1
La legge di Lenz - Faraday – Neumann
r
Il flusso del campo magnetico B
Per dare una veste matematica alle conclusioni delle esperienze viste nella lezione precedente,
abbiamo bisogno di definire una nuova grandezza fisica che tenga conto del numero di linee del
campo magnetico che attraversano una data superficie S.
r
Consideriamo una spira posta in un campo magnetico uniforme B . Sia S la superficie racchiusa
r
dalla spira. Definiamo flusso del campo magnetico B che attraversa la superficie S la grandezza
r
Φ (B ) (il simbolo Φ è la lettera greca fi) ottenuta dal prodotto della superficie S per la componente
r
r
del vettore B perpendicolare alla superficie stessa: Φ ( B ) = B⊥ ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos α .
r
Nel SI l’unità di misura del flusso Φ (B) del campo magnetico è il weber (Wb), dato da: weber =
tesla · metro2 (Wb = T·m2).
r
r
L’angolo α è quello formato dal vettore B e dal versore n (vettore di lunghezza unitaria)
r
perpendicolare alla superficie S. Il verso di n indica quale faccia della superficie stiamo
considerando. Per esempio, il foglio di carta della figura 2 presenta due superfici: quella superiore e
r
quella inferiore. La faccia che si considera è quella dalla quale il versore n è uscente: quella
superiore nel caso a, inferiore nel caso b.
Il valore del flusso dipende dall’orientazione della superficie rispetto al
campo magnetico, in particolare:
• quando la superficie è perpendicolare alle linee del campo
r
magnetico il flusso Φ ( B ) che l’attraversa è massimo; se le linee del
r
campo hanno lo stesso verso di n , l’angolo α è nullo e il flusso vale
r
r
Φ ( B ) = B ⋅ S ; se il verso delle linee è opposto a quello di n , l’angolo α vale 180° e si ha
r
Φ ( B) = − B ⋅ S ;
• quando la superficie è parallela alle linee del campo, cioè per α = 90°, il flusso è nullo.
La formula del flusso del campo magnetico può essere scritta utilizzando il prodotto scalare tra il
r
r r v
r
vettore B e il versore n ; infatti: Φ ( B ) = B ⋅ S n = B ⋅ S ⋅ cos α .
Se nel campo magnetico si trova un solenoide formato da N spire, il flusso che lo attraversa è N
r
volte quello che attraversa una spira: Φ ( B ) = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cosα .
Esempio 1 – Calcolo del flusso che attraversa un solenoide posto in posizioni differenti in un campo
magnetico
Consideriamo un solenoide composto da 2000 spire, ciascuna delle quali ha un diametro di 10,0 cm,
immerso in un campo magnetico di intensità B = 1,12 T. Calcoliamo il flusso del campo magnetico che
attraversa il solenoide quando l’asse del solenoide: a) è parallelo alle linee di campo; b) forma con le linee
del campo un angolo di 60°; c) è perpendicolare alle linee del campo.
Scriviamo i dati del problema
Numero delle spire del solenoide
N = 2000
diametro di ciascuna spira
2r = 10,0 cm
intensità del campo magnetico
B = 1,12 T
r
Angolo tra l’asse del solenoide e il vettore B α1 = 0°; α2 = 60°; α3 = 90°
Incognite
r
Intensità del flusso Φ ( B ) del campo magnetico che attraversa il solenoide per i tre valori dell’angolo α.
Analisi e soluzione
r
La direzione dell’asse del solenoide coincide con il versore n normale alla superficie delle spire.
Calcoliamo la superficie S di ciascuna spira: S = π · r2 = 3,14 · (5,00·10−2 m)2 = 7,85·10−2 m2
2
r
Per α1 = 0° otteniamo: Φ (B ) = N·B·S·cosα = 2000 · 1,12 T · 7,85·10−2 m2 · cos 0° = 176 Wb
r
Per α2 = 60° otteniamo: Φ (B ) = 2000 · 1,12 T · 7,85·10−2 m2 · cos 60° = 88,0 Wb
r
Per α3 = 90° otteniamo: Φ (B ) = 2000 · 1,12 T · 7,85·10−2 m2 · cos 90° = 0.
La legge di Lenz Faraday Neumann
Nelle esperienze riguardanti l’induzione elettromagnetica abbiamo osservato che ogniqualvolta
varia il numero delle linee del campo magnetico che attraversano la superficie delle spire di un
solenoide, in esso si manifesta una corrente elettrica (corrente indotta). Poiché in generale una
corrente elettrica è dovuta a una forza elettromotrice, la variazione del numero delle linee del campo
magnetico induce nel solenoide una f.e.m. che genera la corrente indotta. Tenuto conto che il flusso
del campo magnetico rappresenta il numero delle linee di forza che attraversano la superficie
considerata, possiamo dire che ogni variazione di flusso del campo magnetico che attraversa
una spira o una bobina genera in essa una f.e.m. indotta. La f.e.m. indotta permane nel circuito
fintanto che dura la variazione di flusso. Inoltre, più rapida è la variazione di flusso, maggiore è
l’intensità della f.e.m. indotta. Questi risultati sono espressi dalla Legge di Faraday-Neumann:
In un circuito elettrico chiuso attraversato da un flusso variabile di campo magnetico, viene
indotta una forza elettromotrice che risulta direttamente proporzionale alla variazione di
r
flusso del campo ∆Φ (B) e inversamente proporzionale all’intervallo di tempo ∆t durante il
quale avviene tale variazione..
Si constata inoltre che il verso della corrente indotta è tale da creare un flusso di campo
magnetico che si oppone alla causa che l’ha generata, cioè alla variazione del flusso del campo
magnetico induttore (legge di Lenz) .
Le due leggi vengono raggruppate in un’unica formula matematica che esprime la legge di Lenzr
r
∆Φ B
∆Φ B
Faraday-Neumann: f .e.m. = −
. In essa il rapporto
rappresenta la legge di Faraday
∆t
∆t
Neumann; il segno “−” rappresenta la legge di Lenz. Se R è la resistenza della spira, l’intensità della
r
∆Φ B
corrente indotta si calcola applicando la I legge di Ohm: i = −
.
∆t ⋅ R
Osservazioni.
a) Dalla legge di Faraday-Neumann deduciamo che se non varia il flusso che attraversa una spira
immersa in un campo magnetico, non si ha corrente indotta. Consideriamo per esempio una spira
r
che si muove con velocità v perpendicolarmente alle linee di un campo magnetico uniforme e
completamente immersa nel campo. Pur essendoci moto relativo tra la spira e il campo, la superficie
della spira attraversata dal flusso non cambia e quindi il flusso non varia, pertanto nella spira non si
manifesta la corrente indotta. Per ottenere la corrente indotta occorre che
durante il movimento una parte della spira sia all’esterno del campo
magnetico in modo da aumentare o diminuire la superficie attraversata
dalle linee del campo, oppure che essa ruoti immersa nel campo affinché,
r
r
variando l’angolo tra il vettore B e il versore n , si abbia una
corrispondente variazione del flusso che l’attraversa..
()
()
()
b) La variazione del flusso del campo magnetico induttore può essere causata non soltanto dal
movimento relativo tra un magnete e una spira o tra un elettromagnete e una spira, ma anche dalla
variazione del campo generato dall’elettromagnete. Ricordiamo la formula che permette di calcolare
N ⋅i
il campo magnetico generato da un solenoide: B = µ 0 ⋅ µ r ⋅
. Il campo dell’elettromagnete può
l
essere modificato variando la corrente che lo percorre oppure inserendo in esso un nucleo di
3
materiale ferromagnetico, in modo da aumentare la permeabilità magnetica e corrispondentemente
il campo creato.
Esempio 2 – Calcolo della f.e.m. indotta in un solenoide dalla variazione di flusso dovuta a una
variazione di corrente o della permeabilità del nucleo del solenoide
Un solenoide di 2000 spire di superficie 7,85·10─3 m2, lungo 0,100 m, percorso da una corrente di 0,800 A, è
avvolto sopra un altro solenoide di 500 spire dello stesso diametro e della stessa lunghezza. Calcola la f.e.m.
indotta nel secondo solenoide nel caso in cui:
a. la corrente nel primo solenoide diventi 1,200 A in un intervallo di tempo di 0,100 s
b. mantenendo costante la corrente di 0,800 A, venga introdotto nei solenoidi in un intervallo di tempo di
1,50 s un nucleo caratterizzato da µr = 4000.
Scriviamo i dati
Numero di spire del solenoide induttore
N1 = 2000
Superficie delle spire dei solenoidi
S = 7,85·10─3 m2
Intensità della corrente nel solenoide induttore i1 = 0,800 A
Numero di spire del solenoide indotto
N2 = 500
Lunghezza dei solenoidi
l = 0,100 m
Caso a: intensità finale della corrente nel solenoide induttore i2 = 1,200 A
intervallo di tempo di variazione della corrente
∆t1 = 0,100 s
Caso b: permeabilità magnetica del nucleo inserito
µr = 4000
intervallo di tempo di inserimento del nucleo
∆t2 = 1,50 s
Incognite
La f.e.m. indotta rispettivamente nel caso a) e nel caso b)
Analisi e soluzione
Caso a
Calcoliamo il campo magnetico iniziale generato dal solenoide induttore:
B1 = µ 0
N1i1
N 2000 ⋅ 0,800 A
=12,56 ⋅10 −7 2 ⋅
= 0,201T
l
A
0,100 m
Calcoliamo il flusso del campo magnetico che attraversa il secondo solenoide:
()
r
Φ B = N 2 ⋅ S ⋅ B1 = 500 ⋅ 7,85 ⋅10 −3 m 2 ⋅ 0,201T = 0,789 Wb
Calcoliamo ora il campo magnetico dopo la variazione di corrente nel solenoide induttore:
B1' =12,56 ⋅10 −6
N 2000 ⋅1,200 A
⋅
= 0,301T . Calcoliamo il nuovo flusso che attraversa il secondo
A2
0,100 m
()
r
solenoide: Φ B = N 2 ⋅ S ⋅ B1' = 500 ⋅ 7,85 ⋅10 −3 m 2 ⋅ 0,301T =1,18 Wb
Determiniamo l’intensità della f.e.m. indotta nella seconda spira:
()
r
∆Φ B 1,18 Wb - 0,789 Wb
f .e.m. =
=
= 3,91V .
∆t1
0,100 s
Caso b
Inserendo nei solenoidi un nucleo, il campo magnetico del solenoide induttore diventa:
B1' = µ r ⋅ B1 = 4000 ⋅ 0,201= 804 T . Il valore del flusso del campo che attraversa il secondo solenoide
()
r
diventa: Φ B = N 2 ⋅ S ⋅ B1' = 500 ⋅ 7,85 ⋅10 −3 m 2 ⋅ 804 T = 3,16 ⋅10 3 Wb
()
r
∆Φ B 3,16 ⋅10 3 Wb - 0,789 Wb
Il valore della f.e.m. indotta è dato da: f .e.m. =
=
= 2,11 ⋅10 3 V .
∆t1
1,50 s
c) La legge di Lenz stabilisce che se per esempio un magnete si avvicina a una spira e quindi
aumenta il flusso magnetico che la attraversa, nella stessa spira viene indotta una corrente che a sua
volta crea un campo magnetico opposto a quello induttore. Se il magnete si allontana dalla spira, il
flusso magnetico che la attraversa diminuisce e la corrente indotta crea un campo magnetico nello
stesso verso di quello del magnete In altri termini, se per esempio un magnete si affaccia alla spira
con il suo polo nord, la corrente indotta crea un campo magnetico con il polo nord che si oppone
4
all’avvicinamento del nord della calamita. Quando invece il nord del magnete si allontana dalla
spira, la corrente indotta crea un campo magnetico tale da attirare il nord del magnete.
d) La legge di Lenz è una conseguenza del principio di conservazione dell’energia. Quando
avviciniamo a una spira un magnete, questo viene respinto dal campo magnetico generato dalla
corrente indotta. Se allontaniamo il magnete dalla spira, esso viene attratto dal campo magnetico
indotto. In ogni caso dobbiamo vincere una resistenza e quindi compiere lavoro. Si dimostra che
questo lavoro risulta uguale alla quantità di energia dissipata per effetto Joule dalla corrente indotta
nella spira: L = R · i2·∆t.
Se non valesse la legge di Lenz il verso della corrente indotta sarebbe tale da generare un campo
magnetico che favorirebbe il movimento del magnete spostandolo senza dover compiere un lavoro.
Nella spira si avrebbe quindi dell’energia dissipata in calore senza che essa venga fornita al sistema
sotto forma di lavoro.
Esempio 3 – Calcolo della corrente indotta in un solenoide
Consideriamo un solenoide di 10000 spire in cui il raggio delle spire è 2,50 cm. Esso è immerso in un campo
magnetico di intensità B = 0,740·10−2 T. Vogliamo calcolare l’intensità della corrente indotta quando il
campo magnetico passa a 1,480·10−2 T in 5,00·10−2 s. La resistenza del solenoide vale R = 29,0 Ω.
Scriviamo i dati del problema
Numero delle spire del solenoide
N = 10000
Raggio delle spire
r = 2,50 cm = 2,50·10−2 m
Intensità iniziale del campo magnetico B0 = 0,740·10−2 T
Intensità finale del campo magnetico Bf = 1,480·10−2 T
Intervallo di tempo della variazione
∆t = 5,00·10−2 s
Resistenza elettrica del solenoide
R = 29,0 Ω
Incognite
Intensità della corrente indotta i
Analisi e soluzione
Durante la variazione del campo magnetico che attraversa il solenoide viene indotta in esso una f.e.m. che
determina una corrente. Calcoliamo l’intensità di questa corrente applicando la I legge di Ohm:
i=
f .e.m. indotta
. La f.e.m. indotta è data dalla legge di Lenz-Faraday-Neumann, per cui dobbiamo
R
calcolare
dapprima
la
variazione
di
flusso
che
attraversa
il
solenoide:
r
∆Φ ( B ) = N ⋅ π r 2 ⋅ (B f − B0 ) = 10000 ⋅ 3,14 ⋅ (2,50 ⋅ 10 −2 m) 2 ⋅ (1,480 T − 0,740 T ) ⋅ 10 −2 = 0, 145 Wb .
r
∆Φ B
0,145 Wb
Il valore della f.e.m. indotta è dato da: f .e.m. =
=
= 2,90 V .
∆t
5,00 ⋅10 −2 s
2,90 V
Calcoliamo ora l’intensità della corrente indotta: i =
= 0,100 A .
29,0 Ω
()
5
L’induzione elettromagnetica nel quotidiano
Il pickup della chitarra elettrica
Per acquisire il suono prodotto da ciascuna corda, nelle chitarre elettriche si utilizzano i pickup, che sono
microfoni posti sotto ogni corda e il cui funzionamento si basa sul fenomeno dell’induzione
elettromagnetica.
Il pickup è costituito da un solenoide avvolto su un magnete
permanente. La corda è di acciaio e il tratto posto sopra il pickup
viene magnetizzato dal campo del magnete permanente. Quando
la corda vibra si avvicina e si allontana periodicamente dal
magnete e fa variare il flusso del campo magnetico che attraversa
la bobina, inducendo in essa una corrente. Questa corrente,
amplificata, mette in funzione l’altoparlante che riproduce il suono emesso dalla corda.
La testina di lettura di un registratore a nastro
Le informazioni (suono, voce, musica) registrate su un nastro magnetico sono costituite da una successione
di piccole zone magnetizzate secondo varie orientazioni su un nastro. La
riproduzione di tali informazioni è affidata a una testina di lettura, cioè a un
meccanismo che sfrutta il fenomeno dell’induzione elettromagnetica.
La testina è costituita da una bobina avvolta su un materiale ferromagnetico
che presenta un’interruzione di fronte al nastro magnetizzato.. Il flusso
variabile in intensità direzione e verso prodotto delle zone magnetizzate del
nastro che scorre investe la bobina e induce in essa una corrente il cui valore
segue il modo in cui le zone magnetizzate si succedono. La corrente,
opportunamente amplificata, mette in funzione l’altoparlante che riproduce così i suoni registrati.
In modo analogo funziona la riproduzione delle informazioni memorizzate sui floppy-disk e sugli hard-disk.
In questo caso però la trasmissione delle informazioni è dovuta all’induzione di una f.e.m. nella testina che
“legge” il floppy-disk o l’hard-disk; si ottiene così una successione di differenze di potenziale la cui presenza
o assenza corrisponde alle cifre binarie 1 e 0.
6
Verifiche di comprensione
v
1. Che cosa si intende per flusso del campo magnetico B che attraversa una superficie S?
2. Qual è l’unità di misura del flusso del campo magnetico?
3. Per quale posizione della superficie S il flusso del campo magnetico che l’attraversa è massimo? Quanto
v
vale l’angolo tra la normale a S e il vettore B in questa situazione?
4. Per quale posizione della superficie S il flusso del campo magnetico che l’attraversa è nullo? Quanto vale
v
l’angolo tra la normale a S e il vettore B in questa situazione?
5. Come si calcola il flusso del campo magnetico che attraversa un solenoide composto da N spire?
6. Enuncia la legge di Faraday-Neumann.
7. Enuncia la legge di Lenz.
8. Descrivi come risulta il verso della corrente indotta alla luce della legge di Lenz.
9. Spiega perché la legge di Lenz esprime il principio di conservazione dell’energia.
10. Illustra un esempio in cui, pur essendoci moto relativo tra spira e campo magnetico, non si ha corrente
indotta nella spira.
11. Come si può produrre una variazione di flusso che attraversa una spira senza dover muovere il circuito
induttore rispetto al circuito indotto?
12. Scrivi la formula che esprime la legge di Lenz-Faraday-Neumann.
13. Quale parte della formula esprime la legge di Lenz?
14. Come funziona il pickup della chitarra elettrica?
15. Come funziona la testina di lettura di un nastro magnetico?
Verifiche di conoscenza
1. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a. Il flusso del campo magnetico che attraversa una spira dipende solamente dall’intensità del
campo e dalla superficie della spira.
b. Il flusso del campo magnetico che attraversa una spira dipende dall’intensità del campo, dalla
superficie della spira e dalla sua forma.
c. Il flusso del campo magnetico che attraversa una spira dipende dall’intensità del campo, dalla
superficie della spira e dall’orientazione della spira rispetto alle linee del campo.
d. Il flusso del campo magnetico che attraversa una spira dipende dall’intensità del campo e dalla
superficie della spira. L’orientazione della spira serve solamente per stabilire se il flusso è
entrante o uscente dalla spira.
2. A quale unità di misura può corrispondere il tesla (T)?
m2
Wb
b. Wb ⋅ m 2
Wb
c.
m2
a.
3. Il flusso del campo magnetico che attraversa un solenoide di N spire è:
a. N volte il flusso che attraversa una spira del solenoide
b. uguale a quello che attraversa una spira del solenoide
c. pari al flusso che attraversa una spira diviso per il numero N delle spire
4. Sostituisci al posto dei puntini i vocaboli adeguati scelti nell’elenco sottostante:
La legge di Faraday-Neumann afferma che in un circuito elettrico in cui varia il … del … magnetico che
r
l’attraversa, viene indotta una … che risulta … proporzionale … flusso magnetico ( ∆Φ (B ) ) e …
proporzionale … durante il quale avviene tale variazione.
(flusso, campo, magnetico, corrente elettrica, forza elettromotrice, direttamente, inversamente, alla
variazione di, al, all’intervallo di tempo ∆t).
5. Sostituisci al posto dei puntini i vocaboli adeguati scelti nell’elenco sottostante:
La legge di Lenz afferma che il … della corrente indotta è tale da ... un … che … alla causa che l’ha
generata, cioè alla … induttore
(verso, creare, un campo magnetico, flusso di campo magnetico, si oppone, è concorde, alla variazione
di campo magnetico, variazione del flusso del campo magnetico).
6. In quale caso si ha corrente indotta in una spira:
7
a. quando la spira si muove all’interno di un campo magnetico uniforme
b. quando si costruisce la spira intorno a una calamita
c. quando la spira entra in un campo magnetico
d. quando la spira e una calamita si muovono solidali rispetto a un osservatore fermo
7. In quale caso non si ha corrente indotta in una spira immersa in un campo magnetico uniforme:
a. il filo conduttore che forma la spira è una molla che si contrae riducendo la superficie
b. la spira ruota nel campo magnetico
c. la spira si muove parallelamente alle linee del campo magnetico
d. la spira esce dal campo magnetico
8. Una spira entra e esce da un campo magnetico. L’intensità della corrente indotta:
a. è tanto maggiore quanto è più veloce il movimento
b. è tanto maggiore quanto è più lento il movimento
c. è la stessa qualunque sia la velocità del movimento
d. dipende direttamente o inversamente dalla velocità del movimento a seconda che la spira entri o
esca dal campo magnetico
9. Il polo nord di un magnete si avvicina a un solenoide.
a. All’estremità del solenoide affacciata al magnete si forma un polo nord che respinge il magnete
b. All’estremità del solenoide affacciata al magnete si forma un polo sud che attira il magnete
c. All’estremità del solenoide affacciata al magnete si forma un polo nord o un polo sud
casualmente
Problemi
1. Una spira di rame del diametro di 10 cm è posta intorno a un solenoide dello stesso diametro formato da
10 spire, lungo 5.0 cm e percorso da una corrente di 0,50 A. Calcola il flusso del campo magnetico
creato dal solenoide che attraversa la spira.
2. Dopo aver portato a 12 cm il diametro del solenoide dell’esercizio precedente vi avvolgiamo attorno un
altro solenoide formato da 100 spire e della stessa lunghezza. Calcola il flusso del campo magnetico che
attraversa il nuovo solenoide.
3. Una spira di raggio 4,0 cm è posta in un campo magnetico di 1,24 T. La normale alla spira forma con il
campo magnetico un angolo di 18°. Calcola il flusso del campo magnetico che attraversa la spira.
4. Quanto vale il flusso del campo magnetico dell’esercizio precedente se la normale alla spira forma un
angolo di 112° con le linee del campo? Il flusso che attraversa la spira è entrante o uscente dalla
superficie?
5. Una spira si trova in un campo magnetico ed è attraversata da un flusso di 4,62·10−2 Wb. Essa viene
estratta dal campo magnetico con velocità costante in 0,50 s. Quanto vale la f.e.m. indotta nella spira?
6. Una calamita viene inserita in un solenoide in 50 ms e la f.e.m. indotta vale 1,5 V. Calcola la variazione
di flusso che attraversa il solenoide.
7. Una spira viene inserita in un campo magnetico con velocità costante; la variazione di flusso che
l’attraversa è di 8,0·10−3 Wb e la f.e.m. indotta vale 0,65 V. Quanto dura il movimento della spira?
8. Un solenoide di 28000 spire di raggio 2,50 cm, si trova in un campo magnetico B0 = 0,700·10−2 T. In
40,0 ms il campo diviene Bf = 2,10·10−2 T. Sapendo che la resistenza del solenoide vale R = 50,0 Ω,
calcola la corrente indotta durante la variazione del campo magnetico.
9. Un solenoide di 5000 spire di raggio 4,00 cm è avvolto sopra un altro solenoide percorso da corrente e il
cui campo vale B0 = 5,00·10−4 T. In un intervallo di tempo di 0,200 s viene introdotto nei solenoidi un
nucleo di ferro dolce (µr = 6000). Quanto vale la f.e.m. indotta nel primo solenoide?
