe γmh4 = 9,8
⋅ 1 kg ⋅ (−0,30) m = - 2,9 J.
kg
Anche l’energia cinetica posseduta da un corpo dipende dal sistema di riferimento rispetto al
quale viene calcolata.
m
s
rispetto ad un sistema di riferimento ancorato alla Terra, si consideri un corpo di massa 1kg in
m
rispetto ad un sistema di riferimento ancorato al treno e nella
moto alla velocità costante di 2
s
stessa direzione del treno stesso. Il corpo nel sistema di riferimento fissato al treno possiede
Ad esempio, su un treno, che si muova di moto rettilineo uniforme alla velocità di 10
1
1
m2
miv2 = ⋅1kg ⋅ 2 2 2 = 2 J, mentre, rispetto al sistema di riferimento fissato
2
s
2
alla Terra, se i moti del corpo e del treno hanno anche lo stesso verso (la velocità del corpo risulta
l’energia cinetica
m
m
m
1
1
m2
+2
= 12
) possiede l’energia cinetica miv2 = ⋅ 1kg ⋅12 2 2 = 72 J, e, se i versi
s
s
s
2
2
s
m
m
m
1
sono discordi (la velocità del corpo è 10
-2
=8
), possiede l’energia cinetica miv2 =
s
s
s
2
10
1
m2
⋅1kg ⋅ 82 2 = 32 J.
2
s
In aggiunta a ciò va osservato che, mentre l’energia potenziale, al cambiare del sistema di
riferimento, può assumere anche valori negativi, l’energia cinetica assume sempre valori positivi o
tuttalpiù uguali a zero.
Va aggiunto anche che tutto quanto è stato detto a proposito dell’energia γmh = f h dovuta alla
r
r
forza f = γ m, esercitata sul corpo di massa m dal campo gravitazionale terrestre, si estende a
r
qualsiasi altro caso in cui una forza f , costante, agisca su un corpo al quale sia concesso di
spostarsi nella direzione e nel verso della forza di uno spazio rettilineo s: se A è il punto in cui il
corpo si trova prima di iniziare a muoversi e B è l’altro estremo del segmento AB = s, rispetto al
punto B, il corpo, situato nel punto A possiede l’energia potenziale f s, che resta tale per tutto il
tempo in cui un qualche ostacolo gli impedisca di spostarsi dal punto A: in tali condizioni la forza
agisce sul corpo, ma, non spostandolo, non lavora.
Quando, invece, rimosso l’eventuale ostacolo il corpo inizia a muoversi, la forza lavora: il
corpo diminuisce la sua energia potenziale che via via si trasforma in cinetica. Precisamente, il
corpo, dopo aver percorso la distanza x ed acquisito la velocità vx, è rimasto in possesso dell’energia
1
1
potenziale f (s-x), mentre la sua energia cinetica è divenuta mivx2 [con f (s-x) + mivx2 = f s] e
2
2
corrispondentemente la forza ha compiuto il lavoro L = f x.
Per fissare bene le idee, riassumendo, se una forza agisce su un corpo, ma non lo sposta, non
lavora, mentre se lo sposta nella direzione e nel verso in cui essa agisce, lavora, e, nel caso in cui lo
spostamento, nella direzione e nel verso in cui essa agisce, sia x, il lavoro eseguito è L = f x.
104
r
Il concetto va completato osservando che, se su un corpo, in moto rettilineo con velocità v ,
r
agisce una forza f avente la stessa direzione del moto, ma il verso contrario, la forza lavora, ma,
r
essendo il verso dello spostamento, x , contrario a quello della forza, il lavoro da essa eseguito è
r
negativo, cioè è L = - f x. Dunque, una forza f che agisce nella stessa direzione dello spostamento
r
x (evidentemente da essa determinato) lavora ed il lavoro compiuto è positivo o negativo a seconda
del verso dello spostamento, rispettivamente concorde o discorde con il suo.
Un altro aspetto interessante da evidenziare è quello che si trae dall’analisi della seguente
situazione che l’esperienza quotidiana ci offre.
Un corpo di massa m è stato posto su un piano β parallelo a quello orizzontale di riferimento α,
e situato all’altezza h rispetto a quest’ultimo.
Il corpo, che è sottoposto alla forza, dovuta al campo gravitazionale terrestre, possiede, rispetto
al piano α, l’energia potenziale gravitazionale γmh = f h.
r
Se il corpo viene messo in movimento sul piano β, qualunque sia la sua velocità, v , in ogni
r
r
punto, in cui via via viene a trovarsi, continua ad essere sottoposto all’azione della forza f = γ m,
ma, siccome la sua altezza rispetto al piano α non varia, continua a mantenere, rispetto a
r
r
quest’ultimo piano l’energia potenziale γmh = f h. Quindi, la forza f = γ m, non determinando uno
spostamento nella sua direzione non lavora.
r
Il risultato è generale: se una forza f agisce su un corpo in movimento, ma in direzione
perpendicolare alla direzione del moto, non trasferisce
energia, cioè non lavora.
Ora. va ricercato cosa succede quando una forza
r
costante f agisce su un corpo, il quale subisce uno
r
spostamento, x , che non è né parallelo né perpendicolare
alla sua direzione Figura 68.
fx
fn
La ricerca non presenta difficoltà, basta infatti
Figura 68
r
ricordare che la forza f può sempre essere sostituita dalle
r
r
r
sue due componenti ortogonali f x parallela allo spostamento x , ed f n perpendicolare. Poiché
r
quest’ultima non lavora, il lavoro eseguito dalla forza f è quello eseguito dalla componente
r
parallela allo spostamento x , cioè è L = fxx. Va notato, in più, che tale lavoro, se l’angolo tra la
r
π
π
r
forza f e lo spostamento x è minore di , è positivo, e, se l’angolo è maggiore di , è negativo.
2
2
105
4.32 Lavoro eseguito da una forza variabile.
Tutto quanto è stato trovato a proposito del lavoro eseguito da una forza costante si estende ad
una forza variabile: l’unica differenza consiste nel fatto che il calcolo del lavoro è più laborioso.
Il seguente caso particolare, relativo ad una forza di tipo elastico, renderà chiaro come può
essere calcolato il lavoro eseguito da una forza variabile.
Si consideri una molla, avente la costante elastica k, agganciata con un estremo ad un perno
fisso sporgente da un piano orizzontale ed avente l’altro estremo agganciato ad un corpo di massa m
che possa spostarsi sul piano senza attrito.
La molla, se ha subìto un allungamento x, esercita sul corpo la forza di intensità f = k x.
Si immagini che l’allungamento subìto dalla molla sia r e che un qualche ostacolo impedisca al
corpo (ad essa agganciato) di muoversi.
a)
b)
In tali condizioni la molla esercita sul corpo, di continuo, la
forza di intensità f = kr, ma, non determinando spostamento,
non lavora. In tali condizioni, cioè, il corpo possiede, rispetto al
punto in cui l’allungamento della molla è nullo, una precisa
determinata energia potenziale, denominata energia potenziale
elastica.
La forza, invece, lavora, quando viene tolto l’ostacolo e il
corpo è libero di muoversi nella direzione in cui essa agisce.
A
A
r
Si tratta, ora, di calcolare il lavoro eseguito dalla forza per
portare il corpo dal punto B al punto A in cui la molla si trova
nello stato di riposo (con AB = r) (figura 65 bis).
B
Siccome la forza varia da punto a punto, e,
corrispondentemente, variano gli spostamenti da essa determinati, si tratta proprio di trovare, anche
in questo caso, un modo per calcolare il lavoro eseguito quando lo spostamento subìto dal corpo
risulta uguale ad r.
Uno dei modi per eseguire tale calcolo è il seguente.
f
kr
r
O
Figura 69
x
In un sistema di assi cartesiani ortogonali, in
corrispondenza dei valori degli allungamenti x riportati
sull’asse delle ascisse, si riportano sull’asse delle ordinate i
valori di f = kx dell’intensità della forza. E’ noto che la forza
elastica è proporzionale all’allungamento subìto dalla molla,
quindi è noto che i punti stanno su una retta che passa per
l’origine Figura 69. E’ chiaro anche che all’ascissa di valore
r corrisponde la forza di intensità f = kr.
Una valutazione, per difetto, del lavoro eseguito dalla forza, è la seguente.
106
Si suddivide l’intervallo (0; r) in n parti uguali, ∆x =
r
, i cui estremi vengono indicati con x0 =
n
0, x1, x2..., xn-1, xn = r.
Le ascisse di tali punti sono, perciò, rispettivamente: x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, x3 = 3∆x, ..., xn-1
= (n-1)∆x, xn = n ∆x = r, e le corrispondenti ordinate sono:
f0 = k 0 = 0
f x1 = k ∆x = k ∆x
f x2 = k (2∆x) = 2k ∆x
f x3 = k (3∆x) = 3k ∆x
....................................
f x( n −1) = k [(n-1) ∆x] = (n-1) k ∆x
f xn = k (n∆x) = n k ∆x.
Se, ora, in ognuno degli intervalli ∆x, si considera
l’intensità della forza costante ed uguale al valore che
assume, rispettivamente, nei punti x0, x1, x2..., xn-1, il
lavoro eseguito da tali forze costanti per gli spostamenti
da esse determinati, corrispondenti ad ognuno di tali
intervalli, è espresso dallo stesso numero che misura
“l’area” di ognuno dei rettangoli che compaiono nella
Figura 70:
f
kr
O x1 x 2 x 3 x4 x5 x6 x 7 r
x
Figura 70
L0 = f0 ∆x
L1 = f x1 ∆x = k ∆x ∆x = k (∆x)2
L2 = f x2 ∆x = 2k ∆x ∆x = 2k (∆x)2
......................................................
Ln-1 = f x( n −1) ∆x = (n –1)k ∆x ∆x = (n –1)k (∆x)2
Quindi, una valutazione, per difetto, del lavoro eseguito dalla forza di intensità f = k x per
l’intero spostamento r, è data da:
Ln = L0 + L1 + L2 +...+ Ln-1 = 0 + k (∆x)2 + 2 k (∆x)2 + ... + (n –1)k (∆x)2 =
= k (∆x)2[1 + 2 + 3+..............+ (n –1)].
I termini entro la parentesi quadra sono in progressione aritmetica di ragione 1. Perciò, la loro
[1 + (n − 1)](n − 1) = n(n − 1) . Ne segue che, tenendo presente che ∆x = r , la
somma vale
2
2
n
valutazione approssimata per difetto del lavoro è.
2
⎛ r ⎞ n (n − 1) k r
(
n 2 − n)
=
Ln = k ⎜ ⎟
2
2
2 n
⎝n⎠
2
107
cioè la valutazione approssimata del lavoro è:
Ln =
k 2 ⎛ 1⎞
r ⎜1 − ⎟
2 ⎝ n⎠
Quest’ultima relazione mostra immediatamente che, quando n è infinitamente grande, la
valutazione approssimata del lavoro Ln è infinitamente vicina al valore L del lavoro eseguito dalla
forza che, come si vede, è uguale al numero che misura l’area del triangolo rettangolo avente per
base r e per altezza kr.
Risulta, dunque, che il lavoro eseguito dalla forza di intensità f = k x per lo spostamento r, è:
L=
r ⋅ kr
k
= r2
2
2
a)
b)
marcatempo
marcatempo
Tale lavoro, cioè, è espresso, in J, da un numero
uguale a quello che esprime, in m2, l’area del
triangolo rettangolo di base r ed altezza kr.
Poichè r può avere un valore qualsiasi, x, il lavoro
eseguito dalla forza di intensità f = k x è:
L=
k 2
x
2
(41)
A tale risultato si giunge anche in maniera più
diretta, e, forse, anche didatticamente più efficace
mediante la seguente prova sperimentale.
A
A
h0
h0
C
h1
Al corpo di massa m, situato nel punto A
B
B
all’altezza h0, rispetto al punto B in cui la verticale per
Figura 71
A incontra il piano orizzontale di riferimento, è
collegata una striscia di carta passante per la fessura
del marcatempo. Al corpo viene agganciato anche un estremo di una molla , non precompressa, di
costante elastica k, avente l’altro estremo agganciato ad un perno regolabile, situato più in alto, e
posizionato in modo che la molla risulti in stato di riposo, Figura 71 a).
In tali condizioni iniziali il corpo possiede, rispetto al piano orizzontale di riferimento, l’energia
potenziale gravitazionale γmh0.
Si accende il marcatempo e il corpo viene lasciato libero di discendere lungo la verticale: la sua
altezza diminuisce, la molla si allunga e la sua velocità dapprima cresce fino a raggiungere il suo
valore massimo, poi, via via che l’allungamento della molla cresce, diminuisce fino a ridursi a zero,
quando il corpo per un attimo si ferma (per poi invertire il suo moto) in un punto C della verticale
alla minima altezza h1.
Nel punto C, il corpo, se fosse disceso dal punto A senza la presenza della molla, avrebbe
1
raggiunto la velocità v e sarebbe stato in possesso dell’energia cinetica miv2 e dell’energia
2
potenziale gravitazionale γmh1, tali da soddisfare la relazione:
108
γmh0 =
1
miv2 + γmh1
2
1
miv2 = γmh0 - γmh1, va considerata una conseguenza del
2
fatto che la massa m, quando discende da A a C, provoca anche l’allungamento della molla. Va,
allora, ricercato quale sia il legame fra la mancanza di energia cinetica e l’allungamento subìto dalla
molla.
La mancanza di energia cinetica,
Allo scopo vengono eseguite alcune prove sperimentali usando alcuni corpi di masse differenti,
m1, m2, m3 ..., lasciati discendere dalle altezze h0 ed appesi alla stessa molla.
I dati ricavati da tre di tali prove, sono stati riportati nella Tabella 17. Precisamente, nella prima
colonna sono state riportate le masse, m, nella seconda le altezze h0, nella terza le minime altezze h
del punto in cui il corpo si ferma ed inverte il suo moto, nella quarta colonna la costante elastica, k,
della molla, nella quinta l’allungamento x = h0-h subìto dalla molla.
Tabella 17
m
h0
h
k
x=h0 - h
γmh0
γmh
γmh0 -γmh
Kg
m
m
N
m
m
J
J
J
0,990
0,600
1,290
1,410
1,467
1,518
0,613
0,982
0,481
24,1
0,797
0,485
1,037
13,7
8,63
19,2
5,95
5,77
6,09
7,74
2,85
13,1
γmh0 − γmh γmh0 − γmh
x
x2
J
m
9,71
5,88
12,7
J
m2
12,2
12,1
12,2
L’elaborazione dei dati viene eseguita con la costruzione di altre colonne. Precisamente viene
costruita:
la sesta colonna contenente l’energia potenziale gravitazionale, γmh0, posseduta
inizialmente dai corpi;
la settima colonna contenente l’energia potenziale gravitazionale, γmh, posseduta dai corpi
nel punto di minima altezza;
la ottava colonna contenente, rispettivamente le differenze γmh0 - γmh;
la nona colonna contenente i quozienti
γmh0 − γmh
x
.
Poichè i quozienti che compaiono in quest’ultima colonna crescono al crescere di x, viene
γmh0 − γmh
costruita un’ulteriore colonna con i quozienti
.
x2
Il valore costante, C, di questi ultimi quozienti sta ad indicare che la differenza tra l’energia
potenziale gravitazionale iniziale, γmh0, e quella posseduta dalle masse nei punti di minima altezza
è:
γmh0 - γmh = Cx2
109
con C che risulta uguale ad
1
k.
2
Ne segue che è:
1
1
miv2 = γmh0 - γmh = kx2.
2
2
Risulta, quindi, che la forza elastica per portare il corpo dalla posizione in cui si trova alla
posizione iniziale, cioè per provocarne uno spostamento x, deve compiere il lavoro:
L=
1 2
kx .
2
Come conseguenza immediata dei risultati ottenuti, appare chiaro che il lavoro compiuto da una
forza elastica di intensità f = k x per spostare il corpo dal punto corrispondente all’allungamento x2
della molla al punto corrispondente all’allungamento x1 della molla (x2 > x1) vale:
L2,1 =
1
1
1
kx22 - kx12 = k(x22 – x12)
2
2
2
(42)
Sulla base di quanto è stato stabilito viene abbastanza naturale riconoscere che un corpo,
quando è soggetto alla azione di una molla che ha subìto un determinato allungamento, è in
possesso di una energia potenziale che è uguale al lavoro che la molla compie per spostare il corpo
dal punto in cui si trova al punto in cui il suo allungamento è nullo (nel quale la molla si trova nello
stato di riposo). L’energia potenziale posseduta dal corpo nelle condizioni descritte (cioè quando è
soggetto all’azione di una molla che ha subìto un determinato allungamento) viene detta energia
potenziale elastica. Il valore dell’energia potenziale elastica posseduta da un corpo, soggetto alla
forza esercitata da una molla di costante elastica, k, quando la molla ha subìto l’allungamento, x, è
1 2
kx . Perciò il valore dell’energia potenziale elastica posseduta inizialmente dal corpo di massa m
2
(cioè quando l’allungamento subìto dalla molla era r), rispetto al punto in cui si trova l’estremo
1
libero della molla in condizioni di riposo, è kr2.
2
Si consideri ora la stessa molla, con un estremo nel punto O e l’altro estremo, in stato di riposo,
nel punto A. I due punti A ed O si pensino situati su un piano orizzontale in cui un corpo di massa
m possa scorrere senza attrito. Si pensi, inoltre che la molla venga allungata, lungo, la retta OA, di
un segmento AB = r. Il corpo (di massa m) che si trovi in B agganciato alla molla, possiede
1
l’energia potenziale elastica uguale ad kr2. Se il corpo è libero di muoversi, la forza elastica
2
esercitata dalla molla riporta il corpo nel punto A, e, determinando uno spostamento r compie il
1
lavoro kr2. Poiché l’energia potenziale gravitazionale del corpo non è variata, tutta l’energia
2
potenziale elastica, posseduta inizialmente dal corpo, si trova sotto forma di energia cinetica.
110
Tenuto conto di quanto si è trovato nel par 4.25 relazione 30 (ciè che è ω2 =
k
e perciò k = miω2)
mi
l’energia potenziale elastica iniziale può essere scritta anche nel modo seguente:
1 2 1
1
kr = miω2r2 = miv2
2
2
2
(con v che è uguale alla velocità che il corpo avrebbe raggiunto negli esperimenti descritti nel punto C in assenza della molla)
Si consideri, ora, la molla nell’istante in cui il suo allungamento è x (0 ≤ x ≤ r), cioè nell’istante
in cui esercita sul corpo di massa, m, la forza di intensità f = k x. In tale istante il corpo possiede,
rispetto al punto in cui l’estremo libero della molla si trova in condizioni di riposo, l’energia
1
potenziale elastica kx2 ed il lavoro eseguito dalla forza elastica, che ha provocato lo spostamento
2
(r – x), è, tenendo presente la (42):
Lr,x =
1 2 1 2
kr - kx
2
2
Ma, nell’istante in cui l’allungamento della molla è x, la velocità posseduta dal corpo è (par.
4.22; relazione 20):
vx = v senωt = v
r2 − x2
r2 − x2
= ωr
r
r
quindi la sua energia cinetica è:
1
1
mivx2 = miω2(r2 – x2)
2
2
che, tenendo presente che è ω2 =
k
, risulta uguale a:
mi
1
1
1
1
k 2 2
(r – x ) = kr2 - kx2
mivx2 = mi
2
2 mi
2
2
Risulta, proprio, uguale al lavoro eseguito dalla forza elastica di intensità f = kx per lo
spostamento (r – x).
Ne segue che è:
1
1
1
1
mivx2 + kx2 = kr2 = miv2.
2
2
2
2
(43)
Poiché x è un punto qualsiasi appartenente all’intervallo (0 ≤ x ≤ r), si giunge alla conclusione
che in ogni punto di tale intervallo la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elastica,
possedute dal corpo, è costantemente uguale all’energia potenziale elastica iniziale od all’energia
cinetica finale.
Il moto oscillatorio armonico semplice, descritto nel par 4.22, è un chiaro esempio in cui in
ogni punto vale la (43) ed in cui il lavoro eseguito dalla forza elastica di intensità f = k x trasforma
111
in continuazione energia potenziale elastica in energia cinetica del corpo oscillante o viceversa
energia cinetica del corpo oscillante in energia potenziale elastica. In particolare, nei punti estremi
1
dell’oscillazione l’energia è tutta potenziale elastica ( kr2) e nel centro dell’oscillazione è tutta
2
1
energia cinetica del corpo oscillante ( miv2).
2
Ne segue che dalla (43), dividendo tutti i termini
1
1
per l’energia totale ( kr2 = miv2), si trova:
2
2
f
1 2
1
kx
mi vx2
2
+ 2
=1
1
1 2
2
mi v
kr
2
2
da cui, si ha:
2
2
⎛ vx ⎞
⎛ x⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =1
⎝r⎠
⎝v⎠
x2
x1
x
Figura 72
E’ usando un analogo procedimento (con passaggi certamente più complicati) che si può
determinare il lavoro eseguito da una forza variabile in maniera qualsiasi. Ad esempio, il calcolo del
lavoro eseguito dalla forza che nel sistema di assi ortogonali (x, f) abbia l’andamento di Figura 72, il
lavoro eseguito da tale forza per lo spostamento (x2 – x1) con x2 > x1 si determina, sostanzialmente,
calcolando la “Area” della figura avente per lati i segmenti (x2 – x1), le ordinate f(x2) ed f(x1) ed il
tratto di curva compreso tra i due punti [x1, f(x1)] e [x2, f(x2)].
4.33 Ancora sul campo gravitazionale terrestre.
r
Nel par. 4.28, si è visto che γ è una grandezza a carattere vettoriale, la quale, oltre a rendere
manifesta la presenza del campo gravitazionale terrestre, ne esprime il valore e le proprietà.
A
E’ partendo dalla conoscenza di tale caratteristica
vettoriale che si riesce a mettere in evidenza
un’importante qualità del campo gravitazionale
terrestre, mediante il seguente ragionamento sostenuto
da una prova sperimentale eseguibile.
Un corpo di massa m sia situato in un punto A
all’altezza h0 rispetto al piano orizzontale di riferimento.
Esso, rispetto a quest’ultimo piano, possiede l’energia
potenziale gravitazionale γmh0.
l
E
α
h0
D
C
B
Figura 73
112
Sia B il punto in cui la verticale per A incontra il piano orizzontale di riferimento.
Si supponga che il corpo sia impedito di discendere lungo la verticale, ma che possa discendere
lungo un piano inclinato, formante con la verticale un angolo α, e che incontri il piano di
riferimento nel punto C, con AC = l Figura 73.
r
r
r
Sia il segmento AD, orientato da A verso D, il vettore γ , ed indicata con γ l (in figura γ l è il
segmento AE orientato da A verso E) la sua componente ortogonale lungo il piano inclinato (l’altra
componente è normale al piano), la similitudine dei due triangoli rettangoli CBA e DEA, consente
r
di determinare l’intensità di γ l . Essa è:
γl =
h0
γ
l
( γ l = γ cos α)
r
r
Per conseguenza la componente della forza f = γ m (esercitata dal campo gravitazionale
terrestre lungo la verticale) nella direzione del piano inclinato ha l’intensità:
fl =
h0
γ m ( f l = γ m cos α)
l
E’ quest’ultima la forza che, agendo sul corpo lungo il piano inclinato, determina lo
spostamento l. Perciò è quest’ultima la forza che compie il lavoro:
L = fl l =
h0
γ ml = γ m h0
l
[L = ( γ cos α) m ⋅ l = ( γ cos α) m ⋅
h0
= γ m h0]
cosα
Come si vede,il lavoro compiuto dalla forza di intensità f = γ m, per il tramite della sua
componente ortogonale lungo il piano inclinato di intensità γ l m, è lo stesso che essa esegue quando
sposta il corpo lungo la verticale.
Risulta quindi che l’energia potenziale gravitazionale γ mh0, posseduta dal corpo prima di
iniziare la discesa, alla fine della discesa lungo il piano inclinato è stata tutta trasformata
1
nell’energia cinetica miv2, cioè nel punto C al termine della discesa lungo il piano inclinato, il
2
corpo possiede la stessa energia cinetica che possiede alla fine della discesa lungo la verticale.
Allo stesso risultato, e forse in maniera didatticamente più efficace, si giunge anche attraverso il
seguente esperimento.
Un carrellino di massa m viene sistemato nel punto
A alla sommità di un piano inclinato ed all’altezza h0
rispetto al punto B in cui la verticale per A incontra il
piano orizzontale di riferimento Figura 74. Ad esso è
collegata una striscia di carta passante per la fessura del
marcatempo situato opportunamente più in alto.
In tali condizioni iniziali, il carrellino possiede
l’energia potenziale gravitazionale γ mh0.
marcatempo
A
α
h0
C
B
Figura 74
113
A marcatempo in funzione, il carrellino viene lasciato libero di discendere lungo il piano
inclinato. I punti segnati dal marcatempo sulla striscia di carta descrivono l’andamento del suo
moto.
Si misurano le distanze dei vari punti dal punto iniziale e i valori trovati (gli spazi percorsi) si
riportano nella quinta colonna della Tabella 18, nella cui quarta colonna sono riportati i
corrispondenti tempi.
Tabella 18
altezza
h0
m
0,551
lunghezza massa
l
m
1,1260
m
kh
3,600
tempo
t
s
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
spazio
2
x
m
x/t
m/s2
0
0,0065
0,0230
0,0510
0,0915
0,1430
0,2070
0,2875
0,3670
0,4650
0,5740
0,6950
0,8275
0,9720
1,1260
2,94
2,47
2,39
2,39
2,38
2,38
2,42
2,35
2,35
2,34
2,34
2,34
2,34
2,33
2
accelerazione
a = 2C
m/s2
vel. fin.
v = at
m/s
4,72
Valore medio di x/t = C = 2,36 m/s
3,30
2
Poiché si vede, abbastanza bene, che lo spazio, x, cresce al crescere del corrispondente tempo, t,
ma cresce più rapidamente di t, tenendo presenti i risultati ottenuti nello studio dei moti descritti nel
x
par. 4.5, si costruisce subito una sesta colonna della tabella contenente i quozienti 2 .
t
m
(dove C è il valore medio dei valori che si
s2
trovano nella sesta colonna esclusi i primi tre che sono quelli, che come si è già visto più volte,
risentono in maniera maggiore dell’incertezza del tempo iniziale). Perciò il moto del carrellino è un
m
moto naturalmente accelerato, con accelerazione a = 2C = 4,72 2 .
s
Tali quozienti hanno il valore costante C = 2,36
La conoscenza dell’accelerazione costante consente, essendo noto il tempo, t = 0,70 s,
impiegato dal carrellino per percorrere l’intera lunghezza del piano inclinato, di determinare la
m
m
velocità v = at = (4,72 ⋅ 0,70 )
= 3,30
posseduta dal carrellino nell’istante in cui giunge al
s
s
piano orizzontale di riferimento.
Il valore trovato è assai importante, in quanto è uguale a quello della velocità che il carrellino
assume nell’istante in cui giunge al piano orizzontale di riferimento, quando discende liberamente
m
m
= 3,29 .
lungo la verticale; velocità che vale v = 2 gh0 = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,551
s
s
114
r
Pertanto la forza, f l , costante, che applicata al carrellino, ha agito su di esso per tutto il
percorso, l, lungo il piano inclinato, ha eseguito la trasformazione dell’energia potenziale iniziale,
1
γ mh0, nell’energia cinetica, miv2, del tutto identica a quella che avrebbe eseguito la forza di
2
intensità γ m, agendo sul carrellino per uno spostamento uguale all’intero segmento AB lungo la
verticale.
r
Quindi, essendo l la lunghezza del piano inclinato, la forza f l compie il lavoro:
L = f l l = γ m h0 =
1
miv2.
2
Quest’ultima relazione afferma che vale la seguente proporzione:
f l : γ m = h0 : l
(44)
Si riconsideri ora la situazione illustrata in Figura 74
e riprodotta (senza il marcatempo) in Figura 75, in cui il
segmento AB’ orientato da A verso B’, è il vettore che
rappresenta la forza di intensità γ m esercitata sul corpo di
massa m dal campo gravitazionale, ed il segmento AC’
orientato da A verso C’ è il vettore che rappresenta la
forza f l che agisce sul corpo lungo il piano inclinato.
Si tracci il segmento B’C’. Il triangolo AB’C’, così
ottenuto, ed il triangolo ABC, che ha i lati AC = l ed AB
A
l
E
α
h0
D
C
B
Figura 75
= h0, hanno in comune l’angolo α = BÂC = B' ÂC' e tra i loro lati che concorrono nel vertice A,
intercorre la relazione (44). Essi perciò sono simili. Quindi il triangolo AB’C’ è rettangolo in C’.
r
r
Emerge allora che la forza f l è la componente normale della forza γ m lungo il piano inclinato
(l’altra componente normale è perpendicolare al piano e non lavora). Il valore dell’intensità della
r
forza f l [come emerge anche dalla (44)], perciò è:
h0
⎛h ⎞
= γ ⎜ 0 ⎟ m [ f l = γ (cosα) ⋅ m ]
l
⎝ l ⎠
r
In altre parole, si ritrova che l’intensità della componente di γ lungo il piano inclinato è:
fl = γ m
γl = γ
h0
l
( γ l = γ cosα)
E’ evidente che tutto quanto è stato detto a proposito del piano inclinato considerato vale per
qualunque altro piano avente l’altro estremo sul piano orizzontale di riferimento e comunque sia
inclinato rispetto alla verticale passante per il punto A.
Riassumendo, la trasformazione dell’energia potenziale gravitazionale, γ mh0 (posseduta
inizialmente dal corpo, di massa m, rispetto al piano orizzontale di riferimento) nell’energia
115
r
1
miv2, per mezzo del lavoro eseguito dalla forza γ m esercitata su di esso dal campo
2
gravitazionale, dipende soltanto dalla quota (altezza, h0) del punto in cui il corpo si trova all’inizio.
cinetica,
E’ evidente che ciò che vale per il punto A vale anche per ogni altro punto appartenente al
piano, β, a cui appartiene il punto A, piano parallelo al piano orizzontale di riferimento; è inoltre
evidente che tutto ciò vale anche qualunque sia l’altezza h0.
1
miv2 è la stessa
2
sia che il corpo scenda lungo la verticale sia che discenda lungo un qualsiasi piano inclinato che dal
punto A (o da qualunque altro punto del piano β) lo porti al piano orizzontale di riferimento.
Dunque la trasformazione dell’energia potenziale γ mh0 nell’energia cinetica
Tenendo conto di tutto quanto è stato detto, si consideri la seguente situazione.
A
D
D'
E
E'
F'
F
G
G'
H'
H
C
Figura 76
B
Il corpo di massa m sia situato inizialmente nel punto A,
r
sottoposto all’azione della forza gravitazionale γ m, e sia in
condizioni tali che pùò discendere al piano orizzontale di
riferimento soltanto percorrendo, ad esempio, un cammino come
quello di Figura 76, cammino che è costituito da una successione
di piani variamante inclinati e con direzioni differenti.
Siano D, E, F, ... , i punti in cui si incontrano i vari piani, di
cui è composto il percorso. Per ognuno di tali punti si mandino i
piani paralleli al piano orizzontale di riferimento. Ognuno di tali
piani incontra la verticale per il punto A, rispettivamente, nei punti
D’, E’, F’... .
In base a quanto è stato detto a proposito della situazione
illustrata in Figura 762 e della sua validità estesa anche ad altezze differenti, si può determinare il
lavoro eseguito dalla forza gravitazionale (di intensità γm), per portare il corpo di massa m dal
punto A, lungo la successione dei piani inclinati, al punto C appartenente al piano orizzontale di
riferimento.
Infatti, la componente ortogonale di tale forza nella direzione di ognuno dei piani inclinati
determina, per ogni piano, uno spostamento uguale all’intera lunghezza del piano stesso,
compiendo:
r
nel caso del piano AD, un lavoro che è uguale a quello che la forza stessa ( γ m) compie
quando determina lo spostamento AD’ lungo la verticale, cioè compie il lavoro γ m(AD’);
r
nel caso del piano DE, un lavoro che è uguale a quello che la forza stessa ( γ m) compie
quando determina lo spostamento D’E’ lungo la verticale, cioè compie il lavoro γ m(D’E’);
r
nel caso del piano EF; un lavoro che è uguale a quello che la forza stessa ( γ m) compie
quando determina lo spostamento E’F’ lungo la verticale, cioè compie il lavoro uguale a
γ m(E’F’);
................... .
116
r
In totale, allora, il lavoro eseguito dalla forza γ m per portare il corpo dal punto A, seguendo il
percorso costituito dalla predetta successione di piani inclinati, al punto C del piano orizzontale di
riferimento è:
γ m(AD’) + γ m(D’E’) + γ m(E’F’) +... = γ m(AD’ + D’E’ + E’F’ + ...) =
= γ m(AB) = γ m h0
(45)
E’ chiaro che a questa conclusione si giunge anche se la lunghezza dei piani inclinati è piccola,
anzi, anche se è infinitamente piccola.
Pertanto, poiché una qualsiasi linea continua può essere pensata come una successione di
infiniti piani inclinati infinitamente corti, si può affermare che, qualunque sia il cammino percorso
dal corpo per andare dal punto A al piano orizzontale di riferimento, il lavoro compiuto dalla forza
r
γ m è sempre lo stesso, cioè vale γ m h0. Esso è, dunque, uguale all’energia potenziale, γ mh0,
posseduta inizialmente dal corpo nel punto A (od in qualsiasi altro punto del piano passante per A e
1
parallelo al piano orizzontale), ed è uguale all’energia cinetica, miv2, posseduta dal corpo stesso
2
nell’istante in cui giunge al piano orizzontale di riferimento.
r
Vale a dire il lavoro L, che ha eseguito la forza γ m, quando il corpo giunge al piano
orizzontale di riferimento, ha trasformato tutta l’energia potenziale γ mh0, posseduta inizialmente
dal corpo stesso, nell’energia cinetica
1
miv2. In sintesi risulta:
2
L = γ mh0 =
1
miv2
2
Alla stessa conclusione, facendo riferimento alla Figura 76, si giunge, forse in maniera più
interessante, seguendo anche il seguente ragionamento.
Le lunghezze dei piani inclinati, che compongono il percorso da A ad C, siano, rispettivamente,
r
AD = x1, DE = x2, EF = x3 ... , e le intensità delle componenti di γ nella direzione dei vari piani
inclinati siano:
γ1 = γ
AD'
D' E'
E' F'
; γ2 = γ
; γ3 = γ
; ...
x1
x2
x3
(46)
e, quindi, le forze agenti nella direzione dei vari piani inclinati siano, rispettivamente:
r
r r
r r
r
f 1 = m γ 1 , f 2 = m γ 2 , f 3 = m γ 3 , ...
Risulta che il lavoro eseguito da tali forze per uno spostamento uguale a tutta la lunghezza di
ogni piano è, rispettivamente:
L1 = m γ1x1, L2 = mγ2x2, L3 = m γ3 x3, ...
Risulta, quindi, che l’intero lavoro per portare il corpo dal punto A al punto C è :
L = m γ1x1 + mγ2x2 + m γ3 x3 + ... = m(γ1 x1 + γ2x2 + γ3x3 + ...) (47)
117
Se, ora, si sostituiscono i valori di γ1, γ2, γ3, ..., con quelli forniti dai moduli delle (46),
l’espressione dentro le parentesi tonde della (47) soddisfa la seguente ugualianza:
γ1x1 + γ2x2 + γ3 x3 + ... = γ
AD'
D' E'
E' F'
x1 + γ
x2 + γ
x3 + ... =
x1
x2
x3
= γ (AD’ + D’E’ + E’F’ + ...) =
= γ h0
(48)
Perciò si ha:
L = m γ h0
cioè si ritrova lo stesso risultato fornito dalla (45).
4.34 Campi di forze conservativi.
Si pensi di eseguire un esperimento analogo a quello descritto nel par.4.32.
Un corpo di massa m, situato in un punto A del
campo gravitazionale terrestre, all’altezza h0 rispetto al
piano orizzontale di riferimento e quindi, rispetto a tale
piano, in possesso dell’energia potenziale γ mh0, viene
appeso ad una molla non precompressa di costante
elastica k, in condizioni di riposo Figura 77.
Il corpo, lasciato libero, sotto l’azione della forza di
intensità, costante, γ m esercitata dal campo
gravitazionale terrestre, discende: la molla si allunga ed
allungandosi esercita una forza di intensità f = kx
(sempre contraria alla predetta forza di intensità γ m)
che si accresce con il crescere dell’allungamento. In
corrispondenza, la velocità del corpo, dapprima cresce e
raggiunge il suo valore massimo quando x assume un
preciso valore r tale per cui si ha: kr = γ m e, poi,
b)
a)
A
A
2r
h0
B
h1
Figura 77
diminuisce fino ad annullarsi nel punto B della verticale per A, quando l’allungamento della molla è
x = 2r.
In B, il corpo, se si trova all’altezza h1, possiede l’energia potenziale gravitazionale γ mh1.
Quindi, l’energia γ mh0 - γ mh1 è stata trasformata dal lavoro [LA,B = γ m(h0 - h1) = γ m2r]
eseguito dalla forza di intensità γ m, che ha determinato lo spostamento (h0 - h1) = 2r, nell’energia
potenziale elastica
1
2
k (2r ) .
2
118
In B, l’intensità f = k2r della forza, che la molla esercita verso l’alto, è maggiore dall’intensità
r
della forza γ m (k2r > γ m in quanto come si è già visto k2r = 2 γ m). Perciò, il corpo, sotto l’azione
di tale forza, inizia a salire: la sua velocità cresce in intensità, raggiunge il suo valore massimo poi
decresce fino ad annullarsi quando il corpo giunge nel punto A. In quest’ultimo punto l’energia
1
2
posseduta dal corpo è ritornata tutta gravitazionale, γ mh0, a spese del lavoro [L = k (2r ) ]
2
eseguito dalla molla che ha causato lo spostamento (h0 - h1) = 2r. Corrispondentemente la forza di
intensità γ m, sempre contraria alla forza esercitata dalla molla (e quindi allo spostamento che
quest’ultima ha determinato), ha compiuto il lavoro (negativo) LB,A = - γ m(h0 - h1) = - γ m2r.
Complessivamente, il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale quando il corpo da A va in B e
ritorna in A è:
γ m(h0 - h1) - γ m(h0 - h1) = γ m2r - γ m2r = 0
(49)
Poiché, in base a quanto è stato stabilito nel paragrafo precedente, il lavoro, eseguito dalla forza
gravitazionale (di intensità γ m) per portare il corpo nella discesa da A a B, ha lo stesso valore
qualunque sia il cammino percorso per andare da A a B, e poiché, in base a quanto si è appena
trovato, il lavoro (negativo) eseguito dalla forza gravitazionale quando il corpo viene portato, in
ascesa, dal punto B al punto A, è in valore assoluto identico a quello che la forza stessa compie per
portare il corpo dal punto A al punto B, è del tutto evidente che il risultato dell’esperimento
descritto sarebbe stato lo stesso (lavoro uguale a zero) anche se, nelle discesa da A a B e nella
ascesa da B ad A, il corpo avesse seguito un qualsiasi percorso ( cioè anche una linea continua.
Si può, dunque, dire che il lavoro eseguito dalla forza
γ m (esercitata sul corpo di massa m dal campo
r
gravitazionale terrestre) lungo una qualsiasi linea chiusa è
nullo.
Emerge anche, in palese evidenza, che il lavoro
r
r
compiuto dalla forza f = γ m per portare un corpo (di
Figura 78
massa m) dal punto A (o da qualsiasi altro punto
appartenente al piano, per A, parallelo,al piano
orizzontale), nel quale il corpo stesso possiede, rispetto al
piano orizzontale di riferimento, l’energia potenziale
gravitazionale γ mh0, al punto B (od a qualsiasi altro
punto appartenente al piano, per B, parallelo,al piano
orizzontale), nel quale possiede, rispetto allo stesso piano di riferimento, l’energia potenziale
gravitazionale, γ mh1, è, indipendentemente dal cammino percorso:
LA,B = γ mh0 - γ mh1
Quindi, quando il corpo passa, seguendo un qualsiasi percorso, dal punto B (o da qualsiasi altro
punto appartenente al piano, per B, parallelo, al piano orizzontale di riferimento) al punto A (od a
qualsiasi altro punto appartenente al piano, per A, parallelo,al piano orizzontale), il lavoro eseguito
r
dalla forza γ m è negativo e vale:
119
LB,A = - ( γ mh0 - γ mh1)
Si consideri, allora, un percorso chiuso costituito da una successione di piani inclinati, aventi le
lunghezze l1, l2, l3, ..., anche estremamente piccole e lo si pensi percorso da un corpo ed orientato
r r
r
nel senso in cui il corpo stesso si muove. Siano γ 1 , γ 2 , γ 3 ,..., le componenti del campo
r
gravitazionale γ lungo ognuno di tali piani e si costruiscano i prodotti γ 1 l1, γ 2 l2, γ 3 l3,..., presi col
r
segno positivo se il verso della componente di γ è concorde con quello del percorso su ogni piano
inclinato e negativo se è discorde.
Se si tengono presenti la (48) e la (49) ed i risultati appena ottenuti, si riconosce facilmente che
si ha :
γ 1 l1 + γ 2 l2 + γ 3 l3 + ... = 0
La somma di tali prodotti, presi con i segni loro assegnati secondo il criterio stabilito, per
r
r
definizione, viene denominata circuitazione di γ , viene indicata con il simbolo C( γ ), lungo una
linea chiusa. Perciò si ha:
r
C( γ ) = γ 1 l1 + γ 2 l2 + γ 3 l3 + ... = 0
(50)
Un modo più direttamente comprensibile, perchè basato
su una prova di concreta attività sperimentale, per entrare in
possesso del concetto di circuitazione, viene qui di seguito
descritto.
Il materiale occorrente è:
•
una linea spezzata chiusa ( meglio se è sghemba)
di n lati. E’ facilmente realizzabile con un filo di
ferro opportunamente sagomato Figura 79;
•
un piano inclinato Figura 80 sul quale può
muoversi un carrellino (di massa m nota)
agganciato ad una molla (di costante elastica nota
k) avente l’altra estremità agganciata ad un perno
fissato alla sommità del piano stesso;
•
un goniometro (nel centro del quale è appeso un
r
filo a piombo indicante la direzione di γ ), fissato
ad un lato del piano inclinato;
•
un metro con le suddivisioni in millimetri.
Figura 79
Figura 80
La linea spezzata chiusa viene sistemata in una qualsiasi
zona dello spazio, in cui normalmente si opera, Figura 79, e viene orientata, cioè su di essa viene
stabilito un verso positivo di percorrenza. Inoltre se ne misurano le lunghezze dei lati.
Si colloca, poi, il piano inclinato in posizione parallela a ciascun lato, e, per ogni lato, si misura
il corrispondente allungamento, ∆l, subìto dalla molla (cioè si misura la forza di intensità k∆l che ha
120
teso la molla). Il valore che si ottiene si prende positivo se l’allungamento è concorde con il verso
stabilito sulla spezzata e negativo in caso contrario. In altre parole si misura la componente
r
ortogonale della forza γ m (esercitata dal campo gravitazionale terrestre) nella direzione di ogni lato
della spezzata ed il valore trovato si prende positivo o negativo a seconda della concordanza o della
discordanza del verso della componente con quello stabilito sulla spezzata.
Indicate con x1, x2, x3,..., xn, le lunghezze dei lati della spezzata e con γ 1 m = k ∆l1; γ 2 m = k ∆l2;
r
γ 3 m = k ∆l3,...; γ n m = k ∆ln, le intensità delle componenti della forza γ m nella direzione dei lati, si
costruiscono i prodotti: γ 1 mx1, γ 2 mx2, γ 3 mx3,..., γ n mxn, e attribuito ad ognuno di essi il segno
dovuto secondo il criterio prima stabilito, si esegue la somma Sn dei predetti prodotti:
Sn = γ 1 mx1 + γ 2 mx2 + γ 3 mx3 +..., + γ n mxn =
= m( γ 1 x1 + γ 2 x2 + γ 3 x3 +..., + γ n xn)
Una prova concretamente eseguita con una linea spezzata chiusa sghemba di undici lati ha
fornito i dati riportati nelle prime cinque colonne della seguente Tabella 19 :
Tabella 19
lato
lung.lati
massa
xi
m
(kg)
cost. elast
k
⎛N⎞
⎜ ⎟
⎝m⎠
all. molla
γ i m = k ∆ li
γimxi
(m)
(N)
(J)
∆ li
n°
(m)
1
0,225
-0,130
-0,553
-0,124
2
0,155
0,167
0,710
0,110
3
0,075
0,229
0,973
0,073
4
0,163
0,137
0,582
0,095
5
0,223
-0,020
-0,085
-0,019
6
0,150
-0,102
-0,434
-0,065
7
0,210
-0,202
-0,859
-0,180
8
0,126
-0,098
-0,417
-0,052
9
0,180
0,103
0,438
0,079
10
0,207
0,000
0,000
0,000
11
0,093
0,218
0,927
0,086
0,102
4,25
L’elaborazione dei dati viene eseguita con la costruzione della sesta colonna della tabella,
contenente le intensità γim = k ∆li (prese con i loro segni secondo il criterio stabilito) delle
r
componenti ortogonali della forza γ m nella direzione di ogni lato e con la costruzione della settima
colonna contenente i prodotti γimxi.
La somma di tali prodotti, che risulta 0,443 J – 0,441 J = 0,002 J, mostra che vale la seguente
relazione:
121
Sn = γ 1 mx1 + γ 2 mx2 + γ 3 mx3 +..., + γ n mxn =
= m( γ 1 x1 + γ 2 x2 + γ 3 x3 +..., + γ n xn) = 0
r
r
Il termine entro parentesi tonde è, come si è già detto la circuitazione, C( γ ), di γ lungo la
spezzata chiusa e orientata ed il suo valore è :
r
C( γ ) = 0
Si è ripetuta più volte la prova, utilizzando linee spezzate differenti, chiuse ed orientate.
Siccome in ogni prova si è ottenuto un risultato del tutto analogo a quello della prova descritta, si
r
può concludere affermando che il vettore γ , è anche caratterizzato dal fatto di possedere la
r
r
circuitazione, C( γ ), lungo una qualsiasi linea chiusa ed orientata uguale a zero: C( γ ) = 0.
Un campo, la cui circuitazione sia sempre uguale a zero, si dice che è un campo conservativo.
4.35 Differenza di potenziale tra due punti del campo gravitazionale.
Si considerino due punti A e B di un campo gravitazionale. Per essi passano infinite linee
chiuse orientate lungo le quali, per quanto si è visto nel paragrafo precedente, la circuitazione,
r
C( γ ), del campo gravitazionale vale
b)
a)
zero.
B
Di tali linee se ne consideri una ad
esempio quella indicata in Figura 81 a),
costituita da due tratti uno orientato da
A verso B (indicato con il simbolo 1) ed
uno orientato da B verso A (indicato
con il simbolo 2).
A
La circuitazione del campo
r
gravitazionale, C( γ ), lungo l’intera
linea, che è uguale a zero, si può
scrivere:
r
r
r
B
A
C( γ ) = C A,1
( γ ) + C B,2
(γ ) = 0
r
r
B
A
[dove C A,1
( γ ) e C B,2
( γ ) indicano gli elementi di circuitazione calcolati lungo i tratti di linea 1 e 2]
da cui segue :
r
v
B
A
C A,1
( γ ) = − CB,2
(γ )
(51)
Si consideri, ora, un nuovo tratto di linea che unisca A con B, orientato da A verso B, che in
Figura 81b) e indicato con il simbolo 3.
I tratti di linea indicati con i simboli 3 e 2, insieme, costituiscono una linea chiusa ed orientata
r
lungo la quale il valore della circuitazione del campo gravitazionale, C( γ ), è, come si è gia più
volte ripetuto, uguale a zero. E’ chiaro che tale circuitazione, in simboli, si può scrivere:
122
