ESERCITAZIONE 2
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RESISTIVITA'
VARIAZIONE DELLA RESISTIVITA' CON LA TEMPERATURA
DIMENSIONAMENTO DEI CONDUTTORI: CONDUTTORE NUDO E ISOLATO
LEGGE DI VARIAZIONESEZIONE-CORRENTE A PARITÀ DI SOVRATEMPERATURA
RESISTIVITÀ
PER DEFINIRE LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DEI MATERIALI CONDUTTORI
RICHIAMIAMO LE LEGGI DI OHM IN FORMA INTEGRALE:
AI CAPI DI UN CONDUTTORE (RESISTORE) NEL QUALE CIRCOLA UNA CORRENTE
CONTINUA I SI MISURA UNA TENSIONE V PROPORZIONALE AD I (FIG. 1)
V = RI
I
+
V
_
Figura 1 - Resistenza di un conduttore.
LA COSTANTE DI PROPORZIONALITÀ R È PARI ALLA PENDENZA DELLA RETTA
TENSIONE - CORRENTE
LA RESISTENZA R NON E` UNA CARATTERISTICA DEL SOLO MATERIALE, POICHÉ
DIPENDE SIA DAL TIPO DI MATERIALE SIA DALLE DIMENSIONI SCELTE PER IL
RESISTORE (SEZIONE E LUNGHEZZA) (FIG. 2).
10
V
R = tg α
α
I
Figura. 2 - Caratteristica tensione - corrente di tipo lineare.
UN CONDUTTORE NELLA PRATICA SI PRESENTA SPESSO NELLA FORMA DI UN
FILO, CIOÈ DI UN CILINDRO MOLTO LUNGO DI SEZIONE UNIFORME.
APPLICHIAMO A QUESTO CASO
INTEGRALE:
LA SECONDA LEGGE DI OHM IN FORMA
R dipende dalla sezione S e dalla lunghezza l del conduttore e dal tipo di materiale si
può quindi scrivere (FIG. 3):
R = ρ l/S
LA GRANDEZZA ρ SI CHIAMA RESISTIVITÀ ED E’ UNA PROPRIETÀ TIPICA DEL
MATERIALE. SPESSO SI USA ANCHE IL SUO RECIPROCO γ CHIAMATO
CONDUTTIVITÀ
γ = 1/ρ
L’UNITA' DI MISURA DIρ (NEL SISTEMA SI) È [OHM m]; SPESSO SI IMPIEGA ANCHE
[OHM mm2/m].
L’UNITA' DI MISURA DIγ (SEMPRE NEL SISTEMA SI) È [SIEMENS/m].
La resistività e' il parametro che distingue conduttori, isolanti e semiconduttori.
Il campo di valori della resistività dei materiali è molto ampio (circa 25 ordini di
grandezza, FIG. 4).
Gli isolanti elettrici presentano i valori massimi di resistività, i conduttori metallici i
valori minimi (trascurando i materiali superconduttivi) i materiali semiconduttori hanno
resistività intermedia con caratteristica V - I spesso non lineare e quindi resistività che
dipende dal valore di V o di I.
11
R = ρl/S
S
l
Figura 3 - Resistività di un conduttore.
CONDUTTORI
SEMICONDUTTORI
ISOLANTI
Paraffina
Ag Cu Fe Hg Grafite Sn Ge
Si
10-8 10-6 10-4 10-2 100 102
104
Polimeri organici Mica
106
108 1010 1012 1014 1016
Figura 4 - Spettro della resistività(Ωm)
12
SiO
2
Variazione della resistività con la temperatura
E' stato osservato sperimentalmente che la resistività varia con la temperatura seguendo una legge
praticamente lineare in un ampio intervallo di temperature che comprende la temperatura ambiente e
quella massima di funzionamento del conduttore (fig. 5). Facendo riferimento alla fig. 5, si osserva che,
nota la resistività ad una certa temperatura, ad esempio ρ 20 corrispondente alla temperatura ambiente di
20 [°C] alla quale è stata fatta una misura di resistività, è possibile determinare il valore di resistività ρ θ ,
ad una temperatura genericaθ, attraverso la semplice somma:
ρ θ = ρ 20 + ∆ρ
(2.1)
in cui, avendo assunto una legge lineare, è lecito scrivere:
∆ρ = ρ 20α 20 ∆θ
(2.2)
dove con α 20 si indica il coefficiente di temperatura a 20 [°C]; mentre, la variazione di temperatura
risulta:
∆θ = θ − 20
(2.3)
si osservi inoltre che la pendenza della caratteristica è data dalla quantità
ρ 20 α 20 .
ρ
ρ
θ
ρ 20
ρ0
∆ρ
θ
20
0
θ
Figura 5 - Andamento della resistività in funzione della temperatura
Dalle equazioni (2.1), (2.2) e (2.3) si ottiene:
=
20
+
20
20
( − 20) =
20
[1 +
20
( − 20)]
(2.4)
La relazione scritta consente di determinare la resistività di un materiale ad una certa temperatura nota la
resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura di riferimento. Vediamo ora di ricavare
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una nuova relazione che consenta di determinare la resistività di un dato materiale ad una certa
temperatura quando è nota la resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura diversa da
quella di riferimento di 20 [°C]. Dalla relazione (2.4) è possibile scrivere la resistività del materiale a due
temperatura diverseθ1 e θ 2 :
1
=
2
=
20
[1 + (
[1 + (
20
]
− 20)]
− 20)
20
1
20
2
(2.5)
Facendo il rapporto fra la seconda e la prima delle espressioni scritte:
2
20
=
1
20
[1 + (
[1 + (
20
2
20
1
]= 1 + (
(
− 20)] 1 +
− 20)
20
2
20
1
− 20)
− 20)
(2.6)
ponendo:
1
1
=
(2.7)
+ ( 1 − 20)
1
20
si può facilmente, attraverso alcuni passaggi algebrici, dimostrare che:
1+
20
1+
20
(
(
2
− 20)
1 − 20)
= 1+
1
(
2
−
1
)
(2.8)
e quindi scrivere:
2
=
1
[1 + (
2
1
−
1
)]
(2.9)
Nel caso del rame, ad esempio, essendo il valore
α 20 pari a:
α 20 = 3,93 ⋅ 10−3
° C −1
il valore α θ risulta:
=
1
254,5 + ( − 20)
14
Dimensionamento di conduttori
I parametri che definiscono la scelta di un conduttore sono il materiale, la lunghezza e la sezione. Dato
che il materiale è generalmente limitato a rame ed alluminio (a parte applicazioni particolari) e la
lunghezza è quasi sempre imposta, il dimensionamento di un conduttore riguarda spesso la scelta della
sezione. Il procedimento con il quale si calcola il valore della sezione si basa sull'esigenza di non
superare, durante il funzionamento del conduttore (quando cioè circola corrente), i valori limiti di
temperatura oltre ai quali si ha un danneggiamento del conduttore stesso ma soprattutto dell'isolamento
esterno. Quest'ultimo infatti, sopporta delle sovratemperature, rispetto alla temperatura ambiente,
limitate ed inferiori a quelle del conduttore e viene così a definire la massima sovratemperatura che un
cavo (conduttore+isolamento) può sopportare.
Prendiamo in esame due casi che si incontrano comunemente nelle applicazioni elettriche: conduttore
nudo e conduttore isolato (fig. 6).
Conduttore
Conduttore
Isolante
Aria
Aria
Figura 6 - Esempio di conduttore nudo ed con isolamento
Conduttore nudo - avvolgimenti macchine elettriche
Il calcolo della sezione viene quindi effettuato impostando l'equilibrio termico tra conduttore ed
ambiente. All'equilibrio si avrà che tutta la potenza elettrica dissipata dal conduttore per effetto Joule
viene dispersa nell'ambiente sotto forma di calore. La potenza elettrica dissipata per effetto Joule è data
dall'espressione:
l
PJ = R ⋅ I 2 = ρ ⋅ I 2
S
(2.10)
dove:
l
S
I
resistività del materiale Ω
[ mm2/m];
lunghezza del conduttore [m];
sezione del conduttore [mm2];
corrente nel conduttore [A] (è il val
ore efficace della corrente nel caso di corrente alternata);
mentre quella termica dispersa nell'ambiente sotto forma di calore è data dall'espressione:
Pt = k ⋅ p ⋅ l ⋅ ∆θ
(2.11)
in cui:
k
2°C];
coefficiente di trasmissione del calore tra conduttore e ambiente [W/m
15
p
∆θ
p⋅l
perimetro della sezione trasversale del conduttore [m];
sovratemperatura tra la temperatura ambiente e temperatura del conduttore [°C];
superficie di scambio termico tra il conduttore eambiente
l'
[m2].
All'equilibrio:
PJ = Pt
(2.12)
sostituendo:
l
ρ ⋅ I 2 = k ⋅ p ⋅ l ⋅ ∆θ
S
(2.13)
e quindi:
∆θ =
ρ⋅ I 2
k ⋅ p⋅S
(2.14)
Da questa relazione si determina la sovratemperatura, rispetto alla temperatura ambiente, di un
conduttore percorso da una certa corrente. Più interessante dal punto di vista progettuale è invece il
problema inverso, in cui, fissata la massima sovratemperatura ammissibile dal conduttore, si vuole
determinare la massima corrente che può circolare in esso, per un tempo indefinito, senza danneggiarlo.
La risposta a questo problema è molto semplice e può essere dedotta invertendo la formula appena
ricavata:
I =
*
k ⋅ p ⋅ S ⋅ ∆θ*
ρ
(2.15)
dove:
I*
rappresenta la massima corrente che può circolare nel conduttore per un tempo indefinito
senza danneggiarlo, ossia senza superare la sovratemperatura massima consentita
∆θ* .
Ancora più interessante è invece il problema di dimensionare un conduttore affinché porti una certa
corrente e non superi i limiti termici imposti dal materiale impiegato.
Esempio di calcolo pratico di un conduttore. La formula scritta in precedenza può essere resa operativa
considerando una certo tipo di sezione ed un certo materiale. Infatti nel caso di sezione circolare
possiamo scrivere:
I * = k1
d 3 ⋅ ∆θ*
ρ
(2.16)
16
il cui il coefficiente k1 viene letto da opportune tabelle. Ad esempio, nel caso di conduttore libero in aria
si può assumere un valore pari a 0,20. Inoltre, se si considera un certo materiale, anche la resistività e la
massima sovratemperatura ammissibile possono essere inglobate in una costante e si ottiene un legame
diretto tra corrente e diametro:
I * = k2 d 3
(2.17)
Ad esempio, consideriamo un conduttore con sezione circolare, in rame, posto in aria a 25 °C che deve
trasportare un corrente di 10 A. La temperatura massima che può raggiungere il conduttore è di 70 °C.
Quale deve essere la sezione del conduttore.
Dalla relazione:
d 3 ⋅ ∆θ*
ρ
I = k1
*
invertita rispetto ad:
d=3
I *2 ⋅ ρ
∆θ* ⋅ k12
(2.18)
in cui:
I*=10 [A]
sapendo che si tratta di rame, la resistività a 0°C risulta:
0
[
Ω mm 2
= 1,6 ⋅ 10 − 2
]
m
mentre, dato che la sezione è circolare, possiamo assumere:
k1 = 0,20
Infine, la sovratemperatura risulta:
∆θ* = 70 − 25 = 45 ° C
Prima di applicare la formula (2.18) dobbiamo riportare la resistività alla temperatura di 70 [°C] e
quindi:
70
=
0
[1 +
0
[
]
]
2
1
t a = 1,6 ⋅ 10 − 2 1 +
70 = 0,020 Ω mm m
233,5
sostituendo nella (2.18) si ottiene:
17
d=1.03 [mm]
e quindi:
S=
πd 2
= 0 ,84 mm2
4
Conduttore con isolamento - cavo elettrico
Il problema della scelta dei cavi elettrici è uno dei problemi più ricorrenti nella progettazione degli
impianti. A differenza del caso precedente, i cavi sono costituiti da conduttori isolati elettricamente e
termicamente dall'ambiente. Per questo motivo è necessario considerare lo scambio termico che avviene
tra conduttore ed isolamento e tra isolamento ed ambiente. Uno dei problemi più interessanti è
rappresentato dal calcolo della portata di un cavo, ossia di quel valore di corrente che il cavo è in grado
di portare per un tempo indefinito senza danneggiarsi, la quale non dipende solo dalla sezione e dal tipo
di cavo ma da tutta una serie di fattori ambientali legati alla posa. Vediamo brevemente un esempio di
calcolo di portata.
Anche in questo caso si scrive un bilancio tra la potenza elettrica dissipata per effetto Joule e quella
dispersa in calore nell'ambiente. Si arriva quindi ad una relazione analoga a quella ricavata in precedenza
in cui la portata risulta data dalla relazione:
I=
∆θS
ρRtT
(2.19)
dove RtT rappresenta la resistenza termica totale data dalla somma della resistenza termica tra
conduttore ed isolante e tra isolante ed ambiente.
Ad esempio, nel caso del cavo rappresentato in fig. 7, in cui DC=4,5 [mm] (sezione S=16 [mm2]),
DE=8 [mm], con isolamento in PVC (resistività termica ρ t = 5 ° C m / W , temperatura ambiente 30
[°C] e temperatura del conduttore 70 [°C] si vuole calcolare la portata.
Si comincia col calcolare la resistenza termica.
La resistenza termica tra conduttore ed isolamento è data dalla formula:
Rt1 =
ρt
D
ln E = 0 ,46 ° C m / W
2 π DC
(2.20)
Dc
De
18
Figura 7 - Conduttore isolato con guaina
mentre la resistenza termica tra isolamento ed ambiente è fornita dalle norme CEI (22-21) e vale per le
dimensioni considerate:
Rt2 = 2 ,9 ° C m / W
quindi la resistenza termica totale risulta:
RtT = Rt1 + Rt 2 = 0 ,46 + 2 ,9 = 3,36 ° Cm / W
ed infine la portata risulta:
I=
∆θ ⋅ S
=
ρ ⋅ RtT
40 ⋅ 16
= 97 ,6
0 ,020 ⋅ 3,36
A
Legge di variazione sezione-corrente a parità di sovratemperatura
E' importante osservare che la legge di variazione della corrente e della superficie di dispersione del
calore di un conduttore in funzione della sezione del conduttore stesso non sono uguali. Per questo
motivo se si vuole mantenere costante, al crescere della sezione del conduttore, la sovratemperatura
rispetto alla temperatura ambiente occorre variare la corrente in modo opportuno. In altre parole, se si
raddoppia la sezione di un conduttore e corrispondentemente si raddoppia la corrente (mantenendo così
inalterata la densità di corrente) si raggiungono due diverse sovratemperature (in particolare il
conduttore a sezione doppia raggiunge una maggiore sovratemperatura).
Dato che la sovratemperatura rappresenta la grandezza che impone lo sfruttamento del conduttore e non
deve superare certi limiti, è opportuno imporne il valore e determinare di conseguenza il valore di
corrente compatibile con la sezione.
Consideriamo il caso di due piattine aventi sezioni geometricamente simili (fig. 8).
αa
a
b
αb
Figura 8 - Sezioni geometricamente simili
La sezione trasversale dei due conduttori ed il loro perimetro risultano perciò:
19
S = a ⋅b
S' =
2
⋅ a ⋅b
(2.21)
p = 2(a + b)
p' = 2 (a + b)
Dato che il rapporto tra le sezioni ed i perimetri risulta:
S'
= α2
S
p'
=α
p
si ha la seguente relazione tra sezioni e perimetri:
S ' p'
=
S p
(2.22)
(2.23)
2
(2.24)
Riprendiamo ora la relazione che ci consente di determinare la sovratemperatura, ricavata
precedentemente:
ρ⋅ I 2
∆θ =
(2.25)
k ⋅ p⋅S
Considerando la sezioneS', percorsa da una correnteI'; la sovratemperatura risulta:
ρ ⋅ I' 2
∆θ' =
k ⋅ p' ⋅ S'
(2.26)
Imponendo la stessa sovratemperatura:
∆θ = ∆θ'
(2.27)
si ha:
ρ⋅ I 2
ρ ⋅ I' 2
=
k ⋅ p ⋅ S k ⋅ p' ⋅ S'
(2.28)
Elaborando l'equazione (2.28) si ottiene:
2
S' S'
I '
=
=
I
S S
2
2
(2.29)
e quindi:
20
I'
= α2 α2 = β β
I
(2.30)
avendo posto:
β = α2
(2.31)
ossia:
S'
= α2 = β
S
(2.32)
Ad esempio, se si raddoppia la sezione:
S'
=β=2
S
(2.33)
per ottenere la stessa sovratemperatura occorre che le correnti, dalla (2.30), stiano nel rapporto:
I'
= β β = 2 2 = 1,68
I
In altre parole la corrente non essere raddoppiata ma può solo incrementata del 68 %.
Studiamo ora il problema inverso ossia volgiamo determinare di quale rapporto deve variare la sezione
del conduttore quando la corrente viene aumentata di un rapporto
m:
I' = m ⋅ I
(2.34)
e si vuole mantenere costante la sovratemperatura.
Dall'equazione (2.30) si ha che:
I2
S S
=
I '2
S' S'
=
(m ⋅ I )2
(2.35)
S' S'
da cui è facile ricavare:
S' = S
3
m4
(2.36)
Ad esempio, se si raddoppia la corrente:
m=2
la sezione richiesta affinché si raggiunga la stessa sovratemperatura risulta applicando la (2.36):
S' = S 3 2 4 = 2 ,52 ⋅ S
21
